8.7. G u ľ o v é v ln y v kvapalinách a ply n o ch 8.7. Gulové vlny v kvapalinách a plynoch. Predstavme si, že v určitom okamihu v niektorom bode pruž

Prepis

1 8.7. G u ľ o v é v ln y v kvapalinách a ply n o ch 8.7. Gulové vlny v kvapalinách a plynoch. Predsave si že v určio okaihu v niekoro bode pružného honého prosredia sa začal vyvárať rozruch. Súhrn všekých bodov do korých sa rozruch dosal za rovnaký čas nazýva sa celo vlny v oo čase. Súhrn bodov v korých je vo zvoleno okaihu rovnaký alebo analogický sav nazýva sa vlnoplocha. Priao z definície hoogénneho a izoropného honého prosredia (. j. prosredia korého vlasnosi sú nezávislé od seru v koro sa určujú) vyplýva že v akoo prosredí eda v každej kvapaline alebo plyne sa rozruchy šíria vo všekých seroch rovnakou rýchlosťou. Vo vlnení koré sa šíri v kvapaline alebo plyne z jedného bodu. čelo vlny aj vlnoplochy ajú preo var súsred ných guľových plôch a vlnenie sa nazýva vlnenie gulové. Pri akoo vlnení je napríklad prelak P p p 0 závislý len od času a vzdialenosi r od bodu (sredu guľového vlnenia) kde rozruch vznikol čiže P = P ( r). Zo zákona o zachovaní energie vyplýva že ak v čase x v bodoch povrchu gule s poloero rx so sredo v iese začiaočného bodového rozruchu inenzia vlnenia bola i x = TcvP\ v čase č2 = ŕx -j- (r2 rx) : v v bodoch povrchu gule s poloero r2 inenzia vlnenia bude i 2 pričo je splnená rovnica i x. 47rrf == i 2. r\. j. vzhľado na vzorec (2) predchádzajúceho článku. (1) r kde sa konšana P 0 číselne rovná prelaku v jednokovej vzdialenosi od bodového sredu rozruchu v príslušno čase. Podľa oho výsledku pri guľovo vlnení posupujúco v plynno alebo kvapalno prosredí rýchlosťou v od sredu rozruchu prelak P ako funkcia času a iesa je daný výrazo Vyhovuje parciálnej diferenciálnej rovnici /d2p d2p = v d*p h r š2 + \ dx iay~ rž d2p y.p... + " dzxy 1= r AP o čo sa ôžee presvedčiť uvorení druhej parciálnej derivácie prelaku podľa času ako aj divergencie jeho gradienu a dosadení. Rovnica (3) je veľ i význaná lebo jej vyhovuje nielen gulové vlnenie ale približne ako sa hneď presvedčíe aj akékoľvek iné vlnenie pre biehajúce v plynno alebo kvapalno prosredí bez vnúorného renia.

2 IIyd ra cch a n ik a a aero echaniku Pre akýkoľvek pohyb slačieľnej kvapaliny alebo plynu bez vnúorného renia ak ich erná honosť s závisí len od laku plaí E u lerova rovnica v vare (7.3.7) sr. 248 dv (- v. grad v = grad V grad 0 (4) kde v je rýchlosť pohybu honého prosredia vo zvoleno v priesore nehybno bode V poenciál vonkajšieho silového poľa v oo bode a $ = = / * Rovnicu (4) pre jej aplikáciu na vln ivý pohyb ekuín ôžee upraviť dv na jednoduchší var. D voj člen ---- f- v. grad v. korý á význa zrýchled nia bodu sledujúceho pohyb ekuiny ôžee pri vlnivo pohybe prakickj" vžd y soožniť s časovou zenou rýchlosi v pevne zvoleno bode. j. v ľavej srane rovnice (4) druhý člen zanedbať. Uožňuje o okolnosť že vlnová dĺžka vlnenia je vžd y podsane väčšia ako apliúda výchyliek bodov honého prosredia vo vlnivo pohybe. K eď si okre oho predsavíe že sa plyn alebo kvapalina v korej sa šíri vlnenie nenachádza v nijako vonkajšo silovo poli akže je V = 0 a preo aj grad V = 0 rovnicu (4) dosávae v zjednodušeno vare - ^ r = grad O (5) Podľa vzorca (8.5.1) na sr. 312 lak v ekuine je : pričo p 0 je lak pred vzniko vlnenia <p relaívne zväčšenie objeu čiže dilaácia a k koeficien slačieľnosi. Preože obje ekuiny je nepriao úerný jej ernej honosi ôžee písať: y -n í = f = r ~ 1= akže T" 6 = Ť *0- (1 + 8 použií ýcho výsledkov dosávae: 'rí (6)

