Fakulta matematiky, fyziky a informatiky

Prepis

1 Fakula maemaiky, fyziky a informaiky Univerziy Komenského v Braislave DIPLOMOVÁ PRÁCA Braislava 8 Jana Bírová

2 Modely cien akcií so sochasickou volailiou. Analyická aproximácia NGARCH modelu. DIPLOMOVÁ PRÁCA Jana Bírová UNIVERZITA KOMENKÉHO BRATILAVA Fakula Maemaiky, Fyziky a Informaiky Kaedra Aplikovanej Maemaiky a Šaisiky Ekonomická a Finančná Maemaika Vedúca diplomovej práce: RNDr. Beáa ehlíková. BRATILAVA 8

3 Česne prehlasujem, že som diplomovú prácu Modely cien akcií so sochasickou volailiou vypracovala samosane. Všeku použiú lieraúru a pramene uvádzam v závere práce. Jana Bírová

4 Ďakujem vedúcej diplomovej práce RNDr. Beáe ehlíkovej za konzulácie, cenné rady počas práce, ale najmä za množsvo času, korý mi veľmi ochone počas celej vorby ejo práce venovala.

5 Absrak V diplomovej práci sa venujeme oceňovaniu opcií modelmi so sochasickou volailiou. Z exisujúcich prísupov sme si vybrali GARCH modely, a o konkréne aproximačnú formulu NGARCH modelu pre cenu európskej opcie. Na jednej srane výhodou ejo formuly je malý poče paramerov, koré je reba odhadnúť a na druhej sú vhodné vlasnosi nepozorovaeľnej volailiy. Táo formula zaiaľ nie je v praxi využívaná, avšak jej aplikácia na reálne dáa prináša uspokojivé výsledky. Formulu oesujeme na ýždňových hodnoách opcií pre rôzne časy, ceny akcie a expiračné ceny. Klúčové slová: sochasická volailia, GARCH modely, NGARCH modely

6 Obsah Úvod 6 Volailia 7. Volailia a jej ypické vlasnosi. 7. Modelovanie finančných procesov, Black cholesov a Meronov model. 8.3 ochasická volailia Implikovaná volailia Hisorická volailia... 9 Modelovanie volailiy. GARCH modely NGARCH modely....3 Analyická aproximácia NGARCH modelu Empirická analýza 9 3. Model so sochasickou volailiou Približné riešenie ceny opcie a odhad paramerov Experimenálne výsledky Iný posup pre odhad paramerov Experimenálne výsledky Záver 38 Lieraúra 39 5

7 Úvod Pri modelovaní finančných procesov nás hlavne zaujíma budúci vývoj ich cien a s ním spojené riziko. Na opísanie rizika sa používa pojem volailia. Čím je dané akívum viac rizikové, ým má vyššiu volailiu. V súčasnosi exisuje viacero prísupov, ako volailiu do modelu zahrnúť a koré jej vlasnosi má model zachyiť. Požiadavka časovo závislej volailiy sa sala jednou zo základných. Odozvou na úo požiadavku sú modely so sochasickou volailiou, koré v prípade oceňovania opcií vedú ku zovšeobecneniu Black-cholesovej formuly. Práca je rozdelená na ri časi. Prvá kapiola obsahuje základné informácie o volailie a sručný prehľad modelov časovo závislej volailiy. V druhej kapiole sa venujeme možnosi použiť na modelovanie diskréne paramerické GARCH modely. Dôvodom výberu je fak, že pre nelinárny GARCH model bola odvodená expliciná formula pre cenu európskej opcie. Túo formulu analyzujeme v reej kapiole. Opíšeme spôsob maemaického modelovania, korý sme použili pri empirickej analýze a spôsob odhadovania paramerov. Pri analýze najprv použijeme vygenerované dáa so známymi hodnoami paramerov a poom skuočné hodnoy cien akcií a opcií. 6

8 Kapiola Volailia Časový vývoj finančných akív je prirodzene nesály. Pri jeho analýze môžme sledovať rend vo vývoji spolu s náhodnými zmenami. Ekonomická eória financií a hlavne finančná maemaika sa snažia ieo náhodné zmeny zachyiť a vysveliť. Volailia na finančných rhoch opisuje práve ieo náhodné zmeny. Používa sa na kvaifikovanie rizika spojeného s budúcou cenou. Zachyávame ňou mieru pohybov cien akív. Čím sú zmeny cien daného akíva vyššie, ým rasie aj jeho volailia. Dané akívum je viac rizikové. Nech je variancia náhodnej premennej v čase. Jej šandarnú odchýlku označujeme pojmom volailia. Šandarne sa vyjadruje ako ročná hodnoa v %.. Volailia a jej ypické vlasnosi Vzťah medzi volailiou a výnosmi (cenami) finančných akív je predmeom rozsiahlych šúdií. V súčasnosi je všeobecne známe, že volailia sa s časom mení. A akiež sú známe a zdokumenované mnohé jej ypické vlasnosi, koré sú empiricky pozorovaeľné. To dalo podne k rozvoju modelov časovo závislej volailiy. i Volailiy clusering 7

