1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ

Veľkosť: px
Začať zobrazovať zo stránky:

Download "1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ"

Prepis

1 Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integrály vypoµcítajte pomocou základných pravidiel derivovania d p 3 p d 3 d e a d + cos d sin d Metódou per partes vypoµcítajte integrály arctg d e sin d Vypoµcítajte integrály e p d 0... p 0 arcsin p + d e +0 e e +5 d 3p + 6p 5 d 3. 0 cos sin +sin 6 d 4. Vypoµcítajte plošný obsah rovinnej oblasti ohraniµcenej µciarami (Naµcrtnite obrázok) y = ln ; = ; = ; o

2 5. Vypoµcítajte plošný obsah rovinnej oblasti ohraniµcenej µciarami (Naµcrtnite obrázok) y = 7 +9 ; y = 6 Vypoµcítajte integrály z racionálnych funkcií d d 6 3 (4 +4+7) d d 0. Vypoµcítajte integrál (najskôr substitúcia, potom racionálna funkcia ) e +0 e e +5 d. Vypoµcítajte integrál (najskôr substitúcia, potom racionálna funkcia ) q + d. Vypoµcítajte integrál (Eulerova substitúcia) p d 3. Vypoµcítajte integrál (doplnenie na vhodný tvar, alebo Eulerova substitúcia) p d Vypoµcítajte integrál (doplnenie na vhodný tvar, alebo Eulerova substitúcia) p3 d 5. Vypoµcítajte integrál (univerzálna trigonometrická substitúcia) 6. Vypoµcítajte integrál (vzorec) cos (3) cos (4) d 3 3+cos d (3 sin 7. Vypoµcítajte integrál (substitúcia, potom racionálna funkcia) 5 sin 5) cos (sin 3)(sin sin +) d

3 Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta, t a odovzda, t na kontrolu na nasledujúcej konzultácii.. Nájdite súµcet radu, ak eistuje (pouµzite de níciu súµctu radu) X n= X n= (n+)(n+4) e n e (n+) Vyšetrite konvergenciu radu X n= X n= X n= X n= X n= n p n+ p n(n+) 3 n n! n n n n+ n+5 ( ) n+ ln(n+) X sin n n= X n= X n= sin n tg n ( ) n n ln n Nájdite a naµcrtnite de niµcný obor funkcie. f (; y) = +y y 3. f (; y) = p y + ln 6 + y 4. f (; y) = ln ( sin y) + p y sin 5. f (; y; z) = p y + z + +y z 3

4 6. Daná je funkcia f (; y) = p + 4y Naµcrtnite graf zúµzenia f j A ; f j B ; ak A = (; y) R + 4y ; B = (; y) R jj ; jyj 4

5 3 Priebeµzné písomné zadanie µc.3.. Vypoµcítajte lim n! (n) v R 3 ; ak (n) = p n+ n n ; n ; sin n n. Vypoµcítajte lim n! (n) v R ; ak (n) n = n 3 + ; ( )n 3. Nájdite de niµcný obor a komponenty funkcie f (; y) = ( cos y; sin y; y) 4. Nájdite de niµcný obor a komponenty funkcie f (t) = p t + i + p t j + k 5. lim (;y)!(0;0) + y sin 6. lim (;y)!(0;) sin(y) 7. lim (;y)!(;k) + y 8. lim (;y)!(0;0) +y y 9. Daná je funkcia f R 3! R; f (; y; z) = ( 3y+z p +y +z (; y; z) 6= (0; 0; 0) 0 (; y; z) = (0; 0; 0) Vypoµcítajte (a) parciálne derivácie v bode (0; 0; 0) ; (b) zistite, µci je funkcia v bode (0; 0; 0) diferencovate, l ná. 0. Pomocou de nície vypoµcítajte parciálne derivácie funkcie f (; y) = 4 3 y + 3y + 5y v bode a = (; ) (. Pomocou de nície vypoµcítajte parciálne derivácie funkcie f (; y) = + y cos +y (; y) 6= (0 0 (; y) = (0 v bode a = (0; 0). Vypoµcítajte parciálne derivácie, gradient a diferenciál funkcie f (; y) = y ln (y) v bode a = (; e) 3. Vypoµcítajte parciálne derivácie, gradient a diferenciál funkcie f (; y) = (3 +4y ) v bode a = ( ; ) 4. Vypoµcítajte ( parciálne derivácie, gradient a diferenciál funkcie f (; y) = 4 y 4 4 +y (; y) 6= (0; 0) 4 v bode a = (0; 0) 0 (; y) = (0; 0) 5. Vypoµcítajte p parciálne derivácie, gradient a diferenciál funkcie f (; y) = + y + v bode a = (; ) 6. istite, µci je funkcia f R! R 3 ; f (; y) = ; y; p + y spojite diferencovate lná, a napíšte jej deriváciu a diferenciál v bode a = 3 ; 5

