9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém

Veľkosť: px
Začať zobrazovať zo stránky:

Download "9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém"

Prepis

1 9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych a a... a b Zavedením matíc n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m m m mn n m (9.) a a... a n b a a... an b,, b (9.) a a... a b prepíšeme systém (9.) do kompaktného maticového tvaru b (9.) kde sa nazýva matica koeficientov, sa nazýva vektor neznámych a b sa nazýva vektor konštantných členov. Riešenie systému (9.) môže byť reprezentované stĺpcovým vektorom c c... c n ktorý keď dosadíme do (9.), = c, dostaneme maticovú identitu c (9.4) c b. y a +a y = b y a +a y +a z= b B Obrázok 9.. Geometrická interpretácia rovnice zo systému lineárnych rovníc pre () n =, rovnica je interpretovaná priamkou, (B) n =, rovnica je interpretovaná rovinou. z 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)

2 Geometrická interpretácia rovníc zo systému (9.) je znázornená na obr. 9.. Riešenie systému je potom určené prienikom týchto geometrických útvarov priradených jednotlivým rovniciam z (9.). Označme nadrovinu priradenú i-tej lineárnej rovnici z (9.) symbolom i, potom riešenie je zadané ich prienikom X... m (9.5) Z geometrického pohľadu vyplýva, že prienik (9.5) buď obsahuje (i) len jeden element, (ii) má nekonečne mnoho elementov, alebo (iii) je prázdny. V prípade, že množina je prázdna, potom systém nemá riešenie (môžeme povedať, že systém (9.) je kontradiktórny). V prípade (i) systém má práve jedno riešenie, ktoré je jednoznačne určené systémom rovníc (porovnaj príklad 9.). V druhom prípade (ii) eistuje nekonečne mnoho riešení, ktoré tvoria podrovinu. Táto kvalitatívna diskusia riešení systému lineárnych rovníc bude precizovaná v ďalšej časti tejto kapitoly. Jeden z hlavných cieľov teórie systémov lineárnych rovníc je rozhodnúť za ktorých podmienok majú alebo nemajú riešenie a v prípade, že ho majú, tak ako ho zostrojiť. Za predpokladu, že matica koeficientov je regulárna, riešenie systému lineárnych rovníc má tento eplicitný tvar b (9.5) Príklad 9.. Nájdite inverznú maticu k matici 4 4 Zavedieme matice 4,, b 4 Pomocou týchto matíc prepíšeme tento systém do maticového tvaru (9.). V príklade 8.8 bola zostrojená inverzná matica vzhľadom k 4 Použitím (9.5) zostrojíme riešenie systému v tvare b 4 4 Budeme študovať tri elementárne príklady, ktoré sú inštruktívne pre pochopenie geometrickej interpretácie lineárnych rovníc a s ním úzko súvisiaci problém počtu riešení: () Systém lineárnych rovníc má práve jedno riešenie, diagram. () Systém lineárnych rovníc 0 T, geometrická interpretácia ja znázornená na obr. 9., má nekonečne mnoho riešení, ktoré môžeme vyjadriť napr. vektorom geometrická interpretácia ja znázornená na obr. 9., diagram B. () Systém lineárnych rovníc t, t, t R, T 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)

3 nemá riešenie, rovnice sú vo vzájomnom spore, geometrická interpretácia ja znázornená na obr. 9., diagram C. + = y - =0 + = -- =- y + = y = B C Obrázok 9.. Geometrické znázornenie troch rôznych systémov lineárnych rovníc pre n =. Diagram znázorňuje prípad, v ktorom sú priamky nerovnobežné, ich prienik jednoznačne určuje práve jedno riešenie systému. Diagram B znázorňuje situáciu, keď obe priamky sú totožné, ich prienik je reprezentovaný priamkou, eistuje nekonečne mnoho riešení, ktoré ležia na priamke. Diagram C znázorňuje situáciu, keď priamky sú rôzne ale rovnobežné, čiže ich prienik je prázdny, neeistuje žiadne riešenie. Definujme rozšírenú maticu (koeficientov) ' tak, že matica koeficientov je rozšírená o stĺpcový vektor konštantných členov a a... a n b a a... an b, b am a m... amn b m Pomocou hodností matice koeficientov a rozšírenej matice môžeme stanoviť, kedy systém lineárnych rovníc má alebo nemá riešenie. Veta 9. (Frobeniova veta ). Systém lineárnych rovníc b má riešenie vtedy a len vtedy, ak h h (9.6) Pričom, podrobnejšou analýzou tejto podmienky zistíme, že h h, potom systém nemá riešenie, () ak () ak () ak h h n, potom systém má práve jedno riešenie, h h n, potom systém má nekonečne mnoho riešení. Táto veta patrí medzi fundamentálny teoretický výsledok teórie lineárnych rovníc, špecifikuje nutné a postačujúce podmienky pre eistenciu riešenia. Jej dôkaz je pomerne zdĺhavý a vyžaduje ďalšie pojmy z lineárnej algebry, preto ho nebudeme uvádzať. Séria troch nasledujúcich príkladov ilustruje jednotlivé prípady z Frobeniovej vety. Výsledky týchto Ferdinand Georg Frobenius (849-97) bol nemecký matematik, jeden zo zakladateľov teórie grúp. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)

