NÁZOV VYSOKEJ ŠKOLY

Prepis

1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY PREDIKCIA UKAZOVATEĽOV KVALITY AKTÍV RETAILOVÉHO PORTFÓLIA KOMERČNEJ BANKY DIPLOMOVÁ PRÁCA 016 Bc. Marin Oberuč

2 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY PREDIKCIA UKAZOVATEĽOV KVALITY AKTÍV RETAILOVÉHO PORTFÓLIA KOMERČNEJ BANKY DIPLOMOVÁ PRÁCA Šudijný program: Šudijný odbor: Školiace pracovisko: Vedúci práce: Ekonomicko-finančná maemaika a modelovanie Aplikovaná maemaika Kaedra aplikovanej maemaiky a šaisiky doc. Mgr. Marián Grendár, CSc. Braislava 016 Bc. Marin Oberuč

3

4 Poďakovanie Rád by som využil eno priesor a poďakoval sa vedúcemu svojej diplomovej práce, doc. Mgr. Mariánovi Grendárovi, CSc., za jeho ľudský prísup, neocenieľné rady a podnené pripomienky, koré mi pri písaní ejo práce veľmi pomohli. Moje poďakovanie parí aj konzulanovi práce, Mgr. Marekovi Mikoškovi, za náme na spracovanie danej émy, poskynuie užiočnej lieraúry a ochou diskuovať o prakických problémoch, koré sa počas písania práce vyskyli. V neposlednom rade ďakujem svojim rodičom za ich obeavosť, rpezlivosť a podporu počas celého šúdia.

5 Absrak OBERUČ, Marin: Predikcia ukazovaeľov kvaliy akív reailového porfólia komerčnej banky. [Diplomová práca]. Univerzia Komenského v Braislave. Fakula maemaiky, fyziky a informaiky. Kaedra aplikovanej maemaiky a šaisiky. Školieľ práce: doc. Mgr. Marián Grendár, CSc. Braislava: Fakula maemaiky, fyziky a informaiky UK, s. Cieľom ejo diplomovej práce je predpovedať hodnoy ukazovaeľov kvaliy akív reailového porfólia komerčnej banky pomocou vhodných šaisických modelov. Práca je rozdelená na sedem kapiol. Prvé šyri kapioly voria eoreickú a zvyšné ri prakickú časť práce. V prvej kapiole charakerizujeme reailové porfólio komerčnej banky, popisujeme ukazovaele kvaliy akív a rozoberáme možnosi ich predikcie. Druhá kapiola sa venuje modelu lineárnej regresie, so zameraním na najznámejšie problémy vyskyujúce sa v praxi a možnosi ich riešenia. V reej kapiole definujeme dekompozičné meódy analýzy časových radov a sručne sa zmieňujeme aj o eórii Kalmanovho filra. Švrá kapiola sa zaoberá najmä modelmi Boxovej Jenkinsovej meodológie. Okrem oho iež približuje problemaiku koinegrácie a kauzálneho pôsobenia časových radov. Piaa kapiola obsahuje charakerisiku reálnych dá, s korými sme v diplomovej práci pracovali. V šiesej a siedmej kapiole sú pomocou meód popísaných v eoreickej časi vyvorené predikčné modely pre dve rozdielne časi reailového porfólia, s následným porovnaním a vyhodnoením výsledkov. Kľúčové slová: predpovedanie, ukazovaele kvaliy akív, reailové porfólio komerčnej banky, lineárna regresia, dekompozičné meódy analýzy časových radov, Kalmanov filer, Boxova Jenkinsova meodológia

6 Absrac OBERUČ, Marin: Forecasing he asse qualiy indicaors for he reail porfolio of a commercial bank. [Diploma hesis]. Comenius Universiy in Braislava. Faculy of Mahemaics, Physics and Informaics. Deparmen of Applied Mahemaics and Saisics. Supervisor: doc. Mgr. Marián Grendár, CSc. Braislava: Faculy of Mahemaics, Physics and Informaics UK, p. The aim of his diploma hesis is o forecas he asse qualiy indicaors for he reail porfolio of a commercial bank using appropriae saisical models. The hesis is divided ino seven chapers. The firs four chapers comprise he heoreical par and remaining hree chapers form he pracical par of he hesis. In he firs chaper, we characerise he reail porfolio of a commercial bank, describe asse qualiy indicaors and discuss he possibiliies of heir forecasing. The second chaper deals wih a model of linear regression wih focus on he mos common problems in pracice and he possibiliies of heir soluions. In he hird chaper, we define he decomposiion mehods of ime series analysis and briefly menion Kalman filer, oo. The fourh chaper handles mosly wih he models of he Box Jenkins mehodology. Moreover, i also describes he issues of coinegraion and Granger causaliy of ime series. The fifh chaper includes characerisics of he real daa deal wih in he diploma hesis. In he sixh and he sevenh chaper, he forecasing models for wo differen pars of he reail porfolio are buil wih consequen comparison and evaluaion of resuls. Key words: forecasing, asse qualiy indicaors, reail porfolio of a commercial bank, linear regression, decomposiion mehods of ime series analysis, Kalman filer, Box Jenkins mehodology

7 Obsah Úvod Ukazovaele kvaliy akív a ich predpovedanie Komerčná banka a jej akíva Reailové porfólio komerčnej banky Hypoekárny úver Sporebný úver Konokorenný úver Krediná kara Finančné riziko a jeho riadenie Ukazovaele kvaliy akív Miera omeškania Miera zlyhania Predpovedanie Bodová a inervalová predpoveď Jednokroková a viackroková predpoveď Saická a dynamická predpoveď Predpoveď vo vzorke a mimo vzorky Predpoveď v ekonomerickom modeli a v modeli časového radu Miery presnosi predpovede Možnosi predpovedania ukazovaeľov kvaliy akív Výber vysveľovanej premennej... 1 Model lineárnej regresie v praxi....1 Meóda najmenších švorcov.... Meóda maximálnej vierohodnosi Kriériá výberu modelu Koeficien deerminácie Informačné kriériá Ieračné výberové meódy Predpovedanie Špecifiká lineárnej regresie v praxi... 7

8 .5.1 Heeroskedasicia Mulikolinearia Auokorelácia rezíduí Dekompozičné meódy analýzy časových radov Dekompozícia časového radu Popis rendovej zložky maemaickými krivkami Meóda kĺzavých priemerov a kubický vyhladzovací splajn Exponenciálne vyhladzovanie Jednoduché exponenciálne vyhladzovanie Dvojié exponenciálne vyhladzovanie Holova meóda Kalmanov filer Auokorelačné meódy analýzy časových radov Sacionárne časové rady Auokorelačná funkcia a jej odhad Parciálna auokorelačná funkcia a jej odhad Proces kĺzavých súčov MA Auoregresný proces AR Zmiešaný ARMA proces Tesy jednokového koreňa Dickeyov Fullerov es Rozšírený Dickeyov Fullerov es Proces ARIMA Predpovedanie Koinegrácia Tes založený na rezíduách Johansenov es Grangerova kauzalia Dáa Vnúrobankové vysveľujúce premenné Údaje zo žiadosí Údaje o porfóliu... 53

9 5. Makroekonomické vysveľujúce premenné Hrubý domáci produk Nezamesnanosť Inflácia Finančná kríza Predikčné modely pre prvú časť porfólia Model lineárnej regresie Modely časových radov Kubický vyhladzovací splajn Holova meóda Kalmanov filer ARIMA model Vyhodnoenie výsledkov Jednokrokové predpovede Viackrokové predpovede Predikčné modely pre druhú časť porfólia Model časových radov Kubický vyhladzovací splajn Holova meóda Kalmanov filer ARIMA model Modely lineárnej regresie Model lineárnej regresie s ARIMA rezíduami a nezamesnanosťou Model lineárnej regresie s ARIMA rezíduami a zmenou HDP Model lineárnej regresie s ARIMA rezíduami, zmenou HDP a nezamesnanosťou Vyhodnoenie výsledkov Jednokrokové predpovede Viackroková predpoveď Záver Zoznam použiej lieraúry... 89

10 Úvod Komerčné banky sú najdôležiejšími finančnými inšiúciami, korých funkciou je okrem iného aj poskyovanie úverov. Poskynué úverové produky voria úverové porfólio a predsavujú najpodsanejšiu časť akív väčšiny komerčných bánk. Porfólio všekých úverov poskynuých domácnosiam nazývame reailovým porfóliom komerčnej banky. Skladá sa z hypoekárnych úverov, sporebných úverov, konokorenných úverov a krediných karie. Úverové produky sa poskyujú na základe zmluvy, v korej sa klien zaväzuje vráiť komerčnej banke poskynué peňažné prosriedky za vopred dohodnuých podmienok. Riziko nesplnenia ýcho podmienok sa nazýva krediným rizikom. Ukazovaele kvaliy akív sú indikáory, koré banka na pravidelnej báze sleduje a vyhodnocuje v rámci jeho riadenia. Medzi ieo ukazovaele zaraďujeme napríklad mieru omeškania a mieru zlyhania. Výskum v oblasi predpovedania krediného rizika začal výrazne naberať na inenzie približne pred švrťsoročím. Too predpovedanie môže prebiehať na úrovni jednolivých klienov, úverov alebo na úrovni celého úverového porfólia. Poslednému prísupu sa doeraz venovalo najmenej pozornosi, a o aj napriek omu, že je najvhodnejší pre zohľadnenie makroekonomických vplyvov. V diplomovej práci sa preo venujeme predpovedaniu na úrovni porfólia. Cieľom diplomovej práce je pomocou vhodných šaisických modelov predpovedať hodnoy miery omeškania dvoch odlišných časí reailového porfólia Všeobecnej úverovej banky, a.s.. Pri predpovedaní priom chceme okrem iného využiť aj už spomínané makroekonomické ukazovaele. Diplomová práca je rozdelená na dve hlavné časi, eoreickú a prakickú. Teoreická časť diplomovej práce sa skladá zo šyroch kapiol, prakickú časť voria ri ďalšie kapioly. Prvá kapiola začína definíciou komerčnej banky a jej reailového porfólia. Sručne popísané sú v nej jednolivé produky, z korých sa oo porfólio skladá. Ďalej je v prvej kapiole definované finančné riziko a proces jeho riadenia. Podrobnejšie sa priom venujeme kredinému riziku a ukazovaeľom kvaliy akív. Prvá kapiola je zakončená vysvelením eoreického pozadia predpovedania, zhrnuím možnosí predikcie kvaliy akív a odôvodnením výberu vysveľovanej premennej. 9

11 ÚVOD V druhej kapiole je popísaná eória lineárnej regresie a dvoch ypov odhadu jej paramerov, meódy najmenších švorcov a meódy maximálnej vierohodnosi. Venujeme sa v nej kriériám výberu modelu, konšrukcii predpovedí a problémom, koré sa v praxi vyskyujú najčasejšie, konkréne mulikolinearie, heeroskedasicie a auokorelácii rezíduí. Pri každom z nich sú sručne popísané meódy na idenifikáciu, následky v prípade ignorovania a iež možnosi riešenia. Treia kapiola je venovaná najmä dekompozičným meódam analýzy časových radov. Popisujeme v nej jednolivé zložky rozkladu časového radu. Okrem eliminácie maemaickými krivkami v reej kapiole definujeme aj adapívne prísupy k rendovej zložke. Deailnejšie sa priom venujeme meóde kubického vyhladzovacieho splajnu, exponenciálnemu vyhladzovaniu a Holovej meóde. Treia kapiola je zakončená popisom eoreického základu Kalmanovho filra. Vo švrej kapiole sa zaoberáme hlavne Boxovou Jenkinsovou meodológiou. Sú v nej definované pojmy sacionariy, auokorelačnej a parciálnej auokorelačnej funkcie. Ďalej je v nej popísaný proces kĺzavých súčov, auoregresný proces a iež zmiešaný proces. V ejo kapiole sa venujeme aj esom jednokového koreňa, ARIMA procesom a konšrukcii predpovedí. Na záver sa sručne zmieňujeme o koinegrácii časových radov, Grangerovej kauzalie a o ich esovaní. Piaa kapiola popisuje reálne dáa, koré sme použili pri vývoji predikčných modelov. Šiesu kapiolu začíname modelom lineárnej regresie pre prvú časť porfólia, pre korú sú v ejo kapiole vyvinué aj šyri ďalšie modely časových radov. Pri druhej časi porfólia posupujeme podobne, keď po vyvorení šyroch modelov časových radov prisupujeme v siedmej kapiole aj ku konšrukcii roch modelov lineárnej regresie, s využiím makroekonomických vysveľujúcich premenných. Vyvinué predikčné modely pre obidve časi porfólia validujeme viackrokovou predpoveďou a jednokrokovými predpoveďami na esovacej vzorke dá, keď kvaliu ýcho predpovedí vzájomne porovnávame pomocou niekoľkých mier. Pre každú časť porfólia si na základe porovnania vyberáme jeden model na dlhodobé a jeden model na krákodobé predpovede. Ich presnosť v praxi esujeme pomocou predikcie pre ri mesiace, koré neboli súčasťou vývojovej vzorky dá. 10

