Microsoft Word - Hotova Diplomovka Majko Varga.doc

Prepis

1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY DSGE modelovanie Diplomová práca Braislava 9 Marián Varga

2 DSGE modelovanie DIPLOMOVÁ PRÁCA Marián Varga UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A ŠTATISTIKY Šudijný odbor: 9..9 Aplikovaná maemaika Vedúci diplomovej práce: Ing. Marek Radvanský BRATISLAVA 9

3 Česné prehlásenie Týmo prehlasujem, že som diplomovú prácu vpracoval samosane pod vedením vedúceho diplomovej práce, s použiím eoreických vedomosí a uvedenej lieraúr. V Braislave

4 Poďakovanie Chcel b som poďakovať Ing. Marekovi Radvanskému za jeho podnené nápad a pripomienk, posknuie vhodných maeriálov, ako aj za obeovaný čas a množsvo rpezlivosi.

5 Absrak Dnamické sochasické model všeobecnej rovnováh, skráene DSGE model, paria v posledných rokoch k hlavnému prúdu ekonomického modelovania. Snažia sa popisovať ekonomický ras, flukuácie v ekonomike a akiso aj vplv moneárnej, či fiškálnej poliik v danej ekonomike. Dôležiým prínosom ýcho modelov je, že na rozdiel od klasických makroekonomerických modelov sú posavené na silných mikroekonomických základoch. Aj keď je DSGE modelovanie vo svee značne rozšírené, na Slovensku eše nie je dosaočne známe. Práca približuje eóriu DSGE modelovania a popisuje jeho základné meód. Tie sú vužié pri práci s jednoduchým DSGE modelom a pri spracovaní údajov popisujúcich slovenskú ekonomiku. Kľúčové slová: DSGE model, DSGE modelovanie, real business ccle (RBC)

6 Obsah Úvod... DSGE modelovanie Základná charakerisika...3. Vznik DSGE modelovania Súčasi DSGE modelu Základné vev DSGE modelovania DSGE modelovanie doma a v zahraničí...7 DSGE model Real Business Ccle model Aproximácia a riešenie DSGE modelu Log-Linearizácia Meód riešenia Meóda Blancharda a Kahna Uhligova meóda Spracovanie dá Odsránenie rendu Derending a diferenciácia H-P filer Izolácia cklov Teória komplexných čísel Spekrum Vužiie filrov pri izolácii cklov Nepresnosť pri odsraňovaní rendov a izolácii cklov Riešenie jednoduchého RBC modelu Dosadenie funkčných foriem Log-linearizácia modelu Aplikácia meód riešenia Business ccle dáa SR Aplikácia meód na odsránenie rendu Aplikácia filrov na izoláciu cklov...5 Záver Použiá lieraúra... 56

7 Úvod Na popisovanie vývoja a hlavných vzťahov v ekonomike sa začali vo veľkej miere používať DSGE model. Pomal ak nahrádzajú populárne makroekonomerické model, koré boli určené hlavne na prognózovanie. Hlavným dôvodom je, že DSGE modelovanie je založené na mikroekonomických základoch, čím sú vzťah v ýcho modeloch ľahšie logick inerpreovaeľné. Cieľom ejo práce je priblížiť základné meód používané pri DSGE modelovaní, keďže na Slovensku je eno smer málo znám. Práca sa skladá z viacerých časí. V prvej kapiole sa snažíme načrnúť všeobecnú charakerisiku DSGE modelovania. Druhá kapiola predsavuje jednoduchý DSGE model, RBC model, popisuje jeho rovnice a základné vzťah. Treia kapiola približuje echnik, koré sú najčasejšie používané pri riešení modelov. Vo švrej kapiole prezenujeme meód, používané pri spracovaní dá. To je nevhnuné pre prepojenie vlasnosí dá s ým, čo modeluje eoreický model. V piaej kapiole je na model z druhej kapiol aplikovaná meóda riešenia, pričom vsupmi sú slovenské paramere. Posledná kapiola sa zaoberá aplikáciou meód popísaných v švrej kapiole na slovenské dáa.

8 DSGE modelovanie. Základná charakerisika Dnamic Sochasic General Equilibrium, skráene DSGE modelovanie, predsavuje v posledných rokoch moderný prúd ekonomického modelovania. Meodológia DSGE sa snaží popisovať rôzne jav v ekonomike, ako napríklad ekonomický ras, biznis ckl, vplv menovej či fiškálnej poliik. Pracuje s modelmi, koré sa od svojich predchodcov líšia silným vplvom mikroekonomických princípov. Ako vplýva z názvu, ieo model sú dnamické, preože skúmajú ako sa ekonomika vvíja v čase. Sú akiež sochasické, keďže sa zaoberajú aj ým, ako je ekonomika vsavená rôznm náhodným šokom (šok spôsobuje napríklad echnologický pokrok či flukuácie cien palív). Súčasťou názvu je aj pojem general equilibrium. V preklade o znamená všeobecná rovnováha, čo je jedným zo smerov eoreickej mikroekonómie. Snaží sa vsveľovať vývoj ponuk, dopu a cien v ekonomike hľadaním ekvilibira (rovnováh na rhu), pričom skúma individuálne rh a agenov (napr. domácnosi, firm) v danej ekonomike. Preo sú DSGE model posavené na mikroekonomických základoch. Tradičné makroekonomerické model, určené na prognózovanie, používané cenrálnmi bankami od 7-ch rokov minulého soročia do dnes, odhadujú dnamické vzťah medzi rôznmi sekormi ekonomik a časo obsahujú viac ako so premenných. Na druhej srane, DSGE model síce sú náročnejšie pri riešení a analzovaní, ale absrahujú od veľkého poču sekorových vzťahov. Obsahujú väčšinou omnoho menej premenných, najviac okolo so premenných pri experimenálnch prognosických DSGE modeloch, koré sú konšruované cenrálnmi bankami (napr. model BEQM, The Naional Bank of England, bližšie popísaný v časi.5). Hlavnou výhodou DSGE modelov oproi makroekonomerickým modelom je fak, že vzťah v ýcho modeloch sú ľahšie logick inerpreovaeľné, keďže sú založené na mikroekonomických princípoch. Vo všeobecnosi sa dá povedať, že DSGE model sa používajú na simuláciu rôznch šokov, korým sú ekonomik vsavené, alebo na prognózovanie vývoja ekonomik. Pri simulácii sa časo uplaňuje iba čiso eoreický model, alebo sa model kalibruje podľa reálnch údajov ak, ab čo najlepšie vsihoval siuáciu v konkrénej ekonomike. Veľakrá sa pomocou DSGE modelov skúma aj o, aký je vplv 3

9 jednolivých pov menových či iných šrukurálnch poliík a šokov na vývoj ekonomik.. Vznik DSGE modelovania Prvý článok, korý podnieil rozvoj DSGE modelov, publikovali Kdland a Presco v roku 98. Základným prispením ejo práce bola zmena pohľadu na o, ako makroekonómovia vedú empirický výskum. Empirickou paradigmou, korá ovplvňovala výskum vo vedajšom čase, bolo hlavne zameranie sa najmä na čiso šaisickú sránku makroekonomického správania sa, alebo zameranie sa na model zo ssémov rovníc, koré ignorovali uvažovanie všeobecného ekvilibria a očakávania agenov. Kriik oho prísupu, koré podložil Lucas (976) a akiež meodológie Simsa (97), či Hansena a Sargena (98) vvolali prechod k novej empirickej paradigme. V omo prechodnom období sa zaviedla isá eoreická disciplína v charakerisikách redukovanej form makroekonomických ssémov. Zdrojom ejo disciplín sa sala rieda DSGE modelov. Základom ejo eoreickej disciplín bolo hlavne zavedenie rôznch rovnicových ohraničení, pri korých sochasické vlasnosi súboru exogénnch premenných, v spojení s očakávaniami agenov, spôsobovali endogénne sochasické správanie premenných určovaných agenmi. Používanie ýcho ohraničení bolo napriek omu vedľajšie, akže špecifikácie redukovanej form naďalej slúžili ako základ empirického výskumu. Kdland a Presco však definiívne zmenili predchádzajúci prísup. Ako odkaz ich práce, DSGE model už dlhšie neslúžia ako vedľajšie zdroje eoreickej disciplín, založenej na šaisických špecifikáciách. Tieo model sa naopak sávajú základom, korým sa riadi empirická práca makroekonómov. Dôsledkom oho sa v DSGE modelovaní začínajú zavádzať rôzne nové meodológie a prísup. To isé plaí aj pre šaisické posup s korými je eno výskum spojený. Napriek charakerisickej heerogenie meód použiých pri sledovaní súčasného empirického makroekonomického výskumu je prínos Kdlanda a Prescoa významný. Ich spoločnou prevranou prácou bol článok: Finn Kdland and Edward Presco (98), Time o build and aggregae flucuaions. Economerica 5, pp

