Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
|
|
- Gizela Nováková
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
2 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2
3 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3) Min {f 0 (x) f i (x) 0, i = 1,..., m} a û 0 je vektor Lagrangeových multiplikátorov prináležiaci k ˆx bod (ˆx, û) je sedlový bod Lagrangeovej funkcie t. j. platí L : R n R m + R, x R n u R m + : L(x, u) = f 0 (x) + m u if i (x) i=1 L(ˆx, u) L(ˆx, û) L(x, û). 3
4 Ako prvý využil Hugh Everett III - Generalized Lagrange Multiplier Method for Solving Problems of Optimum Allocation of Resources, Operations Research, Vol. 11, No. 3, May-June 1963, pp Hugh Everett III - americký fyzik známy viac pre prácu The Many Worlds Interpretation of Quantum Mechanics 4
5 Myšlienka algoritmu 1. Nastavíme k = 0, zvolí sa fixné u 0 R m Hľadá sa voľné minimum funkcie L(x, u k ), označíme x k. 3. Rieši sa lineárna úloha jej riešenie označíme u k+1. max L(x k, u) u 0 4. Nastavíme k = k + 1; ideme na krok 2. Problém: Voľné minimum L(x, u k ) nemusí vždy existovať. 5
6 Rozšírené Lagrangeove funkcie Po Everettovom článku - záujem o jednoduchšie úlohy: Min{f 0 (x) h i (x) = 0, i = 1, 2,..., m} (U2) Klasická Lagrangeova funkcia: L : R n R m R, L(x, u) = f(x) + m i=1 u i h i (x) Hestenes a Powell - rozšírená Lagrangeova funkcia : H(x, y) = L(x, y) + α 2 m i=1 h i(x) 2, α > 0 6
7 Nech ˆx K 2 = {x h i (x) = 0, i = 1,..., m} je optimálnym riešením úlohy (U2). Vektor ŷ R m nazveme vektorom Hestenesovych multiplikátorov prináležiacich optimálnemu riešeniu ˆx ak pre Hestenesovu funkciu platí: x : f 0 (ˆx) H(x, ŷ). Tiež platí: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U2) a ŷ R m je vektor Hestenesovych multiplikátorov prináležiaci k ˆx práve vtedy, keď bod (ˆx, ŷ) je sedlový bod Hestenesovej funkcie H(x, y). 7
8 V čom je Hestenesova rozšírená funkcia lepšia ako klasická Lagrangeova funkcia? Za istých predpokladov: - Pre dostatočne veľké α má funkcia minimum ȳ H(x, ȳ) = L(x, ȳ) + α 2 m h i(x) 2 i=1 - Ak x je stacionárnym bodom H(x, ȳ), tak x je stacionárnym bodom L(x, z) pre z : z i = ȳ i + αh i ( x). - Pre optimálne ˆx platí û = ŷ 8
9 Algoritmus Hestenesovej metódy: V k-tej iterácii: Daný je vektor multiplikátorov y k a penalizačný parameter α k Nájde sa voľné minimum x k Hestenesovej funkcie H(x, y k ) so štartovacím bodom x k 1, t.j. x k := arg min H(x, y k ). Multiplikátor sa vylepšuje podľa pravidla: y k+1 i = y k i + α k h i (x k ). Zvolí sa nový penalizačný parameter α k+1 α k a proces sa opakuje. 9
10 T. Rockafellar adaptoval Hestenesovu funkciu na úlohu Min{f 0 (x) f i (x) 0, i = 1, 2,..., m} (U3) Pomocou doplnkových premenných upravil ohraničenia f i (x) 0 na h i (x, z i ) = f i (x) + z 2 i = 0. Úlohu (U3) previedol na klasickú úlohu na voľný extrém (U2), definoval príslušnú Hestenesovu funkciu H(x, y, z). Eliminoval doplnkové premenné z i a definoval tzv. Rockafellarovu funkciu R(x, y) = min H(x, y, z) z Rm 10