12 1 Ukazovaele kvaliy akív a ich predpovedanie 1.1 Komerčná banka a jej akíva Komerčná banka môže byť podľa [60] charakerizovaná ako najdôležiejšia finančná inšiúcia v ekonomike, korá prijíma vklady, poskyuje úvery a spomedzi všekých finančných inšiúcií ponúka najširšiu škálu služieb. Komerčná banka je však v prvom rade podnikaeľský subjek, korého základným cieľom je snaha o dosahovanie maximálneho zisku. Ako sa uvádza v [8], každá komerčná banka pôsobiaca na území Slovenskej republiky je súčasťou dvojsupňového bankového sysému, korý šandardnou formou usporiadania bankovnícva v rhových ekonomikách. Jeho základnou charakerisikou je, že komerčné banky a cenrálna banka, korej funkciu zasáva Národná banka Slovenska, sú oddelené inšiúcie a majú navzájom odlišné funkcie a ciele. Operácie, koré komerčná banka vykonáva, môžeme rozdeliť na akívne a pasívne. Podľa [3] je pri akívnych operáciách banka v posavení verieľa, o znamená, že jej vznikajú pohľadávky, prípadne vlasnícke práva. Najpodsanejšiu časť akív predsavujú vo väčšine komerčných bánk úverové produky, koré majú významný podiel na výnosoch, no sú veľmi podsané aj z hľadiska bankových rizík. Za úverové produky komerčnej banky môžeme podľa [] považovať ie produky, koré umožňujú klienom určiý spôsob financovania. Poskyujú sa na základe úverovej zmluvy, v korej sa banka zaväzuje v dohodnuý ermín poskynúť klienovi peňažné prosriedky. Klien sa, naopak, zaväzuje poskynué peňažné prosriedky vráiť za dohodnuých podmienok, vráane úrokov. 1. Reailové porfólio komerčnej banky Porfólio úverových produkov, koré ponúkajú komerčné banky svojim klienom, je veľmi široké. Podľa [57] je zo všekých finančných inšiúcií práve ich porfólio najviac diverzifikované. Množsvo úverov sa okrem spoločnosí, podnikaeľov či iných bánk poskyuje aj domácnosiam. Porfólio úverov poskynuých domácnosiam nazývame reailovým porfóliom komerčnej banky. Reailové porfólio komerčnej banky môžeme rozdeliť na dve základné časi, na časť zabezpečenú a časť nezabezpečenú. Do zabezpečenej časi reailového porfólia 11

13 1 UKAZOVATELE KVALITY AKTÍV A ICH PREDPOVEDANIE paria hypoekárne úvery, koré sú zvyčajne kryé nehnueľnosťou. Nezabezpečená časť sa skladá z roch ypov bankových produkov, z korých ani jeden nebýva ýmo spôsobom kryý. Paria do nej sporebné úvery, konokorenné úvery a krediné kary Hypoekárny úver Za základný charakerisický znak hypoekárneho úveru možno považovať spôsob jeho zabezpečenia, korým je záložné právo na nehnueľnosť. Z povahy oho zabezpečenia vyplýva relaívne nízke riziko nesplaenia a možnosť rozloženia spláok na dlhšie časové obdobie. Spravidla preo ide o dlhodobý úver s dobou splanosi na viac rokov. Podľa [] však musí plaiť zásada, že splanosť hypoekárneho úveru nemôže byť dlhšia ako živonosť založenej nehnueľnosi. Banka iež musí brať do úvahy schopnosť kliena splácať úver po celú dobu jeho splanosi. Doba splanosi úveru je časo ovplyvnená aj ekonomickou výhodnosťou pre klienov. Ak je vyššia, klesá výška spláok hypoekárneho úveru, ale zároveň sa zvyšuje celkový objem úrokov. 1.. Sporebný úver Sporebný úver slúži na nákup ovarov a služieb. Ako sa uvádza v [5], rozlišujeme dva ypy sporebných úverov. Účelový sporebný úver je určený na presne špecifikovaný účel, korý je dohodnuý v úverovej zmluve. S ým je spojená povinnosť kliena v sanovenej lehoe zdokladovať použiie úveru. Ak si dlžník úo povinnosť nesplní, môže banka prisúpiť k sankciám, napríklad k navýšeniu úrokovej sadzby. Naopak, pri bezúčelovom sporebnom úvere banka dokladovanie použiia finančných prosriedkov od kliena nepožaduje. Klien môže peniaze použiť prakicky na čokoľvek, aj na rovnaký účel ako pri účelovom sporebnom úvere, ale v omo prípade nemusí banke použiie úveru dokladovať. V porovnaní s účelovým sporebným úverom je bezúčelový sporebný úver zvyčajne drahší Konokorenný úver Konokorenný úver sa používa na kryie opakujúcich sa krákodobých porieb. Jeho účelom je podľa [58] preklenuie časového nesúladu medzi príjmami a výdavkami kliena. Umožňuje opakované čerpanie a splácanie peňažných prosriedkov podľa akuálnej poreby, až do výšky sanoveného úverového limiu sanoveného komerčnou bankou. 1

14 1 UKAZOVATELE KVALITY AKTÍV A ICH PREDPOVEDANIE Teno úver banka poskyuje iba klienom s výbornou plaobnou disciplínou, korí si v minulosi plnili všeky predchádzajúce záväzky v sanovených ermínoch a výške. Konokorenný úver sa v praxi zvykne nazývať aj povolené prečerpanie na úče, keďže sa poskyuje na bežnom úče kliena. Teno úče sa vzápäí sáva debeno-krediným, eda konokorenným účom Krediná kara Ako sa uvádza v [5], pri čerpaní prosriedkov z kredinej kary je čerpaná pôžička, korú neskôr držieľ kredinej kary neskôr spláca. Môže sa jednať o plabu za ovary a služby, prípadne pri výber z bankomau. Krediné kary nie sú viazané na bežné účy. Čerpaný úver sa nazýva revolvingový, eda opakujúci sa, preože sanovený úverový limi sa s každou uskuočnenou splákou úveru auomaicky obnovuje. Krediné kary sú zaujímavé predovšekým vďaka zv. bezúročnému obdobiu, počas korého klien za čerpané prosriedky neplaí úrok. Too obdobie obvykle rvá jeden až dva mesiace. Ak však počas nich klien svoj dlh neuhradí, začínajú sa dlžné prosriedky úročiť. Úrokové sadzby pri krediných karách sú podsane vyššie ako pri sporebných alebo konokorenných úveroch. 1.3 Finančné riziko a jeho riadenie Podľa [4] môže byť finančné riziko vo všeobecnosi definované ako poenciálna budúca sraa, korá sa viaže k určiému akívu alebo porfóliu akív. Je pri ňom nevyhnuné rozlišovať pravdepodobnosť oho, že udalosť nasane, a iež veľkosť jej poenciálneho vplyvu. Finančné riziko môžeme rozdeliť na šyri základné ypy, v závislosi od druhu neisoy, korý vyjadrujú. Prvým ypom finančného rizika, korému je komerčná banka vysavená, je rhové riziko. Vo všeobecnosi zahŕňa riziko sray v dôsledku poklesu rhových cien akív, koré má banka v porfóliu. K omuo poklesu môže podľa [16] dôjsť z viacerých príčin, napríklad kvôli pohybu úrokových sadzieb (úrokové riziko), výmenných kurzov (menové riziko), cien akcií (akciové riziko) či komodí (komodiné riziko). Komerčná banka je ďalej vysavená riziku likvidiy. Je o riziko sray v dôsledku momenálneho nedosaku hoových finančných prosriedkov. Ako sa uvádza v [16], ďalej sa oo riziko delí na riziko rhovej likvidiy a riziko financovania. Prvý yp rizika vyjadruje riziko sray v prípade nedosaočnej akiviy rhu na porebný 13

15 1 UKAZOVATELE KVALITY AKTÍV A ICH PREDPOVEDANIE prísup k hoovosi a druhý riziko sray v prípade momenálnej plaobnej neschopnosi v dôsledku nesúladu vo finančných okoch. Operačné riziko je spomedzi šyroch základných ypov rizika najťažšie meraeľné. Podľa [4] zahŕňa najmä riziko sray v dôsledku zlyhania ľudského fakora alebo inerných sysémov banky, prípadne v dôsledku nesprávne nasavených bankových procesov. Okrem oho k operačnému riziku zaraďujeme aj riziko sray v dôsledku inerného alebo exerného podvodu, či živelnej pohromy. Krediné riziko by sme vo všeobecnosi mohli charakerizovať ako riziko sray v dôsledku neschopnosi alebo neochoy zmluvného parnera splaiť svoje pohľadávky načas a v plnej výške, podľa vopred dohodnuých podmienok. Ako sa uvádza v [43], pod pojem krediného rizika paria aj riziko suvereniy, riziko koncenrácie, riziko vysporiadania a riziko proisrany. Ako sa uvádza v [4], okrem šyroch základných ypov rizika musí komerčná banka brať do úvahy aj ďalšie ypy rizík. Paria sem riziko sray v dôsledku sraegicky zlého obchodného rozhodnuia (sraegické riziko), právneho problému (právne riziko), zlej repuácie (repuačné riziko), nevhodného použiia modelu (riziko modelu), kolapsu celého finančného sysému alebo celého rhu (sysémové riziko). Pri podnikaní musí komerčná banka dbať o dlhodobú sabiliu a bezpečnosť. Špeciálne pravidlá, koré sa na jej podnikanie vzťahujú, podľa [37] vyplývajú aj z oho, že komerčné banky vo svojej podsae obchodujú so zverenými peňažnými prosriedkami. Vyžadujú si preo prísnejšie pravidlá a dohľad nad svojou činnosťou. Neoddelieľnou súčasťou fungovania komerčnej banky preo musí byť riadenie rizík. Proces riadenia rizík sa podľa [4] skladá z roch hlavných časí, konkréne z idenifikácie, merania a samoného riadenia rizík. Idenifikácia rizík sa zameriava na rozpoznanie rizikových fakorov, korým je banka vysavená. Každá banková ransakcia oiž so sebou nesie niekoľko ypov rizika. Mnohé z nich, koré za normálnych okolnosí považujeme za vedľajšie, sa napríklad v období krízy môžu ukázať ako kľúčové. Riadenie rizík vo všeobecnosi zahŕňa nasavenie rizikových limiov, koré je založené na určenom rizikovom apeíe, spänom esovaní (esovaní kvaliy modelov na hisorických dáach) a sresovom esovaní (hodnoení vplyvu niekoľkých veľmi vážnych, no do určiej miery pravdepodobných scenárov). S meraním krediného rizika reailového porfólia komerčnej banky úzko súvisia ukazovaele kvaliy akív. 14

16 1 UKAZOVATELE KVALITY AKTÍV A ICH PREDPOVEDANIE 1.4 Ukazovaele kvaliy akív Ukazovaele kvaliy akív sú indikáory, koré banka sleduje a vyhodnocuje v rámci sledovania kvaliy porfólia na pravidelnej báze, najčasejšie mesačne. Sledovaním a vyhodnocovaním kvaliy porfólia sa obvykle zaoberá samosané oddelenie v rámci riadenia rizík. Ukazovaele sú merané na úrovni celého porfólia, ale aj na úrovni jednolivých akív, a môžu veľa napovedať o ich kvalie Miera omeškania Sav, keď má klien voči banke finančný záväzok (isinu, úroky alebo iné poplaky) po lehoe splanosi, sa nazýva delikvencia. Jedná sa o porušenie zmluvných podmienok klienom, napríklad kvôli nepovolenému prekročeniu limiu povoleného prečerpania na bežnom úče alebo nedodržaniu splákového kalendára (napríklad nezaplaenie spláky isiny, nezaplaenie úrokov v sanovený ermín alebo iné). Miera omeškania predsavuje percenuálny podiel sumy zosakov v delikvencii k sume celkového zosaku daného porfólia. Pre vyhodnocovanie kvaliy reailového porfólia sa najčasejšie používa miera omeškania ( DLQ ), korá hovorí o úveroch v delikvencii 90 až 360 dní. Najväčšiu výpovednú hodnou má miera omeškania jednolivých časí porfólia. Vypočíať sa dá pomocou vzorca 90 ZOSTATOK 360 ZOSTATOK 360 ZOSTATOK DLQ %. ZOSTATOK PORTFÓLIO Okrem miery omeškania sa pri sledovaní kvaliy akív súsreďuje značná pozornosť aj na mieru omeškania ( DLQ ), korá v sebe nesie aj informáciu o klienoch, korí sú v delikvencii 30 až 89 dní. Nezanedbaeľná časť ýcho klienov oiž v nasledujúcich mesiacoch môže prejsť do delikvencie viac ako 90 dní. Vyjadriť sa dá ako 30 ZOSTATOK 360 ZOSTATOK 360 ZOSTATOK DLQ %. ZOSTATOK PORTFÓLIO Miera omeškania 90 ( DLQ90 ) hovorí aj o úveroch v omeškaní viac ako rok. Jej hodnoa sa počía vzorcom ZOSTATOK 90 DLQ90.100%. ZOSTATOK PORTFÓLIO 15