10 .3 Súčasi DSGE modelu DSGE model pozosávajú zo súborov rovníc, koré sa voria opimalizáciou na mikroekonomickom základe. To znamená, že ageni (domácnosi, firm) opimalizujú svoje správanie. Na omo princípe je položené aj odvodenie rovníc modelu. Model väčšinou pozosávajú z viacerých blokov. Časo popisujú viacero sekorov, medzi inými aj sekor domácnosí, korý charakerizujú rovnice popisujúce opimálne správanie domácnosí. Tie sa snažia maximalizovať súčasnú hodnou očakávanej užiočnosi pri určiých rozpočových ohraničeniach. Ďalší blok modelu popisuje opimálne správanie firiem, koré sa snažia maximalizovať súčasnú hodnou očakávaného zisku. Časo sa v modeloch uvažuje aj úloha menovej poliik, ked cenrálna banka nasavuje úrokové sadzb v domácej ekonomike. Na o sa používajú rôzne modifikácie Tlorovho pravidla. Rozsah modelov je však väčšinou rôzn a líši sa podľa oho na aký účel má bť DSGE model konšruovaný. DSGE model sa snažia rozlúšiť a popísať nasledujúce aspek ekonomik : Preferencie: musia bť špecifikované ciele agenov v danej ekonomike. Napríklad, domácnosi sa snažia maximalizovať súčasnú hodnou očakávanej užiočnosi, firm sa snažia maximalizovať svoj zisk. Technológie: musí bť špecifikovaná produkčná kapacia agenov v ekonomike. Napríklad firm majú svoju produkčnú funkciu, určujúcu koľko ovarov sa vprodukuje na báze kombinácie pracovnej sil a kapiálu. Inšiucionáln rámec: musia bť určené inšiucionálne obmedzenia, pri korých ageni v ekonomike vsupujú. To napríklad znamená, že ageni sa rozhodujú na základe určiých rozpočových obmedzení. Takiso sa špecifikujú pravidlá menovej a fiškálnej poliik a ako sa menia rozpočové ohraničenia v závislosi od bankovo-poliických procesov. Špecifikovaním preferencií (aké sú ciele agenov), echnológií (čo vedia ageni vprodukovať) a inšiúcií (ako ageni navzájom vplývajú v ekonomike), je možné zosrojiť a vriešiť DSGE model, korý ukáže koľko sa akuálne produkuje, obchoduje, Podľa Ódor, Ľ.: Šrukurálna makroekonomeria. NBS, Braislava 8 5

11 či konzumuje. Je akiso možné urobiť predikcie, čo nasane, keď sa bude meniť inšiucionáln rámec (napr., keď sa zmení menová poliika ekonomik). Výhodou DSGE modelov je, že na nich neplaí Lucasova kriika 3. Lucas vrdil, že predikcie v klasických makroekonomerických modeloch nie sú správne, preože ieo model vužívajú korelácie medzi premennými, koré boli pozorované v minulosi z hisorických dá. Tieo korelácie sa môžu zmeniť pri zavedení novej menovej poliik a ým pádom sú predikcie založené na hisorických pozorovaniach nepravdivé. V prípade DSGE modelov sa však na základe mikroekonomickej eórie pri zmene menovej poliik môžu meniť aj preferencie agenov. Aj keď je DSGE meodológia pomerne rozvinuá a rozšírená, je náročné skonšruovať DSGE model. Dané je o najmä ým, že je ťažké dokonale idenifikovať všek porebné vzťah eoreického modelu ekonomik a problémová môže bť aj kalibrácia modelu (voľba paramerov modelu). Preo viacero cenrálnch bánk sále osáva pri radičných makroekonomerických modeloch pre krákodobé prognózovanie..4 Základné vev DSGE modelovania V DSGE modelovaní sa od jeho vzniku posupom času vvinulo aj viacero smerov. Najvýraznejšie sú však dve základné škol modelovania: Real business ccle (RBC) model a New-Kenesian DSGE model. RBC eória je založená na neoklasickom modeli rasu, pričom sa predpokladá, že cen sú flexibilné. Táo eória predpokladá, že flukuácie reálnch veličín sú spôsobené len reálnmi šokmi echnologickým pokrokom, alebo šokmi vládnch výdavkov. Za zakladaeľov ejo eórie sa považujú Kdland a Presco (98), korí zároveň svojou prácou prispeli k vzniku DSGE modelovania vôbec. New-Kenesian model sú šrukúrou podobné RBC modelom, ale na rozdiel od nich predpokladajú, že cen sú určované monopolisickou konkurenciou, eda predpokladajú nominálne nepružnosi (nepružné cen, nepružné mzd). Tieo nepružnosi majú za následok, že aj nominálne šok spôsobujú flukuácie reálnch veličín. Tieo model popisujú rozhodovanie domácnosí, firiem, cenrálnch bánk a 3 Túo kriiku Lucas publikoval v odbornom článku v roku 976. Lucas, R.: Economeric Polic Evaluaion. A criique. Camegie-Rocheser Conference Series on Public Polic, 976, pp

12 ďalších ekonomických agenov. Jeden z prvých odhadnuých modelov, založených na ejo eórii, je od auorov Roemberga a Woodforda (997) 4..5 DSGE modelovanie doma a v zahraničí Aj keď sa DSGE začali vo svee používať už v 8-ch rokoch na Slovensku sa áo meodológia začala používať relaívne nedávno. Národna Banka Slovenska v roku 8 predsavila model 5, korý vchádza zo základného novokenesiánskeho modelu pre malú ovorenú ekonomiku. Novokenesiánsk model je základom aj pre viaceré menšie model vo svee. Prakickou aplikáciou slovenského modelu je simulácia vplvov šokov na ekonomiku (napr. šok v nominálnej úrokovej sadzbe, šok v reálnom výmennom kurze). Ako uvádzajú auori, model nie je vhodný na kvaliaívnu analýzu. Ab sa dal použiť aj pre poreb prognózovania, reba ho rozšíriť, čo bude aj predmeom ďalšieho výskumu v NBS. Rozšírený model b mal podľa ich slov, okrem iného, obsahovať aj kapiálové a vládne výdavk, nepružnosi na kapiálovom rhu a rhu práce. Známejšie európske model vvinuli v cenrálnch bankách Veľkej Briánie, Fínska alebo Švédska. Skúsenosi s DSGE modelmi majú aj slovenskí susedia z Česka, Maďarska aj Poľska 6. Priblížime si ich nižšie. Pomerne rozsiahl model s názvom BEQM (The Bank of England Quarerl Model), vvorený cenrálnou bankou Veľkej Briánie, sa sal dôležiým násrojom kvarálneho prognózovania v ejo krajine. Je o pomerne rozsiahl model skladajúci sa z roch časí: základom práce je Concepual Model, obsahuje základný eoreický model; v druhej časi, Daa-Adjused Model, je eno model rozšírený o ďalšie premenné, čo zabezpečuje lepší súlad s empirickými údajmi; reia časť, Operaional Model, je vužívaná najmä na prognosické účel, pri prognózovaní ďalšieho vývoja ekonomik. 4 Model popísali v práci: Julio Roemberg and Michael Woodford (997), An opimizaion-based economeric framework for he evaluaion of monear polic. NBER Macroeconomics Annual, pp Bližšie je model popísaný v článku: Juraj Zeman, Maúš Senaj: Modelovanie vývoja slovenskej ekonomik pomocou základného DSGE modelu. IN: Biaec, ročník 6, 3/8. 6 Týmio modelmi sa bližšie zaoberá článok Maúš Senaj: DSGE modelovanie nová výzva pre NBS. IN: Biaec, ročník 5, 8/7. 7

