Microsoft Word - monografia.doc

Prepis

1 AUTOREGRESNÉ MODELY HRUBÉHO DOMÁCEHO PRODUKTU SLOVENSKA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakula maemaiky, fyziky a informaiky 004 BRATISLAVA

2 doc. RNDr., PhD., 004 ISBN:

3 Obsah ÚVOD... 7 I. ČASOVÝ RAD HDP SLOVENSKA I. POUŽITÝ ČASOVÝ RAD... I. MAKROEKONOMICKÉ PROSTREDIE SLOVENSKEJ REPUBLIKY... I.. Eapa vzniku nového šáu a vlasnej cesy ransformácie (roky )... I.. Eapa nerovnovážneho hospodárskeho rasu (roky )... I..3 Eapa obnovenia rovnováhy (roky )... 3 I..4 Eapa vysokého rasu a nerovnováhy (roky 00-00)... 4 II. ZÁKLADNÝ ŠTATISTICKÝ APARÁT... 5 II. ZÁKLADNÉ POJMY... 5 II. DEKOMPOZÍCIA ČASOVÉHO RADU... 0 II.3 TESTOVANIE HYPOTÉZ A ROZHODOVACIE KRITÉRIÁ... III. BOXOVE-JENKINSOVE MODELY... 9 III. MODELY ARIMA A SARIMA... 9 III.. Procesy AR(p) III.. Procesy MA(q)... 3 III..3 Procesy ARMA(p,q)... 3 III..4 Inegrované procesy ARIMA(p,d,q) III..5 Sezónne procesy SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s III. IDENTIFIKÁCIA MODELOV V PÔVODNÝCH RADOCH BEZ ODSTRÁNENIA TRENDU III.. Rad H

4 III.. Rad LH... 4 III..3 Rad RH III.3 IDENTIFIKÁCIA TRENDOV V RADOCH III.3. Idenifikácia rendu v rade H III.3. Idenifikácia rendu v rade LH III.3.3 Idenifikácia rendu v rade RH... 5 III.4 IDENTIFIKÁCIA MODELOV V RADOCH S ODSTRÁNENÝM TRENDOM III.4. Rad HT III.4. Rad LHT III.5 FILTRA 59 IDENTIFIKÁCIA TRENDU POMOCOU HODRICKOVHO-PRESCOTTOVHO III.5. Rad HP III.5. Rad LHP III.5.3 Rad RHP III.6 TESTOVANIE MODELOV (PREDIKCIA EX-POST) III.6. Modelovanie hrubého domáceho produku III.6. Modelovanie logarimu hrubého domáceho produku III.6.3 Modelovanie empa rasu HDP III.7 POROVNANIE MODELOV ŠPECIFIKOVANÝCH BOXOVOU-JENKINSOVOU METODOLÓGIOU IV. NELINEÁRNE MODELY IV. TEST LINEARITY IV. NELINEÁRNE MODELY IV.3 SAMOBUDIACE PRAHOVÉ AUTOREGRESNÉ MODELY SETAR(P,D;R)... 9 IV.3. Tes prahovej nelineariy (AR vs.setar) IV.3. Špecifikácia paramera omeškania d IV.3.3 Určenie hodnoy prahov r

5 IV.3.4 Model s jedným prahom IV.3.5 Model s dvoma prahmi... 0 IV.4 AUTOREGRESNÉ MODELY HLADKÉHO PRECHODU STAR IV.4. Tes lineariy (AR vs. STAR) IV.4. Špecifikácia modelu STAR... 3 IV.4.3 Model LSTAR... 6 IV.4.4 Model ESTAR... 9 IV.4.5 Viacrežimové auoregresné modely hladkého prechodu... MRSTAR... IV.5 MARKOVOVE MODELY PREPÍNANIA REŽIMOV... 7 IV.5. Odhad paramerov modelu... 9 IV.5. Špecifikácia Markovovho modelu empa rasu HDP... 3 IV.6 POROVNANIE PREDIKČNÝCH SCHOPNOSTÍ MODELOV... 3 ZÁVER ČASOVÉ RADY HDP SLOVENSKA LITERATÚRA

6 6

7 ÚVOD Mnoho prác v predchádzajúcich rokoch sa snažilo analyzovať dynamické správanie ekonomických a finančných časových radov, medzi nimi najmä časových radov hrubého domáceho produku (HDP), ako jedného z hlavných ukazovaeľov savu ekonomiky, a využiť ho na predikciu vývoja HDP. Sedemdesiae a osemdesiae roky boli v zajaí predpokladu, že prvá diferencia zlogarimovaného časového radu HDP je lineárnym sacionárnym procesom, eda, že opimálnu predikciu budúceho vývoja HDP môžeme modelovať pomocou lineárnej funkcie niekoľkých predchádzajúcich hodnô. V ejo oblasi môžeme sledovať ri základné smery. Beveridge a Nelson (98), Nelson a Plosser (98) a Campbel a Mankiw (987ab) aplikovali ARIMA a ARMA modely na reziduálne časové rady po odsránení rendu, Harvey (985), Wason (986) a Clark (984) použili modely nepozorovaných zložiek a Engle a Granger (987) odvodili princíp koinegrovanej špecifikácie. Z uvedených posupov sa v súčasnosi najviac využívajú ARIMA modely, koré sú založené na Woldovej reprezenácii: každý kovariančne sacionárny časový rad sa dá vyjadriť ako funkcia kĺzavých priemerov príomnej a minulých inovácií. V roku 989 publikoval James Hamilon (989) svoj slávny článok o nelineárnom modelovaní HDP Spojených šáov, čím spôsobil explóziu záujmu medzi ekonomerami o problémy esovania, odhadu, špecifikácie a vlasnosí nelineárnych modelov. Nelineárne modely, samozrejme, nie sú všeliekom a majú ohraničenia svojich možnosí. Predovšekým, ich použiie je obiažne, 7

8 preože nelineárne opimalizačné meódy pri hladaní exrému funkcie maximálnej vierohodnosi sa môžu zaseknúť na lokálnom opime a nemusia poskynúť globálne opimum na množine paramerov. Ďalším problémom je, že väčšina nelineárnych modelov nie je dosaočne flexibilných, preože sú zosrojené na špecifický yp nelineárneho správania. Poslednou nevýhodou nelineárnych modelov, korú spomeniem, je veľká závislosť úspechu modelu na konkrénych dáach. V ejo práci budeme uvažovať nelineárne modely len určiého ypu, kde nelinearia je daná exisenciou viacerých režimov, pričom v jednolivých režimoch sa časový rad správa ináč, a je v nich eda špecifikovaný iný (hoc aj lineárny) model. Hoci je v súčasnosi exisencia viacerých režimov v ekonomických a finančných časových radoch všeobecne uznávaná, zaiaľ eše nebola vypracovaná eória, korá by poskyovala jednoný prísup k špecifikácii ekonomerických modelov zahŕňajúcich zmeny režimov. Cieľom ejo práce je poskynúť prehľad niekorých modelov, koré môžu byť použié pri modelovaní ekonomických a finančných časových radov; aplikovať uvedené modely na časový rad hrubého domáceho produku Slovenska; využiť špecifikované modely na predikciu ex-pos empa rasu HDP; porovnať získané modely. Časový rad HDP je relaívne kráky, obsahuje len 36 údajov. Preo je impliciným zámerom práce ukázať aj na o, že hoc máme málo údajov, nie je dôvod vzdať sa možnosi modelovať. Preože cieľom práce je zamerať sa na šaisické spracovanie uvažovaného časového radu a jeho projekciu do 8

