III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
|
|
- Zoltán Čapek
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019
2 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej derivácie
3 Derivácia funkcie v smere smerová derivácia Parciálne derivácie funkcie dávajú informáciu o správaní sa funkcie v smeroch rovnobežných so súradnicovými osami. Informáciu o tom ako sa funkcia správa v iných smeroch nám dáva tzv. derivácia funkcie v smere smerová derivácia. Nech f je definovaná v bode (x 0, y 0 ) a nech u = (u 1, u 2 ). Obr.: Derivácia v smere, softvér Funkcia, ktorú dostaneme ak sa z bodu (x 0, y 0 ) vyberieme v smere vektora u má tvar ϕ(t) = f ((x 0, y 0 ) + t(u 1, u 2 )), t R
4 Derivácia funkcie v smere smerová derivácia 1 Definícia 3.1 Nech f je definovaná v bode (x 0, y 0 ) a nech u = (u 1, u 2 ) je jednotkový vektor. Položme ϕ(t) = f ((x 0, y 0 ) + t(u 1, u 2 )), t R. Ak má funkcia ϕ deriváciu v bode t = 0, nazývame ju derivácia v smere jednotkového vektora u funkcie f v bode (x 0, y 0 ) a označujeme f u (x 0, y 0 ). T.j. ϕ(t) ϕ(0) f ((x 0, y 0 ) + t (u 1, u 2 )) f (x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ) = lim = lim t 0 + t t 0 }{{} + t ϕ + (0) Alternatívne sa používa aj značenie df (x 0,y 0 ) d u alebo f (x 0,y 0 ) u. Úloha: ( ) Vypočítajte deriváciu funkcie f (x, y) = x 2 3xy 2y 2 v bode ( 1, 1) v smere vektora ( 3 5, 4 5). Úloha: V smere akých dvoch vektorov bude pojem derivácia v smere totožný parciálnej derivácii?. Svoje tvrdenie zdôvodnite. 1 Geometrický význam derivácie v smere je podobný ako parciálnych derivácíı, ide o smernicu dotyčnice ku grafu funkcie ϕ.
5 Derivácia funkcie viac premenných v smere Poznámka: Zrejme nie je t ažké ukázat, že v bode (x 0, y 0) D f platí df ((x 0, y 0)) f ((x0, y0)) df ((x 0, y 0)) f ((x0, y0)) d =, i x d =, j y kde i = (1, 0), j = (0, 1). Analogicky vieme podobnú úvahu urobit aj pre funkciu viac premenných. Definícia 3.2 Nech f je definovaná v bode a E n a nech u = (u 1, u 2,..., u n) je jednotkový vektor. Položme ϕ(t) = f (a + t u), t R. Ak má funkcia ϕ deriváciu v bode t = 0, nazývame ju derivácia v smere jednotkového vektora u funkcie f v bode a a označujeme f u (a). T.j. ϕ(t) ϕ(0) f u (a) = lim t 0 + t }{{} ϕ + (0) = lim t 0 + f (a + t u) f (a) t Alternatívne sa používa aj značenie df (a) d u alebo f (a) u.
6 Je potrebné požadovat jednotkovost vektora u? df (a) d v Čo sa stane, ked budeme uvažovat v = c u, kde c R + a u je jednotkový vektor... f (a + t v) f (a) (f (a + t c u) f (a)) c = lim = lim t 0 + t t 0 + t c f (a + s u) f (a) df (a) = c lim = c s 0 + s d u. Pozorovanie c t = s = t 0 + s 0 + Hodnota derivácie funkcie v danom bode a v smere l ubovol ného vektora v závisí od vel kosti daného vektora v. Hmmm, to zrejme nie je žiadúce, chceme totiž hodnoty smerových derivácíı porovnávat! Jednotková vel kost vektora u je podstatná. 2 Poznámka: Obdobne ako u parciálnych derivácíı je možné zaviest derivácie v smere vyšších rádov. Pre pevne zvolený vektor u je f u (x, y) funkciou dvoch premenných x, y. Ak má táto funkcia mat v nejakom bode (x, y) deriváciu v smere v, nazývame ju druhá smerová derivácia v bode (x, y) v smeroch u a v a označíme f u v (x, y) alebo 2 f (x,y) u v. 2 V niektorých literatúrach, napr.[?] autori na tejto podmienke netrvajú. Treba si však potom dávat pozor na interpretáciu. V takom prípade nevieme porovnávat. Napr. ak derivácia v smere nej. vektora je väčšia neznamená to, že v tomto smere funkcia rastie/klesá rýchlejšie.