13 Fínska cenrálna banka vvorila model s názvom AINO. Vužívajú ho na analýzu krákodobých a dlhodobých rendov v ekonomike, zároveň však slúži aj na prognózovanie. Jeho jadro vorí neoklasický základ, korý obsahuje niekoľko zaujímavých rozšírení. Napríklad obvaeľsvo nie je homogénne a rozdeľuje sa na pracujúcich a na dôchodcov. Tako je možné sledovať dopad demografických zmien na vývoj ekonomik. Vo švédskej cenrálnej banke vvinuli model s názvom RAMSES. Slúži na analýzu menovej poliik krajin a akiso na prognosické účel. Teno model je isou modifikáciou šrukurálneho modelu pre ovorenú ekonomiku. Modifikácia je založená na upravení úrokovej pari ak, ab bola konzisenná s reálnmi údajmi. Zaujímavosťou je aj zavedenie negaívnej korelácie medzi rizikovou prirážkou na zahraničné invesície a očakávanou zmenou výmenného kurzu. Poľská cenrálna banka prevorila švédsk model a jeho paramere odhadli na základe poľských údajov. Používa sa najmä na makroekonomické simulácie. Poliaci omuo modelu dali názov SOE-PL. Nakoniec reba spomenúť aj vvorenie českého DSGE modelu, keďže en bol základom aj pre prvý DSGE model slovenskej cenrálnej bank. Česká národná banka sa DSGE modelovaniu začala venovať v roku 4. Publikovali už viacero prác založených na problemaike DSGE modelovania. Práca Vašíčka a Musila (6) z Českej národnej bank popisuje novokenesiánsk DSGE model pre malú ovorenú ekonomiku, korý je vhodný na prognózovanie makroekonomických veličín, ale akiso popisuje reakcie ekonomik na rôzne šok. 8

14 DSGE model Real Business Ccle model Podsaou RBC modelov je neoklasické uvažovanie rasu ekonomik, rozšírené o základné čr: ageni sa rozhodujú medzi prácou a nič nerobením, a významnú úlohu zohráva sochasickosť, korá ovplvňuje echnologický progres. Uvažujme ekonomiku, korá pozosáva z obrovského poču idenických domácnosí. Cieľom každej domácnosi je maximalizovať očakávanú diskonovanú hodnou užiočnosi U, pričom si vberajú medzi sporebou a oddchom: ( c l ) c, l U E u, max β. (.) E je operáor očakávaní podmienený informácii v čase, (,) β je diskonný fakor, u () je okamžiá funkcia užiočnosi, c označuje úroveň sporeb, l vjadruje úroveň oddchu v čase. Domácnosi sú vbavené aj určiou produkčnou echnológiou, korou v čase produkujú ovar. Produkčná funkcia je reprezenovaná ako a f( k n ), (.), kde k a n označujú množsvo fzického kapiálu resp. prácu, korou domácnosi zabezpečujú produkciu, a označuje náhodné narušenia ýcho dvoch produkčných fakorov (hovoríme omu aj produkčný alebo echnologický šok). V každej jednej perióde majú domácnosi k dispozícii jednu jednoku času na rozdelenie medzi prácu a oddch, eda n l. (.3) Výsup vrobený v čase sa môže sporebovať alebo môže bť použiý na rozšírenie zásob fzického kapiálu, korý je použieľný v čase na ďalšiu produkciu. To znamená, že výsup môže bť buď sporebovaný alebo invesovaný: c i, (.4) kde i označuje množsvo invesícií. Nakoniec, úroveň fzického kapiálu sa vvíja podľa rovnice kde (,) ( ) k, k i δ (.5) δ označuje mieru amorizácie kapiálu. Úlohou domácnosí je eda maximalizovať (.) pri splnení podmienok (.) až (.5), keď k a a sú dané. 9

15 Špecifickou črou pri ejo úlohe domácnosí sú konflik, koré u nasávajú. Prvým je konflik sporeba/úspor: vššia súčasná sporeba implikuje nižšie invesície (úspor) v budúcnosi alebo menej kapiálu pre ďalšiu produkciu. Druhý konflik predsavuje práca/oddch, viac oddchu implikuje menej vprodukovanej práce a eda menší výsup. u () a () Dôležiým krokom pri vorbe oho modelu je aj špecifikácia funkčnej form pre f, a akiso charakerizácia sochasického správania produkčného šoku a. Prvoným cieľom eórie RBC je špecifikovať model ak, ab zachával dôležié charakerisik ekonomického rasu, a následne posúdiť, ako je model schopný zachávať kľúčové komponen akivi business ccle. Z pohľadu vorb modelu, ieo ciele zohrávajú dôležiú rolu pri voľbe funkčných foriem u () a () a sochasického procesu f, a. V omo konexe sú významnými ri základné aspek ekonomického rasu, slúžiace ako obmedzenia: v dlhodobom horizone sú úrovne rasu veličín { c i,, k }, skoro rovnaké (rovnomerný ras), marginálne produkcie kapiálu a práce sú približne konšanné v čase, a { l, n } nepreukazujú žiadne rend v dlhodobom vývoji. S ohľadom na ieo obmedzenia, funkčná forma u () je zväčša rasúca v oboch argumenoch, je spojie diferencovaeľná, konkávna a spĺňa ( c, l ) u( c l ) u, limc liml c l. Funkčné form f () väčšinou vkazujú konšanné výnos z rozsahu a spĺňajú analogickú liminú podmienku. Jedným zo spôsobov riešenia problému domácnosi je aplikácia eórie dnamického programovania. Dosaneme ak nuné podmienk pre riešenie oho problému, zv. Eulerove podmienk: u u ( c, l) u( c, l) f( k, n), l c n ( c, l ) u( c, l ) f( k, n ) c βe ( ). δ c k (.6) (.7) Podmienka opimali (.6) je vlasne margináln úžiok z ďalšej jednok voľného času spojený s nákladmi sraenej príležiosi: marginálna hodnoa sraenej produkcie spôsobenej príslušným znížením času sráveného prácou. Podmienka opimali (.7)

16 predsavuje margináln úžiok z ďalšej jednok dnešnej sporeb spojený s cenou sraenej príležiosi: diskonovaná očakávaná hodnoa zajrajšej pridanej užiočnosi, vváraná príslušným úbkom v úsporách. Po dosadení konkrénch funkčných noriem u () a f (), a špecifikovaním sochasického procesu a môžeme použiť Eulerove podmienk. Tak získame ssém lineárnch a nelineárnch rovníc, koré charakerizujú výsledný model.

