55. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2013/2014 Riešenie úloh krajského kola kategórie A 5. februára Odporová sieť Riešenie: Úlohu m

Prepis

1 55 ročník Fyzikálnej olypiády v školsko roku 3/ iešenie úloh krjského kol ktegórie A 5 feruár Odporová sieť Úlohu ožno riešiť vicerýi etódi Prolé je v to, že nejde o jednoduchú sériovoprlelnú sieť, le zloženú sieť, v ktorej vetvy sú nvzájo pospájné zložitejšie, nielen sériovo prlelne Možné postupy: Vzhľdo n to, že elektrická sieť, ktorej odel je n or A-, je nielen geoetricky, le j elektricky syetrická, njvýhodnejši etód riešeni v toto prípde je nlýz potenciálu uzlov V tko prípde ožno v riešení uroiť zjednodušeni, ktoré sieť trnsforujú n jednoduchú Prito používe tieto zjednodušujúce úprvy: ) uzly s rovnký potenciálo ožno spojiť nkrátko, tzn do jedného uzl, ) vetvu edzi dvo uzli s rovnký potenciálo ožno vynechť V ooch prípdoch pôvodná zložená odifikovná jednoduchá sieť sú elektricky rovnké lektrickú sieť uprvujee trnsforáciou vetiev spojených do trojuholník n vetvy spojené do hviezdy leo opčne ieto trnsforácie ôžee použiť v riešení siete j v opčno pordí niekoľkokrát ento postup je výhodný v to, že ho ožno použiť n riešenie kždej siete, nielen syetrickej 3 Z ďlších postupo ožno uviesť npr riešenie ovodu poocou Kirchhoffových zákonov, etódou slučkových prúdov pod vediee len postup podľ etódy poocou potenciálnej nlýzy, riešiteli všk ôžu použiť j etódu leo inú etódu Pri správno riešení všetkýi postupi usi všk dospieť k rovnký výsledko v jednotlivých čstich úlohy ) Oznčíe dĺžku strny štvorc dĺžku spojnice uzl s ktorýkoľvek vrcholo štvorc = / Poto áe = V toto prípde si predstvujee zdroj npäti pripojený k uzlo A, C Vzhľdo n uzly A C je ovod syetrický podľ osi preto potenciál odov B, D je rovnký zly B,, D ožno spojiť nkrátko ez ovplyvneni elektrických veličín v ovode vzhľdo n uzly A C Priečki B D prechádz nulový prúd Po uvžovno prepojení uzlov B, D sú vetvy AB, AD A prlelné rovnko ko vetvy BC, DC C Výsledný odpor ( ), ody odkiľ dostnee Pre dné hodnoty 7,,5 odu

2 Vzhľdo n vyššie uvedený princíp potenciálnej nlýzy elektrického ovodu, ožno postupovť j tk, že njskôr priečne vetvy B D hypoteticky odstránie z ovodu (podľ odu ) v úvode) Dostnee rovnký výsledok 7, ) V tejto úlohe rozloženie potenciálu od hypotetického zdroj pripojeného k uzlo A, D je tké, že ody, F jú rovnký potenciál ožno ich spojiť nkrátko do jedného uzl ez vplyvu n ovod V toto prípde je B ovod syetrický vzhľdo n os F, or A Vetvy A A sú prlelné, rovnko j B BF Odpor AD je AD / Pre dné hodnoty AD 8,5 / +,5 odu V toto prípde ožno tiež, vzhľdo n potenciálovú syetriu, v ode priečne vetvy rozdeliť tk, že B C vetvy zostnú spolu, rovnko j vetvy A D, všk v ode s nvzájo rozdeli Ovod s tý zení, vzhľdo k uzlo A, D n jednoduchý sériovo prlelný c) Ak uvžujee zdroj pripojený k uzlo A, ovod ude elektricky syetrický vzhľdo n os A zly B D jú rovnký potenciál ôžee ich spojiť nkrátko Prlelné vetvy sú tk AB AD, B D, BC CD A / Pre dné hodnoty A 6,3 / ,5 odu d) Použijee odel z predchádzjúceho odu (ody B D spojené) Prúd zdroj = / A pojkou edzi uzli A prechádz prúd A = / Vetvou edzi uzli A BD prechádz prúd A(BD) = A en s delí do prlelných vetiev (BD) (BD)C Prúd druhou vetvou je hľdný prúd C Pre delič prúdu pltí C A(BD) / / / 3 Pre dné hodnoty C 6 A A 3 3 A D F +,5 odu C Or A