7 Výpočet smerových derivácíı Počítat derivácie v smere ide aj inak (jednoduchšie?) ako len pomocou definície. Pre potreby takéhoto výpočtu si pripomeňme skalárny súčin dvoch vektorov: Nech u = (u 1, u 2 ) a v = (v 1, v 2 ) sú dva vektory, ich skalárny súčin označme u, v a počítame u, v = u 1 v 1 + u 2 v 2 u, v = u v cos ϕ, kde 0 ϕ π. Veta 3.3 Nech funkcia f : z = f (x, y) je diferencovatelná v bode (x 0, y 0) a nech u = (u 1, u 2) je l ubovol ný vektor. Potom existuje derivácia funkcie f v bode (x 0, y 0) v smere vektora u a platí df (x 0, y 0) d u = gradf (x 0, y 0), u = f (x0, y0) u 1 + x f (x0, y0) u 2 y Poznámka: Z hore uvedeného vzt ahu vyplýva, že ak je gradf (x 0, y 0) = (0, 0), tak f u (x 0, y 0) = 0 pre každý vektor u.
8 Interpretácia smerovej derivácie a gradient funkcie dvoch premenných Zamyslime sa Kedy je smerová derivácia v danom bode najvyššia? V smere akého vektora? 3 Ked že sa smerová derivácia podl a predch. vety dá počítat pomocou gradientu, hl adajme v akom vzt ahu s gradientom funkcie f v danom bode má byt vektor s najväčšou hodnotou smerovej derivácie. Označme δ uhol, ktorý zviera jednotkový vektor u s vektorom gradf (a), kde a = (x 0, y 0 ), potom smerová derivácia funkcie f v bode a má tvar df (a) d u = grad f (a), u = grad f (a) u cos δ = grad f (a) cos δ. > MAX Kedy je hodnota hore uvedeného súčinu pre pevne dané a najvyššia? Zrejme, ked cos δ = 1 δ = 0, t.j. vtedy, ked vektor u a vektor gradf (a) zvierajú uhol δ = 0. u = c gradf (x 0, y 0 ) u je jednotkový vektor gradf (a) u = gradf (a) Smerová derivácia je najvyššia v smere gradientu funkcie f v danom bode. 3 Predpokladajme hned, že gradf (x0, y 0 ) 0. Inak totiž ako bolo spomenuté vyššie, je smerová derivácia vo všetkých smeroch nulová.
9 Zamyslime sa Kedy je smerová derivácia v danom bode najnižšia? V smere akého vektora? Analogická formulácia problému: df (a) d u = grad f (a), u = grad f (a) u cos δ = grad f (a) cos δ. > MIN Kedy je hodnota hore uvedeného súčinu pre pevne dané a najnižšia? Zrejme, ked cos δ = 1 δ = π, t.j. vtedy, ked vektor u a vektor gradf (a) zvierajú uhol δ = π. u = c gradf (x 0, y 0 ), c < 0 u je jednotkový vektor gradf (a) u = gradf (a) Smerová derivácia je najnižšia v smere opačnom ako gradient funkcie f v danom bode.