17 3 Aproximácia a riešenie DSGE modelu Empirické skúmanie DSGE modelov väčšinou vžaduje prípravné fáz. Prvá fáza zahŕňa prípravu eoreického modelu ako akého, druhá je zameraná na prípravu dá, s korými má model pracovať. Čo sa ýka prípravnej fáz, DSGE model zväčša obsahujú 3 časi: charakerizáciu prosredia, v korom sa rozhodujú plánovači, súbor pravidiel, podľa korých sa rozhodujú a akiso aj charakerizáciu neurčiosi, korej musia čeliť pri svojich rozhodnuiach. Dohromad ieo časi vvárajú nelineárn ssém diferenčných rovníc s očakávaniami a ohraničeniami. Takéo ssém sú síce nie vžd prísupné empirickej analýze, ale môžu bť konverované na riešieľné ssém pomocou dvoch základných krokov. Prvý krok zahŕňa konšrukciu lineárnej aproximácie modelu. Tak, ako vieme ľahko aproximovať nelineárne rovnice pomocou Tlorovho radu, akiso vieme aproximovať aj nelineárne ssém diferenčných rovníc s očakávaniami. Druhým krokom je riešenie akejo lineárnej aproximácie. Too riešenie je napísané (pokiaľ ide o premenné) vo forme odchýlok od hodnô rovnovážneho savu, čo je možné empirick vriešiť. Hlavným cieľom ejo časi práce je inuiívne zachiť a pochopiť prípravnú fázu modelu a posknúť užiočné násroje pri jej realizácii. Samozrejme, exisuje viacero spôsobov a meód, korými sa pri aproximácii a riešení modelu dá posupovať. Môžeme spomenúť napríklad projekčné meód, value-funcion ierácie alebo polic funcion ierácie (Heer and Maussner, 5). Tieo alernaív nám dávajú nelineárne aproximácie skúmaného modelu. Najpoužívanejšou alernaívou pri aproximácii modelu sú perurbačné meód. 3. Log-Linearizácia Cieľom log-lineárnej aproximácie je prevoriť ssém nelineárnch diferenčných rovníc na ssém lineárn. V konexe RBC modelov, exisuje viacero spôsobov ako pri loglinearizácii.posupovať. Základným spoločným princípom je však použiie Tlorovej aproximácie okolo rovznovážneho savu. Tým sa všek rovnice nahradia

18 aproximáciami, koré sú lineárnmi funkciami v logarimovaných odchýlkach premenných (od rovnovážneho savu). Nech x je vekor premenných, x ich rovnovážne sav a x log x log x (3.) je vekor logovaných odchýlok od rovnovážneho savu. Rovnice charakerizujúce ekvilibrium modelu vieme napísať v vare f x, x (3.) kde f (,) a g (,) x rovníc okolo ( x, ) (,) ( ) [ g( x, x )] E (3.3). Ak spravíme Tlorovu aproximáciu prvého rádu ýcho, dosaneme f (3.4) x f x [ g x g x ] Tak dosaneme lineárn ssém premenných E. (3.5) x, a premenných x, x v rovniciach s očakávaniami. x v deerminisických rovniciach Vo väčšine prípadov nie je porebné explicine diferencovať funkcie f a g. Log lineárn ssém vieme získať aj nasledujúcim spôsobom. Zo vzťahu (3.) vplýva, že x vieme napísať ako kde ( ) x x exp (3.6) x x je reálne číslo blízke. Rovnako, nech je reálne číslo blízke. Rovnice zlogarimujeme na obidvoch sranách a vužijeme nasledujúce aproximácie: exp x a x a kde E ( ) x [ a exp ( x )] E [ ax ] c a, c sú konšan. Druhá rovnica plnie z oho, že x a sú veľmi malé čísla. Cieľom linearizácie je konverovať rovnice modelu na lineárn ssém, korý je poom možné jednoducho riešiť nižšie popísanými echnikami. Dôvodom oho kroku je najmä o, že expliciné riešenia modelov pozosávajúcich z nelineárnch diferenčných rovníc sú zvčajne nemožné, keďže je porebné príliš veľké množsvo výpočov. 3

19 Tvar ssému, korý po log-linearizácii dosaneme, sa dá zapísať ako 7 Ax Bx, (3.7) kde budú premenné zapísané ako logované odchýlk od hodnô rovnovážneho savu. 3. Meód riešenia Po om, čo sme aproximovali model do form (3.7), je našom ďalšou úlohou nájsť riešenie vo forme. Fx Gv x (3.8) Too riešenie reprezenuje vývoj premenných { x }, koré sú funkciou { } v, kde v označuje vekor exogénnch inovácií, alebo lepšie povedané, vekor šrukurálnch šokov. Exisuje viacero prísupov, korými sa dá riešiť ransformácia z form (3.7) na ssém varu (3.8). Každý z ýcho spôsobov zahŕňa určiú alernaívu vjadrenia (3.7) a používa vlasné špecifické značenia. M si predsavíme meódu Blancharda a Kahna (98) a Uhligovu meódu (999), korá je založená na meóde neurčiých koeficienov. Ďalšími používanými meódami sú napríklad Simsova () a Kleinova (), korá je isým spojením Blanchard-Kahnovej a Simsovej meód. Predým, ako popíšeme meódu Blancharda a Kahna, si ukážeme jeden zo základných príkladov ssému form (3.7), korý použijeme pri vsvelení všeobecných princípov meód, a korý nám pomôže ju lepšie pochopiť. Je o linearizovaná sochasická verzia Ramseho modelu opimálneho rasu (Romer, 6). Model je vjadrený v nasledovnom vare: a α k (3.9) γ c γ i (3.) c i θ E (3.) ( c ) θ E ( a ) θ E ( k ) θ c c a k c k a δ k δ i (3.) k i ρ ε. (3.3) a 7 Dochádza u k zmene značenia, kde x eraz označuje vekor všekých premenných modelu. 4

20 5 Rovnica (3.9) je linearizovaná produkčná funkcia, (3.) popisuje rozdelenie produkcie (výsupu), (3.) zahŕňa očakávania agenov, (3.) popisuje vývoj kapiálu, (3.3) špecifikuje lineazirovanú rovnicu echnologického procesu. Premenné { } a k i c,,,, reprezenujú výsup, sporebu, invesície, fzický kapiál a šok produkivi. Všek sú vjadrené v logarimických odchýlkach od hodnô rovnovážneho savu. Parameer ε je nekorelovaný sochasický proces. Vekor [ ] ρ δ δ θ θ θ θ γ γ α µ i k c k a c i c zahŕňa zv. deep paramere, eda šrukurálne paramere modelu. Pomocou dvoch modifikácií môžeme model dosať do varu, korý sa podobá zápisu (3.7). Prvým krokom je, že v rovnici (3.) neuvažujeme operáor očakávaní () E, namieso oho zavedieme do rovnice chbu očakávaní, korú označíme ako c η. V druhom kroku, inováciou výrazu ε v rovnici (3.3) ssém prispôsobíme vššie popísaným zmenám. Výsledný model má eda nasledujúci var: x A a k c i c a k i c θ θ θ γ γ α { x B k i c a k i c ρ δ δ θ C ν ε

21 D. (3.4) η c 3 η 3.. Meóda Blancharda a Kahna Táo meóda riešenia modelu je jednou z najpoužívanejších meód a aplikuje sa na model zapísané ako x E ( x ) x x A Ef, (3.5) kde sú premenné modelu rozdelené na: n vekor endogénnch predeerminovaných premenných x (obsahuje premenné, pre koré ( x ) x endogénnch nepredeerminovaných premenných E ), a n vekor x (pre koré E( x ) x η, kde η reprezenuje chbu očakávaní). Nakoniec, k vekor f zahŕňa exogénne premenné modelu. Ak procesom linearizácie modelu nedosaneme auomaick požadovaný var form (3.5), v om prípade musí bť implemenovaný prípravný krok, napr. podľa Kinga a Wasona (). Teno krok je vlasne redukciou ssému: ide o o, že model sa zapíše pomocou podmnožin premenných, koré sú deerminované. Pre lepšiu predsavu uvažujme, že merania pre šok produkivi a a kapiál k sú posačujúce pre určenie výsupu v rovnici (3.9), a pre dané, pozorovanie pre sporebu c alebo invesícií i sačí na určenie oboch premenných pomocou (3.). Tako eda posupujeme, keď pracujeme priamo s { c, k, a } {, } ako funkcie { c, k, a }. V rojici { c, k, a } i použijúc (3.)-(3.3), a pomocou (3.9) a (3.) získame je k predeerminované (pre dané k a i, k je určené ako v (3.)); c je endogénne, ale nie predeerminované (ako vidno z (3.), c je spojené s chbou očakávaní); nakoniec a je exogénna premenná. Tako podľa zápisu (3.5) hľadáme špecifikáciu modelu vo forme 6