3 323 H.7. G u ľ o v é v ln y v kvapalinách a p ly n o c h O Po O a rovnica (5) sa upravuje na var 1 dv -j ^ r = ^ F g ra d ^ <7) kde s0 je erná honos ekuiny pred vzniko vlnenia. Z rovnice (7) vyplýva: Y = T j č Í ^grad ^ d = gľad J ^ k df == grad W o o (8) Podľa oho výsledku rýchlosť eleenov ekuiny pri jej vlnivo pohybe je gradieno svojho poenciálu <9) o korý spĺňa rovnicu dp cp d s0k (10) Rovnica spojiosi slačieľnej ekuiny (7.3.1 sr. 247) je : ŕ) o + div (sv) = 0 Pre prvý člen ejo rovnice podľa vzorca (6) ôžee písať: = d J L d I s \ i + \ = <p) s d ( l cp) = _ '0 d dcp_ 0 d ( ' lebo relaívna zena objeu pri vlnení je vžd y alá. Pre druhý člen dosá vae [pozri aj vzorec (6)] div (s v ) = V. ----v V..s0( l cp) v = <s0( 1 cp) div v f v. grad s0( I 9) -s0 div grad \p s0v. grad cp

4 7. H y d ro e c h a n ík a a aero echanika Pri pozdĺžno haronicko vlnení posupujúco napr. v plynno prosredí koré je vyjadrené funkciou ( sr. 318) pre podiel prvého a druhého člena v získano výsledku vychádza : s0 div s0v lebo napr. pre v 331 /s grad y> =. grad <p u0= v ] u 0v 01 c a v = H z = Preože Uq v ak o býva aj v iných prípadoch druhý člen v predchádzajúco výsledku ôžee zanedbať a napísať : div (s v ) = s0div grad xp = s0 /ip (b) Dosadení výsledkov (a) a (b) do rovnice spojiosi dosávae rovnicu j v. ÚD korá dopĺňa rovnicu (10). Z rovníc (10) a (11) ôžee vylúčiť korúkolvek z obidvoch funkcií (p a xp. Derivovaní rovnice (10) podľa času a s prihliadnuí k rovnici (11) dosávae : d2v 1 (12) pričo se nulu ako index v označení pokojovej ernej honosi už v y nechali. Podobný spôsobo derivovaní rovnice (11) podľa času vychádza: í - i - Konečne ak v ejo rovnici dilaáciu (p s použií rovnice (8.5.l)'nahradíe prelako P p p 0 dosávae rovnicu d2p 1 W = J/c A ť (14) korá vyjadruje šírenie sa rozruchu v plynno alebo kvapalno prosredí poocou veličiny korá najlepšie eno dej charakerizuje poocou súčasne prebiehajúceho kolísania laku.