10 Veta 3.4 Nech gradf (x 0, y 0) 0. Potom smerová derivácia f u (x 0, y 0) v smere jednotkového vektora u je najväčšia pre vektor u = gradf (x 0,y 0 ) gradf (x 0,y 0 a najmenšia pre vektor ) u = gradf (x 0,y 0 ). gradf (x 0,y 0 ) Poznámky: Dôkaz tohoto tvrdenia sme v podstate urobili na predchádzajúcom slide. Maximálna hodnota smerovej derivácie je teda gradf (x 0, y 0) a minimálna hodnota je gradf (x 0, y 0). Interpretácia, význam gradientu: Gradient teda určuje smer, v ktorom funkcia najrýchlejšie rastie a vektor gradf (a) je vektor, ktorý udáva smer najväčšieho poklesu funkcie f v bode a. Úloha: Nájdite jednotkový vektor u, pre ktorý je smerová derivácia f u funkcie f (x, y) = 4 + x 2 + y 2 v bode (x 0, y 0 ) = (2, 1) maximálna, a určte jej hodnotu. 4 4 Riešenie je možné vizualizovat v sofvéri, softvér
11
12 3.4.1 Parciálna derivácia zloženej funkcie prvého rádu Obr.: Kompozícia funkcíı jednej premennej Pripomeňme si (Derivácia zloženej funkcie 1 premennej) Nech funkcia ϕ má deriváciu v bode x 0 a f má deriváciu v bode y 0 = g(x 0). Potom funkcia f g má deriváciu v bode x 0 a platí (f g) (x 0) = f (y 0) g (x 0). Poznámka: Pri označení f (x) = t pre každé x D f g si predchádzajúcu formulu vieme prepísat do tvaru: (f g) df (y0) (x 0) = dϕ(x0) dt d x
13 A: Zložená funkcia tvaru: F (x) = f (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) V prvej fáze nás bude zaujímat zložená funkcia v zjednodušenom tvare, schematicky ide o funkciu vonkajšia zložka vedl ajšie zložky {}}{{}}{ ϕ 1, ϕ 2,..., ϕm f x t = (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) f (t) Veta 3.5 (Parciálne derivácia zloženej funkcie I) Nech funkcie t i = ϕ i (x), i = 1, 2,..., m majú deriváciu v bode a E 1 a funkcia y = f (t 1, t 2,..., t m) je diferencovatel ná v bode b = (ϕ 1 (a), ϕ 2 (a),..., ϕ m(a)). Potom zložená funkcia F (x) = f (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) má deriváciu v bode a, pričom platí F (a) = m i=1 Poznámka: Všeobecne, pre vhodné x D f, máme F f (t1,..., tm) (x) = t 1 f (b) t i ϕ i (a). ϕ f (t1,..., tm) 1 (x) + ϕ f (t1,..., tm) 2 (x) + + ϕ m t 2 t (x). m
14 B: Zložená funkcia tvaru F (x) = f (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) Napokon nás zaujíma zložená funkcia vo všeobecnom tvare, schematicky: vnútorné zložky {}}{ ϕ 1, ϕ 2,..., ϕm x t = [ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)] Veta 3.6 (Parciálne derivácia zloženej funkcie I) vonkajšia zložka {}}{ f f (t) Nech funkcie t i = ϕ i (x 1, x 2,..., x n), i = 1, 2,..., m majú parciálne derivácie podl a každej svojej premennej v bode a = (a 1, a 2,..., a n) a funkcia y = f (t 1, t 2,..., t m) je diferencovatel ná v bode b = (ϕ 1 (a), ϕ 2 (a),..., ϕ m(a)). Potom zložená funkcia F (x 1, x 2,..., x n) = f (ϕ 1 (x 1, x 2,..., x n), ϕ 2 (x 1, x 2,..., x n),..., ϕ m(x 1, x 2,..., x n)) má parciálne derivácie podl a každej svojej premennej v bode a = (a 1, a 2,..., a n), pričom platí F (a) m f (b) = ϕ i (a), k = 1, 2,..., n. x k t i x k i=1 Poznámka: Všeobecne, pre vhodné x D f, máme F = f ϕ1 + f ϕ2 + + f ϕm, x 1 t 1 x 1 t 2 x 1 t m x 1 RNDr.. Lenka Halčinová, PhD.