6 7. Nájdite rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f (; y) = y v bode T = (?; ; ) 8. Nájdite rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f (; y) = 4 + y y + v bode T = (;?; ) 9. Nájdite deriváciu funkcie f (; y) = e y cos ( + y) v bode a = ; 0 v smere vektora e = ; p 3 0. Nájdite smer, v ktorom je smerová derivácia funkcie f (; y) = y 4 y; v bode a = (; 0) maimálna a jej hodnotu. 6

7 4 Priebeµzné písomné zadanie µc.4. V nasledujúcich príkladoch nájdite lokálne etrémy funkcií. f (; y) = 3 y y. f (; y) = e + y + y 3. f (; y) = 3 + y 3 8y f (; y) = 7 y + 4y 3 69y f (; y) = 3 + y 3 + 3y + 6. f (; y) = + y y y + 7. f (; y) = 3 + 8y 3 6y f (; y) = 5y y ; > 0; y > 0 9. f (; y) = y ( y) 0. f (; y) = e y y +. f (; y; z) = + y + z y + z +. f (; y; z) = y + yz + y + z z 3. f (; y; z) = + y + z y z 4. f (; y; z) = + y + z + + 4y 6z 5. f (; y; z) = y + z yz y z 6. f (; y; z) = 3 + y + z + y + z Nájdite lokálne etrémy funkcie a nakreslite graf funkcie f, ak 7. f (; y) = + p + y 8. f (; y) = + 4 y 6y 9 9. f (; y) = y + y 7

A 1

A 1 Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu

Podrobnejšie

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť

Podrobnejšie

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD. III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej

Podrobnejšie

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p 4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,

Podrobnejšie

Funkcie viac premenných

Funkcie viac premenných Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie

Podrobnejšie

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh

Podrobnejšie

Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013

Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:

Podrobnejšie

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i

Podrobnejšie

Priebeh funkcie

Priebeh funkcie Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť

Podrobnejšie

7-dvojny_integral

7-dvojny_integral 7 DVOJNÝ INTEGRÁL A JEHO APLIKÁCIE 7 Otázk Dfinujt pojm intgráln súčt Dfinujt pojm vojný intgrál Dfinujt pojm strná honota funkci prmnných na množin Napíšt ako transformujt vojný intgrál pomocou polárnch

Podrobnejšie

Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc

Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia

Podrobnejšie

Microsoft Word - mpicv11.doc

Microsoft Word - mpicv11.doc 1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom

Podrobnejšie

S rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018

S rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku

Podrobnejšie

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu

Podrobnejšie

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová

Podrobnejšie

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť

Podrobnejšie

Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.

Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava

Podrobnejšie

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu   v limite, ked sú velké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c

Podrobnejšie

Výsledky, návody a poznámky π π a. 5 1 ln 2. 6 π (π + 2). Návod: urobit substitúciu x = t a použit vetu 1.2.

Výsledky, návody a poznámky π π a. 5 1 ln 2. 6 π (π + 2). Návod: urobit substitúciu x = t a použit vetu 1.2. Výsledky, návody poznámky π 4. 3 π 3 3. 4. 5 ln. 6 π 7 8 4 (π + ). Návod: urobit substitúiu = t použit vetu.. 9 ln. 3 π Návod: vezmite do úvhy, že + 4 + = + + ( ) urobte substitúiu = t; dostnete dt t +,

Podrobnejšie

Prenosový kanál a jeho kapacita

Prenosový kanál a jeho kapacita Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a

Podrobnejšie

Matematika - úroven B.pdf

Matematika - úroven B.pdf MATURITA 008 EXTERNÁAS MATEMATIKA úrove B kód testu: 8940 NEOTVÁRAJTE, POKAJTE NA POKYN! PREÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma typmi úloh: Pri úlohách s

Podrobnejšie

Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX

Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer

Podrobnejšie

gulas.dvi

gulas.dvi Obsah Neur it integr l 7. kladn pojmy a vz ahy.................................. 7.. kladn neur it integr ly............................. 9.. Cvi enia..........................................3 V sledky........................................

