Operačná analýza 2

Prepis

1 Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,...

2 Poissonov proces je homogénny Markovov reťazec so spojitým časom a nekonečnou množinou stavov. Definícia: Nech výskyt nejakej udalosti nastáva náhodne v čase. Ak tento výskyt spĺňa nasledujúce vlastnosti, nazveme ho Poissonov proces: 1. Pravdepodobnosť výskytu jednej udalosti v intervale sa rovná t o t, kder. 2. Výskyt udalosti je nezávislý od predchádzajúcich výskytov udalostí. 3. V čase t = 0 sa nevyskytovala žiadna udalosť. t, t t

3 Nech v čase t sa vyskytlo i udalostí, t.j. X t i, pravdepodobnosť, že sa v ďalšom t časovom okamihu vyskytne udalosť, teda nasledujúci stav bude i+1, je p i, i 1 t t o t Pre intenzitu prechodu i, i1 d dt p i, i1 t t0 lim t0 i, i1 p i, i1 t platí: t t o t o t lim t0 t lim t0 t Podobne sa dajú vypočítať ďalšie pravdepodobnosti a intenzity pij, ij pre i 1 j, j i, j i a môžeme zostaviť maticu intenzít prechodov Q.

4 Pre Poissonov proces platí: Distribučná funkcia Pravdepodobnosť, že v čase t nastane k udalostí k t t pk t e k! Použitie: t.j. Xt Pot E F ( X( t) t x1t x, t e V THO sa často používa pre opis vstupného toku zákazníkov, ktorí pochádzajú z veľkej množiny vzájomne nezávislých užívateľov (príchod vozidiel na križovatku, čerpaciu stanicu, telefonické hovory,...)

5 Príklad 1 Majiteľ obchodíku zistil, že v rannej špičke prichádza do obchodíku priemerne 20 zákazníkov za 5 minút. Majiteľova manželka sa domnieva, že v priebehu 10 minút môžu očakávať príchod 30 zákazníkov. Optimistický majiteľ však očakáva 40 zákazníkov v priebehu 10 minút. Ktorý z manželov má lepší odhad?

6

7 Príklad 2 Wayne Gretzky počas svojho pôsobenia v hokejovom klube Edmonton Oilers nazbieral rekordných 1669 bodov v 696 zápasoch. Pomocou Poissonovho rozdelenia vyjadrime pravdepodobnosť, že v zápase nenazbieral ani jeden bod. Koľko bolo takých zápasov? Porovnajte vypočítané hodnoty a skutočnosť. počet bodov skutočnosť výpočet , , , , , , , , , ,5

8 Lineárny proces vzniku Lineárny proces vzniku je matematickým modelom populácie, resp. kultúry, v ktorej jedinec je zdrojom nových jedincov (napr. delením), ale jedinci nemôžu zanikať. Definícia: Nech náhodný proces X(t) opisujúci počet jedincov v čase t má nasledujúce vlastnosti: 1. Pravdepodobnosť vzniku nového jedinca v časovom v intervale t t t sa rovná t o t, kder,. 2. Jedinci sa správajú navzájom nezávisle. 3. Na začiatku v čase t =0 je v populácii N jedincov. Potom ho nazveme lineárny proces vzniku.

9 Pre lineárny proces vzniku platí: F 1 x, t N x 1 t e 1 x Pravdepodobnosť, že v čase t bude v populácii k jedincov, ak na začiatku bolo N jedincov, je: p k k k 1 N t N t t e e k 1 N pre k N, N 1, E t Xt Ne Príklad: šírenie neliečiteľného vírusového ochorenia, ktoré sa prenáša kontaktom medzi jedincami.

10 Príklad 3 Nech pravdepodobnosť, že jedinec v populácii vznikne v časovom intervale t, t t je 0,12t ot. Na začiatku bolo v populácii 10 jedincov. a) Vypočítajte pravdepodobnosť, že v čase t = 4 bude v populácii aspoň 14 jedincov. b) Aký bude priemerný počet jedincov v tomto čase?

11 Lineárny proces zániku Teraz vyšetríme opačný prípad, keď jedinci budú v populácii len zanikať. Definícia: Nech náhodný proces {X(t)} popisuje počet jedincov v čase t má nasledujúce vlastnosti: 1. Pravdepodobnosť, že jedinec zanikne v časovom intervale t t t sa rovná t o t, kder,. 2. Jedinci sa správajú navzájom nezávisle. 3. Na začiatku v čase t =0 je v populácii N jedincov. Potom ho nazveme lineárny proces zániku.

12 Nech X(t) popisuje počet jedincov v čase t. P X0 N p 0 1 N Pravdepodobnosť, že v čase t bude v populácii k jedincov, ak na začiatku bolo N jedincov, je: p k N k t k t e t e N k 1 k 0,1,, N t.j. t X t Bi N, e E t Xt Ne Príklad použitia: spoľahlivostné systémy, kde fungovanie celku závisí od N objektov, ktoré nezávisle na sebe zanikajú,...

