Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
|
|
- Ľudmila Petrová
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1
2 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky matematiky. Umožňuje formulovať prehľadným a jednotným spôsobom všetky oblasti matematiky prostredníctvom elementárnej štruktúry množiny a operáciami nad ňou. Teória množín vznikla koncom 19. storočia hlavne zásluhou nemeckého matematika Georga Cantora ( ). Elementárnym pojmom teórie množín je element, pod ktorým budeme rozumieť nejaký reálny alebo abstraktný objekt, pričom postulujeme, že objekty medzi sebou sú dobre odlíšiteľné. Definícia. Množina je neusporiadaný súbor elementov. Priesvtika: 2
3 Poznámky k definícii: k sa nejaké dva elementy nachádzajú v tej istej množine, potom musia byť od seba odlíšiteľné, v množine sa neopakuje výskyt dvoch rovnakých (neodlíšiteľných) elementov v definícii množiny bol použitý elementárny pojem súbor, ktorý nebudeme bližšie špecifikovať Priesvtika: 3
4 Element a patrí do množiny označíme výrazom a. Tento výraz chápeme ako výrok, ktorý je pravdivý (nepravdivý), ak element a patrí (nepatrí, čo vyjadríme a ) do množiny. a 1 = 0 ( element a patrí do ) ( element a nepatrí do ) a 1 = 0 ( element a nepatrí do ) ( element a patrí do ) Priesvtika: 4
5 Špecifikácia množiny Prvý spôsob špecifikácie množiny je založený na vymenovaní všetkých elementov, ktoré do nej patria = { a,b,...,u} Tento spôsob je vhodný len na špecifikácie množín, ktoré obsahujú konečný počet elementov. = Michal,Jana,Eva Príklad. je množina mojich detí, { } Druhý spôsob špecifikácie množiny využíva predikát P(x), ktorý ak je pravdivý (nepravdivý), potom element x patrí (nepatrí) do množiny = x;p x { ( )} Príklad. Množina obsahujúca párne celé čísla = n;n N P n { ( )} Priesvtika: 5
6 Charakteristické funkcie Druhý spôsob špecifikácie množiny je pretransformovaný na koncepciu charakteristických funkcií. V tomto prístupe predikát P(x) je určený takto P x = µ x = 1 alebo ( ) ( ) ( ) 1 µ ( x) = 0 ( x ) ( x ) Uvažujme univerzum U, nad ktorou sú definované všetky ostatné množiny. Definícia. Množina (vzhľadom k univerzu U) je pomocou charakteristickej funkcie vyjadrená takto = x U ; µ x = 1 { ( ) } Priesvtika: 6
7 Príklad Vyjadrite množinu = (0, 1] pomocou charakteristickej funkcie. Univerzum U je totožné s množinou reálnych čísel R. Charakteristická funkcia ( x ) µ je definovaná takto ( x) ( x ) ( ) 1 pre0< 1 µ = 0 ináč µ () x 1 1 x Priesvtika: 7
8 Operácie nad množinami { ; 1} Definícia. Hovoríme, že množina x ( x) x; ( x) 1 { } = µ = sa rovná množine = µ =, =, vtedy a len vtedy, ak charakteristické funkcie oboch množín sú rovnaké ( ) ( = ) = ( x U) µ ( x) =µ ( x) def lternatívna definícia vzťahu rovnosti medzi množinami a je ( ) ( ) ( = ) = def ( x U) ( x ) ( x ) = ( x U) ( x x ) ( x x ) def Priesvtika: 8
9 { ; 1} Definícia. Hovoríme, že množina x ( x) x; ( x) 1 { } = µ = je podmnožinou množiny = µ =,, vtedy a len vtedy, ak každý element z množiny patrí aj do množiny = x U µ x = 1 µ x = 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) def lternatívna definícia podmnožiny je = x U x x def ( ) ( ) ( ) ( ) V prípade, že, potom formula sa prepíše do tvaru. Hovoríme, že je vlastnou podmnožinou, ak a. Rovnosť medzi množinami. = platí vtedy a len vtedy, ak ( ) ( ) Priesvtika: 9