9 budúcnosi, prípadné ekonomické súvislosi a oázky, koré s problémom súvisia, zmienime len okrajovo. Práca sa skladá zo šyroch kapiol. V prvej kapiole sručne opíšeme časový rad, korý budeme modelovať, a opíšeme makroekonomické prosredie, v korom eno rad vznikol. V druhej kapiole opíšeme základný maemaický a šaisický apará, korý budeme používať. Ťažisko práce je reia a švrá kapiola. V reej kapiole aplikujeme šandardnú Boxovu-Jenkinsovu meodológiu na špecifikovanie modelov ypu SARIMA v základnom rade a v radoch, koré z neho odvodíme. Švrá kapiola obsahuje opis roch ypov nelineárnych viacrežimových modelov samobudiaceho auoregresného modelu SETAR, auoregresného modelu hladkého prechodu STAR a Markovovho modelu prepínania režimov a ich aplikáciu v rade empa rasu hrubého domáceho produku. Preože všeky šaisické esy boli robené na hladine významnosi α = 0.05, nie je áo skuočnosťexplicine pri každom ese uvedená. Pri špecifikácii jednolivých modelov sme brali do úvahy najmä ieo kriériá: súče švocov rezíduí; parsimoniu (čo najmenší poče paramerov) modelu; Akaikeho informačné kriérium (kvanifikované komplexné vyjadrenie predošlých dvoch kriérií); významnosť paramerov; charaker rezíduí ako gaussovský biely šum. Pri numerických výpočoch, najmä regresiách, boli využié ieo šandardné sofwarové produky: Eviews 3., Mahemaica 3.0, Microsof Excel 97 a SagraphicsPlus. Práca vznikla vrámci riešenia vedeckovýskumného projeku 9

10 agenúry VEGA číslo /955/0 Dynamické modely v maemaickej ekonómii. 0

11 I. ČASOVÝ RAD HDP SLOVENSKA Ekonomický ras každej krajiny vyjadrený rasom hrubého domáceho produku (HDP) závisí od viacerých fakorov zahrňujúcich aké javy, ako sú šrukurálne zmeny v ekonomike krajiny, globálna recesia, poliická nesabilia, prírodné kalamiy ale aj práve prebiehajúce fázy hospodárskeho cyklu. Zo šaisického pohľadu však môžeme švrťročné údaje o HDP považovať za kombináciu šyroch navzájom oddelených šaisických procesov - dlhodobého rendu, hospodárskeho cyklu, sezónnych prejavov a krákodobých šokov, koré sa dajú od seba oddeliť pomocou šandardných šaisických meód. I. Použiý časový rad V ejo práci sa budeme zaoberať časovým radom ridsiaich šiesich švrťročných údajov HDP Slovenska za obdobie.švrťrok švrťrok 00 v sálych cenách z roku 995. Ide o relaívne kráke, osemročné obdobie a o relaívne malý poče údajov, o nám však umožní využiť viaceré špeciálne meódy určené pre kráke časové rady. V ďalšom budeme používať okrem pôvodného časového radu švrťročného HDP Slovenska, korý budeme označovať H, aj dva odvodené časové rady, bežné v ekonomerických modeloch. Prvý z nich vznikne logarimickou ransformáciou (prirodzenými logarimom) radu H; budeme ho označovať LH. Logarimickú ransformáciu urobíme hlavne so zreeľom na sabilizáciu rozpylu časového radu. Druhý odvodený časový rad, korý budeme uvažovať, je časový rad percenuálneho empa rasu HDP; budeme ho označovať RH.

12 I. Makroekonomické prosredie Slovenskej republiky Pri analýze ekonomického vývoja SR od roku 993 môžeme rozlíšiť niekoľko odlišných eáp, korých charaker a následne aj charaker hospodárskeho rasu bol do značnej miery ovplyvnený hospodárskymi poliikami, koré v daných obdobiach uplaňovali jednolivé vlády. I.. Eapa vzniku nového šáu a vlasnej cesy ransformácie (roky ) So vznikom nového šáu sa rozšírila poreba diskusie o alernaíve k dovedy realizovanej reforme, korá mala previesť ekonomiku od cenrálne plánovanej k ržne orienovanej. Presadzovala sa akcepácia slovenských špecifík a následné odklonenie od začaej ransformačnej cesy. V roku 993 eše doznievala ransformačná recesia, nevyhnuná daň obdobia ransformácie krajiny, reálny pokles HDP dosiahol 6.9%. Avšak už v roku 994 dochádza k oživeniu hospodárskeho rasu, korého hlavným pilierom bol ras exporu medziročne o.%. Ras bol spôsobený oživením ekonomiky našich hlavných obchodných parnerov. Teno výrazný prírasok prekryl sále spiaci domáci dopy, korý sa opäovne znížil. V roku 995 zaznamenali prvýkrá prírasok všeky zložky domáceho dopyu, najvyšší prírasok však dosiahla sporeba domácnosí (3.6%). Na srane exporu však začalo dochádzať k oslabovaniu poziívnej dynamiky z predchádzajúceho roku medziročný ras bol vo výške 4.8%. Medziročný vývoj zložiek HDP v sálych cenách je v abuľke. I.. Eapa nerovnovážneho hospodárskeho rasu (roky ) V roku 996 bola zachovaná vysoká dynamika hospodárskeho rasu (5.8%), avšak vo vývoji jednolivých zložiek nasali oproi predchádzajúcemu obdobiu výrazné zmeny.

13 Tabuľka.. Medziročný vývoj zložiek HDP v sálych cenách Hrubý domáci produk Sporeba domácnosí Vládna sporeba Tvorba hrubého fixného kapiálu Domáci dopy Vývoz Dovoz Údaje sú v percenách. Domáci dopy zaznamenal rekordný náras až 7.9%, na korom sa najviac podieľal ras vorby hrubého fixného kapiálu o 30.9%. Domáca ponuka nedokázala pružne reagovať na fiskálnou poliikou simulovaný dopy, následkom čoho bol vyvorený lak na dovozy, koré vzrásli o 9.8%. Čisý vývoz ak dosiahol výrazne zápornú hodnou -9.5% hrubého domáceho produku. V roku 997 došlo k miernej korekcii nepriaznivého vývoja v šrukúre rasu z predošlého roka - fiskálna expanzia bola mierne zbrzdená, čím sa spomalila dynamika rasu všekých zložiek domáceho dopyu. Čisý vývoz zaznamenal opäť záporné saldo, jeho hodnoa však už nebola aká výrazná. Priaznivejší vývoj bol dosiahnuý aj vďaka oživeniu na srane vývozu, kde sa dosiahol medziročný ras 9%. V ďalšom roku už bol hospodársky ras, korý dosiahol 4%, ťahaný výlučne domácim dopyom a saldo čisého exporu dosiahlo dovedy rekordných -0.7% HDP. I..3 Eapa obnovenia rovnováhy (roky ) S násupom novej vlády v okóbri 998 sa sala prioriou zmena charakeru hospodárskej poliiky, korej hlavným cieľom bolo opäovné nasolenie makroekonomickej rovnováhy cesou znižovania pasívneho salda bežného úču plaobnej bilancie a súčasného zasavenia zadlžovania šáu. V máji 999 bol prijaý balíček oparení, korý viedol k ulmeniu všekých zložiek domáceho dopyu, avšak slovenské hospodársvo neskĺzlo do recesie a zachovalo si ras 3