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami

Podrobnejšie

8

8 8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie

Podrobnejšie

Zadanie_1_P1_TMII_ZS

Zadanie_1_P1_TMII_ZS Grafické riešenie mechanizmov so súčasným pohybom DOMÁE ZDNIE - PRÍKLD č. Príklad.: Určte rýchlosti a zrýchlenia bodov,, a D rovinného mechanizmu na obrázku. v danej okamžitej polohe, ak je daná konštantná

Podrobnejšie

Pocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD

Pocítacové modelovanie  - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej

Podrobnejšie

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom 2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod

Podrobnejšie

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,

Podrobnejšie

Seriál XXXII.IV Mechanika, FYKOS

Seriál XXXII.IV Mechanika, FYKOS Seriál: Mechanika V tejto časti seriálu dokončíme príklad, ktorý sme minule začali - výpočet matematického kyvadla. K tomu ale budeme potrebovať vedieť, čo je to Taylorov rozvoj. Ďalej si ukážeme, ako

Podrobnejšie

Microsoft Word - skripta3b.doc

Microsoft Word - skripta3b.doc 6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak

Podrobnejšie

FYZIKA I Rámcove otázky 1998

FYZIKA I Rámcove otázky 1998 Otázky k teoretickej skúške z predmetu Fyzika, ZS 2014/2015 Rámcové otázky: 1. Odvodiť vzťahy pre dráhu, rýchlosť a zrýchlenie pohybu hmotného bodu po priamke,(rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb).

Podrobnejšie

Biharmonická rovnica - ciže co spôsobí pridanie jedného laplasiánu

Biharmonická rovnica - ciže co spôsobí pridanie jedného laplasiánu iºe o spôsobí pridanie jedného laplasiánu tyc struna Obsah ƒo je to biharmonická rovnica 2 Malý výlet do teórie pruºnosti 3 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia 4... a kde ostala matematická fyzika? ƒo

Podrobnejšie

Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos

Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval koval@fmph.uniba.sk 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozostávajúci z N nezávislých spinov. Každý zo spinov sa

Podrobnejšie

VZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY

VZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY 5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to

Podrobnejšie

px II. Reálna funkcia viac premenných (Prezentácia k prednáškam) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.

px II. Reálna funkcia viac premenných (Prezentácia k prednáškam) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD. px (Prezentácia k prednáškam) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 21. marca 2019 Na úvod si zodpovedzme tieto otázky # 1 Prečo funkcia viac premenných? # 2 Čo sa očakáva, že v tejto chvíli mám v malíčku?

Podrobnejšie

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 5 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program IP- COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu na obrazovke: Obr.1 Voľba úlohy na meranie Po kliknutí

Podrobnejšie

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru 8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte

Podrobnejšie

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011

Podrobnejšie

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc 6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4

Podrobnejšie

Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5

Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5 Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5. Neriešené príklady 1 Príklady 1 - vektory 1. Súradné

Podrobnejšie

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne

Podrobnejšie

Základné stochastické procesy vo financiách

Základné stochastické procesy vo financiách Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty

Podrobnejšie

Bodová častica vo VTR Vladimír Balek Pole bodového náboja. Majme časticu s nábojom q, ktorá sa nachádza v počiatku súradníc. Elektrická intenzita E v

Bodová častica vo VTR Vladimír Balek Pole bodového náboja. Majme časticu s nábojom q, ktorá sa nachádza v počiatku súradníc. Elektrická intenzita E v Bodová častica vo VTR Vladimír Balek Pole bodového náboja. Majme časticu s nábojom q, ktorá sa nachádza v počiatku súradníc. Elektrická intenzita E v priestore okolo častice je daná Gaussovým zákonom E

Podrobnejšie

Model tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 2008 Typeset by FoilTEX

Model tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 2008 Typeset by FoilTEX Model tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. TBH: definícia: elektrónový, elektromagnetický 2. Disperzné vzt ahy 3. Spektrum, okrajové podmienky 4. TBH vs.

Podrobnejšie

Pokrocilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia

Pokrocilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia Pokročilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia Ing. Viktor Kocur viktor.kocur@fmph.uniba.sk DAI FMFI UK 29.11.2017 Obsah 1 Segmentácia O čo ide 2 Watershed Princíp Postup 3 k-means clustering

Podrobnejšie

bakalarska_praca

bakalarska_praca Univerzita arlova v Praze Matematico-fyziální faulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matúš epič Využití internetu ve výuce goniometricých rovnic a nerovnic atedra didatiy matematiy Vedoucí baalářsé práce: RNDr. Robová

Podrobnejšie

gis7 prifuk

gis7 prifuk Kartografické aspekty GIS základné pojmy Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid Geoid Povrch zeme Referenčný elipsoid Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid

Podrobnejšie

Katalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške

Katalóg  cieľových požiadaviek  k maturitnej skúške CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020