9 Týmo pojmom označujeme zhlukovanie volailiy. Pre určié časové obdobia je volailia vyššia respekíve nižšia ako jej priemerné hodnoy a je pre ňu ypické, že sa ieo obdobia objavujú v zhlukoch. To znamená, že keď je volailia vysoká, je pravdepodobné, že vysoká aj osane. ýmo javom súvisí aj prervávanie - pomalé vymuznuie šokov z časového priebehu volailiy. Určiý čas rvá, kým sa volailia vrái ku svojej dlhodobej hodnoe. i Leverage effec Na finančných rhoch je časo pozorovaná negaívna korelácia medzi okamžiými výnosmi a zmenou volailiy. Teno jav sa medzi odbornou verejnosťou nazýva leverage effec. Zvyčajne sa opisuje pomocou dobrých a zlých správ. Zmena volailiy pri veľkej negaívnej zmene výnosu býva časo vyššia ako pri rovnako veľkej poziívnej zmene. Teda zlé správy majú väčší vplyv na jej priebeh. Leverage effec hovorí o asymerickej povahe v zhlukoch volailiy. i Mean-reversion Mean-revering procesy sú procesy, koré sa v dlhodobom časovom horizone blížia ku svojej priemernej hodnoe. Táo vlasnosť volailiy vyplýva zo zhlukovania. Volailia sa po období flukuácií priťahuje späť ku svojej dlhodobej priemernej hodnoe. Teda sa predpokladá, že áo dlhodobá úroveň exisuje.. Modelovanie finančných procesov, Black-cholesov a Meronov model i Modelovanie finančných procesov 8

10 Časový vývoj finančných akív je viacmenej nesály. Pri jeho analýze môžme sledovať rend vo vývoji spolu s náhodnými zmenami, hovoríme, že vývoj má sochasický charaker. Trend predsavuje zložku, korá hovorí o dlhodobom vývoji finančného akíva. Flukuačná zložka reprezenuje náhodné zmeny. ochasický proces je - paramerický sysém náhodných premenných { x( ) I},, kde I je inerval alebo diskréna množina indexov. Na jeho modelovanie používame sochasické diferenciálne rovnice, v korých je náhodnosť príomná prosrednícvom Wienerovho procesu. Pri modelovaní finančných procesov sa vo väčšine prípadov používajú ich výnosy a nie samoné ceny. Hlavným dôvodom je o, že výnosy majú výhodnejšie šaisické vlasnosi a preo sa s ich časovými radmi pracuje ľahšie ako s cenami. Budeme modelovať výnos plaí log( + x) x pre malé log Δ, korý sa približne rovná Δ Δ. Preože x. Ďalej budeme predpokladať, že sú o nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením. Preo môžme ieo výnosy modelovať ako prírasky Brownovho pohybu s drifom. Brownov pohyb je základným procesom, z korého sú odvodené procesy popisujúce vývoj na finančnom rhu. Brownov pohyb s drifom x() μ + w( ) sa skladá z deerminisickej zložky μ, nie je v nej žiadna náhodnosť, nazýva sa drif a z náhodnej zložky w( ), korá sa nazýva volailia. Prírasok na inervale dĺžky rozdelením N ( Δ, Δ) μ. Proces, korý sa riadi Δ je μ Δ + w( Δ), čo je náhodná premenná s log sa nazýva Δ μ + w() geomerický Brownov pohyb. ochasická diferenciálna rovnica pre vývoj ceny akcie má var d ( ) μ d + dw Ako bude vyzerať príslušné riešenie ceny ejo akcie? Odpoveď na úo oázku nám dáva Iôva lemma, korá je základnou veou pre sochasické procesy. 9

11 Iôva lemma : Nech f ( x, ) je hladká funkcia dvoch premenných, pričom premenná x je riešením sochasickej diferenciálnej rovnice dx ( ) μ ( x, ) d + ( x, ) dw( ) proces. Poom prvý diferenciál funkcie df f f f dx + x +, kde w je Wienerov je daný vzťahom f x ( x, ) d dôsledkom čoho funkcia f vyhovuje sochasickej diferenciálnej rovnici () df f f f f + μ ( x, ) + ( x, ) d + ( x ) dx x x,. x Riešenie spomínanej sochasickej diferenciálnej rovnice pre vývoj ceny akcie je exp μ + w i Black-cholesov a Meronov model Základným násrojom oceňovania Európskych opcií je Black-cholesova, Meronova formula. Meron odvodil cenu pre európsku kúpnu opciu (call opcia) využiím ekonomických a maemaických predpokladov. Hlavná myšlienka spočíva v konšrukcii zabezpečeného porfólia, korého hodnoa nezávisí od hodnoy jednolivých zložiek. Porfólio sa skladá z bezrizikových dlhopisov, akcií a opcií na ieo akcie. Pred sraou na burze je zabezpečené pomocou vlasnenia akcií a opcií zároveň. Nákup/predaj zložiek porfólia je realizovaný nákupom/predajom inej zložky porfólia. Záporné množsvo daného akíva znamená, že oo akívum dlžíme. Zaisené porfólio zarobí len bezrizikovú úrokovú mieru r. Ďalej sa predpokladá, že obchodovanie je spojié v ľubovoľných množsvách, neexisujú ransakčné náklady a úroková miera je konšanná. Maemaické predpoklady: igeomerický Brownov pohyb d μ d + dw( ) Viď Melicherčík, Olšárová (5), Ševčovič ()

12 V V V dv + s d + iiôva lemma (, ) d Ekonomické predpoklady: inulový ras invesícií Q + Q V + B isamofinancovaeľnosť porfólia dq + VdQ + B s s v δ v iriziková neuralia/ no arbirage dπ rπd pojením predpokladov dosávame d ( Q + Q V + B) d s v dq s + Q d + VdQ + Q dv + db s v v ( dq + VdQ + B) + Q d + Q dv + rbd s v δ s v ( Q + VQ ) Q d + Q dv r d s Q Q s v v Qs d + dv r + V d Qv Δd + dv r s ( V Δ ) d v V Δd + + V V + d d r ( V Δ ) d V + V r V ( V Δ) d + Δ d V Δ V + V V rv d známu formulu pre európsku call opciu : V + V V + r rv