14 .7%. Teno ras bol dosiahnuý aj vďaka rasu exporu o 5.%, pričom jeho hlavnou príčinou bol opäovne priaznivý konjunkurálny vývoj u našich najväčších obchodných parnerov. Výsledky v roku ukazovali úspech sabilizačných oparení, reprezenovaný zmiernením vonkajšej nerovnováhy a zlepšením šrukúry rasu. Hodnoy čisého exporu však zosávali sále v záporných číslach. I..4 Eapa vysokého rasu a nerovnováhy (roky 00-00) Úspech z predchádzajúcej eapy sa ukázal ako veľmi krákodobý, aj keď určié oparenia mali ambíciu zakladať poziívne simuly v srednodobom horizone. K prvej závažnej zmene dochádza už koncom roku 000, kedy bolo našarované oživenie domáceho dopyu. S ýmo oživením došlo aj zvýšenie rasu dovozov, čo ohrozilo priaznivý vývoj čisého vývozu. Vývoj v roku 00 už povrdzuje úo nepriaznivú endenciu vo vývoji zložiek HDP silnejúci domáci dopy (7.%) a vyššie saldo čisého exporu (-4.%). So záverom poliického cyklu v roku 00 prichádzajú populárne oparenia vlády, koré mali za následok eše väčší simul pre domáci dopy, korý vzrásol o 3.8% a sal sa nosným pilierom 4.4% rasu. Na druhej srane, v druhej polovici roku 00 je možné sledovať aj oživenie na srane exporov, koré vypovedalo skôr o oživení priemyselnej produkcie SR než o oživení u obchodných parnerov. 4

15 II. ZÁKLADNÝ ŠTATISTICKÝ APARÁT II. Základné pojmy V ejo kapiole budeme skúmať možnosi modelovania HDP Slovenska pomocou Boxovych - Jenkinsovych modelov, koré sú najčasejšie používanou meodológiou predikcie pomocou časových radov. Meodológia bola opísaná Boxom a Jenkinsom (976). Definícia.. Rad náhodných premenných { X, T}, usporiadaných v čase, kde parameer voláme čas, voláme náhodný proces X. Ak T je podmnožina číselnej osi, ak náhodný proces voláme spojiý, ak T je rad indexov, ak náhodný proces voláme diskrény. Reálnu funkciu x = x( ); T, kde x() je realizáciou X() v čase voláme realizácia náhodného procesu X. Časový rad eda môžeme chápať ako realizáciu diskréneho náhodného procesu. Každý náhodný proces môžeme opísať pomocou ýcho jeho charakerisík: sredná hodnoa (.) µ = E X ); ( rozpyl (druhý cenrálny momen) (.) σ = V X ) = E( X µ ) ; ( šikmosť (reí cenrálny momen) (.3) (3) ( X µ = E µ ) ; 3 srmosť (švrý cenrálny momen) 5

16 (.4) (4) ( X µ = E µ ) ; 4 kovariančná funkcia (.5) γ = Cov( X, X ) = E( X µ )( X µ );, k k k k korelačná funkcia (.6) γ, k ρ, k =. σ σ k Špeciálnym prípadom náhodných procesov sú sacionárne náhodné procesy. Definícia. Náhodný proces X nazývame slabo (kovariančne) sacionárny, ak prvý a druhý momen procesu exisujú a sú časovo invarianné,.j. (.7) E X ) = µ pre všeky T ( (.8) E( X µ )( X k µ k ) = γ k pre všeky T, k Z Poznámka. Dá sa ľahko ukázať, že v sacionárnych radoch pre auokorelačnú funkciu (.4) plaí (.9) γ k ρ k =. γ 0 Definícia.3 Náhodný proces X nazývame osro sacionárny, ak pre ľubovoľné hodnoy k, k, k n pravdepodobnosť výskyu udalosí ( x + n, x+ k, x+ k,..., x k ) závisí len od voľby k, k, k n a nezávisí od samoného času. Poznámka. Z osrej sacionariy vyplýva, že všeky momeny osro sacionárneho náhodného procesu sú časovo invarianné. 6

17 Preože osrá sacionaria sa v praxi ťažko overuje, my budeme uvažovať len slabú, pričom oo adjekívum budeme vynechávať a slabo sacionárne procesy budeme nazývať sacionárne. Pokiaľ neuvedieme ináč, ďalej budeme uvažovať už len sacionárne procesy. Náhodné procesy môžeme charakerizovať pomocou ýcho výberových momenov: výberový priemer N (.0) x = N x =, kde N je poče hodnô časového radu, je odhadom srednej hodnoy procesu µ ; výberový rozpyl (.) sˆ = ( x x) N N = je odhadom rozpylu procesu σ ; výberová šikmosť N x x (.) Sˆ = N = sˆ 3 je odhadom reieho cenrálneho momenu procesu µ ; výberová srmosť N x x (.3) Kˆ = N = sˆ 4 je odhadom švrého cenrálneho momenu procesu µ ; výberová auokorelačná funkcia (ACF) s posunuím k je daná vzťahom (3) (4) 7

18 N ( )( ) x x x k x = k + (.4) rˆ k =, N x x ( ) = k =,,..., N-, je odhadom kovariančnej funkcie auokoreláciou s oneskorením k a výberovým rozpylom; výberová parciálna auokorelačná funkcia (PACF) ρ k a je daná výberovou s posunuím k je posledným koeficienom v lineárnej regresii x na konšanu a posledných k hodnô. Definícia. 4 Náhodný proces, korého sredná hodnoa sa rovná nule,.j. µ = 0, nazývame cenrovaný. Je jasné, že každý proces X môžeme ransformáciou Y X µ upraviť na = proces, korý je cenrovaný. V ďalšom budeme uvažovať procesy, koré sú cenrované. Boxove - Jenkinsove modely sú vybudované na špeciálnom procese, zv. bielom šume (whie noise). Definícia. 5 Náhodný proces E, v korom E sú nezávislé náhodné premenné so srednou hodnoou E ( ) = 0 a rozpylom V E ( E ) σ E E majú Gaussovo rozdelenie, biely šum voláme gaussovský. = voláme biely šum. Ak Poznámka: Je jasné, že biely šum je sacionárny cenrovaný náhodný proces, pre k = 0 korý plaí γ k = 0 pre k 0 a ρ k =. 0 k 0 8

19 Definícia.6 Predpokladajme, že X je náhodný proces. Poom operáor posunuia L je daný vzťahom (.5) Lx = x a operáor spänej diferencie vzťahom (.6) x = ( L) x = x x. Poznámka. Oba operáory môžeme aplikovať viackrá za sebou, akže dosávame operáor posunuia rádu s s (.7) L x = x s pre všeky s N a operáor spänej diferencie rádu s s s (.8) x = ( L) x pre všeky s N +. Základom eórie, korá nás oprávňuje k ďalším krokom je nasledujúca vea, korá hovorí o om, že každý kovariančne sacionárny náhodný proces môžeme rozložiť na dve zložky, deerminisickú, korú môžeme exakne opísať pomocou lineárnej kombinácie jeho hisórie, a náhodnú, korú môžeme vyjadriť ako člen kĺzavých priemerov konečného rádu. Vea. 7 (Woldova reprezenácia) Každý cenrovaný slabo sacionárny náhodný proces X môže byť jednoznačne vyjadrený (reprezenovaný) v vare funkcie kĺzavých priemerov súčasných a minulých inovácií = i= 0 (.9) x θ iu i + η s = i 0 i θ <, θ, 0 = kde E ( U U i ) = 0 pre všeky i 0, E ( U ) σ u = a kde η je sacionárne deerminisický člen, korý môžeme zanedbať. 9

20 II. Dekompozícia časového radu Ako sme uviedli v predošlej kapiole, výška HDP je ovplyvnená rôznymi fakormi. Preo časový rad HDP, podobne, ako viaceré iné ekonomické časové rady, môžeme rozdeliť na šyri zložky: (.0) Y = T + C + S + I, alebo (.) Y = T. C. S. I kde Y - hrubý domáci produk; T - dlhodobý rend; C - vplyv hospodárskeho cyklu; S - sezónny vplyv; I - ekonomické nepravidelnosi (šoky, inovácie). Dekompozíciu (.0) voláme adiívna dekompozícia, kým dekompozíciu (.) voláme muliplikaívna dekompozícia. Meódu dekompozície napríklad šandardne využíva pri svojich prognózach NBER (Naional Bureau of Economic Research) v USA. Dekompozičná meóda, korá je šandardným vybavením bežných šaisických sofwarových produkov, je výhodná pri dlhších časových radoch a pomáha idenifikovať cyklickosť v prípade exisencie viacerých cyklov. Vzhľadom na krákosť uvažovaného časového radu, úo meódu neaplikujeme. V ejo práci budeme oddeľovať rendovú zložku inou meódou. V lieraúre sa môžeme srenúť s viacerými spôsobmi oddelenia rendovej zložky. 0