17 1 UKAZOVATELE KVALITY AKTÍV A ICH PREDPOVEDANIE 1.4. Miera zlyhania Za vznik zlyhania v súvislosi s konkrénym úverom sa považuje, ak konkrény úver dlžníka je v omeškaní v súvislosi s plnením záväzku voči banke viac ako 90 dní, prípadne banka usúdi, že dlžník si na konkrénom úvere pravdepodobne nesplní svoj záväzok voči nej bez oho, aby prišlo napríklad k realizácii zabezpečenia alebo inej významnej komplikácii. Miera zlyhania ( DEFAULT ) je definovaná ako podiel sumy zosakov zlyhaných zmlúv k celkovej sume zosakov daného porfólia. Pre vyhodnocovanie kvaliy reailového porfólia je rovnako dôležiá ako miera omeškania. Miera zlyhania sa vyjadruje aj pre celé porfólio, no väčšiu výpovednú hodnou má zvyčajne miera zlyhania jeho jednolivých časí. Počía sa vzorcom DEFAULT ZOSTATOK ( DEFAULT ).100%. ( ) ZOSTATOK PORTFÓLIO 1.5 Predpovedanie Predpovedanie je odhadovanie budúcej hodnoy premennej pre určiý časový okamih v budúcnosi. Podľa [4] sa zvyčajne vykonáva s úmyslom pomôcť budúcemu rozhodovaniu a plánovaniu. Vychádza z predpokladu, že ak sme schopní predpovedať, čo sa udeje v budúcnosi, môžeme omu prispôsobiť naše súčasné správanie s cieľom byť v budúcnosi v čo najlepšej pozícii. Podľa [13] akmer každá akivia, korá sa ýka vypožičiavania peňazí, v sebe zahŕňa určiú formu predpovedania. Pri reailovom porfóliu komerčnej banky je cieľom predpovedať mesačný vývoj porfólia na niekoľko mesiacov vopred. Predpovede priom môžeme rozdeliť do niekoľkých hlavných kaegórií. V nasledujúcich časiach podkapioly si uvedieme delenie podľa [16] Bodová a inervalová predpoveď Bodová predpoveď je hodnoa, korá predsavuje odhad budúcej hodnoy uvažovaného časového radu v určiom, presne sanovenom, časovom okamihu. Bodová predpoveď je vždy zaťažená chybou, preo je porebné brať konkrénu hodnou, korú poskyuje, s rezervou. Z prakického pohľadu sú preo pre používaeľa zrejme zaujímavejšie inervalové ako bodové predpovede. 16

18 1 UKAZOVATELE KVALITY AKTÍV A ICH PREDPOVEDANIE Inervalová predpoveď je inerval, korý je analógiou inervalu spoľahlivosi zo šaisiky. Rozdiel je v om, že namieso neznámeho paramera sa pri ňom odhaduje budúca hodnoa časového radu. Napríklad 95-percenný predikčný inerval udáva dolnú a hornú hranicu, medzi korými bude ležať budúca hodnoa časového radu s pravdepodobnosťou 95 percen Jednokroková a viackroková predpoveď Jednokroková predpoveď je skonšruovaná pre jediné, zvyčajne nasledujúce, pozorovanie. Využiť sa dá, pokiaľ naším cieľom nie je dlhodobá, ale čo najpresnejšia predpoveď, a iež na validáciu predikčného modelu. V omo prípade sa posupuje konšrukciou posupnosi predpovedí pre viac pozorovaní. Tieo predpovede sa konšruujú vždy o jeden krok dopredu, na základe skuočných hodnô. Viackroková predpoveď je predpoveď pre viac, zvyčajne nasledujúcich, pozorovaní súčasne. Jedná sa o množinu predpovedaných hodnô, koré sú všeky skonšruované v om isom čase. Viackrokovou predpoveďou preo nie je napríklad spomínaná posupnosť predpovedí pre viac pozorovaní konšruovaných posupne v čase o jeden krok dopredu na základe skuočných hodnô Saická a dynamická predpoveď Too rozdelenie sa používa v prípadoch, kedy medzi vysveľujúcimi premennými pre predpovedanú vysveľovanú premennú figurujú aj oneskorené hodnoy ejo vysveľovanej premennej. Táo siuácia nasáva napríklad v auoregresných modeloch. Pokiaľ sú skuočné oneskorené hodnoy k dispozícii, saická predpoveď ich využíva ako oneskorené hodnoy predpovedanej vysveľovanej premennej. Naopak, dynamická predpoveď nevyužíva známe oneskorené hodnoy vysveľovanej premennej ani v prípade, ak sú už známe, ale dosadí namieso nich predchádzajúce výsledky predpovede. Dynamická predpoveď by preo v porovnaní so saickou predpoveďou mala byť vo väčšine prípadov menej presná. Na druhej srane však umožňuje konšruovať predpovede na dlhšie časové obdobie Predpoveď vo vzorke a mimo vzorky Predpoveď vo vzorke je predpoveď pre dáa, koré boli použié pri konšrukcii predikčného modelu. V omo prípade sa preo dajú očakávať dobré predikčné výsledky, keďže v predpovedanom horizone zosávajú v planosi predpoklady modelu. Môže sa 17

19 1 UKAZOVATELE KVALITY AKTÍV A ICH PREDPOVEDANIE používať pri spänom esovaní odhadnuých paramerov modelu, ale zvyčajne je vhodnejšie použiť pre eno účel predpoveď mimo vzorky. Predpoveď mimo vzorky je predpoveďou dá, koré sa na konšrukcii predikčného modelu nezúčasnili. V dobe konšrukcie modelu oiž buď neboli k dispozícii, alebo boli z pôvodnej vzorky zámerne odsránené za účelom posúdenia predikčnej schopnosi modelu. Tako odsránené dáa sa označujú ako uajená vzorka. Predpoveď mimo vzorku je zvyčajne menej presná ako predpoveď vo vzorke Predpoveď v ekonomerickom modeli a v modeli časového radu Predpoveď v ekonomerickom modeli dáva do vzťahu budúcu hodnou vysveľovanej premennej a budúce hodnoy vysveľujúcich premenných. Takéo modely môžu pri exisencii dlhodobých vzťahov medzi premennými fungovať uspokojivo aj pre dlhodobé predpovede. Na druhej srane pri nich môže vzniknúť problém s dosupnosťou predpovedí príslušných vysveľujúcich premenných. Predpoveď v modeli časového radu konšruuje predpoveď ako auoprojekciu minulých a súčasných hodnô časového radu do budúcnosi. Môže byť založená na dekompozičných alebo auokorelačných vlasnosiach časového radu. Jej hlavnou výhodou je, že pre konšrukciu predpovedí využíva iba minulé hodnoy vysveľovanej premennej a nevyžaduje si predpovede iných vysveľujúcich premenných. 1.6 Miery presnosi predpovede Chyba predpovede y ˆ skuočnej hodnoy y je definovaná ako e y yˆ. Ďalej si uvedieme si miery, koré sa podľa [16] najčasejšie používajú na ohodnoenie kvaliy skonšruovaných predpovedí. Sú vhodné na súhrnné posúdenie presnosi predpovedaných hodnô, pričom nezáleží na om, či sa jedná o viackrokové alebo jednokrokové, saické alebo dynamické predpovede. Súče švorcových chýb SSE T h T h ˆ SSE y y e T 1 T 1 je analógiou ku kriériu najmenších švorcov v regresných modeloch. Sredná švorcová chyba MSE MSE 1 y y 1 h h e T h T h ˆ T 1 T 1 18

20 1 UKAZOVATELE KVALITY AKTÍV A ICH PREDPOVEDANIE je časo používanou kvadraickou chybovou funkciou. Odmocninová priemerná švorcová chyba RMSE RMSE 1 y y 1 h h e T h T h ˆ T 1 T 1 vzniká modifikáciou MSE, aby bola meraná v rovnakých jednokách ako daný časový rad. Ako sa uvádza napríklad v [31] a [3], veľmi časo sa využíva aj v bankovom prosredí. Priemerná absolúna chyba MAE MAE 1 T h y y 1 T h ˆ h h e T 1 T 1 nepenalizuje veľké chyby ak výrazným spôsobom ako MSE, preo ju niekorí auori odporúčajú pre ohodnocovanie chýb predpovedí v časových radoch s odľahlými pozorovaniami. Priemerná absolúna percenuálna chyba MAPE MAPE 100 Th h T1 y ˆ y y obvykle nadobúda hodnoy od 0 do 100 percen. Výsledok menší ako 100 percen znamená, že daný model predpovedá lepšie ako model s konšannými predpoveďami na úrovni nuly, korý má MAPE rovné 100 percen. Perceno správnych jednokrokových predpovedí zmien v smere vývoja PSP PSP 100 Th T h kde z 1 ak ( y ˆ y 1)( y y 1) 0, inak z 0 zmien vo vývoji vysveľovanej premennej. 1 z,, hovorí o úspešnosi predpovedania 1.7 Možnosi predpovedania ukazovaeľov kvaliy akív Výskum v oblasi predpovedania krediného rizika začal podľa [18] výrazne naberať na inenzie od začiaku deväťdesiaych rokov minulého soročia. Z hľadiska významu je o podľa auorov článku jedna z najdôležiejších aplikácií predpovedania v praxi. Modelovanie krediného rizika a jeho predpovedanie môže prebiehať na úrovni jednolivých klienov, úverov alebo na úrovni porfólia úverov. 19

21 1 UKAZOVATELE KVALITY AKTÍV A ICH PREDPOVEDANIE Ako sa uvádza v [18], pri predpovedaní plaobného zlyhania kliena sa sprvoi využívala lineárna diskriminačná analýza. Pokroky v oblasi výpočovej echniky však neskôr viedli k používaniu logisickej regresie, korá je v praxi aj dnes jedným z najpoužívanejších násrojov modelovania krediného rizika na úrovni klienov. Viac o vývoji modelovania krediného rizika sa dá dozvedieť napríklad z [11], [19] či [66]. Vďaka spomínaným pokrokom v oblasi výpočovej echniky sa posupne, spolu s logisickou regresiou, dosávali do popredia aj ďalšie klasifikačné meódy, napríklad neurónové siee, klasifikačné sromy, či zhlukové analýzy. Používaniu ýcho meód a porovnávaniu kvaliy ich predpovedí sa venuje množsvo článkov, okrem iných napríklad [], [7], [34] a [6]. Čo sa ýka predpovedania plaobného zlyhania klienov, značná pozornosť sa v poslednej dobe venuje aj modelom prežiia, koré majú oproi iným modelom ú výhodu, že pri nich nemusí byť srikne určená časová perióda, v korej k javu dôjde. Vychádzal z nich aj článok [47]. Takiež v nich môžu byť zohľadnené premenné závislé na čase, eda napríklad makroekonomické ukazovaele. Aplikácia modelov prežiia do praxe pri predpovedaní plaobného zlyhania klienov bola bližšie popísaná v [3], [54] a [64]. V ýcho článkoch bola zároveň schopnosť modelov prežiia predpovedať plaobné zlyhanie klienov porovnaná s dovedy používanými meódami. Zahrnuie makroekonomických premenných do modelu bolo predmeom článkov [5] a [6]. Ďalšou meódou, korá sa dá použiť na predpovedanie na úrovni jednolivých klienov, sú Markovove modely. Oproi modelom, koré sme si spomínali vyššie, majú ú výhodu, že môžu fungovať viacsavovo, eda okrem budúceho plaobného zlyhania kliena dokážu predpovedať aj o, v korej kaegórii delikvencie sa klien v niekorom časovom okamihu v budúcnosi ocine. Markovovým modelom a ich aplikácii v oblasi krediného rizika je venovaná pozornosť v [9], [63], [50], ale predovšekým v [30]. Pri odhadovaní pravdepodobnosí prechodu medzi jednolivými savmi boli v omo prípade použié najmä údaje o úvere a údaje o klienovi. O zahrnuie makroekonomických ukazovaeľov sa pokúsili v článkoch [53] a [6], v korých pracovali s viacsavovými Markovovými modelmi. Podľa [18] sa oveľa menej pozornosi venovalo predpovedaniu miery omeškania na úrovni porfólií. Výnimkou bol článok [17], v korom auori odhadli modely určené 0

22 1 UKAZOVATELE KVALITY AKTÍV A ICH PREDPOVEDANIE na predpovedanie miery omeškania úverového porfólia komerčných bánk pomocou koinegračnej analýzy a VAR modelov. Tieo modely následne porovnali s ARIMA modelmi. Zisili, že ich predikčné schopnosi boli akmer idenické. Alernaívou k omuo posupu by mohol byť model lineárnej regresie, korého najväčšia výhoda spočíva v jednoduchom zahrnuí makroekonomických premenných a iež veľmi zrozumieľnej inerpreácii výsledkov. Jeho použiie má však v prípade predpovedania ukazovaeľov kvaliy akív na úrovni porfólia a dá v vare časových radov isé špecifiká, korým sa venuje napríklad [1]. Čo sa ýka modelov časových radov, okrem ARIMA modelov, koré paria do skupiny modelov využívajúce auokorelačné vlasnosi časových radov, sa pre účely predpovedania ukazovaeľov kvaliy akív dajú využiť aj dekompozičné meódy analýzy časových radov, medzi koré parí napríklad meóda vyhladzovacieho splajnu, korej je venovaná pozornosť v [67]. 1.8 Výber vysveľovanej premennej Naším cieľom bolo zvoliť si ako vysveľovanú premennú predikčného modelu na úrovni porfólia en ukazovaeľ, korý má pri sledovaní kvaliy akív reailového porfólia najväčší význam. Nakoniec sme sa rozhodli pre mieru omeškania, korá vyjadruje akuálny podiel zosakov v omeškaní, a pri sledovaní kvaliy porfólia sa na ňu v banke súsreďuje veľká pozornosť. Ako sme už v ejo kapiole uviedli, rozlišujeme rôzne ypy miery omeškania. Pre účely sledovania kvaliy akív reailového porfólia je najzaujímavejším ypom miera omeškania v rozmedzí 90 až 360 dní. V prípade omeškania pod 90 dní sa oiž klien eše časo krá vrái k riadnemu splácaniu, no a v prípade omeškania nad 360 dní už banka počía s definiívnym zlyhaním splácania klienovho úveru. 1

