Výsledky, návody a poznámky π π a. 5 1 ln 2. 6 π (π + 2). Návod: urobit substitúciu x = t a použit vetu 1.2.

Prepis

1 Výsledky, návody poznámky π 4. 3 π ln. 6 π (π + ). Návod: urobit substitúiu = t použit vetu.. 9 ln. 3 π Návod: vezmite do úvhy, že = + + ( ) urobte substitúiu = t; dostnete dt t +, n výpočet ktorého použite definíiu.4 lebo definíiu.7. π. Návod: urobte substitúiu rtg = t. +b. 3 b +b 4 π Návod: urobte substitúiu 3 = t. 8 π 9 4. Diverguje.. π 3 π. 4.

2 5 5 ln ( + 3 ). Návod: vezmite do úvhy, že = urobte substitúiu 5 = t. ( 6 5 ) Návod: urobte substitúiu njprv = t potom v získnom integráli položte t = os ϕ; n výpočet použite definíiu.3. 7 ( ) p p!. Návod: urobte substitúiu ln = t. 8 I = I = π ln. Návod: substitúiou π = t s integrál I redukuje n integrál I ; potom I = I + I = π ln ( ) sin d = π ln + π ln (sin ) d = π ln + π ln (sin t) dt = π ln + π ln (sin t) dt + π π ln (sin t) dt = π ln + I (to s dostne pomoou substitúie π t = z v integráli π π ln (sin t) dt). 9 Návod: použite definíiu. skutočnost, že k ϕ () R <, η >, η, tk j ϕ () R <, η >. E 3 4 8e π 8. Návod: Pretože sin > pre kπ < < π + kπ, k =,,,... e π e sin os sin d = π+kπ e sin os k= kπ sin d = k= e kπ π e t sin t os t sin t dt (po substitúii kπ = t). Integrál π e t sin t os t sint dt je konvergentný, čo s dokáže n záklde definíie. resp. definíie.3, k vezmeme do úvhy, že sin t os t pre t π 4 sin t os t pre π t π zpíšeme ho ko súčet dvoh integrálov. 4 3 n! 3 I n = (n )!! n!! substitúiu = sin t. 33 ) ; b) π ; ). π, k n je párne; I n = (n )!! n!!, k n je nepárne. Návod: urobte 34 Návod: použite definíiu.7, v ktorej položte d = zohl dnite skutočnost, že v ) je funki z znkom integrálu nepárn v b) je párn. 35 Diverguje. 36 Konverguje. 37 Diverguje. 38 Diverguje. 39 Konverguje. 4 Diverguje. Návod: dokážte n záklde definíie.. 4 Diverguje. Návod: pre dôkz použite definíiu. poznámku.. 4 Konverguje (pozri úlohu 3). 43 Konverguje.

3 44 Konverguje. Návod: použite vetu Konverguje. 46 Konverguje. Návod: použite definíiu.7 potom definíiu. resp Diverguje. (Pozri návod k úlohe 46). 48 Konverguje. 49 Diverguje. 5 Diverguje. Návod: Npíšte dný integrál ko súčet dvoh integrálov d ln + ( ) d, pričom v druhom integráli funki ln ln =O pre + ; d lej využite poznámku.4 definíiu.7. 5 Konverguje. Návod: N záklde definíie.7 zpíšte integrál ko súčet dvoh integrálov n prvý z nih použite poznámku.4 n druhý dôsledok. (lebo poznámku.). 5 Konverguje. Návod: Dný integrál má singulárny bod =, t.j. integrál je typu integrál z definíie.3. Využitím poznámky.4 sformulujte špeiálne porovnávie kritérium v limitnom tvre pre uvedený typ nevlstného integrálu, podobne ko je toto kritérium sformulovné vo vete.5 pre integrál z definíie.. N záklde toho hl djte p ( ln sin lim ), + < p < kde p = ( ) p. 53 Diverguje. Návod: Integrál zpíšte v tvre + sin d = sin d + + sin d ( > ). Prvý integrál eistuje, druhý integál n prvej strne rovnosti použitím vzor sin = ( os ) npíšte ko rozdiel dvoh integrálov použite n jeden z nih definíiu. n druhý vetu Konverguje. Poznámk: bod = nie je singulárnym bodom funkie ln, lebo ln eistuje lim, o čom s presvedčte smi. 55 Návod: Uvžujte dv prípdy: ) s ; b) s >. ) Ak s, integrál eistuje ko vlstný (prečo?). b) Ak s >, funki (sin ) má singulárne body = = π. Podl definíie s.7 zpíšte integrál vo tvre π d = d + π d ( < < π). N dôkz (sin ) s (sin ) s (sin ) s konvergenie. integrálu použite poznámku.4 (tu = );. integrál substitúiou π = t prevediete n integrál so singulárnym bodom =. Z ), b) dostnete dôkz tvrdeni úlohy. 56 Návod: Uvžujte dv prípdy: ) p, b) p >. Prípd ) pozrite v návode k úlohe 55. V prípde b) funki sin má singulárny bod =. N dôkz konvergenie integrálu sin p p d použite poznámku.4, pritom vezmite do úvhy, že sin p 3 = sin. p.