21 Najrozšírenejšie sofwarové produky ponúkajú určenie rendových funkcií šandardných ypov - konšanný, lineárny, polynomiálny, mocninový, exponenciálny či logarimický rend. Na základe grafickej analýzy budeme posupne predpokladať exisenciu konšanného, lineárneho a kvadraického rendu. Hisoricky šandardnou meódou analýzy ekonomických časových radov bolo odsránenie lineárneho (alebo, časejšie, log-lineárneho) rendu. Priom exisuje veľké množsvo dôkazov, že mnohé ekonomické časové rady obsahujú sochasický rend, korý sa ouo procedúrou nedá odsrániť. To je príčinou, prečo vo väčšine makroekonomických časových radov je lineárna derendizácia nevhodná. Too je príčinou, že v poslednej dobe sa objavilo niekoľko nových spôsobov oddelenia rendovej zložky časového radu (filrov), napríklad Hodrickov-Prescoov filer (997), Roembergov filer (999), založených na minimalizácii isých penalizačných funkcií, či Baxerov - Kingov frekvenčný filer (995), a podobne. II.3 Tesovanie hypoéz a rozhodovacie kriériá Pri idenifikácii a diagnosickej konrole modelu, ako aj pri jeho využií na predikciu budeme používať ieo esy a kriériá: Akaikeho informačné kriérium (AIC). Akaikeho informačné kriérium sa používa pri výbere z nehniezdených alernaívnych modelov, pričom sa preferuje jeho čo najnižšia hodnoa. Počía sa podľa vzorca (.) l k AIK = +, N N

22 kde l hodnoa logarimickej funkcie maximálnej vierohodnosi; k poče odhadovaných paramerov; N poče meraní. Chowov es zlomu sa používa na esovanie významnosi rozdielu medzi regresnými rovnicami, koré získame pri regresii na jednolivých časiach rozdeleného časového radu. Významnosť rozdielu indikuje šrukurálnu zmenu v modeli. Tesovacou šaisikou F šaisika (.3) Fˆ = N ( x xˆ ) ( x xˆ ) ( x xˆ ) i= N ( x xˆ ) + ( x xˆ ) ( N k) i= N i= N i= N+ N i= N+ / k kde N - celkový poče meraní; N - poče meraní v prvom podsúbore; k - poče odhadovaných koeficienov. Táo šaisika môže byť zovšeobecnená prirodzeným spôsobom na viac bodov zlomu. F šaisika má asympoicky Fischerovo F rozdelenie, ak chyby sú nezávislé a idenicky disribuované z normálneho rozdelenia. Engleho es podmienenej auoregresnej heeroskedasiciy (ARCH LM Tes) Tesujeme nulovú hypoézu neexisencie podmienenej auoregresnej heeroskedasiciy v reziduáloch až po rád q proi alernaívnej hypoéze jej exisencie. Tesovacou šaisikou je Breuschova-Godfreyova šaisika Lagrangeovho muliplikáora (.4) LM = N * R kde R - koeficien deerminácie (.7) N poče meraní.

23 q LM šaisika má asympoicky χ ( ) rozdelenie. V malých súboroch je namieso šaisiky (.4) výhodnejšia F-šaisika. Jarqueho-Berov es. Jarqueho-Berov es slúži na esovanie, či rad má normálne rozdelenie. My ho budeme používať na esovanie, či rezíduá majú normálne rozdelenie. Tesovacia šaisika meria rozdiely medzi šikmosťou a srmosťou meraného radu a normálneho rozdelenia. Šaisika sa počía podľa vzorca N k JB, 6 4 (.5) = Sˆ + ( Kˆ 3) kde (.); (.3); Ŝ odhad reieho cenrálneho momenu daný výberovou šikmosťou Kˆ odhad švrého cenrálneho momenu daný výberovou srmosťou N - poče meraní; k - poče odhadovaných koeficienov. Pod nulovou hypoézou H : rad má normálne rozdelenie 0 proi alernaívnej hypoéze H A : opak H 0 má JB šaisika χ rozdelenie s dvomi supňami voľnosi. P-hodnoa Jarqueho- Berovho esu udáva pravdepodobnosť, že šaisika JB v absolúnej hodnoe prekročí pozorovanú hodnou za nulovej hypoézy. Ak α = bude väčšia, než získaná p-hodnoa, ak hypoézu, že uvažovaný rad má normálne rozdelenie, zamieneme. 3

24 Ljungova-Boxova Q-šaisika. Q-šaisika s posunuím p je esovacia šaisika nulovej hypoézy, že v rade nie je auokorelácia až po rád p,.j. H : v rade nie je auokorelácia až po rád p 0 proi alernaívnej hypoéze H A : opak H 0. Samoná šaisika má var p rj (.6) QLB = N ( N + ), N j j= kde r j - koeficien auokorelácie s posunuím j; N - poče meraní. Q má asympoicky auokorelácií. χ rozdelenie s počom supňov voľnosi rovným poču LM es seriálovej korelácie. LM es je alernaívou Ljungovej-Boxovej šaisiky pri esovaní exisencie auokorelácie až po rád p, pričom nulová a alernaívna hypoéza sú rovnaké ako pri uvedenej šaisike. Tesovacou šaisikou je Breuschova-Godfreyova LM šaisika daná vzťahom (.4), korá q má asympoicky χ ( ) rozdelenie. Aj v omo prípade je pri krákych časových radoch výhodnejšia F-šaisika. Miery presnosi vyrovnávania. Pri odhade paramerov modelu pomocou celého časové-ho radu budeme zisťovať ieo chyby ( x je meraná hodnoa, je modelovaná hodnoa): xˆ 4

25 koeficien deerminácie (.7) RS = R = N = N ( x xˆ ) ( x x) = vyjadruje mieru zhody meraných a modelovaných údajov; adjusovaný koeficien deerminácie (.8) ARS = R = ( R ) N N k kde R koeficien deerminácie; N poče meraní; k poče odhadovaných paramerov. vyjadruje mieru zhody meraných a modelovaných údajov, penalizujúci zaradenie regresorov, koré neprispievajú k vysveľujúcej úlohe modelu; šandardná chyba regresie ( ) x xˆ = (.9) SER = sˆ =, N k N kde N poče meraní; k poče odhadovaných paramerov; je sumárna miera chyby založená na odhade rozpylu rezíduí. súče švorcov rezíduí (.30) SSR = ( x xˆ ) N = 5

26 je kvaniaívnym vyjadrením presnosi vyrovnania; odmocnina priemernej švorcovej chyby predikcie h + N + h = N (.3) RMSE = ( ˆ ) x x, kde S začiaok obdobia predikcie; h poče predikovaných hodnô; priemerná absolúna chyba N (.3) + MAE = h + h = N x xˆ ; priemerná absolúna percenuálna chyba N (.33) + MAPE = h + h = N x xˆ x ; koeficien Theilovej nerovnosi (.34) TIC = h + h + N + h = N N + h x ( x xˆ ) = N + h + N + h = N xˆ, korý leží medzi nulou a jednokou, pričom nula vyjadruje dokonalú presnosť vyrovnania. Rozšírený Dickeyov-Fullerov es jednokového koreňa. Dickeyov-Fullerov es použijeme na esovanie, či skúmaný rad je sacionárny, a v prípade, že je, 6