10 Definícia. Hovoríme, že množina je zjednotenie množín a, vtedy a len vtedy, ak = x; x x = x; µ x = 1 { ( ) ( )} ( ) ( x) max ( x ), ( x) { } { } def µ = µ µ Definícia. Hovoríme, že množina je prienik množín a, vtedy a len vtedy, ak = x; x x = x; µ x = 1 { ( ) ( )} ( ) ( x) min ( x ), ( x) { } { } def µ = µ µ Priesvtika: 10
11 Definícia. Hovoríme, že množina je doplnok množiny (vzhľadom k univerzu U), vtedy a len vtedy, ak = x;x = x; µ x = 1 def { } { } ( ) µ ( ) = µ ( ) 1 x x Definícia. Hovoríme, že množina (alebo \ ) je rozdiel množín (relatívny doplnok množín) a, vtedy a len vtedy, ak = x; x x = x; µ x = 1 def { ( ) ( )} ( ) ( x) min ( x ), 1 ( x) µ = µ µ { } { } Priesvtika: 11
12 Vennove diagramy C D E Priesvtika: 12
13 lgebra teórie množín vlastnosť formula teórie množín komutatívnosť =, = asociatívnosť ( C) = ( ) C, ( C) = ( ) C distributívnosť ( C) ( ) ( C) C = C De Morganove vzťahy =, = idempotentnosť =, = identita U =, = absorpcia =, U = U involúcia =, zákon vylúčenia tretieho = U zákon sporu = rozdiel množín = distributívne zákony pre ( C) = ( ) ( C), ( ) C = ( C) ( C) rozdiel =, ( ) ( ) ( ) Priesvtika: 13
14 Verifikácia korektnosti formuly ( C) = ( ) ( C) ( C) ( C) C C C C ( ) C C C C C Priesvtika: 14
15 Tabuľková metóda pre verifikáciu formúl teórie množín (analógia s výrokovou logikou) C 4 oblasť C C C C C ( ) ( ) ( ) Priesvtika: 15
16 Verifikácia korektnosti De Morganových formúl ( ) = a ( ) = Priesvtika: 16
17 Použitie charakteristických funkcií k dôkazu formúl v teórii množín Dôkaz De Morganovej formuly ( ) = { } { } ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) µ ( ) = 1 µ ( ) 1 µ ( ) µ x = µ x = max µ x, µ x x min x, x Použitím algebraickej identity 1 max{ a,b} = min{ 1 a, 1 b} dokážeme, že formule sú totožné pre ľubovolné charakteristické funkcie, čiže platí x U µ x =µ x ( ) ( ) ( ) ( ) Tým sme dokázali, že množiny ( ) a sa navzájom rovnajú. Priesvtika: 17
18 Dôkaz distributívneho zákona ( C) = ( ) ( C) { C } ( ) { ( ) C( )} ( )( ) ( ) ( ) { } µ x = max µ x, µ x = max µ x,min µ x, µ x C µ = µ µ { } { ( ) ( )} { ( ) C( )} ( ) ( ) min ( x ), C C( x ) { } = min max µ x, µ x,max µ x, µ x Použitím algebraickej identity { { }} = min max{ a,b },max{ a,c} max a,min b,c { } dostaneme, že vyššie uvedené charakteristické funkcie sa rovnajú ( ) ( x U) ( )( x C ) ( ) ( C) µ =µ Tým sme dokázali, že množiny ( C) a ( ) ( C) sa rovnajú Priesvtika: 18
19 Definícia. k množina je konečná (obsahuje konečný počet elementov), potom jej mohutnosť (kardinalita), označená, je počet elementov, ktoré obsahuje. k množina obsahuje nekonečný počet elementov, potom jej mohutnosť je nekonečná, =. Príklad (a) { x;x je celé číslo ohraničené 18 x 17 2} = < <, = 8, (b) { x; x je celé číslo } { ,,,,,...} = =, =, (c) { x;x 2 1alebo2x 2 1} { 1, 11, 2, 1 2} = = = =, = 4, { } (d) = a, { a,b },{ a,b,c}, = 3, (e) = { a, { a },{{ a} }}, = 3. (f) = { ,,,,, }, { 2, 1012,,, } =, = 4. Priesvtika: 19
20 Enumerácia elementov v množinách Jednoduchý príklad. Nech a sú disjunktné množiny ( = ), potom mohutnosť ich zjednotenia je určená súčtom mohutností jednotlivých množín = +... = n 1 2 n Veta. Mohutnosť množiny je určená formulou = + Priesvtika: 20
21 = + + Mohutnosť samotných množín a je určená takto = + = n n n... = n i i j i j k i= 1 i,j= 1 i,j,k= 1 ( 1) n+ 1 ( i< j) ( i< j< k) n Priesvtika: 21
22 Príklad Dokážte formulu indukciou C = + + C C C + C ( ) ( ) C = + C C ( ) ( ) ( ) = + + C C C ( ) ( ) ( ) = + + C + C C = + + C C C + C Priesvtika: 22
