Lukáčik-Szomolányi

Prepis

1 MODELOVANIE TRENDOV A CYKLOV V KRAJINÁCH V4 MODELLING TRENDS AND CYCLES IN V4 COUNTRIES Marin Lukáčik, Karol Szomolányi Absrak Analyici skúmajúci ras a hospodárske cykly sú vždy posavení pred zásadný problém, akým spôsobom majú oddeliť cyklické flukuácie od dlhodobého vývoja. Klasický a najjednoduchší posup, korý využíva lineárny deerminisický rend a reziduál oho modelu ako cyklickú zložku, nie je pre modelovanie v ekonomikách krajín Visegrádskej švorky vhodný. Dôvodom je výrazný prepad spôsobený spoločenskými zmenami na začiaku deväťdesiaych rokov, korý sa prejaví ako šrukurálna zmena. V príspevku prezenujeme posupy, koré sa núkajú ako náhrada, pričom pripomíname, že výsledky analýz výrazne závisia od použiej meódy. Kľúčové slová: rend, cyklus, filer, šrukurálna zmena Absrac Analyics sudying he growh and business cycles are faced wih he fundamenal problem of separaing cyclical flucuaions from long-run movemens. The radiional simples mehod of modelling rends uses deerminisic linear ime rend and cyclical componen is observed by residual of he rend model. This approach is sraighforward inapplicable o he economies of Visegrad group due o he breakdown caused by socioeconomic changes in early 90s. We presen several oher mehods and draw he aenion o dependence of resuls o employed mehod. Keywords: rend, cycle, filer, srucural break ÚVOD Najjednoduchšie posupy na oddelenie cyklických flukuácií od dlhodobého vývoja vychádzajú z logiky, korá sa používa pri dekompozícii časového radu. Ak časový rad voria rendová, cyklická, sezónna a náhodná zložka, ak po odpočíaní rendu získame výkyvové zložky. Pri analýze ročných údajov posačuje rozdelenie radu na dlhodobý rend a cyklickú zložku. Pre odhad rendu sa poom zvykne používať logarimicko-lineárny model. Ak model rasu (model ekvivalenný zloženému úrokovaniu) má var: ( ) 1 u 0 y = y + r e (1) kde r je súhrnná miera rasu, je čas, u predsavuje náhodnú zložku a e základ prirodzeného logarimu. Po zlogarimovaní a následnej subsiúcii dosaneme logarimicko-lineárny model: ( ) ln y = ln y + ln 1+ r + ln e = β + β + u (2) u Deerminisická časť modelu predsavuje rend a reziduál modelu reprezenuje cyklickú časť. Jednoduchosť prísupu je splaená predpokladom konšannej miery rasu. Vážnejší problém je spojený so šrukurálnymi zmenami. Tie sú bežne príomné pri modelovaní dlhodobejších vzťahov, čo je aj prípad analýz rasu a hospodárskych cyklov. V ranziívnych ekonomikách krajín V4 sú zreeľné po spoločenských zmenách, koré nasali v roku 1989 (pozri obr.1).

2 10.0 Obr.1: Priebeh analyzovaných radov logarimu HDP na obyvaeľa krajín V4 Aj keď začiaok zmeny vo všekých krajinách nenasal úplne súčasne, v Maďarsku a Poľsku sa dá spozorovať už v roku 1989, kým v Čechách a na Slovensku až od roku 1990, ak áo je naoľko významná, že jej ignorovaním sa skreslia závery celej analýzy. Takiso rvanie oho prepadu nie je rovnaké. V Poľsku nasáva obra už po roku 1991, kým v Čechách a Maďarsku eše po roku 1991 doznieva mierny pokles, korý rvá až do roku 1993, čo je zároveň rok, po korý sa slovenská ekonomika prudko prepadala. Aby bola siuácia eše zaujímavejšia, v prípade Poľska a Slovenska môžeme jednoznačne konšaovať rýchlejší ras ako pred ouo zmenou, česká ekonomika vyzerá, že sa vráila na svoju pôvodnú mieru rasu a najkomplikovanejšie sa prejavuje Maďarsko, koré by sme po poslednú krízu mohli priradiť k prvej dvojici, ale kvôli jej koncu už skôr k Čechám. 7.6 LINCZ LINHU LINPL LINSK Obr.2: Odhad dlhodobého vývoja jednoduchým deerminisickým lineárnym rendom Z obr.2, kde sme aplikovali pre jednolivé krajiny jednoduchý deerminisický lineárny model rendu, vidíme, že eno prísup by mal byť jednoznačne upravený. V našom príspevku prezenujeme ri posupy, koré sa ponúkajú ako náhrada, ale priom zosávajú jednoduchou alernaívou uvedeného prísupu.