5 8.7. G u ľo v í; v ln y V 325 v kvapalinách a p ly n o c h ejo súvislosi pre úplnosť odvodí e aj diferenciáli rovnicu vlnenia v neohraniče no pružno avšak pevno a izoropno hono prosredí. Základ n á poh ybová rovnica akéhoo prosredia je rovnica (5.2.3).va = v korej h + d iv N (15; o jo zrýchlenie bodu sledujúceho pohyb prosredia s erná honos h husoa obje ových síl a N enzor napäia. P rá v e ak ako s 3 o urobili pri odvodzovaní diferenciálnych rovníc vlnenia v kvapalinách a plynoch aj pri aplikácii rovnice (15) na vlnivý pohyb obje ové sily zanedbá e a rovnicu napíšee v zjednodušano vare na = d iv N (16) Tenzor napäia N súvisí s enzoro defor ácie D podľa vzahu (5.3.11) N - 1+ akže ^ / ( + l )( - 2 ) D + Cp j. d iv N = pričo e = (17) v ; 2-G> E E div D grad e ( + 1) ( 2) + e2 -f- e3 = d iv u. Pre divergenciu enzora defor ácie D dosáva e: div D = V. D = V. y ( V u - f o V ) = y z ] u - - y y ( y. u ) = j Au + -i- grad div u llovn ica (16) je preo aj #a = d iv N = E 2 ( - f 1) (A u -f grad d iv u) -j IT T s r g rad div -f 1) ( - alebo ak súčasne píšee: a 2) B o d 1u s - _ s- = o.. G 6 /J u grad d iv u Z (18) R ovnica (18) je diferenciálna rovnica vlnenia v hoogénno a izoropno pevno a pružno h ono prosredí. Predsav e si že v pružno a pevno h ono prosredí je rovinné vlnenie s vlnoplocha i koré sú všade kolé na os X zvolenú v oo prosredí. V ý ch y lk a u ui ~ -f- v j + wk honého eleenu z jeho rovnovážnej polohy o korej nevrdí e žeby bola nune rovnobežná s osou X je poo okre od času závislá len o d rsúradnice x. Rovnicu (18) ôžee preo v oo prípade napísať ako:

6 ľ. H y d ro e ch a n ik a a aero ech an ika 326 Táo rovnica je však rovnocenná s ro a skalárny i rovnica i = G G dx* + ^- d*u 2 dx* 1) ~2~ d*u r ~dx* alebo 2 ( - d2u 1) -2 - d 2v G d2v s dx2 dhv G d2w s dx G d *u s dx2 ( 20a) (20b) 2 z korých v y p lý v a že v pevno pružno a izoropno hono prosredí ôžu p o supovať pozdĺžne rovinné vln y rýchlosťou v x j f - rýchlosťou inou = v 2 j/. K ed že 2 ( 1) a priečne rovinné v ln y prie erná hodnoa Poissonovej konšany je 3 je približne v x 2v2. Teno poznaok á v elk ý prakický význa pre šúdiu zeerasení. A k ohnisko zeerasenia je ďaleko seiz ograf (prísroj na regisrovanie alých p oh ybo v zeského povrchu) zaznačí n ajp rv príchod pozdĺžnej vln y a až poo príchod priečnej vlny. P re príslušný časový inerval plaí: A / 1 \ V2 1 ^i L 2vz 2^2 JI z čoho pre vzdialenosť ohniska zeerasenia vychádza: d 2v»A V plyv vera na rýchlosť a inenziu zvuku. Predsave si že v do saočnej výške nad zeský povrcho bodový zdroj rozruchu Z a po zorovaeľ P sú vo vzájonej vzdialenosi l a vzhlado na zeský povrch v pokoji (o b r ). Okre oho si predsave že vzduch sa v blízkosi zdroja a pozorovaeľa pohybuje všade rovnakou rýchlosťou w korá so spojnicou Z P zviera uhol a. K ed zdroj Z na začiaku počíania času vyšle kráky zvukový signál prí slušná laková vlna prejde ieso pozo rovaeľa P v určio čase akže rýchlosť šírenia sa rozruchu v sere Z P je v ' = l/. Zvuk sa však v oo prípade šíri vo vše kých seroch rovnakou rýchlosťou v da nou vzorco (8.5.5) nie vzhlado na