7-dvojny_integral

Prepis

1 7 DVOJNÝ INTEGRÁL A JEHO APLIKÁCIE 7 Otázk Dfinujt pojm intgráln súčt Dfinujt pojm vojný intgrál Dfinujt pojm strná honota funkci prmnných na množin Napíšt ako transformujt vojný intgrál pomocou polárnch súraníc Napíšt ako vpočítat plošný obsah rovinnj oblasti pomocou vojného intgrálu Napíšt ako vpočítat objm tlsa pomocou vojného intgrálu 7 Dfinícia vojného intgrálu ajm spojitú a ohraničnú funkciu ( ) f, na oblasti A I, n, n { ma, ma } D ma j norma lnia Nch [ i η j ] Iij i j ξ, a norma lnia D Dfinícia 7 Intgrálnm súčtom funkci ( ) anú voľbu boov [ i η j ] A ij S ξ, I nazývam číslo ( f, D ) f ( ζ, η ) + K + f ( ζ, η ) n n n i j f ( ζ, η ) i j i j n n f, pr lni D n oblasti A a pr Dfinícia 7 Ak istuj limita postupnosti intgrálnch súčtov { ( f, D )} n n n nazývam ju vojný intgrál funkci f na oblasti A n S, 9

2 lim n n f ( i, η j ) i j f (, ) n i j ζ A 7 Výpočt vojného intgrálu { } Nch σ (, ) R, a b, ϕ( ) ψ ( ) j lmntárna oblasť vzhľaom na os ( ) ψ ( ) ϕ, sú spojité na intrval a, b o (lmntárna oblasť tpu [ ], ), k funkci Vta 7 Nch funkcia ( ) f, j intgrovatľná na oblasti σ Nch pr kažé ψ ( ) a, b istuj f (, ) Potom platí ϕ( ) b ψ ( ) ( ) ( ) f, f, σ a ϕ( ) Príkla 7 Vpočítajm, k j oblasť ohraničná krivkami a Rišni: Oblasť j lmntárna oblasť tpu [, ], ktorú môžm popísať takto Prto

3 { } Nch σ (, ) R, c, Φ( ) Ψ( ) j lmntárna oblasť vzhľaom na os ( ) Ψ( ) Φ, sú spojité na intrval c, o (lmntárna oblasť tpu [ ], ), k funkci Vta 7 Nch funkcia ( ) f, j intgrovatľná na oblasti σ Nch pr kažé Ψ( ) c, istuj f (, ) Potom platí Φ( ) Príkla 7 Vpočítajm ln,,, Rišni: Ψ( ) ( ) ( ) f, f, σ c Φ( ), k j oblasť ohraničná krivkami Oblasť j lmntárna oblasť tpu [, ], ktorú môžm popísať takto Potom [ ] 7 Transformácia vojného intgrálu V niktorých úlohách j výhonjši namisto kartziánskch súraníc [, ] použiť súranic polárn [, ϕ] Vzťah mzi týmito súranicami sú 9

4 cosϕ, k sinϕ < ϕ Transformácia vojného intgrálu pomocou polárnch súraníc j σ f ( ) f ( cosϕ, sinϕ), ϕ σ Príkla 7 Vpočítajm + ln ( + + ), k j oblasť aná nrovnosťami Rišni: Oblasť ni j lmntárna oblasť J to oblasť, k j výhoné použiť transformáciu pomocou polárnch súraníc cosϕ, sinϕ Po osaní transformačných vzťahov j + ( cos ϕ + sin ϕ) cos ϕ + sin ϕ a ta takto + j kvivalntné s a prto oblasť môžm popísať 97

5 9, ϕ Ta + + ϕ ϕ ln ln ) ln ( [ ] ln ϕ ϕ ϕ ϕ t t t t t 75 Plošný obsah rovinnj oblasti a objm tlsa Plošný obsah rovinnj oblasti Nch j lmntárna oblasť v rovin, potom obsah P oblasti j P Príkla 7 Pomocou vojného intgrálu vpočítajm obsah časti rovin ohraničnj krivkami, Rišni: Oblasť j lmntárna oblasť tpu [ ],, ktorú môžm popísať takto, Obsah časti rovin j [ ] ( ) P

6 Objm tlsa Nch j tlso zhora ohraničné plochou z f (, ), zola ohraničné plochou z a jho kolmý primt o rovin z j oblasť, potom objm tlsa j ( ) V f, Príkla 75 Pomocou vojného intgrálu vpočítajm objm tlsa zhora ohraničného f, +, zola ohraničného plochou z a jho kolmý primt o plochou ( ) rovin z j oblasť ohraničná krivkami, Rišni: Oblasť j lmntárna oblasť tpu [, ], ktorú môžm popísať takto, Objm tlsa j V f, ( ) ( ) Strná honota spojitj funkci voch prmnných na množin Strná honota spojitj funkci ( ) SH f, na oblasti j f ( ) f (, ), Príkla 7 Vpočítajm strnú honotu funkci ( ) j oblasť ohraničná krivkami, f, + na oblasti, k 99