3 1 TREND LINEÁRNY PO ČASTIACH Najjednoduchším riešením šrukurálnej zmeny je odhad rendu lineárneho po časiach za pomoci umelých premenných. Too šandardné riešenie prezenované väčšinou základných ekonomerických učebníc má jednu nevýhodu, analyik musí sám určiť obdobie šrukurálnej zmeny. Druhým nedosakom oho prísupu je, že rendová funkcia už nie je spojiá. Ak by sme uvažovali jeden zlom (zmena, korá nasala v jednom období), model by mal var: ( ) ( ) ln y β0 β1 γ 0 β0 d γ1 β1 d u = , (3) kde d predsavuje umelú premennú, korá sa rovná 0 pred zmenou a 1 po zmene. Model sa dá rozšíriť aj na dva zlomy (obra nadol a následne o rok až ri opäovne obra nahor), ale sále nám chýbajú hladké prechody medzi jednolivými režimami: ( ) ( ) ( ) ( ) ln y β0 β1 γ 0 β0 d1 γ1 β1 d1 δ0 β0 d2 δ1 β1 d2 u = , (4) kde umelé premenné sú eraz dve d 1 a d 2, pričom d 1 sa rovná 0 okrem obdobia poklesu a d 2 sa rovná 1 až pre obdobie následného rasu. LINSEGCZ LINSEGHU LINSEGPL LINSEGSK Obr.3: Odhad dlhodobého vývoja rendom lineárnym po časiach Z obr.3, kde sme aplikovali pre jednolivé krajiny model lineárny po časiach, vidíme, že eno prísup je jednoznačne vhodnejší ako jednoduchý rend. Analýzou cyklických zložiek zisíme, ako sa rozlišuje frekvencia cyklu v jednolivých krajinách V4. Údaje sú zoskupené v ab.1. Tab.1: Odhad frekvencie cyklickej zložky rend lineárny po časiach Krajina Frekvencia cyklu Fakor ulmovania Česká republika 3,85 roka 0,62 Maďarsko 2,27 roka 0,84 Poľsko 3,51 roka 0,83 Slovensko 3,62 roka 0,86 2 TREND S PLYNULÝMI PRECHODMI Mills (2003) prezenuje inú možnosť ako sa dajú odhadovať šrukurálne zlomy, a o pomocou modelu rendu s plynulými prechodmi, korý umožňuje plynulú a hladkú zmenu medzi dvoma režimami.