23 Model lineárnej regresie v praxi Ako sa uvádza v [41], lineárna regresia vysveľuje zmeny hodnô vysveľovanej premennej zmenami hodnô vysveľujúcich premenných. Vysveľovaná premenná sa obvykle označuje písmenom y a vysveľujúce premenné písmenami x 1, x,..., x k. Model lineárnej regresie sa dá formálne zapísať v vare y x x x, k k kde 1,..., T vyjadruje čas, y je hodnoa vysveľovanej premennej y v čase, x 1, x,..., x k sú hodnoy vysveľujúcich premenných v čase, 0, 1,,..., neznáme paramere modelu a je jeho reziduálna zložka..1 Meóda najmenších švorcov k sú Zrejme najčasejšie používanou meódou odhadu neznámych paramerov modelu je posup založený na meóde najmenších švorcov ( MNŠ ). Ako sa uvádza v [9], áo meóda hľadá odhady paramerov 0, 1,,..., k ak, že vzhľadom na ne minimalizuje súče švorcov T y 1 ( 0 1x 1 x... k xk ). i Riešením opimalizačnej úlohy sú odhady b 0, b 1, b,..., b k paramerov 0, 1,,..., T, koré sa zvyknú nazývať aj MNŠ -odhady 1 k vysveľujúcich premenných, vráane konšanného člena. T b X X X y Na základe MNŠ -odhadov vieme vypočíať MNŠ -hodnoy yˆ b b x b x... b x, k k, kde X je maica a pomocou MNŠ -hodnô sa vieme dopracovať k MNŠ -rezíduám ˆ y yˆ y b b x b x... b x k k Okrem paramerov 0, 1,,..., k obsahuje model lineárnej regresie aj neznámy parameer 0. Za jeho MNŠ -odhad sa podľa [9] obvykle berie výraz s, T k T ˆ i1

24 MODEL LINEÁRNEJ REGRESIE V PRAXI pričom za MNŠ -odhad šandardnej odchýlky 0 sa poom považuje odmocnina z oho odhadu v vare s T ˆ i1. T k Podľa [1] sa dá ukázať, že MNŠ -odhady b i sú nesrannými odhadmi paramerov i a MNŠ -odhad s je nesranným odhadom paramera. MNŠ -odhad s sa navyše aproximaívne považuje za nesranný odhad paramera a šandardnej odchýlky odhadu b i paramera i. s b i za nesranný odhad Ako sa uvádza v [16], MNŠ -odhady b i sú v modeli lineárnej regresie všeobecne najlepšími nesrannými lineárnymi odhadmi paramerov i, pokiaľ je sredná hodnoa reziduálnej zložky nulová pre všeky I E 0, rozpyl reziduálnej zložky je konšanný a konečný pre všeky II var, reziduálne zložky sú navzájom nekorelované všeky s III cov, 0, a vysveľujúce premenné sú navzájom iež korelované s IV h X k. O normálnom modeli môžeme podľa [16] hovoriť v siuácií, keď navyše plaí aj predpoklad normálneho rozdelenia reziduálnych zložiek pre všeky V ~ N0,.. Meóda maximálnej vierohodnosi Ako sa uvádza v [41], k odvodeniu odhadu paramerov modelu lineárnej regresie meódou maximálnej vierohodnosi MMV je porebné využiie vierohodnosnej funkcie L T T, exp, ( y X ) ( y X ) 3

25 MODEL LINEÁRNEJ REGRESIE V PRAXI prípadne logarimickej vierohodnosnej funkcie, korá má jednoduchší var T T 1 T l, ln L, ln ln y X y X. MMV -odhady následne nájdeme minimalizáciou l,. Keďže je áo funkcia konkávna, pri jej maximalizácii podľa [41] sačí nájsť nulový bod príslušných parciálnych derivácií 1 l X y X X T T, T 1 l y X y X 4 T, Ako sa uvádza v [16], MMV -odhad paramerov T 1 T b X X X y je zhodný s MNŠ -odhadmi paramerov a MMV a MNŠ -odhady paramera asympoicky zhodné, keďže MMV -odhad má var,. sú T ˆ 1 T k ˆ s. T T V [36] je uvedené, že MMV -odhad paramera je asympoicky nesranný a MMV -odhady všekých paramerov modelu sú asympoicky efekívne, čo znamená, že ich rozpyly sa pre veľké hodnoy poču pozorovaní T blížia k dolným hraniciam pre rozpyly daných paramerov..3 Kriériá výberu modelu Pri vyváraní modelu lineárnej regresie auor zažije veľa siuácií, pri korých musí urobiť dôležié rozhodnuia. Či už pri pridaní vysveľujúcich premenných do modelu, vynechaní niekorých vysveľujúcich premenných, koré v modeli vysupujú, alebo pri ich prípadnej ransformácii. Aby sa auor nemusel rozhodovať iba na základe inuície, môže si pomôcť niekorým z nasledujúcich kriérií. 4

26 MODEL LINEÁRNEJ REGRESIE V PRAXI.3.1 Koeficien deerminácie Keď model lineárnej regresie odhadneme, je nuné posúdiť, či je skuočne kompaibilný s použiými dáami. Too sa dá vykonať pomocou šaisických esov alebo na základe koeficienu deerminácie, korý sa podľa [41] definuje ako T T kde ˆ ˆ R ESS RSS 1 TSS TSS, T i1 i i1, TSS y i 1 y RSS y y T a ESS yˆ i 1 y. Ako sa uvádza v [41], v praxi sa niekedy dáva prednosť akzvanému korigovanému koeficienu deerminácie v vare R T R T k, korý by mal penalizovať nadmerný poče vysveľujúcich premenných k. Pravidlo konšrukcie modelu s maximálnym koeficienom deerminácie je však, aj pri využií korigovaného koeficienu deerminácie, priveľmi jednoduché a podľa [16] môže viesť k neúčinným modelom s priveľkým počom vysveľujúcich premenných..3. Informačné kriériá Ako sa uvádza v [16], informačné kriériá do určiej miery riešia problém nedosaočnej penalizácie rasúceho poču vysveľujúcich premenných pri korigovanom koeficiene deerminácie. Ich hodnoy sú funkciou poču vysveľujúcich premenných k, poču pozorovaní T a MNŠ -odhadu rozpylu rezíduí s k. Opimálny poče vysveľujúcich premenných sa hľadá minimalizáciou informačného kriéria cez k. Najpoužívanejšími kriériami sú podľa [16] Akaikeho informačné kriérium AIC AIC k a Bayesovo informačné kriérium BIC BIC k s ln k k T ln s k T ln k. T Keďže penalizačný člen v Bayesovom informačnom kriériu má pre vyššie T väčšiu hodnou než v Akaikeho informačnom kriériu, Bayesovo informačné kriérium viac inklinuje k výberu menších modelov. Podobne je na om podľa [9] aj korigované 5

27 MODEL LINEÁRNEJ REGRESIE V PRAXI Akaikeho informačné kriérium AICc, koré v porovnaní s Akaikeho informačným kriériom používa eše dodaočný penalizačný člen..3.3 Ieračné výberové meódy Ako sa uvádza v [9], pri výbere vysveľujúcich premenných môžeme použiť aj niekorú z ieračných meód. Meóda výberu vpred začína s najmenším modelom, korý obsahuje iba konšanný člen, a priradí k nemu poenciálnu vysveľujúcu premennú s najväčším -pomerom. Teno posup opakuje dovedy, kým žiadna z nezaradených poenciálnych vysveľujúcich premenných nie je významná. Meóda eliminácie späť využíva podľa [9] presne opačný posup ako meóda výberu vpred. Začína s najväčším modelom, korý obsahuje všekých k poenciálnych vysveľujúcich premenných, a vyradí z nich ú, korá má najmenší -pomer. Teno posup opakuje ak dlho, až sú všeky vysveľujúce premenné, koré z modelu neboli vyradené, významné. Kroková regresia je podľa [16] kombináciou meódy výberu vpred a meódy eliminácie späť, keďže pri každej pridanej vysveľujúcej premennej vyskúša, či sa nedá niekorá zo zosávajúcich vysveľujúcich premenných vyradiť. Kroková regresia je preo najuniverzálnejšou meódou, korá sa pri výsavbe modelu lineárnej regresie v praxi používa..4 Predpovedanie V modeli lineárnej regresie sa za predpoveď považuje odhad hodnoy vysveľovanej premennej * x 1, * x,..., * x k. * y pri daných hodnoách vysveľujúcich premenných Ako sa uvádza v [9], o ex ane predpovedi hovoríme v prípade, že hodnoy vysveľujúcich premenných * x 1, * x,..., jedná vedy, sú hodnoy vysveľujúcich premenných Bodová predpoveď má var * x k musíme najprv nájsť. O ex pos predpoveď sa * x 1, * x,..., y x x x, * * * * * k k pričom v odhadnuom modeli lineárnej regresie plaí * * * * yˆ b0 b1 x1 b x... bkxk. * x k známe. 6

28 MODEL LINEÁRNEJ REGRESIE V PRAXI Ak sú podľa [16] splnené aj dodaočné predpoklady * VI E 0, var VII *, * VIII cov, 0, poom je predpoveď * * * ŷ nesranná, keď plaí E y y ˆ 0. Predpoveď * ŷ je zároveň najlepšia spomedzi nesranných lineárnych predpovedí v zmysle, že jej chyba e y yˆ * * má minimálnu šandardnú odchýlku * * ˆ s var e E y y..5 Špecifiká lineárnej regresie v praxi I e Ako sa uvádza v [16], v praxi časo dochádza k porušeniu predpokladov V pre model lineárnej regresie. Porušenie predpokladu 0 k nesabilie modelu, kým porušenie predpokladu N, E môže viesť sa dá eliminovať napríklad ransformáciou premenných, použiím robusných meód, prípadne modelovaním odľahlých pozorovaní umelo vyvorenými premennými..5.1 Heeroskedasicia O heeroskedasicie sa hovorí, ak je porušený predpoklad homoskedasiciy II var. Keďže grafické rozpoznanie heeroskedasiciy je použieľné najmä vedy, ak poznáme jej príčinu, v praxi sa jej príomnosť v modeli esuje napríklad Goldfeldovým Quandovým, Whieovým alebo Breuschovým Paganovým esom. Ako je uvedené v [9], Breuschov Paganov es predpokladá esovaný model lineárnej regresie v obvyklom vare y x x x, k k pričom jeho nulovou hypoézou je H0 : 1... T. 7

29 MODEL LINEÁRNEJ REGRESIE V PRAXI Alernaívna hypoéza má pre všeky 1,..., T var H : z z... z, 1 i p kde niekoré vysveľujúce premenné pomocného modelu z 1, z,..., z p môžu byť podmnožinou vysveľujúcich premenných esovaného modelu a 0, 1,,..., neznáme paramere. Tesovacia šaisika Breuschovho Paganovho esu má podľa [9] var p sú BP T 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1z1 z... pzp ), 4 s kde ˆ 0, ˆ 1, ˆ,..., ˆp sú MNŠ -odhady paramerov modelu z alernaívnej hypoézy, ˆ sú MNŠ -rezíduá esovaného modelu a s je ich rozpyl. Ak plaí nulová hypoéza, esovacia šaisika má asympoické p -rozdelenie, v korom je poče supňov voľnosi rovný poču vysveľujúcich premenných v modeli z alernaívnej hypoézy. Ak v modeli nie je splnený predpoklad homoskedasiciy, MNŠ -odhad b zosáva podľa [16] nesranným odhadom paramera, ale už nie je všeobecne najlepší medzi nesrannými lineárnymi odhadmi paramera. MNŠ -odhad nie je nesranným odhadom paramera logarimickou ransformáciou premenných..5. Mulikolinearia s v omo prípade. Heeroskedasicia sa dá odsrániť napríklad Ďalším predpokladom modelu lineárnej regresie je predpoklad IV h X k, korého porušenie sa označuje ako mulikolinearia. Ako sa uvádza v [39], jedná sa o vysokú vzájomnú korelovanosť vysveľujúcich premenných. Mulikolinearia sa dá podľa [9] najlepšie rozpoznať pomocou variančného inflačného fakora VIF i 1, 1 R i korý ukazuje, koľkokrá sa zväčšil rozpyl b i zásluhou mulikolineariy. Teno fakor ohodnocuje vyššiu korelovanosť vysveľujúcej premennej xi so zvyšnými k 1 8

