Operačná analýza 1-00

Prepis

1 Operačá aalýza -00 základy teórie odhadu testovaie štatistických hypotéz

2 Základy teórie odhadu. odhad parametra rozdeleia pravdepodobosti. odhad rozdeleia pravdepodobosti X, X, X 3,... X - áhodý výber Fukcia T T(X, X, X 3,... X ) sa azýva štatistika

3 Odhady parametrov základého súboru s rozdeleím F(,θ) Uvedieme číslo, ktoré aproimuje hodotu parametra θ. bodový odhad Uvedieme iterval, ktorý aproimuje hodotu parametra θ s vopred určeou pravdepodobosťou.. itervalový odhad

4 . bodový odhad Nech odhad parametra θ je: estθ ˆ θ Odhad musí spĺňať asledujúce vlastosti:. evychýleý (eskresleý) E( ˆ θ ) θ. kozistetý ( s rastúcim rozsahom vzorky rastie pravdepodobosť, že odhad daého parametra sa od odhadovaého parametra líši le miimále) lim D( ˆ) θ 0

5 3. ajlepší eskresleý odhad (eficietý- zo všetkých eskresleých odhadov má ajmeší rozptyl) D ( ˆ θ ) R θ f ( ) E l ( )

6 Praktické aplikácie:. ajlepším eskresleým bodovým odhadom stredej hodoty áhodej premeej je výberová stredá hodota, t.j. i i X E ) (. ajlepším eskresleým bodovým odhadom rozptylu áhodej premeej je výberový rozptyl, t.j. ( ) ( ) i i s X D

7 Príklad. Odhadite parameter λ Poissoovho rozdeleia Po(λ), ak je daý áhodý výber z tohto rozdeleia:, 3,,,,,4,5,4,,3,,,6. Riešeie: Platí: E ( X ) p λ e 0 0! i X i 4 ( 36) λ,57 λ Odhad parametra λ je: ˆ,57 λ

8 Príklad. Odhadite parameter p biomického rozdeleia Bi(7,p) ak je daý áhodý výber z tohto rozdeleia je daý tabuľkou rozdeleia početostí: i i i 0 i i 5 i i 5 3, pre rozdeleie Bi(m,p) je E ( X ) m p potom: 7. p 3,049 pˆ 0,436

9 . itervalový odhad Itervalový odhad je určeie štatistík T a T tak, aby pre odhad parametra θ platilo: ( ˆ θ ) α P T T číslo α sa azýva hladia výzamosti a iterval: T,T sa azýva iterval spoľahlivosti

10 Pozámka kritické hodoty iektorých NP. Nech áhodá premeá X N(0,). Číslo k α pre ktoré : P ( X k α ) α sa azýva kritická hodota ormáleho rozdeleia N(0,). Nech áhodá premeá X t α (). Číslo t α () pre ktoré : P ( X t ( ) ) α α sa azýva kritická hodota studetovho rozdeleia t α ().

11 . Nech áhodá premeá X χ (). Číslo χ α() pre ktoré : ( ) ( X χ ) α α P sa azýva kritická hodota chí kvadrát rozdeleia χ (). Zdroj: tabuľky

12 Prehľad základých itervalových odhadov z ormáleho rozdeleia Nech ( ) µ,σ N X Parameter Iterval spoľahlivosti µ - σ je záme k k σ σ α α +, µ - σ je ezáme ( ) ( ) s t s t +, α α σ - µ je záme ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i, α α χ µ χ µ σ - µ je ezáme ( ) ( ) ( ) ( ), s s α χ α χ

13 Testovaie štatistických hypotéz. Štatistická hypotéza. Štatistický test 3. Testovacie kritérium 4. Chyby testov 5. Príklady paramertických testov 6. Príklady eparametrických testov

14 . Štatistická hypotéza určitý predpoklad o rozdeleí áhodých veličí a o hodotách ich parametrov hypotézy rozdeľujeme a: a) parametrické b) eparametrické