23 Dokážte formulu Príklad 1 2 = Dokážte formulu 1 2 = N ( ) ( ) 1 2 = = 1 + N 2 1 U ( ) = N + = N + = N + Priesvtika: 23
24 Upozornenie Pojem množina môže byť zovšeobecnený tak, že elementy množiny môžu byť taktiež množiny. k pristúpime na túto terminológiu, potom je korektný výrok množina, ktorá obsahuje všetky možné množiny Russell poukázala na skutočnosť, že takto formulované výroky sú vnútorne rozporné (pokúste sa rozhodnúť, či táto množina obsahuje samu seba) Russell navrhol prekonať túto vnútornú kontradikčnosť intuitívnej teórie množín tak, že pojem množina sa môže používať len na prvej úrovni, t. j. keď elementami tejto množiny sú elementy, ktoré nemajú svoju štruktúru. Na druhej úrovni používal termín rodina množín, jej elementy sú množiny z prvej úrovni. Na ďalšej tretej úrovni môžeme hovoriť o triede množín, jej elementy sú rodiny množín z predchádzajúcej druhej úrovne. Výrok množina, ktorá obsahuje všetky možné množiny je nekorektný, jeho správna forma je rodina všetkých možných množín. Priesvtika: 24
25 Nech I { 12,,...,n} Rodina množín = je množina indexov, ktorá obsahuje prvých n kladných celých čísel. Predpokladajme, že pre každý index i I má definovanú množinu i, potom rodina množín je definovaná takto { ;i I} {,,..., } = = i 1 2 n Pre rodinu množín môžeme definovať operáciu prieniku a zjednotenie jej množín i I { ( )} =... = x; i x i I i 1 2 n i { ( )} =... = x; i x i 1 2 n i Priesvtika: 25
26 Príklad i = {množina obsahuje binárne reťazce, ktorých dĺžka nie je väčšia ako i} i I i 1 = {0,1} 2 = {0,1,00,01,10,11}... =... = i I 1 2 n 1 =... = i 1 2 n n Priesvtika: 26
27 Potenčná množina Definícia. Množina P() sa nazýva potenčná množina vzhľadom k množine vtedy a len vtedy, ak obsahuje všetky možné podmnožiny množiny P = ; ( ) { } P ( ) a P ( ) Veta. Potenčná množina P() spĺňa tieto vlastnosti ( ) ( ) P( ) P ( ) P( ) P( ) P ( ) P( ) P( ) = P ( ) Priesvtika: 27
28 Príklad = P ( ) = { } = {a} P ( ) = {,a { }} = {a,b} P ( ) = {,a,b,a,b { } { } { }} = {a,b,c} P ( ) =,a,b,c,a,b,b,c,a,c,a,b,c { } { } { } { } { } { } { } { } Poznámka. Pri práci s potenčnými množinami musíme veľmi starostlivo rozlišovať medzi symbolmi a. k a a a P. { } Študujme množinu 12,,{ 1} P, potom { } alebo { } ( ) =, potom potenčná množina P() je ( ) = { } { } { } { } { } { { }} { { }} { { }} { },,,,,,,,,,,, Pripomíname, že elementy 1, {1} {{1}} sú rôzne. Priesvtika: 28
29 Veta. Mohutnosť potenčnej množiny P() je určená jednoduchým vzťahom P ( ) = 2 Nech množina obsahuje n elementov, { a,a,...,a } = 1 2 n, každá podmnožina môže byť určená pomocou binárneho vektora dĺžky n, ak v i-tej polohe tohto vektora je 1 (0), potom a i ( a i ). Každá podmnožina z potenčnej množiny P ( ) je jednoznačne špecifikovaná binárnym vektorom dĺžky n. Pretože celkový počet rôznych binárnych vektorov dĺžky n je 2 n, toto číslo špecifikuje aj P =, kde = n. Tento jednoduchý mohutnosť potenčnej množiny, ( ) 2 n výsledok viedol niektorých autorov k tomu, že potenčnú množinu označili symbolom 2, jej mohutnosť sa rovná 2. Priesvtika: 29
30 Karteziánsky súčin množín V mnohých matematických disciplínách alebo v ich aplikáciách vystupujú usporiadané dvojice elementov. Napríklad, komplexné číslo môže byť charakterizované, ako usporiadaná dvojica reálnych čísel, z = (x,y), kde x (y) je reálna (komplexná) časť. Základná relácia pre usporiadané dvojice je rovnosť: (x,y) = (x,y ), ktorá platí vtedy a len vtedy, ak sú si rovné ich prvé a druhé časti, x = x a y = y. Táto podmienka rovnosti platí aj pre komplexné čísla, ktoré sú si rovné vtedy a len vtedy, ak sa rovnajú ich reálne a imaginárne časti. Definícia. Množina X vtedy a len vtedy, ak Y sa nazýva kartézianský súčin dvoch množín X a Y {( ) } X Y = x,y ;x X ay Y Priesvtika: 30