Podrobnejšie

Maturita 2008 Test B

Maturita 2008 Test B MATURITA 008 EXTERNÁAS MATEMATIKA úrove B kód testu: 8940 NEOTVÁRAJTE, POKAJTE NA POKYN! PREÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma tpmi úloh: Pri úlohách s

Podrobnejšie

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie

Podrobnejšie

Microsoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník

Microsoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte

Podrobnejšie

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel 10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia

Podrobnejšie

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka

Podrobnejšie

ŠkVP_MAT

ŠkVP_MAT Súkromné Gymnázium DSA, Komenského 40, 083 01 Sabinov MATEMATIKA Učebné osnovy 3. september 2018 Názov predmetu Časový rozsah výučby Názov ŠkVP Názov ŠVP Stupeň vzdelania Dĺžka štúdia Forma štúdia Vyučovací

Podrobnejšie

NÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1

NÁVRH  UČEBNÝCH  OSNOV  PRE  1 PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie

Podrobnejšie

Pokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály

Pokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály Pokročilé programovanie II Nelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-253 Letný semester 27/28 Obsah Logistická mapa - May Period doubling, podivný atraktor,

Podrobnejšie

9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém

9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém 9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych

Podrobnejšie

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,

Podrobnejšie

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný

Podrobnejšie

Home Page Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Title Page Contents Mathematics 1 University Textbo

Home Page Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Title Page Contents Mathematics 1 University Textbo Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Mathematics 1 University Textbook Page 1 of 298 Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Technical University

Podrobnejšie

Microsoft Word - Final_test_2008.doc

Microsoft Word - Final_test_2008.doc Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou

Podrobnejšie

CDT

CDT EBA/GL/2016/09 04/01/2017 Usmernenia o korekciách modifikovanej durácie v prípade dlhových nástrojov podľa druhého pododseku článku 340 ods. 3 nariadenia (EÚ) 575/2013 1. Povinnosti týkajúce sa dodržiavania

Podrobnejšie

Seriál XXXII.II Mechanika, FYKOS

Seriál XXXII.II Mechanika, FYKOS Seriál: Mechanika Úvod Na úvod vás vítam pri čítaní druhej časti seriálu u. Začiatkom druhej série sa ešte raz vrátime k značeniu, kde si rýchlo ukážeme ako fungujú indexy, ktoré nám umožnia písať jednu

Podrobnejšie

Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL

Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL Matematika szlovák nyelven középszint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Dôležité pokyny

Podrobnejšie

text k predná²ke a úlohy k cvi eniam z vybraných kapitol z matematiky mi²o demetrian 1 1 Funkcionálne rady, rovnomerná konvergencia 1.1 ƒíselné rady -

text k predná²ke a úlohy k cvi eniam z vybraných kapitol z matematiky mi²o demetrian 1 1 Funkcionálne rady, rovnomerná konvergencia 1.1 ƒíselné rady - text k predná²ke a úohy k cvi eniam z vybraných kapito z matematiky mi²o demetrian Funkcionáne rady, rovnomerná konvergencia. ƒísené rady - opakovanie denícia konvergencie íseného radu: uvaºujeme ísený

Podrobnejšie

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Vzdelávacia oblasť : Matematika a práca s informáciami Názov predmetu : Matematika Časový rozsah výučby : 4 hodiny týždenne, spolu 132 hod. Ročník : prvý Škola :

Podrobnejšie

prednaska

prednaska Úvod do nelineárnych systémov doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD. ZS 2016 Prednáška 1 1.1 Stručné zopakovanie pojmov z LDS Uvažujme lineárny t-invariantný DS n-tého rádu (LDS): pričom x(t) 2 R n, u(t) 2 R n,

Podrobnejšie

30440_Enek_szlovak_2016._ofi.indd

30440_Enek_szlovak_2016._ofi.indd Cvičenie rytmu a písanie nôt Taktová čiara Doplňte taktové čiary, potom rytmus vytlieskajte. Tlačiarenský škriatok ukradol niektoré rytmické hodnoty. Doplňte ich.??? Doplňte chýbajúce solmizačné slabiky.

Podrobnejšie

Microsoft Word - Transparencies03.doc

Microsoft Word - Transparencies03.doc 3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú

Podrobnejšie

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Rešeršná práca Martin Gajdoš

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Rešeršná práca Martin Gajdoš České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Rešeršná práca Martin Gajdoš České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Poruchové rozvoje v

Podrobnejšie

Ohyb svetla

Ohyb svetla Difrakcia (OHYB SVETLA NA PREKÁŽKACH ) Odpoveď: Nepíš a rozmýšľaj Svetlo aj zvuk sú vlnenie, ale napriek tomu sú medzi nimi orovské rozdiely. Počujeme aj to, čo sa deje za rohom Čo sa deje za rohom nevidíme.