30 MODEL LINEÁRNEJ REGRESIE V PRAXI vysveľujúcimi premennými, pričom pri vysokom hodnoám. R i môže vysreliť k vysokým Čo sa ýka maximálnej odporúčanej olerancie na veľkosť variančného inflačného fakora, odporúčania auorov odbornej lieraúry sa zvyknú líšiť. V [44] sa ako maximálna odporúčaná hodnoa VIF i uvádza hodnoa 10. Odporúčanie VIF i menej ako 5 môžeme nájsť v [59]. Neprekročiť v modeli lineárnej regresie hodnou 4 odporúčajú napríklad auori [55]. Pridanie alebo odsránenie vysveľujúcich premenných môže podľa [68] pri modeli s mulikolineariou viesť k výrazným zmenám vo veľkosi alebo signifikannosi pôvodných odhadov jednolivých paramerov. Mulikolinearia však neznehodnocuje vlasnosi MNŠ -odhadu. Ak sa navyše korelovanosť medzi vysveľujúcimi premennými udrží aj v budúcnosi, mulikolinearia nemusí znehodnoiť ani predpoveď. Pokiaľ však vynechanie vysveľujúcich premenných, koré mulikolineariu spôsobujú, nenaruší prakickú inerpreáciu modelu, je podľa [16] vhodnejšie prisúpiť k akému kroku. Pomôcť môže aj ransformácia niekorých vysveľujúcich premenných, rozšírenie dáovej vzorky o ďalšie pozorovania, prípadne použiie meódy hlavných komponenov..5.3 Auokorelácia rezíduí K porušeniu predpokladu vzájomne nekorelovaných rezíduí pre s III cov 0 dochádza podľa [9] najčasejšie ak, že lineárny regresný model pracuje s dáami v vare časových radov. Reziduálna zložka je vedy korelovaná so svojimi oneskorenými a iež budúcimi hodnoami. Príčinou auokorelácie však môžu byť chýbajúce oneskorené hodnoy vysveľovanej alebo niekorej z vysveľujúcich premenných. s, Najjednoduchším ypom auokorelácie, korý je v praxi podľa [41] schopný pokryť väčšinu jej prípadov, je reziduálna zložka v vare auoregresného modelu prvého radu AR 1 1 u, kde 1,1 je parameer a u je biely šum, eda časový rad navzájom nekorelovaných veličín s nulovou srednou hodnoou a konšanným rozpylom. 9

31 MODEL LINEÁRNEJ REGRESIE V PRAXI Ako sa uvádza v [39], model AR 1 umožňuje použiť Durbinov Wasonov es auokorelácie rezíduí. V modeli esuje príomnosť auokorelácie prvého supňa pri nulovej hypoéze H : 0 0. Tesovacia šaisika má var DW T T 1 ˆ ˆ ˆ 1. Pri poziívnej auokorelácii 0 sú diferencie v čiaeli malé, zaiaľ čo pri negaívnej auokorelácii 0 sú ieo diferencie veľké. Tesovacia šaisika sa dá aproximovať ako DW 1 ˆ, pričom v nej figuruje odhad paramera ˆ z 1 ˆ T ˆ ˆ T 1 ˆ 1. AR modelu Šaisika DW sa podľa [9] neriadi žiadnym rozdelením, ale za predpokladu normaliy bieleho šumu u má dve kriické hodnoy, dolnú d L a hornú d H. Tieo závisia na poče pozorovaní T a poče vysveľujúcich premenných k. Ich hodnoy sa dajú nájsť v šaisických abuľkách alebo sa určujú simulačne. Na esovanie sa dajú použiť aj Boxov Piercov, Ljungov Boxov alebo Breuschov Godfreyov es. Dôsledky ignorovania auokorelácie rezíduí sú podľa [16] podobné ako v prípade ignorovania heeroskedasiciy, keď MNŠ -odhad paramera b zosáva nesranným odhadom paramera, ale nie je všeobecne najlepší medzi nesrannými lineárnymi odhadmi paramera. V prípade poziívnej auokorelácie môžu byť MNŠ - odhady šandardných odchýlok odhadnuých paramerov podhodnoené. Riešením problému auokorelovaných rezíduí môže byť podľa [39] napríklad pridanie oneskorenej vysveľovanej premennej na sranu vysveľujúcich premenných, vyvorenie nového modelu lineárnej regresie s využiím vhodne zvolených diferencií vysveľovanej aj vysveľujúcich premenných, či aplikovanie Cochraneovej Orcuovej alebo Praisovej Winsenovej ieračnej meódy. Iným spôsobom riešenia problému auokorelovaných rezíduí môže byť podľa [38] lineárny regresný model s auokorelovanými rezíduami, koré sú ARMA procesom. Ak biely šum označíme u, lineárny regresný model s predpisom y x x x k k 30

32 MODEL LINEÁRNEJ REGRESIE V PRAXI môže mať reziduálnu zložku v vare auoregresného procesu AR p v vare auoregresného procesu, p p u MAq u 1u 1 u... qu q alebo v vare auoregresného procesu ARMA p, q... u u u... u. 1 1 p p 1 1 q q Ako sa uvádza v [41], lineárny regresný model s auokorelovanými chybami je špeciálnym prípadom auoregresného modelu rozložených časových rezíduí, korý sa dá vo všeobecnosi zapísať v vare B y B x, 0 p kde B 1 1B... pb je auoregresný operáor, B B B k k je operáor rozložených časových oneskorení vysveľujúcej premennej x a reziduálna zložka v vare sacionárneho procesu ARMA r, s. je 31

33 3 Dekompozičné meódy analýzy časových radov Ako sa uvádza v [15], niekoré časové rady y môžu byť rozložené na šyri základné zložky, korými sú rend T, sezónna zložka S, cyklická zložka C a reziduálna zložka E. Rozklad na ieo zložky je založený na predpoklade, že sa v jednolivých zložkách rozkladu podarí rozpoznať pravidelné správanie daného časového radu, a nazýva sa iež dekompozíciou časového radu. 3.1 Dekompozícia časového radu Trend T reprezenuje dlhodobé zmeny v časovom rade. Sezónna zložka popisuje zmeny v časovom rade pravidelne opakujúce sa v priebehu jedného kalendárneho roka. Cyklická zložka C hovorí o nepravidelných pohyboch okolo rendu. Ako sa uvádza v [15], sezónna a cyklická zložka sa niekedy súhrnne označujú aj ako periodické zložky časového radu. Poslednou zložkou časového radu je podľa [15] reziduálna zložka S E. Táo zosáva v časovom rade po odsránení rendu a periodických zložiek. Je vorená náhodnými zmenami v priebehu časového radu, koré nemajú sysemaický charaker. Z oho dôvodu sa nezaraďuje k predchádzajúcim zložkám časového radu. Šandardným predpokladom je, že reziduálnu zložku vorí biely šum. Ako sa uvádza v [16], časový rad si na základe dekompozície môžeme predsaviť ako rend, na korý sú naviazané sezónna zložka, cyklická zložka a biely šum. Rozklad priom môže mať dve podoby. Pri adiívnej dekompozícii y T C S E sa všeky zložky časového radu vyjadrujú vo svojich absolúnych hodnoách, zhodných s jednokami časového radu y. Naopak, pri muliplikaívnej dekompozícii y T C S E sa vo svojej absolúnej hodnoe vyjadruje iba rendová zložka, korá je meraná v jednokách časového radu y. Osané zložky sú vyjadrené v relaívnych hodnoách voči rendovej zložke, preo sú bezrozmerné. 3

34 3 DEKOMPOZIČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV Ak sú k dispozícii pozorovania y 1, y,..., y n, poom y Tˆ Cˆ Sˆ alebo y Tˆ Cˆ Sˆ ˆ ˆ podľa [16] predsavuje vyrovnaný časový rad, ak n, alebo predpoveď časového radu na základe exrapolovaných hodnô sysemaických zložiek, ak n. U niekorých časových radov môžu v rozklade niekoré zložky absenovať, ako napríklad v prípade časového radu v vare y T C E, korý neobsahuje sezónnu zložku. 3. Popis rendovej zložky maemaickými krivkami Ako sme už spomínali, rendová zložka T vyjadruje dlhodobé zmeny časového radu. V ejo časi sa budeme zaoberať meódami, korými sa ju snažíme popísať jednoduchými krivkami. Vypočíať budúce hodnoy ýcho kriviek je pomerne jednoduché, čo umožňuje konšrukciu predpovede rendovej zložky. Obvykle sa priom podľa [46] predpokladá, že analyzovaný časový rad má var y T E. Teno predpoklad nám umožní soožniť predpoveď budúceho vývoja rendu T priamo s predpoveďou budúcich hodnô časového radu y. Ako sa uvádza v [16], najpoužívanejšími maemaickými krivkami sú konšanný rend (odporúča sa použiť, ak je časový rad y približne konšanný), pri korom pre 1,..., T plaí T, lineárny rend (odporúča sa použiť, ak sú prvé diferencie y 1 y približne konšanné), pri korom pre 1,..., T plaí T 0, 0 1 kvadraický rend (odporúča sa použiť, ak sú druhé diferencie y y 1 y približne konšanné), pri korom pre 1,..., T plaí T

35 3 DEKOMPOZIČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV Ďalej sú o exponenciálny rend (odporúča sa použiť, ak sú podiely susedných hodnô y / 1 y približne konšanné), pri korom pre 1,..., T, T a 0 plaí modifikovaný exponenciálny rend (odporúča sa použiť, ak sú podiely susedných prvých diferencií ( y y 1) / ( y 1 y ) približne konšanné), pri korom pre 1,..., T a 0 plaí T, logisický rend (odporúča sa použiť, ak má hisogram prvých diferencií y 1 y var husoy N (0,1) alebo ak sú podiely susedných prvých diferencií prevráených hodnô (1/ y 1/ y ) / (1/ y 1/ y ) približne konšanné), pri korom pre 1,..., T, a 0 plaí, 1 T Gomperzov rend (odporúča sa použiť, ak sú podiely susedných prvých diferencií zlogarimovaných hodnô (ln y ln y 1) / (ln y 1 ln y ) približne konšanné), pri korom pre 1,..., T a 0 plaí T exp( ). 3.3 Meóda kĺzavých priemerov a kubický vyhladzovací splajn Meóda kĺzavých priemerov sa zaraďuje medzi adapívne prísupy k rendovej zložke. Ako sa uvádza v [15], adapívne prísupy sú schopné pracovať so sysemaickými zložkami, koré v čase menia svoj charaker. Predpokladá sa však, že v krákych úsekoch je možné popísanie rendovej zložky časového radu jednoduchou krivkou s nekonšannými paramerami. Ide o siuáciu, keď sa časový rad nedá vyrovnať pomocou priamky, 0 1 kde 1,..., T, ale pre kráke úseky časového radu so sredmi v jednolivých časových okamihoch sa dá použiť vyrovnanie pomocou lokálnych rendov 0 1, 34

36 3 DEKOMPOZIČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV kde..., 1,, 1,.... Proces eliminácie rendovej zložky sa prispôsobuje lokálnemu priebehu časového radu, pričom supeň prispôsobenia sa dá cielene riadiť. Ďalšou výhodou adapívnych meód je podľa [15] okrem výpočovej nenáročnosi aj konšrukcia predpovedí, koré pružne reagujú na zmeny v charakere časových radov. Ako sa uvádza v [15], meóda konšrukcie kĺzavých priemerov vyhladzovacím kubickým splajnom posupuje ak, že najprv vhodným polynómom reieho supňa vyrovná prvých m 1 členov časového radu. Následne použije hodnou oho polynómu v bode m 1, eda v srede uvažovaného inervalu, ako vyrovnanú hodnou yˆm 1 daného časového radu v omo bode. Predpokladajme, že chceme kubickou parabolou vyhladiť m1 5 hodnô časového radu, koré označíme ako y, kde, 1,0,1,. Paramere vyhladzujúceho polynómu odhadneme meódou najmenších švorcov ak, že minimalizujeme výraz y ( ) 3. Derivovaním podľa jednolivých koeficienov polynómu získame pre hľadané odhady b 0, b 1, b a b 3 paramerov 0, 1, a 3 súsavu šyroch rovníc, korá sa dá podľa [16] zapísať pre j 0,1,,3 ako 0. j j j1 j j3 y b0 b 1 b b 3 Vzhľadom na o, že pre nepárne i plaí zjednoduší sa súsava šyroch rovníc na var i 0, 5b 10b y 0 10b 34b y b 34b y b 130b y 1 3 Použiie kĺzavých priemerov dĺžky m 1 však zaiaľ neposkyuje predpovede budúcich hodnô časového radu. Pri vyrovnávaní kubickou parabolou sme vyrovnávali. 35