13 V (, T ) max( E,) Prvá rovnica je parabolická diferenciálna rovnica, korú vieme riešiť pomocou Greenovej funkcie. Druhá rovnica predsavuje koncovú podmienku v čase expirácie. Vyriešením dosaneme cenu pre call opciu : V (, ) N( d ) E ( r( T ) ) N( d ) d d exp r + r ( T ) T ( T ) T + ln + ln E E Zo vzťahu medzi kúpnou a predajnou opciou (pu opcia) je odvodená formula pre pu opciu. Teno vzťah voláme pu-call paria. Vyplýva z vyvorenia dvoch sraégií, koré majú rovnakú hodnou.. sraégia je založená na kúpe jednej akcie a pu opcie na úo akciu.. sraégia spočíva v invesovaní expiračnej ceny do bezrizikového finančného násroja a nákupe call opcie na ú isú akciu. Naše porfólio má hodnou exp opciu. ( D( T ) ) + pu call + E exp( r( T ) ). Dosadením získame vzťah pre pu V (, ) E exp( r( T ) ) N( d ) N( d ) Ďalej budeme pod cenou opcie myslieť cenu kúpnej opcie európskeho ypu. Black-cholesova formula predpokladá konšannú volailiu. V súčasnosi je všeobecne známe, že volailia sa s časom mení. Teno poznaok bol empiricky dokázaný a o viedlo k rozvoju modelov časovo závislej volailiy.

14 .3 ochasická volailia uppose we use he sandar deviaion of possible fuure reurns on a sock as a measure of i s volailiy. Is i reasonable o ake ha volailiy as consan over ime? I hink no. Fisher Black Modely so sochasickou volailiou vedú ku zovšeobecneniu Black-cholesovej formuly. Volailia je v nich časovo závislá a opisujeme ju pomocou nepozorovaeľného náhodného procesu. Tieo modely sú opisané dvoma premennými. Prvou z nich je výnos (cena) akíva, korá je pozorovaeľná a druhou je nepozorovaeľná volailia. Obidve premenné obsahujú náhodné zložky, koré sú navzájom korelované. Tým, že sa pripusí nenulová korelácia, je možné zachyiť známy leverage effec. ipojié modely sochasickej volailiy Náhodný vývoj ceny akcie budeme modelovať ako funkciu času. Predpokladáme, že cena akcie sleduje sochasickú diferenciálnu rovnicu v Iôvej forme. ( ) d μ d + dw (.) Parameer μ, drif, v deerminisickej zložke rovnice určuje rend vo vývoji. w ( ) je šandardný Wienerov proces, korý predsavuje náhodnú zložku vývoja ceny akcie. Ďalej predpokladáme, že volailia je funkcia sochasického procesu y ( ), korý vieme vyjadriť diferenciálnou rovnicou akiež v Iôvej forme. ( m Y ) d + f ( Y ) dw ( ) dy α (.) 3

15 g( Y ) Rovnica (.) predsavuje všeobecnú riedu zv. mean-revering procesov pre sochasickú volailiu. Riešenie y sa v limie blíži k srednej hodnoe m s rýchlosťou približovania α. Tejo vlasnosi hovoríme meanreversion. α ( m Y ) je drif. Ak je hodnoa y v niakom čase väčšia ako m, ak riešenie v omo bode klesá. Naopak, ak je hodnoa y menšia ako m, ak riešenie v omo bode rasie. α ovplyvňuje rýchlosť súpania respekíve klesania. ( Y ) od času aj od hodnoy y. O hodnoe f je koeficien rozpylu, vo všeobecnosi môže závisieť hovoríme ako o pamäi. Ako rýchlo, α respekíve pomaly vymiznú z časového priebehu volailiy šoky, hodnoy výrazne rozdielne od priemerných. Wienerov proces w ( ) je korelovaný s ( ) w. Doeraz bolo navrhnuých množsvo rôznych modelov sochasickej volailiy podľa jej požadovaných vlasnosí. Základným problémom je nájsť model, korý sa približuje realie a odhadnúť jeho paramere. Všeobecne môžme špecifikovať: -výber nepozorovaeľnej premennej (volailia výnosov, log-volailia výnosov log ( ) a iné) -rozdelenie náhodnej zložky (normálne rozdelenie, -rozdelenie a iné) -výber funkcií pre drif a volailiu -zahrnúť do modelu skoky a ďaľšie vysveľujúce premenné V závislosi od výberu funkcií g a f, rozdeľujeme modely sochasickej volailiy na 4 základné podriedy. Líšia sa vo voľbe funkcie pre drif a volailiu. Náhodné zložky majú normálne rozdelenie. V GARCH modeloch sa využíva známy Hesonov model. Ornsein Uhlenbeck model, kde g ( Y ) Y, ( Y ) k f, k je kladná konšana Pre porovnanie efekívnosi ýcho modelov pozri Buchbinder, Chisilin (6) 4

16 ( m ) d + kdw ( ) d α Exponenciálny Ornsein Uhlenbeck model, kde g( Y ) exp( Y ) kladná konšana k + Heson model, kde g ( Y ) Y, ( Y ) k Y α( ln m) d kdw ( ) d ( ) k, f Y, k je f,k je kladná konšana k k ( m ) d + dw () d α Hull Whie model, kde g ( Y ) Y, ( Y ) ky 4 f,k je kladná konšana k k ( m ) d dw () α + 4 d Tieo modely určujú volailiu ako Markovov proces. Teda budúca hodnoa volailiy závisí len od súčasnej hodnoy, a nie od minulých hodnô. Vyplýva o z predpokladu, že sochasický proces y(), vieme vyjadriť diferenciálnou rovnicou v Iôvej forme. Diferenciálne rovnice v Iô vare majú Markovove vlasnosi. Je o v súlade so slabou formou rhovej efekívnosi - iba súčasné ceny akív by mali vyvárať ich budúce hodnoy 3. idiskréne modely sochasickej volailiy Na simuláciu procesov používame diskréne prípady modelov sochasickej volailiy. Je o nevyhnuné v prípade, ak nemáme expliciné riešenie danej diferenciálnej rovnice. V diskrénom prípade volailia závisí na jej minulých hodnoách, úo závislosť určuje voľba funkcie g( Y ) diferenciami. Z (.) dosávame. Procesy simulujeme napríklad ak, že diferenciály nahradíme ΔY α ( m Y ) Δ + f ( Y ) Δw 3 Viď Ševčovič () 5

