Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1

Prepis

1 Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1

2 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B. Sčítajte nasledujúce rady na daných intervaloch. cos nx, (0, 2π) n cos nx n 3, [0, 2π] n=0 n cos nx ( 1) n 2, [ π, π] cos (2n + 1)x, (0, π) 2n + 1 ( u + y u ) 2 y u y + x u x = ( u x ( 3. x u x + 3y u y = 2 ) 2 u x 2 ( u y 4. xy u x + u u x y + y u y = yu 3. ( 1) m, n=0 ) 2 ) m+n sin nx sin mx, ( π, π) 2 mn sin 2 nx sin ny, (0, 2π) (0, π/2) n cos nx, [ π, π] n! C. Pomocou Fourierovho radu funkcie sin x na π, π vypočítajte ( 1) n 16n 2 1. D. Vypočítajte. 1 n 2 1 n 4 π 0 ( 1) n (2n + 1) 3 ln 2 ( 2 cos x 2 ) dx E. Ukáˇzte, ˇze vo všeobecnosti súčet dvoch periodických funkcií nemusí byť periodická funkcia. Čo musia spĺňať periódy oboch funkcií, aby to tak bolo? 2

3 F. Rozviňte funkciu f (x) = x(π x ), x [ π, π] periodicky na R, zdôvodnite, ˇze ju moˇzno derivovať po členoch a nájdite tak Fourierov rad fukcie π 2 x. G. Nájdite { Fourierov rad funkcie x na π, π pomocou rozvoja funkcie 0, π < x < 0, f (x) = Aká podmienka musí byť splnená? 1, 0 < x < π. H. Rozviňte do radu funkciu f (x) = sgn(x) v systéme Legendreových polynómov na intervale [ 1, 1]. I. Dokáˇzte vzťahy pre Legendreove polynómy: L l+1 L l 1 = (2l + 1)L l, (2l + 1)xL l = (l + 1)L l+1 + ll l 1, ll l = xl l L l 1, (1 x 2 )L l = ll l 1 lxl l. J. Dokáˇzte vzťahy pre Hermitove polynómy: a potom určte hodnotu ξh n (ξ) = nh n 1 (ξ) + H n+1 (ξ)/2, H n(ξ) = 2nH n 1 (ξ) R ψ n (ξ) 2 ξ 2 dξ, kde ψ n (ξ) = 2 n n!πh n (ξ) e ξ2 h. K. Pouˇzitím Fourierových radov nájdite riešenie začiatočnej, resp. okrajovej úlohy. y + 2y = 3x, y(0) = y(1) = 0 y + π 2 y = x x 2, y(0) + y (0) = y(1) = 0 3. y + y = 4. y + y = 4 π cos nx, y(0) = 0 n! sin (2n 1)x, y(0) = y (0) = 0 2n 1 3

4 L. Jednoducho podoprený nosník je konštantne zaťaˇzený q 0 a pozdĺˇz celej dĺˇzky a. Ohyb (malá výchylka) nosníka je popísaný okrajovou úlohou EI y = q 0 a, y(0) = y (0) = y(a) = y (a) = 0. Pouˇzitím Fourierových radov nájdite riešenie. M. Uvaˇzujme rovnicu kmitov struny (vlnovú rovnicu) s dĺˇzkou L a upevenými koncami u(0, t) = u(l, t) = 0. Nájdite výchylku v kaˇzdom čase t, ak podmienky sú: struna bola v čase t vychýlená tak, ˇze bod v jej strede bol uchytený do vzdialenosti h a obe úseky, na ktoré tento bod strunu delí, tvoria priamky spojujúce tento bod s bodmi upevnenia a v čase t = 0 bola vypustená z kľudu, tj. u(0, x) =? a u t (0, x) =?. N. (c) (d) 4

5 O. (e) (f) 5

6 P. (g) (h) R. Nájdite Fourierove transformácie nasledujúcich funkcií. f (x) = x e a x2, a > 0, x R { 1 x f (x) = 2, x < 1; { 1, x < a; 3. f (x) = { 4. f (x) = 1 x a, x < a; { 1, x < 1 5. Π(x, y) = 2 a y < 2 1; ( S. Nech f S(R n ). Spočítajte Fourierovu transformáciu výrazu d 2 x 2) f (vyjadrite pomocou ˆf ). dx 2 Nech f S(R 2 ). Definujme φ(x) = f (x, 0). Aký je vzťah medzi ˆf a ˆφ? 6

7 T. Spočítajte E(αx) E(βx), ak α, β > 0, E(x) = e x pre x > 0 a 0 inak; lim E(αx) E(βx) β α 0 0, x < 0 3. f f, ak f (x) = 1 x, 0 < x < 1 0, x > 1, a výsledok znormalizujte 4. Π(x, y) Π(x, y) U. Nájdite riešenie integrálnej rovnice. y(x) sin (tx) dx = 0 { 1 t, t 0, 1 ; 0, t > ψ(y) sin (yx) dy = e x, x > y(u) y(x u) du = e x2. V. Pomocou Fourierovej transformácie vyriešte diferenciálnu rovnicu. y + 2y = 3 e x s podmienkou y(0) = y + 3y + 2y = u(x) sin x, x > 0, spĺňajúcu podmienky lim y(x) = 0, lim x 0 + pre kladné x a 0 inak. y (x) = 0, pričom funkcia u je rovná 1 x 0 + 7

8 W. Pomocou Fourierovej transformácie riešte rovnicu. 2t u x + 3 u t = 0; u(x, 0) = g(x). u tt = c 2 u xx ; u x + u t + u = 0; u(x, 0) = 2 sin x π x, u t(x, 0) = u(x, 0) = h(x). c 2 u xx = u t ; u(x, 0) = f (x). u tt = u xx ; u(x, 0) = x 2, u t(x, 0) = u t = u xx ; { u(x, 0) = 1 x 2, x < 2 u t = e t u xx ; u(x, 0) = 100. X. Uvaˇzujme rovnicu, kde u(x, t) predstavuje koncentráciu rádioaktívneho materiálu vstrektnutého v počiatku, ktorý má rýchlosť rozpadu β a ktorý sa premiestňuje (advekcia) jednotkovou rýchlosťou doprava (δ je Diracova funkcia): Pomocou FT nájdite u(x, t). u x + u t = β u + δ(x); u(x, 0) = 0. Nakreslite graf riešenia v čase t = 2, pre β = 8