11 Rockafellarova funkcia má tvar: R(x, y) = f 0 (x) + m y i max f i (x), y i + α m i=1 α 2 i=1 max2 f i (x), y i α Podobne ako v prípade Hestenesovej funkcie sa definuje pojem Rockafellarovych multiplikátorov. Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3) a ŷ R m je vektor Rockafellarovych multiplikátorov prináležiaci k ˆx práve vtedy, keď bod (ˆx, ŷ) je sedlový bod Rockafellarovej funkcie R(x, y). 11
12 Podobne ako v prípade Hestenesovej funkcie sa odvodí iteračné pravidlo pre ich aproximáciu. Algoritmus Rockafellarovej metódy: V k-tej iterácii: Daný je vektor multiplikátorov y k 0 a penalizačný parameter α k Nájde sa voľné minimum x k Rockafellarovej funkcie R(x, y k ) so štartovacím bodom x k 1. Multiplikátor sa vylepšuje podľa pravidla: y k+1 i = max[0, y k i + α k f i (x k )]. Zvolí sa nový penalizačný parameter α k+1 α k a proces sa opakuje. 12
13 Magnus R. Hestenes, Michael J. D. Powell, R. T. Rockafellar 13
14 Zovšeobecnenie konceptu Lagrangeovej funkcie 14
15 J. D. Roode: Generalized Lagrangian functions in mathematical programming Definícia: daná je všeobecná úloha Min{f(x) x M}, (U0) kde M X R n, f : X R. Nech Y R m a funkcia F : X Y R spĺňa tzv. Roodeho axiómy: (R1) y Y, x M : F(x, y) 0; (R2) ȳ Y, x M : F(x, ȳ) = 0; (R3) x / M : sup y Y F(x, y) = +. Potom funkcia L(x, y) = f(x) + F(x, y) sa nazýva zovšeobecnenou Lagrangeovou funkciou úlohy (U0). 15
16 Príklad: Klasická Lagrangeova funkcia pre (U3). Nech f i : R n R, i = 0, 1,..., m. Min{f 0 f i (x) 0, i = 1,..., m} (U3) X = R n, M = K 3 = {x f i (x) 0, i = 1,.., m}, Y = R m + F : R n R m + R, F(x, y) = m y if i (x) i=1 Funkcia L(x, y) = f 0 (x) + F(x, y) - spĺňa Roodeho axiómy. Domáca úloha (Cvičenie): Hestenesova funkcia, Rockafellarova funkcia spĺňajú Roodeho axiómy. 16
17 Definícia: Nech ˆx M je optimálnym riešením úlohy (U0). Vektor ŷ Y nazveme zovšeobecneným vektorom Lagrangeových multiplikátorov prináležiacich optimálnemu riešeniu ˆx ak pre zovšoubecnený Lagrangeovu funkciu platí: x X : f(ˆx) L(x, ŷ). 17
18 Lema: Nech ˆx M je optimálnym riešením úlohy (U0) a ŷ Y je príslušný (zovšeobecnený) vektor Lagrangeových multiplikátorov. Potom platia nasledujúce vzťahy: 1. f(ˆx) = L(ˆx, ŷ), 2. F(ˆx, ŷ) = 0. Dôkaz: [tabuľa] 18
19 Veta (Roode): Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U0) Min {f(x) x M} a ŷ 0 je zovšeobecnený vektor Lagrangeových multiplikátorov prináležiaci k ˆx bod (ˆx, ŷ) je sedlový bod zovšeobecnenej Lagrangeovej funkcie t. j. platí L(x, y) : X Y R, L(x, y) = f(x) + F(x, y) x X y Y : L(ˆx, y) L(ˆx, ŷ) L(x, ŷ). 19
20 Dôkaz: [tabuľa] 20
21 Sedlové body Veta o minmaxe 21
22 Budeme uvažovať funkciu Φ : X Y R, kde X R n, Y R m. Bod (x 0, y 0 ) X Y sa nazýva sedlovým bodom typu min-max funkcie Φ, ak platí x X, y Y : Φ(x 0, y) Φ(x 0, y 0 ) Φ(x, y 0 ). Analogicky možno definovať sedlový bod typu max-min y x 2 Φ(x, y) = x + xy x 2 y Φ(x, y) = (x 2 y 2 )e x2 y 2 s.b. minmax [0,-1], s.b. maxmin [1,1] y s.b. minmax [0,0], glob. maximá a minimá x
23 Existencia sedlového bodu Pre extrém máme 2 postačujúce podmienky: Nech funkcia f je definovaná na M X R n. (Weierstrass) Ak M je kompaktná a f je na M spojitá, tak f nadobúda na M svoje minimum i maximum. Ak M má konečný počet prvkov, tak f nadobúda na M svoje minimum i maximum. Analogické postačujúce podmienky neplatia pre existenciu sedlového bodu. 23
24 Príklad: Φ : {0, 1} {0, 1} R X \ Y Príklad: Φ(x, y) = (x y) 2 na [ 1, 1] [ 1, 1] y x 24
25 Historicky prvý výsledok: J. von Neumann (1928): Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Math. Ann. 100, Nech X R n, Y R n sú simplexy a nech Φ(x, y) je bilineárna funkcia.na X Y. Potom Φ má vzhl adom na množinu X Y sedlový bod typu min-max. Zovšeobecnenie: Maurice Sion (1958): On general minimax theorems, Pacific J. Math. 8(1), Nech X R n, Y R n sú konvexné a kompaktné množiny. Nech Φ(x, y) je podl a x zdola polospojitá a kvázikonvexná a podl a y zhora polospojitá a kvázikonkávna funkcia na X Y. Potom Φ má vzhl adom na množinu X Y sedlový bod typu min-max. 25
26 Lema: Platí sup y inf x Φ(x, y) inf x sup Φ(x, y) y Veta o minmaxe Funkcia Φ(x, y) definovaná na X Y má sedlový bod (x 0, y 0 ) typu minmax vzhľadom na X Y práve vtedy, ak existujú výrazy Φ sup = min x X sup y Y Φ(x, y), Φ inf = max y Y inf x X a ich hodnoty sú rovnaké. Potom tiež platí Φ(x, y), Φ(x 0, y 0 ) = Φ sup = Φ inf. 26
27 Dôkaz: [tabuľa] 27
28 Všeobecný princíp duality 28
29 Uvažujeme úlohu Min{f(x) x M}, M X R n, f : X R Zovšobecnená Lagrangeova funkcia: L(x, y) = f(x) + F(x, y), kde F : X Y R spĺňa Roodeho axiómy. Mali sme: ˆx je optimálne riešenie úlohy a ŷ je ZVLM (ˆx, ŷ) je sedlový bod (typu min-max) funkcie L. Z Vety o minmaxe: L(ˆx, ŷ) = L inf = L sup, kde L inf = max y Y inf x X L(x, y), L sup = min x X sup y Y L(x, y) 29
30 Zhrnutie: L(ˆx, ŷ) = L inf = L sup = f(ˆx) Hodnota L sup sa dá interpretovať pomocou pôvodnej (primárnej) úlohy (U0): sup y Y L(x, y) = f(x) + sup y Y F(x, y) = = f(x) x M (R1, R2) + x / M (R3) Teda L sup = min x X sup y Y L(x, y) = min x M f(x). Ak analogicky dáme interpretáciu hodnote L inf - dostávame duálnu úlohu. 30
31 Definujme funkciu: G(y) = inf y Y L(x, y) Úlohu Max{G(y) y Y } (D0) nazveme duálnou úlohou k úlohe (U0). Slabá veta o dualite: G(y) f(x) x M, y Y Dôkaz:... 31
32 Dôsledky: Ak dvojica (ˆx, ŷ) M Y spĺňa G(ŷ) = f(ˆx), tak ˆx je optimálne riešenie (U0) a ŷ je optimálne riešenie (D0). Ak f nie je zdola ohraničená, tak (D0) je neprípustná. Ak G je zhora neohraničená, tak (U0) je neprípustná. Veta o dualite: Nech (ˆx, ŷ) X Y je sedlový bod (zovšeobecnenej) Lagrangeovej funkcie L, potom ˆx je optimálne riešenie (U0) a ŷ je optimálne riešenie (D0) a platí G(ŷ) = f(ˆx) 32
33 Literatúra k prednáške: Hamala, Trnovská: Nelineárne programovanie, str ,
Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieSylaby štátnej záverečnej skúšky
Sylaby štátnej záverečnej skúšky pre bakalársky študijný program: Ekonomická a finančná matematika Predmet : Matematický základ 1. Lineárna algebra a maticový poč et Vektorové priestory: Lineárna závislos
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ LINEÁRNE A KVADRATICKÉ PROGRAMOVANIE Vysokoškolská učebnica F
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ LINEÁRNE A KVADRATICKÉ PROGRAMOVANIE Vysokoškolská učebnica Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšiePokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály
Pokročilé programovanie II Nelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-253 Letný semester 27/28 Obsah Logistická mapa - May Period doubling, podivný atraktor,
PodrobnejšieSnímka 1
Generovanie LOGICKÝCH KONJUNKCIÍ doc. Ing. Kristína Machová, PhD. kristina.machova@tuke.sk http://people.tuke.sk/kristina.machova/ OSNOVA: 1. Prehľadávanie priestoru pojmov 2. Reprezentácia a použitie
PodrobnejšieOceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieMO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
PodrobnejšieB5.indd
Úvod do limitných prechodov Vladimír Janiš ÚVOD DO LIMITNÝCH PRECHODOV Autor: doc. RNDr. Vladimír Janiš, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Martin Kalina, CSc. RNDr. Pavol Krá, PhD. Vydavate : Belianum. Vydavate
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšieRelačné a logické bázy dát
Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KVANTILOVÁ REGRESIA V EKONOMETRII DIPLOMOVÁ PRÁCA 2014 Bc. Lucia KUBALOVÁ
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KVANTILOVÁ REGRESIA V EKONOMETRII DIPLOMOVÁ PRÁCA 2014 Bc. Lucia KUBALOVÁ UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY,
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Kernel metódy a aplikácie DIPLOMOVÁ PRÁCA 2018 Bc. Oliver Dendis
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Kernel metódy a aplikácie DIPLOMOVÁ PRÁCA 2018 Bc. Oliver Dendis UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY
PodrobnejšieViacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu
Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Modely a metódy lineárneho a celočíselného programovania (Tézy k prenáške č. 8) Téma prednášky Metóda vetiev a hraníc Prof. Ing. Michal Fendek, PhD. Katedra operačného výskumu a ekonmetrie Ekonomická univerzita
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
PodrobnejšiePocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD
Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieDediĊnosť
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Dedičnosť v jazyku C# Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond OOP rekapitulácia Trieda je základná jednotka objektového programovania
Podrobnejšie12Prednaska
propozičná logika vs. logika prvého rádu globálna vs. kompozičná vetviaci sa čas vs. lineárny čas časové body vs. časové intervaly diskrétny čas vs. spojitý čas minulosť vs. budúcnosť distribovanosť vs.
PodrobnejšieVybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos
Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval koval@fmph.uniba.sk 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozostávajúci z N nezávislých spinov. Každý zo spinov sa
PodrobnejšieJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit roo
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
Podrobnejšiepx II. Reálna funkcia viac premenných (Prezentácia k prednáškam) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
px (Prezentácia k prednáškam) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 21. marca 2019 Na úvod si zodpovedzme tieto otázky # 1 Prečo funkcia viac premenných? # 2 Čo sa očakáva, že v tejto chvíli mám v malíčku?