3 Mgnetická šošovk ) lektrické pole s intenzitou = / d udeľuje elektróno v sere osi zrýchlenie d veľkosťou = e / Preto pohy elektrónov v sere osi je rovnoerne zrýchlený Mgnetické pole pôsoí i n elektróny, ktoré jú zložku rýchlosti kolú n ser gnetickej indukcie, tzn Mgnetická sil je kolá n os neovplyvňuje pohy elektrónov v sere osi Mgnetická sil je kolá n zložku rýchlosti kolú n os, preto nevyvolá jej zenu (v prieete pohyu kolo n os ide o rovnoerný pohy), le ení ser pohyu elektrónov V prieete kolo n os ide o pohy po kružnici lektróny konjú zložený pohy, trjektóri elektrónov je skrutkovic s nrstjúci stúpní lektrón prejde stredo otvoru, k z čs pohyu sero k hornej elektróde vykoná v prieete kolo n os celočíselný násook uzvretých kružníc ) V prieete kolo n os pltí pre rovnováhu gnetickej odstredivej sily v e v B, kde v v sin 3 ody V hoogénno gneticko poli (B = konšt) je konštntný j poloer krivosti (pohy po kružnici) elektrónov uhlová rýchlosť pohyu elektrónov po kružnici v sin e B v e B Kružnic s zčín končí n osi sústvy, preto pre prechod otvoro usí elektrón prekonť v prieete kolo n os z čs pohyu k hornej elektróde celočíselný násook dĺžky celej kružnice Mxiáln vzdilenosť od osi počs pohyu poto je x v sin e B Pre podienku x = r dostnee pre uhol vzťh r e B sin Pre dné hodnoty veličín =,76 rd (, ) od v lektróny eitovné pod uhlo < prejdú otvoro pri kokoľvek kldno npätí >, pri ktoro dosihnu hornú elektródu V prípde záporného npäti < sú elektróny elektrický poľo edzi elektródi rzdené podienk dosihnuti hornej elektródy je >, pričo pltí e v, tzn e v Pre dné hodnoty, V Pre hodnoty npäti < elektróny nedosihnu hornú elektródu od c) Ak á prejsť elektrón stredo otvoru, usí z čs pohyu edzi elektródi v kolo prieete prekonť njenej jednu celú kružnicu Pohy v sere osi je rovnoerne zrýchlený so zčitočnou rýchlosťou v cos Pre vzdilenosť polohy elektrónu od dolnej elektródy áe

4 y e d v t cos t Pre posunutie y = d dostnee pre čs t pohyu edzi elektródi kvdrtickú rovnicu d v d t t cos, e e ktorej riešenie je d v e t cos e v cos Keďže čs t >, fyzikálny zysel á znienko + od Ay elektrón prešiel stredo otvoru pri iniálno npätí, usí z čs t prejsť jednu celú kružnicu, tzn t = k dostnee rovnicu e B d v e cos e cos v π Pre << rd je cos Po dosdení do predchádzjúcej rovnice dostnee e v π d Bv po uocnení n druhú úprve áe v d B e π Pre dné hodnoty 9 V ody π v d B d) er pohyu je dný sero vektor rýchlosti hol určíe zo vzťhu tg = v /v, kde v je priečn v pozdĺžn zložk rýchlosti pri prechode otvoro Veľkosť priečnej zložky rýchlosti elektrónu s počs pohyu neení pri prechode otvoro je v v sin Veľkosť pozdĺžnej zložky s ení v dôsledku zrýchleni Pri prechode otvoro je v e e v cos t v cos v v cos v Ak uvážie vzťhy tg v v cos tg v v, dostnee uhlové zväčšenie v cos z v e v cos e v Pre dné hodnoty veličín z, Pozn: V prípde > je zväčšenie z <, k je < <, je z > ody

