Acta Fac. Paed. Univ. Tyrnaviensae,

Prepis

1 8 ZOBRAZENIA ZACHOVÁVAJÚCE VZDIALENOSŤ Marti Billich Katedra matematiky a fyziky, Pedagogická fakulta, Katolícka uiverzita Námestie A Hliku 56/, Ružomberok, SR MartiBillich@fedukusk Abstract: I the preset paper, some properties for a uit distace preservig mappig betwee Euclidea spaces with dimesio oe or betwee ormed vector spaces are discussed I particular, mappigs which preserve distaces are cosidered Key words: Normed vector spaces, distace-preservig mappigs, isometry Úvod Prvé dôležité výsledky, ktoré charakterizujú izometrie medzi dvomi reálymi vektorovými priestormi, pochádzajú od S Mazura a S Ulama z roku 93 Títo autori dokázali, že každá izometria jedého ormovaého reáleho vektorového priestoru a druhý je afié zobrazeie (viď [], str 44) V tomto čláku budeme študovať amiesto izometrií zobrazeia, ktoré spĺňajú dodatočé vlastosti (DOPP), resp (SDOPP) Ukážeme, že takéto zobrazeia emajú ďaleko k tomu, aby boli izometrie Izometrické zobrazeia Nech V je vektorový priestor ad poľom R reálych čísel a ϕ :V R je zobrazeie spĺňajúce asledujúce vlastosti (i) x V : ϕ ( = 0 x = 0 (ii) x V, λ R: ϕ( λ = λ ϕ( (iii) x, y, z V : ϕ ( x + ϕ( + ϕ( Potom ( V, ϕ) azývame reály ormovaý vektorový priestor Obvykle amiesto ϕ ( píšeme x a hovoríme, že reále číslo x je orma prvku x V Vzdialeosť d( x, prvkov x, y V je defiovaá vzťahom d( x, = x y Nech X, Y sú dva ormovaé reále vektorové priestory Zobrazeie f : X Y (X a Y) defiuje izometriu, ak pre ľubovoľé dva prvky x, y X platí f ( f ( = x y Vzdialeosť ρ > 0 sa azýva kotraktíva (ezväčšujúca, resp ohraičeá zhora) vzhľadom a zobrazeie f : X Y, ak platí: x y = ρ f ( f ( ρ Podobe, vzdialeosť ρ sa azýva extezíva (ezmešujúca, resp ohraičeá zdola) vzhľadom a zobrazeie f, ak platí erovosť f ( f ( ρ pre všetky x, y X pre ktoré je x y = ρ Hovoríme, že ezáporé číslo ρ je kozervatívou (zachovávajúcou sa) vzdialeosťou vzhľadom a daé zobrazeie f práve vtedy, keď pre všetky x, y X platí x y = ρ f ( f ( = ρ

2 9 tj ρ je súčase kotraktíva aj extezíva vzdialeosť Ak f je izometrické zobrazeie, potom každá vzdialeosť ρ > 0 je kozervatíva vzhľadom a toto zobrazeie, a aopak Na tomto mieste si možo položiť otázku: Je zobrazeie zachovávajúce ejakú vzdialeosť už izometria? V roku 970 si AD Alexadrov položil otázku, či trasformácia f : X X zachovávajúca vzdialeosť ρ > 0 je izometria, čo je záme ako problém Alexadrova V prípade, keď X je ormovaý vektorový priestor, možo bez ujmy a všeobecosti položiť ρ = (pozri [7]) Skôr ako Alexadrov, teto problém riešili F S Beckma a D A Quarles [], pre prípad koečo-rozmerého euklidovského priestoru X = R Ich výsledok je uvedeý v asledujúcej vete Veta Nech k > 0 je pevé reále číslo a f : R R ( N \ {}) je zobrazeie, pre ktoré platí x, y R : x y = k f ( f ( = k Potom f je zhodá (izometrická) trasformácia priestoru R, tj existuje ortogoála matica q Λ q Q = Μ Ο Μ q Λ q a ďalej reála matica a = ( a, Λ, a ), pričom pre všetky x R platí f ( = xq + a Táto veta eplatí pre prípad uvedeé v [5], [6] ) R (euklidovskej priamk, ako aj pre R (kotrapríklady sú 3 Zobrazeia zachovávajúce jedotkovú vzdialeosť Dva ormovaé reále vektorové priestory X a Y sú izometrické, ak existuje izometria X a Y Mazur a Ulam dokázali, že každá izometria f jedého ormovaého reáleho vektorového priestoru a druhý je ute afié zobrazeie, tj zobrazeie x f ( f (0) je lieáre Uvažujme asledujúce podmieky pre zobrazeie f : X Y (viď [5], [8]) (DOPP) x, y X : x y = f ( f ( = (SDOPP) x, y X : x y = f ( f ( = Rassias a Šemrl [8] pomocou defiície (SDOPP) Strog Distace Oe Preservig Property, dokázali asledujúcu vetu Veta Daé sú dva reále ormovaé vektorové priestory X a Y, z ktorých aspoň jede má dimeziu väčšiu ako jeda Ďalej ech f : X Y je surjektíve zobrazeie spĺňajuce (SDOPP) Potom f je ijektíve zobrazeie, pre ktoré platí x, y X : f ( f ( x y ()