27 na určenie rádu inegračného člena. Tes konroluje korelácie vyšších rádov pridávajúc členy posunuých späných diferencií na pravej srane regresie (.35) x = µ + γx + δ x + δ x δ p x p+ + ε. Samoný es spočíva v esovaní nulovej hypoézy H 0 : γ = 0 proi alernaívnej hypoéze H : γ < 0. A Šaisiku získanú z rozšíreného Dickeyovho-Fullerovho esu porovnávame s MacKinnonovými kriickými hodnoami pre eno es, a v prípade, že esovacia šaisika je menšia než MacKinnonova kriická hodnoa, hypoézu zamieame. Tes srednej hodnoy a odhadnuých paramerov modelu. Tesujeme nulovú hypoézu, že sredná hodnoa procesu X sa rovná určiej konkrénej hodnoe m,.j. H : µ = m 0 proi dvojsrannej alernaívnej hypoéze, že sa jej nerovná,.j. H A : µ m. Preože nepoznáme presnú hodnou šandardnej odchýlky procesu X, používame -šaisiku založenú na odhadoch (.36) x m = N, sˆ kde x - odhad srednej hodnoy daný výberovým priemerom (.0); ŝ odhad šandardnej odchýlky daný výberovým rozpylom (.); N poče meraní. 7

28 Za predpokladu, že X má normálne rozdelenie, ak pod nulovou hypoézou má - šaisika Sudenovo -rozdelenie s N- supňami voľnosi. Podobne esujeme aj hypoézu, že nejaký parameer modelu sa rovná určiej konkrénej hodnoe. Tes významnosi ACF a PACF. Ak ACF leží vnúri inervalu ( ), N N, kde N je poče meraní, ak nie je na hladine významnosi α = signifikanne rozdielna od nuly. To isé plaí aj pre PACF. 8

29 III. BOXOVE-JENKINSOVE MODELY V sedemdesiaych a osemdesiaych rokoch najpopulárnejším aparáom, korý používali ekonómovia vo svee pri modelovaní ekonomických procesov, bola meodológia vyvinuá G. E. P. Boxom a G. M. Jenkinsom. Teno apará, známy aj ako Boxova-Jenkinsova meodológia, bol založený na myšlienke, že každý kovariančne sacionárny časový rad môže byť vyjadrený v vare Woldovej reprezenácie (.9), pričom nekonečný kĺzavý priemer môže byť dobre aproximovaný auoregresným procesom nízkeho rádu (prípadne obsahujúcim aj zložky kĺzavých priemerov). Hoci ide o relaívne saršiu meodológiu, dodnes nachádza pomerne dobré uplanenie pri modelovaní časových radov. III. Modely ARIMA a SARIMA Z analýzy HDP vyplýva, že jeho výška v jednolivých švrťrokoch nezávisí len od produkcie v danom švrťroku, ale je ovplyvnená aj produkciou v predošlých obdobiach. Preo je prirodzené predpokladať, že jednolivé členy uvažovaného radu (prípadne rezíduá po odsránení rendu) sú korelované s predošlými členmi radu. Na modelovanie seriálovej korelácie (v šume) používame ieo ri prosriedky: Auoregresné členy (AR). Auoregresná zložka predpovedného modelu vyjadruje vzťah k hisórii (predošlým hodnoám) časového radu. Každý auoregresný člen zodpovedá použiiu posunuej hodnoy (reziduálu) v predikčnej rovnici. Členy kĺzavých priemerov (MA). Zložka kĺzavých priemerov v predpovednom modeli na zlepšenie akuálnej predpovede využíva hodnoy chýb predošlých predpovedí. 9

30 Inegračný člen (I). Inegračný člen vyjadruje rád, korým sa uvažovaný časový rad diferencuje s cieľom odsrániť nesacionariu. Sezónna zložka (S). V prípade kraších než ročných časových radov (švrťročných, mesačných. ýždenných alebo denných) sa odporúča aj použie sezónnych auoregresných (SAR) členov alebo sezónnych členov kĺzavých priemerov (SMA). Modely ýcho ypov môžeme aplikovať ak na pôvodné časové rady, ako aj na časové rady rezíduí, koré vznikli odsránením rendovej zložky z radov. Teraz si podrobne opíšeme jednolivé zložky modelov ARIMA a SARIMA. III.. Procesy AR(p) Auoregresný cenrovaný proces p-eho rádu AR(p) je daný lineárnou kombináciou svojej hisórie v predošlých p časových okamžikoch a bieleho šumu E. Môžeme ho vyjadriť vzťahom (3.) X = φ X + φ X φ p X p + E = φ j X j + E, korý môžeme zapísať aj v operáorovom vare ako (3.) φ p ( B ) X = E, kde (3.3) φ ( B) = ( φ B φ B... φ B ), p pričom B je operáor späného posunu,.j. j (3.4) B ( X ) = X j. V prípade, že proces X nie je cenrovaný,.,j. µ 0, má model AR(p) var p p p j= 30

31 (3.5) X = c + φ X + φ X +... φ p X p + E = c + φ j X j + E, kde (3.6) c = φ µ φ µ... φ µ µ p. p j= O podmienkach sacionariy procesu AR(p) hovorí nasledujúca vea (Šulajer, 00, sr.8): Vea 3. Náhodný proces X daný vzťahom (3.) je sacionárny práve vedy, ak všeky korene polynomickej rovnice p p = (3.7) φ ( x) = φ x φ x... φ x 0 p ležia mimo jednokového kruhu. III.. Procesy MA(q) Model kĺzavých priemerov rádu q, MA(q), je najjednoduchším modelom, s korým pracuje Boxova-Jenkinsova meodológia. Je definovaný ako lineárna kombinácia hisórie bieleho šumu E v vare (3.8) X = E + θ E + θ E θ q E q = E + θ j E j, alebo, v operáorovom vare, (3.9) X = θ q ( B) E, kde (3.0) θ ( B) = ( + θ B + θ B θ B ). q q q q j= 3

32 q Proces MA(q) je sacionárny a plaí preň µ = 0, = + σ X σ E θ j. j= Aby sme zabezpečili jednoznačnosť MA procesu vzhľadom na danú ACF, zavedieme pojem inverovaeľnosi náhodného procesu MA, korý nám dá isou, že v prípade jeho prepísania do varu radu, eno bude konvergovať. Definícia 3. Náhodný proces MA(q), korý sa dá prepísať v vare konečného AR procesu voláme inverovaeľný. Vea 3.3 Náhodný proces MA(q), definovaný vzťahom (3.8) je inverovaeľný práve vedy, ak všeky korene polynomickej rovnice q q = (3.) θ ( x) = θ x θ x... θ x 0 q ležia mimo jednokového kruhu. III..3 Procesy ARMA(p,q) Kombináciou AR(p) a MA(q) procesu vzniká ARMA(p,q) proces, korý môžeme zapísať v vare X (3.) = = φ p j= X φ p X p + E + θe +... φ X j j + E + q j= alebo aj ako (3.3) φ p ( B ) X = θ q ( B) E, θ E j j + θ E kde φ (B) je daná vzťahom (3.3) a θ (B) vzťahom (3.0). Podobne, ako p q q v prípade modelov AR a MA, môžeme sformulovať veu. q = 3