4 príkladov je potrebné porovnať s tetom za príkladom 9., kde sú uvádzané aj riešenia diskutovaných systémov lineárnych rovníc. Príklad 9.. Systém lineárnych rovníc 0 Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar, 0 Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h h To znamená, že systém má práve jedno riešenie,, Príklad 9.. Systém lineárnych rovníc T. Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar, Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h h To znamená, že systém má nekonečne mnoho riešení, t, t, t R. T Príklad 9.4. Systém lineárnych rovníc Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar, Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h h To znamená, že systém nemá riešenie. Frobeniova veta nám len zabezpečuje či systém b má alebo nemá riešenie, ale v prípade, že eistuje, neumožňuje nám toto riešenie nájsť. Jej aplikácia vyžaduje stanovenie hodností tak matice koeficientov, ako aj rozšírenej matice, tento problém môže byť uskutočnený súčasne tak, že stanovíme hodnosť rozšírenej matice, pričom nebudeme používať elementárne operácie transpozície stĺpcových vektorov (menovite stĺpcového vektora konštantných členov b so stĺpcovými vektormi matice koeficientov, a taktiež, aj stĺpcových vektorov z matice samotne). Týmto sa vyhneme zbytočným problémom s korektnou interpretáciou získaného riešenia (napr. označenie neznámych môže byť vzájomne poprehadzované). Naviac, upravená rozšírená matica v trojuholníkovom tvare je 9. kapitola str. 4 (.. 05 o 6:07)

5 vhodná na konštrukciu riešenia pomocou metódy spätných substitúcií. Tento prístup tvorí obsah Gaussovej eliminačnej metódy (GEM), ktorá tvorí jeden z najefektívnejších algoritmov pre riešenie systému lineárnych rovníc. Gaussova eliminačná metóda riešenia systému lineárnych rovníc Nad rozšírenou maticou ' sa vykonáva postupnosť nasledujúcich elementárnych operácií nad jej riadkami: () transpozícia dvoch riadkov, () vynásobenie riadku nenulovým číslom a () pripočítanie násobku vybraného riadku k inému riadku. Cieľom týchto úprav je pretransformovať rozšírenú maticu na trojuholníkový tvar. Riešenie získame z takto upravenej rozšírenej matice metódou spätných substitúcií. Príklad 9.5. Použitím Gaussovej eliminačnej metódy riešte systém 0 Rozšírená matica má tvar 0. krok. Vykonáme vynulovanie prvkov pod diagonálou v prvom stĺpci krok. Vykonáme vynulovanie prvku pod diagonálou v druhom stĺpci K tretiemu riadku pripočítame druhý riadok Karl Friedrich Gauss ( ), nemecký matematik, ktorý je pokladaný za jedného z najväčších matematikov v našej histórii. Už ako žiak elementárnej školy (v dnešnej terminológii je to.-4. ročník základnej... n n n. Týmto výsledkom školy) objavil formulu pre súčet prvých n prirodzených čísel, fascinoval svojho učiteľa, ktorý, aby mal kľud od žiakov, často im dával úlohy typu spočítať napr. prvých 00 prirodzených čísel. 9. kapitola str. 5 (.. 05 o 6:07)