4 Trend s logisickými plynulými prechodmi má var: ( ) θ ( τ T ) ( ) 1 ln y = β + β + γ + γ 1+ e + u, (5) kde T je poče pozorovaní, e je základ prirodzeného logarimu, parameer θ predsavuje rýchlosť prechodu (nízke hodnoy znamenajú dlhé obdobie prechodu a naopak) a parameer τ sanoví prosredné obdobie prechodu. Na rozdiel od po časiach lineárneho rendu nemusíme sanoviť presné obdobie šrukurálneho zlomu a jeho rvanie, ale oba údaje sa odhadnú. Nevýhodou je nelinearia modelu, korá si vyžaduje preverovať rôzne inicializačné hodnoy pre odhadovú procedúru (a ým preveriť rôzne lokálne exrémy). SMCZ SMHU SMPL SMSK Obr.4: Odhad dlhodobého vývoja rendom s logisickými plynulými prechodmi Z obr.4, kde sme aplikovali pre jednolivé krajiny model rendu s logisickými plynulými prechodmi, akiso vidíme, že eno prísup je vhodnejší ako jednoduchý rend. Analýzou cyklických zložiek zisíme, ako sa rozlišuje frekvencia cyklu v jednolivých krajinách, po odhade rendu ýmo spôsobom. Údaje sú zoskupené v ab.2. Tab.2: Odhad frekvencie cyklickej zložky rend s plynulými prechodmi Krajina Frekvencia cyklu Fakor ulmovania Česká republika 9,27 roka 0,62 Maďarsko 11,21 roka 0,84 Poľsko 9,12 roka 0,83 Slovensko 8,47 roka 0,86 3 HENDERSONOVE KĹZAVÉ PRIEMERY Alernaívnou meódou na odhad rendovej zložky sú kĺzavé priemery. Pre ľubovoľný časový rad y, = 1, 2,..., T sa jednoduché kĺzavé priemery dĺžky k < T určia nasledovne: prvý kĺzavý priemer sa vypočía ako priemer prvých k hodnô časového radu y 1, y 2,..., y k druhý kĺzavý priemer sa vypočía rovnako z hodnô y 2, y 3,..., y k+1 reí kĺzavý priemer z hodnô y 3, y 4,..., y k+2 a ak ďalej. Kĺzavé priemery priraďujeme prosrednému obdobiu kĺzavej časi k, preo dĺžka kĺzavej časi, označovaná MA je nepárne číslo. Ak k = 2m + 1, poom m = (k 1)/2 označuje poče prvých a posledných kĺzavých priemerov, koré nemožno vypočíať.

5 Všeobecný vzorec pre výpoče kĺzavých priemerov: T 1 m y+ j k j= m =, pre = m +1,, n m 1 (6) Najzložiejšou oázkou pri aplikácii kĺzavých priemerov je určenie správnej dĺžky kĺzavej časi k (rádu kĺzavých priemerov). V časových radoch so sezónnou zložkou je dĺžka kĺzavej časi rovná poču sezón. Všeobecne, čím je dĺžka kĺzavej časi k väčšia, ým sa viac hodnoy radu vyrovnajú a rend má hladší priebeh, ale časový rad kĺzavých priemerov je kraší. Skúmané časové rady obsahujú zvray s nepravidelnou periodiciou. Použiie jednoduchých kĺzavých priemerov je v akomo prípade nevhodné, preože hodnoy kĺzavých priemerov by nadhodnocovali alebo podhodnocovali skuočný rend, nakoľko predpoklad lineárneho rendu v každej kĺzavej časi nie je opodsanený. Ak priebeh hodnô kĺzavej časi dĺžky k popíšeme parabolou druhého supňa, výpoče kĺzavého priemeru vyžaduje sysém váh, koré sa menia s dĺžkou kĺzavej časi k. Takéo kĺzavé priemery sa nazývajú vážené kĺzavé priemery: T 1 m a j y + j k j= m =, pre = m +1,, n m 1 (7) kde a sú symerické váhy a j = a j, korých súče je 1. Sysém váh sa odvodzuje meódou najmenších švorcov. Špeciálne ypy vážených kĺzavých priemerov sa nazývajú filrami a exisuje mnoho odporúčaných schém pre váhy Hendersonove, Spencerove aď. My sme vybrali Hendersonove kĺzavé priemery, koré používa Americký úrad pre sčíanie ľudu. YH13CZ YH13HU YH13PL YH13SK Obr.5: Odhad dlhodobého vývoja získaný Hendersonovými kĺzavými priemermi Z obr.5, kde sme aplikovali pre jednolivé krajiny Hendersonove kĺzavé priemery, vidíme, že eno prísup je opäť vhodnejší ako jednoduchý rend. Analýzou cyklických zložiek zisíme, ako sa rozlišuje frekvencia cyklu v jednolivých krajinách. Údaje sú zoskupené v ab.3. Tab.3: Odhad frekvencie cyklickej zložky 13 členné Hendersonove kĺzavé priemery Krajina Frekvencia cyklu Fakor ulmovania Česká republika 6,11 roka 0,80 Maďarsko 6,20 roka 0,80 Poľsko 6,20 roka 0,69 Slovensko 6,88 roka 0,87