37 3 DEKOMPOZIČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV vždy 5 susedných hodnô časového radu. Teraz za ieo hodnoy vezmeme hodnoy y 4,..., y. Chceli by sme poznať hodnoy kubickej paraboly vyrovnávajúcej posledný úsek pre 1,. K omu porebujeme poznať odhady paramerov 0, 1, a 3. Ako sa uvádza v [16], pri vyhladzovaní by nám sačilo poznať iba odhad b 0, keďže o je hodnoa vyhladzovacieho polynómu b b b b v bode 0, čo zodpovedá vyhladenej hodnoe v srede skúmaného úseku y,..., y. V om prípade by sačilo využiť prvú a reiu rovnicu súsavy, pomocou korých by sme dosali odhad paramera 0 v vare Ďalšie odhady majú podľa [16] var 1 b0 17 y 5 y b1 65 y 17 y 7 1 b y y b3 5 y 17 y 7 S ich pomocou môžeme pre posledné dve pozorovania y 1 a y dosať vyrovnané hodnoy, keď pre k 1, plaí. 3 yˆ k b0 b1 k bk b3k. Ako sa uvádza v [16], eno posup nám ďalej umožňuje konšruovať predpovede v danom časovom rade ak, že napríklad predpoveď hodnoy y vyvoríme 1 jednoducho ak, že do predchádzajúceho vzorca dosadíme k 3, pričom po úpravách dosaneme predpoveď v vare 1 yˆ 1 4y 4 11y 3 4y 14y 1 16y Exponenciálne vyhladzovanie V praxi sa ako adapívny prísup k rendovej zložke časo používa aj exponenciálne vyhladzovanie. Vyhladzovaná hodnoa je v ejo meóde špeciálnym prípadom kĺzavého priemeru, v korom všeky doeraz pozorované hodnoy vážime do 36

38 3 DEKOMPOZIČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV minulosi exponenciálne klesajúcimi váhami. Ako sa uvádza v [15], vyrovnaný časový rad y ˆ minimalizuje výrazy ypu y y y y y y ˆ ˆ ˆ..., 1 1 kde 0,1 je vopred zvolená diskonná konšana. Hlavnou výhodou oho posupu je, že pri využií rekurenných vzorcov je po výpočovej sránke veľmi jednoduchý Jednoduché exponenciálne vyhladzovanie Jednoduché exponenciálne vyhladzovanie podľa [15] používame pre časové rady, u korých sa dá rend považovať za lokálne konšanný v vare T, pričom úlohou je nájsť odhad paramera 0. Preože sa jedná o adapívny prísup k vyhladzovaniu časového radu, bude eno odhad závisieť aj od časového okamihu, v korom bol vykonaný. Označme b0 odhad paramera 0 0 vykonaný v čase, korý predsavuje odhadnuú hodnou rendu v čase a zároveň vyrovnanú hodnou y ˆ daného časového radu. Hodnou získame minimalizáciou výrazu j 0 j y, j0 kde 0,1 je vopred zvolená diskonná konšana. Ako sa uvádza v [15], ak eno výraz zderivujeme podľa 0 a získanú deriváciu položíme rovnú nule, ak vzhľadom na konvexnosť minimalizovanej funkcie dosaneme odhad b () paramera 0 0 v čase v vare j0 yˆ 1 y. j j Vyrovnaná hodnoa časového radu v čase je eda váženým priemerom hodnô oho časového radu do času pri exponenciálne klesajúcich váhach. Získaný výraz je však v praxi akmer nepoužieľný, preo sa podľa [15] prevádza na rekurenný var kde 1 0,1 1 ˆ 1 yˆ y y, sa nazýva vyhladzovacia konšana. Ako sa ďalej uvádza v [15], rekurenný var vzorca demonšruje výhody exponenciálneho vyhladzovania, korými sú najmä výpočová jednoduchosť, úspornosť vzhľadom k porebnému objemu skladovaných dá a adapívnosť meódy, keď pri 37

39 3 DEKOMPOZIČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV väčšom meóda rýchlejšie reaguje na zmeny v charakere dá. Pri menšom sa, naopak, zosilní vyhladzovania schopnosť meódy. Realizácia rekurennej formule vyžaduje voľbu počiaočnej hodnoy ŷ 0 a vyhladzovacej konšany. Za počiaočnú hodnou ŷ 0 sa podľa [16] najčasejšie berie arimeický priemer krákeho počiaočného úseku časového radu. Pri voľbe vyhladzovacej konšany sa odporúča začať inervalom 0 0,3. Takmer všeky sofvéry však vedia vybrať aj auomaicky, minimalizáciou SSE chýb predpovedí Dvojié exponenciálne vyhladzovanie Ako sa uvádza v [15], dvojié exponenciálne vyhladzovanie používame pre časové rady, u korých sa dá rend považovať za lokálne lineárny s predpisom v vare T j j 0 1. Odhady paramerov 0 a 1 v čase, označované ako b 0 a b 1, získame minimalizáciou výrazu j y j 0 j 0 j 1, kde (0,1) je vopred zvolená diskonná konšana. Ak položíme parciálne derivácie oho výrazu podľa 0 a 1 rovné nule, dosaneme súsavu rovníc v vare 0, j j j y j 0 0 j 0 1 j j0 0. j j j j y j 0 j 0 j j 0 1 j j0 Táo súsava sa dá podľa [15] zjednodušiť pomocou vzorcov j 1, j0 1 a vyrovnávacích šaisík S 1 j0 j j, j0 j j 1 [] y, S 1 j0 1 3 j 1 j j S j0 j. na var [] 0 1 S 1 S. 1 S, 38

40 3 DEKOMPOZIČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV Ako sa uvádza v [15], zo súsavy rovníc v zjednodušenom vare dosaneme hľadané odhady ako [] b S S, 0 1 [] b1 S S. Predpoveď hodnoy y v čase má poom var yˆ b b S 1 S 1 1 [] 0 1 Špeciálne pre 0 dosaneme vyrovnanú hodnou časového radu ako yˆ S S. [] Realizácia rekurenných formúl dvojiého exponenciálneho vyhladzovania opäť vyžaduje voľbu počiaočných hodnô S 0 a Počiaočné hodnoy S 0 a [] S 0 sa podľa [16] obvykle určia ako 1 S0 b0 0 b1 0, [] 1 S0 b0 0 b1 0. [] S0 a vyhladzovacej konšany. Pri voľbe vyhladzovacej konšany sa opäť odporúča zvoliť jej počiaočnú hodnou z inervalu 0 0,3. Takmer všeky sofvéry vedia aj v omo prípade vybrať auomaicky ak, že v danom časovom rade minimalizujú SSE chýb predpovedí. 3.5 Holova meóda Zovšeobecnením dvojiého exponenciálneho vyhladzovania je Holova meóda, korá používa až dve vyhladzovacie konšany. Prvou vyhladzovacou konšanou je pre vyhladzovanie úrovne L daného časového radu, druhou vyhladzovacou konšanou je pre vyhladzovanie smernice B, pričom 0 a 1. Ako sa uvádza v [38], súsavu rovníc, korá charakerizuje Holovu meódu, môžeme zapísať v vare yˆ h L h B, 1 L y L 1 B 1, 1 B L L B,

41 3 DEKOMPOZIČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV pričom prvú rovnicu nazývame rovnicou predpovede, druhú rovnicu voláme rovnicou úrovne a reia rovnica sa zvykne nazývať rovnicou smernice. Rovnica úrovne je váženým priemerom hodnoy predpovede L B 1 1, korá má var L y a jej jednokrokovej. Rovnica smernice je zas váženým priemerom smernice v čase L 1, a jej predchádzajúceho odhadu 1 B. Z rovnice predpovede môžeme vidieť, že viackroková predpoveď Holovou meódou je vlasne lineárnou funkciou, korá závisí od h. Ako sa uvádza v [15], ako počiaočné hodnoy sa odporúčajú zvoliť L0 y1 a B0 y y1. Navyše sa podľa [16] dá ukázať, že dvojié exponenciálne vyhladzovanie s vyhladzovacou konšanou je špeciálnym prípadom Holovej meódy s vyhladzovacími konšanami H a H v vare, H H. 3.6 Kalmanov filer Ako sa uvádza v [35], Kalmanov filer sa využíva sa na analýzu časových radov, koré sa dajú vyjadriť pomocou špeciálnej súsavy dvoch rovníc, korá vorí lineárny dynamický sysém. Táo súsava pozosáva zo savovej rovnice a rovnice pozorovaní. Kalmanov filer je rekurzívny posup, korý umožňuje prepočíavanie odhadovanej premennej, ak je o nej dosupná nová informácia. Savová rovnica lineárneho dynamického sysému má podľa [60] var x 1 A x u, kde x 1 je savový vekor, korý reprezenuje správanie lineárneho dynamického sysému v čase 1, A predsavuje maicu paramerov savovej rovnice v čase a u je biely šum. Ako sa ďalej uvádza v [10], druhá rovnica, korou je lineárny dynamický sysém reprezenovaný, je rovnica pozorovaní v vare y B x v, 40

42 kde 3 DEKOMPOZIČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV y predsavuje vekor pozorovaní v čase, B je maica paramerov savovej rovnice v čase a v je biely šum, korý je nezávislý od bieleho šumu u. Úlohou Kalmanovho filra je nájsť opimálny sav, korý bude riešením lineárneho dynamického sysému. Algorimus má podľa [51] dva kroky, pričom v prvom (predikčnom) kroku sa snaží nájsť opimálny odhad savovej premennej x 1 na základe pozorovaných hodnô y minimalizáciou MSE, kým v druhom (obnovovacom) kroku upravuje odhad x 1 z minulého kroku o novú informáciu y 1. 41

43 4 Auokorelačné meódy analýzy časových radov Z auokorelačných vlasnosí časových radov vychádza Boxova Jenkinsova meodológia, korá bola prvýkrá formálne spísaná v [1]. Jej základom sú ARMA a ARIMA procesy. Tieo procesy umožňujú uspokojivo modelovať aj časové rady veľmi všeobecných priebehov, koré by sa v rámci dekompozičného prísupu modelovať nedali. 4.1 Sacionárne časové rady Pri popise Boxovej Jenkinsovej meodológie začneme modelovaním sacionárnych časových radov. Sacionárnym časovým radom nazývame vo všeobecnosi aký časový rad, korý vykazuje známky sochasicky usáleného správania. O sriknej sacionarie podľa [16] hovoríme v prípade, keď je pravdepodobnosné správanie časového radu invarianné voči posunom v čase. Overovanie splnenia podmienky sriknej sacionariy je pomerne náročné, preo sa podľa [16] v praxi pod pojmom sacionaria zvyčajne myslí slabá sacionaria, korej definícia je menej obmedzujúca. Na o, aby bol časový rad slabo sacionárny, sačí, aby bol invarianný voči posunom v čase iba v rámci momenov do druhého rádu. Pre každý časový posun h a všeky časové okamihy s a poom musí plaiť konš. E y, var( y) y konš., y y E y y y y cov s, s cov sh, h. 4. Auokorelačná funkcia a jej odhad definuje ako Ako sa uvádza v [14], auokorelačná funkcia ACF sa pre k..., 1,0,1,... cov( y, y ) cov( y, y ) k, cov(, ) k k y y y Auokorelačná funkcia je párnou funkciou, preo sa pri jej popise sačí obmedziť na prípad k 0, pričom plaí 0 1 a 1. k 4

44 4 AUTOKORELAČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV Grafické znázornenie k pre jednolivé k sa nazýva korelogram. Korelogram pomocou niekoľkých hodnô popisuje krákodobú dynamiku sacionárneho časového radu. Ako sa uvádza v [15], model sacionárneho časového radu vysveľuje, na rozdiel od modelu lineárnej regresie, súčasnú hodnou časového radu práve na základe korelácií k niekoľkých minulých hodnô y kso súčasnou hodnoou y. Ak označíme odhad srednej hodnoy 1 T y y 1, T poom môžeme podľa [16] zapísať odhad auokorelačnej funkcie pre k 0,1,..., T 1 v vare r k 1 T 1 k k T 1 T y 1 y T y y y y. Tvar auokorelačnej funkcie je v Boxovej Jenkinsovej meodológii veľmi dôležiý, preože naznačuje, aký yp modelu by bolo vhodné pre daný časový rad použiť. Pre idenifikáciu modelu je dôležié predovšekým určiť hodnou k k0, za korou začína byť auokorelačná funkcia nulová. Ak hodnoa k 0 exisuje, podľa [15] sa označuje ako bod useknuia. Pre konkrény časový rad však v praxi eoreickú auokorelačnú funkciu nepoznáme. Najpodsanejšou oázkou preo je, ako blízko nuly musí byť r k, aby sme mohli vrdiť, že k 0. Pre eno účel sa používa Barleova aproximácia, korá podľa [16] hovorí o om, že ak je k 0 pre k k0 normaliy pre k k0 plaí r 1 0 ~ N k k 0, 1 r j1 j T. 4.3 Parciálna auokorelačná funkcia a jej odhad k, poom za predpokladu asympoickej Ako sa uvádza v [14], okrem auokorelačnej funkcie k sa pri analýze časového radu využíva aj parciálna auokorelačná funkcia PACF, korú označujeme ako kk. 43

