TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA VÝROBNÝCH TECHNOLÓIÍ SO SÍDLOM V PREŠOVE PadDr. Alna VAASKÁ PhD. PadDr. Jana MIŽÁKOVÁ PhD. ALEBRA A MATEMATICKÁ ANALÝZA Pršov 8
Prdhovor Vsokoškolské učbné Algbra a mamaiká analýza sú určné šudnom lného smsra prvého ročníka bakalárskho šúdia Fakul výrobnýh hnológií Thnikj univrzi v Košiiah so sídlom v Pršov. Tio učbné obsahujú najpodsanjš poznak prdnášané v rámi oho prdmu vzorové príklad rišné úloh a nrišné úloh s výsldkami. T obsahuj hlavné kapiol koré sú ďalj člnné na podkapiol. Označni vzťahov vi dfiníií a obrázkov j v každj kapiol samosané. Ciľom jo publikái j pomôť šudnom zvládnuť učivo prbrané v prdm Algbra a mamaiká analýza a ak si vvoriť prdpoklad pr ďalši šúdium. K dôkladnému pohopniu jdnolivýh pojmov doporučujm prrišiť úloh uvdné niln v jo publikáii al aj v inýh mamaikýh publikáiáh zaobrajúih sa danou problmaikou. Voprd ďakujm za nám a podn k zdokonalniu prdkladaného učbného u prípadn za pripomink upozorňujú na hb. Rukopis ýho skríp bol vvorný v rámi projku KEA č. 6-TUKE/6. V Pršov 8 Auori
DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH. Euklidov prisor E n označm vzdialnosť Množinu vškýh usporiadanýh n -í rálnh čísl (... n E. Ak pr každú dvojiu n -í A ( a a B ( b b n d... ( A B ( a b ( a b... ( an bn ( ai bi a n kd n... b n j dfinovaná ak E n nazývam číslný n -rozmrný Euklidov prisor. Usporiadané n -i (... n nazývam bod prisoru E n čísla... n súradni bodu. Bod oho prisoru označujm vľkými písmnami napr. A B C X Y... Rovnosť bodov v n rozmrnom prisor a n b n prisoru E n sa rovnajú práv vd ak pr každé i... n plaí rovnosť a i bi.j. ak sa rovnajú odpovdajú súradni ýho bodov. Píšm: A B rsp. ( a a... b b... Dva bod A ( a a... B ( b b... n i a n ( b n Prisor E E E možno inrprovať gomrik: E - jho gomrikým modlom j číslná os (priamka E - rovina so zavdným pravouhlým súradniovým ssémom E - prisor so zavdným pravouhlým súradniovým ssémom omriký modl pr E n kd n > ni j bzprosrdn inrprovaný používa sa však gomriká rminológia.. Funkia dvoh a via prmnnýh V ďalšj časi sa budm zaobrať rálnmi funkiami dvoh a viarýh rálnh prmnnýh. Označni rálna funkia dvoh rálnh prmnnýh albo rálna funkia via rálnh prmnnýh bud nahradné kraším názvom funkia dvoh prmnnýh rsp. funkia via prmnnýh. Príklad funki dvoh a via prmnnýh Príkladom funki dvoh a via prmnnýh môžu bť aj nasldujú vzťah: - obsah S obdĺžnika o sranáh závisí od vľkosi jho srán a j vjadrný vzťahom: S J zrjmé ž ak mním prmnné mní sa aj obsah S. Môžm povdať ž každj dvojii rálnh čísil ( koré môžm vnímať ako bod rovin E vim da jdnoznačn priradiť práv jdno ráln číslo S.
Hovorím ž S j funkiou dvoh prmnnýh. - obsah P rojuholníka závisí od vľkosi výšk v s a sran s oho rojuholníka na korú j výška zosrojná a j vjadrný vzťahom P svs Hovorím ž P j funkiou dvoh prmnnýh v s a s - objm V kvádra o sranáh z závisí od vľkosi jho srán a j vjadrný vzťahom: V z. Každému bodu ( z E priradím práv jdno ráln číslo V. Hovorím ž V j funkiou roh prmnnýh. - arimiký primr z n rálnh čísl... n závisí od ýho čísl vo vzťahu Hovorím ž j funkiou n prmnnýh... n ( n n... n. Zápis funki dvoh a via prmnnýh j podobný ako pr funkiu jdnj prmnnj.j. A znamná ž Podobn zápis z j funkiou dvoh prmnnýh a z j závislá prmnná sú nzávisl prmnné. ( z f ( z w f vjadruj ž w j funkiou roh prmnnýh a z. Zápis vjadruj ž u j funkiou n prmnnýh. Dfiníia. (funki via prmnnýh ( u f... Nh M j nprázdna podmnožina n - rozmrného prisoru.j. M. Zobrazni f : M E n E koré každému bodu ( M n.j. zobrazni f z množin M do X... n prisoru E n priradí práv jdno ráln číslo sa nazýva rálna funkia n-rálnh prmnnýh. En 5
Množinu M nazývam obor dfiníi albo dfiničný obor jo funki. Ráln číslo koré j priradné bodu X (... n M v zobrazní f nazývam hodnoa funki f v bod X a označujm f ( X rsp. f (... Pr n namiso f ( zvknm písať f ( pr f ( používam zápis f ( z. Zápis funki dvoh prmnnýh z f ( gomriký význam. Bodu ( hodnoa z. Analogik vzťah w f ( z priradí číslnú hodnou w bodu ( z E n n namiso má v rovin j príslušným prdpisom priradná číslná. Z dfiníi funki n prmnnýh vplýva ž funkia n - prmnnýh j M D f E a funkčným prdpisom jdnoznačn určná svojim dfiničným oborom ( n podľa korého j každému bodu X (... n D( f hodnoa f ( X. priradné ráln číslo - funkčná Ak j prdpis funki vjadrný vzťahom vzorom a ni j určný dfiničný obor funki pod dfiničným oborom jo funki rozumim množinu vškýh ýh bodov X E n pr koré má prdpis zmsl ( pr koré j dfinovaný. Pri určovaní dfiničného oboru funki dvoh a via prmnnýh brim do úvah i isé podmink ako pri určovaní dfiničného oboru funki jdnj rálnj prmnnj (mnovaľ zlomku sa nsmi rovnať nul výraz pod párnou odmoninou musí bť nzáporný argumn logarimikj funki musí bť kladný aď.. Podobn ako pri funkii jdnj rálnj prmnnj môž bť funkčný prdpis daný rôznmi spôsobmi napr. abuľkou hodnô analik pomoou mamaikého výrazu či rovni albo slovn. Vlasnosi funkií via prmnnýh Pomoou dfiníií o ohraničnosi funki via prmnnýh zdola zhora ohraničnosi maima minima jo funki supréma infima koré sú formulované analogik ako pr funkiu jdnj rálnj prmnnj j možné vjadriť grafiký pribh danj funki rsp. určiť významné bod. Oprái s funkiami dfinujm podobn ako pr funkiu jdnj rálnj prmnnj j o najmä dfiníia absolúnj hodno funki súč funkií rozdil funkií súčin a podil funkií. Nh f j funkia n - prmnnýh s oborom dfiníi M. Funkiu g dfinovanú na obor dfiníi funki f ak ž ( A f ( A hodnoa funki f a označujm f ( X. g pr každý bod A M nazývam absolúna Nh f a f sú dv funki n - prmnnýh. Funkiu f nazývam súčom rsp. (rozdilom súčinom funkií f a f práv vd kď jj obor dfiníi M j prinikom oborov dfiníií funkií f f a jj hodnoa v každom bod množin M sa rovná súču (rozdilu súčinu hodnô ýh dvoh funkií v omo bod.j. pr každý bod A M plaí ( A f ( A f ( A rsp. ( A f ( A f ( A ( A f ( A f ( A f f f Súč funkií f a f označujm f f ( rozdil f f súčin f f 6
Funkiu f nazývam podilom funki f a funki f vd kď obor dfiníi M funki f j množina ýh bodov koré sa nahádzajú v priniku oborov dfiníií funkií f f a v korýh sa hodnoa funki f nrovná. Jj hodnoa sa v každom bod z množin M rovná podilu hodno funki f v om bod a hodno funki f v om bod.j. pr každý bod A M j kd f ( A. Podil zapisujm aj skrán f ( A f f f Nh j ráln číslo a f j funkia n - prmnnýh korj dfiničný obor j množina M. Súčinom čísla a funki f nazývam funkiu g vd kď obor dfiníi funki g sa rovná oboru dfiníi funki f a kď jj hodnoa v každom bod z množin M sa rovná súčinu čísla a hodno funki f v om čísl.j. pr každý bod A M j f f ( A ( A ( A f ( A g Sčíani a násobni funkií j komuaívn a asoiaívn. Súč a súčin funkií môžm zavisť pr via ako dv funki. Zložná funkia Funkiu f n - prmnnýh f ( X f (... funkiou kď nazývam zložnou ( u (...... u ϕ (... u... ϕ n ϕ j m funkií n prmnnýh koré sú dfinované na množin n m m n M u bodov prisoru E m a pr U u u... u m M io funki plaí ž bod ( ϕ ( X ϕ ( X... ϕn ( X M a bod ( u Funki. ϕ ϕn nazývam vdľajšími zložkami zložnj funki f. ϕ... Ak funkia f j zložná funkia j označovaná aj F. n raf funki via prmnnýh Dfiníia. Nh f j funkia n prmnnýh dfinovaná na množin M bodov prisoru E n. rafom funki f nazývam množinu vškýh bodov n... n n E n (. (... n M. f (... n n pr koré plaí: omrik môžm bzprosrdn znázorniť ln graf funki jdnj a dvoh E ( ( E sa používa označni E z E f j rovinná krivka. prmnnýh. Namiso označnia bodov ( ( ( (. rafom funki jdnj prmnnj ( 7
Funkia dvoh rálnh prmnnýh Ak podľa daného prdpisu f priradím každj usporiadanj dvojii ( M práv jdno ráln číslo z ak hovorím ž na množin M j daná funkia dvoh rálnh prmnnýh. Funkiu zapisujm v var z f (. Ak množina M.j. dfiničný obor funki f ni j bližši určná ak za dfiničný obor považujm množinu vškýh usporiadanýh dvojí ( E pr koré funkia f ( nadobúda ráln hodno. Pri určovaní dfiničného oboru funki dvoh a via prmnnýh brim do úvah i isé podmink ako pri určovaní dfiničného oboru funki jdnj rálnj prmnnj. raf funki dvoh prmnnýh V zmsl Dfiníi. grafom funki dvoh prmnnýh ( E j množina vškýh ýh bodov ( z množin M bodov prisoru pr koré plaí:. ( M. z f ( da z E : M z f {( ( ( } V uklidovskom prisor E j o zvčajn ploha P viď obr... f dfinovanj na prisoru E Plaí: Obr.. raf funki dvoh prmnnýh. Kolmý prim grafu funki do rovin j oborom dfiníi funki f.. Každá priamka rovnobžná so súradniovou osou z má najvia jdn prisčník s grafom funki f. Prdhádzajúa dfiníia grafu funki dvoh prmnnýh nasldovn: j nikd uvádzaná aj 8
raf funki dvoh prmnnýh j množina bodov ( vhovujú rovnii z f ( a voria plohu s rovniou z f ( z E korýh súradni. Kolmý prim grafu funki do rovin j dfiničný obor funki f. Každá rovnobžka s osou z prn graf funki najvia v jdnom bod. Nakrsliť graf funki dvoh prmnnýh j nikd zložié a pro j výhodné hľadať jho prisčni s význačnými rovinami napr. so súradniovými rovinami albo s rovinami s nimi rovnobžnými prípadn s rovinami koré prhádzajú z jdnu zo súradniovýh osí (ýmo prisčniiam hovorím rz grafu rovinami. Príklad. Načrnim graf funki ssém ( O; z. f ( 6 v súradniovom Rišni: rafom funki ( [ ] E j ploha korj bod majú súradni [ f ( ] X (rovina j znázornná na Obr... f dfinovanj na množin vškýh bodov. Časť grafu Obr.. Časť grafu funki dvoh prmnnýh z f ( 6 Príklad. Načrnim graf funki ssém ( O; z. Rišni: Časť grafu j znázornná na Obr... z f ( sin sin v súradniovom 9
Obr.. Časť grafu funki dvoh prmnnýh z f ( sin sin Príklad. Načrnim graf funki z f ( ( ssém ( O; z. Rišni: Časť grafu j znázornná na Obr... v súradniovom Obr.. Časť grafu funki dvoh prmnnýh z f ( ( J dôlžié poznať nasldujú funki dvoh prmnnýh hlavn ih názov prdpis a graf. Rovina: z a b a b R. Príklad. Znázornim graf funki z f ( dfinovanj na množin M E :. {[ ] } Rišni: Časť rovin j znázornná na Obr..5.
Roačný paraboloid: ( O; z. Obr..5 Časť grafu funki dvoh prmnnýh z f ( z Príklad.5 Načrnim graf funki f ( v súradniovom ssém Rišni: Funkia j dfinovaná v každom bod E časť roačného paraboloidu j znázornná na Obr..6. Obr..6 Časť grafu funki dvoh prmnnýh z f ( Roačná kužľová ploha: ( O; z. z Príklad.6 Načrnim graf funki z f ( v súradniovom ssém
Rišni: Funkia j dfinovaná v každom bod E. Časť roačnj kužľovj ploh j znázornná na Obr..7. Obr..7 Časť grafu funki dvoh prmnnýh z f ( uľová ploha: z r Príklad.7 Načrnim graf funki z f ( r ssém ( O; z. v súradniovom Rišni: Funkia j dfinovaná v každom bod E pr korý plaí r čo j vnúrajšok kruhu so srdom v bod ( a polomrom r. rafom j horná polguľová ploha Obr..8. Obr..8 Časť grafu funki dvoh prmnnýh ( z f r
Rišné úloh V nasldujúih úloháh zisi dfiničné obor funkií via prmnnýh.. z Rišni: ; Dfiničným oborom j rovina okrm bodov priamk D z E :.j. môžm písať: ( {[ ] }. z Rišni: Funkia má zmsl pr i bod rovin E pr koré plaí: a o j splnné vd a ln vd ak >. Dfiničný obor voria bod vonkajšku kruhu > okrm bodov kružni (kružnia so srdom v bod [ ] a polomrom r. D { E : > } ( z [ ]. z ( (5 Rišni: Funkia má zmsl pr i bod rovin E pr koré plaí: 5 a o j splnné vd a ln vd ak ( ( a 5 albo b 5 D 5 5 Prinikom j mdzikruži Prinikom j prázdna množina Ø 5 { E : 5} ( z [ ]. z aros arsin ( Rišni: Funkia má zmsl pr i bod rovin E pr koré plaí: Bod koré paria do dfiničného oboru funki vvárajú v rovin E krivočiar rojuholník ohraničný parabolami a priamkou 5. u 9 z okrm vrholu [ ] Rišni: Funkia má zmsl pr i bod prisoru E pr koré plaí: 9 z.j. musí plaiť ž z 9. Dfiničný obor voria bod gul so srdom [ ] D ( u [ z] E : z 9 { } S a polomrom r.
Nrišné úloh V nasldujúih úloháh načrni graf danj funki.. f (. ( f 6. f (. f (.5 f (.6 f ( 9.7 f (.8 f ( f.9 f (. ( V úloháh..8 urč dfiničný obor danj funki f. f ( ln(. (. f ( ln. f ( 5 6.5 f ( ln.6 f (.7 f (.8 f (.9 f (. f ( ln(. f (. f ( ln(. f ( ln. f (.5 f ( z z ln( arsin f z.6 ( z.7 f ( z 5 z.8 f ( z sin( 6 Výsldk:. vonkajšok kruhu aj s bodmi kružni D f E :. vnúro kruhu okrm bodov kružni ( [ ] ( f [ ] { } { E : <} D
. vnúro lips < D ( f [ ] E : < 5 6 5 6. bod rovin okrm bodov parabol D( f {[ ] E : }.5 bod rovin lžia v. a. kvadran okrm bodov na priamkah.6 bod vnúri uhla < D ( f {[ ] E : < } D( f {[ ] E : } aj na jho sranáh D( f {[ ] E : }.7 bod rovin okrm bodov lžiaih na priamk.8 bod vnúri uhla.9 bod rovin lžia v. a. kvadran aj bod lžia na priamkah D f E : ( {[ ] } < D ( f [ ] < D( f [ ] E : D ( f {[ ] E : }. vonkajšok parabol { E : < } { < }. vnúro parabol. bod polrovin. bod lžia v. a. kvadran mdzi priamkami D ( f {[ ] E : < > }. bod lžia mdzi priamkami prípadn na nih.5 vnúro valovj ploh <.6 ( f { E : < } v D ( f [ z] D vorí lý prisor okrm bodu [ ].7 vnúro a hrania gul so srdom v bod [ ] D ( f [ z] E : z 5 { }.8 vonkajšok časi parabol > 6. z P lbo S a polomrom r 5. Limia a spojiosť funki dvoh a via prmnnýh Dfiníia. Nh funkia f ( X X (... n A ( a a... a n. Hovorím ž funkia ( X posupnosť bodov { X } i X A i i X i D( f funkčnýh hodnô { f ( X } i limiu číslo b. i Píšm: j dfinovaná v okolí bodu f má v bod A limiu číslo b ak pr každú ( X lim f (... b lim f X A a n an korá konvrguj k A má posupnosť Ak alé číslo b nisuj hovorím ž funkia f ( X nmá v bod A limiu. Ak j f ( X funkiou dvoh prmnnýh a A [ ] lim [ a a ] X a a f n ( b. poom môžm písať aj 5
Ak posupnosť funkčnýh hodnô { f ( X } i i { X } i nvlasnú limiu hovorím ž funkia ( X i má pr každú uvažovanú posupnosť bodov f nmá v bod A nvlasnú limiu. Va. Číslo b nazývam limiou funki ( X δ aké ž pr všk bod X O ( A X A j f ( X O ( b isuj číslo > b < splnná nrovnosť ( ε lim X A f f X. Skráný zápis: δ f v bod A ak pr každé ε > ( X b ε > δ > : d( X A < δ f ( X b < ε Va. Nh funki f ( X a g ( X majú v bod A ( a a... Ak lim f ( X b a lim g( X b X A a lim f ( X b X A X A b lim ( f ( X g( X b b X A lim ( f ( X g( X b b X A d lim ( f ( X g( X b b X A ( X ( X f b lim b X A g b a limiu. R j rálna konšana. Poom Tvrdni v vplýva z vi o počíaní s limiami posupnosí. a n ε.j. ak j Pri výpoč limí funki via prmnnýh plaia analogiké v ako pr funkiu jdnj rálnj prmnnj. Časo sa však pri výpoč limí funki dvoh prmnnýh posupuj podľa nasldujúj úvah: X j ľubovoľná posupnosť bodov konvrgujúih k bodu A Kďž posupnosť bodov { } i i budm vbrať bod X i ak b lžali napr. na priamk. Ak výsldok závisí na voľb priamk hľadná limia nisuj. Ak nzávisí uvdný posup j npoužiľný. Príklad.8 Vpočíajm lim [ ] X. Rišni: Nurčiosť odsránim rozšírním vhodnou jdnokou: lim X lim. lim( [ ] Príklad.9 Skúmajm limiu lim 6
Rišni: Funkia f Skúmajm jj jdnosmrné limi: ni j dfinovaná v bod [ ] lim f lim f. ( lim lim 6 ( lim lim Kďž jdnosmrné limi sú rôzn limia danj funki nisuj. Pri výpoč jdnosmrnýh limí sm použili L Hospialovo pravidlo. Spojiosť funki via prmnnýh Pojm spojiosi funki via prmnnýh j dfinovaný analogik ako pojm spojiosi funki jdnj rálnj prmnnj. Dfiníia. Nh j funkia f ( X dfinovaná na njakom okolí bodu A ( a a... a n. Funkia f ( X j spojiá v bod A ak má v bod A limiu a plaí: lim f ( X f ( A. X A Ak funkia f ( X j spojiá v každom bod množin M budm hovoriť ž j spojiá na množin M. Ak funkia f ( X j spojiá v každom bod svojho oboru dfiníi sručn hovorím ž j spojiá. Va. (nuná a posačujúa podminka spojiosi funki v bod Nunou a posačujúou podminkou ab funkia f ( X bola spojiá v bod A j ab ku každému číslu ε > isovalo aké číslo > A f X δ ž na okolí O δ ( j funkia ( dfinovaná a pr každý bod X (... n ohoo okolia sa splní nrovnosť f ( X f ( A < ε. f v bod A s ohľadom na množinu M. V nasldujúj v sú uvdné vrdnia pr spojié funki koré umožnia rozhodnúť o spojiosi nikorýh ďalšíh funkií. Podobná va sa dá vsloviť pr spojiosť funki ( X Va. Nh funki f ( X a ( X množin spojiá aj funkia a f ( X b f ( X g( X f ( X g( X d f g ( X ak j g ( X ( X g sú spojié na množin M. Poom j na j 7
8 Rišné úloh V nasldujúih úloháh vpočíaj limi funkií via prmnnýh ak isuj:. lim Rišni: lim lim. lim Rišni: lim lim - nurčiý výraz funkia nmá limiu...sin.. ( lim 5 Rišni: sin 5 sin ( lim 5. g ( lim Rišni: os os lim sin lim os sin lim ( lim ( lim g g 5. lim Rišni: lim lim ( ( lim lim 6. sin( lim Rišni: Pri rišní vužijm vzor sin lim
9 (. sin( lim ( sin( lim sin( lim 7. lim Rišni: Pri rišní vužijm vzor a a a lim ( lim : lim lim lim 8. lim Rišni: Počas rišnia upravím ponn na požadovaný var dlním mnohočlna mnohočlnom.j. vdlím ( :. Poom použijm subsiúiu a aj ak a a S : a nskôr vzor lim. lim lim lim lim a a a a lim lim a a a a a a Nrišné úloh V nasldujúih úloháh vpočíaj limiu funki ak isuj..9 lim. ( 9 sin lim. 6 lim 5. os lim
. lim sin sin. lim.5 lim.6 lim ( ( Výsldk:.9......5 nisuj.6 9. Pariáln drivái funki dvoh a via prmnnýh Vo funkii n - prmnnýh z f (... n môžm za ( odpovdajú súradni bodu A ( a a i n prmnnýh dosadiť... a n dosanm ak n pariálnh funkií i i ( z f i... n i ( f ( a... a a... a f i i i i koré sú už funkiami jdnj prmnnj i. O funkii f prdpokladám ž j dfinovaná v njakom okolí O ( A bodu A o pariálnh funkiáh prdpokladám ž sú dfinované na M M O A. množináh ( i i Dfiníia.5 Pariálnou driváiou funki z f (... n bod A nazývam driváiu pariálnj funki z f i ( i i... n f ( A i f i n podľa prmnnj i v a označujm ju ( A f ( a... a a... a i i i i Kďž pariálna driváia j driváia funki podľa jdnj prmnnj môžm ju vjadriť ako limiu difrnčného podilu funki f i v bod A vzhľadom na prmnnú i. f ( A f ( a h f ( a i lim h Ak j daná funkia dvoh prmnnýh z f ( [ ] i i h i i f i s oborom dfiníi M E a bod A j ľubovoľný bod množin M ak poom môžm vvoriť dv pariáln funki (funki jdnj prmnnj z pôvodnj funki f : g ( f ( a g ( f (. A n.
Ak má funkia g ( v bod driváiu nazvm ju prvou pariálnou driváiou funki z f ( podľa prmnnj v bod A [ ] a označujm ju f ( A albo f (. Plaí: f ( A f ( f lim ( f ( Rovnako dfinujm pariálnu driváiu funki z f ( bod A [ ] : f ( A f ( f lim podľa prmnnj v ( f ( Pariálnou driváiou funki f ( X podľa i rozumim funkiu korj oborom dfiníi bud množina vškýh bodov v korýh má funkia f ( X pariálnu driváiu podľa i a korj hodnoa sa v každom bod jj oboru dfiníi rovná pariálnj drivái f X podľa i v om bod. funki ( omriký význam pariálnh driváií funki dvoh prmnnýh f ( j smrnia dočni v bod [ ( ] f funki f (. V jo krivk rovina prína graf funki ( T ku krivk korá j grafom f ( j smrnia dočni v bod [ ( ] f funki f ( prína graf funki (. V jo krivk rovina. f. (Obr..9 T ku krivk korá j grafom f. (Obr..9 Obr..9 omriká inrpráia pariálnh driváií funki z f (
f pariálnu driváiu podľa v každom bod množin M E na množin M j dfinovaná funkia korá každému bodu A M priraďuj hodnou f ( A. Túo funkiu nazývam prvá pariálna driváia funki f podľa a označujm ju f Ak má funkia ( albo f ( prípadn f ( f funki f podľa korú označujm. Podobn j dfinovaná prvá pariálna driváia f albo f ( prípadn f ( f posupujm nasldovn:. pariálna driváia podľa - funkiu f drivujm podľa prmnnj ak ž prmnnú považujm za konšanu a drivujm funkiu jdnj prmnnj ;. pariálna driváia podľa - funkiu f drivujm podľa prmnnj ak ž prmnnú považujm za konšanu a drivujm funkiu jdnj prmnnj. Pri počíaní pariálnh driváií funki dvoh prmnnýh ( Príklad. Nájdi pariáln drivái funki ( f f 6 Rišni: ( 6 f ( 8 8 f. f Obr.. Časť grafu funki ( Príklad. Urč pariáln drivái prvého rádu funki Rišni: z sin 5 6 os ( os z z os 5 g
Obr.. Časť grafu funki z os 5 g.5 Pariáln drivái vššíh rádov Funkia dvoh prmnnýh Nh má funkia f ( pariáln drivái na množin M E. Ak majú io funki dvoh prmnnýh dfinované na M opäť pariáln drivái podľa oboh prmnnýh nazývam ih druhé pariáln drivái funki f ( rsp. pariáln drivái druhého rádu a označujm ih: f f f f f f f. f majú opäť pariáln drivái f a Ak pariáln drivái druhého rádu funki ( nazývam io pariáln drivái pariálnmi driváiami riho rádu funki ( označujm ih f f f f f f f f f f f f f f f f f Podobn sa dfinujú aj pariáln drivái vššíh rádov. Príklad označnia 5 ( f ( 5 f pariálnh driváií vššiho rádu: f f. Funkia via prmnnýh f X X... má na množin M drivái Nh funkia ( ( f f f.... Každá z ýho funkií (driváií j opäť funkiou n prmnnýh n dfinovanou na množin M. Ak isujú pariáln drivái ýho driváií na njakj n
množin korá j obsiahnuá v M ýmo pariálnm driváiám budm hovoriť pariáln drivái druhého rádu a označovať f i. V prípad ž i budm driváiu k k druhého rádu zapisovať v var podľa prmnnj i. f i albo f i (číam druhá pariálna driváia funki f i n majú pariáln drivái nazývam io pariáln drivái pariálnmi driváiami riho rádu funki ( f f X a označujm ih. Ak pariáln drivái druhého rádu funki f ( X X (... i k j Všobn vjadrím pariáln drivái vššiho rádu nasldovn: pariáln drivái pariálnh driváií rádu k nazývam pariálnmi driváiami k ho rádu. k f Označujm ih i.... i i k k j Va.5 Ak funkia f (... n má v bod A ( a a... a n pariáln drivái f f poom plaí: i j.j. pr funkiu dvoh prmnnýh plaí: f i j f f f. j i difrnovaľné Hovorím omu zámnnosť pariálnh driváií druhého rádu. Prdpoklad o difrnovaľnosi môž bť nahradný prdpokladom ž funkia f (... n má v bod A ( a a... a n spojié pariáln drivái druhého rádu. Aj pr pariáln drivái k ého rádu funki f (... n v bod A bud plaiť zámnnosť pri splnní daného prdpokladu spojiosi ýho pariálnh driváií k ého rádu. k ráz difrnovaľná jj pariáln drivái rádu k v bod A koré sa líšia ln v poradí Príklad. Vpočíajm všk pariáln drivái druhého rádu funki z ( z z ln( a drivái riho a švrého rádu z z. Rišni: z z.
Príklad. Vpočíajm všk pariáln drivái druhého rádu funki z ln( z ( z z a drivái riho a švrého rádu z z z ý. Rišni: z z ln( ln( z z z z 6 z. z ý Príklad. Nájdi hodnou súču u u u Rišni: ( u u u v bod [ ] z ( z u ln A pr funkiu z z ( z z z z ( A A.6 Pariáln drivái zložnj funki Nh j daná funkia dvoh prmnnýh z f ( pričom ϕ ( ψ ( funki jdnj prmnnj. Poom z f ( ( ψ ( F(. Ak sú funki sú ϕ j zložná funkia jdnj prmnnj f ϕ ψ drivovaľné j drivovaľná aj zložná funkia a plaí: dz d z d d z b Nh j daná funkia dvoh prmnnýh z f ( pričom ϕ ( u v ψ ( u v funki. Ak sú f ϕ ψ drivovaľné j drivovaľná aj zložná funkia a plaí: d d z u z z u u z z z v v v dz Príklad.5 Vpočíaj funki d kd ln z Rišni: dz z d d d z d d z Príklad.6 Vpočíaj a z funki z ln kd u v Rišni: z z z ln sin v u u u v z z z u ln u osv v v v v u u sin v v 5
Nrišné úloh V nasldujúih úloháh vpočíaj pariáln drivái prvého rádu danj funki podľa jdnolivýh prmnnýh..7 z 5 6.8 z 7 5ln og.9 z 5 g 6. z os. os sin z. z sin os 5. z ( os6. z ( arg 7.5 z ( 5 sin.6 z ( os.7 z ln( 5.8 z arg.9 z.5 z sin ln g 8 g.5 z sin ( 5.5 z (.5 z os ( 5.5 z arg 5.55 z ( arg ( sin os.56 z ( 6sin arg 5.58 z. ( sin os.57 z (.ln ( os sin.59 z ln 5.6 z ln ( g5.6 z arg.6 7 z arsin ln 5.6 z aros (.6 z ln ( arg.65 z lnsin(.66 z ( g lnos(.67 f ( z z.68 f ( z ( sin z 6
Dokáž ž funkia vhovuj danj rovnii..69 z ( ln z z.7 z sin z z z.7.7 z z z.7 z ( ln z ln z z z z z.7 z sin( z z z V nasldujúih úloháh vpočíaj pariáln drivái druhého rádu danj funki..75 z 5 8 5.76 z (.77 z sin.78 z.79.8 z arg.8 z arsin( z.8 z os( Vpočíaj požadované pariáln drivái funki via prmnnýh..8 z ln( z?.8 ( z?? z z? z.85 z 5 ( z? z?.86 z z?.87 z ln.89 z ( ( z? z?.88 z ( sin os z? z? z? z?.9 z 6 z? z? Vpočíaj pariáln drivái druhého rádu funki dvoh prmnnýh v bod..9 z ( [ ] A [ ] B [ ] A.9 z 6 C.9.9 z (.95 z [ ] E.96 5 8 z 5 z F [ ] 5 D 5 7
f f Dokáž ž rovnii vhovujú funki.97 f ( sin os.98 f ( ln(.99 f ( og. f ( ( os sin dz V nasldujúih úloháh vpočíaj. d. z. sin os z ln. z lnsin. z V nasldujúih úloháh vpočíaj z u a z. v.5 z u os v usinv.6 z u v v u u.7 z ln u v.8 z u v uv v Výsldk:.7 z z 5.8 z sin z 5 5.9 z 6 z os 6.. ( ( os sin sin os os os z z ( sin os ( os z ( sin os ( sin ( 5 ( os sin. z ( 5 ( os ( 5 ( os sin ( z ( 5. 6 os6 ( ( sin 6 6 z ( ( sin os ( z z os 6 ( sin os sin 8
7 z z arg7 9 z 5 sin 5 os z sin. arg7 (.5 ( z z os.6 os ( ( sin 5.7 z z 5 5.8 z z.9 z z.5.5 z os ln g ln os ln z 6 ln 5 5 6 z os 5 ( os 5 5 z os 5 (.5 z sin ( os( z sin ( os( (.5 z 9 os ( 5 sin( 5 z 6 6 os ( 5 sin( 5.5 z z z sin os 5 5.55 z 5 ( sin os ( arg os 5 5 ( 5 ( ( arg ( sin z.56 z ( os arg arg ( 6sin z 5 5 z 5. sin os os z.57 ln( ( ( ( ln.58 (.59 5 z 5. sin 5 z os sin os sin 5 5 5 ( sin os ( sin ( ( ( os sin ( 5 9
( os ( 5 ( os sin ( ( 5 z os sin 5 z z 6 g5 os 5 z arg.6 ln( g5 5.6 (.6 z arg 8 z 7 z 8 ln ln ln 5 z aros ln.6 ( ( ( ( 6 aros z 5 (.6 z 6ln ( arg arg z 6ln ( arg ( arg.65 og( og (.66 z z 6 z z os z g z.(. os (. ( ln os(.67 f z ( ln os( g( f ln os( z g( f z os ln os( z.68 f z( sin f ( sin ( ln z f ( sin ( ln z sin z z sin 5 6.75 z z 5 z z z z z z.76 ( (.77 z sin z z os z sin.78.79 z z z z z z z z ( ( 8 ( (
.8.8.8 z z z ( ( ( z z z z z os( z z os( z z os(.8 z ( z z ( (.8 z 9 ( z 96 ( z 8 (.85 z ( z.86 z (.87 ( 6 z z z sin sin z os sin sin.88 ( ( ( z z.89 ( (.9 z z z A z A z A z A.9 ( ( ( ( 6 8 z z B z B z B z B 8 z C z C z C z C ( A z ( A z ( A z ( A.9 ( ( ( (.9 ( ( ( ( 6 5 z E z E z E z E.9 z ( D z ( D 5 z ( D z ( D 5.95 ( ( ( ( 6 F.96 z ( F 8 z ( F z ( F z ( dz. ( d dz os sin. d dz. og 6 d dz 6ln. ln d.5 u sin v osv ( osv sin v u ( sin v osv ( sin v osv z u.6 z u z v u.7 z ln( u v u v v ( u ln( u v v v u z v z u u v v ( u v.8 u v u uv u z v u v u v u v v u uv z v uv uv
.7 Erém funki via prmnnýh Lokáln rém Pri rišní mnohýh prakikýh problémov niln v oblasi hnikýh vid sa dosávam k úloh nájsť najväčšiu albo najmnšiu hodnou funki. V nasldujúj časi sa budm zaobrať hľadaním lokálnh maím a miním funki via prmnnýh. Nh j daná funkia n -prmnnýh f ( X f (... n a nh bod A ( a a... a n parí do jj oboru dfiníi.j. A D( f. Hovorím ž funkia f má v bod A lokáln maimum rsp. lokáln minimum f ( A ak isuj aké okoli O ( A bodu A ž pr každý bod X z oho okolia X O( A plaí: f ( X f ( A rsp. f ( X f ( A. Ak pr každý bod X O( A X A plaia osré nrovnosi f ( X < f ( A rsp. f ( X > f ( A poom hovorím o osrom lokálnom maim (minim funki f. Lokáln maimum a minimum funki nazývam spoločným názvom lokáln rém funki. V bodoh v korýh funkia f (... nadobúda lokáln rém musí bť splnná nuná a posačujúa podminka isni lokálnho rému. Nuná podminka f Va.6 Nh funkia f (... n ( A i. Poom plaí n má v bod A lokáln rém a nh isuj f ( A i i... n. Bod v korýh plaí áo nuná podminka isni lokálnho rému nazývam saionárn bod. Funkia f môž mať lokáln rém iba v akýh bodoh v korýh prvé pariáln drivái funki f podľa vškýh prmnnýh sú rovné nul albo v bodoh v korýh v korýh žiadna pariálna driváia nisuj. Saionárnosť bodu A j nuná al ni posačujúa podminka na isniu lokálnho rému funki v danom bod. Posačujúa podminka Va.7 Nh bod [ ] a nh v njakom okolí ( A rádu. Poom plaí: a ak drminan A j saionárn bod funki f dvoh prmnnýh O bodu A má funkia f spojié pariáln drivái druhého
( f ( f ( ( f ( > f ak funkia má v bod A [ ] osrý lokáln rém ( f a o: osré lokáln minimum ak j ( f ( > (rsp. ( > f ; > osré lokáln maimum ak j ( f ( < (rsp. ( > f ; b ak drminan ( poom funkia f nmá v bod [ ] < rém akýo bod nazývam sdlový bod. < A osrý lokáln ak drminan ( poom o isnii rému funki f v bod A [ ] nvim rozhodnúť. Drminan nazývam Hssián funki dvoh prmnnýh f v bod A. Pri hľadaní lokálnh rémov funki dvoh prmnnýh posupujm ako:. Nájdm saionárn bod danj funki (.j. vpočíam pariáln drivái f a f a položím ih rovné nul a bod v korýh áo funkia nmá pariáln drivái.. Skúmam každý z kriikýh bodov získanýh podľa kroku a zisím či v ňom daná funkia má albo nmá rém. V bodoh v korýh nisujú pariáln drivái rozhodujm o isnii lokálnho rému na základ dfiníi. V saionárnh bodoh v korýh má funkia spojié druhé pariáln drivái rozhodujm o isnii lokálnho rému pomoou Hssiánu funki v danom saionárnom bod. Príklad.7 Nájdi lokáln rém funki z ( Rišni: Funkia má pariáln drivái v každom bod ( E. Plaí: f f f ( 8 a f (. Rišim súsavu rovní: f ( 8 8.j. f Môžu nasať šri prípad: ( a v. rovnii j a v. rovnii j b v. rovnii j a v. rovnii j saionárn bod A [ ] 8 dosanm A v. rovnii j a v. rovnii j dosanm A d v. rovnii j 8 v. rovnii j rišním jo súsav j saionárn bod A 6. Funkia má da šri saionárn bod A A A A lokáln rém môž mať ln v ýho bodoh.
Pariáln drivái druhého rádu funki: ( f ( 8 f ( f ( f 8 sú iž spojié v každom bod E da aj v ľubovoľnýh okoliah saionárnh bodov. Eisniu lokálnh rémov v saionárnh bodoh môžm zisiť pomoou Hssiánu f ( f ( 8 8 ( f ( f ( 8 V bod [ ] A plaí ( A < da v omo saionárnom bod nmá funkia lokáln rém.j. j am sdlový bod. Rovnako v saionárnh bodoh A a A plaí ž ( A < ( A < da aj v ýho bodoh nmá daná funkia lokáln rém.j. j am sdlový bod. V bod A 6 plaí: ( A > a zárovň f ( A < akž v omo bod má 9 9 funkia f osré lokáln maimum a o f. 6 6 V prípad funki dvoh prmnnýh sa dá nuná podminka gomrik D f f dvoh inrprovať. Ak j bod ( ( saionárnm bodom funki ( prmnnýh poom graf funki f ploha ( f v prisor [ f ( ] rovnia j z f (. V prípad isni lokálnho maima v bod [ ] E má v bod T dokovú rovinu korá j rovnobžná so súradniovou rovinou a jj A sa graf funki nahádza lokáln pod dokovou rovinou v prípad lokálnho minima sa graf funki nahádza lokáln nad dokovou rovinou. Príklad.8 Nájdi rovniu akj dokovj rovin ku grafu funki f ( ( korá ( j rovnobžná so súradniovou rovinou. Rišni: Funkia j dfinovaná vo vškýh bodoh rovin E. Pariáln drivái funki f f sú spojié na E a sú nulové v bodoh priamk s rovniou albo v bodoh priamok určnýh rovniami f ( ( ( ( ( ± kďž f ( ( (. Dokové rovin rovnobžné so súradniovou rovinou sa doýkajú ploh korá j grafom zadanj funki v bodoh priamok ± a
. Rovni ýho dokovýh rovín sú z ± a z. Časť grafu funki a dokové rovin sú na obr.. (doková rovina z j prosrdná. V saionárnom bod nmusí mať funkia lokáln rém. V bodoh priamk sú nulové aj druhé pariáln drivái funki bod jo priamk sú inflné bod krivik ploh korá j grafom funki doková rovina z plohu v danj priamk prína. Obr.. raf funki a dokové rovin v bodoh rémov Príklad.9 Funkia f môž mať lokáln rém aj v akom bod v korom ni j difrnovaľná. Napr. funkia f ( ni j v bod [ ] prož pariáln drivái f f ( ( difrnovaľná ni sú v bod [ ] dfinované. Funkia však má v omo bod osré lokáln minimum prož pr každý bod [ ] [ ] plaí f ( > f (. rafom jo funki j roačná kužľová ploha viď obr.7. lobáln rém f dfinovanj na njakj uzavrj množin M sa časo volá globáln albo absolún maimum (minimum funki f na množin M. lobáln maimum a minimum funki nazývam globáln rém funki. lobáln rém funki f na uzavrj množin M hľadám ak ž nájdm lokáln rém funki f vo vnúri množin M nájdm viazané rém funki f na hranii množin M. lobáln maimum (minimum funki f na množin M j Maimum (minimum množin vškýh hodnô funki ( X 5
maimum (minimum z lokálnh rémov funki f vo vnúri množin M a z viazanýh rémov funki f na hranii množin M. Ak j množina M ovorná funkia f nmusí mať na nj globáln maimum (minimum. Ak funkia f má globáln maimum (minimum j maimum (minimum z lokálnh rémov funki f na množin M. Viazané lokáln rém funki dvoh prmnnýh z f a hľadajm lokáln rém jo funki na množin Majm funkiu ( N D( f ýh bodov ( D( f korýh súradni spĺňajú podminku g ( väzbu. Erém funki f dvoh prmnnýh koré hľadám na množin ( väzbou nazývam viazané lokáln rém funki f (. zv. N D f E určnj Posupujm nasldovn:. Ak sa z podmink g ( dá jdnoznačn vjadriť nikorá prmnná vjadrím ju dosadím do funki z f ( čím získam funkiu jdnj rálnj prmnnj akž poom hľadám lokáln rém funki jdnj prmnnj.. Ak z väzb g ( sa ndá jdnoznačn vjadriť žiadna prmnná (ani pomoou ani pomoou zosrojím zv. Lagrangovu funkiu ( f ( λ. g( L a hľadám lokáln rém jo funki λ j číslo nazývané Lagrangov muliplikáor (násobiľ. Saionárn bod aj s odpovdajúim λ vpočíam z rovní L L L λ g(. Ak má funkia L f λg lokáln rém v bod A [ ] N v bod A viazaný lokáln rém pri väzb ( Funkia ( L ( f ( pr ( N. g. poom má funkia f L j dfinovaná na akj množin na korj sú dfinované funki f aj g Príklad. Nájdim lokáln rém funki 5. z 9 8 6 viazané podminkou Rišni: Zosrojím Lagrangovu funkiu lbo z podmink 5 sa ndá jdnoznačn vjadriť ani ani. ( 9 8 6 ( 5 L λ. Zosavím rovni na hľadani saionárnh bodov aj im prisluhajúih λ : L : 8 λ L : 6 λ L λ : 5 Rišním jo súsav roh rovní o roh nznámh získam najskôr λ ± poom dosávam saionárn bod A [ ] pr λ A ; B [ ] pr λ B. Vpočíam pariáln drivái druhého rádu: L λ L L L λ A λ : Určím harakr saionárnho bodu [ ] A 6
( A > a zárovň L ( A >. Funkia ( L má v bod A lokáln minimum a pro funkia f ( má v bod A [ ] viazané lokáln minimum f (. Podobn pr bod [ ] B λ dosanm: B ( B > a zárovň L ( B < da funkia ( lokáln maimum a pro funkia f ( má v bod [ ] f ( 59. L má v bod B B viazané lokáln maimum Rišné úloh V nasldujúih úloháh nájdi lokáln rém funki dvoh prmnnýh.. z Rišni: Zisím saionárn bod: z 8 z 8 Rišim súsavu rovní: z 8.j. z Saionárn bod funki z j A [ ] Vpočíam pariáln drivái. rádu a nájdm lokáln rém funki: z 8 z z z 8 A v omo Zosavím Hssián pr bod A: ( 6 > z ( A 8 < saionárnom bod má funkia lokáln maimum s hodnoou z ( A.. z 6 Rišni: E. Plaí: Zisím saionárn bod. Funkia má pariáln drivái v každom bod [ ] z 6 z 6 Rišim súsavu rovní: z 6.j. z 6 Dosadním do. rovni dosávam: 8 ( 6 6 8 B 86. Mám dva saionárn bod funki z a o bod A [ ] a [ ] Vpočíam pariáln drivái. rádu a nájdm lokáln rém funki: 7
z z 6 z z 6 Zosavím kvadraikú formu funki.j. Hssián: z z 6 ( A 6 < v omo saionárnom bod nmá funkia z z 6 lokáln rém.j. bod [ ] A j sdlový bod s hodnoou ( A z z 6 ( B 6 > z > z z 6 6 ( B z. v omo saionárnom bod má funkia má lokáln minimum s hodnoou funki z ( B 8 686 6 8. z 8 5 Rišni: E. Plaí: Zisím saionárn bod. Funkia má pariáln drivái v každom bod [ ] z 8 z 8 6 6 Rišim súsavu rovní: z z 6.j. 6 6 Dosadním do. rovni dosávam: 6 6 6 6 ( 6 6 6 Saionárn bod funki z sú A [ ] B [ 66]. Vpočíam pariáln drivái. rádu a nájdm lokáln rém funki: z 6 z 8 z z 6 Zosavím kvadraikú formu.j. Hssián pr saionárn bod: z z 8 ( A < v omo saionárnom bod nmá funkia z z 8 lokáln rém.j. bod [ ] A j sdlový bod s hodnoou ( A 8.. 5 5 z. z z 6 8 ( B 97 > z > z z 8 6 ( B 6 saionárnom bod má funkia lokáln minimum s hodnoou funki z B 8 5 6 866 6 5 ( ( A v omo. z ( Rišni: E. Plaí: Zisím saionárn bod. Funkia má pariáln drivái v každom bod [ ] z ( ( z ( Rišim súsavu rovní: 8
z z.j. ( ( al kďž > pr R dosávam: Po dosadní do prvj rovni dosávam Mám jdn saionárn bod A funki z. Vpočíam pariáln drivái. rádu a nájdm lokáln rém funki: z ( ( z z ( z z ( A ( ( z ( A ( z ( A Zosavím Hssián: ( A > z ( A > v omo saionárnom bod má funkia lokáln minimum. Nrišné úloh V nasldujúih úloháh vpočíaj lokáln rém funki dvoh prmnnýh..9 z 6. z. z.. z 8 6. z z 5.5 5 8 z 5 > >.6 z 5.7 ( ( z.8 z 9 6.9 z 8 6.. z 6 6 5. z z 9 6. z 6. z 8 8.5 z.6 z 9
.7 8 6 z.8 z 6.9 z 8. z. z sin. ( z. z (. z (.5 z 8.7 z (.6 z ln( > >.8 z 5 V nasldujúih úloháh urč lokáln rém funki f ( s väzbou g (.9 z. z. z 8. z 5 Výsldk: 9.9 A [ ] sdlový bod 8 lok. minimum [ ] B lok. maimum. A [ ] sdlový bod B [ ] B lok. minimum. A [ ] sdlový bod [ ] B lok. maimum. A lok. minimum. A [ ] sdlový bod B lok. minimum 5. A [ ] lok. minimum B lok. maimum C [ ] sdlový bod D[ ] 5 5 sdlový bod.5 A 5 lok. minimum.6 A [ ] lok. minimum B sdlový bod C [ ] sdlový bod D[ ] sdlový bod.7 A [ ] lok. maimum.8 A [ ] lok. minimum.9 A [ ] sdlový bod B [ 7 5] lok. minimum. A [ ] lok. minimum. A [ 6] lok. minimum. A [ ] lok. maimum A sdlový bod. [ ] A lok. maimum. A [ ] lok. minimum.5 [ ] A sdlový bod B sdlový bod C sdlový bod D 6 lok. A sdlový bod B lok. minimum.8 A [ 6] lok. minimum C.6 [ ] maimum.7 [ ] B [ 6] lok. maimum.9 [ ] A lok. minimum B [ ] lok. maimum [ ]
sdlový bod D[ ] sdlový bod. A [ ] lokáln minimum [ ] minimum. nmá rém. A[ ] lokáln maimum. A[ ] minimum. A[ ] sdlový bod B [ ] lokáln maimum.5 A[ ] minimum.6 A lok. minimum B C lokáln maimum D lokáln maimum 6 B lokáln lokáln lokáln lok. minimum.7 A [ ] lok. maimum.8 A [ ] lok. minimum B [ ] lok. maimum C [ ] sdlový bod [ ] D sdlový bod.9 viazané lok. maimum. [ ] maimum. [ ] A viazané lok. minimum. A [ ] A viazané lok. minimum [ ] A viazané lok. minimum [ ] B viazané lok. maimum B viazané lok.
DIFERENCIÁLNE ROVNICE. Základné pojm V mnohýh vdnýh odboroh vdi rišni problémov k rišniu difrniálnh rovní.j. k úloh nájsť funkionálnu závislosť mdzi nznámou funkiou a jj driváiami. Napr. rišni problému sformulovaného v príklad. a v príklad. vdi k rišniu difrniálnj rovni. Rišnia ýho príkladov si uvdim nskôr najskôr si uvdim základné pojm z óri difrniálnh rovní. Príklad. Kolónia bakérií sa rozmnožuj ak ž v každom časovom okamihu j prírasok za hodinu dvojnásobkom vľkosi kolóni v danom okamihu. Koľkokrá sa kolónia zväčší za hodinu? Príklad. Tploa upčného hlba vbraého z p sa v pribhu -ih minú mní zo C na 6 C. Za aký čas od počiaku ohladzovania sa ploa hlba zníži na C ak ploa okoliého vzduhu j 5 C? Difrniálna rovnia j aká rovnia v korj sa vskuj nzávislá prmnná nznáma funkia a nikoré drivái jo nznámj funki. Ak nznáma funkia v difrniálnj rovnii j funkia jdnj rálnj prmnnj poom sa difrniálna rovnia nazýva občajná difrniálna rovnia. Ak j nznáma funkia funkiou aspoň dvoh prmnnýh (čiž v rovnii vsupujú pariáln drivái nznámj funki poom sa difrniálna rovnia nazýva pariálna difrniálna rovnia. U difrniálnj rovni rozlišujm: - rád difrniálnj rovni -.j. najvšší rád drivái nznámj funki korá vsupuj v rovnii - supň difrniálnj rovni určuj ho najvššia monina v korj v rovnii vsupuj nznáma funkia a jj drivái. Príklad. Rovnia 5 j občajná difrniálna rovnia.rádu Rovnia 7 sin j občajná difrniálna rovnia.rádu Občajná difrniálna rovnia vjadruj vzťah mdzi nzávisl prmnnou z množin M R nznámou funkiou f ( a aspoň jdnou z jj driváií n f f... f. ( ( ( ( Dfiníia. Občajnou difrniálnou rovniou n - ého rádu nazývam rovniu v impliinom var albo v pliinom var kd f ( ( n (... F (... ( n ( n j nznáma funkia jdnj rálnj prmnnj. f Občajnou difrniálnou rovniou prvého rádu poom nazývam rovniu v impliinom var
albo v pliinom var ( F ( f. Dfiníia. Rišním občajnj difrniálnj rovni rádu n na nprázdnj množin M R nazývam každú funkiu g( korá j dfinovaná na množin M má na nj drivái až do rádu n a pr každé M idnik vhovuj danj rovnii.j. spĺňa ( n ( n ( n rovniu F... či rovniu f.... ( ( Rišiť difrniálnu rovniu znamná nájsť všk funki koré spĺňajú danú rovniu a určiť množinu na korj sú io rišnia dfinované albo ukázať ž daná rovnia nmá rišni. V nasldujúom príklad j uvdná difrniálna rovnia korá nmá rišni. Príklad. Rovnia ( ( g ( g (. nmá rišni lbo pr žiadn R nbud plaiť Móda hľadania rišnia difrniálnj rovni sa nazýva ingrovani difrniálnj rovni. rafik znázornné rišni nazývam ingrálna krivka. Ak sa rišni ndá vjadriť pliin a da ho vjadrím ln impliin nazývam ho ingrál difrniálnj rovni. Rišni môž bť: a všobné koré obsahuj oľko konšán akého rádu j rovnia b parikulárn rišni - koré vznikn zo všobného rišnia vhodnou voľbou konšán rsp. sú dané zv. začiaočné podmink. Úloha nájsť rišni danj difrniálnj rovni vhovujú začiaočným podminkam sa nazýva Cauhho úloha albo začiaočná úloha. Rišni Cauhho úloh občajnj difrniálnj rovni. rádu gomrik inrpruj ingrálna krivka korá prhádza daným bodom ( ak začiaočná podminka j ( Príklad.5 Rišm občajnú difrniálnu rovniu. rádu podminkou (.. s počiaočnou Všobným rišním danj DR j funkia R kd j ľubovoľné ráln číslo prož ( pr R. rafom všobného rišnia j súsava ingrálnh krivik v omo prípad súsava parabol (viď obr... Rišni vhovujú začiaočnj podmink ( získam zo všobného rišnia dosadním za. Hľadané parikulárn rišni j funkia ingrálna krivka j parabola prhádzajúa bodom (.
Obr.. Súsava ingrálnh krivik - parabol Príklad.6 Všobným rišním difrniálnj rovni. rádu j funkia R kd j ľubovoľné číslo. Jj prvou driváiou j. Dosadním za a do pôvodnj rovni sa prsvdčím ž daná funkia spĺňa difrniálnu rovniu: ( ( Voľbou čísla získam parikulárn rišni napr. a pod. Pri rišní difrniálnj rovni danú rovniu upravujm pričom dosávam novú difrniálnu rovniu korá môž mať aj aké rišnia koré ni sú rišním pôvodnj difrniálnj rovni. Ak j každé rišni jdnj z rovní súčasn rišním i druhj rovni na j isj množin a naopak hovorím ž ob difrniáln rovni sú kvivalnné. Úpravu korou získam z pôvodnj difrniálnj rovni kvivalnnú difrniálnu rovni volám kvivalnná úprava.. Difrniálna rovnia so sparovanými a sparovaľnými prmnnými Dfiníia. Difrniálnu rovniu ( q ( q ( p ( p ( kd p ( q ( sú spojié funki na inrval ( a b a p ( q ( sú spojié funki na inrval ( d nazývam difrniálna rovnia prvého rádu so sparovaľnými prmnnými d. d V prípad nznámj funki ( p b zápis jo difrniálnj rovni vzral násldovn: ( q ( q ( p ( kd d d
Ak plaí q ( q (. ak difrniálna rovnia so sparovaľnými prmnnými sa dá upraviť na difrniálnu rovniu so sparovanými prmnnými v var: p q ( ( p d q ( ( d Uvdné difrniáln rovni ( a ( ni sú všobn kvivalnné prož q a b d. prdpoklad q ( ( nmusí bť splnný na lom inrval ( (. Ak j q ( pr i bi kd b i ( d i... k k N poom funki bi sú rišniami difrniálnj rovni ( so sparovaľnými prmnnými al ni sú rišniami upravnj difrniálnj rovni ( so sparovanými prmnnými. Rišním difrniálnj rovni ( so sparovaľnými prmnnými sú da funki varu b i pr koré j q ( a všk rišnia upravnj difrniálnj rovni so sparovanými prmnnými v var ( ( ( ( p p d d q R ( q Príklad.7 Nájdim rišni sparovaľnj difrniálnj rovni. Rišni: Pr po úprav (prnásobní rovni výrazom dosávam rovniu so sparovanými prmnnými korj všobné rišni nájdm ingrovaním. Všimnim si ž p ( q ( p ( q ( funki sú spojié na R. Rovnia q ( má jdiný korň áo funkia j rišním danj difrniálnj rovni. Ďalj plaí ž ( d d R ln ln q pr. ( ln ln R R Všk rišnia danj difrniálnj rovni sú funki varu: kd da C R R. Všk ingráln krivk sú priamk jdného zväzku priamok s vrholom v začiaku súradniovj súsav obr... 5
Obr.. Súsava ingrálnh krivik Príklad.8 Nájdim všobné a parikulárn rišni sparovaľnj difrniálnj rovni vhovujú počiaočnj podmink (. Rišni: Najprv nájdm všobné rišni sparáiou prmnnýh. d d d d d d d všobné rišni v var: C ( a ak označím C bz ujm na všobnosť môžm písať Parikulárn rišni nájdm dosadním počiaočnj podmink ( do všobného rišnia danj difrniálnj rovni.j. položím vo všobnom rišní: C C úpravou získavam parikulárn rišni v var: 6
Rišni príkladu. Kolónia bakérií sa rozmnožuj ak ž v každom časovom okamihu j prírasok za hodinu dvojnásobkom vľkosi kolóni v danom okamihu. Koľkokrá sa kolónia zväčší za hodinu? Použijm označni: - čas - označuj poč bakérií v čas zmna času: d hod. prírasok bakérií za hodinu: d kd d j oáln difrniál funki f ( vjadrujúj ras bakérií. Pr oáln difrniál plaí: d f ( d. Kďž d a d dosanm mamaiký modl uvdnj aplikačnj úloh vjadrný v var občajnj sparovaľnj difrniálnj rovni: d d d d d ln Zo všobného rišnia uvdnj difrniálnj rovni vplýva: poč bakérií v čas j f ( ( poč bakérií o hodinu.j. v čas ( j f ( zväčšila kolónia bakérií zisím z podilu: f ( f ( Kolónia bakérií sa za hodinu zväčší 7 krá. 78 7. Koľkokrá sa Rišni príkladu. Tploa upčného hlba vbraého z p sa v pribhu -ih minú mní zo C na 6 C. Za aký čas od počiaku ohladzovania sa ploa hlba zníži na C ak ploa okoliého vzduhu j 5 C? Pri rišní nasolného problému si musím uvdomiť ž rýhlosť ohladzovania dt lsa prdsavuj znížni plo T za jdnoku času τ a vjadruj sa driváiou. dτ Podľa Nwonovho zákona j rýhlosť ohladzovania lsa úmrná rozdilu plô lsa a okoliého prosrdia. Tno pros j nrovnomrný. So zmnou rozdilu plô sa mní aj rýhlosť ohladzovania lsa. Difrniálna rovnia ohladzovania hlba bud dt k( T ( dτ kd T j ploa hlba ploa okoliého vzduhu (podľa zadania ploa okoliého vzduhu j 5 dt C k kofiin úmrnosi rýhlosť ohladzovania hlba. Nh dτ τ j hľadaný čas ohladnia hlba na požadovanú plou. Kďž rovnia ( j sparovaľná difrniálna rovnia sparáiou prmnnýh dosanm: dt k dτ ( T 5 odkiaľ po zingrovaní získavam ln T 5 kτ ln. ( ( C 7
Úpravou rovni ( dosávam ln ( T 5 kτ ln C.. ( ln Kďž C C z rovni ( získavam všobné rišni difrniálnj rovni ( v var kτ T 5 C. (5 Všobnú konšanu C určím z počiaočnýh podminok: v čas τ min j ploa hlba T C. Odiaľ mám. 5 C k C 75. (6 Vhádzajú z doplňujúih podminok daného problému: v čas τ min j T 6 C môžm uprsniť vličinu k. Z rišnia (5 dosávam: 5 k k ( 7 6 5 75. (7 75 5 Rovnia ohladzovania hlba podľa podminok úloh nadobudn var: 7 T 5 75. (8 5 Z rovni (8 určím hľadaný čas τ za korý ploa hlba klsn na T C. Po dosadní C za T do rovni (8 mám 7 5 75 (9 5 Vužiím logarimovania oboh srán rovni (9 vjadrím ž.ln5 τ 7min. ln 7 ln5 Takž približn po uplnuí hodin a -ih minú sa hlib ohladí na C. Pros ohladzovania hlba podľa podminok úloh vjadruj ingrálna krivka (8. Príklad.9 Moorový čln sa pohbuj po jazr rýhlosťou v km / h. Za čas skúnd po vpnuí moora sa rýhlosť člna zmnšila na hodnou v 8 km/ h. Odpor vod j priamo úmrný rýhlosi pohbu člna. Urč rýhlosť pohbu člna po minúah od vpnuia moora. Mamaikým modlom uvdnj aplikačnj úloh j občajná difrniálna rovnia dv v var: m kv. d Id o sparovaľnú difrniálnu rovniu odkiaľ sparáiou prmnnýh a vužiím počiaočnj podmink získam rišni rovni: τ τ v. po minúah od vpnuia moora j rýhlosť pohbu člna ln 5 v 8km / h. 5 8
9 Rišné úloh V nasldujúih úloháh riš difrniáln rovni módou sparái prmnnýh.. Rišni: d d d d d d ±. ( Rišni: ( ( d d d d d d d d d d d d. os Rišni: d d d os ( os os d d d d os
Ingrál na ľavj sran vpočíam pomoou vhodnj subsiúi albo použiím vzora f ( d ln f (. f ( Sub.: d ln d d d d ln g ln g g Po úprav dosanm: g g označiť v var C a ak môžm písať g C g ( C al j znova ln konšana korú môžm Skúška správnosi: najprv si vpočíam prvú driváiu nznámj funki da g C g C. Dosadím do ľavj sran difrniálnj rovni. os os C g g Ľ os os ( C os P Ovrili sm si ž rišni j správn prož nasala rovnosť Ľ P.. ( sin Rišni: d d sin d ( sin d ( d ( sin d d Ingrál na ľavj sran rišim módou pr pars označím u u ( os os d ln sin ( os j rišni v impliinom var. ln ( sin ( os log ln j rišni v pliinom var. v sin v os poom 5. ( ( ( ( 6 Rišni: ( ( ( ( 6 d d d ( ( ( 6 5
( ( ( d d ( 6 Ingrál na ľavj sran rovni vpočíam módou doplnnia na druhú moninu dvojčlna: 6 ( a vužijm vzor d arg a a a Ingrál na pravj sran rovni vpočíam módou rozkladu na pariáln zlomk: ( A B ( ( ( ( ( A lim lim ( ( ( ( ( ( B lim lim ( ( ( d ( d d arg ln ln ( arg ln 6. Nájdi všobné a parikulárn rišni difrniálnj rovni ( 5 ln ( vhovujú počiaočnj podmink (. Rišni: ( 5 ln ( d d d ( 5 ln d ln ln ln 5 ln ( ln 5 ln ln d ( 5 ln Prož logarimiká funkia j prosá na lom obor dfiníi áo rovnosť bud splnná vd a ln vd ak nasan rovnosť argumnov.j. musí plaiť: ( 5 ln ln ( 5 ( 5 j všobné rišni. Parikulárn rišni nájdm dosadním počiaočnj podmink ( do všobného rišnia danj difrniálnj rovni.j. položím vo všobnom rišní: ( 5 5 ln ( 5 5 5 5 5
Skúška správnosi: 5 5 Vpočíam 5 a dosadím do difrniálnj rovni ( 5 ln ( Ľ 5 5 P ;. j. Ľ P 5 5 5 5 5 5 ( 5 ln ( 5 ( 5 5 5 5 7. Nájdi všobné a parikulárn rišni difrniálnj rovni ( ( 9 vhovujú počiaočnj podmink (. Rišni: d ( ( 9 d d 9 arg d d 9 arg - všobné rišni dosadím počiaočnú podminku ( arg arg 6 8 g arg 8 8. Nájdi všobné a parikulárn rišni difrniálnj rovni os koré spĺňa počiaočnú podminku. Rišni: os d d použijm subsiúiu S : odkiaľ vjadrím ž d d os d sin dosadím počiaočnú podminku a určím konšanu sin sin sin Skúška správnosi:.os Ľ os.os P 5
Nrišné úloh Riš difrniáln rovni módou sparái prmnnýh.. (. (. ( sin. os sin.5 ( os.6 5( os.7 ( 5.8 ( sin ( os.9 sin os 5( os. 6 ( 9. ( (. ( (. os 8. ( 5 ln os sin.5.6 os5.7 os sin sin og.8 ( 5 sin os..9 ( os (.. g sin os og. (. ( (.5 ( (.6.7 ( ( 9.8 ( arg ( ( (.9 (. os Výsldk:. (.. os (. og ln( ln arogln.5 g( sin.6 5 g ln ( arg ln( 5.7 ln( 5 ln ln 5 5
arg ln sin ln g ln sin ( os.9 5 g arg 5 os. arsin arg sin arg.8 ( (. ( (. ln ( ln ln ln. sin8 sin. arg ln( 5 ln.5 5.6 sin 5 os 5.7 ln sin sin 5 sin.8 os arg g os.9 g( arg( 6.. arsin. g og..ln.. ln.5.6.9 (.7 (. sin sin.8 arg. Linárna difrniálna rovnia prvého rádu Dfiníia. Difrniálnu rovniu kd p ( ( ( q( p ( q sú funki spojié na inrval J R nazývam linárna difrniálna rovnia prvého rádu korá j linárna (prvého supňa vzhľadom na nznámu funkiu a jj driváiu (.j. obsahuj a iba v prvj monin a nobsahuj ih súčin. V prípad nznámj funki ( kd násldovn: Ak q ( d b zápis jo difrniálnj rovni vzral d ( q( p ( rovniu ( nazývam linárna difrniálna rovnia prvého rádu bz pravj sran albo homogénna linárna difrniálna rovnia a má var ( p. ( 5
Ak nplaí q ( pr všk J difrniálnu rovniu nazývam linárna difrniálna rovnia prvého rádu s pravou sranou. Linárna difrniálna rovnia prvého rádu bz pravj sran: p( j difrniálna rovnia so sparovaľnými prmnnými korú vim prvisť na difrniálnu rovniu so sparovanými prmnnými: p (. ( Rišním linárnj difrniálnj rovni. rádu bz pravj sran j funkia a všk rišnia difrniálnj rovni so sparovanými prmnnými. Dá sa dokázať ž všobné rišni linárnj difrniálnj rovni ( má var: z z.(. q( d z p( d R. K omuo výsldku možno prísť nikoľkými spôsobmi dá sa použiť subsiučná móda Brnoulliho móda móda variái konšán. Najčasjši sa používa móda variái konšán korú si raz uvdim. a Linárnu difrniálnu rovniu prvého rádu s pravou sranou rišim ak ž najprv vpočíam rišni príslušnj linárnj difrniálnj rovni prvého rádu bz pravj sran.j. rovni p( čo už j sparovaľná difrniálna rovnia pro použijm sparáiu prmnnýh: d p( d d p ( d ln p ( d p( d C C R. Tjo linárnj difrniálnj rovnii prvého rádu s pravou sranou vhovim raz akým rišním ž namiso C.j. funkiu jdnj prmnnj da b Vpočíam všobné rišni rovni p( q( všobnj konšan C budm písať funkiu ( C Po zdrivovaní jo funki (podľa vzora na driváiu súčinu a dosadní do pôvodnj difrniálnj rovnii dosanm C ( p ( d C ( p( odkiaľ po odpočíaní a ingrovaní dosávam p ( ( d p p ( d ( C( p( d C( q( Poom všobné rišni rovni p( q( p( d q j ( p ( d R p ( d q( 55
Príklad. Nájdi všobné rišni linárnj difrniálnj rovni prvého rádu o g sin. Rišni: a Najprv nájdm všobné rišni linárnj difrniálnj rovni prvého rádu bz pravj sran pr všk k k Z kd sú spojié ob funki o g aj sin. Po sparovaní prmnnýh dosanm: o g d d o g os d d sin ln ln sin ln C ln ln C sin C sin čo j rišni linárnj difrniálnj rovni prvého rádu bz pravj sran. b Použijm variáiu konšan.j. v omo rišní zmním konšanu C na funkiu C ( a dosanm funkiu ( sin( C korú považujm za rišni pôvodnj linárnj difrniálnj rovni o g sin. Nznámu funkiu C ( vpočíam ak dosadím C( sin( do pôvodnj rovni nahradím aj. C os sin ( sin C( os C( sin sin Po odpočíaní výrazov s funkiou C ( nám zosáva odkiaľ po ingrovaní mám Po dosadní do C( sin( C ( C ( d C( dosanm všobné rišni linárnj difrniálnj rovni prvého rádu s pravou sranou (čo bolo našou úlohou v var: sin sin R k k Z rafikou inrpráiou rišnia danj difrniálnj rovni j súsava ingrálnh krivik viď obr.. 56
Obr.. Súsava ingrálnh krivik Rišné úloh V nasldujúih úloháh riš linárn difrniáln rovni prvého rádu módou variái konšán.. Rišni: (LDR Rišim rovniu bz pravj sran: (SDR d d d d d ln ln ln ln ln Variáia konšan: nh ( poom linárnj difrniálnj rovni a jho driváiu ( ( ( považujm za rišni pôvodnj. Vpočíam (.j. rišni dosadím do pôvodnj (LDR a dosanm: ( ( ( ( 57
( ( ( d Nahradím ( a dosanm rišni linárnj difrniálnj rovni. rádu v var: ( Skúška: Ľ ( ( P Ľ P. ( arg arg Rišni: ( arg arg ( arg arg ( arg p q Rišim rovniu bz pravj sran.j. vznikn sparovaľná difrniálna rovnia: ( arg (SDR d d ( arg d d d ( arg ln ln arg ln arg - rišni (SDR (LDR v základnom var ( ( Nh ( poom: ( arg - j prdpokladané rišni (LDR dosadím ho do (LDR ( ( ( arg arg arg ( arg arg ( arg arg ( ( d arg arg arg (. g sin g Rišni: g sin g g sin (LDR g Rišim rovniu bz pravj sran: 58
(SDR g d os d d sin d os d sin ln lnsin ln ln ln - rišni (SDR sin sin Nh ( poom: ( - j prdpokladané rišni (LDR dosadím ho do (LDR sin ( sin ( os ( os sin sin sin sin ( ( os ( os sin sin sin sin ( sin sin sin sin sin d ( ( Použijm módu pr pars: u sin v sin sin d sin sin d sin os os d u os v os sin d sin os d sin d sin d sin os d sin os sin d sin os sin os sin sin d sin sin d sin sin sin ( (. Rišni: Rišim rovniu bz pravj sran: (SDR d d d d d : 59
6 ln ln ln ln ln - rišni (SDR Nh ( ( - j prdpokladané rišni (LDR dosadím ho do (LDR ( ( ( d d ( ( ( Skúška: P Ľ ( 5. ln Rišni: Rišim rovniu bz pravj sran: d d d d ln ln ln ln ln - rišni (SDR Nh ( ( - j prdpokladané rišni (LDR dosadím ho do (LDR ( ln ( ( ln ( ln ( d v u v u d d ln ln ln ( ln ln ( ln ln ( Skúška: P Ľ ln ln ln 6. Rišni:
6 Rišim rovniu bz pravj sran: d d d d d ln - rišni (SDR Nh ( ( - j prdpokladané rišni (LDR dosadím ho do (LDR ( ( ( ( ( ( d 7. Rišni: Rišim rovniu bz pravj sran: d d d d ln - rišni (SDR Nh ( ( - prdpokladané rišni (LDR dosadím ho do (LDR ( ( ( ( ( d d d S d : ( ( 8. g os 5 sin (LDR Rišni: Rišim rovniu bz pravj sran: os 5 sin (SDR d d os 5 sin ( os 5 ln os ln 5 ln - rišni (SDR Nh ( ( os 5 ( - j prdpokladané rišni (LDR ( ( ( ( ( ( g os 5 os 5 sin sin os 5
g g sin ( ( d d 5 os 5 os ( 5 os os Použijm subsiučnú módu a násldn rozklad na pariáln zlomk: sin os d A B ( d d d ( d d ( 5 os os sin 5 5 A lim lim ( 5 ( 5 5 B lim ( 5 5 ( 5 5 5 5 os d d ln ln 5 ln ln 5 5 5 5 5 5 5 os 5 os ( ( 5 os ln ( 5 os 5 os ( ( Nrišné úloh Riš linárn difrniáln rovni. rádu módou variái konšán. sin. os. os. g os. 8.5 g.6 os sin sin os.7 5.8.9 sin. os os.. sin os.. ( 6.5 (.6 (.7 ln.8.9 ln.5 ln 6
.5.5 os sin os ln os.5 g sin g.5 arg ( arg sin.55 g os os g.56.57.58. os (.59 os sin.6 os os ( Výsldk:. ( os.. sin sin os sin. ( (.5 ( g os.6 os.7.8 5 9.9 ( 5. ( sin os.. ( og sin 5. ( (..5 (.6 (.7 ln.8.9 ln ln.5 ln 9.5 ( sin os.5 ( sin.5 ln.5 ( sin arg.55.57 arg ( g g.58 sin.59 všobné rišni: parikulárn rišni: os.56 ( ( ( os.6 všobné rišni: sin parikulárn rišni: 6
. Homogénna difrniálna rovnia Dfiníia.5 Funkia ( prmnné a ak pr ľubovoľný bod ( R plaí rovnosť: Príklad. f f sa nazýva homogénna supňa n vzhľadom na z oboru dfiníi funki a pr ľubovoľné f n ( f ( j homogénna funkia druhého supňa lbo a Funkia ( f ( ( ( f (. b Funkia f ( ni j homogénna lbo pri čísl už nbud. Voľn povdané všk prmnné koré sa v rovnii vskujú sú druhého supňa. f Funkia ( j homogénna funkia nulého supňa prož plaí: ( ( f ( f (. ( ( ( Dfiníia.6 Difrniálnu rovniu f ( difrniálna rovnia ak ( f j homogénna funkia nulého supňa. nazývam homogénna Rišni homogénnj difrniálnj rovni: Homogénna difrniálna rovnia sa dá vžd zapísať v var F položia. Homogénnu difrniálnu rovniu (HDR rišim pomoou subsiúi u odkiaľ u ( a da u u vďaka čomu homogénnu prvdim na sparovaľnú difrniálnu rovniu (SDR. Príklad. Riš difrniálnu rovniu. os.os Rišni: Id o homogénnu DR lbo rovniu môžm zapísať v var. os.os odkiaľ dosávam čo j F. Použijm subsiúiu u rsp. os u odkiaľ u u. Dosadním do pôvodnj difrniálnj rovni dosanm sparovaľnú difrniálnu rovniu (SDR: u u u osu 6
du d osu os u du d sin u ln ln ( u arsin ln Po návra k subsiúii mám: arsin( ln arsin( ln Všimnim si ž namiso hľadaného rišnia ( rovni f ( rsp. F hľadám nznámu funkiu u ( korá j zviazaná s ( vzťahom ( ( u. Difrniálna rovnia a b f a b j ďalším pom difrniálnj rovni prvého rádu korá sa dá ransformovať vhodnou subsiúiou na homogénnu difrníálnu rovniu a násldn na difrniálnu rovniu so sparovaľnými prmnnými. Ďalším pom difrniálnj rovni prvého rádu j Brnoulliho difrniálna rovnia: α ( q( p korá sa pr α > subsiúiou z α prvdi na linárnu difrniálnu rovniu prvého rádu. Ak j α albo ak α ak sa jdná o linárnu difrniálnu rovniu prvého rádu. Rišné úloh. os Rišni: os os (HDR Použijm subsiúiu: u odkiaľ u u dosadím do (HDR a dosanm sparovaľnú difrniálnu rovniu (SDR: u u u os du os d u du os u d u d os g u ln - vráim sa k subsiúii u 65
g ln ( ln arg( arg ln. ( ln ln Rišni: ln ln (HDR Použijm subsiúiu: u u u lnu u u ln u u du d u ( lnu u du ( lnu u odkiaľ u u dosadím do (HDR. d u d ( lnu Na ingrál na ľavj sran rovni použijm subsiúiu d d ln ln ln ln lnu ln lnu ln ( Subsiúia : lnu du d u Nrišné úloh V nasldujúih úloháh riš homogénn difrniáln rovni..6.6.6.6 66
.65.66 sin.67.68.69 os.7 ( (.7 (.7 (.7.7.75 (.76 (.77 (.78 (.79.8 Výsldk:.6.6 ln.6 ln.6.65 g ( ln.66 arog( ln.67.68 ln ln.7 8 6.7.7.69 arg ( ln.7 ( (.7.75.76.77.78 ln.79 ln.8 67
DIFERENCIÁLNE ROVNICE VYŠŠÍCH RÁDOV. Tp rovní korýh rád sa dá znížiť Uvažujm DR n - ého rádu varu F ( k ( k ( n (... Tda rovniu v korj sa vskujú ln drivái rádu k až n. Subsiúiou ( k ( k ( n ( nk v v... v n k - ého: Príklad. Rišm rovniu dosanm rovniu korá j už rádu ( F ( ( ( nk ( v v... v. Rišni: Zavdním subsiúi: v v rovniu: v v. Po odsparovaní prmnnýh a ingráii dosávam ln v ln v Po návra k subsiúii posupnou ingráiou dosávam ( ( dosanm sparovaľnú difrniálnu 6 ( Pri difrniálnh rovniiah pu n f ( iž posupnou ingráiou získam nznámu funkiu (. Všobné rišni obsahuj oľko ingračnýh konšán akého rádu j difrniálna rovnia.. Linárn difrniáln rovni s konšannými kofiinami kd Dfiníia. Rovniu varu: a a... a ( n ( n a a a q(... n n ( n sú ráln čísla nazývam linárna difrniálna rovnia n -ého rádu s a jj drivái sú umonné ln na prvú s konšannými kofiinmi pro lbo a a... an sú konšan. konšannými kofiinami. Linárna j pro lbo nznáma funkia ( Ak plaí q ( rovniu ( nazývam linárna difrniálna rovnia s konšannými kofiinami n -ého rádu bz pravj sran (L všobné rišni akjo rovni (L vim vžd nájsť a o dokona bz ingrovania ln algbraikými prosridkami. 68
Ak q ( ak poom ju nazývam linárna difrniálna rovnia s konšannými kofiinami n -ého rádu s pravou sranou (LPS. Kvôli prhľadnosi sa najprv zamriam na rišni linárnj difrniálnj rovni druhého rádu s konšannými kofiinmi bz pravj sran. Id o rovniu a b (L korú rišim pomoou zv. harakrisikj rovni čo j odpovdajúa algbraiká rovnia ar br ( b ± b a Rovnia ( j kvadraiká rovnia pr jj korn plaí r kd a výraz D b a nazývam diskriminan. Podľa oho aký nám vjd diskriminan ( D > D D < budm písať všobné rišni difrniálnj rovni (L. Charakrisiká rovnia linárnj difrniálnj rovni.rádu s konšannými kofiinmi má vžd dva korn pričom môžu nasať io prípad:. D > korn sú ráln a rôzn r r r funki fundamnáln ssém rovni (L na R a jj všobné rišni má var r voria r r kd R R.. D jdn dvojnásobný korň r r r funki fundamnáln ssém rovni (L na R a jj všobné rišni má var r r voria r r kd R R. D < kompln združné korn r a ± ib. Všobné rišni rovni (L má v akom prípad var a ( os b.sin b. Prož rišním rovni (L j komplná funkia ( a ib a ib a. ( osb sin b r čo dosanm vužiím Eulrovho vzora ϕ i osϕ i.sinϕ a a Funki osb sin b voria fundamnáln ssém rišní rovni (L ak sú linárn nzávislé na R. 69
Všobné rišni má v každom prípad var kd sú linárn nzávislé rišnia rovni (L a sú ľubovoľné konšan. Ak sú dv ľubovoľné rišnia rovni (L poom každá ih linárna kombináia kd R j iž rišním rovni (L. Dv rišnia rovni (L nazývam linárn závislé na R ak isuj aké číslo k ž pr každé R plaí k k Ak dv rišnia rovni (L ni sú linárn závislé poom hovorím ž sú linárn nzávislé. Príklad. Funki sú linárn nzávislé rišnia difrniálnj rovni s konšannými kofiinami. rádu. Dosadním driváii danýh funkií do rovni sa prsvdčím ž funki sú jj rišním. Tio dv rišnia sú linárn nzávislé prož nisuj aké číslo k ab pr každé R plailo k. Funkia j rišním každj rovni (L oo rišni nazývam riviáln rišni. Triviáln rišni j linárn závislé s každým nriviálnm rišním rovni (L. rovni (L sa dá vjadriť pomoou Wronského drminanu (wronskiánu ýho funkií. Nuná a posačujúa podminka linárnj nzávislosi rišní ( ( Dfiníia. Nh ( ( sú funki dfinované na inrval J a majú na omo inrval drivái. Drminan nazývam Wronského drminan (wronskián funkií a označujm ho W ( Plaí funki koré sú rišniami rovni (L na inrval J sú linárn nzávislé práv vd kď ( W pr každé J. Ssém dvoh linárn nzávislýh rišní rovni (L a b sa nazýva fundamnáln ssém jo rovni. Príklad. (rôzn ráln korn Nájdi všobné rišni difrniálnj rovni 6. 7
Rišni: Id o linárnu difrniálnu rovniu druhého rádu s konšannými kofiinami bz pravj sran. Charakrisiká rovnia (ChR má var: r r 6 Korn (ChR sú r r id o siuáiu kď D > pro všobné rišni má var sú ľubovoľné konšan. R rafom všobného rišnia j súsava ponniálnh krivik pr grafom parikulárnho rišnia pr j priamka súradniová os viď obr... Obr.. Súsava ingrálnh krivik Príklad. (dvojnásobný korň Nájdi všobné rišni difrniálnj rovni. Rišni: Id o linárnu difrniálnu rovniu druhého rádu s konšannými kofiinami bz pravj sran. Charakrisiká rovnia (ChR má var: r r (ChR má jdn dvojnásobný korň r id o siuáiu kď D pro všobné rišni má var R sú ľubovoľné konšan. rafiká inrpráia rišnia j na obr... 7
Obr.. Súsava ingrálnh krivik Príklad. (dva kompln združné korn Nájdi všobné rišni difrniálnj rovni 6. Rišni: Id o linárnu difrniálnu rovniu druhého rádu s konšannými kofiinami bz pravj sran. Charakrisiká rovnia (ChR má var: r 6r Id o siuáiu kď < D 6. čísla r i pro všobné rišni má var ± D ( 6 ( os.sin. R sú ľubovoľné konšan. Ingráln krivk sú na obr... korn (ChR sú kompln združné Obr.. Súsava ingrálnh krivik 7
Príklad.5 Riš difrniálnu rovniu a nájdi parikulárn rišni koré. spĺňa začiaočné podmink ( ( Rišni: r r i všobné rišni j ± Driváiou všobného rišnia dosanm ( os.sin.os.sin..sin.os Po dosadní začiaočnýh podminok dosanm Hľadané parikulárn rišni j funkia da P os R.. Linárna difrniálna rovnia druhého rádu s konšannými kofiinmi s pravou sranou Dfiníia. Difrniálna rovnia a b f ( (LP kd a b R a f ( j spojiá funkia sa nazýva linárna difrniálna rovnia druhého rádu s konšannými kofiinmi s pravou sranou (LP. Jj všobné rišni nájdm ako súč všobného rišnia príslušnj linárnj difrniálnj rovni s konšannými kofiinmi bz pravj sran (L a parikulárnho rišnia linárnj difrniálnj rovni s konšannými kofiinmi s pravou sranou (LP da: kd Y ( Y - j všobné rišni linárnj difrniálnj rovni s konšannými kofiinmi bz pravj sran (L koré vim nájsť pomoou harakrisikj rovni Y - ľubovoľné parikulárn rišni rovni (LP.j. rovni a b f ( P Y P. Príklad.6 Nájdi všobné rišni difrniálnj rovni : ak pozná jj jdno parikulárn rišni Y P. Rišni: Rišni hľadám v var Y YP.. krok: Y? Hľadám všobné rišni dif. rovni (L. Položím pravú sranu linárnj difrniálnj rovni druhého rádu s konšannými kofiinmi rovnú nul a pomoou harakrisikj rovni rišim rovniu r 7
r r ± ± i a ± ib R r a Im r b a D < pro Y ( osb sin b Y ( os sin os sin. krok: Y P? Al o j dané: Y P pro súčom Y YP získam všobné rišni difrniálnj rovni v var: Y YP os sin. Ingráln krivk sú na obr... Obr.. Súsava ingrálnh krivik A Móda variái konšán (Lagrangova móda Parikulárn rišni Y P linárnj difrniálnj rovni druhého rádu s konšannými kofiinmi a b f ( (LP nájdm módou variái konšán zv. Lagrangovou módou. Označm a b (L Nh j rišni (L sú ľubovoľné konšan. Rišni (LP nájdm v var ( ( kd rišnia sú linárn nzávislé funki ( ( vráam podľa vzťahov: W W W W ( d ( d 7
W W W - sú Wronského drminan zv. Wronskián. W W f ( W f ( Príklad.7 Riš linárnu difrniálnu rovniu druhého rádu s konšannými kofiinmi módou variái konšán. (LP os Rišni: Všobné rišni rovni (LP nájdm v var Y Y P. krok: Y? Vvorím si k zadanj difrniálnj rovnii (LP prisluhajúu difrniálnu rovniu (L.j. položím pravú sranu rovnú nul a pomoou harakrisikj rovni rišim rovniu (L r r r ± i a ± ib a D < pro podľa vzora Y ( osb sin b kd a b da Y os sin os sin. krok: Clkové rišni nájdm v var ( os ( sin W W kd ( ( vráam podľa vzťahov ( d ( d W W os sin W os sin sin os sin sin f ( os os os W os os W f ( sin os ( W d W sin os d sin d os Sub : os sin d d d d os W ( d d g W os 75
os os sin os sin os os ( ( sin os ( g sin Príklad.8 Riš linárnu difrniálnu rovniu s konšannými kofiinmi druhého rádu módou variái konšán. Rišni: Všobné rišni rovni (LP nájdm v var Y Y P. krok: Y? Vvorím si k zadanj difrniálnj rovnii (LP prisluhajúu difrniálnu rovniu (L.j. položím pravú sranu rovnú nul a pomoou harakrisikj rovni rišim rovniu r r r r ( r r Id o siuáiu kď D > pro všobné rišni má var r r Y.j. Y R sú ľubovoľné konšan.. krok: Clkové rišni nájdm v var ( ( W W kd ( ( vráam podľa vzťahov ( d ( d W W W W f ( W ( f ( ( ( d d W ( d W W u v d d d W u v ( ( ( d ( ( ( ( ( ( Y YP ( R 76
rafiká inrpráia rišnia.j. súsava ingrálnh krivik j na obr..5. Obr..5 Súsava ingrálnh krivik B Móda nurčiýh kofiinov (móda odhadu parikulárnho rišnia Táo móda sa používa na rišni linárnj difrniálnj rovni druhého rádu s konšannými kofiinmi so špiálnou pravou sranou. Dfiníia. Difrniálna rovnia a b f ( (LP sa nazýva linárna difrniálna rovnia druhého rádu s konšannými kofiinmi so f má var: špiálnou pravou sranou ak ( α f ( [ R( os β S( sin β] kd: R ( - j konkrén polnóm supňa r S ( - j konkrén polnóm supňa s α β sú konkrén čísla. Pri rišní linárnh difrniálnh rovní módou nurčiýh kofiinov j dôlžié z pravj sran vdiť určiť supň r polnómu R ( supň s polnómu S ( a čísla α β. Uvdim si príklad určovania ýho konšán. Príklad.9 Nh pravá srana má var f ( (. Určm α β r s. Rišni: α α pravá srana nobsahuj goniomrikú funkiu v prípad ž β prož os a sin výraz S ( na pravj sran nvsupuj lbo sin β sin a da s nurčujm r lbo R ( j polnóm prvého supňa. 77
Poznámka: - Ak f ( nobsahuj goniomrikú funkiu poom β - Ak f ( obsahuj goniomrikú funkiu poom β a plaí ž r s. Pr uľahčni určovania konšán r s sú v nasldujúj abuľk uvdné príklad polnómov daného supňa vo všobnom a v konkrénom var: polnóm konkrén všobný. supňa -5 A. supňa A B. supňa A B C. supňa A B C D Príklad. Uvdim si odhad konšán β difrniálnj rovni (LP v špiálnom var. f α β r s - nurčujm f ( ( α β ( 5 α β ( 5 α β r ( os α β ( sin α β ( [ os sin ] α ( [ os ( sin ] r s - nurčujm f 5 r s - nurčujm f s - nurčujm f r s f r s f f β r s α r s ak j daná pravá srana f ( α β r s Všobné rišni linárnj difrniálnj rovni druhého rádu s konšannými kofiinmi so špiálnou pravou sranou.j. rovni a b f ( (LP nájdm v var: Y Y P kd Y - j všobné rišni linárnj difrniálnj rovni s konšannými kofiinmi bz pravj sran (L a b (L Y p - j parikulárn rišni rovni (LP v var: Y P α k [ R ( β S ( sin β] os kd R ( - j všobný polnóm supňa r S ( - j všobný polnóm supňa s α β sú konkrén čísla. Tio polnóm určím módou nurčiýh kofiinov. 78
Poznámka: - Ak f ( nobsahuj goniomrikú funkiu poom ani v Y P nbud goniomriká funkia da β a parikulárn rišni má zjdnodušný var: α k ( YP R - Ak α ± iβ r r (čiž α iβ ± sa nrovná korňom harakrisikj rovni poom k v odhad Y P npíšm - Ak nasan rovnosť korňom harakrisikj rovni.j. α ± i β r rsp. r poom k v odhad Y P píšm k udáva násobnosť korňa r rsp. r harakrisikj rovni (L korá prislúha rovnii (LP. Príklad. Nájdi rišni linárnj difrniálnj rovni druhého rádu s konšannými kofiinmi 7 módou nurčiýh kofiinov. Rišni: Rišni hľadám v var Y YP.. krok: Y? Vvorím si k zadanj difrniálnj rovnii 7 (LP prisluhajúu difrniálnu rovniu (L.j. položím pravú sranu rovnú nul a pomoou harakrisikj rovni rišim rovniu 7 r 7r 7 ± 9 7 ± r r r 5 Id o siuáiu kď D > pro všobné rišni má var Y. krok: Y? 5 R p sú ľubovoľné konšan. r r Y.j. α k Y rišni nájdm v var Y [ R ( β S ( sin β] Parikulárn P P os. Z pravj sran f ( určim konšan α β r s : α β r s - nurčujm α ± iβ ± i r r k v odhad Y P npíšm. Určím Y P a vpočíam príslušné drivái dosadím do (LP a určím kofiin A. YP A Y A P P 9A 7A A Y 9A A A 6 Y P 6 Clkové rišni rovni má var: 5 Y Y P 6 : 79
Príklad. Nájdi rišni linárnj difrniálnj rovni druhého rádu s konšannými kofiinmi 5 5 5 módou nurčiýh kofiinov. Rišni: Rišni hľadám v var Y YP.. krok: Y? Vvorím si k zadanj difrniálnj rovnii 5 5 5 (LP prisluhajúu difrniálnu rovniu (L.j. položím pravú sranu rovnú nul a pomoou harakrisikj rovni rišim rovniu 5 r r 5 ± 6 ± ± i r ± i Id o siuáiu kď D < D.5 r ± i pro všobné rišni má var. krok: Y? p ( os.sin Y R. korn (ChR sú kompln združné čísla α k Parikulárn Y P rišni nájdm v var YP [ R ( osβ S( sin β] sran f ( 5 5 určim konšan α β r s : α β r s - nurčujm.. Z pravj Prož α ± iβ ± i r r k v odhad Y P npíšm. Odhadnm a vpočíam príslušné drivái poom dosadím do (LP a určím nznám kofiin. Y P A B C Y P A B Y P A ( A B 5( A B C 5 5 A A 8A B 5A 5B 5C 5 5 Porovnám kofiin pri rovnakýh monináh prmnnj : :5A 5 A : 8A 5B 5B B 8 : ( 8 5C 5 7 A B 5C 5 C Y P 8 7 Clkové rišni rovni má var: Y Y os sin P ( 8 7 Príklad. Nájdi rišni linárnj difrniálnj rovni druhého rádu s konšannými kofiinmi sin módou nurčiýh kofiinov. Rišni: Rišni hľadám v var Y YP.. krok: Y? Vvorím si k zadanj difrniálnj rovnii sin (LP Y P 8
prisluhajúu difrniálnu rovniu (L.j. položím pravú sranu rovnú nul a pomoou harakrisikj rovni rišim rovniu r r r ± i ± Id o siuáiu kď D < korn (ChR sú kompln združné čísla r i pro všobné rišni má var Y os sin R. krok: Y? p ± α k Parikulárn Y P rišni nájdm v var YP [ R ( osβ S( sin β] sran f ( sin určim konšan α β r s. Prož ( funkiu β a plaí ž r s da: α β r s. Z pravj f obsahuj goniomrikú Prož α ± i β ± i r r k v odhad Y P píšm k (prož k udáva násobnosť korňa r a n j jdnonásobný. Odhadnm Y P v var: Y P ( Aos Bsin Y P ( Asin B os ( Aos B sin Y P Aos Bsin Asin Bos Asin Bos Aos Bsin Asin Bos ( ( ( ( Po dosadní do pôvodnj rovni dosanm: ( Aos Bsin Asin Bos ( Aos Bsin sin Asin Bos sin Porovnám kofiin pri sin a os : sin : A A os : B B Y P os Clkové rišni rovni má var: Y YP os sin os rafiká inrpráia rišnia.j. súsava ingrálnh krivik j na obr..6. 8