31 Poznámky V prípade, že X = Y, potom X X X 2 =. k aspoň jedna z množín X alebo Y je prázdna množina, potom aj karteziánsky súčin X Y je prázdny. k množiny X a Y sú obe neprázdne, potom X Y = Y X vtedy a len vtedy, ak X = Y Priesvtika: 31
32 Znázornenie kartézianského súčinu pomocou Vennových diagramov Nech X = { 12, } a Y { a,b,c} =, potom {( 1 ) ( 1 ) { 1 } ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )} X Y =,a,,b,,c,,a,,b,,c reprezentácia tohto súčinu pomocou Vennovho diagramu je znázornená a (1, a) (2, a) Y b (1, b) (2, b) X Y c (1, c) (2, c) X 1 2 Priesvtika: 32
33 Nech X = [ 01, ] a Y [ 11, ] Príklad = sú uzavreté intervaly reálnych čísel, karteziánsky súčin týchto dvoch intervalov poskytuje obdĺžníkovú oblasť reálnych čísel 1 Y X Y -1 X 0 1 Priesvtika: 33
34 Nech { 2 2 X ( x,y );x y 1} súradnicového systému a Y [ 01, ] Príklad = + = je kružnica o polomere 1 so stredom v centre = je jednotková úsečka, karteziánsky súčin týchto dvoch oblastí produkuje povrch valca dĺžky 1 a s polomerom 1 Y 1 0 X Priesvtika: 34
35 Koncepcia usporiadanej dvojice môže byť zovšeobecnená na usporiadanú n-ticu, pomocou karteziánskeho súčinu n množín. (( x 1,x 2,...,xn) = ( x 1,x 2,...,x n) ) i( xi = x i) Definícia. Množina X1 X 2... Xn sa nazýva karteziánsky súčin n množín X 1, X 2,..., X n vtedy a len vtedy, ak X X... X = x,x,...,x ; x X, x X,..., x X {( ) } 1 2 n 1 n n n k všetky množiny z karteziánskeho súčiny sa rovnajú množine X, potom výraz X1 X 2... Xn je zjednodušený na X n. Kartézianský súčin môžeme taktiež vyjadriť symbolicky takto n 1 2 n =X i= 1 X X... X X i Priesvtika: 35
36 Nech = { 12, }, = { a,b} a C {, } Príklad = αβ, potom karteziánsky súčin týchto množín má tvar C = 1,a, α, 1,a, β, 1,b, α, 1,b, β, 2,a, α, 2,a, β, 2,b, α, 2,b, β {( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )} Príklad Nech X1 = X 2 =... = Xn = R, kde R je množina reálnych čísel. Potom R n je množina obsahujúca n-tice reálnych čísel {( 1 2 n) 1 2 n } n R = x,x,...,x ; x,x,...,x R a môže byť interperetovaná ako n-rozmerný lineárny priestor. Priesvtika: 36
37 Veta. Mohutnosť karteziánskeho súčinu X Y dvoch množín X a Y s konečnou mohutnosťou, X = m a Y = n, sa rovná súčinu mohutností jej zložiek X Y = X Y = m n X X... X = X X... X = m m... m 1 2 n 1 2 n `1 2 n Veta. Karteziánsky súčin množiny s prienikom alebo zjednotením dvoch množín X a Y vyhovuje podmienkam distributívnosti ( X Y) = ( X) ( Y) ( X Y) = ( X ) ( Y ) ( X Y) = ( X) ( Y) X Y = X Y ( ) ( ) ( ) Priesvtika: 37
38 Dôkaz vlastnosti ( X Y) = ( X) ( Y) Nech ( a,x) ( X Y), potom a a x ( X Y). Z posledného výrazu vyplýva, že x sa súčasne vyskytuje v X a taktiež aj v Y. Potom ( a,x) X a taktiež aj ( a,x) Y, čiže ( a,x) ( X ) ( Y), čo bolo potrebné dokázať. Nech = { a,b}, X = { x,y} a Y { y,z} =. Príklad ( ) { } { } { } ( ) ({ } { }) {( a,x ),( a,y ),b,x ( ),b,y ( )} {( a,y ),a,z ( ),b,y ( ),b,z ( )} {( a,y ),( b,y) } ( ) { } { } { } = ( a,y ),( b,y) X Y = a,b x,y y,z = a,b y ( ) ( ) { } { } X Y = a,b x,y a,b y,z = = Priesvtika: 38
39 Veta. Pre ľubovolné tri množiny, a X platí implikácia X X ( ) ( ) ( ) ( ) k X je neprázdna množina, potom X X (( ) ( )) ( ) X X X Priesvtika: 39