45 Hodnoa 4 AUTOKORELAČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV kk je definovaná ako parciálny korelačný koeficien medzi y a y k pri pevných hodnoách y k 1,..., y 1 a plaí pre ňu 00 1 a V praxi sa podľa [15] zvyčajne používa rekurenný spôsob odhadu r kk parciálnej auokorelačnej funkcie kk podľa vzorcov r kk k 1 r r r 1 r r k j1 k 1, j k j k 1 r 11 1 j1 k1, j j r,, r r r r, pre k 1 a j1,... k 1. kde kj k1, j kk k1, k j Podobne ako auokorelačná funkcia, aj parciálna auokorelačná funkcia môže mať bod useknuia k 0, korý je dôležiým idenifikačným násrojom modelov Boxovej Jenkinsovej meodológie. V omo prípade sa využíva Quenouilleova aproximácia, korá podľa [16] hovorí o om, že ak je kk 0 pre k k0 asympoickej normaliy pre k k0 plaí, poom za predpokladu rkk ~ N 0, 1 T. 4.4 Proces kĺzavých súčov MA Ako sa uvádza v [41], proces kĺzavých súčov rádu q, korý sa označuje ako MAq, má var y qq ( B), q kde 1,..., q sú paramere a ( B) 1 1B... qb je operáor kĺzavých súčov. Proces MAq je podľa [15] vždy sacionárny s nulovou srednou hodnoou, rozpylom a auokorelačnou funkciou 1... y 1 q... ; k 1,..., q, k k 1 k 1 qk q q k 0; k q. 44

46 4 AUTOKORELAČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV Auokorelačná funkcia MAq procesu má bod useknuia k 0 rovný rádu modelu q. Ako sa uvádza v [16], parciálna auokorelačná funkcia kk procesu MAq nemá bod useknuia, ale je obmedzená lineárnymi kombináciami geomerických posupnosí a sínusoíd s geomericky klesajúcimi ampliúdami. 4.5 Auoregresný proces AR Auoregresný proces rádu p, označovaný ako AR p, má podľa [41] var pričom podľa [15] plaí y 1y 1... p y p, y 1y 1... p y p ( B) y, kde,..., p 1 p sú paramere a ( B) 1 1B... pb je auoregresný operáor. Auokorelačná funkcia k procesu AR p je podľa [16] lineárnou kombináciou klesajúcich geomerických posupnosí a sínusoíd rôznych frekvencií s geomericky klesajúcimi ampliúdami. Parciálna auokorelačná funkcia useknuia k 0 rovný rádu modelu p. 4.6 Zmiešaný ARMA proces kk procesu AR p má bod Ako sa uvádza v [45], zmiešaný proces rádu p a q, korý sa označuje ako ARMA p, q, má var pričom podľa [15] plaí y y... y..., 1 1 p p 1 1 q q ( B) y ( B), p q kde ( B) 1 1B... pb je auoregresný operáor a ( B) 1 1B... qb je operáor kĺzavých súčov. Ako sa uvádza v [16], auokorelačná funkcia procesu, k ARMA p q nemá bod useknuia, ale je lineárnou kombináciou klesajúcich geomerických posupnosí a sínusoíd rôznych frekvencií s geomericky klesajúcimi ampliúdami, s výnimkou počiaočných hodnô 0, 1,..., q p, ak q p. 45

47 4 AUTOKORELAČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV Ani parciálna auokorelačná funkcia procesu ARMA p, q nemá bod useknuia. Podľa [16] je obmedzená lineárnou kombináciou klesajúcich geomerických posupnosí a sínusoíd rôznych frekvencií s geomericky klesajúcimi ampliúdami, s výnimkou počiaočných hodnô 00,..., p q, p q, ak p q. 4.7 Tesy jednokového koreňa Väčšina časových radov v praxi je nesacionárna. Príomnosť jednokového koreňa v auoregresnom operáore príslušného modelu podľa [33] hovorí o možnosi ich sacionarizácie pomocou diferencovania. Pri idenifikácii príomnosi jednokového koreňa môže byť nápomocný napríklad veľmi pomalý pokles korelogramu. Okrem neho však exisujú aj esy jednokového koreňa Dickeyov Fullerov es Dickeyov Fullerov es má podľa [0] ri variany, niekedy označované súhrnne ako -esy. Prvým varianom je -es, korý je jednosranným esom náhodnej prechádzky proi sacionárnemu 0 : 1 AR 1 procesu, eda H y y proi H1 : y 1 y 1 pre 1 1. Druhým varianom je jednosranný es náhodnej prechádzky proi sacionárnemu AR 1 procesu s nenulovou úrovňou, označovaný ako -es. Zapísať ho môžeme ako H y y proi H1 : y 1 y 1 pre : 1 Posledný varian, sacionárnemu -es, je jednosranným esom náhodnej prechádzky proi AR 1 procesu s lineárnym rendom, eda H y y proi H1 : y 1 y 1 pre : 1 Ako sa uvádza v [15], nulová hypoéza sa dá vo všekých roch prípadoch jednoducho zapísať ako H : y y ; 0, 0 1 kým alernaívna hypoéza je vo všeobecnosi H : y y ; 0,

48 4 AUTOKORELAČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV kde 1 1. Pre -es 0 navyše plaí, pre -es 0. Tesovacia šaisika vo všekých roch varianoch Dickeyovho Fullerovho esu je podľa [16] klasický -pomer, eda es významnosi paramera. Má var DF ˆ ˆ( ˆ ) a kriický obor * DF T 1 ( ). Ako sa ďalej uvádza v [16], pri planosi nulovej hypoézy esovacia šaisika nemá ani asympoicky -rozdelenie. Z oho dôvodu boli kriické hodnoy napočíané simulačne a zvlášť pre jednolivé esy. Vo všeobecnosi má dané rozdelenie ťažšie konce ako zodpovedajúce -rozdelenie, preo sú ieo kriické hodnoy v absolúnej hodnoe väčšie ako pri -rozdelení. Uvedené sú napríklad v [49] Rozšírený Dickeyov Fullerov es Dickeyov Fullerov es je podľa [61] použieľný iba v prípade, že reziduálna zložka predsavuje biely šum. Ak je oiž závislá premenná y auokorelovaná, poom má es pravdepodobnosť zamienuia H 0, ak H 0 plaí, väčšiu ako hladina spoľahlivosi. Pre eno prípad bol navrhnuý rozšírený Dickeyov Fullerov es, korý podľa [16] používa nulovú hypoézu v vare p H : y y y ; 0, pričom esovacia šaisika a kriické hodnoy pre jednolivé variany zosávajú rovnaké ako pred rozšírením. 4.8 Proces ARIMA Pre nesacionárne časové rady, koré sa však dajú sacionarizovať diferencovaním, sú v rámci Boxovej Jenkinsovej meodológie určené procesy ypu ARIMA. Inegrovaný zmiešaný proces rádu p, d, q, korý sa označuje ako ARIMA p, d, q, má podľa [16] var ( B) d y ( B), 47

49 4 AUTOKORELAČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV p q kde ( B) 1 1B... pb je auoregresný operáor, ( B) 1 1B... qb je operáor kĺzavých súčov a d y je d -á diferencia modelovaného časového radu y. Parameer modeluje prípadnú nenulovú úroveň procesu d y. V modeli ARIMA sa vykoná sacionarizácia pomocou vhodnej diferencie modelovaného časového radu, následkom čoho sa vzniknuý sacionárny časový rad môže modelovať pomocou zmiešaného procesu ARMA. Pre d 0 je model ARIMA invarianný voči prípadnému posunu o ľubovoľnú konšanu, preo je podľa [15] zbyočné časový rad vopred cenrovať odčíaním výberového priemeru. Konšrukcia ARIMA p, d, q modelu je eda založená na konšrukcii sacionárneho ARMA p, q modelu pre príslušne diferencovaný časový rad. Rád diferencovania d priom v praxi obvykle neprekročí hodnou. Možnosí, ako ho sanoviť pre konkrény časový rad, je veľa. Najpoužívanejšími sú podľa [14] esy na príomnosť jednokového koreňa, prípadne aplikácia informačných kriérií. 4.9 Predpovedanie Ako sa uvádza v [45], veľkou výhodou Boxovej Jenkinsovej meodológie je pomerne jednoduchá konšrukcia predpovedí, korá sa dá ilusrovať na príklade sacionárneho ARMA p, q procesu v vare y y... y p p 1 1 q q Symbolom yˆ k() označíme predpoveď hodnoy y kvyvorenú v čase. Pre jednoduchosť budeme podľa [15] konšruovať lineárnu predpoveď, korá bude lineárnou funkciou hodnô, 1,..., keďže predpokladáme sacionariu procesu. Predpoveď budeme hľadať v vare yˆ ( )..., * * k k k1 1 * pričom napríklad pri minimalizácii MSE je úlohou nájsť koeficieny,,..., koré by minimalizovali výraz * 1 k1 jk j j 1... ( ). * k k 1 48

50 4 AUTOKORELAČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV * Teno výraz nadobúda minimálne hodnoy pri, kde j k, k 1,.... To znamená, že predpoveď má var yˆ ( )..., k k k1 1 j j pričom jej chyba definovaná ako e ( ) y yˆ ( ) je rovná k k k má nulovú srednú hodnou a rozpyl e ( )..., k k 1 k1 k1 1 var( e ( )) (1... ). k Špeciálne podľa [16] plaí 1 k1 e ( 1) y yˆ ( 1), eda biely šum predsavuje jednokrokové chyby predpovede Koinegrácia Pri lineárnej kombinácii nesacionárnych časových radov je výsledný časový rad zvyčajne iež nesacionárny. V praxi sme však podľa [8] pomerne časo schopní skombinovať nesacionárne časové rady aj akým spôsobom, že výsledná lineárna kombinácia je sacionárna. Taký prípad sa označuje ako koinegrácia a môže byť inerpreovaný ako vzťah dlhodobej rovnováhy medzi veličinami. Ako sa uvádza v [16], ak y 1,..., y m sú nesacionárne časové rady, pričom plaí y1 I 1,..., m 1 y I, poom ak exisuje ich neriviálna lineárna kombinácia, korá je sacionárna, y 1,..., y m sú koinegrované časové rady. Všeobecnejšie sa dá koinegrácia rádu db,, pričom d 0, b 0 a y I d,... y I d, definovať ak, že exisuje 1 lineárna kombinácia daných časových radov, korá je inegrovaná rádu I d b Tes založený na rezíduách m. Na esovanie koinegrácie časových radov môžu byť použié napríklad rezíduá z modelu lineárnej regresie. Teno yp esu je podľa [5] založený na myšlienke, že v prípade koinegračného vzťahu medzi y, x 1,..., x k by MNŠ -rezíduá ˆ vypočíané z modelu y x x x k k 49

51 4 AUTOKORELAČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV mali byť sacionárnym procesom. Ako sa uvádza v [16], sačí modifikovať Dickeyov Fullerov es jednokového koreňa a esovať nulovú hypoézu H : ˆ u; Kriické hodnoy oho esu sú však odlišné od kriických hodnô, koré majú Dickeyove Fullerove esy. Uvedené sú napríklad v [56]. Pri zamienuí nulovej hypoézy o om, že ˆ obsahujú jednokový koreň, zamieame aj nulovú hypoézu o om, že medzi veličinami neexisuje koinegračný vzťah Johansenov es Iným ypom esu koinegrácie, korý sa v praxi používa najčasejšie, sú Johansenove esy. Podľa [40] sú založené na MMV -odhade kanonických korelácií, koré merajú parciálnu závislosť medzi m -rozmernými vekormi y a 1 y pri pevných hodnoách vekorov y 1, y,.... Tieo kanonické korelácie sú druhými odmocninami hodnô 1,..., m, pre MMV -odhady korých plaí 1 ˆ ˆ... ˆ 0. 1 m Poče nenulových MMV -odhadov ˆ 1,..., ˆm je rovný poču nájdených koinegračných vzťahov. Johansenove esy sú síce založené na pomere vierohodnosí, ale ich kriické hodnoy sa generujú simulačne. so šaisikou V praxi sú rozšírené dva ypy ýcho esov. Prvým je podľa [16] Johansenov es. m r T ln 1 1 ˆ r Je o es nulovej hypoézy, že poče koinegračných vzťahov je najviac r, oproi alernaíve, že je väčší ako r. Tes zamiene nulovú hypoézu, ak r má hodnou väčšiu než príslušná kriická hodnoa. Vykonáva sa posupne pre r 0,1,..., m 1. Ako sa ďalej uvádza v [16], Johansenov es so šaisikou r T ln 1 ˆ r 1 50

52 4 AUTOKORELAČNÉ METÓDY ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV je esom nulovej hypoézy, že poče koinegračných vzťahov je práve r, oproi alernaíve, že ich je práve r 1 zamiene nulovú hypoézu, ak hodnoa Vykonáva sa iež posupne pre r 0,1,..., m Grangerova kauzalia Ak sú dve. Rovnako ako v predchádzajúcom prípade, es r je väčšia než príslušná kriická hodnoa. I 1 premenné koinegrované, poom medzi nimi podľa [7] musí exisovať kauzálne pôsobenie minimálne v jednom smere. Ak jeden časový rad kauzálne ovplyvňuje iný časový rad, poom by malo jeho zohľadnenie zlepšiť predpoveď daného radu. Kauzalia podľa Grangera znamená silnú koreláciu medzi súčasnou hodnoou jedného časového radu a minulými hodnoami iného časového radu. V praxi sa esovanie kauzaliy vykonáva pomocou VAR modelov. Uvažujme podľa [48] napríklad dvojrozmerný VAR model v vare y1 11 y1, 1 1 y, 1 1. y y y 1 1, 1, 1 Ak 1 0, ak y kauzálne pôsobí na y 1. Naopak, ak 1 0, poom y 1 kauzálne pôsobí na y. Ak plaí súčasne 1 0 a 1 0, poom exisuje späná väzba medzi y1 a y. Ak 1 0 a 1 0, poom exisuje jednosmerná závislosť y 1 na y. Naopak, ak 1 0 a 1 0, poom exisuje jednosmerná závislosť y na y 1. Ak 1 0 a 1 0, poom y 1 a y sú nezávislé. 51