7 Rišni: Strná honota funkci j aná vzťahom (, ) ( + ) f (, ) SH f 5 5, k ( ) Intgrál z čitatľa j vpočítaný v Príkla 75, ( ) Úloh V úlohách 5 vpočítajt vojný intgrál: / / + ( ) ( ) + 5 ( + ) ( ) 5 Výslk: / + 7 ( + ) ( ) / + /

8 ln ( ) 5 ( ) / ln +/ ln 7 ( ) 9 ( + ) ln / -/ / -/ -/5 / + / -/

9 5 / V úlohách -9 vpočítajt vojný intgrál z anj funkci na oblasti ohraničnj krivkami: a) :,,, / b) : ABC, A [,], B [,], C [,] / c) : ABC, A [,], B [,], C [,] / : ABC, A,, B,, C, ) [ ] [ ] [ ] ) :, / f) :, + 5/ g) :, / h) :, i) :, 9/ j) :, 7 5/ k) :, / l) :, / m), : / n) :,, kv /5 o) :,, / p) :, q) ln,, /5 + : ( ) r) :,,, s) :,,, / 7 a) :,,, / b) : ABC, A [,], B [,], C [,] / : ABC, A,, B,, C, / c) [ ] [ ] [ ]

10 ) : ABC, A [,], B [,], C [, ] / ) :, /5 f) :, + 5/ g) :, 7/ h) :, -/5 i) :, / j) :, 7 5/ k) :, / l) :, / m), : / n) :, 5/ o) :,, / p) :,, kv / q) : ln,, ( ) r) :,,, s) :,,, 5/ ( ) a) :,,, / b) : ABC, A [,], B [,], C [,] / c) : ABC, A [,], B [,], C [,] : ABC, A,, B,, C, / ) [ ] [ ] [ ] ) :, / f) :, + 5/ g) :, / h) :, i) :, 9/ j) : 5, 7 ln ln k) : 9, ln

11 l) :, ln m), : / n) :, 5/ o) :,, / p) :,, kv / q) : ln,, ( ) r) :,,, ( + ) s) :,,, + ln + 9 ( ) a) :,,, b) : ABC, A [,], B [,], C [,] / c) : ABC, A [,], B [,], C [,] : ABC, A,, B,, C, / ) [ ] [ ] [ ] ) :, 5/5 f) :, + 75/ g) :, 9/ h) :, -/5 i) :, 7/ j) :, 7 5/ k) :, / l) :, / m), : / n) :, 5/ o) :,, 7/ p) :, /5 q) :,,, ( + ) r) :,,, 7/

12 V úlohách -7 vpočítajt vojný intgrál z anj funkci na oblasti :, :,, 9/ ( ), :,,, : +, kv ( + + ) ln( + ) ln, : +, ( ), 7 ( + ) + ( 5ln5 ) : +, : +, : 9 + 5,,, : + V úlohách - 5 vpočítajt obsah časti rovin ohraničnj oblasťou : :,,, 9 : ABC, A [,], B [,], C [,] / : ABC, A [,], B [,], C [,] : ABC, A,, B,, C, [ ] [ ] [ ] :, / :, + 5/ :, / 5 :, / :, 9/ 5 7 :, 7 ln ln :, ln 9 :, ln 5, : / 5 :, 5/ 5 :,, / 5

13 5 :,, kv / 5 : ln,, 55 :,,, 5 :,,, + ln V úlohách 57-7 vpočítajt objm tlsa zhora ohraničného plochou rovinou z, ktorého kolmý primt o rovin j oblasť : z, zola 57 :,,, / 5 : ABC, A [,], B [,], C [,] / 59 : ABC, A [,], B [,], C [,] : ABC, A,, B,, C, / [ ] [ ] [ ] :, / :, + 5/ :, / :, 9/ 5 : 5, 7 ln ln : 9, ln 7 :, ln, : / 9 :, 5/ 7 :,, / 7 :,, kv / 7 : ln,, ( ) 7 :,,, ( + ) 7 :,,, + ln V úlohách 75-9 vpočítajt objm tlsa zhora ohraničného plochou zola rovinou z, ktorého kolmý primt o rovin j oblasť : z +, 75 :,,, 7 : ABC, A [,], B [,], C [,] / 77 : ABC, A [,], B [,], C [,] : ABC, A,, B,, C, / 7 [ ] [ ] [ ]

14 79 :, 5/5 :, + 75/ :, 9/ :, 7/ :, 7 5/ :, / 5 :, /, : / 7 :, 5/ :,, 7/ 9 :, /5 9 :,,, ( + ) 9 :,,, 7/ V úlohách 9- vpočítajt strnú honotu funkci z f (, ) 9 f (, ) +, :,,, 9 f (, ) +, : ABC, A [,], B [,], C [,] 9 f ( ) + na anj oblasti:,, :, + 9/ f, +, :, 9ln 95 ( ) 9 f ( ) +,, 97 f ( ) +, : 9/ +,, :,,, f : ABC, A,, B,, C, / 9 (, ), [ ] [ ] [ ] 99 f ( ) ( ),, :, ln f,, :, ln ( ) f ( ) f ( ),, :,,, :,,, / + ( ) 7