22 k k. ( A ) Ea (3.6) E c c Ab sme úo formu mohli získať, zaveďme si pomocné vekor a poznamenajme, že [ i] ξ, a [ k c ] E ( a ) a ζ, ρ. Pri ako definovaných premenných, model možno zapísať ako α ξ ζ a γ i γ c { ψ ψ ψ (3.7) θ k θ c θ c θ aρ E ( ) a ζ ζ ξ δ δ. (3.8) ψ 3 k 443 ψ 4 i 443 ψ 5 Ďalej, dosadením (3.7) do (3.8), čo vžaduje inverziu ψ v rovnici (3.7), dosávame ( ζ ) [ ψ 4 ψ 5ψ ψ ] ζ [ ψ 6 ψ 5ψ ] a ψ E. (3.9) 3 ψ Nakoniec, prenásobením (3.9) výrazom 3 ψ 6 ψ dosávame špecifikáciu modelu v hľadanej forme (3.6). Teraz už môžeme implemenovať Blanchard Kahnovu meódu pre nájdenie riešenia modelu. Posupnosť krokov meód a ich implemenáciu si vsvelíme použiím značenia podľa (3.5). Meóda začína Jordanovou dekompozíciou maice A, čo nám dáva A Λ JΛ, (3.) kde diagonálne prvk maice J, pozosávajúce z vlasných hodnô maice A, sú usporiadané podľa absolúnej hodno vlasných hodnô zosupne zľava doprava. Maicu J môžeme eda zapísať ako J J, (3.) J kde vlasné hodno J ležia na alebo vnúri jednokového kruhu a vlasné hodno J ležia mimo oho kruhu. V omo prípade sa hovorí, že J je nesabilná preože diverguje, keď n rasie. Maice Λ a E môžeme rovnako rozpísať ako n J Λ Λ Λ Λ E, E, (3.) E 7

23 8 kde Λ je podobná ako J, aď. Pokiaľ poče nesabilných vlasných hodnô je rovný poču nepredeerminovaných premenných, exisuje jediné riešenie modelu. Ak poče nesabilných vlasných hodnô je väčší ako poče nepredeerminovaných premenných, riešenie neexisuje; v opačnom prípade exisuje nekonečne veľa riešení ssému.. Uvažujúc prípad jediného riešenia, dosadením za A a E v rovnici (3.5) dosávame nasledujúci ssém: ( ). f E E x x J x E x Λ Λ (3.3) Teraz prenásobíme obidve sran rovnice maicou Λ, z čoho dosaneme ( ) f D D x x J J x E x & & & &, (3.4) kde Λ Λ Λ Λ x x x x & &, (3.5) Λ Λ Λ Λ E E D D. (3.6) Táo ransformácia efekívne rozdeľuje ssém ak, že nepredeerminované premenné závisia iba na nesabilných vlasných hodnoách A obsiahnuých v J. Keď máme ako rozdelený ssém, odvodíme riešenie pre nepredeerminované premenné vkonaním ierácií (3.7)-(3.9) pre spodnú časť (3.4). Použijeme označenie f na popísanie časi f zodpovedajúcej D, čo použijeme nižšie. Vjadrime eda spodnú časť (34) ako ( ) f D J x E J x & &. (3.7) Z oho logick máme výraz pre x&, korý má var ( ) f D J x E J x & &, (3.8) čo môžeme dosadiť do (3.7), čím dosaneme ( ) ( ) f D J f E D J x E J x & &. (3.9) Priom bolo v rovnici (3.9) vužié Pravidlo ierovaných očakávaní (Law od Ieraed Expecaions), koré hovorí, že ( ) [ ] ( ) x E x E E

24 pre všek x (Ljungqvis a Sargen, 4). Keďže J obsahuje nesabilné vlasné hodno, ierácií vedie k J n sa zmenšuje, keď n ide do nekonečna. Teda pri pokračovaní proces i ( i ) ( f ) x& J D E. (3.3) Keď sa vráime späť, k vjadreniu i x podľa (3.5), dosávame, že i ( i ) ( f ) x Λ Λ x Λ J D E. (3.3) i V konexe vzorového modelu predsaveného vššie o znamená, že a eda z rovnice (3.3) máme (3.3), eda: i ( f i) ρ a E, ( I J D ) a x Λ Λ x Λ J ρ. (3.3) Nakoniec, na vriešenie vrchnej časi ssému (3.4), si rozpíšeme hornú časť v kde A a A sú rozkladom x, vužijúc (3.3) vedie k riešeniu pre x Ax A x E f, (3.33) Λ JΛ, zodpovedajúce x a x. Poom, dosadenie za x, vo forme danej rovnicou (3.8). Na záver reba povedať, že použiiu ejo meód predchádzajú zväčša isé požiadavk. Časo je dôležié špecifick redukovať ssém ak, ab sme získali formu modelu, korá pozosáva z podmnožin svojich premenných. Premenné v ejo podmnožine sa rozlišujú podľa oho, či sú predeerminované, alebo nepredeerminované. Takiež, je porebná inveribilia maíc ψ a ψ 3, ab sme mohli získať akú špecifikáciu modelu, korú možno riešiť. 3.. Uhligova meóda Uhlig (999) predsavil meódu, korá je založená na meóde neurčiých koeficienov. Základnou mšlienkou je nájsť riešenie v vare, kde budú všek premenné lineárnmi funkciami vekora endogénnch premenných x a exogénnch premenných z, koré sú dané v čase. To znamená, že v čase sa už nemôžu zmeniť. Tieo premenné označujeme aj ako sae alebo preddeerminované. 9

25 Uvažujme vekor endogénnch sae premenných x veľkosi m, vekor osaných endogénnch premenných veľkosi n a vekor exogénnch premenných z veľkosi k.ekvilibrium je zapísané v vare: Ax Bx C Dz (3.34) [ Fx Gx Hx J K Lz Mz ] E (3.35) z Nz [ ε ], ε E (3.36) kde C je maica veľkosi sabilné vlasné hodno. l n. F je maica veľkosi ( m n l) n a N má len Riešenie ssému (3.34)-(3.36 )hľadáme vo forme x Px Qz (3.37) Rx Sz (3.38) Ab sme dospeli k riešeniu, musíme riešiť maicovú kvadraickú rovnicu. Riešenie musí akiež spĺňať nasledujúce vlasnosi:. P rieši maicové kvadraické rovnice C AP C B (3.39) ( F JC A) P ( JC B G KC A) P KC B H (3.4) kde C je pseudo-inverzná z maice C, C je maica veľkosi ( l n) l, korej riadk voria základ nulového priesoru C. Ekvilibrium popísané rovnicami (37), (38) a (36) je sabilné, ak všek vlasné hodno P sú menšie ako jedna v absolúnej hodnoe.. R je dané ako ( AP B) R C 3. Pre dané maice P a R definujeme maicu V I k A, V N F I k kde I k je idenická maica veľkosi C k ( FP JR G), N J I K ( Q) ( S) k k. Poom I vec( D) ( ) LN M vec V, (3.4) vec vec kde vec () označuje opačnú sĺpcovú vekorizáciu. k

26 Je zrejmé, že ak je maica V inveribilná, poom prenásobenie rovnice (3.4) maicou V vedie k riešeniu pre Q. Ak chceme vriešiť maicové kvadraické rovnice (3.39) a (3.4) pre P, napíšeme ich vo všeobecnej forme kde zadefinujeme ΨP ΓPΘ, (3.4) Ψ l, JC n m F JC A C A Γ B G KC A pričom l n, m C B, KC B H Θ je maica veľkosi ( l n) m obsahujúca nul. Ab sme mohli vriešiť maicovú kvadraickú rovnicu (4) pre Γ Ξ m Θ, m m m m maicu P, zadefinujeme Ψ m I,, m m, m I m. m m maice Pre ako zadané maice, nech s a λ označujú zovšeobecnený vlasný vekor a zovšeobecnenú vlasnú hodnou Ξ vzhľadom na, s môžme zapísať ako [ x x] s λ, pre x ako m R. Poom riešenie maicovej kvadraickej rovnice (3.4) je dané kde Ω [ x,, ] a ( λ,, ) i K,, m. K x m P ΩΛΩ Λ diag K λ m. Riešenie P je sabilné ak λ < i pre všek Na záver reba dodať, že riešenie modelu značne závisí od voľb endogénnch a exogénnch sae premenných vo vekoroch x a z. Vo všeobecnosi, každá premenná daná v čase alebo skôr môže bť považovaná za sae premennú.