13 Príklad 4 Nech pravdepodobnosť, že jedinec v populácii zanikne v časovom intervale t, t t je 0,4 t ot. Na začiatku bolo v populácii 13jedincov. a) Vypočítajte pravdepodobnosť, že v čase t = 4 budú v populácii najviac traja jedinci. b) Vypočítajte priemerný počet jedincov v tomto čase.

14 Lineárny proces vzniku a zániku Definícia: Nech náhodný proces {X(t)} popisuje počet jedincov v čase t a má nasledujúce vlastnosti: 1. Pravdepodobnosť vzniku nového jedinca v časovom intervale t t t sa rovná t o t, kder,. 2. Pravdepodobnosť, že jedinec zanikne v časovom intervale t t t sa rovná t o t, kder,. 3. Jedinci sa správajú navzájom nezávisle. 4. Na začiatku v čase t =0 je v populácii N jedincov. Potom ho nazveme lineárny proces vzniku a zániku.

15 t Xt Ne Stredná hodnota E, to znamená, že pre > kultúra exponenciálne narastá pre < kultúra exponenciálne zaniká. Pravdepodobnosť zániku v čase t je: p 0 t e e t t N Ďalej pre pravdepodobnosť zániku platí: N > p p t t 0 lim 0 < p 0 lim p 0 t 1 t

16 Pre = E p p Xt N 0 t t 1 t N lim p 0 t 1 0 t Dôsledok: Ak intenzita vzniku a zániku je rovnaká, kultúra je odsúdená na zánik. Príklad: modelovanie rôznych populácií, molekúl v chémii, model bunečných a vírusových kultúr,...

17 Príklad 5 V istom meste je 100 nositeľov mena Tomáš. Ročne ich pribudne 17 a ubudne 16. Vypočítajte pravdepodobnosť zániku mena Tomáš. Príklad 6 V istom meste je 100 nositeľov mena Tomáš. Ročne ich pribudne 17 a ubudne tiež 17. Vypočítajte pravdepodobnosť zániku mena po 10 rokoch.

18 Príklad 6 Pravdepodobnosť zániku po čase t, ak =, N=100 čas pravd. 10 0, , , , , , , , , , , , , , ,9616 pravdepodobnosť zániku 1,2000 1,0000 0,8000 0,6000 0,4000 0,2000 0, roky

19 Pravdepodobnosť zániku po čase t, ak =, N=1000 čas pravd. 10 0, , , , , , , , , , , , , , ,6757 pravdepodobnosť zániku 0,8000 0,7000 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0, roky

20 Wienerov proces je najznámejší proces so spojitým časom a spojitými stavmi. Proces w(t) sa nazýva Wienerov proces, ak má nasledovné vlastnosti: 1. Prírastky w t t - w(t) majú normálne rozdelenie s nulovou strednou hodnotou a disperziou. 2. Pre všetky t 1 < t 2 <... < t n sú prírastky w(t 2 ) - w(t 1 ),..., w(t n ) - w(t n-1 ) nezávislé náhodné premenné. 3. Proces začína v nule, t.j. w(0)=0. 4. Trajektórie procesu sú spojité. Wienerov proces je matematickým vyjadrením Brownovho pohybu. (pohyb peľových zrniečok v kvapaline).

21

22 Vstupné toky zákazníkov

23 Vstupné toky zákazníkov predstavujú dôležitú súčasť THO, pričom pojem zákazník chápeme širšie: nakupujúci zákazník, pokazený prístroj, telefónna výzva, merané častice nejakého žiarenia, spracovaný rádiový signál,... Z pravdepodobnostného hľadiska predstavujú toky zákazníkov stochastický proces. K analýze vstupného toku môžeme pristupovať dvomi spôsobmi. - opis toku náhodnými premennými T i, ktoré predstavujú časové medzery medzi výskytom jednotlivých udalostí - pozorovanie počtu udalostí k, ktoré sa vyskytnú v nejakom časovom intervale. k T i T 1 T 2 T 3...

24 T i... časové intervaly medzi jednotlivými udalosťami, t.j. (medzera medzi výskytom i a i+1 udalosti). ( i I ) N( a,t )... náhodná premenná, ktorá určuje počet udalostí v čase (a, a+t) v k (a,t) = P(N(a,t) = k))... pravdepodobnosť, že v čase (a,a+t) nastane k udalostí. Predpoklady: v a, t 1 ks k... súčet pravdepodobností všetkých disjunktných udalostí je jedna. N a, na začiatku diania nebola žiadna udalosť.