3 0 Navyše, zobrazeie f zachováva vzdialeosť v oboch smeroch pre každé prirodzeé číslo, tj platí x, y X : x y = f ( f ( = Predpoklad, že jede z daých priestorov X a Y má dimeziu väčšiu ako jeda emožo vyechať Dôkazom toho je, ak budeme uvažovať o fukcii f : R R určeej predpisom x +, f ( = x, ak x je celé číslo ak x ie je celé číslo Takéto zobrazeie je bijektíve a zároveň zachováva ľubovoľú vzdialeosť pre všetky N, ale espĺňa erovosť () vety Ak jedotková vzdialeosť je kotraktíva vzhľadom a zobrazeie f : X Y títo autori dostávajú asledujúce tvrdeie (viď [8]) Veta 3 Nech X a Y sú reále ormovaé vektorové priestory, pričom jede z ich má dimeziu väčšiu ako jeda Ďalej ech f : X Y je zobrazeie, pre ktoré platí x, y X : f ( f ( x y () Naviac predpokladajme, že f je surjektíve zobrazeie spĺňajúce podmieku (SDOPP) Potom f je izometria Pre špeciály prípad, keď X =Y = R a vetu: f : R R je kotraktíve zobrazeie, dokážeme Veta 4 Nech f : R R je zobrazeie (kotraktíve), pre ktoré platí x, y X : f ( f ( x y (3) Ďalej ech zobrazeie f spĺňa podmieku (DOPP) Potom f je izometria Dôkaz Bez ujmy a všeobecosti môžeme predpokladať, že f ( 0) = 0 V opačom prípade pre ľubovoľé x R použijeme substitúciu f ( f (0) za f( Podľa predpokladu vety, zobrazeie f spĺňa (DOPP), odkiaľ dostaeme f () f (0) = 0 = f () = alebo f () = (a) Nech f ( ) = Pomocou matematickej idukcie ajskôr dokážeme, že pre všetky ezáporé celé čísla platí f ( ) = Idukčý predpoklad bude f ( m) = m pre ľubovoľé celé čísla m, pre ktoré 0 m < (kde je celé číslo väčšie ako jeda) Nakoľko platí f ( ) f ( ) = f ( ) ( ) =, potom f ( ) = alebo f ( ) = V prvom prípade, keď f ( ) =, položme ( ) + u = Vieme, že zobrazeie f je kotraktíve (spĺňa (3)), potom platí f ( u) f ( ) f ( ) f ( ) f ( u) f ( ) u =, odkiaľ dostaeme f ( u) f ( ) = / a f ( u) f ( ) = / Podľa idukčého predpokladu je f ( ) = a f ( ) =, a teda ( ) + ( ) f ( u) = Ak teraz položíme

