Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.

Veľkosť: px

Začať zobrazovať zo stránky:

Download "Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice."

Alexandra Liptáková
pred 4 rokmi
Prehliadani:

1 Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos

2 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava Algoritmus 3 Výsledky Skúmané modely Quasi 1D DMPK (testovací výpočet) Kov Kritický bod Izolant 4 Záver

3 Vodivost a transfér matica A B C D ( ) ( ) C A = S B D ( ) ( ) C A = T D B T = ), (1) ( t S = + r r + t ( t T = + r (t ) 1 r + r (t ) 1 (t ) 1 r + (t ) 1 ), (2) ( ) ( ) ( ) u λ + 1 λ u v λ λ + 1 v, (3) g = e2 h Tr(t ) t = e2 h a λ a. (4)

4 Klasická DMPK rovnica l P L = 2 N βn + 2 β λ λ i (1 + λ i )J J 1 P, (5) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j β, vab v cd = 1 N δ ab δ cd, v cavcb v da v db = 1 + δ ab N(N + 1) δ cd, (6) i<j P({x n}, s) = C(s) (sinh 2 x j sinh 2 x i ) (sinh 2x i ) i<j i [ ( Det dk exp 1 4 ) k 2 ( ) ] s 1 tanh N 2 πk k (2m 1) P 12 (ik 1) (cosh 2xn), (7) s = L l, λn = sinh2 x i, (8) N 1 g =, g = a 1 + λ a... N a N 1 dλ ap({λ a}, L), (9) a 1 + λ a var g = g 2 g 2 = 2 15β. (1)

5 Zovšeobecnená DMPK rovnica (GDMPK) pre β = 1 : l P N L = λ λ i (1 + λ i )K ii J J 1 P, (11) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j γij, (12) i<j γ ij = 2K ij K ii, K ij = a u ia 2 u ja 2. (13) quasi 1D limit : K 1Disotropy ab = 1 + δ ab, pre = 1, (14) N + 1 1,8 kaa 1,6 1,4 W=2 14x14x112 W=2 1x1x16 W=4 18x18x72 W=4 18x18x18 W=2 14x14x14 1, a

6 Ciel e Numericky vyriešit GDMPK, preskúmat quasi 1D limitu pre GDMPK na DMPK,

7 Ciel e Numericky vyriešit GDMPK, preskúmat quasi 1D limitu pre GDMPK na DMPK, Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant,

8 Ciel e Numericky vyriešit GDMPK, preskúmat quasi 1D limitu pre GDMPK na DMPK, Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant, Rôzna dimenzionalita vzorky,

9 Ciel e Numericky vyriešit GDMPK, preskúmat quasi 1D limitu pre GDMPK na DMPK, Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant, Rôzna dimenzionalita vzorky, Dvojparametricky model matice K ij.

10 Transformácia rovnice, 1.čast l P N L = λ λ i (1 + λ i )K ii J J 1 P, (15) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j γij, γ ij = 2K ij, lim P = K i<j ii L δ(λ i + ). (16) i

11 Transformácia rovnice, 1.čast l P N L = λ λ i (1 + λ i )K ii J J 1 P, (15) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j γij, γ ij = 2K ij, lim P = K i<j ii L δ(λ i + ). (16) i N s P({λn}, s) = i=1 D(λ λ i ) i ( P + P ) Ω({λ n}), (17) λ i λ i D(λ i ) = λ i (1 + λ i )K ii, Ω({λ n}) = γ ij ln λ j λ i, s = L l i<j (18)

12 Transformácia rovnice, 1.čast l P N L = λ λ i (1 + λ i )K ii J J 1 P, (15) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j γij, γ ij = 2K ij, lim P = K i<j ii L δ(λ i + ). (16) i N s P({λn}, s) = i=1 D(λ λ i ) i ( P + P ) Ω({λ n}), (17) λ i λ i D(λ i ) = λ i (1 + λ i )K ii, Ω({λ n}) = γ ij ln λ j λ i, s = L l i<j P({x n}, s) = P({λ n}, s) f (x i ), λ n = f (x n), (19) i Ω Ω i ln f (x i ), D D/f (x i ) 2, f (x i )[1 + f (x i )]/f (x i ) 2 = const, (2) (18)

13 Transformácia rovnice, 1.čast l P N L = λ λ i (1 + λ i )K ii J J 1 P, (15) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j γij, γ ij = 2K ij, lim P = K i<j ii L δ(λ i + ). (16) i N s P({λn}, s) = i=1 D(λ λ i ) i ( P + P ) Ω({λ n}), (17) λ i λ i D(λ i ) = λ i (1 + λ i )K ii, Ω({λ n}) = γ ij ln λ j λ i, s = L l i<j P({x n}, s) = P({λ n}, s) f (x i ), λ n = f (x n), (19) i Ω Ω i ln f (x i ), D D/f (x i ) 2, f (x i )[1 + f (x i )]/f (x i ) 2 = const, (2) f (x i ) = sinh 2 (x i ), resp λ n = sinh 2 (x i ) (21) s P({xn}, s) = 1 N ( P 4 K x ii + P ) Ω({x n}), i=1 i x i x i (22) Ω({x n}) = γ ij ln sinh 2 (x j ) sinh 2 N (x i ) ln sinh(2x i ). (23) i<j i=1 (18)

