Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a

Prepis

1 Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9 a+ b 7 a+ b 7 ( ) ( ) ( ) Výsledok: Budú vyhovovať nasledujúce dvojice čísiel: ab,, 6,, 5,,, 6,, 5,,,. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 90. Mama upiekla Sofii narodeninovú tortu. Sofia pozvala troch kamarátov na oslavu. Koľko kusov torty zjedli Sofiine kamarátky, keď každá zjedla z polovice torty. Torta bola nakrájaná na kusov. je 6 dielov. zo 6 dielov sú diely. Každá kamarátka zjedla diely )) Komentár Príklad je jednoduchý. Dôležité je uvedomiť si, že nemuseli zjesť celú tortu. 9. O koľko je dĺžka opísanej kružnice väčšia ako dĺžka vpísanej kružnice do štvorca s dĺžkou uhlopriečky 50. Výsledok zaokrúhlite na celé čísla.

2 00. kapitola Táto hodnota by zodpovedala priemernej dĺžke života muža na Slovensku. Môžete vyskúšať vypočítať, koľko ľudí by sa mohlo zmestiť na povrch zemegule, keď by na jedného človeka pripadalo 000 m. Možno budete prekvapený i vo vzťahu k súčasnej emigračnej kríze. Poznámka na záver: Naša číselná sústava prešla dlhým historickým vývojom a svoje korene má v Indii a v Saudskej Arábii. Svoje miesto má aj šesťdesiatkový základ z čias ešte 000 rokov pred Kr., napr. minúta má 60 sekúnd, hodina má 60 minút, pravý uhol má 90. Zaujímavé čísla sú tzv. dokonalé čísla. Súčet deliteľov dokonalého čísla sa rovná tomuto číslu. Prvé dokonalé číslo je číslo 6. Jeho delitele sú,, a ich súčet je 6 (pozn. za 6 dní bol stvorený svet). Ďalšie dokonalé číslo je číslo 8. Jeho delitele sú,,, 7 a a ich súčet je 8. Nasledujúcim dokonalým číslom je číslo 96. Jeho delitele sú,,, 8, 6,, 6,, 8 a ich súčet sa rovná 96. Ďalšie dokonalé číslo je už veľmi veľké. Ďalej pri práci s číslami, najmä pri práci so zlomkami, si uvedomujeme, že sa ľahšie násobia ako spočítavajú. Pri násobení jednoducho násobíme čitateľa čitateľom a delíme tento súčin násobkom menovateľov. Pri sčítaní musíme najskôr určiť spoločného menovateľa. Ďalšie pravidlo hovorí, že ak máme čísla, y a zoberieme všetky prvočísla, ktoré sa nachádzajú v rozklade aspoň jedného z nich a označíme ich p, p,... p k, potom platí: ( ) y p p p k k, v v v Príklad Vypočítajte rozdiel Prvočísla sú, 7,. Teda píšeme: Preto platí: v, v, v Potom: a uveďte do základného tvaru. 8 [ ] , je prvočíslo, t. z., že zlomok je v základnom tvare. Takto podobne by sme mohli uvádzať ďalšie a ďalšie pravidlá a poznatky pri práci s číslami.

3 50. kapitola )) Komentár Z vareného mäsa varíme porcie pre hostí, kde každá porcia má stanovenú svoju hmotnosť. Týmto príkladom, ktorý nám dáva určitý vzťah (,5a) riešime potrebu množstva čerstvého mäsa. 57. Cena tovaru sa najprv zvýšila o 0 % a následne sa znížila o 0 %. Dokážte, že sa pôvodná cena zníži o %. Pôvodná cena... 0 % 0 00 Nová cena po zvýšení pôvodnej ceny Z tejto novej ceny počítame zníženie o 0 %, t. j. o Odpočítame a dostaneme: % Výsledok: Výsledok dokazuje zadanie príkladu. )) Komentár Ide o všeobecný príklad, ktorý môže byť modifikovaný rôznymi spôsobmi. 58. Pracovník dostal na začiatku plat, ktorý sa mu po prvom roku zvýšil o 5 % a v ďalšom roku sa následne znížil o 5 %. Vypočítajte, aký bol stav platu pracovníka oproti pôvodnému stavu. Pôvodný plat... 5 Zvýšenie o 5 % Plat po prvom roku