4 57 Návod: Použite vetu Pozrite návod k úlohe Konverguje, k α < diverguje, k α. Návod: Zpíšte dný integrál v tvre d α ( +) + d α ( +) ( > ). Použitím poznámky.4 n. integrál dostnete množinu A hodnôt prmetr α, pre ktoré konverguje tento integrál, množinu A hodnôt prmetr α, pre ktoré integrál diverguje. Podobne použitím poznámky. dostnete množiny A A pre. integrál. Potom je množin A = A A hodnôt prmetr α, pre ktoré dný integrál konverguje, množin A = A A je množinou hodnôt prmetr α, pre ktoré dný integrál diverguje. 6 Konverguje, k α < diverguje, k α. Návod: Zpíšte funkiu, ktorú integrujete vo tvre. + sin α sin použite poznámku.. 6 Konverguje pre α > diverguje pre α. Návod: Urobte substitúiu ln = t n získný integrál použite dôsledok.. 6 Pre α < konverguje, pre α diverguje. Návod: Zpíšte integrál v tvre: π d π α os d π os α π d; prvé dv integrály mjú singulárny bod =, použite α n nih poznámku Konverguje pre α >. Návod: Integrál zpíšte vo tvre súčtu dvoh integrálov: e d+ α d ( > ); n prvý z nih použite poznámku.4 n druhý dôsledok α e.. 64 Konverguje pre < α <. Návod: Zpíšte dný integrál vo tvre súčtu dvoh integrálov: rtg d + rtg α d ( > ); n prvý z nih použite poznámku.4 α n druhý poznámku.. 65 Konverguje pre < α <. Návod: Urobte substitúiu ln( + ) = t d lej postupujte podl návodu k úlohe Konverguje pre α > ( ). Návod: Použite vetu Konverguje pre α >. Návod: Podl definíie.7 zpíšte dný integrál ko súčet dvoh integrálov n prvý z nih použite poznámku.4 n druhý poznámku Konverguje, k p > q >. Návod: Po substitúii ln = u v dnom integráli dostneme integrál u du. Ďlej postupujete podl návodu k úlohe 63. e (+p)u 69 Konverguje, k m >, n m >. Návod: Podl definíie.7 zpíšte dný integrál ko súčet dvoh integrálov n prvý z nih použite poznámku.4 n druhý poznámku.. 7 Konverguje, k m >, n m >. Poznámk: Pri hl dní hodnôt prmetrov m n, pre ktoré dný integrál konverguje, postupujte podl návodu k úlohe Konverguje, k p <, q <. Návod: Podl definíie.7 zpíšte dný integrál v tvre súčtu dvoh integrálov: d sin p os q + π ( ) d sin p os q < < π ; funkiu 4