6 Posledná matica znamená, že pôvodný systém rovníc bol pretransformovaný do tvaru Z poslednej rovnice dostaneme =5, dosadením tohto výsledku do predposlednej rovnice dostaneme =, dosadením týchto výsledkov do prvej rovnice dostaneme =. Príklad 9.6. Použitím Gaussovej eliminačnej metódy riešte systém 5 5 Rozšírená matica má tvar krok, nulujeme prvky v. stĺpci pod diagonálou (i) Vynásobíme. a. riadok rozšírenej matice číslom (ii) K druhému a tretiemu riadku pripočítame prvý riadok (iii) Posledné tri riadky sú lineárne závislé, tak napr.. a. riadok získame vynásobením 4. riadku číslom resp., môžeme teda vynechať. a. riadok. Procedúra stanovenia hodnosti rozšírenej matice končí, získali sme trojuholníkovú maticu. Rozšírenú maticu môžeme prepísať do tvaru systému lineárnych rovníc Máme dve rovnice pre štyri neznáme, t. j. dve neznáme môžu byť charakterizované ako volné parametre, u, 4 v, potom upravený systém prepíšeme do formálneho tvaru dvoch lineárnych rovníc pre dve neznáme 55u v u v Dosadením druhej rovnice do prvej dostaneme konečné riešenie pre neznámu 5 5 u v u v 4 u v Stĺpcový vektor riešenia má tvar 9. kapitola str. 6 (.. 05 o 6:07)

7 4 uv 4 uv u v a ub vc u 0 0 v 0 0 a b c Môžeme teda uzavrieť, že systém má nekonečne mnoho riešení, ktoré tvoria množinu X a ub v c;u,vr k napríklad položíme u = v =, potom vektor riešení má tvar a b c Dosadením týchto hodnôt neznámych do riešeného systému lineárnych rovníc získame identity, t. j. riešenie je korektné. Homogénny systém lineárnych rovníc k stĺpcový vektor konštantných členov je nulový, potom systém (9.) sa nazýva homogénny 0 (9.7) Homogénny systém má vždy tzv. triviálne riešenie, 0, systém (9.7) potom je automaticky splnený. Môžeme si položiť otázku, kedy eistuje netriviálne riešenie (keď aspoň jedna neznáma je nenulová). Tento problém je taktiež riešený Frobeniovou vetou 9.. Veta 9.. Homogénny systém lineárnych rovníc má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak hodnosť matice koeficientov je menšia ako počet neznámych h n (9.8) Jednoduchý dôsledok tejto vety je, že ak hodnosť matice sa rovná počtu neznámych, h n, potom homogénny systém má len triviálne nulové riešenie. Príklad 9.7. Hľadajme riešenie homogénneho systému rovníc Budeme hľadať hodnosť matice koeficientov tohto systému (pozri príklad 9.6) kapitola str. 7 (.. 05 o 6:07)

8 To znamená, že h() = < 4, t. j. systém má nekonečne mnoho netriviálnych riešení. Pomocou trojuholníkovej matice, ktorá je ekvivalentná s pôvodnou maticou koeficientov, zostrojíme ekvivalentný homogénny systém lineárnych rovníc Tento systém obsahuje rovnice pre 4 neznáme, potom, napríklad a 4 môžu byť zvolené ako volné parametre, u a 4 v, pre u,vr. Z poslednej rovnice ekvivalentného systému dostaneme u v, ak tento výsledok dosadíme do prvej rovnice získame u v. Vektor neznámych má tvar uv uv u v ua vb u 0 v 0 k položíme uv 0, potom dostávame triviálne riešenie (nulový vektor), ak položíme, napríklad u v, dostaneme netriviálne riešenie 5 a b 0 0 Množinu riešení potom môžeme vyjadriť takto X ua v b;u,vr Príklad 9.8. Nájdite riešenie homogénneho systému 0 a b a 0 0 Stanovíme hodnosť matice koeficientov (pozri príklad 9.5) Hodnosť matice koeficientov h() =, čo je aj počet neznámych, t. j. homogénny systém má len triviálne riešenie. O tejto skutočnosti sa ľahko presvedčíme, keď pomocou trojuholníkovej matice zostrojíme ekvivalentný homogénny systém 0 Z poslednej rovnice dostaneme, že b 0, dosadením tohto výsledku do druhej rovnice dostaneme 0, ak oba tieto výsledky dosadíme do prvej rovnice dostaneme 0. Týmto sme ukázali na konkrétnom príklade, že ak hodnosť matice koeficientov sa rovná počtu neznámych, h() = n, homogénny systém má len triviálne riešenie. Tieto úvahy môžeme zosumarizovať do nasledujúcej vety. 9. kapitola str. 8 (.. 05 o 6:07)