27 4 Spracovanie dá Tak ako DSGE model musia bť predpripravené pre empirickú analýzu, akiso musia bť pripravené aj zodpovedajúce dáa. Vo všeobecnosi, príprava dá zahŕňa ri hlavné krok. Základným princípom pri ejo preparácii dá je ich obojsranné spracovanie, eda zaobchádzanie s reálnmi dáami a ich hodnoami, ale aj s ich eoreickou sránkou. Prvým krokom je, že musí bť zavedený isý súvis medzi ým, čo charakerizuje model, a medzi ým, čo je zachené v dáach. Napríklad, ak si predsavíme business ccle model, korý sa nezaoberá vládnm sekorom, nebude asi vhodné spájať modelovanú charakerisiku oupuu s meraniami agregovaného HDP voreného aj vládnmi výdavkami. Druhý a reí krok predsavuje odsránenie rendov a izoláciu cklických zložiek v dáach. Ak sa vráime k riešeniu modelu, o je väčšinou zapísané v vare sacionárnej form premenných: sochasické správanie veličín má formu dočasných odchýlok od hodnô rovnovážneho savu. Príslušné dáa sú reprezenované analogick. Opäť použijúc business ccle model ako príklad, ak je model konšruovaný ak, ab charakerizoval cklické správanie časového radu a časový rad preukazuje rendovú aj cklickú zložku, rend musí bť pred analzovaním odsránený. V akýcho prípadoch je časo užiočné zabudovať do modelu cklické aj rendové správanie, následne eliminovať rend z modelovaných aj reálnch dá zároveň. Tpickým cieľom v problemaike business ccle modelov je úloha určiť, či model schopné zachiť skákajúci charaker ekonomického rasu sú schopné prispôsobiť sa pozorovaným dáam business ccle akivi. Pri omo cieli je dôležié, že špecifikácia modelu je podmienená obmedzeniu a musí úspešne charakerizovať rendové správanie. Ak je áo podmienka splnená, rend sú náležie eliminované a analýza pokračuje skúmaním cklického správania. Rovnovážn sav je v omo prípade inerpreovaeľný ako relaívna výška rendových kriviek. Čo sa ýka izolovania cklov, eno proces má blízko k odsraňovaniu rendov. Pri časových radoch, koré vkazujú cklické odchýlk okolo rendu, idenifikácia rendu auomaick slúži aj na určenie cklických odchýlok. Avšak, až keď je dokončená separácia rendu od cklu, na rade sú ďalšie krok, porebné k izolácii cklov podľa frekvencie ich opakovania. Ak si opäť zoberieme do úvah business ccle model, en je určený na charakerizáciu flukuácií v dáach, koré sa opakujú

28 v pických business ccle frekvenciách: ie sú 6 až 3 švrťrokov, eda.5 až 8 rokov (Hodrick a Presco, 98). Model nie je určený na charakerizáciu sezónnch flukuácií. Pred zavedením ďalších prídavných krokov, odsránenie rendu zanechá akéo flukuácie neporušené a ich príomnosť môže mať škodlivý vplv pri určovaní business ccle správania. Izolácia cklov je akiež blízka úlohe zosúladeniu modelov s príslušnými dáami, preože frekvencia, s korou sú dáa merané z časi ovplvňuje ich cklický charaker. Napríklad, empirická analýza ekonomického rasu časo vžaduje merania veličín, koré sú spriemerované v dlhodobom rozpäí (napr. v rozpäí 5 rokov). Je o preo, lebo predmené model nie sú konšruované na charakerizáciu business ccle akivi a časová agregácia počas 5 rokov je väčšinou posačujúca pre elimináciu vplvu cklických zmien. To uchová relevannú informáciu vzhľadom na dlhodobý ras. Analýza business ccle správania je väčšinou uskuočnená pri použií švrťročných dá. Frekvencia ýcho meraní síce nie je ideálna, preože je u príznačnejší vplv sezónnch flukuácií pri analzovaní, ale na druhej srane, spojenie s ročnými dáami b malo za následok značnú srau informácií vzhľadom k flukuáciám pozorovaným v business ccle frekvenciách. Preo je pre izoláciu cklov v omo prípade porebná alernaíva k časovej agregácii. V ejo kapiole sú prezenované meód vužieľné pri odsraňovaní rendov a izolácii cklov. Týcho meód dnes exisuje už pomerne veľa, podrobnejšie sa im venuje viacero odborných článkov a publikácií (napr. Hamilon, 994; Evers, 6). 4. Odsránenie rendu Na odsraňovanie rendov z makroekonomických dá sa používa viacero meód. Ich cieľom je preransformovať dáa do podob dá s nulovým priemerom a kovariančne sacionárneho sochasického procesu (CSSP). Tieo proces majú časovo invarianné druhé momen, preo vbrané priemer môžu bť použié na odhad populačných priemerov ýcho momenov a funkcií, koré sú s ým spojené. Odsránenie rendu nie je posačujúce pre privodenie kovariančnej sacionari, ale každopádne je v omo procese nuné. 3

29 Predým ako si predsavíme ri základné spôsob ako sa rend dá odsrániť, reba zdôrazniť, že je dnes bežné pracovať s dáami, koré sú vjadrené v logarimovanej verzii. Zmen v logarime premennej rasu ejo veličin: kde & & v čase reprezenujú mieru log g, (4.). Navše, ak použijeme log-lineárnu aproximáciu na vjadrenie príslušného modelu, práca s logovanou verziou dá poskuje smerické naloženie s množinami premenných. 4.. Derending a diferenciácia Prvé dve meód na odsránenie rendu, derending a diferenciácia, sú vkonávané pri implicinom predpoklade, že dáa vkazujú približne konšannú mieru rasu g. Pri omo predpoklade eda meóda derending sleduje ras premennej : Zlogarimovaním dosávame u ( g ) e, u. CSSP (4.) log log u [ ( g ) e ] log log g u, (4.3) kde log ( g ) je aproximovaný ako g. Odsránenie rendu je dokončené aproximovaním švorcov (OLS) ak, že: log lineárnm rendom použijúc jednoduchú meódu najmenších log ˆ α ˆ α uˆ, (4.4) kde αˆ sú odhad koeficienov. V akomo prípade sa hovorí, že sacionárne. log je rendovo Pri práci s množinou m premenných, charakerizovaných prislúchajúcim modelom, koré zdieľajú spoločný rendový komponen (napr. pri popisovaní vváženého rasu), si smeria vžaduje odsránenie spoločného rendu zo všekých j akýcho premenných. To uskuočníme zadefinovaním α ako rendového koeficienu 4

30 prislúchajúceho premennej j a položením lineárnch obmedzení: j α α, j,, m. K rovnicu Meóda diferencovania sa uskuočňuje pri predpoklade, že premenná sleduje kde ε e, (4.5) ε γ ε u, u CSSP. (4.6) Poznamenajme, že ieračná subsiúcia v (4.6) pre ε,, ε K, vedie k omu, že ε môžeme zapísať vo forme ε γ ε u ε γ γ ε M ε γ ε j u j u ε u (4.7) Tako je eda úroveň rasu rovnicu: daná premennou γ. Z (4.5) dosaneme zlogarimovaním log log ε. (4.8) Poom prvá diferencia z log, je daná ako log log ( L) log, kde operáor posunuia L je definovaný ak, že L p, a je sacionárn: p log log ε ε γ u. (4.9) V omo prípade hovoríme, že log je diferenčne sacionárne. Odhad γ dosaneme spriemerovaním log log a ým dosaneme požadovanú ransformáciu : log log ˆ uˆ γ. (4.) Zdieľaná miera rasu viacerých ( m ) premenných v modeli môže bť vjadrená použiím OLS. Tak odhadneme j j γˆ podmienené rešrikcii: ˆ γ γˆ, j, K, m. Rozhodnuie, či zvoliť meódu derending, alebo meódu diferencií, závisí najmä od usúdenia, koré z vjadrení (4.3) alebo (4.9) lepšie popisuje reprezenáciu log. Táo oázka sa však ukazuje ako veľmi náročná, čo dokazuje množsvo odbornej 5