17 Je nuné zvoliť začiaočnú hodnou procesu a nasledujúce hodnoy generujeme podľa predpisu. Kvôli aproximácii normálnym rozdelením sa v niekorých modeloch môžme dosať do záporných hodnô. Voľbou funkcie g ( Y ) sa dá zabezpečiť nezápornosť procesu. Napríklad pre ( Y ) k Y g, kde k je kladná konšana, sa proces ihneď vrái do kladných hodnô, ak je v niekorom okamihu hodnoa Y nulová. Obr..3 Časový priebeh volailiy v modeloch Ornsein-Uhlenback, exponenciálny Ornsein-Uhlenback, Heson a Hull-Whie. Porovnanie pre paramere zvolené ak, aby sa volailia v limie blížila k hodnoe ročnej volailiy, približne,5 a spoločný wienerov proces..4 Implikovaná volailia 6

18 Ako pre model so sochasickou volailiou približne určiť začiaočnú aproximáciu volailiy z cien akcií a opcií? Jednoduchou možnosťou je, že akuálna volailia sa aproximuje implikovanou volailiou z a-he money (expiračná cena je blízka cene akcie), korá má kráky čas do splanosi. Modelovanie volailiy prísupom implikovanej volailiy predpokladá, že sa volailia v čase nemení, je konšanná. Teno predpoklad nie je správny, avšak mi eno prísup budeme používať len na odhad začiaočnej aproximácie. * Nech opcia má oceňovací vzorec daný funkciou V (, E,,, r). Nech, E sú dané a nech je daná hodnoa V opcie s expiračnou cenou E v čase T. Poom jediné kladné číslo * * > riešiace implicinú rovnicu V V (, E,,, r) (.3) nazývame IMPLIKOVANOU VOLATILITOU akcie vypočíanej na základe uvažovanej opcie. Implikovaná volailia je hodnoa, korá rieši Black-cholesovu rovnicu vedy, keď * všeky osané paramere sú známe. Teda hľadáme riešenie (, ), koré rieši (.3). Rovnovážna cena opcie z Black-cholesovej formuly je funkcia 5 paramerov :, E, r, τ a. igma je hodnoa okamžiej volailiy, korá je daná rhom. Všeky paramere okrem sú pozorovaeľné. Implikovanú volailiu nevieme explicine vyráať z Black- cholesovej formuly dosadením, E, r, τ a V. Preo sa na určenie implikovanej volailiy používajú numerické meódy. Rovnica (.3) má kladné riešenie * ak je rozumne ocenená. Nech, E, r a τ sú dané. Kedy exisuje? Závislosť ceny opcie od volailiy na (, ) * len vedy, V je rasúca >. o zvyšujúcim sa rizikom rasie aj cena opcie. Akcie s vyššou volailiou majú väčšie riziko zmeny ceny, či už smerom nahor alebo nadol. Pre liminé prípady plaí: limv call (, E,,, r) max( E exp( r( T ) ), ) (, E,,, r) [ N( d ) E ( r( T ) ) N( d )] limv call exp 7

19 * Ak je cena opcie V z inervalu E exp( r( T ) ),, ak exisuje. Z oho, že ( ) * (.3) je na, rasúca funkcia volailiy vyplýva, že exisuje práve jedna. Bežne využívaný ieračný algorimus je algorimus Newon-Raphson. Nevýhoda oho algorimu je, že pri nevhodne zvolenej prvej ierácii, riešenie, koré exisuje, môžeme prehliadnuť. Ieračná meóda: Newon-Raphson ieračná schéma má var V ( n ) V V ( ) marke n+ n (.4) / n kde n je n-á ierácia pre imp. (.4) môžeme prepísať nasledovne: n+ n imp imp ( ) V ( ) n imp ( ) n * ( ) / V n imp V n / / V V n (.5) kde ( ; ) *. Pod podmienkou, že. ierácia je vybraná správne, limia n n imp n konverguje k jedinému riešeniu. Z (.5) vyplýva podmienka pre n > : imp n+ < n imp imp < (.6) Pri ejo podmienke je rad { n } monoónny, ohraničený a konverguje k jedinému riešeniu imp konvergencie. Ak * pre každé n { }.. Newon-Raphson meóda je populárna kvôli vlasnosi kvadraickej n * exisuje, poom exisuje ovorený inerval ( b) a,, aký že ( a b) n, 8

20 Prvá ierácia: Prvú ieráciu porebujeme určiť ak, aby parila do inervalu Koehler navrhli vybrať. ieráciu akú, korá maximalizuje máme: V / ( ) ( a, b). Manaser a. Pre akéo riešenie ln + rτ (.7) τ E Ak * <, derivácia ceny je rasúca funkcia na inervale ( *, ) a opačne. Ak <, derivácia ceny je klesajúca funkcia na inervale ( *, ). Preo je funkcia ceny * na omo inervale rýdzokonvexná respekíve rýdzokonkávna. V prvom prípade * * dosávame rad K a v druhom K. Pri podmienke (.4) je rad { monoónny, ohraničený a eda konverguje k jedinému riešeniu imp. n}.5 Hisorická volailia Modelovanie volailiy prísupom hisorickej volailiy akiež predpokladá, že sa volailia v čase nemení, je konšanná. Teno prísup budeme iež používať na odhad začiaočnej aproximácie. Meóda hisorickej volailiy je jednoducho aplikovaeľná, v praxi je kvôli ejo svojej vlasnosi časo využívaná. Vo finančnom svee sa volailia väčšinou odhaduje ako šandarná odchýlka zmeny hodnoy finančného akíva za určié časové obdobie. 9