6 Okrem 13 členných Hendersonových kĺzavých priemerov sme posupne analyzovali 5, 7 a 9 členné Hendersonove kĺzavé priemery. V USA sa zvyknú používať aj 23 členné kĺzavé priemery, ale zároveň aj dĺžka radov je podsane dlhšia ako nami uvažovaných 42 pozorovaní. Kvôli srae veľkého poču pozorovaní pri akejo dĺžke kĺzavého priemeru sme eno yp neuvažovali. Pre porovnanie všekých ypov priemerov pozri ab.4. Tab.4: Odhad frekvencie cyklickej zložky jednolivých krajín Hendersonove kĺzavé priemery Česká republika Maďarsko Poľsko Slovensko Henderson MA(5) 3,07 roka (0,76) 2,69 roka (0,65) 3,12 roka (0,80) 3,64 roka (0,78) Henderson MA(7) 3,54 roka (0,70) 3,50 roka (0,59) 3,54 roka (0,77) 4,52 roka (0,78) Henderson MA(9) 4,75 roka (0,69) 5,24 roka (0,71) 4,36 roka (0,64) 5,33 roka (0,83) Henderson MA(13) 6,11 roka (0,80) 6,20 roka (0,80) 6,20 roka (0,69) 6,88 roka (0,87) ZÁVER Klasický a najjednoduchší posup, korý využíva lineárny deerminisický rend a reziduál oho modelu ako cyklickú zložku pri skúmaní rasu a hospodárskych cyklov, nie je vhodný. Dôvodom je exisencia šrukurálnych zmien. V príspevku prezenujeme viacero iných meód, koré slúžia ako náhrada oho posupu: po časiach lineárny rend, rend s logisickými plynulými prechodmi a Hendersonove kĺzavé priemery. Výsledky analýz povrdzujú známu skuočnosť, že rozhodnuie o dĺžke cyklu výrazne závisí od použiej meódy. Ak akcepujeme priemernú dĺžku povojnového cyklu v USA podľa NBER, čo je 73 mesiacov (6,08 roka), ak najvhodnejšou meódou pre krajiny V4 sa javia 13 členné Hendersonove kĺzavé priemery. Použiá lieraúra 1. BARRO, R.J Macroeconomics: A Modern Approach. Souh-Wesern College Pub IŠTVÁNIKOVÁ, A Economeric Modelling of Slovak Economy Transiion. In Mahemaical Mehods in Economics Proceeding, Osrava: VŠB-TU, LADIRAY, D., MAZZI, G. L., SARTORI, F Saisical Mehods for Poenial Oupu Esimaion and Cycle Exracion. Luxembourg: Office for Official Publicaions of he European Communiies, LUKÁČIK, M., SZOMOLÁNYI, K Možnosi analýzy hospodárskych cyklov. Forum saisicum Slovacum, roč. 7, č. 3, Braislava: SŠDS, 2011, s LUKÁČIKOVÁ, A Moneárna poliika v krajinách V4. In Nové rendy v ekonomerii a operačním výzkumu Praha december 2010, Braislava: Vydavaeľsvo EKONÓM, LUKÁČIKOVÁ, A., LUKÁČIK, M Ekonomerické modelovanie s aplikáciami. Braislava: Vydavaeľsvo EKONÓM, MILLS, T. C Modelling Trends and Cycles in Economic Time Series. Palgrave Macmillan, hp:// (november, 2011) Konakné údaje Ing. Marin Lukáčik, PhD., Ing. Karol Szomolányi, PhD. Fakula hospodárskej informaiky Ekonomická univerzia v Braislave Dolnozemská 1/b, Braislava el: (421 2) lukacik@euba.sk, szomolan@euba.sk