4 ( ) + ( ) v =, tak aalogickými úvahami dostaeme ( ) + ( ) f ( v) f ( ) =, f ( v) f ( ) = a f ( v) = Pretože u v = a f ( u) f ( v) = 0, dostávame spor s predpokladom, že zobrazeie f spĺňa (DOPP) Potom pre ľubovoľé ezáporé celé číslo platí f ( ) = Podobe, f ( ) musí adobúdať hodotu V opačom prípade bude f ( ) = Z predpokladu kotraktívosti zobrazeia f dostaeme (pre x = / a y = 0, resp y = ), že f ( / ) f (0) = f ( / ) 0 / 0 = /, resp f ( / ) f ( ) = f ( / ) / ( ) = /, tj f ( / ) = / Rovako platí f ( / ) = /, čo je v spore s tým, že zobrazeie f spĺňa podmieku (DOPP) Z predchádzajúceho vidieť, že pomocou matematickej idukcie možo dokázať f ( ) = pre všetky záporé celé čísla rovako, ako pre ezáporé celé čísla Pre každé reále číslo x existuje celé číslo 0, že x < 0, 0 + > Nakoľko zobrazeie f je kotraktíve, podľa vyššie uvedeého dostaeme f ( f ( ) = x a f f ( + ) = x ( ) 0 0 ( Z tohto, a pomocou už dokázaého, že f ( ) = pre všetky celé čísla, vyplýva, že pre všetky x R platí f ( = x, a teda f je izometria (idetita) (b) Nech f ( ) = Položme g( = f ( pre všetky x R Potom zobrazeie g spĺňa (DOPP) a súčase platí erovosť (3), tj g( g( = ( f ( f ( ) = f ( f ( x y Podľa (a) je zobrazeie g izometria, pričom platí g ( = x pre všetky x R Odtiaľ už máme, že aj f ( je izometria, pričom pre káždé reále číslo x platí f ( = x Ak zobrazeie medzi dvomi reálymi ormovaými vektorovými priestormi bude zachovávať dve avzájom rôze vzdialeosti amiesto jedej, Bez a Beres [4] dokázali asledujúce tvrdeie Veta 5 Nech X a Y sú reále ormovaé vektorové priestory, pričom dimezia X je väčšia ako jeda a Y je ostro kovexý vektorový priestor Ďalej ech f : X Y je také zobrazeie, že pre všetky x, y X platí x y = ρ f ( f ( ρ x y = mρ f ( f ( mρ, kde m je kladé celé číslo väčšie ako jeda Potom f je izometria V prípade, že zobrazeie f zachováva dve vzdialeosti s eceločíselým podielom a X, Y sú reále ormovaé vektorové priestory, pričom Y je ostro kovexý a dimy, zostáva stále ezodpovedaé, či v takomto prípade musí byť zobrazeie f už izometriou

5 4 Záver V tomto čláku sme uviedli iba časť z možstva zaujímavých výsledkov, ktoré boli dosiahuté v posledom období Predmetom ďalšieho skúmaia môžu byť zobrazeia medzi reálymi vektorovými priestormi, ktoré amiesto zachovávaia jedej (apr jedotkovej) alebo dvoch vzdialeostí, zachovávajú tri avzájom rôze vzdialeosti Niekoľko ďalších ámetov a otázok ájdeme aj v prácach Th M Rassiasa [6] - [8] Spoločou črtou týchto prác je, že uvedeím možstva otvoreých problémov sa dá zvýšiť záujem čitateľa o daú oblasť Literatúra [] Beckma, FS - Quarles, DA: O isometries of Euclidea spaces Proc Amer Math Soc 4 (953), [] Bez, W : Geometrische Trasformatioe, BI Wisseschaftsverlag, Maheim-Wie- Zurich, 99 [3] Bez, W: Real Geometries, BI Wisseschaftsverlag, Maheim-Leipzig-Wie-Zurich, 994 [4] Bez, W - Beres, H: A cotributio to a theorem of Ulam ad Mazur, Aequatio Math 34 (987), 6-63 [5] Billich, M: Trasformatios preservig uit distace, Acta Fac PaedUiv Tyraviesis, Ser C, o 5 (00), -5 [6] Ciesielski, K - Rassias, ThM: O some properties of isometric mappigs, Facta Uiv Ser Math Iform 7 (99), 07-5 [7] Rassias, Th M: Properties of isometries ad aproximate isometries, i Recet progres i iequalities (ed GV Milovaovic), , Math Appl 430, Kluwer Acad Publ, Dordrecht, 988 [8] Rassias, Th M - Šemrl, P: O the Mazur-Ulam theorem ad the Aleksadrov problem for uit distace preservig mappigs, Proc Amer Math Soc 8 (993), [9] Rassias, Th M - Xiag, S: O mappigs with coservative distaces ad the Mazur- Ulam theorem, Uiv Beograd Publ Elektroteh Fak, Ser Mat (000), -8