21 Predpokladom pre dobrý odhad je správne zvolenie rozsahu hisorických pozorovaní. Pri malom poče dá môžme získať výsledok ovplyvnení krákodobými flukuáciami. A naopak pri veľkom rozsahu dá náš výsledok ovplyvňujú príliš vzdialené pozorovania. Nech je cena akíva. Z predpokladov Black-cholesovho modelu vyplýva, že logarimy výnosov r log ( / - ) sú nezávislé a majú normálne rozdelenie. Ak je dĺžka časového inervalu (, ) rovná, ak variancia r je. Varianciu odhadneme nasledovne Varr N N i _ r r _ r N N r i Odhad paramera poom bude Var r Δ Obr..5 Hisorická volailia akcie MFT Pri zvolenom mesačnom rozsahu hisorických denných dá na obrázku.5 môžme vidieť výrazné rozdiely od hodnoy získanej z denných dá dĺžky jedného roka.

22 Kapiola Modelovanie volailiy Isý čas vo finančnom svee prevládal názor, že volailia je konšanná. Teno názor je už dávno minulosťou a empiricky bolo dokázané, že volailia sa v čase mení 4. Odvedy bolo navrhnuých mnoho modelov, koré sa snažia zachyiť sochasickú povahu volailiy. Preože volailiu nie je možné pozorovať priamo, modely spojiej volailiy nie sú jednoducho implemenovaeľné. Jednou z možnosí je použiť diskréne paramerické modely. Medzi ieo paria GARCH modely. Navyše pre nelineárny GARCH model bola odvodená expliciná formula pre cenu európskej opcie.. GARCH modely V súčasnosi exisuje množsvo ekonomerických modelov, koré sa snažia vysveľiť časovo závislú volailiu. Jedným z možných prísupov sú GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) modely, koré vysveľujú volailiu ako funkciu jej predchádzajúcich pozorovaní a cien akíva. Variabilia vysveľovanej premennej sa sysemaicky mení so zmenami vysveľujúcej premennej. Vyvinuli sa z auoregresných ARCH modelov, koré volailiu vyjadrujú len ako funkciu 4 Viď Ball, Torous

23 predchádzajúcich cien akíva. Tvar modelu priraďuje väčšiu váhu pozorovaniam, koré sú bližšie k súčasnosi. Výhodou ýcho modelov je, že eno var dokáže zachyiť niekoré z vlasnosí volailiy. A o hlavne zhlukovanie (Volailiy clusering), a jeho následky ako prervávanie a pomalé vymuznuie šokov z priebehu. Auormi ejo riedy modelov sú Engle a Bollerslev 5. Všeobecný var modelu GARCH (p, q) je ln c + p q i Φ i ln + i i j p q α iε i + i j ε h ω + β h j j j j + ε GARCH model sa skladá vždy z dvoch rovníc. Prvá rovnica vysveľuje vývoj výnosov a druhá je rovnicou pre časovo meniacu sa volailiu ( ) h. Paramere α, β + predsavujú pamäť procesu. Pričom parameer α odráža okamžiú reakciu na nové informácie a parameer β vyjadruje prervávanie respekíve vymyznuie informácií z procesu. Medzi najpopulárnejší a aj najjednoduchší parí GARCH (,). Teno vysveľuje volailiu pomocou najnovšieho pozorovania. GARCH modely sú ľahko použieľné a implemenovaeľné. Umožňujú určiť volailiu priamo z hisorických výnosov akíva. Ale ich nedosakom je,že nie sú schopné zachyiť niekoré čry časovo meniacej sa volailiy. A o hlavne leverage effec a akiež ťažké chvosy disribučného rozdelenia.. NGARCH modely 5 Viď Bollerslev (99)

24 Z jednoduchých GARCH modelov sa v poslednom období vyvinulo množsvo rôznych ypov, koré sa snažia zachyiť ypické vlasnosi volailiy. Jedným z nich sú NGARCH modely. Boli vyvinué špeciálne na zachyenie negaívnej korelácie medzi okamžiými výnosmi a zmenou volailiy. Pre jednoduchosť používame NGARCH(,). Nech h je podmienená variancia log-výnosov na inervale [, + Δ], v našom prípade +Δ o bude jeden deň. Označme h. Všeobecný nelineárny podmienený + heeroskedasický asymerický model predpokladá, že logarimy výnosov cien akcií a časovo meniaca sa volailia sledujú dynamický proces v vare: ln (.) +Δ rf + δ +Δ h +Δ + h +Δ ε +Δ ( h,, s ) h + Δ f s ε s ; kde rf je bezriziková úroková miera, δ + Δ je prémia za riziko a + Δ ε je šandarná normálna náhodná premenná. Nelineariu v modely obsahuje druhá rovnica. Za účelom podmienky no-arbirage sa dynamický proces prevedie do rizikovo neurálnej miery 6. ln h +Δ rf h +Δ + h +Δ v+δ δ s f hs, vs, s hs + Δ ; kde v +Δ je šandarná normálna náhodná premenná. Od voľby funkcie f ( h,, s ;) s ε s závisia vlasnosi konkréneho NGARCH modelu. K najznámejším a aj najviac využívaním paria nasledovné dva ypy 7. Viac si povieme o Engle a Ng modely, z korého vychádza analyická aproximácia NGARCH modelu. 6 Prevod do rizikovo neurálnej miery môžme uskuočniť, len za vhodných podmienok. Viď Rubinsein (976) 7 Empirické porovnanie ýcho dvoch modelov ponúkajú vo svojej práci Hsieh, Richken () 3

