Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc

Prepis

1 Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia nejakou číslicou z { } pričom každá číslica z tejto množiny je použitá aspoň raz.. príklad. Zostrojte potenčné množiny P ( ) a ( ( ) ) P P pre =.. príklad. Nech a B sú množiny dokážte vymenovaním všetkých prípadov pomocou charakteristických funkcií tieto vlastnosti: B (a) ( ) (b) ( B). 4. príklad. (α) Definujte pre diagonálnu reláciu R vlastnosť reflexívnosti symetričnosti antisymetričnosti a tranzitivity. (β) Zistite či relácia R nad množinou všetkých ľudí je reflexívna symetrická antisymetrická alebo tranzitívna pričom ( xy) R vtedy a len vtedy ak (a) x ma väčšiu hmotnosť ako y (b) x nosí rovnaké číslo topánok ako y (c) x a y sa narodili v piatok. 5. príklad. Koľko existuje binárnych reťazcov dĺžky 0 ktoré (a) obsahujú práve tri nuly (b) maximálne tri nuly (c) minimálne tri nuly. 6. príklad Na fakulte je 500 študentov pričom 45 študentov si zapísalo predmet Matematická analýza študentov si zapísalo predmet Diskrétna matematika a 88 študentov si zapísalo súčasne predmety Matematická analýza a Diskrétna matematika. Zistite: () Koľko študentov má zapísaný predmet Matematická analýza a nemá zapísaný predmet Diskrétna matematika () koľko študentov má zapísaný predmet Diskrétna matematika a nemá zapísaný predmet Matematická analýza () koľko študentov má zapísaný predmet Diskrétna matematika alebo Matematická analýza (4) koľko študentov si nezapísalo žiadny z týchto dvoch predmetov? 7. príklad. Pomocou Quinovej a McCluskeyho metódy nájdite optimálny výraz k Boolovej funkcii wxyz + wxyz + wxy z + wxyz + wx yz.

2 8. príklad. Pre ktoré hodnoty parametrov p a q má matica 0 = p q hodnosť? 9. príklad. Nájdite riešenie systému lineárnych rovníc pomocou Crameroveho pravidla x x + x = x+ x x = 0 x+ x + x = 0. príklad. Zostrojte strom riešení pre hru odoberania zápaliek kedy máte na začiatku hry 5 zápaliek každý hráč môže odobrať alebo jednu alebo zápalky a kto odoberie poslednú zápalku tak prehral. Vrcholy z jednotlivých vrstiev stromu ohodnoťte pomocou minimax princípu. Existuje víťazná stratégia pre prvého hráča? k áno tak ju naformulujte.. príklad. Predpokladajme že spojitý planárny graf má šesť vrcholov každý stupňa 4. Odvodením určite na koľko strán (oblastí) je rovina rozdelená planárnou reprezentáciou tohto grafu. (5 bodu) Odvodením určite maximálny stupeň týchto oblastí. (5 bodu) Poznámka: Každý príklad je hodnotený 5 bodmi maximálny počet bodov je 55. Nezabudnite na písomku napísať meno a priezvisko číslo krúžku a ročník. Čas na písomku je 90 min.

3 Riešené príklady. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia nejakou číslicou z { } pričom každá číslica z tejto množiny je použitá aspoň raz. n...0 () číslo = ( ) potom n = (...0) potom n = (...0) () číslo n = (...) potom n = (...) potom n = (...) () číslo n = (...) potom n = (...4) potom n = (...8) (4) číslo n = (...) potom n = (...9) potom n = (...7) (5) číslo n = (...4) potom n = (...6) potom n = (...4) (6) číslo n = (...5) potom n = (...5) potom n = (...5) (7) číslo n = (...6) potom n = (...6) potom n = (...6) (8) číslo n = (...7) potom n = (...9) potom n = (...) (9) číslo n = (...8) potom n = (...4) potom n = (...) (0) číslo n = (...9) potom n = (...). potom n (...9) =.. príklad. Zostrojte potenčné množiny P ( ) a ( ( ) ) P = ( ) { } ( ( )) = { { } } P P P P pre =.. príklad. Nech a B sú množiny dokážte vymenovaním všetkých prípadov pomocou charakteristických funkcií tieto vlastnosti: B (a) ( ) { } μ μ min μ μ μ B B () Nech μ μ B potom μ μ t. j. vlastnosť platí () Nech μ >μ B potom μ B μ čo je totožné s pôvodným predpokladom t. j. vlastnosť platí (b) ( B) { } μ μ μ max μ μ B B () Nech μ μ B potom μ μ B čo je totožné s pôvodným predpokladom t. j. vlastnosť platí () Nech μ >μ B potom μ μ t. j. vlastnosť platí