Obr..6 Súsava ingrálnh krivik Príklad. Nájdi rišni linárnj difrniálnj rovni druhého rádu s konšannými kofiinmi módou nurčiýh kofiinov. Rišni: Rišni hľadám v var Y YP.. krok: Y? Vvorím si k zadanj difrniálnj rovnii (LP prisluhajúu homogénnu difrniálnu rovniu (L.j. položím pravú sranu rovnú nul a pomoou harakrisikj rovni rišim rovniu r r ( r r r r Id o siuáiu kď D > pro všobné rišni má var Y. krok: Y? R sú ľubovoľné konšan. p Parikulárn sran ( P f r r Y.j. α k Y rišni nájdm v var Y [ R ( β S ( sin β] P os. Z pravj určim konšan α β r s : α β r s - nurčujm α ± i β ± i r k v odhad k prož k udáva násobnosť korňa r a n j jdnonásobný. Odhadnm Y P v var: YP A A Y P A A 6 8 6 Y P A A A A A 9 9 Y P píšm 8
Po dosadní do pôvodnj rovni dosanm: 8 9 6 A A A A : 6 6 8 A A A A A A YP Clkové rišni rovni má var: Y YP Nrišné úloh Riš linárn difrniáln rovni pomoou harakrisikj rovni.. 7. 8.. 6 9.5 9.6.7.8 5.9......5 5.6 8.7 Riš difrniáln rovni módou variái konšán. 6 5.8 sin.9... 7 8..5.7 8. og.6.8 ln 8
Riš difrniáln rovni módou nurčiýh kofiinov..9 6. 6. 5. 6. 7 5. os.5.6 8.7 os.8.9... 5 6. 5 os. os sin Riš difrniáln rovni 6 f ( ak ( f sa rovná:.5 f (.6 f ( 6 8 7.7 f ( 5.8 f ( 5sin.9 f (.5 f ( 5sin Riš difrniáln rovni 7 f ( ak ( f sa rovná:.5 f ( ( 6 7.5 f ( 8 sin Riš difrniáln rovni 5 f ( ak ( f sa rovná:.5 f ( 5.5 f ( ( 6.55 f ( 5 5.56 f ( os Riš difrniáln rovni f ( ak ( f sa rovná: f 5.57 f (.58 (.59 f ( sin.6 f ( os Výsldk: 8
..5 5. os sin.6..7. 5.8.9. os sin. ( os sin. ( os sin...5 7 5 5 ( sin.6.7 os.8 os sin os sin ln sin.9...5 5 6.. 5 6 7 7. os sin sin ln g sin os 5.6 ( ln.7 ln arg ln.8.9 7 5. 6... 5 5 7 5. os sin.6 os sin os sin.5.7 (.8 ( sin.9.. os sin 6 os sin. ( os sin ( os sin. os sin os sin.5.6.7 os. (.8 os 5sin.5 os 7sin 5 os.5 ( sin.9 ( 5 5 5.5 (.5 ( os sin 5 os.56 ( os sin ( os sin.57 os sin.58 os sin ( 5.59 os sin os 5.6 os sin os.5 ( sin (.55 ( os sin 85
INTERÁLNY POČET FUNKCIÍ VIAC PREMENNÝCH. Dvojný ingrál Pripomňm si ingráln poč funki jdnj rálnj prmnnj f ( b. Pomoou určiého ingrálu S f ( d sm vpočíali obsah rovinného úvaru pod grafom funki ( a f na inrval a b. Dlním inrvalu a b dliaimi bodmi na n podinrvaloh ingráln súč s( d obr.. na inrval a... < <... < n < n b n sm mohli k zavdnému dlniu d zosrojiť dolný n i m i. i čo j súč plošnýh obsahov vpísanýh obdĺžnikov (viď a b a horný ingráln súč S( d M i. i korému odpovdá n súč plošnýh obsahov opísanýh obdĺžnikov na inrval a b. i Obr.. Horný a dolný ingráln súč Dosali sm ak ln približnú hodnou hľadaného obsahu S. Z obr.. j vidiť ž pri zjmnní dlnia (zhusni dliaih bodov da ak n S d rsp. s ( d via priblíži skuočnj hodno obsahu. Vpočíaním limi: s( d lim S( d S f ( n n b a i sa hodnoa ( lim d získam skuočnú hodnou obsahu čo vjadrujm pomoou určiého ingrálu. Určiý ingrál j špiálna limia. Uvažujm raz o funkii dvoh prmnnýh ( obdĺžnikovj oblasi M {[ ] E : a b d} a b d ploha ( f v a plohou ( f určnou rovniou z f ( f dfinovanj na dvojrozmrnj. raf funki f j E. Trojrozmrný úvar lso T ohraničné rovinou určnou rovniou z a rovinami s rovniami a b d nazvm zovšobnný kvádr určný funkiou f na oblasi M T z E : M z f {[ ] [ ] ( } 86
Obr.. Zovšobnný kvádr Ako vjadrím objm akéhoo zovšobnného kvádra? Budm posupovať podobn ako pri vjadrní obsahu rovinného úvaru. Rozdľm inrval a b pomoou dliaih bodov a < <... < k < k b a inrval d dliaimi bodmi < <... < h < h d. Tako vvorné dlni budm nazývať dlním D obdĺžnikovj oblasi M. Pomoou nho rozdlím oblasť M na n čiaskovýh n dliaih obdĺžnikov { M M...... } M i M n kd n k h. Zobrm si raz jdn z ýho obdĺžnikov napr. M i. Ak hraničnými bodmi oho T korý má obdĺžnika zosrojím rovnobžk s osou z dosanm zovšobnný kvádr i určiý objm označm ho V i. Ak obsah obdĺžnika M i označím M i ak pr objm oho jdného zovšobnného kvádra T i nad obdĺžnikom M i a pod plohou z f ( plaí: V f X. M i ( i i kd X i[ i i ] Mi a funkčná hodnoa f ( X i funki z f ( výšku zovšobnného kvádra T i. Ak no posup urobím pr každý obdĺžnik hodnou objmu lsa T v var n i f ( X i. M i v bod X i prdsavuj M i a objm spočíam dosanm približnú Pri zjmňovaní dlnia (.j. zvšujm poč dliaih obdĺžnikov da n sa objm sprsňuj a v limi pr n dosanm prsný výsldok. Too bol voľný opis uvďm si mamaiký popis. n Označm f ( X i M i S f ( Dn i pričom D { M M M... M } n. no vzťah vjadruj ingráln súč pr dlni D n... i n. 87
Zovšobnim raz dvojrozmrnú obdĺžnikovú oblasť M na mraľnú uzavrú oblasť E (mirou jo oblasi j jj obsah na korj j dfinovaná funkia z f (. D n {... i... n } sa nazýva dlni množin ak sú splnné podmink:. Množin... i... n sú aké ž... n. i j pr i j sa nprkrývajú. i j mraľná s mirou > mirou j jj obsah i. i j uzavrá oblasť.j. obsahuj všk svoj hraničné bod. Či j dlni hrubé albo jmné o nám vjadruj primr množin i čo j najväčšia možná vzdialnosť bodov danj množin. Primr j určný suprémom vškýh vzdialnosí ρ ( X Y kď X Y prbhn lú množinu i zapisujm o v var { ( X Y ; X Y } sup ρ. i i Ak dlni zjmňujm ak primr množín... n konvrguj k nul. Ak z podmnožín i zobrim ú korá má najväčší primr ak o nám bud udávať normu dlnia da ν ( D n ma{... n } D sa nazýva normálna posupnosť dlní na množin ak Posupnosť dlní { n } lim ν ( D. n n Dfiníia. (dvojného ingrálu Nh { D n } j ľubovoľná normálna posupnosť dlní uzavrj mraľnj oblasi E na čiaskové dlia mraľné oblasi i mirou ýho oblasí j i (obsah. Ak pr každú akúo normálnu posupnosť dlní { n } odpovdajúu posupnosť ingrálnh súčov S ( funki ( isuj končná limia lim S D n f ( n S f { } f D n ( Dn f ( X i n i. poom oo číslo nazývam dvojný ingrál funki ( smbolom i D a jj f na oblasi kd f na oblasi a označujm I lim S n f ( Dn f ( da da vjadruj obsah obdĺžnikov A ara ploha. Dvojný ingrál funki f ( > môžm gomrik inrprovať ako objm T z E : M z f. zovšobnného kvádra {[ ] [ ] ( } Vlasnosi dvojného ingrálu f f g g sú ingrovaľné na oblasi nh R j Nh ( ( ľubovoľné číslo. Nh množina { } j dlni oblasi. Poom 88
. ( f g da f da g da. f da f da. f da f da f da. Ak j f g na ak f da g da. Výpoč dvojného ingrálu pomoou dvojnásobného A Na dvojrozmrnom inrval Nh I a b d j dvojrozmrná obdĺžniková oblasť (dvojrozmrný inrval. Nh funkia z f ( j dfinovaná na I a j na I ingrovaľná (spojiá a ohraničná. Poom dvojný ingrál z funki f na dvojrozmrnom inrval I vpočíam pomoou dvojnásobného ingrálu.j. I f b ( da f ( dd f ( d d a d d b a Príklad. Vpočíaj dvojný ingrál funki dvoh prmnnýh f ( dvojrozmrnom inrval I {[ ] E : }. Rišni: I na ( dd ( d d d ( ( d (6 d ( d albo pri zámn poradia ingrovania: ( ( ( ( dd ( d d d ( d I ( Príklad. d ( ( 5 ( Vpočíaj dvojný ingrál funki dvoh prmnnýh f ( os os na dvojrozmrnom inrval I [ ] E :. 6 6 Rišni: 6 6 ( os os dd ( ( os os d d os d os d d I 89
6 6 6 [ sin ] os d (sin sin os d 8 6 d os d 6 6 [ sin ] sin 8 8 7 8 6 7 8 B Na lmnárnj oblasi Uzavrá mraľná oblasť na os rsp. lmnárna oblasť pu [ ] a b f( f ( kd f f( f ( pr všk a b. {[ ] E : a b f ( f ( } sa nazýva lmnárna oblasť normálna vzhľadom ak j ohraničná krivkami určnými rovniami f sú funki spojié na inrval a b a aké ž 7 Oblasť normálna vzhľadom na os j mraľná jj mira - obsah sa dá vjadriť nasldovn b a [ f ( f ( ]d Oblasť normálna vzhľadom na os môž mať rôzn var. Obr.. Normálna oblasť vzhľadom na os Analogik dfinujm oblasť normálnu vzhľadom na os : Uzavrá oblasť sa nazýva lmnárna oblasť normálna vzhľadom na os rsp. lmnárna oblasť pu [ ] ak j ohraničná krivkami určnými rovniami d g ( g ( ψ sú funki spojié na inrval d a aké ž kd ψ ( g ( {[ ] E : d g ( g ( } g pr všk d Oblasť normálna vzhľadom na os j mraľná jj mira - obsah sa dá vjadriť nasldovn d [ g ( g ( ]d 9
Obr.. Normálna oblasť vzhľadom na os Z dfiníi normálnh oblasí vplýva ž každá priamka rovnobžná s osou rsp. s osou prn hraniu jo oblasi najvia v dvoh bodoh. Ak j funkia spojiá na normálnj oblasi poom sa jj dvojný ingrál na jo oblasi dá vpočíať pomoou dvoh za sbou nasldujúih ingrovaní funkií jdnj prmnnj ako dvojnásobný ingrál hovorí o om Fubiniho va. Dfiníia. (Fubiniho va Nh j funkia f dvoh prmnnýh spojiá na lmnárnj oblasi pu [ ] {[ ] E : a b f ( f ( } rsp. oblasi pu [ ] {[ ] E : d g ( g ( } Poom plaí rsp. f b ( ( da f ( a f f ( d d f d ( ( da f ( g g ( d d Poznámka: Pri počíaní dvojnýh ingrálov na lmnárnj oblasi j dôlžié si danú oblasť vžd znázorniť - ln poom vim správn určiť hrani dvojného ingrálu. Pri dvojnásobnom ingráli najskôr počíam vnúorný ingrál s prmnnými haraniami až poom vonkajší ingrál s konšannými hraniami. Poradi ingrovania na lmnárnj oblasi j porbné vžd voliť ak ab hrani vonkajšiho ingrálu boli konšanné! T.j. korá prmnná j popísaná ssémom nrovnosí kd sú ln konšan podľa j prmnnj budm ingrovať nakoni. Ab sm výpoč zjdnodušili časo pri výpočoh vužívam zámnu poradia ingrovania. 9
Príklad. Vpočíaj dvojný ingrál funki dvoh prmnnýh f ( korá j ohraničná krivkami:. Rišni: Hrani dvojného ingrálu získam z popisu oblasi. V rovin zadané krivk. Sú o priamk vmdzujú v rovin rojuholníka viď. Obr..5. na oblasi O znázorním O oblasť korá má var Obr..5 Oblasť popíšm ssémom nrovnosí. Vjadrím ju ako oblasť pu : Vjadrni z oblasť pu : Môžm zapísať: E : {[ ] } Vužijm vjadrni pu : 8 da dd d ( d Príklad. Vpočíaj dvojný ingrál funki f ( ohraničnj krivkami:. na lmnárnj oblasi Rišni: Načrnm lmnárnu oblasť v karézskom súradniovom ssém v rovin O. Ako vidím na obr..6 dané krivk ohraničujú a uzavárajú v rovin oblasť korá má var krivočiarho rojuholníka. Ak danú oblasť popíšm ako oblasť pu oblasť sa rozloží na dv lmnárn oblasi a. Ih zjdnoním vzniká lá oblasť.j. Obr..6 Elmnárna oblasť Pri zámn poradia ingrovania sa oblasť popíš ako oblasť pu na popis sačí jdn ssém nrovnosí. 9
9 Výpoč z popis oblasi ako oblasi pu : ( ( 5. 5 5. 5 5 5 d d d d d d d d da Ak oblasť popíšm ako oblasť pu.j. zamním poradi ingrovania výpoč dvojného ingrálu bud jdnoduhší: ( ( 8 5 5 8 5 8 5 8 7 6 d d d d d da. omriké a fzikáln aplikái dvojnýh ingrálov Pri aplikáiáh dvojného ingrálu vužívam najmä gomriký význam dvojného ingrálu nahádza uplanni pri výpoč objmov valovýh lis pri výpoč plošného obsahu krivj ploh a jj hmo ako aj pri výpoč saikýh momnov a súradní ťažiska rovinného úvaru. Pri výpoč dvojného ingrálu v pravouhlýh súradniiah id o výpoč číslnj hodno korá rprznuj vľkosť objmu valového lsa určného zadaním. Obsah rovinnýh úvarov Nh j lmnárna oblasť v E. Poom pr jj obsah S plaí: d d da S Plošné obsah rovinnýh úvarov sm počíali už aj pomoou určiého ingrálu avšak dvojný ingrál j všobnjší a umožňuj nám via fkívnjšíh výpočov. Objm lsa Pomoou dvojného ingrálu vim vpočíať objm V nikorýh lis konkrén lsa zosrojného v E nad lmnárnou oblasťou koré j ohraničné zdola rovinou z zhora plohou ( f z a z bokov valovou plohou korá v rovin z vína oblasť. Takéo lso sa nazýva valové lso a pr jho objm V plaí: ( da f V Fzikáln aplikái Nh A j lmnárna rovinná oblasť v E. Nh ( ρ j funkia vjadrujúa plošnú husou hmonosi mariálu rovinnj oblasi A v jj ľubovoľnom bod. Poom hmonosť