25 Engle a Ng (993) a akiež Duan (995) Dynamický sysém je definovaný: δ h λ h + + ( h, ε, s ) β + β h + β h ( ε γ ) + f s s ; v rizikovo neurálnej miere položíme v ε + λ, ω γ + λ ln rf h + + h + v+ + h ( v ) + β + βh + β h ω Kvôli zaiseniu kladnej volailiy je porebné, aby paramere β, β, β boli nezáporné. Z druhej rovnosi vyplýva, že prémia za riziko má vplyv na volailiu, aj keď riziko je lokálne neuralizované v prvej rovnosi. Teda cena opcie daná NGARCH modelom závisí od rizika. Položením β, β, β zaisíme nezápornosť a sacionariu procesu. Pre očakávaný výnos a varianciu výnosov založených na informácii v čase plaí: E r + λ h + ln f Var ln h h Keďže máme zabezpečenú sacionariu h môžme zadefinovať nepodmienenú varianciu E [ h ] + β β β ( ω ) 4

26 Výraz β ( ω ) + β určuje prervávanie-vymyznuie šokov z modelu. Ak sa blíži k hodnoe jedna, šoky sa z modelu vyrácajú pomaly. Pre malé hodnoy ( ( ω ) + β ) β šoky vymyznú rýchlejšie. << Heson a Nandi Dynamický sysém je definovaný: δ + h λ + h + ( h ε, s ) β + β h + β ( ε γ h ) + f s, s ; Teno model má dva jednoduché predpoklady. Prvým predpokladom je, že logarimy výnosov cien akcií sledujú dynamický proces (.). Druhý hovorí o predpoklade, že hodnoa call opcie jednu periódu do expirácie spĺňa B- formulu. v rizikovo neurálnej miere položíme v ε + λ, ω γ + λ ln rf h + + h + v+ + h β + β h + β ( v ω h ) + Model je zvolený ak, aby v prípade, keď sa volailia rovná nule, zarobil len bezrizikovú úrokovú mieru. V prípade, keď sa paramere blížia k nule, model je ekvivalenný s Black- cholesovým modelom. Obidva modely majú 4 paramere, koré je porebné odhadnúť spolu s počiaočnou hodnoou h. λ je odmena za invesovanie. Parameer γ odráža negaívnu koreláciu medzi výnosmi a zmenou volailiy. Túo zachyíme položením β, γ. 5

27 Cov ( h ln( )) β γ 3 +, + h γ určuje asymerickosť (šikmosť) logarimov výnosov. Pri vysoko poziívnych šokoch má odlišný vplyv na volailiu ako pri rovnako vysokých negaívnych šokoch. Položením γ dosaneme GARCH model..3 Analyická aproximácia NGARCH modelu Nech h je podmienená variancia log-výnosov na inervale [, + Δ]. Označme +Δ h +.V ďaľšom pod volailiou budeme rozumieť podmienenú varianciu. ln λ (.) +Δ rf + h h + h v+δ ( v ) h (.3) + Δ β + βh + β h + Δ γ Nech cena akcie sleduje dynamický proces (.) a podmienená variancia h sleduje proces (.3). Podmienený variančný proces h a okamžié výnosy sú korelované. Pri oceňovaní opcií porebujeme rizikovo neurálnu mieru pre okamžiú cenu. Vieme, že je o pri niakej pravdepodobnosnej miere a prevedieme o na rizikovo neurálnu mieru 8. ln (.4) +Δ rf h + h u+δ * ( u ) h (.5) + Δ β + βh + β h + Δ γ 8 Prevod do rizikovo neurálnej miery môžme uskuočniť, len za vhodných podmienok. Viď Rubinsein (976) 6

28 u v + λ predsavuje podmienku na informáciu v čase, je o normálna náhodná + Δ + Δ premenná rešpekujúca rizikovo neurálnu mieru a * γ γ + λ. Zodpovedajúci spojiý sysém dosaneme ak, že z normálnych rozdelení spravíme rozdiely. Z ýcho rozdelení v liminom prípade dosaneme Wienerov proces 9. ln + (.6) d rf h d h dw, * ( β h ) d β γ h dw, + h dw dh, β (.7) * kde β β ( + γ ) a ( w ) Taylor formuly dosávame w,,, je dvojrozmerný Brownov pohyb. Použiím Iô- h ln (.8) +Δ rf h Δ + h z+δ * ( h ) Δ β γ h z + β h ( z ) + Δ h +Δ + Δ Δ β (.9) kde z je nezávislá normálna náhodná premenná na (,Δ) + Δ * N. Nech f predsavuje funkciu ceny akíva pre rizikovo neurálnu mieru procesu (.6), (.7). V rizikovo neurálnej miere je generujúca funkcia momenová funkcia. f * * ( ) E i [ ] Čiže v bode je o sredná hodnoa na akú mocninu, v akom bode o počíam. V ďalšom odvodení auori využili sromovú vlasnosť podmieneného očakávania a následný prechod k limie pre odvodenie aproximačnej formuly. Poom modelovali porfólio podobným spôsobom ako Black, choles. T ( ) Tvrdenie : 9 Pre podrobnejšie odvodenie viď Foser a Nelson (994) Pre podrobnejšie odvidenie viď Youngsoo Choi (4) 7

29 Ak rizikovo neurálna miera spoových cien spĺňa rovnosi (.4), (.5), poom cenu Európskej call opcie v čase s expiračnou cenou E a expiračným časom T môžme aproximovať vzťahom ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp /,, d N T r E d N T h V V kde ( ) ( ) ( ) T T h T g + exp β β ( ) * γ β β + ( ) T E T r d g g + + ln, ( ) T E T r d g g + ln Rozdiel od Black-cholesovej formuly je v om, že máme jednu rovnicu navyše s časovo meniacou sa volailiou. Formula určuje hodnoy cien opcií ako funkciu súčasnej ceny akcie a volailiy zloženej priamo z hisorických cien. 8