4 4. príklad. (α) () Relácia R je reflexívna práve vtedy ak x( ( xx ) () Relácia R je symetrická práve vtedy ak x y( ( x y) R ( y x) () Relácia R je antisymetrická práve vtedy ak x y( ( x y) R ( y x) R) (4) Relácia R je tranzitívna práve vtedy ak x y z( ( x y) R ( y z) R ( x z) (β) Zistite či relácia R nad množinou všetkých ľudí je reflexívna symetrická antisymetrická alebo tranzitívna pričom ( xy) R vtedy a len vtedy ak (a) x ma väčšiu hmotnosť ako y tranzitívna: x y z( ( x< y) ( y< z) ( x< z) ) x y xy R yx R antisymetrická: (( ) ( ) ) (b) x nosí rovnaké číslo topánok ako y reflexívna: x (( xx) symetrická: x y( ( xy) R ( yx) x y z xy R yz R xz R tranzitívna: (( ) ( ) ( ) ) (c) x a y sa narodili v piatok reflexívna: x (( xx) symetrická: x y( ( xy) R ( yx) x y z xy R yz R xz R tranzitívna: (( ) ( ) ( ) ) 5. príklad. Koľko existuje binárnych reťazcov dĺžky 0 ktoré 0 (a) obsahujú práve tri nuly = (b) maximálne tri nuly = = 76 0 (c) minimálne tri nuly = = 968 lternatívny výsledok pomocou (b) je 0 -C(00)-C(0)-C(0)= =968 4

5 6. príklad Na fakulte je 500 študentov pričom 45 študentov si zapísalo predmet Matematická analýza študentov si zapísalo predmet Diskrétna matematika a 88 študentov si zapísalo súčasne predmety Matematická analýza a Diskrétna matematika. Zistite: U = 500 M = 45 DM = M DM = 88. () Koľko študentov má zapísaný predmet Matematická analýza a nemá zapísaný predmet Diskrétna matematika? M DM = M M DM = = 57 () koľko študentov má zapísaný predmet Diskrétna matematika a nemá zapísaný predmet matematická analýza? M DM = DM M DM = 88 = 4 () koľko študentov má zapísaný predmet Diskrétna matematika alebo Matematická analýza M DM = M + DM M DM = = 69 (4) koľko študentov si nezapísalo žiadny z týchto dvoch predmetov? M DM = M DM = U M DM = U M DM + M DM = = 7. príklad. Pomocou Quinovej a McCluskeyho metódy nájdite optimálny výraz k Boolovej funkcii wxyz + wxyz + wxy z + wxyz + wx yz 0. etapa. etapa () () (#) (0) () (0#) (00) (5) (#0) 4 (00) 5 (00) U f (0) () (0) (00) (00) (00) U f () (#) (0#) (#0) Klauzule z. etapy sú minimálne a pokrývajú až na 4. klauzulu všetky klauzuly z 0. etapy preto vyberieme klauzuly ktoré pokrývajú pôvodnú množinu klauzúl takto V = # 0# # 0 00 {( ) ( ) ( ) ( )} Optimálna Boolova funkcia priradená tejto množine má tvar f wx yz = wxz + wxy + wyz + wxyz ( ) 5

6 8. príklad. Pre ktoré hodnoty parametrov p a q má matica 0 = p q hodnosť? = p 0 p + p q 0 q + q Z podmienky rovnosti. a 4. riadku dostaneme p = q a + p = + q riešením tohto systému dostaneme p= a q= potom posledná ekvivalentná matica má tvar príklad. Nájdite riešenie systému lineárnych rovníc pomocou Crameroveho pravidla x x + x = x+ x x = 0 x+ x + x = = = = 0 = Potom riešenie = 0 = 6 6 x = = x = 0 = = = x = = 6 0. príklad. Zostrojte strom riešení pre hru odoberania zápaliek kedy máte na začiatku hry 5 zápaliek každý hráč môže odobrať alebo jednu alebo zápalky a kto odoberie poslednú zápalku tak prehral. Vrcholy z jednotlivých vrstiev stromu ohodnoťte pomocou minimax princípu. Existuje víťazná stratégia pre prvého hráča? k áno tak ju naformulujte. 6

7 Na obrázku sú vrcholy s počtom zápaliek na hromádke červená jednotka znamená že ide o podstrom kde vyhráva. hráč (voliaci stratégiu max teda vyberajúci pre seba ako ideálnu stratégiu maximálne ohodnotený zo svojich podstromov) červene označená znamená že ide o podstrom kde vyhráva. hráč (min). Čierne ohodnotenia hrán a znamenajú odobratie jednej alebo dvoch zápaliek hráčom. Z ohodnotenia koreňa vyplýva že pre prvého hráča existuje víťazná stratégia ktorá spočíva v pravidle že prvom ťahu odoberie jednu zápalku max min max min max min. príklad. Predpokladajme že spojitý planárny graf má šesť vrcholov každý stupňa 4. Odvodením určite na koľko strán (oblastí) je rovina rozdelená planárnou reprezentáciou tohto grafu. (5 bodu) Odvodením určite maximálny stupeň týchto oblastí. (5 bodu) Použijeme Eulerovu formulu R = E - V + K + teda R =6 4/-6++=8. kde R je počet oblastí E je počet hrán V je počet vrcholov a K je počet komponent. Keďže E = deg (R) a minimálny stupeň oblasti je (polygon s nižším počtom hrán neexistuje) 4 8 Keďže ide o rovnosť 4=8 minimálny stupeň oblasti je zároveň aj maximálnym stupňom. 7