33 Vea 3.4. Náhodný proces ARMA(p,q), definovaný vzťahom (3.) je sacionárny, práve vedy, ak všeky korene polynomickej rovnice (3.7) ležia mimo jednokového kruhu a je inverovaeľný práve vedy, ak všeky korene polynomickej rovnice (3.) ležia mimo jednokového kruhu. Proces ARMA(p,q) môžeme zapísať aj ako čisý AR( ) proces v vare (3.4) π ( B ) X = E kde (3.5) π ( B) = φ p ( B) θ q ( B) = + π jb j= alebo ako čisý MA( ) proces v vare (3.6) X = ψ ( B) E kde (3.7) ψ ( B) = φ p ( B) θ q ( B) = + ψ j B. j= j Použiie kombinovaného ARMA(p,q) procesu je efekívne, preože spravidla vyžaduje menej paramerov než samoné AR alebo MA procesy. j III..4 Inegrované procesy ARIMA(p,d,q) V prípade, že máme časový rad, korý nie je cenrovaný, prípadne jeho rend je polynomický, na ich modelovanie môžeme použiť auoregresné inegrované modely kĺzavých priemerov rádov p, d, q, ARIMA(p,d,q), založené na d- násobnom diferencovaní uvažovaného časového radu. Diferencovaný proces označme W. Poom máme d (3.8) W = X = ( B) X, d 33

34 kde je šandardný operáor spänej diferencie, môžeme ARIMA(p,d,q) proces vyjadriť v vare = B. Alernaívne si eda (3.9) φ p ( B ) W = θ q ( B) E alebo (3.0) φ p ( B )( B) X = θ q ( B) E. d Proces ARIMA(p,d,q) nie je sacionárny, preože AR operáor na ľavej srane vzorca (3.0) má d koreňov ležiacich na jednokovej kružnici. V praxi sa časo používajú len prvé diferencie,,j, hodnoa paramera d sa rovná. III..5 Sezónne procesy SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s V prípade, že skúmaný časový rad obsahuje okrem závislosi vnúri časovej periódy aj závislosť medzi navzájom zodpovedajúcimi veličinami v jednolivých sezónach, eda medzi..., X s, X s, X, X + s, X + s,..., kde s je dĺžka periódy, použijeme sezónny auoregresný inegrovaný proces kĺzavých priemerov SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s, kde p je rád procesu AR, q je rád procesu MA, d rád diferencie vnúri periódy, P je rád sezónneho procesu AR, Q je rád sezónneho procesu MA, D je rád sezónnej diferencie a s je dĺžka sezónnej periódy. Proces má var s d (3.) Φ P ( B ) φ p ( B)( B) ( B ) X = θ q ( B) ΘQ ( B ) E, kde (3.) Φ ( B) = ( Φ B Φ B... Φ B ), P s s (3.3) Θ ( B ) = ( + Θ B + Θ B Θ B ), Q s φ p (B) je daná vzťahom (3.3) a θ q (B ) vzťahom (3.0). s s s D P Q Ps Qs s 34

35 Ekonomické časové rady kraších než ročných údajov (švrťročné, mesačné, ýždenné, denné) v sebe spravidla obsahujú sezónnu zložku, preo si najskôr overíme, či je o aj naša siuácia, a v kladnom prípade určíme dĺžku sezóny. Sezónnosť v časových radoch môžeme idenifikovať pomocou periodogramov alebo pomocou auokorelačných funkcií. V diskrénom prípade, pri výpoče periodogramu sa počíajú kvadraické korelácie medzi časovým radom a sínusovými/kosínusovými vlnami na frekvencii λ podľa vzťahu: (3.4) N iλ I( λ ) = X e = πn = πn N N = X.sin(. λ) + = X.cos(. λ) Periodogram I(λ) sa vo všeobecnosi definuje na inervale [ π, π ]. Nakoľko ide o párnu funkciu, kde plaí I(λ j ) = I(-λ j ), posačí nám vyčísliť frekvencie na inervale 0 λ j π. Pre reálne posupnosi sa periodogram I(λ) môže odhadnúť aj podľa auokovariančnej funkcie N = λ 0 λ), π = (3.5) I( ). rˆ + rˆ.cos(. pre Fouriérove frekvencie λ = π. j N j, j =,,..., N 35, pričom r 0, r,...,r N- sú odhady auokovariančnej funkcie. Prevod na periódy v časových inervaloch reálneho radu sa robí podľa vzťahu T j =. Uvedená analýza viedla k jedinému záveru, že každý z uvažovaných radov obsahuje významnú sezónnu zložku dĺžky s = 4, čo zodpovedá skuočnosi, že vorba HDP je priamo závislá od poradia švrťroku v roku. Na obrázku 3. sú zobrazené príslušné periodogramy. Preože však skúmaný časový rad je kráky, π λ j

36 nie je možné z neho určiť priamo hodnou paramera Q. Preože je oprávnené predpokladať, že vorba HDP závisí aj od švorročného volebného cyklu (nepopulárne oparenia v prvom roku vládnuia, populisické oparenia v predvolebnom roku), v našich modeloch budeme eno cyklus brať do úvahy, eda Q=4. a) Hodnoa periodogram u Frekvencia Hodnoa pe riodogram u Frekvencia b) c) Hodnoa periodogramu Frekvencia Obrázok 3.. Periodogramy diferencovaného časového radu HDP (a); diferencovaného časového radu logarimov HDP (b); časového radu empa rasu HDP(c). III. Idenifikácia modelov v pôvodných radoch bez odsránenia rendu V ejo podkapiole idenifikujeme Boxovou-Jenkinsovou meodológiou modely priamo v pôvodnom rade švrťročných údajov HDP (rad H), v rade získanom jeho logarimickou ransformáciou (rad LH), ako aj v rade empa rasu HDP (rad 36

37 RH). V súlade so zvyklosťami budeme označovať členy radu HDP ako Y, logarimy HDP ako y a percenuálny ras HDP ako * ( y y ) g = 00. III.. Rad H Najskôr idenifikujeme model v pôvodnom rade švrťročných údajov HDP Slovenska Na obrázku 3. je zobrazený priebeh a hisogram časového radu. V uvažovanom období hospodársvo Slovenska dosahovalo priemernú hodnou HDP mld SKK v sálych cenách priemeru roku 995, pričom najnižší HDP bol dosiahnuý v prvom švrťroku 993 (0.0 mld SKK v sálych cenách) a najvyšší HDP bol dosiahnuý v reťom švrťroku 00 (83.9 mld SKK v sálych cenách). Základné šaisické charakerisiky radu sú uvedené v abuľke 3.. Preože Jarqueho-Berova šaisika umožňuje nezamienuť hypoézu, že rad H má normálne rozdelenie, môžeme použiť náš maemaický apará. Najskôr ukážeme, že hypoézu nulovej srednej hodnoy radu H môžeme na hladine významnosi α = zamienuť. Hodnoa -šaisiky pri esovaní hypoézy H : µ 0 proi dvojsrannej alernaívnej hypoéze H : µ 0 je 0 = =5.5858, pričom kriická hodnoa Sudenovho -rozdelenia s 35 supňami voľnosi na uvedenej hladine významnosi je.030, akže hypoézu môžeme zamienuť. To nás vedie k omu, že budeme hľadať model obsahujúci konšanný člen. Z rozšíreného Dickeyovho-Fullerovho esu jednokového koreňa pre nediferencovaný rad a pre raz diferencovaný rad vidíme, že proces je ypu I(). PACF diferencovaného radu idenifikuje rád auoregresnej zložky p=3 a ACF idenifikuje rád zložky kĺzavých priemerov q=4, ako aj sezónnosť s=4 a rád sezónnych kĺzavých priemerov Q=4. Hodnoy prvých šesnásich ACF a PACF nediferencovaného, ako aj diferencovaného radu sú v abuľke 3.. Preože p-hodnoa Ljungovej-Boxovej Q-šaisiky rovná 0.94 vedie 37 A