15 Úloha: Preformulujte predchádzajúcu vetu, ak by sme potrebovali spočítat len parciálnu deriváciu podl a premennej x 2. Úloha: Je daná zložená funkcia F (x, y) = f (x y, x y ). a) Nájdite prvé parciálne derivácie funkcie F, b) Pomocou predchádzajúceho vzorca z časti a) určte prvé parciálne derivácie zloženej funkcie F, ak f (u, v) = u 2 + v 2, kde u = x y, v = x. Svoj výsledok potvrd te y priamym výpočtom. Úloha: Daná je rovnost kde z = f (x + ϕ(y)). a) Dokážte, že daná rovnost je pravdivá. b) Nájdite z x z x dϕ dy = z y, a z y pre f (t) = sin t, ϕ(y) = y
16 Poznámka: Dôsledkom predchádzajúcich úvah je tvrdenie: Nech funkcie t i = ϕ i (x 1, x 2,..., x n), i = 1, 2,..., m sú diferencovatel né v bode a = (a 1, a 2,..., a n) E n a funkcia y = f (t 1, t 2,..., t m) je diferencovatel ná v bode b = (ϕ 1 (a),..., ϕ m(a)) E m. Potom zložená funkcia F (x 1, x 2,..., x n) = f (ϕ 1 (x 1, x 2,..., x n),..., ϕ m(x 1, x 2,..., x n)) je diferencovatel ná v bode a = (a 1, a 2,..., a n) a pre jej diferenciál v bode a platí n m f (b) df (a, h) = h k ϕ i (a). t i x k k=1 i=1
17 3.4.2 Parciálne derivácie vyšších rádov zloženej funkcie Uvažujme zloženú funkciu F (x, y) = f (ϕ(x, y), ψ(x, y) ), }{{}}{{} u v Predpokladajme,že funkcie ϕ, ψ majú parciálne derivácie prvého rádu, ktoré sú diferencovatel né v bode a = (a 1, a 2 ) funkcia f má parciálne derivácie, ktoré sú diferencovatel né v bode b = (ϕ(a), ψ(a)). Potom sú funkcie F x, F diferencovatel né v bode a, pretože... (odtial máme, že existujú druhé parciálne y derivácie funkcie F v bode a). Rovnako, pokračujeme d alej... Potom parciálne derivácie druhého rádu sú nasledujúce: 2 F x 2 2 F y 2 F x F y ( = 2 f ϕ ) 2 u 2 x f ψ ϕ v u x x ) f ( = 2 f ϕ u 2 y 2 F y x = 2 F x y = 2 f v u ϕ u 2 y ψ ϕ y y ϕ x + 2 f v u = f ϕ + f ψ u x v x = f ϕ u y + ( 2 f ψ v 2 x + ( 2 f ψ v 2 y ( ψ ϕ y x + f ψ v y ) 2 + f 2 ϕ u x ) f 2 ϕ + ϕ y ψ x + f 2 ψ ; v x 2 + f u y 2 v ) + f u 2 ψ y 2. 2 ϕ y x + f v Poznámka: Ked že F x, F y sú diferencovatel né v bode a, tak vieme, že v tomto bode 2 F y x = 2 F x y Úloha: Odvod te formuly pre 2 F x 2, 2 F y 2, 2 F y x. 2 ψ + 2 f ψ ψ. y x v 2 y x
18 ROZŠIRUJÚCE učivo...
19 Diferenciál vyššieho rádu funkcie Pripomeňme si... Diferenciál k-teho rádu funkcie f jednej reálnej premennej v bode a je daný d k f (a, x) = f (k) (a)(x a) k, kde f (k) (a) je k-ta derivácia funkcie f v bode a. Uvažujme funkciu dvoch premenných z = f (x, y), (x, y) O(a 1, a 2) Definícia 3.7 (Diferenciál funkcie f dvoch premenných k-teho rádu) Nech funkcia f : E 2 E 1 má v bode a = (a 1, a 2) spojité všetky parciálne derivácie k tého rádu. Diferenciálom k tého rádu funkcie f v bode a rozumieme polynomickú funkciu (polynóm) dvoch premenných x, y stupňa najviac k tvaru d k f (a, x) = k j=0 ( k j ) k f (a) x k j y j (x a1)k j (y a 2) j a funkciu f nazývame k krát diferencovatel nou v bode a. Poznámka: Predpoklad spojitosti parciálnych Matematická derivácíı funkcie analýza f viv bode a súvisí RNDr. so zámennost ou Lenka Halčinová, parciálnych PhD. derivácíı v tomto bode.
20 Poznámky: Rozpísanie definície niektorých diferenciálov v bode a: f (a) f (a) df (a, x) = (x a 1 ) + (y a 2 ) x y d 2 f (a, x) = 2 f (a) x 2 (x a 1 ) f (a) (x a 1 )(y a 2 ) + 2 f (a) x y y 2 (y a 2 )2 d 3 f (a, x) = 3 f (a) x 3 (x a 1 ) f (a) x 2 (x a 1 ) 2 (y a 2 ) f (a) y x y 2 (x a 1 )(y a 2 )2 + 3 f (a) Formálne diferenciál k tého rádu funkcie f v bode a môžeme zapísat v tvare d k f (a, x) = [ x (x a1) + y (y a2) ] k f (a), y 3 (y a 2 )3 Analogicky vieme teda definovat Diferencovatel nost funkcie viac premenných k-teho rádu Nech funkcia f : E n E 1 má v bode a = (a 1, a 2,..., a n) spojité všetky parciálne derivácie k tého rádu. Diferenciálom k tého rádu funkcie f v bode a nazývame polynomickú funkciu (polynóm) n premenných x 1, x 2,..., x n stupňa najviac k, ktorú môžeme formálne zapísat v tvare [ ] d k f (a, x) = (x 1 a 1) + (x 2 a 2) + + k (x n a n) f (a) x 1 x 2 x n a funkciu f nazývame k krát diferencovatel nou v bode a. Symbolu [... ] k rozumieme rovnako ako v predchádzajúcom prípade Úloha: Nájdite d 3 f ((1, 1), (x, y)) funkcie f (x, y) = xy 2 + x 2 y. Úloha ( ): Odvod te všeobecný vzorec pre d 3 f ((a, b, c), (x, y, z)) pre funkciu f trikrát spojite diferencovatel nú v bode (a, b, c).