Podrobnejšie

Klasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 2008 Typeset by FoilTEX

Klasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 2008 Typeset by FoilTEX Klasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod cez bariéru/vrstvu: rezonančná transmisia 2. Tunelovanie 3. Rezonančné tunelovanie 4.

Podrobnejšie

Časopis pro pěstování matematiky Jozef Oboňa; Nikolaj Podtjagin Eště o niektorých ďalších vlastnostiach kriviek triedy P a PP Časopis pro pěstování ma

Časopis pro pěstování matematiky Jozef Oboňa; Nikolaj Podtjagin Eště o niektorých ďalších vlastnostiach kriviek triedy P a PP Časopis pro pěstování ma Časopis pro pěstování matematiky Jozef Oboňa; Nikolaj odtjagin Eště o niektorých ďalších vlastnostiach kriviek triedy a Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 98 (1973), No. 4, 357--368 ersistent URL:

Podrobnejšie

07-optimalizacne_ulohy

07-optimalizacne_ulohy 7. Optimalizačné úlohy 1. Náklady na výrobu tovaru sú 4 eurá a odhaduje sa, že ak sa bude tovar predávať za eur, kúpia zákazníci približne 0 kusov tovaru za deň. Ako stanoviť cenu tovaru, aby sa dosiahol

Podrobnejšie

Magistrát Košice ( Poznámka: Uznesenie - podľa 1. návrhu posl. Karaffu ) Zasadnutie č VII. zasadnutie MZ Dňa: :21 Riadok Karta

Magistrát Košice ( Poznámka: Uznesenie - podľa 1. návrhu posl. Karaffu ) Zasadnutie č VII. zasadnutie MZ Dňa: :21 Riadok Karta ( Poznámka: Uznesenie - podľa 1. návrhu posl. Karaffu ) Zasadnutie č. 201906 - VII. zasadnutie MZ Dňa: 19.06.2019 16:21 VÝSLEDOK HLASOVANIA č. 41 - BOD č. 17. - Návrh na zmeny a doplnenie Rokovacieho poriadku

Podrobnejšie

Základy automatického riadenia - Prednáška 2

Základy automatického riadenia - Prednáška 2 Základy automatického riadenia Predná²ka 2 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická

Podrobnejšie

Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava

Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put

Podrobnejšie

1)

1) Prijímacia skúška z matematiky do prímy gymnázia s osemročným štúdiom Milá žiačka/milý žiak, sme veľmi radi, že ste sa rozhodli podať prihlášku na našu školu. Dúfame, že nasledujúce úlohy hravo vyriešite

Podrobnejšie

5. XI Zderivujte a zintegrujte nasledovné funkcie: Príklady k cvičeniam z Fyziky (PEDAS) M. Gintner 1.2 Načrtnite priebeh funkcií z príkladu

5. XI Zderivujte a zintegrujte nasledovné funkcie: Príklady k cvičeniam z Fyziky (PEDAS) M. Gintner 1.2 Načrtnite priebeh funkcií z príkladu 1.1 Zderivujte a zintegrujte nasledovné funkcie: Príklady k cvičeniam z Fyziky (PEDAS) M. Gintner 1.2 Načrtnite priebeh funkcií z príkladu 1.1. 1.3 Nájdite riešenia nasledovných diferenciálnych rovníc:

Podrobnejšie

Microsoft Word - Diskusia11.doc

Microsoft Word - Diskusia11.doc Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4

Podrobnejšie

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\)) 1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic

Podrobnejšie

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 6 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu Autor na obrazovke, potom zvolíme Užívateľskú úroveň Pokročilý

Podrobnejšie

Ponuka voliteľný ch predmetov do 4. roc níka na š k. rok 2016/2017 Triedý: III.S, III.IS Žiaci pokračujú v seminároch, ktoré si zvolili do 3. ročníka,

Ponuka voliteľný ch predmetov do 4. roc níka na š k. rok 2016/2017 Triedý: III.S, III.IS Žiaci pokračujú v seminároch, ktoré si zvolili do 3. ročníka, Ponuka voliteľný ch predmetov do 4. roc níka na š k. rok 2016/2017 Triedý: III.S, III.IS Žiaci pokračujú v seminároch, ktoré si zvolili do 3. ročníka, ich hodinová dotácia bude 3 hodiny týždenne, doplnia

Podrobnejšie