31 lieraúr, korá sa snaží analzovať eno problém (Nelson a Plosser, 98). Preo najjednoduchším oparením ako obísť eno problém výberu je pracovať s oboma echnikami naraz a následne vhodnoiť cilivosť výsledkov pri vbranej meóde. 4.. H-P filer Treím prísupom používaným pri odsraňovaní rendu je použiie rôznch filrov, koré sú navrhnué na separovanie rendu od cklu, ale s pripusením pomal vvíjajúceho sa rendu. Najpopulárnejším a najpoužívanejším, v aplikáciách business ccle, je Hodrick- Prescoov filer, eda zv. H-P filer (Hodrick a Presco, 98). Uvažujme, že logované dáa ( c ) komponenu, eda log sú zložené z rendového ( ) g a cklického log g c (4.) H-P filer izoluje rend od cklu odhadovaním nasledujúci problém: g a c ak, ab sa minimalizoval T ( ) [ ( ) g g g ( g g ) ] T log λ, (4.3) kde prvý výraz môžeme chápať ako isú mieru presnosi časového radu, druhý výraz reprezenuje hladkosť dá. Dochádza u eda ku konfliku medzi presnosťou a hladkosťou, korý je vriešený použiím váhového paramera λ. Parameer λ určuje dôležiosť mať hladko vvíjajúcu sa úroveň rasu: čím hladšie je g, ým menšia bude jeho druhá diferencia. Teda s λ, hladkosť nemá žiadn význam a rendová zložka sa sáva ekvivalennou k pôvodnému časovému radu. Ak λ, rend je určený ako maximálne hladký, čo znamená, že je lineárn. Vo všeobecnosi je λ špecifikované ako isý kompromis medzi ýmio dvoma exrémami. Pri práci so švrťročnými dáami business ccle sa zvkne najčasejšie používať hodnoa λ 6. Túo hodnou odporúčajú auori filra Hodrick a Presco.. Označme eraz x log. Ak si rovnicu (4.3) prepíšeme do maicového varu, z podmienok prvého radu oho minimalizačného problému dosávame ssém lineárnch rovníc AG X, (4.4) 6

32 7 kde ( ) ( ) T T g g G x x X,,,,, K K a A je ridiagonálna maica varu λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ K K K M M M O M M M M M K K K K K A. Riešením ssému (4.4) dosaneme vekor ( ) g T g G ˆ,, ˆ K. Odsránenie rendu je dokončené jednoducho ako c g ˆ ˆ log. (4.5) Vidíme, že odsránením rendovej zložk získame auomaick cklickú zložku príznačnú pre H-P filer. Frekvenčným vlasnosiam oho cklického komponenu sa venuje nasledujúca časť našej práce. 4. Izolácia cklov Predým, ako nahliadneme do problemaik cklov a frekvencií je určie porebné vsveliť si eóriu komplexných veličín., s korou sa v ejo časi diplomovej práce sreneme. Predsavíme si kľúčové vlasnosi popisujúce komplexné čísla, koré nám neskôr pomôžu preniknúť do oblasi frekvencií. Priblížime si aj Reisz-Fisherovu veu, pomocou korej vieme ďalej zadefinovať spekrum, koré je užiočnou charakerisikou časových radov. V závere si predsavíme filre používané pri získavaní cklických zložiek. 4.. Teória komplexných čísel Premenná z je komplexné číslo, ak ho vieme zapísať ako i x z,

33 kde i je imaginárne číslo, pre koré plaí i ; x je reálne a reprezenuje reálnu zložku z ; je reálne a reprezenuje imaginárnu zložku. Teno zápis sa nazýva algebraický var komplexného čísla. Grafick si o môžeme predsaviť ak, že každé komplexné číslo v rovine možno zaznačiť ako vekor so začiakom v bode so súradnicami [;] a koncom v súradniciach daných zápisom oho čísla. Teda, že reálna zložka je zobrazená na horizonálnej osi, imaginárna na verikálnej osi, a vzdialenosť z od počiaku je z x ( x i)( x i). (4.6) Ak je z, ved z leží na jednokovej kružnici. Exisujú aj ďalšie spôsob, korými môžeme zapísať komplexné číslo. Jedným z nich je goniomerický var komplexného čísla. Pri omo zápise je porebné poznať veľkosť komplexného čísla z a uhol, korý zviera s reálnou osou x. Poom sa dá komplexné číslo napísať ako ( cosω i sinω) z z, kde z je veľkosť komplexného čísla a ω je uhol, korý zviera s reálnou osou. Teno var je možné odvodiť z pravouhlého rojuholníka, korý vznikne priememi vekora komplexného čísla na reálnu a imaginárnu os a zo znalosí funkcií sínus a kosínus. Z odvodenia Tlorových radov funkcií predchádzajúci zápis sa dá upraviť na var kde iω e vieme rozpísať ako iω z z e, cos ω, sin ω a iω e sa dá ukázať, že ω e i iω i ω i ω i ω i ω L!! 3! 4! 5! ω ω ω ω ω i i i L!! 3! 4! 5! ω ω ω ω ω L i! 4! L! 3! 5! cosω isinω. (4.7) Pri umocňovaní komplexného čísla reálnm číslom j dosávame z j j j ( cos ωj i sinωj) iωj z e z. (4.8) 8

34 Reisz-Fisherova vea Ďalej vužijeme poznak z Reisz-Fisherovej ve. Majme rad komplexných čísel { } j j a, korý spĺňa podmienku j a <. (4.9) j Poom exisuje funkcia f ( ω) inegrovaeľná a hodno a j sú Fourierovými koeficienmi funkcie f, eda kde ω [ π, π] f ( ) j a j e iωj ω, (4.), a a j predsavuje j- Fourierov koeficien, pre korý po ransformácii plaí a j π π π f ( ω) e d i ω j ω. (4.) Spekrálna reprezenácia Uvažujme eraz správanie sa časového radu kde α ( ω) a ( ω) ω ( ω) cos ( ω) β( ω) sin( ω) ω dané nasledujúcou rovnicou α, (4.) β sú nekorelované náhodné premenné s nulovou srednou hodnoou a rovnakým rozplom. Uhol ω, vjadrený v radiánoch, reprezenuje frekvenciu s akou cos ( ω) opisuje cklus vzhľadom ku cos ( ) π do π 4, aď. Ak máme realizácie α ( ω) a ( ω) opakuje ω -krá pre od do π, aď. Vvorme eraz časový rad rozlíšených variáciami ω na inervale [,π]: π, keď posupuje v inervale z do π, z β, proces ω opisuje cklus, korý sa, korý získame skombinovaním prvkov π ( ω) cos( ω) dω β( ω) sin( ω) α ω, dω. (4.3) Majúc zodpovedajúce špecifikácie pre α ( ω) a ( ω) β, akýkoľvek časový rad poom môže bť vjadrený akýmo spôsobom. Je o zv. spekrálna reprezenácia, alebo iež 9

35 Cramerova reprezenácia radu. Vjadruje ako kombináciu niekoľkých cklických komponenov, koré sa odlišujú frekvenciou, korou opakujú svoj cklus. 4.. Spekrum Dôležiý súvis so spekrálnou reprezenáciou časového radu má jeho spekrum. Spekrum je smerická, periodická funkcia, a je užiočným násrojom, korým sa dá merať, ako cklické komponen ω ovplvňujú celkovú varianciu radu v inervale [,π]. Svojím spôsobom je spekrum dekompozíciou variancie radu podľa frekvencie. Pre časový rad s kovarianciami γ ( τ) si najskôr definujme vvárajúcu funkciu posupnosi auokovariancií { ( τ) } podobne ako v (4.9) a (4.) γ (kovariancia medzi a τ ( z) ( τ) τ, alebo a τ ), τ g γ z, (4.4) τ kde z je ľubovoľné komplexné číslo. Pomocou ejo vvárajúcej formule definujeme spekrum s π π iω ( ω) g ( e ) γ( τ) Z oho úpravou a vužiím (4.7) dosávame τ τ e iωτ. (4.5) s ( ω) γ( τ)( cosωτ isinωτ), (4.6) π čo sa dá upraviť do varu, korý neobsahuje komplexné čísla ( ) ( ) s ( ) ( ) ω γ γ τ cosωτ, (4.7) π τ kde sme vužili, že γ( τ) γ( τ), sin( ω) sinω a cos ( ω) cosω. Zo smerickosi cos ( ωτ) vplýva, že aj spekrum je smerická veličina a preo sa s ( ω) občajne vjadruje na inervale [,π]. Pre inerpreáciu frekvencie v zmsle isých časových jednoiek je vhodné uvažovať vzťah frekvencie ω so svojou asociovanou periódou p. Tá označuje poče časových jednoiek porebných pre ω (4.) na uskuočnenie cklu, eda p π / ω. 3