14 Transformácia rovnice, 2.čast ( ) t P = D x i ({x}) + 2 D i x i x ij ({x}) P (24) j x i =h i ({x}, s) + g ij ({x})γ j (s), Γ(s) =; Γ(s)Γ(s ) = 2δ(s s ), g ij =( D) ij = ( D) ji, h i =D i ( D) kj ( D) x ij, k (25a) (25b) (25c) (25d) D i ({x}) = K ii 4 Ω({x n}) x i, (26a) D ij ({x}) = K ii 4. (26b)

15 Algoritmus štartovací bod s = s, x is x i (s ) Nν x i(n+1) = x in + D i ({x n})σ + D ij ({x n})σw jn, (27) j=1 kde N ν je počet premenných (kanálov), σ je krok v čase. Po N 1 krokoch získame hodnotu premennej x in = x i (s n) v čase s n = s + σn, (n =, 1,..., N 1; i = 1, 2,..., N ν). w j, w j1,..., w j (N 1) sú N N ν nezávislé Gaussovské premenné s nulovou strednou hodnotou a s variáciou rovnou 2, w jn w kn = 2δ jk δ nn. (28) Reflecting boundary conditions: x i 1n < x in < x i+1n 1, < x 1n, x Nνn < x Nν 1n. (29) Cuttoff C: x Nνn, x Nνn C, n. (3)

16 Prezentované modely GDMPK: Plná matica K ij ; červena farba v grafoch Dvojparametrický model matice K ij {K ii = K 11, K ij,i =j = K 12 }; fialová farba v grafoch Transfer matrix; čierna farba v grafoch: H = w i ɛ i c i c i + t i c i c i + t c i c i i t = 1, t =.4, ɛ i =, var ɛ i = D a 2D konfigurácie (L L L z resp. L 2 1 L z )

17 Quasi 1D DMPK (testovací výpočet) modely g var g ln g var ln g Quasi 1D W=2.; TM vs. dmpk TM 3x3x TM 3x3x dmpk TM 3x3x dmpk TM 3x3x dmpk TM 3x3x dmpk TM 3x3x dmpk

18 Quasi 1D DMPK (testovací výpočet) P(x 1 ) P(x 2 ) P(x ) all 1 P(g)

19 Kov modely g var g ln g var ln g 3D kov W=3.; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11= ,K12= TM 7x7x TM 7x7x gdmpk K ab gdmpk K 11 K TM 7x7x gdmpk K ab gdmpk K 11 K D kov W=3.; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11= , K12= TM 49x1x TM 49x1x gdmpk K ab gdmpk K 11 K TM 49x1x gdmpk K ab gdmpk K 11 K

20 Kov 2D P(x ) 1 P(x ) P(x ) all.4 P(g)

21 Kov 3D P(x ) 1 P(x ) P(x ) all.4 P(g)

22 Kritický bod modely g var g ln g var ln g 3D kritický bod W=9.2; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11= ,K12= TM 7x7x TM 7x7x gdmpk Kab gdmpk K11K TM 7x7x gdmpk Kab gdmpk K11K D kritický bod W=8.6; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11= ,K12= TM 49x1x TM 49x1x gdmpk Kab gdmpk K11K TM 49x1x gdmpk Kab gdmpk K11K

23 Kritický bod 2D 1 P(x 1 ) P(x 2 ) P(x ) all 1 P(g)

24 Kritický bod 3D 1 P(x 1 ) P(x 2 ) P(x ) all 1 P(g)

25 Izolant modely g var g ln g var ln g 3D izolant W=26.; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11= ,K12= TM 7x7x TM 7x7x gdmpk Kab gdmpk K11K TM 7x7x gdmpk Kab gdmpk K11K D izolant W=26.; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11= , K12= TM 49x1x TM 49x1x gdmpk Kab gdmpk K11K TM 49x1x gdmpk Kab gdmpk K11K

26 Izolant 2D P(x 1 ) P(x 2 ) P(x ) all.2 P(ln g)

27 Izolant 3D P(x 1 ) P(x 2 ) P(x ) all.2 P(ln g)

28 Zhrnutie DMPK: použitel ná v quasi 1D, súlad s exaktným vypočtom a TM. GDMPK: správne (? kov) opisuje jednotlivé oblasti fázoveho diagramu kov-izolant pre vodivost. GDMPK: matica K ij nesie informácie o dimensionalite vzorky. GDMPK: dvojparametrický model je postačujúca aproximácia pre vodivost. GDMPK: kompletný opis distribúcie neposkytuje či už naš algoritmus alebo samotná rovnica; nezanedbatel ný faktor má matica K ij, nakol ko jej vyššie elementy sú určene nepresne.

Podobné dokumenty

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová