NIEKORÉ RENDOVÉ FUNKCIE V EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH RADOCH SOME REND FUNCIONS IN ECONOMIC IME SERIES Eva OSERAGOVÁ Absrac he paper deals wih aalysis of red copoe i ecooic ie series. May oooous ie series daa ca be adequaely approxiaed by a liear fucio. If here is a clear oooous oliear copoe, he daa firs eed o be rasfored o reove he olieariy, usually a logarihic, expoeial, or polyoial fucio ca be used. he logisic ad Goperz red curves are ofe applied i forecasig arke develope. Key words red copoe, expoeial red, logisic ad Goperz red, predicio, ea absolue perceage error. Úvod Pri opise dyaiky ekooických javov vychádzae z ukazovaeľov, koré sú usporiadaé do zv. časových radov. Hlavou úlohou aalýzy časových radov je vysihuie základej edecie ich vývoja, eda saoveie ich redu. red sa určuje zvyčaje aalyickýi eódai,.j. poocou redových fukcií, resp. adapívyi eódai, edzi koré parí predovšeký eóda kĺzavých prieerov a expoeciále vyrovávaie. Modelovaie redu poocou redových fukcií Aalýza sa u eódy aalyického vyrovávaia časových radov realizuje v podsae poocou klasickej regresej aalýzy. Pre odhad paraerov redovej fukcie sa používa eóda aješích švorcov záa z regresej aalýzy. Ide vlase o regresý odel, kde v úlohe ezávislej preeej vysupuje čas. o sa ýka pochopieľe le fukcií lieárych z hľadiska paraerov, resp. akých, koré je ožé a eo yp upraviť vhodou rasforáciou. Sú o apr. ieo redové fukcie F(), kde je časová preeá: lieára (priaka) a a, parabolická (. a 3.supňa) a a a, expoeciála a a, kde a. a a a a ; 3 3 V osaých prípadoch sa používajú zložiejšie eódy odhadu. V ekooickej praxi sa ôžee časo sreúť s roi základýi eliearizovaeľýi redovýi fukciai, koré ie je ožé liearizovať žiadou rasforáciou: odifikovaý expoeciály red k a a, a ; logisický red, k a a a Goperzov red k a.
Modifikovaý expoeciály red je vlase zovšeobeceí expoeciáleho redu. Je o odel s asypoou a bez iflexého bodu. áo redová fukcia sa časo využíva v arkeigu. Dá sa poocou ej odelovať vývoj javov, koré vychádzajú z obedzeých zdrojov rasu a u korých exisuje určiá hraica asýeia, korá je daá apr. záujo o ejaký výrobok. Na odhad paraerov ejo redovej fukcie sa používa eóda vybraých bodov alebo eóda čiaskových súčov. Logisický red (logisika) sa časo uvádza v vare Pearl-Reedovej redovej fukcie. Jej graf je ohraičeý zhora aj zdola, iflexý bod á uprosred. Jej priebeh je ypický pre zv. S-krivky (ich graf pripoía var oho písea). V ekooickej oblasi sa logisický red používa v odeloch dopyu po predeoch dlhodobej sporeby alebo pri odelovaí vývoja, výroby a predaja iekorých druhov výrobkov. Poocou oho odelu sa dá siulovať ekooická živoosť ového alebo iovovaého výrobku. Každá S-krivka vyedzuje a časovej osi päť vývojovo odlišých fáz cyklu:. fáza začíajú sa forovať ové progresíve sily;. fáza ové progresíve sily sa začíajú ple presadzovať a rozhodujúcou ierou ovplyvňovať ďalší vývoj; 3. fáza ové progresíve sily celko ovládli vývoj, ale už sa objavujú aj opozičé sily liace ich účiok; 4. fáza vzikué opozičé sily adobúdajú rvalú prevahu ad doerajšíi silai, koré sraili progresívosť a v dôsledku oho sa vývojové edecie podsae spoaľujú; 5. fáza opozičé sily adobudli rozhodujúcu prevahu a celko ulili vývoj doerajších síl. Vývoj sa zasavuje až do doby presadeia sa ďalších progresívych síl. Pre odhad paraerov logisickej redovej fukcie ôžee použiť rovakú procedúru ako v prípade odifikovaého expoeciáleho redu, keďže prevráeí logisiky k a a získae odifikovaý expoeciály red. Graf Goperzovej redovej fukcie á iež podobu S-krivky. Je ohraičeý zhora aj zdola, a rozdiel od logisiky je však asyerický, pričo väčšia hodô sa vyskyuje za iflexý bodo. Paraere oho odelu sa po logariickej rasforácii l l k l a a odhadujú ako u odifikovaého expoeciáleho redu. Na obr. je uvedeý prehľad grafov ajčasejšie používaých redových fukcií v ekooickej praxi. red Grafické zobrazeie red Grafické zobrazeie lieáry odifikovaý expoeciály kvadraický logisický IB expoeciály Goperzov IB Obr. Grafické zobrazeie redových fukcií
Aplikácia eódy vybraých bodov a odeli odifikovaého expoeciáleho redu Maje časový rad hodô y i za časové obdobia i, pre i,,,,, ; pričo y,, y, a y,. je celé číslo. Poo vybraé body sú Z podieky Z vyplýva, že usí byť epáre číslo,.j. ak á časový rad páry poče období, doplíe ho o jedo ďalšie obdobie. Ak akú ožosť eáe, poo vyecháe jedo, spravidla ajsaršie časové obdobie. Nech vyrovávajúcou fukciou je odifikovaá expoeciála redová fukcia i yi k a a i. Po dosadeí súradíc vybraých bodov do ejo rovice dosaee súsavu roch rovíc o roch ezáych a, a, k: y k a a, y k a a, y k a a. Riešeí ejo súsavy sú odhady paraerov daej redovej fukcie: y y aˆ y y ˆ y, a a y, ˆk y a. V ab. sú údaje o produkcii isého výrobku (y i ) v isícoch kusov v rokoch 4. Za predpokladu, že sa doerajší charaker aalyzovaého časového radu ezeil, odhadee poocou odifikovaej expoeciálej redovej fukcie produkciu oho výrobku v roku. ab. abuľka vsupých hodô Rok 4 5 6 7 8 9 y i 35 4 65 8 Ukážee riešeie ejo úlohy použií MALABu asledujúci spôsobo: y=[,,35,4,65,8,];=legh(y); =(-)/;y=y(); y=y(+); y=y(*+); a=((y-y)/(y-y))^(/),a=(y-y)/(a^-),k=y-a a =.74 a = 7.9 k = 83.87 eda odhaduý odifikovaý expoeciály redový odel á var: yˆ ˆ 83,87 7,9,74. Po zosaveí odelu redovej fukcie časového radu a odhade jej paraerov ás zaujía úroveň kvaliy oho odelu,.j. skúae charaker rozdielov skuočých (epirických) hodô y, y,, y a vyrovaých (eoreických) hodô yˆ ˆ ˆ, y,, y (akoukoľvek eódou). Hodoy e ˆ i yi yi, i,,, ; sú rezíduá časového radu. Predsavujú odhady esyseaickej zložky skúaého časového radu. Pre posúdeie presosi zvoleej redovej fukcie áe k dispozícii viaceré reziduále charakerisiky. 3
Použijee prieerú absolúu perceuálu chybu (Mea Absolue Perceage Error) ei MAPE %. y i i Je porebé pozaeať, že eexisuje žiada všeobece prijaá supica, korá by určovala, aké hodoy MAPE sú v aalyickej praxi prijaeľé. Ak je hodoa MAPE 5%, je ožé daý odel hodoiť ako kvaliý z hľadiska použiia pre vorbu progóz. Ak je 5 % MAPE %, je daý odel k vorbe progóz sále použieľý, ale ich kvalia je ižšia ako v prvo prípade. Ak je hodoa MAPE %, eposkyuje daý odel kvaliú predpoveď. =:7;yM=k+a*a.^;y8=k+a*a.^8 e=y-ym;mape=su((*abs(e)./y))/ y8 = 7.48 MAPE = 8.393 eda produkciu uvedeého výrobku v roku je ožé odhadúť a cca 7 48 kusov. Preože hodoa MAPE 8,393 %, odel je použieľý pre vorbu progóz. Epirické a eoreické hodoy zázoríe graficky. Výsledý graf je a obrázku. plo(,y,'-o'),hold o,plo(,ym,'r-*') leged('epiricke hodoy','eoreicke hodoy-odifikovay expoecialy red'),hold off 4 epiricke hodoy eoreicke hodoy-odifikovay expoecialy red 8 6 4 3 4 5 6 7 Obr. Grafické zázoreie epirických a eoreických hodô použií odifikovaého expoeciáleho redu 4
Súhr Modelovaie redu poocou redových fukcií sa používa v prípade, keď red zodpovedá určiej fukcii, apr. lieárej, kvadraickej, expoeciálej, S-krivky a pod. V prípade, keď je vývoj časového radu v dôsledku silého vplyvu esyseaickej zložky erovoerý alebo á exrée hodoy, ak je vhodé odelovať red adapívyi eódai. Ak vývojovú edeciu v časovo rade vysihuje krivka, korej koeficiey eožo saoviť eódou aješích švorcov, používajú sa ié eódy, apr. eóda vybraých bodov alebo eóda čiaskových súčov. Kľúčové slová redová zložka, expoeciály red, logisický a Goperzov red, predikcia, prieerá absolúa perceuála chyba. Príspevok bol pripraveý v ráci riešeia graového projeku VEGA č. // Meódy a echiky experieáleho odelovaia vúropodikových výrobých a evýrobých procesov. Použiá lieraúra [] BAKYOVÁ, H., UGRON, M.: Príklady zo šaisických eód. SNL/Alfa, Braislava, 97, [] CYHELSKÝ, L., KAŇOKOVÁ, J., NOVÁK, I.: Základy eorie saisiky pro ekooy. SNL/Alfa, Praha, 979, [3] HANČLOVÁ, J., VRDÝ, L.: Úvod do aalýzy časových řad. VŠB-U, Osrava, 3. [4] KŘIVÝ, I.: Aalýza časových řad. Osravská uiverzia, 6, [5] OSERAGOVÁ, E.: Aplikovaá šaisika. Elfa, Košice,, ISBN 978-8-886-7-, [6] OSERAGOVÁ, E.: Modelovaie časových radov. redy a iovaíve prísupy v podikových procesoch: zborík z 3. edziárodej vedeckej koferecie. Košice,, s. -7, ISBN 978-8-553-57-7, [7] OSERAGOVÁ, E.: ie series odellig. Modellig of Mechaical ad Mecharoical Syses: proceedigs of he 4h ieraioal coferece. Herľay,, p. 366-373, [8] OSERAGOVÁ, E, OSERAG, O.: he siple expoeial soohig odel. Modellig of Mechaical ad Mecharoical Syses: proceedigs of he 4h ieraioal coferece. Herľay,, p. 38-384, ISBN 978-8-553-73-, [9] OSERAGOVÁ, E.: Aplikácia expoeciáleho vyrovávaia časových radov. rasfer iovácií 9/, s. 68-7, ISSN 337-794. Koaká adresa PhDr. Eva Oseragová, PhD. echická uiverzia v Košiciach Fakula elekroechiky a iforaiky Kaedra aeaiky a eoreickej iforaiky Něcovej 3, 4 Košice e-ail: eva.oseragova@uke.sk 5