36 Poom / p ω / π vjadruje, koľko cklov sa vkoná počas jednej periód. Ak ako periódu zvolíme švrťrok, poom pre cklus pozosávajúci z 3 švrťrokov dosaneme hodnou ω π / 3, 96, pre cklus zo 6-ich švrťrokov ω π / 6, 47. Pri analýze dá business ccle sa pracuje s ω medzi ýmio hodnoami, eda hodnoami medzi [.47,.96] Vužiie filrov pri izolácii cklov Uvažujme eraz o pomal vvíjajúcom sa rende ako o ckle s nízkou frekvenciou. V prípade, že ide o konšanný rend, je eda frekvencia nulová. Filre sú užiočnými násrojmi, koré nám umožňujú eliminovať vplv cklických zmien pri rôznch frekvenciách. Všeobecne je lineárn filer, aplikovaný na rad a produkujúci ( L) s jr j j f f, daný ako C c, (4.8) čo možno chápať ak, že filrovaný rad f je lineárnou kombináciou pôvodného radu. Pre inerpreáciu v zmsle frekvencií, nahradíme iω Výsledkom bude funkcia odozv frekvencie ( e ) C. j L v (4.8) výrazom i j e ω. Pre lepšie pochopenie oho, ako filre pracujú pri izolovaní cklov, je užiočné odvodiť spekrum f s auokovarianciami { γ ( τ) } τ. Uvažujme, že rad je proces s nulovou srednou hodnoou γ f. Auokovariancia medzi f f ( τ) E( ) E E s jr s s j rk r s j rk r τ c s j j c j j k c k c c γ s k kr j c kτ ( τ k j) f kτ a f τ je daná ako Podľa (4.5) a po dosadení (4.9) eda pre spekrum radu v omo prípade plaí f (4.9) 3

37 s f π ( ω) γ f ( τ) π τ s s e τ j rk r iωτ c c γ j k iωτ ( τ k j) e. (4.3) Ak navše zadáme, že hτ k j, a eda e iωτ iωh iωj iωk e e e, úpravami dosaneme s f π iωj iωk ( ω) c e c e γ( h) s s s jr ( ω) s j jr c s iωj je ck kr iω iω ( ω) C( e ) C( e ). s k kr e h iωk e iωh (4.3) Teraz si zadefinujeme zv. gain (výťažok), nazývaný aj ransfer funcion alebo gain funcion, korý je dôležiou charakerisikou filrov používaných pri izolovaní cklov. Vjadruje veľkosť zmen v ampliúde cklických komponenov. Je definovaný ako iω kde ( e ) G iω ( ω) C( e ) C označuje absolúnu hodnou výrazu, danú ako, (4.3) iω iω iω ( ) C( e ) C( e ). C e Ak máme ako definovaný gain, môžeme ľahko ďalej upraviť výraz (3), čím dosaneme vzťah iω ( ω) C( e ) s ( ω) s f G ( ω) s ( ω), (4.33) kde funkcia G ( ω) je označovaná aj ako švorcový gain filra. Z posledného vzťahu vidno, ako filre slúžia pri izolovaní cklov. Na báze frekvencií zmenšujú alebo zväčšujú spekrum pôvodného časového radu a určujú ak nové spekrum pre filrované dáa. Rôzne filre sa líšia rôznmi gain funkciami, čím sú poom určované aj odlišné spekrá filrovaných časových radov. Firs difference filer Teno najjednoduchší filer získava cklickú zložku c z časového radu pomocou vzťahu c L). Teno filer bol v minulosi dosť populárn, aj keď je ( veľmi nepresný. Hlavnou chbou je, že posúva časové index výsledných dá 3

38 a dochádza ak k zv. fázovému efeku. Takiso nerovnomerne rozdeľuje váh rôznch frekvencií. Gain oho filra je daný ako G iω iω ( ω) ( e )( e ) cosω, (4.34) z čoho vidno, že filer kladie veľkú váhu na vššie frekvencie. Dnes sa ale viac používajú sofisikovanejšie filre, koré vernejšie popisujú cklickosť dá. H-P filer Ak sa vráime k H-P filru, špecifikácia paramera λ určuje rozdelenie vplvu ω na medzi rendový ( g ) a cklický ( c ) komponen v (). Cklickú zložku získame odsránením rendu, podľa rovnice (5). Riešenie problému (3) pre T sa dá explicine nájsť vo frekvenčnej báze. Podľa Kinga a Rebela (993) je funkcia odozv frekvencie H-P filra daná ako ( cosω) λ( cosω) ( ω / ) 4( ω / ) 4 4λ 6λ sin C ( ω). (4.35) 4 6λ sin Z (4.35) sa dá vjadriť vzťah medzi paramerom λ a zv. cu-off frekvenciou. Tá je definovaná ako frekvencia, pri korej je funkcia odozv rovná.5 a plaí π υ c, arcsin 4 λ kde c c 4 π λ sin, υ c ω π / υ označuje cu-off frekvenciu. Pri práci so švrťročnými dáami a špecifikácii λ 6 eda máme cklus veľkosi υ švrťrokov. Teno filer je smerický, akže nespôsobuje fázový efek. Aj keď H-P filre sú schopné eliminovať rend, nie sú konšruované ak, ab vedeli eliminovať sezónne výkv. Business ccle model zväčša nie sú konšruované na vkladanie sezónnch odchýlok a preo je vhodné pracovať so sezónne očisenými dáami. Na účel sezónneho očisťovania dá slúži viacero filrov, spomeňme napríklad filer X- (Shiskin, Young a Musgrave, 967). Šaisické úsav už väčšinou poskujú c 33

39 aj sezónne očisené dáa. skúmania ejo práce. Temaika sezónneho očisťovania však nie je predmeom Band Pass Filer Band Pass filer, skráene BP filer, sa používa na elimináciu flukuácií, koré ležia mimo dopredu sanoveného pásma frekvencií. Too pásmo sa sanoví hranicami p l a p u, koré vmedzujú pásmo sanovených periód cklov. Tieo frekvencie b mali bť medzi 6 až 3 švrťrokmi pri analýze business ccle eórie. Zaujímajú nás eda frekvencie medzi smerický BP filer má var Gain funkcia ideálneho BP filra je daná ako ( ) L j / ω ω π pu a π pl /. Ideáln j C c j L. (4.36) [ ω, ], ω ω G( ω ). (4.37), inak Ako vidno, ideáln filer nie je možné aplikovať, preože na o je porebné mať nefilrovaný časový rad nekonečnej dĺžk. Preo sa zavádzajú rôzne aproximácie ideálneho HP filra, koré umožňujú použiť aj dáa konečnej dĺžk. Medzi najznámejšie a najpoužívanejšie paria aproximácie Baxera a Kinga (999) a Chrisiana a Fizgeralda (3). Zo smerie vplýva, že v (4.36) je c j c j, j. To zaručuje, že filre sa vhýbajú fázovému efeku. BP filer - Baxer a King Ideáln smerický filer (4.36), má po úprave fourierovou ransformáciou nasledujúci var C iω ( e ) C( ω) c c ( ω) j j cos. (4.38) Keďže v (4.38) vsupuje nekonečne veľa členov, výraz aproximujme podľa Baxera a Kinga a dosaneme smerický filer: 34