25 Vstupné toky budeme rozlišovať podľa nasledujúcich vlastností: 1. stacionárnosť 2. beznáslednosť 3. ordinárnosť

26 Definícia: Tok je stacionárny, ak pravdepodobnosť nastatia udalosti v časovom intervale (a,a+t) závisí len od dĺžky intervalu a nie od hodnoty a, teda nezávisí od umiestnenia intervalu na číselnej osi. Potom budeme zapisovať skrátene: v k t... pravdepodobnosť, že v čase t nastane k udalostí Teda platí: P Na, t k PN0, t k PNt k v t Príklad: cestujúci na zástavke v čase špičky. k

27 Definícia:Tok nazveme beznásledný, ak pravdepodobnosť nastania k udalostí v časovom intervale (a,a+t) nezávisí od počtu udalostí ktoré sa realizovali pred okamihom a. a, t T, T, k, ss P Na, t k / Na, s PNa, t Udalosti sa vyskytujú nezávisle, resp. zákazník vstupuje do obslužného systému nezávisle od ostatných zákazníkov. Z toho vyplýva, že medzery medzi vstupmi T i sú navzájom nezávisle premenné. Tok je bez pamäti. k

28 Definícia: Tok je ordinárny, ak pravdepodobnosť príchodu viac ako jedného zákazníka za krátky časový okamih t je veličina rádu o(t ), t.j. veľmi malá. Túto pravdepodobnosť označíme Y (a, t ), t.j. Y a, t 1v a, t v a, t v a t ot 0 1 k, k2 t.j. vždy nájdeme malý časový interval, v ktorom sa vyskytol len jeden zákazník. V neordinárnom toku budeme rozlišovať pojem: - zákazník - požiadavka (jeden zákazník viac požiadaviek).

29 Definícia: Intenzita vstupného toku je stredný počet zákazníkov za časovú jednotku, ktorá začala okamihom a, resp. okamžitá zmena stredného počtu zákazníkov v čase. Označujeme ju d dt a ENa, t kde t 0 E Na, t k vk a, t ks Veta: Pre intenzitu vstupného toku vo všeobecnosti platí: a lim t 0 E N a, t t

30 Druhy tokov Regulárny Elementárny Erlangov Nestacionárny Neordinárny

31 Regulárny tok Zákazníci vstupujú v pevne stanovených okamihoch (deterministicky) Príklad 7. Električka jazdí pravidelne každých 5 minút. Na zastávku prídeme náhodne. Vypočítajme priemernú dobu čakania. Rovnomerné rozdelenie. Funkcia hustoty f ( x) 1/5, x 0, x E( X) x. dx t.j. priemerná doba čakania je 2,5 minúty.

32 Elementárny tok Vstupný tok, ktorý je stacionárny, beznásledný a ordinárny sa nazýva elementárny. Pravdepodobnosť, že v časovom intervale t nastane práve k udalostí má Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti s parametrom t v k t k t t k! e N Priemerný počet udalostí za časový interval t E Nt t t Pot Intenzita toku d dt E Nt

33 Rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej T i (intervaly medzi príchodmi zákazníkov) Distribučná funkcia F t t PT t PT t1v t 1e i 1 i 0 t Hustota rozdelenia f t F t e... intenzita vstupného toku - stredný počet zákazníkov za jednotku času E( t) 1... stredná dĺžka intervalu medzi príchodmi zákazníkov T i exp

34 Príklad 8. Stopár príde náhodne ku ceste, autá náhodne prechádzajú, dĺžka intervalu medzi prichádzajúcimi autami má exponenciálne rozdelenie, priemerne prejde 12 áut za hodinu. Aká bude priemerná doba čakania na auto? x f x e, x 0 Stredná hodnota intervalov medzi príchodmi áut E X t.j. priemerná doba čakania je 5 minút. Porovnaj s príkladom o električke!

35 Tok nazveme Erlangov E n, ak náhodné premenné opisujúce intervaly medzi príchodmi zákazníkov sú nezávislé s Erlangovým rozdelením s parametrami n a (najčastejšie n = 2), - stredný počet zákazníkov za jednotku času T i En, ni, R Hustota rozdelenia f n, n t n1 t n t e, pret 0 1! 0, pre t 0 Erlangovo rozdelenie E n, môžeme zaviesť aj ako súčet n nezávislých rovnakých exponenciálnych rozdelení exp. Priemerný počet zákazníkov za čas t t ENt Priemerná medzera n n Et Intenzita toku T i n

36 Erlangov proces T Nech N t t je náhodný proces. Nech T i sú náhodné premenné opisujúce dĺžku intervalov medzi výskytom udalostí. Náhodný proces budeme nazývať Erlangov proces, ak: 1. N (0) = 0 2. T i navzájom nezávislé, rovnako rozdelené náhodné premenné 3. T i majú Erlangovo rozdelenie E(n,) Dá sa ukázať, že pravdepodobnosť nastatia k udalostí za čas t je daná vzťahom nk 1 1 i t t vk t e ikn i! Tento tok je stacionárny a ordinárny.

37 Vstupný tok zákazníkov môžeme modelovať od elementárneho toku (značne chaotický) cez Erlangove toky s čoraz väčšou hodnotou parametra n, až po regulárny tok. Elementárny tok Erlangov tok (n=10)

38 Príklad 9 V organizácii vzniknú priemerne 3 mimoriadne udalosti za týždeň. Odhadnite, koľko v priemere bude týždňov v roku bez mimoriadnej udalosti. Modelujte tok nehôd a) elementárnym tokom b) Erlangovým tokom pre n=2.

39 Ďakujem za pozornosť.