30 Kapiola 3 Empirická analýza V ejo kapiole opíšeme spôsob maemaického modelovania, korý sme použili pri empirickej analýze formuly z vrdenia a spôsob odhadovania paramerov. Pri analýze najprv použijeme vygenerované dáa so známymi hodnoami paramerov a poom skuočné hodnoy cien akcií a opcií. Pri kalibrácii modelu použijeme opcie s rôznymi cenami a časmi akcie Microsof. Ďalej nasledujú empirické výsledky, koré sme dosiahli. 3. Model so sochasickou volailiou V prvej časi budeme na esovanie modelu používať vygenerované dáa podľa NGARCH 6 modelu Engle a Ng so známymi hodnoami paramerov, λ, r, β *, β.9, 4 β.. Počiaočné hodnoy pre variačný proces a cenu akcie sú, h.96. h zodpovedá hodnoe ročnej volailiy približne,. Očakávaný vývoj výnosov akcie a variančný proces budeme simulovať diferenčnými rovnicami v vare ekvivalennom pre Engle a Ng model ln +Δ r f h d + h w h + Δ h + * ( β h ) d β γ h dw + β h dw 9

31 Obr.3. Časový priebeh vývoja ceny akcie Obr. 3. Časový priebeh vývoja ceny opcie Pre variančný proces plaí : * E, D [( β γ ) h + β h ]d Variačný proces môžme prepísať do varu s jedným wienerovým procesom. dh * ( β h ) d + + γ β h dw3 4 3

32 Teno proces pre volailiu sa dá zaradiť do riedy Hull-Whie procesov. Log-variancia výnosov má var h + a rozdelenie šokov je normálne. Drif paramere β a predpokladáme, že sú konšany a zachyávajú mean-revering povahu procesu. V liminom prípade sa variančný proces blíži k hodnoe β. ( lim h β ) 3. Približné riešenie ceny opcie a odhad paramerov Na výpoče cien opcií budeme používať explicinú formulu z vrdenia. β β g ( T ) + h exp ( ( T ) ) T Narozdiel od NGARCH modelu, obsahuje dva neznáme paramere β,, a nie šyri. Tieo je porebné odhadnúť, pričom vieme, že podiel β *365 by sa mal blížiť k ročnej hodnoe volailiy. Naša cieľová funkcia minimalizuje sumu švorcov odchýliek medzi eoreickou cenou opcie vypočíanej na základe vrdenia, označujeme V, a skuočnou cenou opcie, označujeme V. min E n n ( β, ) ε i ( V, i V, i ) i i Derivácie minimalizačnej funkcie podľa paramerov sú varu: E i β ( β, ) V β V + β ( V V ), i, i 3

33 i ( ) ( ) i i V V V V V E,,, + β β β β i ( ) ( ),, β β β β E E i ( ) ( ) i i V V V V E,,, + β Maica druhých derivácií je symerická. Obr. 3. Závislosť minimalizačnej funkcie od paramerov β, 3.3 Experimenálne výsledky Celá derivácia minimalizačnej funkcie je uvedená v prílohe 3

34 Tesovanie sme začali so známymi hodnoami paramerov. Do minimalizačnej funkcie sme dosadili hodnoy blízke bodom, ku korým by mala funkcia konvergovať. Reálne sa opimalizácia akýmo spôsobom nedá robiť, avšak aj napriek dobre zvoleným hodnoám sme nezískali uspokojivé výsledky. Výsledky pre rôzne opimalizačné meódy : i. gradienna meóda: nekonverguje i Levenberg-Marquardova meóda: konverguje, ale k inému bodu ako je opimálne riešenie (β,6475, 9845,) i Newonova meóda: konverguje k inému bodu, ako je opimálne riešenie a k inému bodu ako predchádzajúca meóda (β,47, 35,987) i Kvazinewonovská meóda: nekonverguje i implexová meóda: nekonverguje Podobné výsledky sme získali aj pri nahradení presnej hodnoy variačného procesu implikovanou volailiou. Preo bolo reba zvoliť iný posup, ako odhadnúť paramere modelu, respekíve minimalizovať funkciu dvoch premenných. 3.4 Iný posup pre odhad paramerov Oimalizácia minimalizačnej funkcie vzhľadom na obidva paramere nefunguje. V druhom posupe si najprv určíme, aká má byť približná hodnoa limiy variačného procesu. Jej počiaočnú hodnou určíme ako minimum švorcových chýb medzi skuočnou cenou a cenou danou Black-cholesovou formulou. V prvom kroku odhadneme liminú hodnou volailiy a hodnou. Prvé šyri meódy sú súčasťou programu Mahemaica, piaa je z programu Malab 33

35 β lim min E n n ( ) ε i ( V, i VBlackcholes, i ) i i β β lim * β β exp g lim ( T ) + h lim ( ( T ) ) T V druhom kroku budeme hýbať s ouo hodnoou limiy ak, aby sme získali minimum pôvodnej minimalizačnej funkcie. 3.5 Experimenálne výsledky Najprv sme určili limiu volaily β /. Opimálna hodnoa konšannej volailiy pre reálne dáa vypočíaná pomocou Black-cholesovej formuly nám vyšla,8989. Pre úo je zodpovedajúca limia, Priebeh účelovej funkcie, v korej berieme β, aké, že β / je limia volailiy je znázornený na obrázku 3.5. Je vidieť, že sme schopný opimalizovať dané paramere. iopimálna účelová funkcia v Black-cholesovi dosiahla hodnou,4887. Pri rozsahu dá 7 je rozdiel medzi skuočnou cenou a modelovanou cennou,3447 dolára na jednu opciu. iopimálna účelová funkcia daná aproximačnou formulou dosiahla hodnou,854, eda na jednu opciu pripadá rozdiel medzi skuočnou cenou a modelovanou cenou,575 dolára. Hodnoa účelovej funkcie daná aproximačnou formulou je o niečo horšia ako v Black- cholesovi. Ale liminá hodnoa volailiy nemusí byť odhadnuá presne. V druhom kroku sme zobrali rôzne hodnoy limiy β /. limiou sme sa hýbali okolo hodnoy konšannej limiy vypočíanej v prvom kroku. 34