5 3 isi g fotónov ) nergi fotónu súvisí s jeho hotnosťou vzťho f = c, z ktorého áe f Pre dné hodnoty,3 3 kg, čo je,65 % e od c Vlnová dĺžk fotónu je h h h c Pre dné hodnoty 5, od p c f f ) Pri eisii fotónu usi yť splnené zákony zchovni energie hynosti Pred eisiou sú hodnoty oidvoch veličín nulové Po eisii á fotón energiu f hynosť p f tó cínu kinetickú energiu k hynosť p, pričo zen vnútornej energie tóu je Zákony zchovni vyjdríe v tvre = p f p, = f + k od Po dosdení z jednotlivé veličiny dostnee h h c p p, od M Ak z rovníc vylúčie hynosť tóu, dostnee kvdrtickú rovnicu h h M ktorej riešenie je h, od Keďže >, fyzikálny zysel á i znienko +, tzn h od Odchýlk vlnovej dĺžky od Vzhľdo n to, že výrz x = /, 7 <<, použijee pri úprve čitteľ náhrdu odocniny trojčleno podľ zdni x (/ ) x (/ ) x x x x Vidíe, že náhrd dvojčleno y v toto prípde dl nulu, preto táto sustitúci y neol dosttočne presná V enovteli všk stčí náhrd dvojčleno x x x použití týchto proxiácií dostnee

6 od Pre dné hodnoty veličín /,7 7,5 odu Kinetická energi tóu po eisii fotónu k hc hc hc od Pre dné hodnoty k,5 ev (,7 J),5 odu eplotné vyžrovnie vlákn ) epelný výkon pltinového vlákn P = pri prechode elektrického prúdu s prejví zvýšení teploty vlákn Po vytvorení rovnováhy je elektrický príkon vlákn rovný výkonu žireni vychádzjúceho z povrchu vlákn, od kde = d l je osh povrchu vlákn, terodynická teplot povrchu vlákn terodynická teplot okoli Npätie =, odpor vlákn = l / p, osh kolého prierezu vlákn p = d / ezistivit vlákn tý i odpor vlákn s eni s teplotou priližne lineárne podľ vzťhu = [ + ( )] Po dosdení úprve, pre teplotu t tveni pltiny, pre prúd áe t t 3 π d 6,8 A 3 ody ) Pre rovnovážny stv pri teplote t dostnee rovnicu, ktorú ôžee uprviť npr n tvr ody ovnicu ožno riešiť nuericky Pre dné hodnoty á tvr C B A, kde A = 3 π d 8,3 - K, B = 3,9 3 K, C = A,7

7 Oznčíe ľvú strnu y hľdáe hodnotu, pri ktorej y = Použijee njprv hruý krok po K Ohrničenie intervlu riešeni á opčné znienko riešenie je ližšie k tej hrnici, ktorá je ližšie k nulovej hodnote Postupný zjeňovní intervlu riešeni určíe hľdnú hodnotu s ľuovoľnou presnosťou [K] , y -,967,999 -,66,9 -,63 3,78 5 V nšo prípde je dosttočne presný riešení rovnice hodnot = 39 K, resp t C 3 ody Pre túto hodnotu teploty dostnee npätie voltetr t t Pre dné hodnoty veličín 7,6 V od 55 ročník Fyzikálnej olypiády Úlohy krjského kol ktegórie A Autori úloh: Ľuoír Konrád (), vo Čáp ( ) ecenzi: Dniel Kluvnec, Ľuoír Much edkci: vo Čáp lovenská koisi fyzikálnej olypiády Vydl: VNA lovenský inštitút ládeže, Brtislv