40 Množina ako dátová štruktúra v informatike V mnohých aplikáciách množinová dátová štruktúra podstatne uľahčuje implementáciu algoritmov, ktoré sú založené na formalizme teórie množín. ko príklad takýchto algoritmov môže slúžiť teória grafov, ktorej jednoduchá a súčasne aj elegantná teória je založená na množinách. Základný prístup k implementácii dátovej štruktúry množiny je jej charakteristická binárna funkcia, ktorá môže byť reprezentovaná binárnym vektorom. Maximálna dĺžka tohto vektora (napr. 2 8 = 256) špecifikuje maximálnu mohutnosť implementovanej množiny. Priesvtika: 40
41 Uvažujme binárne vektory dĺžky 2 3 = 8, ktoré určujú množiny v rámci univerzálnej množiny U={1,2,3,4,5,6,7,8}. inárny vektor ( )špecifikuje množinu ={1,2,5,6}. k binárny vektor obsahuje len nuly, potom množina = ; ak binárny vektor obsahuje len jednotky, potom = U. Priesvtika: 41
42 Operácia zjednotenia množín a, C =, ktoré sú reprezentované binárnymi vektormi µ = ( a 1,a 2,...,an ), µ = ( b 1,b 2,...,bn ) je realizovaná pomocou binárnej operácie disjunkcie µ = ( c 1,c 2,...,cn) = ( a 1,a 2,...,an) ( b 1,b 2,...,bn) kde c = max a,b { } i i i Operácia prieniku množín a, C =, je realizovaná pomocou binárnej operácie konjunkcie µ = ( c 1,c 2,...,cn) = ( a 1,a 2,...,an) ( b 1,b 2,...,bn) kde c = min a,b { } i i i Priesvtika: 42
43 Operácia rozdielu množín a, C =, je realizovaná pomocou binárnej operácie rozdielu µ = ( c 1,c 2,...,cn) = ( a 1,a 2,...,an) ( b 1,b 2,...,bn) kde c = min a, 1 b { } i i i Operácia komplementu množiny, C =, je realizovaná pomocou binárnej operácie komplementu µ = ( ) = ( ) c 1,c 2,...,c n a 1, a 2,..., an Priesvtika: 43
44 Príklad Definujme dva binárne vektory dĺžky 8 (t. j. univerzum U={1,2,3,4,5,6,7,8}) µ =( ) ={1,2,5,6,7,8} µ =( ) ={4,5,8} Zjednotenie je určené pomocou binárnej operácie disjunkcie ( ) ( )=( ) Výsledný vektor špecifikuje množinu C = {1,2,4,5,6,7,8}. Prienik je určený pomocou binárnej operácie konjunkcie ( ) ( )=( ) Výsledný vektor špecifikuje množinu C = {5,7,8}. Priesvtika: 44
45 Rozdiel je určené pomocou binárnej operácie rozdiel ( ) ( )=( ) Výsledný vektor špecifikuje množinu C = {1,2,6,7}. Komplementy a sú vykonané pomocou operácie negácie pre binárne vektory µ = ( )=( ) µ = ( )=( ) Výsledné vektory reprezentujú množiny C = = { 34, } a C { 12367,,,, } = =. Priesvtika: 45
Microsoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieMicrosoft Word - 16.kapitola.doc
6. kapitola Logická teória diagnózy zložitých systémov 6. Úvodné poznámky tanovenie diagnózy zložitých systémov v medicíne u človeka, veľkých výrobných zariadení, elektronických obvodov, a pod.) patrí
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšieŠtudent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp
Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieB5.indd
Úvod do limitných prechodov Vladimír Janiš ÚVOD DO LIMITNÝCH PRECHODOV Autor: doc. RNDr. Vladimír Janiš, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Martin Kalina, CSc. RNDr. Pavol Krá, PhD. Vydavate : Belianum. Vydavate
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
Podrobnejšie2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 21. októbra 2010
2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 21. októbra 2010 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 5 1.2.1 Literatúra..................................