5 sin p os q v. integráli rozširte p použite poznámku.4; v. integráli túto funkiu rozšírte výrzom ( π ) q použite poznámku.3. 7 Konverguje, k min{p, q} <, m{p, q} >. Návod: N záklde definíie.7 d zpíšte dný integrál v tvre súčtu dvoh integrálov: p + + d q p + ; n zistenie q konvergenie prvého z nih použite poznámku.4 v dvoh prípdoh ) p > q, b) p < q; n zistenie konvergenie druhého použite poznámku. tiež v uvedenýh dvoh prípdoh. 73 Konverguje, k p >, q <. Návod: Použitím substitúie ln = t v dnom integráli dostnete integrál dt. Ďlej postupujte podl návodu k úlohe 63. e (p )t t q 74 Konverguje pre m >, n >, m + n <. Návod: Singulárne body funkie, ktorú integrujeme n intervle (, ) sú,, +. Podl definíie.7 zpíšte dný integrál vo tvre súčtu štyroh integrálov: d f()d + d f()d + d f()d + d f()d ( < d < < d <, f() = α β ), z ktorýh kždý obshuje len jeden singulárny bod. N vyšetrenie konvergenie. 3. integrálu použite poznámku.4, konvergenie. integrálu poznámku.3 konvergeniu 4. integrálu poznámku.. 75 Konverguje, k p > q >. Návod: Podl definíie.7 dný integrál zpíšte v tvre: ( ) q d + p ( < < ); n prvý z nih použite poznámku.4 n p ( ) q druhý použite poznámku Konverguje pre p >, l ubovol né q, r < pre p =, q >, r <. Návod: Substitúiou ln ln = u v dnom integráli dostnete integrál du e (p )eu e (q )u u r. Ďlej postupujte podl návodu k úlohe 63, pričom pri vyšetrení konvergenie. integrálu (ktorý má singulárny bod ) rozlíšte dv prípdy: ) p >, b) p =. 77 Konverguje, k p i < (i =,,..., n), n i= p i >. Návod: Funki, ktorú integrujeme n intervle (, ) má tieto singulárne body:,,..., n,. Ďlej postupujeme podobne ko v návode k úlohe Návod: Podl definíie.7 zpíšte dný integrál ko súčet dvoh integrálov sin td + sin td ( >, t ). s s Poznámk.: Pre t = dostnete nulovú funkiu, ktorej integrál bsolútne konverguje n (, ). Pri vyšetrovní konvergenie dného integrálu postupujeme tkto: sin t. Použitím poznámky.4 dostnete s čoho vyplýv, že. N získnie konvergenie. integrálu použite vetu.7. = sin t t t. s = O ( s ) pre +, z sin t s d konverguje, k s <, t.j. s < ; použite poznámku.. Z.. dostnete množinu hodnôt prmetr s, pre ktoré dný integrál konverguje. Poznámk.: Z. vyplýv, že. integrál bsolútne konverguje pre s <. 5

6 Absolútnu konvergeniu. integrálu zistíte n záklde prvej čsti vety.4. Z poznámky. bsolútnej konvergenie. integrálu dostnete množinu hodnôt prmetr s, pre ktoré dný integrál konverguje bsolútne. 79 Návod: Použitím vzor os t = sin t v dnom integráli dostnete integrál sin t d. Funki sin t s je n (, ) nezáporná, preto konvergeni tohoto integrálu s je súčsne j bsolútnou konvergeniou. Pri skúmní konvergenie integrálu postupujete podl návodu k úlohe 78., pričom v prvom z integrálov, ktoré dostnete po vyjdrení uvedeného integrálu ko súčtu dvoh integrálov, vezmite do úvhy, že sin t s = t 4 ( sin t t )., t. s 8 Návod: Po použití vzorov pre goniometriké funkie polovičného rgument v dnom integráli dostnete sin 3 os d. Dôkz tvrdeni úlohy preved te podl s návodu k úlohe Návod: ) N zistenie konvergenie integrálu použite vetu.7. Pri dôkze divergenie integrálu os d využite nerovnost os os. b) Dôkz robte podl návodu v ), pritom využite nerovnost sin sin. ) Substitúiou = t v dnom integráli dostnete integrál typu, ktorý s uvžuje v úlohe b). 8 Postup riešeni úlohy je ten istý, ko úlohy 8. ). 83 Konverguje bsolútne, k < p+ q < ; konverguje nebsolútne, k p+ <. Návod: A. Po použití substitúie q = t v dnom integráli dostnete integrál q q sin t p+ t q dt, ktorý n záklde difiníie.7 zpíšte ko súčet dvoh integrálov π q sin t p+ t q dt + q π sin t p+ t q Použitím poznámky.4 n. integrál vety.7 n. integrál dostnete podmienku pre prmetre p q tkú, by dný integrál konvergovl. B.. Pri skúmní bsolútnej konvergenie dného integrálu vezmite do úvhy, že. integrál konverguje j bsolútne pre tie isté hodnoty prmetrov p q, pre ktoré konverguje v obyčjnom zmysle.. N zístenie bsolútnej konvergenie. integrálu použite. čst vety.4. Z.. dostnete podmienku pre p q, by dný integrál bsolútne konvergovl. Porovnním výsledkov v A B dostnete podmienku, z ktorej dný integrál konverguje nebsolútne. 84 Konverguje bsolútne. Návod: Použitím substitúie se = os = t v dnom integráli dostnete sin t t dt. Postup riešeni tejto úlohy je podobný postupu riešeni t úlohy 83., len tu je o to l hšie, že nemáme nijké prmetre. 6 dt.