4 96. kapitola 57. Vypočítajte najväčšieho spoločného deliteľa čísiel 080, 70,. Máme vypočítať D ( 080, 70, ). Na výpočet použijeme túto vetu: ak abck,,, 0 a, y sú prvky oboru M s najväčším spoločným deliteľom a ak a k, b ky, potom: Dab (, ) k D(, y) Dabc (,, ) D Dab (, ) c Najskôr vypočítame: D( 080, 70) 0 D( 08, 7) 0 D( 7, 8) 0 9D(, ) 60D(, ) , 70, 60, 8 5, , Ďalej: D D( ) D( ) D( ) D( ) Potom: D ( 080, 70, ) 7. Výsledok: Najväčší spoločný deliteľ je Vypočítajte najmenší spoločný násobok čísiel 080, 70 a. Máme vypočítať n ( 080, 70, ). Na výpočet použijeme vzťahy (a, b, c sú prirodzené čísla): nab (, ) Dab (, ) ab nabc (,, ) nnab (, ), c n( 080, 70) D 080, 70 Vypočítame: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 080, 70) 60 D 080, 70 0 D 08, 7 0 D 7, 8 0 9D, 60 n 60 n( 080, 70, ) n n( 080, 70 ), n( 60, ) n( 5, ) 5 60 Výsledok: Najmenší spoločný násobok čísiel ( 080, 70, ) je 60.

5 6 8. kapitola v 60 m/min. Š ,7 m 5 5 Ďalej platí:,7 m v 50 m v 50 v,7 v 50v,7v 50 60,7v 000 v 67, m/min.,7 Výsledok: Šírka rieky je,7 m, rýchlosť prúdu je 67, m/min. 50 m + (/). Koľko hmotnostných dielov 8 % a 5 % roztoku treba na namiešanie 76 % roztoku? Máme hmotnostných dielov 8 % roztoku Máme y hmotnostných dielov 5 % roztoku Dostávame ( + y) hmotnostných dielov 76 % roztoku. 8 V dieloch 8 % roztoku je dielov rozpustnej látky. 00 y 5 V y dieloch 5 % roztoku je dielov rozpustnej látky. 00 V ( + y) dieloch je 76 % roztoku je ( + y ) 76 dielov rozpustnej látky. 00 Zostavíme rovnicu: 8 y 5 ( + y) 76 + / y 5 ( + y) y y y 5 y 6 y y 6

6 9 8. kapitola Údaj, s ktorým nebolo počítané, predstavuje hodnotu množstva citrónov, a to je údaj 5. Výsledok: V predajni BIO nebola vyložená prepravka, v ktorej bolo 5 kg citrónov. 97. Dokážte, že v ovocnom sade tvaru obdĺžnika s rozmermi 5 m nie je možné vysadiť 50 stromov, ak chceme dodržať zásadu, že každé dva stromy sú od seba vzdialené aspoň m. 5 m m Rozdelíme si plochu na rovnaké časti, v každej časti je jeden strom, strana každej časti môže mať veľkosť z intervalu (5; ). Hodnotu budeme deliť číslami, od,6 po,9, pričom vieme, že musíme mať celočíselný počet stromov, teda celočíselný deliteľ dostaneme po delení, resp.,: : :, 0 Veľkosť strany časti teda môže byť m, resp., m. Pri strane dĺžky m dostaneme v smere 5 m, 5 : m, t. j. stromov a m chýba, resp., 5,, 0 cm presahuje, čo je výhodnejšie. Plochu teda rozdelíme na časti so stranou, m, teda,,. Celkový obsah obdĺžnika je m. Potom 050 :, 8. Čiže keby sme vysadili do sadu 50 stromčekov, aspoň v jednom úseku (jednej časti, štvorci) by boli stromčeky., +, (, ),,, Výsledok: Uhlopriečka so stranou, m je, <, a tak aspoň dva stromčeky z jednej časti (štvorca) sú bližšie k sebe ako m.

7 Geometria ostrého uhla, geometrické útvary v rovine a v priestore Objem valca r v, 5 0, cm Objem kužeľa 0, 55 9 cm Objem kužeľa: V r v 9, 5 v 86, 5 v v? 86 v 5, v 6 cm Výsledok: Výška kužeľa je 6 cm.. d 0 cm v 0 cm Do gule s polomerom r je vpísaný samostatný valec. Určte povrch a objem valca. Povrch gule: S r Objem gule: V r Polomer podstavy vpísaného valca nech je. Výška valca je. Z trojuholníka ABC platí: ( r) ( ) + ( ) r + r 8 r r r r Povrch valca je: S + r r r S + r r r S + S r + r r r r Objem valca je: V r r V r V r Výsledok: Povrch valca je r a objem valca je D A. r C B