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieMicrosoft Word - 8.cvicenie.doc
Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti),
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Prog_p08.ppt
Štruktúra záznam Operácie s bitovými údajmi 1. Štruktúra záznam zložený typ štruktúry záznam varianty štruktúr záznam reprezentácia štruktúry záznam použitie štruktúry záznam v jazyku C 2. Operácie s bitovými
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
Podrobnejšie12Prednaska
propozičná logika vs. logika prvého rádu globálna vs. kompozičná vetviaci sa čas vs. lineárny čas časové body vs. časové intervaly diskrétny čas vs. spojitý čas minulosť vs. budúcnosť distribovanosť vs.
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
Podrobnejšie1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013
1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieMicrosoft Word - veronika.DOC
Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky,
PodrobnejšieSnímka 1
Generovanie LOGICKÝCH KONJUNKCIÍ doc. Ing. Kristína Machová, PhD. kristina.machova@tuke.sk http://people.tuke.sk/kristina.machova/ OSNOVA: 1. Prehľadávanie priestoru pojmov 2. Reprezentácia a použitie
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšieMO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
PodrobnejšieKatalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
PodrobnejšieHistória
Fakulta riadenia a informatiky ŽU Množiny Pojmy zavedené v 8. prednáške N-rozmerné polia Dvojrozmerné polia matica definícia typ[][] premenna inicializácia new typ[pocetriadkov][pocetstlpcov] práca s prvkami
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
PodrobnejšieOtázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati
Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka
PodrobnejšieTue Oct 3 22:05:51 CEST Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, kto
Tue Oct 3 22:05:51 CEST 2006 2. Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, ktoré si postupne rozoberieme: dátové typy príkazy bloky
PodrobnejšieNumerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA PRÁCA 2014 BYSTRÍK KUBALA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V
PodrobnejšiePlatný od: OPIS ŠTUDIJNÉHO ODBORU
Platný od: 27.2.2017 OPIS ŠTUDIJNÉHO ODBORU (a) Názov študijného odboru: (b) Stupne vysokoškolského štúdia, v ktorých sa odbor študuje a štandardná dĺžka štúdia študijných programov pre tieto stupne vysokoškolského
Podrobnejšie1
ADM a logika. prednáška Logické neuróny a neurónové siete Priesvitka Logické neuróny McCullocha a Pittsa Logické neuróny a neurónové siete boli prvý krát študované v publikácii Warrena McCullocha a Waltera
Podrobnejšiegis5 prifuk
Úrovne implementácie vektorového GIS. Eva Mičietová Univerzita Komenského v Bratislave Prírodovedecká fakulta Katedra kartografie, geoinformatiky a diaľkového prieskumu zeme Email: miciet@fns.uniba.sk
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
PodrobnejšieŠkVP_MAT
Súkromné Gymnázium DSA, Komenského 40, 083 01 Sabinov MATEMATIKA Učebné osnovy 3. september 2018 Názov predmetu Časový rozsah výučby Názov ŠkVP Názov ŠVP Stupeň vzdelania Dĺžka štúdia Forma štúdia Vyučovací
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
PodrobnejšieRepublika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV
Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieKolmogorovská zložitost
Kolmogorovská zložitosť 5.12.2013 (2013/14) KZ 5.12.2013 1 / 16 Kt zložitosť age(x) = min p{2 l(p) t : U(p) = x v priebehu t krokov} Def. (Kt zložitosť) UTS monotonne skenuje začiatok p kým vypíše x, t(p,
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieStavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta,
Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 110 116. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403692
PodrobnejšieO babirusách
VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne
PodrobnejšieBRKOS
Pomocný text Výroková logika autor: Viki Logika je nástroj, ktorý nám umoº uje matematicky uvaºova o veciach okolo nás. Dovo uje nám formalizova tvrdenia, ktoré chceme dokáza a zárove formalizova samotný
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - SLIDES_02DTD.ppt
Validácia dokumentov Document Type Definition základné pojmy základné bloky dokumentu z pohadu deklarácia elementov deklarácia atribútov Validácia overenie platnosti dokumentu voi (nejako zapísaným) pravidlám
Podrobnejšies sol
22/1/2009 Úvod do databáz, skúškový test, max 25 bodov, 90 min Riešenia tohto testu sú písané pedagogicky, preto sú relatívne dlhé. (Samozrejme, pri riešení úloh nebolo treba zachádzať až do takých detailov...)
PodrobnejšieFYZIKA I Rámcove otázky 1998
Otázky k teoretickej skúške z predmetu Fyzika, ZS 2014/2015 Rámcové otázky: 1. Odvodiť vzťahy pre dráhu, rýchlosť a zrýchlenie pohybu hmotného bodu po priamke,(rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb).
Podrobnejšies sol
15/1/2009 Úvod do databáz, skúškový test, max 25 bodov, 90 min 0. Súhlasím so zverejnením výsledku môjho testu vo forme [Meno, Výsledok] na webstránke prednášky. ÁNO (1), NIE (0). ÁNO 1. Daná je databáza:
PodrobnejšieNSK Karta PDF
Názov kvalifikácie: Architekt informačných systémov Kód kvalifikácie U2511002-01348 Úroveň SKKR 6 Sektorová rada IT a telekomunikácie SK ISCO-08 2511002 / IT architekt, projektant SK NACE Rev.2 J INFORMÁCIE
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieSK01-KA O1 Analýza potrieb Zhrnutie BCIME tím Vyhlásenie: "Podpora Európskej komisie pre výrobu tejto publikácie nepredstavuje súhlas
2018-1-SK01-KA203-046318 O1 Analýza potrieb Zhrnutie BCIME tím Vyhlásenie: "Podpora Európskej komisie pre výrobu tejto publikácie nepredstavuje súhlas s obsahom, ktorý odráža iba názory autorov a Európska
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšiePrezentace aplikace PowerPoint
Ako vytvárať spätnú väzbu v interaktívnom matematickom učebnom prostredí Stanislav Lukáč, Jozef Sekerák Implementácia spätnej väzby Vysvetlenie riešenia problému, podnety pre konkrétne akcie vedúce k riešeniu
PodrobnejšieNÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
PodrobnejšiePodpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. Katedra matematických metód, Fa
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk Katedra matematických metód, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita v
Podrobnejšie8
8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie
PodrobnejšieDiplomová práca
UNIVERZIT KOMENSKÉHO V BRTISLVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky plikácie fuzzy logiky v štúdiu finančných trhov Diplomová práca Bc. Michal Palacka Bratislava 2012 UNIVERZIT KOMENSKÉHO V BRTISLVE
PodrobnejšieUniverzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Niektoré metrické vlastnosti čiastočných náhodných booleovských funkcií Di
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Niektoré metrické vlastnosti čiastočných náhodných booleovských funkcií Diplomová práca 2013 Bc. Jakub Husár iii Katedra Informatiky
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra informatiky PLATNOSŤ BERGE-FULKERSONOVEJ HYPOTÉZY PRE ŠPECIÁLNE TR
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra informatiky PLATNOSŤ BERGE-FULKERSONOVEJ HYPOTÉZY PRE ŠPECIÁLNE TRIEDY SNARKOV Peter Gazdík DIPLOMOVÁ PRÁCA Vedúci diplomovej
Podrobnejšie