21 3.5 Taylorov polynóm funkcie viac premenných Pripomeňme si... Taylorov polynómom stupňa n funkcie f jednej reálnej premennej v bode a je polynóm tvaru T n(x) = T n(f, a; x) = f (a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n n! T n(x) = T n(f, a; x) = f (a) + f (a) 1! a ked že d k f (x) = f (k) (x)(dx) k, tak dx + f (a) 2! (dx) f (n) (a) (dx) n n! T n(x) = T n(f, a; x) = f (a) + 1 1! df (a) + 1 2! d 2 f (a) n! d n f (a) Veta 3.8 (Taylorova veta) Nech funkcia y = f (x 1, x 2,..., x n) je (k + 1) krát diferencovatel ná na nejakom okoĺı bodu a = (a 1, a 2,..., a n). Potom pre každý bod x O(a) existuje číslo θ (0, 1) také, že platí df (a, x) f (x) = f (a) + 1! + d 2 f (a, x) 2! df (a, x) f (x) = f (a) + + d 2 f (a, x) 1! 2! + + d k f (a, x) k! + + d k f (a, x) k! }{{} k tytaylorov polynóm funkcie f v bode a,ozn.t k (f,a;x) 1 k+1 + R k, +R k
22 Poznámky: Ak bod a = (0, 0,..., 0), tak uvedený polynóm sa nazýva Maclaurinov polynóm. Z Taylorovej vety máme tzv. Taylorov vzorec: f (x) = T k (x) + R k (x), x O(a). V prípade, že funkcia viac premenných y = f (x 1, x 2,..., x n) je nekonečne vel a krát diferencovatel ná v bode a = (a 1, a 2,..., a n) (t.j. má diferenciál v bode a l ubovol ného rádu), tak nekonečný rad v tvare T (f, a; x) = k=0 nazývame Taylorov rad funkcie viac premenných f v bode a. 1 k! d k f (a, x), Úloha: Nájdite Taylorov rad funkcie v bode a = (0, 0). f (x, y) = e x+y Riešenie: Taylorov rad funkcie f je rad v tvare T (f, a; x) = radu je celý priestor E 2 ). k=0 (x+y) k k! (oborom konvergencie tohto
Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
Podrobnejšie1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ
Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integrály vypoµcítajte pomocou základných pravidiel derivovania.
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
Podrobnejšiepx II. Reálna funkcia viac premenných (Prezentácia k prednáškam) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
px (Prezentácia k prednáškam) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 21. marca 2019 Na úvod si zodpovedzme tieto otázky # 1 Prečo funkcia viac premenných? # 2 Čo sa očakáva, že v tejto chvíli mám v malíčku?
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieMicrosoft Word - mpicv11.doc
1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a
PodrobnejšieZákladné stochastické procesy vo financiách
Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
Podrobnejšie8
8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieTechnická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013
Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieBariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX
Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
PodrobnejšieSeriál XXXII.II Mechanika, FYKOS
Seriál: Mechanika Úvod Na úvod vás vítam pri čítaní druhej časti seriálu u. Začiatkom druhej série sa ešte raz vrátime k značeniu, kde si rýchlo ukážeme ako fungujú indexy, ktoré nám umožnia písať jednu
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
PodrobnejšieARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30
ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieViacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu
Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model
PodrobnejšieVZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY
5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje
PodrobnejšieModel tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 2008 Typeset by FoilTEX
Model tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. TBH: definícia: elektrónový, elektromagnetický 2. Disperzné vzt ahy 3. Spektrum, okrajové podmienky 4. TBH vs.
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................
PodrobnejšiePOZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním exp
POZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním experimentov náhodnej povahy. V mnohých situáciách opakovanie
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
PodrobnejšiePríklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5
Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5. Neriešené príklady 1 Príklady 1 - vektory 1. Súradné
PodrobnejšieOceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšieMicrosoft Word - titulna strana_tiraz_Riecan
Miniteória pravdepodobnosti Beloslav Riečan 2015 MINITÓRIA PRAVDPODOBNOSTI Autor : Dr.h.c. prof. RNDr. Beloslav Riečan, DrSc. Recenzovali : doc. RNDr. Katarína Janková, CSc. doc. RNDr. Marta Vrábelová,
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieMonday 25 th February, 2013, 11:54 Rozmerová analýza M. Gintner 1.1 Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznate
Monday 25 th February, 203, :54 Rozmerová analýza M. Gintner. Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznatel ný po častiach. Napriek tomu, že si to bežne neuvedomujeme,
PodrobnejšieAplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a
Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.
Podrobnejšietrafo
Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N
Podrobnejšie1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn
1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieSeriál XXXII.IV Mechanika, FYKOS
Seriál: Mechanika V tejto časti seriálu dokončíme príklad, ktorý sme minule začali - výpočet matematického kyvadla. K tomu ale budeme potrebovať vedieť, čo je to Taylorov rozvoj. Ďalej si ukážeme, ako
Podrobnejšie1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013
1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5
PodrobnejšieVybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos
Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval koval@fmph.uniba.sk 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozostávajúci z N nezávislých spinov. Každý zo spinov sa
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieKatalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020
PodrobnejšieAutoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22
Autoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22 Príklad 1 AR(2) proces z prednášky: x t =1.4x t 1 0.85x t 2 +u t V R-ku: korene charakteristického polynómu
PodrobnejšieFYZIKA I Rámcove otázky 1998
Otázky k teoretickej skúške z predmetu Fyzika, ZS 2014/2015 Rámcové otázky: 1. Odvodiť vzťahy pre dráhu, rýchlosť a zrýchlenie pohybu hmotného bodu po priamke,(rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb).
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA PRÁCA 2014 BYSTRÍK KUBALA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V
PodrobnejšieMatematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL
Matematika szlovák nyelven középszint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Dôležité pokyny
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov
PodrobnejšiePowerPoint Presentation
Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická
PodrobnejšieModelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov mode
Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model p.1/19 Úvod Frank Bass (1926-2006) - priekopník matematických
PodrobnejšieStochastické procesy Beáta Stehlíková Finančné deriváty, SvF STU, LS 2011/2012 Stochastické procesy p.1/29
Stochastické procesy Beáta Stehlíková Finančné deriváty, SvF STU, LS 2011/2012 Stochastické procesy p.1/29 I. Wienerov proces, Brownov pohyb Stochastické procesy p.2/29 Stochastické procesy Stochastický
PodrobnejšieKatedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005
Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005 c Doc. RNDr. J á n D u p l á k, CSc. PREDSLOV Obsah AFINNÉ
PodrobnejšiePokrocilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia
Pokročilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia Ing. Viktor Kocur viktor.kocur@fmph.uniba.sk DAI FMFI UK 29.11.2017 Obsah 1 Segmentácia O čo ide 2 Watershed Princíp Postup 3 k-means clustering
PodrobnejšieZáklady práce s textovými reťazcami Doteraz sme v MATLABe pracovali s datovými typmi: reálne číslo, vektor, matica. Veľmi dôležitým a často používaným
Základy práce s textovými reťazcami Doteraz sme v MATLABe pracovali s datovými typmi: reálne číslo, vektor, matica. Veľmi dôležitým a často používaným dátovým typom je textový reťazec. Ako si môžeme predstaviť
Podrobnejšie1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle
1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr at b + k. idea postupu je postupne rozpisovat cleny T b... teda T b = at + 1... dokym v tom neuvidime nejaky tvar
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
PodrobnejšieMicrosoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník
P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2011/2012 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieZB_Daikin_SETUP_HPSU_compact_V52_ _00_0417_SK.book
Kontrolný zoznam pre uvedenie do prevádzky V5.2 Daikin Altherma EHS(X/H)(B) - 04P30B - 08P30B - 08P50B - 16P50B Vykonané opatrenia označte! Slovenčina Vykonané opatrenia označte! Inicializácia: Vnútorný
Podrobnejšie(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))
1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšieMicrosoft Word - 8.cvicenie.doc
Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti),
Podrobnejšie