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieBiharmonická rovnica - ciže co spôsobí pridanie jedného laplasiánu
iºe o spôsobí pridanie jedného laplasiánu tyc struna Obsah ƒo je to biharmonická rovnica 2 Malý výlet do teórie pruºnosti 3 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia 4... a kde ostala matematická fyzika? ƒo
PodrobnejšieMicrosoft Word - 8.cvicenie.doc
Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti),
Podrobnejšiebakalarska prezentacia.key
Inteligentné vyhľadávanie v systéme na evidenciu skautských družinových hier Richard Dvorský Základné pojmy Generátor družinoviek Inteligentné vyhľadávanie Ako to funguje Základné pojmy Skautská družina
PodrobnejšieNumerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšieIntervalový solver nelineárních podmínek
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Elif Garajová Intervalový solver nelineárních podmínek Katedra aplikované matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijní program:
PodrobnejšieInteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Október, 2018 Katedra kybernetiky
Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Marian.Mach@tuke.sk http://people.tuke.sk/marian.mach Október, 2018 Katedra kybernetiky a umelej inteligencie FEI, TU v Košiciach 1 Best-first
Podrobnejšiepredn2_2018web
Najbližšie povinnosti bakalára po pridelení témy: Ihneď: Kontaktovať vedúceho BP a dohodnúť sa na konzultáciách. Ihneď: Spolu s vedúcim BP prípadne spresniť definitívny názov a anotáciu práce. Skontrolovať
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieStatika konštrukcií - prednášky
PEDAGOGICKÁ DOKUMENTÁCIA PREDMETU Názov : Statika konštrukcií Identifikačné číslo : B-501205 Garantujúca katedra, ústav : Katedra stavebnej mechaniky, Ústav inžinierskeho staviteľstva Študijný odbor :
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY BAKALÁRSKA PRÁCA Bratislava 2011 Roman Kukumberg
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY BAKALÁRSKA PRÁCA Bratislava 2011 Roman Kukumberg Proximal-gradient, metóda konvexného programovania BAKALÁRSKA PRÁCA Roman Kukumberg
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................
Podrobnejšie1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013
1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšiePOZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním exp
POZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním experimentov náhodnej povahy. V mnohých situáciách opakovanie
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieUniverzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Niektoré metrické vlastnosti čiastočných náhodných booleovských funkcií Di
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Niektoré metrické vlastnosti čiastočných náhodných booleovských funkcií Diplomová práca 2013 Bc. Jakub Husár iii Katedra Informatiky
Podrobnejšie1 Portál pre odborné publikovanie ISSN Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika 28.04.2010 Článok spočíva v predstavení a opísaní algoritmu
PodrobnejšieŠtudent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp
Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá
PodrobnejšieTechnická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013
Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka
PodrobnejšieARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30
ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieVZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY
5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2011/2012 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieNÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
PodrobnejšieECDL Syllabus V50 SK-V01
SYLLABUS ECDL Modul Computing, M16 (Základy informatického myslenia a programovania) Sylabus, verzia 1.0 ECDL Module Computing Syllabus Version 1.0 Účel Tento dokument uvádza v plnom znení sylabus pre
PodrobnejšieEkon Supply of labour by John Pencavel
Labour supply of men by John Pencavel Prednáša: V. Kvetan (EÚ SAV) Obsah kapitoly Úvod Empirické regulácie Trendy v pracovnom správaní Cross sekčné odchýlky v pracovnom správaní Koncepčný rámec Kanonický
PodrobnejšieAutoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22
Autoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22 Príklad 1 AR(2) proces z prednášky: x t =1.4x t 1 0.85x t 2 +u t V R-ku: korene charakteristického polynómu
PodrobnejšieSiete vytvorené z korelácií casových radov
Siete vytvorené z korelácií časových radov Beáta Stehlíková 2-EFM-155 Analýza sociálnych sietí Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, UK v Bratislave, 2019 Siete vytvorené z korelácií Siete vytvorené
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra informatiky PLATNOSŤ BERGE-FULKERSONOVEJ HYPOTÉZY PRE ŠPECIÁLNE TR
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra informatiky PLATNOSŤ BERGE-FULKERSONOVEJ HYPOTÉZY PRE ŠPECIÁLNE TRIEDY SNARKOV Peter Gazdík DIPLOMOVÁ PRÁCA Vedúci diplomovej
Podrobnejšie7/1/2015 Úvod do databáz, skúškový test, max 25 bodov, 90 min
19/1/2017 Úvod do databáz, skúškový test, max 60 bodov 1. Uvažujte databázu bez duplikátov a null hodnôt: lubipijan, Alkohol, navstivilidn, Pijan, Krcma, vypilidn, Alkohol, Mnozstvo. Platí: Idn Pijan,
PodrobnejšieZákladné stochastické procesy vo financiách
Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty
Podrobnejšieenum
Objektovo orientované programovanie (enumeračné typy) 8. prednáška (3. časť) Vladislav Novák FEI STU v Bratislave 4.11.2014 (úprava 10.11. na str. 1, 3, 5) Enumeračné typy (Vymenované typy) Enumeračný
Podrobnejšie