15 . Štatistický test Porovávame obvykle dve hypotézy: H 0 ulová hypotéza je hypotéza, ktorú obvykle testujeme H alteratíva hypotéza

16 Posudzovaie ulovej hypotézy Testovacia štatistika (kritérium) fukcia áhodého výberu T(,,..., ) staovíme hladiu výzamosti (spoľahlivosti) α pravdepodobosť, že hypotézu H 0 eoprávee zamieteme (0,;05; -obvykle malé) Možiu všetkých hodôt testovacej štatistiky pri daom α rozdelíme a:. Kritickú oblasť W- oblasť zamietutia hypotézy H 0 a prijatia alteratívej hypotézy H. Doplkový obor V oblasť prijatia hypotézy H 0

17 Pozámka: p-hodota postup, ktorý sa používa ajmä pri použití štatistického software p-hodota dosiahutá hladia testu, t.j. ajmešia hladia výzamosti, pri ktorej ešte H 0 zamietame ak p-hodota je mešia ež vopred staoveá α, ulovú hypotézu zamietame

18 Chyby testu Chyba. druhu chybé zamietutie hypotézy H 0 ( T ) α P W / H 0 Chyba. druhu chybé prijatie hypotézy H 0 -β sila testu ( T ) β P V / H ( T W / ) β P H

19 Neparametrické testy χ test zhody H 0 áhodý výber pochádza z predpokladaého rozdeleia s r odhadovaými parametrami H áhodý výber epochádza z predpokladaého rozdeleia s r odhadovaými parametrami Testovacia štatistika: T k i ( p ) i p k počet triedych itervalov i početosť i teho triedeho itervalu p i pravdepodobosť i teho triedeho itervalu i i

20 Kritická oblasť (oblasť zamietutia H 0 ) W ( k ) { T : T > χ } r α

21 Príklad Náhodý výber je daý tabuľkou početostí i i a hladie výzamosti 0,05 testujte hypotézu, že daý výber pochádza z Poissoovho rozdeleia Po(λ) Riešeie: vypočítame,330 odhad parametra λ mometovou metódou je: λ,330 potom r

22 i i i*i pi pi Ti , , , ,6758 9, , ,64 3,4686 0, , , , ,9444 0,5083 0, , , , ,0607,90378, , ,69 3,406 teda T 3,406 χ 0 (4),05 9,48778 W 9,48778; keďže: T W hypotézu ezamietame (prijímame)

23 χ test ezávislosti A i, B j -kvalitatíve zaky Kotigečá tabuľka A\B B B B s súčet A s. A s. A r r r rs r. súčet...s

24 p ij i j T W r s i j ( p ) ij p ij ij (( s )( ) ) { T : T χ } r α

25 Príklad Skúmala sa vzorka 60 študetov, ktorí sa zúčastili a skúške Zisťovalo sa, či sa pripravovali a skúšku. Výsledky prieskumu sú v asledujúcej kotigečej tabuľke: A\B učili sa B urobili skúšku 9 8 A eurobili skúšku 6 7 A eučili sa Na hladie výzamosti α0,05 testujte hypotézu, či príprava a skúšku mala vplyv a jej výsledok. B

26 Riešeie Testujeme hypotézu H 0 A, B sú ezávislé, oproti H A, B sú závislé V kotigečej tabuľke budeme zapisovať hodoty podľa asledujúcej schémy: ij p ij T ij kde: T ij ( p ) ij p ij ij

27 Zostrojíme príslušú tabuľku: A\B učili sa B urobili skúšku 9,58 A,549 eurobili 6 3,4 skúšku A 4,00 eučili sa B i. 8 5,4 3, ,58 5, j T,549+3,568+4,00+5,74 5,958 χ 3, W 3,84; (( )( )) 84 0,05 Teda T W Hypotézu zamietame!