saiké momn a súradni ťažiska jo hmonj rovinnj oblasi vim vpočíať z dvojný ingrál pomoou nasldujúih vzťahov. Hmonosť rovinnj oblasi A ( M ρ Saiké momn rovinnj hmonj oblasi vzhľadom na súradniové osi rsp. ρ ( j funkia vjadrujúa plošnú husou rovinnj oblasi A da S ρ ( da S ρ ( da A A Ťažisko rovinnj hmonj oblasi [ ] T T T S T M T S M Príklad.5 Pomoou dvojného ingrálu vpočíaj obsah rovinného úvaru ohraničného grafmi funkií. Rišni: Načrnm lmnárnu oblasť v rovin O a popíšm ju ssémom nrovnosí ako oblasť pu rsp.. Oblasť j znázornná na Obr..7. Ako vidím oblasť má var krivočiarho rojuholníka v smr osi j vmdzná priamkami a v smr osi j vmdzná grafmi funkií a. Obr..7 Elmnárna oblasť Výhodnjši j úo oblasť popísať ako oblasť pu prož na popis oblasi sačí jdn ssém nrovnosí. Ak hm zamniť poradi ingrovania popíšm oblasť ako oblasť pu. Oblasť sa rozdlí na dv časi na popis rba dva ssém nrovnosí: ln ln Výpoč obsahu rovinného úvaru sa zjdnoduší a skrái ak vužijm S da d d 866. Obsah j približn 86 [ ] d ( d [ ]. j prsn j. 9
Príklad.6 Vpočíajm objm prisorového lsa ohraničného plohami z 6 z. Rišni: Z gomrikého hľadiska mám vpočíať objm časi kolmého rojbokého hranola ohraničného z bočnýh srán rovinami zdola rovinou z a zhora zrzaného rovinou z 6 pozri Obr..8. Kďž lso j ohraničné zdola rovinou z a zhora plohou z f ( 6 vim jho objm vpočíať pomoou dvojného ingrálu. Hrani dvojného ingrálu vmdzuj v pôdorsni O lmnárna oblasť K korá vorí spodnú podsavu hranola a j určná ako prisčnia zadanýh plôh s rovinou z.j. j vmdzná krivkami viď. Obr..9. Obr..8 Ploh určujú rojboký hranol Ak dám krivk a bod krivik. Oblasť K j výhodné popísať ako oblasť pu K K Pr výpoč objmu oho lsa plaí: Obr..9 Elmnárna oblasť K do rovnosi zíkam prisčník [ ] K. V f K j o spoločný ( da ( (6 d d 6 d 6( ( ( 6 ( 6 d ( 8 d 8 j Príklad.7 Vpočíajm súradni ťažiska homogénnj hmonj oblasi D (s jdnokovou plošnou husoou ρ ( ohraničnj krivkami. Rišni: Oblasť j znázornná na Obr... Id o fzikálnu aplikáiu dvojného ingrálu mám vpočíať hmonosť M saiké momn a S S ako aj súradni ťažiska T. 95
Obr.. Hmoná oblasť Určím prisčník krivik dám krivk do rovnosi: f g.j.. Získam rovniu a určím korn. Výhodnjši j úo oblasť popísať ssémom nrovnosí ako oblasť pu D popis danj oblasi j: D Id o osovo súmrnú hmonú oblasť pro ťažisko lží na osi súmrnosi.j. osi. Z oho vplýva ž súradnia T ťažiska T [ T T ] j rovná nul. Vpočíam hmonosť parabolikého odsku: M D ρ ( da ( d d Výpoč saikého momnu S : ( d 96 (8 8 8 ( 8 5 8 S dd ( d d ( (8 8 6 d d D 5 S Výpoč saikého momnu S (aj kď vim ž bud rovný nul lbo T. M S D da ( d d 6 6 T T T dosanm: ([ ] d ( d (8 (8 Vpočíané výsldk dosadím do vzorov pr súradni ťažiska [ ] 8 S S T 5 8 M M 5 5 5 Daný paraboliký odsk má ťažisko T 5.. Trojný ingrál T. Trojný ingrál j v isom zmsl analógiou dvojného ingrálu. Rozdil mdzi nimi spočíva najmä v om ž dvojný ingrál sa vzťahuj na funkiu f ( dvoh prmnnýh rojný ingrál sa vzťahuj na funkiu f ( z roh prmnnýh. Dvojným ingrálom ingrujm z dvojrozmrnú oblasť rojným ingrálom ingrujm z rojrozmrnú oblasť T. Pro si pojm rojného ingrálu zavdim sručn. f z j funkia roh prmnnýh dfinovaná na rojrozmrnj oblasi Nh ( {[ z] E : a b d z f } T T a b d f
Podobn ako pri zavdní a urční dvojného ingrálu môžm zavisť dlni rojrozmrnj oblasi T a dfinovať ingráln súč funki roh prmnnýh f na oblasi T. Nh f ( z j funkia roh prmnnýh v njakj oblasi T. Ak danú oblasť rozdlím na dilči oblasi T T... Tn poom limiu súču prisorovýh objmov Vi n nazývam rojným ingrálom funki f ( z v oblasi T. Trojný ingrál isuj ak isuj končná limia ingrálnh súčov pr každú normálnu posupnosť dlní rojrozmrnj oblasi T. Trojný ingrál označujm smbolom f ( z dv f ( z d d dz T T a funkiu f nazývam ingrovaľnou na oblasit. Pr rojný ingrál analogik plaia i isé vlasnosi ako pr dvojný ingrál..5 Výpoč rojného ingrálu pomoou rojnásobného A Na rojrozmrnom inrval Nh I a b d f j rojrozmrná uzavrá oblasť (rojrozmrný inrval. Nh funkia f ( z j dfinovaná a ingrovaľná na I (.j. spojiá a ohraničná. Poom rojný ingrál z funki f na rojrozmrnom inrval I vpočíam pomoou rojnásobného ingrálu.j. Príklad.8 I f b ( z dv f ( z dzd d Vpočíaj rojný ingrál funki f ( z z I rsp. M {[ z] E : z } a d f roh prmnnýh na oblasi Rišni: Trojrozmrný inrval z gomrikého hľadiska j kvádr. ( ( z z dv z dz d d z z I 6 dd d [ ] dd dd d B Na lmnárnj oblasi v E Nh j uzavrá lmnárna oblasť pu [ z] z E akýh ž bodov [ ] z a b ( ( ( z z (.j. j množina vškýh 97
98 da [ ] ( ( ( ( { } z z z b a E z : Poom : ( ( ( ( ( ( d d dz z f d d dz z f b a z z Príklad.9 Vpočíaj dv z ak j oblasť ohraničná guľovou plohou z a rovinami z.j. v. okan. Rišni: Id o rojrozmrnú oblasť čo j jdna osmina guľovj ploh viď Obr... Obr.. uľová ploha v. okan Vpočíam rojný ingrál danj oblasi: Oblasť môžm zadfinovať ako oblasť pu a popíšm ju nrovnosťami: z d d z d d z dz z d d dz ( ( d d d d ( ( ( 8 5 d d d.6 omriké a fzikáln aplikái rojného ingrálu Nh j uzavrá lmnárna oblasť v E Poom pr objm jo oblasi plaí: Objm lis ( dz d d V V
Ak id o oblasť pu [ z].j. j množina vškýh bodov [ z] E ž {[ z] E : a b ( ( z ( z z ( } akýh pr objm plaí: V V ( d d dz b a ( ( z z ( ( dz d d Fzikáln aplikái Nh j uzavrá lmnárna oblasť v E ρ ( z j funkia vjadrujúa prisorovú husou hmonosi mariálu prisorovj oblasi v E v jj ľubovoľnom bod. Poom pr hmonosť M saiké momn S Hmonosť lsa (prisorovj oblasi S z S z a pr ťažisko T prisorového lsa plaí: ( ρ ( z dv ρ( z M d d dz Saiké momn lsa vzhľadom na súradniové rovin z z ( z S z ρ dv S ρ ( zdv S ρ ( zdv z z Ťažisko prisorového lsa [ z ] T T T T S z T M ( Sz T M ( z T S M (.7 Transformái dvojnýh a rojnýh ingrálov V nikorýh prípadoh sa výpoč v polárnh lindrikýh či sférikýh súradniiah zjdnodušujú pro sa vužívajú nasldujú ransformái. A Transformáia do polárnh súradní * * Nh K E j uzavrá mraľná oblasť a zobrazni Φ : K E určné rovniami ϕ u v ψ ( ( u v * * j prosé zobrazni lmnárnj oblasi E K Φ K. Nh funki ϕ ( uv ψ ( uv majú prvé pariáln drivái podľa oboh prmnnýh pr koré plaí ž Jaobiho funkionáln drminan zobraznia Φ (sručn Jaobián j rôzn od nul.j. K na oblasť K.j. ( ϕ u J ψ u ϕ v. ψ Poom pr ransformáiu prmnnýh do dvojného ingrálu plaí: v 99
* K f ( dd f ( ϕ ( u v ψ ( u v. J dudv K Nh P j zvolný pvný bod rovin. Polpriamka o so začiaočným bodom P a oáčani v kladnom smr okolo bodu P určujú polárnu súradniovú súsavu v rovin ( Poϕ. Bod P sa nazýva pól začiaok súradniovj súsav polpriamka o j polárna os jo súsav. Obr.. Polárna súradniová súsava. ρ PM j vzdialnosť bodu M od pólu P ϕ o PM j vľkosť kladn. ( orinovaného uhla s vrholom v pól P Usporiadaná dvojia rálnh čísl ( ϕ ρ vorí polárn súradni bodu číslo ρ sa nazýva modul číslo ϕ [ sa nazýva polárn uhol. Každému bodu M rovin j priradná dvojia rálnh čísl M ( ρϕ korýh gomriká inrpráia j zrjmá z obr.. a.. Nh sú v rovin E dané dv O Poϕ. súradniové súsav karziánska súsava ( a polárna súsava ( Vzťah mdzi súradniami bodu M určujú ransformačné rovni: ρ osϕ ρ sinϕ ρ ϕ Obr.. Vzťah mdzi polárnmi a karziánskmi súradniami bodu Pr Jaobián polárnho zobraznia plaí: J osϕ ρ ϕ ( ϕ ρ ρ ρ ϕ sinϕ ρ sinϕ ρ osϕ Pr výpoč dvojného ingrá pomoou ransformái do polárnh súradní plaí vzťah: K f ( dd f ( ρ osϕ ρ sinϕ. ρ dρ dϕ * K Príklad. Pomoou ransformái do polárnh súradní nájdi obsah časi rovin ohraničnj krivkami: 8 (. Rišni: Znázornim lmnárnu oblasť v rovin O. Ako vidím na obr.. dané krivk ohraničujú a uzavárajú v rovin oblasť korá má var kruhového výsku. Použijm
ransformačné ronvni ρ osϕ ρ sinϕ a Jaobián J ρ. Vjadrím kružniu v polárnh súradniiah určím zmnu uhla ϕ a dĺžk ρ. 8 V karézskh súradniiah b sm danú oblasť popísali z zjdnoni dvoh podoblasí. Pri použií polárnh súradní * sa výpoč sa zjdnoduší. Aplikujm ransformačné rovni na kružniu 8 dosanm: ρ os ϕ ρ sin ϕ 8 ρ 8 ρ j rovnia kružni v polárnh súradniiah. Popis rovinného úvaru v polárnh súradniiah má jdnoduhší var: Obr.. Ingračná oblasť * ϕ ρ Zmnu uhla ϕ zisím ak použijm ransformačné rovni na dané priamk. ρ sin ϕ ρ osϕ : ρ osϕ ρ sin ϕ ρ osϕ : ρ osϕ gϕ ϕ g ϕ ϕ Transformovaná oblasť v polárnh súradnihiah má var obdĺžnika. ρ S d d ρ dρ dϕ ( ρ dρ dϕ dϕ * d Príklad. Vpočíaj dvojný ingrál funki f ( [ ] E 9 { } ϕ [ ϕ ] : použiím vhodnj ransformái. na množin Rišni: Ingračná oblasť j časť mdzikružia lžiaa v prvom a druhom kvadran. Použiím ransformái do polárnh súradní dosanm iné vjadrni kružní: ( os ϕ sin ϕ ρ ρ os ϕ ρ sin ϕ ρ Kružnia bud mať v polárnh súradniiah var ρ ρ. Kružnia bud mať v polárnh súradniiah var ρ ρ. Ďalj plaí: f ( ρ. Popis oblasi v polárnh súradniiah: ϕ ρ 9. Jakobián j J ρ. Vpočíam ingrál:
ρ ρ ρ dρ d ρ 9 ρ ρ d d ρ dρ dϕ ( ρ dρ dϕ ( d dϕ * [ ] d ( d ( [ ] ( ( ( 9 9 9 9 9 ϕ ϕ ϕ B Transformáia do lindrikýh súradní Nh v rovin j určná polárna súradniová súsava ( Poϕ rovin. Bodom P nh prhádza priamka p kolmo na rovinu p. Rovina s polárnou súradniovou súsavou a priamka p voria lindrikú súradniovú súsavu ( P o ϕ p Polpriamka o a priamka p sú súradniové osi jo súsav bod P sa nazýva pól začiaok lindrikj súradniovj súsav. Vzťah mdzi pravouhlými súradniami ( z a lindrikými súradniami ( ρ ϕ z ľubovoľného bodu M (obr..5 j daný rovniami: 9 ρ osϕ ρ sinϕ z z ρ ϕ z Obr..5 Clindriká súradniová súsava Usporiadaná rojia rálnh čísl ( ϕ z ρ vorí lindriké súradni bodu číslo ρ sa nazýva modul číslo ϕ sa nazýva polárn uhol z j výška bodu nad rovinou. Rovina j oožná so súradniovou rovinou karézskj súradniovj súsav ( O z. Os p lindrikj súradniovj súsav ( P o ϕ p j oožná so súradniovou osou z karézskj O z. súradniovj súsav ( Pr Jaobián lindrikého zobraznia plaí osϕ ρ sinϕ J ( ρ ϕ z sinϕ ρ osϕ ρ os ϕ ρ sin ϕ ρ * Ak j uzavrá mraľná oblasť a funkia f roh prmnnýh j spojiá na Φ( ak poom pr ransformáiu rojného ingrálu plaí: f ( z d d dz ( ρ osϕ ρ sinϕ z ρ dρ dϕ dz *
Príklad. Pomoou ransformái do lindrikýh súradní vpočíaj objm lsa koré j ohraničné plohami s rovniami z z. Rišni: Id o roačný paraboloid a rovinu koré sa prínajú v kružnii. Kolmým primom lsa do rovin z dosanm oblasť v rovin ohraničnú kružniou. Danú oblasť (.j. lso môžm popísať ssémom nrovnosí v karézskh súradniiah: z Obr..6 Tlso ohraničné parabolikou plohou a rovinou Popis lsa v lindrikýh súradniiah: ρ ϕ ρ z Pr Jaobián plaí: J ρ Ingračná oblasť j množina bodov prisoru : {[ z] E : } z Po použií ransformačnýh rovní pr ransformáiu do lindrikýh súradni: ρ sinϕ z z J ρ dosanm popis oblasi v lindrikýh súradniiah: ρ * {[ ρ ϕ z] E : ρ ϕ ρ } z ρ ( ρ dϕ dρ ( ρ ρ [ ϕ] V dddz ρ dρ dϕ dz ρ dz dϕ dρ ρ * ρ ρ osϕ C Transformáia do sférikýh súradní v prisor Pr Jaobián sférikého zobraznia plaí J ρ osϑ. Vzťah mdzi pravouhlými z ρ ϕ ϑ ľubovoľného bodu j daný rovniami súradniami ( a sférikými súradniami ( ρ osϕ osϑ ρ sinϕ osϑ z ρ sinϑ ρ ϕ ϑ