36 Obr. 3.5 Opimálna hodnoa konšannej volailiy vypočíaná na základe Black-cholesovej formuly Obr. 3.5 Účelová funkcia, v korej berieme β / ako limiu. Závislosť opimálnej účelovej funkcie od liminej hodnoy je znázornená na obrázku 3.53 a príslušné odhady paramerov sú uvedené v abuľke 3.5. Limia h Opimálna účelová funkcia Odhad paramera Odhad paramera β,4,9599,574748,37997e-6,5,8,63647,5937e-6,6,6387,753,8539e-6,74,44446,8958,883e-6 35

37 ,89,43,9343,6367E-6,96,484,989 3,3E-6,35,7947,3863 3,98886E-6,336,5548,6356 5,948E-6,349,393,68 6,69879E-6,3364,778,756 9,6744E-6,348,863958,3794,3938E-5,36,69359,555,9984E-5,37,59568,8486,3366,3844,6544,3376,54734,3969,75,5359 8,9445E-5,496,63,399,6 Tabuľka 3.5: Závislosť opimálnej účelovej funkcie od liminej hodnoy a príslušné odhady paramerov. Obr Závislosť opimálnej účelovej funkcie od zvolenia liminej hodnoy β / 36

38 Obr Reálne ceny verzus modelované ceny Liminá hodnoa volailiy z B- formuly nebola pre nami používanú aproximačnú formulu odhadnuá presne. Bola však dobrým ukazovaeľom pre zvolenie liminej hodnoy pre β /, nakoľko opimalizácia minimalizačnej funkcie vzhľadom na obidva paramere nebola efekívna. Opimálna účelová funkcia daná aproximačnou formulou dosiahla hodnou,59568, eda na jednu opciu pripadá rozdiel medzi skuočnou cenou a modelovanou cenou,87 dolára. Teno výsledok je v porovnaní s opimálnou hodnoou v Black-cholesovi výrazne lepší a zachyáva reálne hodnoy cien opcií. 37

39 Záver V práci sme sa zaoberali modelovaním cien opcií, koré zahŕňajú sochasickú povahu volailiy. Pre empirickú analýzu sme si vybrali analyickú formulu odvodenú z NGARCH modelu. Jej výhodou je, že narozdiel od NGARCH modelu, obsahuje dva neznáme paramere β, volailia nie je konšanná v čase., a nie šyri. A v porovnaní s Black-cholesovou formulou Opimalizácia minimalizačnej funkcie vzhľadom na obidva paramere nepriniesla očakávané výsledky. Preo sme museli zvoliť iný prísup pre odhadovanie paramerov. V druhom posupe sme najprv určili, aká má byť približná hodnoa limiy variačného procesu a následne sme opimalizovali jej hodnou spolu s paramerami. Pre druhý posup opimalizácie paramerov sme konšaovali, že modelované ceny opcií sú blízke reálnym cenám. V budúcnosi možno prácu obohaiť o predikcie cien opcií s už odhadnuými paramerami modelu. Nakoľko bude model efekívny pri zafixovaných hodnoách paramerov. 38

40 Lieraúra [] Ball, C.A.,Torous, W.N.(999), The ochasic Volailiy od hor-term Ineres Raes: ome Inernaional Evidence, The Journal of Finance [] Bollerslev, T., Engle, R.F. a Nelson, D.B (994): ARCH Models, Handbook of Economerics IV, , ad. Engle, R.F. a Mcadden, D.C. Norh-Holland, Amserdam. [3] Buchbinder, G.L, Chisilin, K.M.(7), Muliple ime scales and he empirical models for sochasic volailiy, ciencedirec [4] Foser, D., Nelson, D. (994), Asympoic filering heory for univariae ARCH models, Economerica, 5, 89-3 [5] Hsieh, K.C., Richken, Peer (6): An Empirical Comparison of GARCH Opion Pricing Models, [6] Melicherčík, I., Olšárová, L. (5), Kapioly z finančnej maemaiky, Braia abovci, Zvolen, IBN [7] Kwok, Y. K. (998) Mahemaical Models of Financial Derivaes, pringer- Verlag [8] Manaser,., Koehler, G. (98), The Calculaion of Implied Variances from he Black-choles Model, The Journal of Finance [9] Rubinsein, M. (976), The valuaion of uncerain income sreams and he pricing of opions, Bell Journal of Economerics and Managemen cience, 7, [] Ševčovič, D. (), Analyické a numerické meódy oceňovania finančných deriváov [] Youngsoo Choi (4), An analyical approximaion o he opion formula for he GARCH model, Inernaional Review of Financial Analysis 39

41 Príloha: Konš an a E exp( r( T ) ) T, Konš ana π g d exp, Konš an a3 ( d d ) g V - β Konš an akonš an a β g V - β V β Konš an a3 β g V - g Konš an akonš an a - V V g Konš an a3 g + g V - β g Konš an akonš an a Konš an a3 β g g + β β g g K+ h g exp β K+ h exp β exp ( ( T ) ) ( T ) ( exp( ( T ) ) β ( T ) ( + exp( ( T ) ))) ( ( T ) ) exp( ( T ) ) ( T ) 3 + K [ + 6β ] ( T ) 6β + exp( ( T ) ) 4β ( T ) + β ( T ) 4 ( T ) 3 ( ( T ) )[ ( T ) + ( T ) + ] + 4 ( T ) + K 4

42 g β ( exp( ( T ) )) ( T ) ( + exp( ( T ) )) 3 ( T ) 4