8 9 9. kapitola Rez je pravidelný šesťuholník. Všeobecný vzorec pre pravidelný šesťuholník je: S r6 D C Vypočítame KL, t. j. r 6 : a a KL + A B M a a a a KL + a D C a a a a KL L A K a B Dosadíme do vzorca: S KL a S a a a Výsledok: Hľadaný obsah je. )) Komentár Obsah pravidelného osemuholníka je S r Nad polomerom kružnice sú zostrojené ďalšie dve pol kružnice. Určte polomer kružnice, ktorá sa dotýka všetkých troch pol kružníc. Označíme si: AC r r BC Polomer hľadanej kružnice si označíme DE. Platí: CD CE r V pravouhlom trojuholníku BCD platí: BD BC + CD r r + + ( r ) r r r r r + r r + r + + r r + E D r A C r B

9 0. kapitola To isté bude platiť pre tzv. stromy. Pravdepodobnosť výsledku, ktorý je na danej vetve stromu, sa rovná súčinu pravdepodobnosti, ktoré zodpovedajú všetkým cestám v danej vetve. Pri pravidle sčítavania platí, že keď ide k danému cieľu viac samostatných ciest, dosiahnutie daného cieľa sa rovná súčinu pravdepodobnosti prechodu každou z jednotlivých ciest. 76. Hodíme kockou, ktorej schéma je na obrázku. Všetky výsledky sú rovnako možné. Kódujte počet bodiek, ktoré sa objavia na hornej stene. Určte ich pravdepodobnosť. Množina všetkých možností padnutia bodov, ktoré sa objavia na hornej strane kocky. Množina je Ω {,,,, 5, 6}. Potom P( ) P( ) P( ) P( ) P( 5) P( 6) 6 Porovnáme teraz s prípadom, že by išlo o ruletu podľa obrázka: Roztočíme ruletu a budeme sledovať, na ktoré čísla ukáže šípka. Keď výsledky zakódujeme, a keďže z tvaru rulety vyplýva, že každý výsledok má rovnakú šancu, dostaneme Ω {,,,, 5, 6}. Potom P( ) P( ) P( ) P( ) P( 5) P( 6) 6 Vidíme, že kocka aj ruleta sa správajú rovnako )) Komentár Jedným z dôležitých poznatkov týchto riešení je to, že niektoré náhodné pokusy možno nahradiť inými. Takisto určité pokusy možno simulovať inými pokusmi. 77. Predstavme si malú ruletu, ktorá umožňuje vybrať, 6 alebo. Hráč si chce zahrať 6-krát. Koľko môže vyhrať celkom a koľko v jednej hre? Označíme si výhier v jednej hre. Obrázok určuje rozloženie náhodnej veličiny. 6 Podľa obrázku v polovici prípadov, t. j. v 8, počítame s výhrou, v tretine prípadov, t. j. v prípadoch, počítame s výhrou 6, v 6 prípadoch počítame s výhrou. 6

10 Zhrnutie získaných poznatkov z pri výpočte druhých mocnín čísiel môžeme použiť vzťah ( z + d ) z + zd + d z ( z + zd ) + d, resp. ( ) ( ) z platí A ( A d) A ( A d) d A z d z z zd + d + +, pričom d môže byť ľubovoľné číslo a + b z ak a < b, tak platí a < < b z keď ( n + ) je deliteľné 5, potom n nie je deliteľné 5 z pre všetky kladné celé čísla n platí: súčet n + n je deliteľný dvoma z pre všetky kladné celé čísla n platí: n je deliteľné troma z pre všetky kladné celé čísla platí n > n z keď je číslo a medzi kladnými číslami b, c, potom a je medzi, b c z keď je súčin a b deliteľný číslom c, potom aspoň jeden z činiteľov je deliteľný číslom c z u I, kde u je množstvo účinnej látky, a je podiel účinnej látky (dôležité napr. a pre zdravotné sestry pri podávaní injekčných roztokov) z vzťah medzi m/s a y km/hod. je m/s,6 km/hod. z pri výpočte premennej rýchlosti medzi dvoma mestami tam a späť sa použije vzťah v v p ; vzťah sa používa vtedy, keď medzi v a v je určitý pomer + v v z cena tovaru sa najskôr z pôvodnej ceny zvýšila o 0 %, potom sa znížila o 0 %; výpočtom zistíme, že pôvodná cena sa zníži o % z strata na materiáli pri výrobe hotového výrobku z hľadiska výrobku je p ( H ) 00 p %, kde p je strata z hmotnosti suroviny 00 p z vzťah medzi yardom a metrom je y 0,9 m z vzťah na výpočet, koľko % tvorí prirážka z veľkoobchodnej ceny, je p ( V ) 00 p ( 00 + p), kde p je prirážka k výrobnej cene z pre množstvo vareného a surového mäsa platí vzťah yr,5 s