38 k nezamienuiu hypoézy, že v diferencovanom rade nie je auokorelácia prvého rád, nebudeme brať do úvahy ie modely, v korých je rád auoregresie rovný p=. Na základe šaisických vlasnosí rôznych modelov časového radu H idenifikujeme model M H ako SARIMA (3,,4) (0,0,) 4 v vare Y = Y Y Y 3 (3.6) Y + E E E E 4 4 Šaisické vlasnosi koeficienov modelu M H, ako aj predikčné schopnosi modelu sú uvedené v abuľke Tabuľka 3. Základné šaisické charakerisiky radu H Charakerisika Hodnoa Sredná hodnoa Medián Maximum Minimum Šandardná odchýlka Šikmosť Srmosť ADF es (5% kriická hodnoa esu) (-.950) ADF es diferencovaného radu (-.954) (5% kriická hodnoa esu) Jarqueova-Berova šaisika.9495 P-hodnoa JB šaisiky Tabuľka 3. Hodnoy auokorelačnej funkcie a parciálnej auokorelačnej funkcie nediferencovaného a diferencovaného radu H Posunuie ACF ACF(d) PACF PACF(d) Posunuie ACF ACF(d) PACF PACF(d)

39 00 0 HDP Q93 Q94 Q95 Q96 Q97 Q98 Q99 Q00 Q0 Q0 Frekvencia Viac Obrázok 3.. Priebeh a hisogram časového radu HDP Slovenska Údaje sú v miliardách SKK v sálych cenách z roku 995. Na overenie, že proces definovaný modelom (3.6) je sacionárny a inverovaeľný sačí ukázať, že korene charakerisických polynómov pre auoregresnú zložku, ako aj pre zložku kĺzavých priemerov ležia mimo jednokového kruhu. Charakerisický polynóm auoregresnej zložky modelu je (3.7) φ 3( B ) = B B B Tabuľka 3.3 Šaisické vlasnosi paramerov modelu M H a miery presnosi predikcie Premenná Koeficien Šandardná -šaisika p-hodnoa chyba µ φ φ φ θ Θ Θ Parameer Hodnoa Miera presnosi Hodnoa Koeficien deerminácie Odmocnina priemernej Adjusovaný koef švorcovej chyby deerminácie Šandardná chyba regresie.564 Priemerná absolúna chyba Súče švorcov rezíduí Priemerná absolúna Logarimická vierohodnosť percenuálna chyba Akaikeho informačné Koeficien Theilovej 0.03 kriérium nerovnosi 39 3

40 a jeho korene sú.5976, ±.069i, pričom je zrejmé, že ležia mimo jednokového kruhu, proces je eda sacionárny. Charakerisický polynóm zložky kĺzavých priemerov má var (3.8) θ ( B ) = B B B 4 a korene ± ± i, ± ±96855i a ±0.7488±0.7488i. Je jasné, že všeky ležia mimo jednokového kruhu. Proces je eda aj inverovaeľný. 8 Preože p-hodnoa F-šaisiky esu seriálovej korelácie s paramerom je 0.588, nezamieame na hladine významnosi α = hypoézu, že v rade inovácií nie je seriálová závislosť až po rád, a eda môžeme predpokladať, že inovácie sú nezávislé. Preože p-hodnoa Jarqueho-Berovho esu je , nezamieame na ej isej hladine významnosi hypoézu, že inovácie majú normálne rozdelenie. Tes nulovej srednej hodnoy poskyuje p-hodnou , akže nezamieame ani hypoézu nulovej srednej hodnoy inovácií. Konečne, F- šaisika ARCH LM esu s paramerom sa rovná , akže môžeme nezamienuť ani hypoézu, že v inováciách neexisuje podmienená auoregresná heeroskedasicia. Hodnoy esovacích šaisík a p-hodnoy esov radu inovácií sú uvedené v abuľke 3.4. Tabuľka 3.4 Výsledky esov radu inovácií modelu M H Tes Hodnoa esovacej p-hodnoa šaisiky LM es seriálovej korelácie ARCH LM es Tes srednej hodnoy µ = Jarqueov-Berov es

41 III.. Rad LH Teraz idenifikujeme model v rade LH prirodzených logarimov švrťročných údajov HDP Slovenska Na obrázku 3.3 je zobrazený priebeh časového radu a jeho hisogram, pričom základné šaisické charakerisiky radu LH sú uvedené v abuľke 3.5. Preože Jarqueho-Berova šaisika umožňuje nezamienuť hypoézu, že rad H má normálne rozdelenie, môžeme použiť náš maemaický apará. log HDP Q93 Q94 Q95 Q96 Q97 Q98 Q99 Q00 Q0 Q0 Fre kvencia Obrázok 3.3. Priebeh a hisogram časového radu logarimu HDP Slovenska Údaje sú v logarimoch miliárd SKK v sálych cenách z roku 995. Tabuľka 3.5 Základné šaisické charakerisiky radu LH Charakerisika Hodnoa Sredná hodnoa Medián Maximum Minimum Šandardná odchýlka Šikmosť Srmosť ADF es (5% kriická hodnoa esu).4670 (-.950) ADF es diferencovaného radu (-.954) (5% kriická hodnoa esu) Jarqueova-Berova šaisika.5048 P-hodnoa JB šaisiky

42 Hypoézu, že rad LH má nulovú srednú hodnou môžeme na hladine významnosi α = zamienuť. Skuočne, hodnoa -šaisiky pri esovaní, hypoézy H : µ 0 proi dvojsrannej alernaívnej hypoéze H : µ 0 je 0 = =.5836, pričom kriická hodnoa Sudenovho -rozdelenia s 35 supňami voľnosi na hladine významnosi α = je.030, akže hypoézu môžeme zamienuť. Too nás vedie k omu, že aj pre eno časový rad budeme hľadať model obsahujúci konšanný člen. A Rozšírený Dickeyov-Fullerov es pre nediferencovaný ako aj pre raz diferencovaný rad nám ukazuje, že proces je ypu I(). PACF diferencovaného radu idenifikuje rád auoregresnej zložky p=4 a ACF idenifikuje rád zložky kĺzavých priemerov q=4, ako aj sezónnosť s=4 a rád sezónnych kĺzavých priemerov Q=4. Hodnoy prvých šesnásich ACF a PACF nediferencovaného, ako aj diferencovaného radu sú v abuľke 3.6. Aj v omo časovom rade p- hodnoa Ljungovej-Boxovej Q-šaisiky rovná 0.46 vedie k nezamienuiu hypoézy, že v diferencovanom rade nie je auokorelácia po prvý rád, nebudeme brať do úvahy ie modely, v korých je rád auoregresie rovný p=. Tabuľka 3.6 Hodnoy auokorelačnej funkcie a parciálnej auokorelačnej funkcie nediferencovaného a diferencovaného radu LH Posunuie ACF ACF(d) PACF PACF(d) Posunuie ACF ACF(d) PACF PACF(d)

43 Na základe šaisických vlasnosí pre časový rad LH idenifikujeme model M LH ako SARIMA (3,,4) (0,0,) 4 v vare y = y y y 3 (3.9) y + E E E E 4 Šaisické vlasnosi koeficienov modelu M LH spolu s mierami presnosi predikcie 43 4 vnúri časového radu sú uvedené v abuľke 3.7. Ukážeme, že korene charakerisických polynómov pre auoregresnú zložku a pre zložku kĺzavých priemerov modelu (3.9) ležia mimo jednokového kruhu. Charakerisický polynóm auoregresnej zložky modelu je (3.30) φ 3( B ) = B B B pričom jeho korene sú a ±.34i, ležia eda mimo jednokového kruhu. Proces je sacionárny. Tabuľka 3.7 Šaisické vlasnosi paramerov modelu M LH a miery presnosi predikcie Premenná Koeficien Šandardná -šaisika p-hodnoa chyba µ φ φ φ θ Θ Θ Parameer Hodnoa Miera presnosi Hodnoa Koeficien deerminácie Odmocnina priemernej Adjusovaný koef švorcovej chyby deerminácie Šandardná chyba regresie Priemerná absolúna chyba Súče švorcov rezíduí Priemerná absolúna Logarimická vierohodnosť percenuálna chyba Akaikeho informačné Koeficien Theilovej kriérium nerovnosi 8 3