53 5 Dáa V diplomovej práci sme pracovali s reálnymi vnúrobankovými dáami Všeobecnej úverovej banky, a.s.. Tieo dáa mali formu vývoja hodnô jednolivých ukazovaeľov pre dve odlišné časi reailového porfólia a boli pripravené na mesačnej báze. Vývoj každého ukazovaeľa pokrýval 119 mesiacov od januára 006 po november 015. Podarilo sa nám eda zohľadniť obdobie akmer desiaich rokov. Makroekonomické ukazovaele nám, podobne ako vnúrobankové premenné, poskyla Všeobecná úverová banka, a.s.. Pokrývali rovnaké časové obdobie a obsahovali aj predpovede hodnô pre rok 016. Ukazovaele boli pripravené na švrťročnej báze. My sme však porebovali získať ich mesačný vývoj, preo sme najprv priradili ich švrťročné hodnoy všekým rom mesiacom švrťroka. Po korelačnej analýze vzťahu makroekonomických ukazovaeľov s vysveľovanou premennou sa však nakoniec ako lepšia voľba vyvorenia mesačného vývoja ukázala meóda, v korej sme hodnoy jednolivých ukazovaeľov prislúchajúce danému švrťroku priradili jeho prvému mesiacu a hodnoy pre zvyšné dva mesiace sme dopočíali inerpoláciou. Hodnou každého ukazovaeľa pre druhý mesiac švrťroka sme vypočíali sčíaním dvojnásobku hodnoy pre daný švrťrok a hodnoy pre nasledujúci švrťrok a vydelením oho súču roma. Hodnou reieho mesiaca v švrťroku sme vypočíali ak, že sme súče hodnoy pre daný švrťrok a dvojnásobku hodnoy pre nasledujúci švrťrok vydelili roma. 5.1 Vnúrobankové vysveľujúce premenné Čo sa ýka inerných ukazovaeľov, do modelu sa ponúkalo množsvo údajov, koré má banka o klienoch a ich úveroch k dispozícii. Tieo údaje sa dajú rozdeliť na dve základné skupiny. Do prvej skupiny paria údaje, koré sa viažu k charakerisikám kliena a jeho úveru v čase schválenia žiadosi. Druhou skupinou údajov sú akuálne údaje o porfóliu a jeho charakerisikách Údaje zo žiadosí K údajom zo žiadosi parí napríklad schválený objem. Je o objem peňazí, korý banka klienovi poskyla formou úveru. Úver môže byť v závislosi od dohodnuých 5

54 5 DÁTA podmienok čerpaný aj posupne, nemôže však prekročiť eno objem. Zo samonej podsay výpoču miery omeškania je zrejmé, že výška schváleného objemu za posledné mesiace môže mať na jej akuálnu hodnou veľký vplyv. Vek kliena sa uvádza v rokoch a vzťahuje sa na obdobie schválenia úveru. Domnievame sa, že aj eno ukazovaeľ by mohol mať určiý vplyv na správanie sa kliena pri splácaní úveru. Mladší klieni sa oiž vo všeobecnosi javia ako rizikovejší, kým splácanie úverov sarších klienov so sálym zamesnaním a vyvoreným zázemím zvykne byť bezproblémovejšie Údaje o porfóliu Miera omeškania od 90 do 360 dní, korá v modeli slúžila ako vysveľovaná premenná, môže byť významne ovplyvnená aj zosakami s menším alebo väčším omeškaním z minulých mesiacov. Časť úverov v omeškaní menšom ako 90 dní sa oiž posupom času môže presunúť do vyššej kaegórie delikvencie. Menej časým javom je presun úveru v omeškaní viac ako 360 dní do nižšej kaegórie. Podiel bezúčelových úverov by mohol byť akiso podsaným fakorom vplývajúcim na mieru omeškania. Zo svojej podsay sa oiž bezúčelové úvery zdajú byť v porovnaní s osanými rizikovejšie. Sú oiž rýchlejšie a jednoduchšie dosupné, no úroková miera je pri nich zvyčajne podsane vyššia. Preo môžu mať neskôr klieni s ich splácaním väčšie problémy. 5. Makroekonomické vysveľujúce premenné Veľmi dôležiou súčasťou modelu na predpovedanie miery omeškania reailového porfólia sú nepochybne exerné vysveľujúce premenné. Aj bez hlbšej analýzy oiž vieme odhadnúť, že podiel zosakov v omeškaní môže závisieť aj od akuálnej finančnej siuácie domácnosí. Táo môže byť do veľkej ovplyvnená hrubým domácim produkom krajiny, nezamesnanosťou či infláciou Hrubý domáci produk Hrubý domáci produk je podľa [65] hlavným meradlom ekonomickej výkonnosi šáu. Definuje sa ako hodnoa všekých vyprodukovaných ovarov a služieb, s výnimkou ých, koré boli použié pri ich výrobe. Výpoče percenuálnej miery rasu objemu hrubého domáceho produku umožňuje porovnať dynamiku hospodárskeho rasu šáu v čase. 53

55 5 DÁTA Čo sa ýka oho ukazovaeľa, mali sme k dispozícii vývoj percenuálnej miery zmien objemu hrubého domáceho produku Slovenskej republiky pri konšanných cenách. Konšanné ceny sú v omo prípade dôležié, preože nie je želaným efekom, aby pohyb cien ovplyvňoval mieru rasu, a ým skresľoval obraz o skuočnom hospodárskom rase šáu. 5.. Nezamesnanosť Údaje o nezamesnanosi v Slovenskej republike pochádzali z prieskumu Labour Force Survey. Nezamesnanosť je v omo prípade šaisický odhad na základe reprezenaívneho prieskumu domácnosí. Respondeni sa v prieskume kaegorizujú na základe oázok v doazníku. Podľa [4] sa údaje získané na limiovanej vzorke respondenov následne prepočíajú na celú populáciu krajiny. Za nezamesnaných sú podľa [65] považovaní všeci obyvaelia Slovenskej republiky vo veku od 15 rokov, s výnimkou cudzincov s prechodným pobyom a osôb žijúcich v zahraničí, korí v referenčnom ýždni nemali plaenú prácu, v posledných šyroch ýždňoch si ju akívne hľadali, prípadne do nej nasúpia v priebehu roch mesiacov. Tío obyvaelia musia byť schopní nasúpiť do práce do dvoch ýždňov Inflácia Inflácia je podľa [65] sály ras cenovej hladiny, korý sa prejavuje poklesom kúpnej sily peňažnej jednoky. Jej zrejme najrozšírenejším meradlom je index sporebieľských cien ( CPI ). Počía sa na základe cien poravín, šasva, bývania a iných ovarov a služieb každodennej poreby. Ceny jednolivých ovarov a služieb sú vážené ich ekonomickým významom. Index sporebieľských cien nie je jediným meradlom inflácie. Táo sa dá merať aj indexom cien výrobcov ( PPI ), korý meria cenovú hladinu na úrovni veľkoobchodu a výroby, alebo defláorom HDP. V ejo práci sme sa však rozhodli pracovať s indexom sporebieľských cien, keďže spomedzi všekých meradiel najlepšie charakerizuje dopad inflácie na domácnosi Finančná kríza Dáa, s korými sme pracovali, v sebe zahŕňali aj obdobie finančnej krízy. Rozhodli sme sa preo vyvoriť umelú vysveľujúcu premennú, korá mala za účel simulovať v modeli jej rvanie. 54

56 6 Predikčné modely pre prvú časť porfólia 6.1 Model lineárnej regresie Pri vyváraní modelu lineárnej regresie sme začali výberom ukazovaeľov, koré by na základe skúsenosí z dlhodobého sledovania kvaliy akív reailového porfólia mohli mieru omeškania ovplyvňovať. Všeky ukazovaele sme následne pomocou šaisického sofvéru R analyzovali z pohľadu ich rozdelenia a vzťahu k miere omeškania. Na základe oho sme si ako vysveľujúce premenné zvolili schválený objem za posledných 1 mesiacov ( APPAMT ), podiel sumy zosakov klienov, korí mali v čase schválenia viac ako 40 rokov ( AGEA 40 ), o dva mesiace oneskorenú sumu zosakov v delikvencii od 30 do 89 dní ( DLQ 3089 bezúčelových úverov (WOPURP ), korý sme oneskorili o pol roka. ) a podiel sumy zosakov Čo sa ýka exerných vysveľujúcich premenných, zvolili sme si finančnú krízu (CRISIS ) a zmenu hrubého domáceho produku (GDP ) s rojmesačným oneskorením. Nezamesnanosť (UNEMPL ) sme voči miere omeškania oneskorili o jeden mesiac, zmenu indexu sporebieľských cien ( CPI ) nebolo porebné voči miere omeškania posúvať. Prvý vyvorený model lineárnej regresie bol reprezenovaný rovnicou 6.1. Významy jednolivých premenných sme si už načrli, v rovnici znázorňuje jednolivé mesiace od júla 006 po november 015 a ˆ je rezíduum v čase. Takmer všeky odhady paramerov mali očakávané znamienka. Výnimkou bol iba parameer prislúchajúci podielu sumy zosakov klienov sarších ako 40 rokov. DLQ , , 0134 APPAMT 0, 0105 AGEA40 0, 60 DLQ3089 0, 0506 WOPURP 0, 0555CRISIS 6 0, 0110GDP 0, 0304UNEMPL 0, 0371CPI ˆ 6 1 Rovnica 6.1: Prvý vyvorený model lineárnej regresie Na základe skúsenosí zo sledovania kvaliy akív reailového porfólia sme pri premennej AGEA 40 očakávali negaívne znamienko odhadu paramera. Z obrázka 6.1 sme však mohli vidieť, že eno odhad nebol na hladine významnosi päť percen 55

57 6 PREDIKČNÉ MODELY PRE PRVÚ ČASŤ PORTFÓLIA signifikanný. Tes mulikolineariy pomocou variančného inflačného fakora VIF navyše v modeli odhalil vzájomnú lineárnu závislosť vysveľujúcich premenných. Obrázok 6.1: Výsup R pre prvý vyvorený model lineárnej regresie Na základe oho sme krokovou regresiou, založenou na minimalizácii AIC, z modelu vynechali premenné AGEA 40 a DLQ Ako môžeme vidieť na obrázku 6., zjednodušenie nemalo vplyv na kvaliu modelu. Všeky odhady paramerov v rovnici 6. už mali očakávané znamienka. Zjednodušením sme zároveň vyriešili problém mulikolineariy, čo sme opäť skonrolovali prosrednícvom VIF. DLQ ,108 0,0110 APPAMT 0,0587 WOPURP 6 0,0643 CRISIS 0,015 GDP 0,0463 UNEMPL 0,031 CPI ˆ 6 1 Rovnica 6.: Zjednodušený model lineárnej regresie Obrázok 6.: Výsup R pre zjednodušený model lineárnej regresie 56

58 6 PREDIKČNÉ MODELY PRE PRVÚ ČASŤ PORTFÓLIA Tes ani grafické zobrazenia nepreukázali v modeli príomnosť odľahlých ani vplyvných pozorovaní. Pokračovali sme preo esom homoskedasiciy, eda konšannosi rozpylu. Využili sme naň Breuschov Paganov es, korý na hladine významnosi 5 percen zamieol nulovú hypoézu o konšannom rozpyle, hoci veľmi esne, pri p -hodnoe 4,9 percena. Vyvorili sme preo nový model lineárnej regresie s rovnakými vysveľujúcimi premennými, korý sa od pôvodného líšil iba ým, že modeloval druhú odmocninu z miery omeškania. Na novovyvorený model sme opäť aplikovali krokovú regresiu založenú na minimalizácii AIC. Teno posup z modelu vynechal premennú CRISIS, korá modelovala finančnú krízu. DLQ , ,0059 APPAMT 0,0381WOPURP 0,0085 GDP 0,057 UNEMPL 0,0117 CPI ˆ Rovnica 6.3: Model lineárnej regresie s ransformovanou vysveľovanou premennou Z rovnice 6.3 novovyvoreného modelu je zrejmé, že odhady jednolivých paramerov si zachovali svoje pôvodné znamienka, koré boli konzisenné s očakávaniami, keď nepriamoúmerne mieru omeškania ovplyvňovali iba schválený objem za posledných 1 mesiacov a zmena HDP. Na obrázku 6.3 môžeme vidieť, že všeky odhady boli signifikanné na hladine významnosi 5 percen. Obrázok 6.3: Výsup R pre model lineárnej regresie s ransformovanou vysveľovanou premennou Z hľadiska splnenia základných predpokladov sa model zdal byť na základe obrázka 6.4 v poriadku. Ako prvý sme pri ňom opäť oesovali predpoklad o konšannom rozpyle. Breuschov Paganov es nulovú hypoézu o homoskedasicie 57