7 85 Konverguje nebsolútne. Návod: Urobte substitúiu e = t n získný integrál použite vetu.7. Pri skúmní divergenie tohto integrálu využite nerovnost os t os t. 86 Konverguje bsolútne, k p >, q > p + ; konverguje nebsolútne, k p >, p < q p +. Poznámk: Pri riešení úlohy postupujte podl návodu k úlohe Návod: Ukážte, že P (t) Q(t) dt konverguje bsolútne potom použite vetu Riešenie: Bez ujmy n všeobenosti môžeme povžovt, že nerovnost f [ϕ()] ϕ () qf() (q < ) je splnená pre všetky <, ). Neh b >, = ϕ(t), = ϕ(), b = ϕ(β), potom b f()d = ( β ) β f [ϕ(t)] ϕ (t)dt q f(t)dt = q f()d + f()d, odkil vyplýv, že lebo f()d + b b β f()d q f()d q f()d q f()d q Pretože β b, f() >, integrál b β f()d ted, ( q) lebo f()d q q f()d. f()d f()d. f()d q f()d Ak b, tk j β f()d = lim f()d f()d. β Pretože integrály f()d f()d konvergujú lebo divergujú súčsne (pozri poznámku.6), prvá čst tvrdeni je dokázná. Neh terz f [ϕ()] ϕ () f(). Pre zvedené oznčeni máme: b f()d = Ak b, tk j β, vtedy, ked f()d =. f [ϕ(t)] ϕ (t)dt = f [ϕ(t)] ϕ (t)dt + f [ϕ(t)] ϕ (t)dt + q f [ϕ(t)] ϕ (t)dt f(t)dt. f()d f [ϕ(t)] ϕ (t)dt + f(t)dt, čo je možné len 9 Nemusí. Návod: ) Z týmto integrálom ste s stretli už v úlohe 8., kde s zistilo n záklde vety.7, že konverguje. Avšk lim sin neeistuje. (Prečo?) b) Konvergeniu dného integrálu zistite n záklde tvrdeni z odseku. Podl neho po použití substitúie = t dostnete, že ( ) [] d = k= k+ k ( ) [] dt = 7 k= k+ k ( ) [t] dt. t

8 Ked vypočítte integrál z znkom sumáie, dostnete číselný rd, ktorého konvergeniu zistíte pomoou Leibnizovho kritéri. Potom ukážte, že tento výsledok nezávisí od vol by postupnosti {η k } k= < (, ), lim η k = (pozri [3]). k Záverom dostnete, že lim ] ( )[ neeistuje. 93 Návod: Uvžujte integrál f()f ()d, ktorý konverguje n záklde predpokldov z tejto úlohy. Využite túto skutočnost, definíiu. dôkz tvrdeni urobte sporom. 94 Nie. (Odôvodnite to.) 95 Ak integrál f()d konverguje nebsolútne funki ϕ() je ohrničená, tk sin f()ϕ()d môže divergovt (pozri úlohu 53., v ktorej z f() vezmite funkiu ϕ() = sin ). N druhú otázku dáv odpoved vet Návod: Podl predpokldu eistuje vlstná limit lim f()d (pozri definíiu.3). Položte η = n η + η, n N predpokldjte, že f() je monotónne klesjú n < n, > (podobné úvhy potom môžete previest pre monotónne rstúe funkie). Urobte delenie intervlu n n rovnkýh čstí npíšte horný S dolný S integrálny súčet funkie f() zodpovedjúe dnému deleniu tkto: S = n ( ) k f = n n n k= S = n ( ) k f = n n n k= n ( ) k f n n ( ) k f n k= k= Ďlej využite z teórie určitého integrálu známu nerovnost S f( n to, že lim ) = (odôvodnite to!) lim n n nerovnosti dostnete pltnost tvrdeni. n f()d S n f() n f() n ; f( n ) n. =. Limitným prehodom v tejto 98 ) ln. Poznámk: Vezmite do úvhy, že integrál má singulárne body,, ; b) ; ) π; d). 8