9 Veta 9.. Homogénny systém lineárnych rovníc má buď len jedno triviálne riešenie, vtedy h n, alebo má mnoho netriviálnych riešení vtedy a len vtedy, ak a len vtedy, ak h n. 9. Determinanty Nech je množina všetkých možných matíc. Hodnosť matice môžeme formálne chápať ako zobrazenie množiny matíc na množinu kladných celých čísel h:,,... nalogicky, pod pojmom determinant budeme rozumieť zobrazenie množiny štvorcových matíc na množinu reálnych čísel, det : R (9.9), Determinant matice, budeme označovať symbolom, je to reálne číslo z priradené štvorcovej matici. Prv než pristúpime k definícii determinantu uvedieme základné skutočnosti o permutáciách. Permutáciu P priradenú n objektom budeme vyjadrovať symbolom P p, p,..., p n kde elementy p, p,..., p n sú prirodzené čísla z množiny,,...,n, ktoré vyhovujú podmienke i j p p ko ilustračný príklad tohto pojmu uvedieme permutáciu štyroch objektov P, 4,, Permutáciu interpretujeme, ako --značné zobrazenie množiny obsahujúcej prvých n kladných celých čísel na seba, grafická ilustrácia permutrácie je znázornená na obr. 9.. i j 4 4 Obrázok 9.. Znázornenie permutácie 4 objektov ako jedno-jednoznačné zobrazenie objektov na seba. Celkový počet permutácií n objektov je n!, tieto permutácie tvoria symetrickú grupu (množinu) permutácií S n. Ku každej permutácii môžeme priradiť nezáporné celé číslo, ktoré sa nazýva počet inverzií: hovoríme, že prvky p i a p j tvoria inverziu v permutácii P=(p,...,p i,...,p j,...,p n ), vtedy a len vtedy, ak platí i j p p Celkový počet inverzií v permutácii P je označený I(P). Príklad 9.9. Zostrojte všetky permutácie pre n = a n =, charakterizujte každú permutáciu počtom inverzií. Permutácie pre n= majú tvar i j 9. kapitola str. 9 (.. 05 o 6:07)

10 P,, I P 0 P,, I P Permutácie pre n= majú tvar P,,, I P 0 P,,, I P P,,, I P P,,, I P, P,,, I P, P,,, I P,, Definícia 9.. Nech ij je štvorcová matica typu (n,n), determinant tejto matice je PSn I P... (9.0) p p npn kde sumácia obsahuje všetky možné permutácie z S n. lternatívne označenie determinantu je det() alebo D(). Príklad 9.0. Determinant matice je podľa definície určený takto PS I P p p I, I, Diagramatická interpretácia výpočtu determinantu matice typu (9.) Príklad 9.. Determinant matice je podľa definície určený v tvare, ktorý môžeme jednoducho vyjadriť pomocou diagramatickej interpretácie (Sarrusove pravidlo) (9.) 9. kapitola str. 0 (.. 05 o 6:07)

11 Základné vlastnosti determinantov () Nech je štvorcová matica, potom T (9.) Dôsledok tejto vlastnosti je, že ľubovolná vlastnosť, ktorá platí pre riadky determinantu musí platiť aj pre jeho stĺpce (a naopak). () Nech je štvorcová matica a nech matica B vznikne z výmenou dvoch stĺpcov (riadkov) s,..., s,..., s,..., s B s,..., s,..., s,..., s potom i j n j i n Nech matica obsahuje dva rovnaké stĺpce v polohe i a j s,..., s,... s, s, s..., s B (9.4a) i j i j, n Potom jednoduchým dôsledkom vlastnosti (9.4a) je, že determinant tejto matice je nulový 0 (9.4b) () Nech je štvorcová matica a nech matica B vznikne z tak, že jeden stĺpec (riadok) vynásobíme číslom s,..., s,..., s B s,..., s,..., s potom i n j n B (9.5) Dôsledok tejto vlastnosti je, že ak matica obsahuje nulový stĺpec (riadok), potom determinant matice je nulový. (4) Nech je štvorcová matica a nech matica B vznikne z tak, že násobok vybraného stĺpca (riadka) pripočítame k inému stĺpcu (riadku) s,..., s,..., s,..., s B s,..., s s,..., s,..., s potom i j n i j j n B (9.6) (5) Nech je štvorcová matica a nech pre jej vybraný stĺpec platí si s i s i s,..., s s,..., s potom i i n (9.7) kde matica ' ('') vznikne z pôvodnej matice tak, že i-tý stĺpec s i je nahradený stĺpcovým vektorom s ( i i s ) s,..., s,..., s, s,..., s,..., s i n i n Veta 9.4. Nech je štvorcová matica typu nn. =0 vtedy a len vtedy, ak h()<n. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)