44 Charakerisický polynóm zložky kĺzavých priemerov má var (3.3) θ ( B ) = B B B 4 a korene ±0.7496±0.7496i, ± ± i, a ± ± i. Je jasné, že všeky ležia mimo jednokového kruhu. Takže proces definovaný modelom je aj inverovaeľný. Tabuľka 3.8 udáva hodnoy esovacích šaisík a p-hodnoy esov niekorých vlasnosí radu inovácií. 8 Tabuľka 3.8 Výsledky esov radu inovácií modelu M LH Tes Hodnoa esovacej p-hodnoa šaisiky LM es seriálovej korelácie ARCH LM es Tes srednej hodnoy µ = Jarqueov-Berov es III..3 Rad RH Treím radom, pre korý budeme idenifikovať SARIMA model, je časový rad percenuálneho empa rasu HDP. Na obrázku 3.4 je zobrazený priebeh časového radu a jeho hisogram. HDP Slovenska v uvažovanom období rásol v sálych cenách z roku 995 priemerne o.6% švrťročne, pričom najviac rásol v druhom švrťroku 000 o 0.6% a najmenej v prvom švrťroku 995, kedy HDP dokonca klesol o 9.7% v porovnaní s predošlým švrťrokom. Základné šaisické charakerisiky radu sú uvedené v abuľke 3.9. Preože Jarqueho-Berova šaisika umožňuje nezamienuť hypoézu, že rad RH má normálne rozdelenie, môžeme použiť Boxovu-Jenkinsovu meodológiu. 44

45 Ras HDP Q93 Q94 Q95 Q96 Q97 Q98 Q99 Q00 Q0 Q0 Frekvencia Viac Obrázok 3.4. Priebeh a hisogram časového radu empa rasu HDP Slovenska Údaje sú v percenách. Tabuľka 3.9 Základné šaisické charakerisiky radu RH Charakerisika Hodnoa Sredná hodnoa.609 Medián Maximum Minimum Šandardná odchýlka Šikmosť Srmosť ADF es (5% kriická hodnoa esu) (-.954) Jarqueova-Berova šaisika P-hodnoa JB šaisiky Tabuľka 3.0 Hodnoy auokorelačnej funkcie a parciálnej auokorelačnej funkcie radu RH Posunuie ACF PACF Posunuie ACF PACF Hodnoa šaisiky rozšíreného Dickeyovho-Fullerovho esu nám udáva yp procesu I(0). Podobne, ako v dvoch predošlých prípadoch idenifikujeme rád auoregresnej zložky p=4, rád kĺzavých priemerov q=4, sezónnosť s=4 a rád sezónnych kĺzavých priemerov Q=4. Ljungova-Boxova šaisika s p-hodnoou rovnajúcou sa 0.4 umožňuje nezamienuť hypoézu, že v procese nie je auokorelačná závislosť prvého rádu. Tabuľka 3.0 udáva hodnoy prvých 45

46 šesnásich ACF a PACF radu RH. Hoci hypoézu, že rad RH má nulovú srednú hodnou nemôžeme na hladine významnosi α = zamienuť, preože hodnoa -šaisiky pri esovaní nulovej hypoézy je =.5556, pričom kriická hodnoa Sudenovho -rozdelenia s 35 supňami voľnosi je.030, pri dodržaní šandardných kriérií, ukázalo sa, že modely s konšanným členom majú lepšie šaisické charakerisiky. Spomedzi viacerých vhodných modelov, na základe ich šaisických vlasnosí, pre časový rad RH idenifikujeme model M RH opäovne ako SARIMA (3,0,4) (0,0,) 4 v vare g = g g g (3.3) + E E E E Tabuľka 3. Šaisické vlasnosi paramerov modelu M RH a miery presnosi predikcie Premenná Koeficien Šandardná -šaisika p-hodnoa chyba µ φ φ φ θ Θ Θ Parameer Hodnoa Miera presnosi Hodnoa Koeficien deerminácie Odmocnina priemernej Adjusovaný koef švorcovej chyby deerminácie Šandardná chyba regresie.5893 Priemerná absolúna chyba Súče švorcov rezíduí Priemerná absolúna.584 Logarimická vierohodnosť percenuálna chyba Akaikeho informačné Koeficien Theilovej kriérium nerovnosi 46

47 Šaisické vlasnosi koeficienov modelu M RH ako aj predikčné schopnosi modelu sú uvedené v abuľke 3.. Tabuľka 3. Výsledky esov radu inovácií modelu M RH Tes Hodnoa esovacej p-hodnoa šaisiky LM es seriálovej korelácie ARCH LM es Tes srednej hodnoy µ = Jarqueov-Berov es Charakerisický polynóm auoregresnej zložky modelu (3.3) je (3.33) φ 3( B) = X X X 3 kým charakerisický polynóm zložky kĺzavých priemerov má var (3.34) θ ( B ) = B B B 4 8 Riešením rovnice (3.33) dosaneme korene -.469, a ±.546i, kým riešením (3.34) dosaneme korene ±0.7497±0.7497i, ± ±0.3845i, a ±0.3845± i. Je jasné, že všeky ležia mimo jednokového kruhu. Proces je eda sacionárny ako aj inverovaeľný. Tabuľka 3. udáva hodnoy esovacích šaisík a p-hodnoy esov niekorých vlasnosí radu inovácií. III.3 Idenifikácia rendov v radoch Vo všekých roch radoch, H, LH a RH, najskôr idenifikujeme rendy a poom v radoch rezíduí idenifikujeme Boxovou Jenkinsovou meodológiou vhodný model. V modeloch budeme uvažovať nasledujúcich päť šandardných ypov rendov: 47

48 konšanný rend v vare (3.35) Tr C = c,, kde c je konšana lineárny rend v vare (3.36) Tr L = a + b, kvadraický rend v vare (3.37) Tr Q, = a + b + c exponenciálny rend v vare (3.38) Tr E = e, a+ b s-krivkový rend v vare (3.39) Tr S = e, a+ b / Vo všekých rendoch vyjadruje poradové číslo pozorovania. Získané rendové funkcie šaisicky vyhodnoíme a pre každý rad vyberieme aký rend, korého šaisické paramere budú najvýhodnejšie. Budeme pri om brať do úvahy šandardné ukazovaele miery presnosi vyrovnania ako aj významnosť získaných paramerov modelu. III.3. Idenifikácia rendu v rade H V rade H sme posupne idenifikovali ýcho päť rôznych rendov. Konšanný rend (3.40) Tr HC, = , lineárny rend (3.4) TrHL, = , 48

49 kvadraický rend (3.4) Tr HQ exponenciálny rend (3.43) Tr HE = e, = ,, a s-krivkový rend / (3.44) Tr HS = e., Šaisické hodnoy paramerov modelu (odhad paramera, šandardná chyba, hodnoa -šaisiky a jej p-hodnoa) sú uvedené v v abuľke 3.3. Vidíme, že všeky odhady paramerov sú šaisicky významné. Miery presnosi vyrovnania rendových funkcií sú uvedené v abuľke 3.4. Porovnaním modelov idenifikujeme v rade H kvadraický rend (3.4). Rad rezíduí, získaný odsránením ohoo rendu z radu H budeme označovať HT. Tabuľka 3.3 Šaisické vlasnosi paramerov rendových funkcií idenifikovaných v rade H Premenná Koeficien Šandardná -šaisika p-hodnoa chyba Trend (3.40) c Trend (3.4) a b Trend (3.4) a b c Trend (3.43) a b Trend (3.44) a b