12 Dôsledkom tejto vety je, že štvorcová matica má nenulový determinant vtedy a len vtedy, ak jej hodnosť sa rovná počtu riadkov 0 h n 0 a sú lineárne nezávislé.. Tieto vektory môžeme formálne chápať ako riadkové vektory matice typu Príklad 9.. Dokážte, že vektory a, a a 0 Na základe dôsledku prechádzajúcej vety vieme, že ak sa nám podarí dokázať, že determinant tejto matice je nenulový, potom h()=, t.j. jej riadkové vektory sú lineárne nezávislé. Determinant matice spočítame Sarrusovým pravidlom Príklad 9.. Dôsledok vety 9.4 o tom, že tri riadkové (stĺpcové) vektory a, b a c rovnakého typu (,) sú lineárne závislé vtedy a len vtedy ak z nich zostrojený determinant matice a b c je nulový, 0, bude použitý na určenie roviny v -rozmernom priestore, ktorá je určená bodmi, B a C, ktoré sú reprezentované riadkovými vektormi (pozri obr. 9.4) a a a b b b c c c c a, b a Všeobecný bod X, reprezentovaný vektorom, leží v rovine, potom vektor X a môže byť vyjadrený ako lineárna kombinácia vektorov C ca a B ba, t.j. tieto tri vektory sú lineárne závislé a a a a c a c a c a c a 0 b a b a b a b a vypočítaním tohto determinantu pomocou Sarrusovho pravidla, dostaneme lineárnu rovnicu vzhľadom k premenným, a a + b + c + d = 0 kde a, b, c a d sú koeficienty rovnice popisujúcej rovinu. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)

13 X= (,,) C= ( c,c,c) = ( a,a,a) B= ( b,b,b) Obrázok 9.4. Rovina je určená bodmi, B a C, ktoré neležia na priamke. Všeobecný bod X leží v rovine, to znamená, že trojica riadkových vektorov (c-a), (b-a) a (-a) leží v rovine a preto musia byť lineárne závislé. Veta 9.5. Nech je štvorcová trojuholníková matica (nepožaduje sa, aby každý diagonálny element bol nenulový)... n 0... n nn Determinant matice sa rovná súčinu jej diagonálnych elementov... (9.8) nn Dôkaz tejto vety vychádza z diskusie formuly (9.0), ktorá špecifikuje determinant pre P p, p,..., p má aspoň ľubovolnú štvorcovú maticu. Každá neidentická permutácia n jeden element p i, pre ktorý platí p i <i. Z vlastnosti trojuholníkovej matice vyplýva vlastnosť 0 P,,...,n, ktorá. Potom v rozvoji (9.0) je aktívna len permutácia identity i,p i poskytuje práve súčin diagonálnych elementov z (9.8). ko jednoduchý dôsledok tejto vety je, že determinant jednotkovej matice E sa rovná jednej E (9.9) Veta 9.5 umožňuje zostrojiť efektívny algoritmus pre výpočet determinantov ľubovolnej dimenzii n (pripomeňme, že sme odvodili v príkladoch 9.0 a 9. špeciálne formule pre výpočet determinantov, keď n = a n =. Žiaľ, tieto formule nie sú zovšeobecniteľné pre n >, takže je dôležité mať k dispozícii algoritmus pre výpočet determinantu pre ľubovolné n. Použijeme jednoduchý algoritmus, ktorý je veľmi podobný algoritmu stanovenia hodnosti matice a ktorý je založený na vlastnostiach determinantov (9.-7). To znamená, že nad stĺpcami a riadkami budeme vykonávať jednoduché elementárne operácie tak, aby sme dostali trojuholníkovú maticu (t. j. nulujeme elementy pod diagonálou). Na rozdiel od stanovenia hodnosti matice, pri tomto výpočte determinantu jeho hodnota sa môže meniť, tak napríklad po transpozícii dvoch stĺpcov (riadkov) dochádza k zmene znamienka determinantu, alebo ak riadok vynásobíme číslom, tak potom pred determinat musíme vytknúť číslo. To znamená, že súčasťou algoritmu musí byť aj premenná v ktorej sa kumuluje táto zmena numerickej hodnoty determinatu v priebehu aplikácií elementárnych operácií. 9. kapitola str. (.. 05 o 6:07)

14 Príklad 9.. Vypočítajte determinant matice s n = Postup transformácie determinantu na trojuholníkový tvar je prezentovaný na tejto schéme: Transformáciu rozvrhneme na jednotlivé kroky:. krok, transformácia vynuluje vyznačené elementy pod diagonálou v. stĺpci.. krok, transformácia vynuluje vyznačené elementy pod diagonálou v.stĺpci.. krok, transformácia 4vykonáva prípravné úpravy. a 4. riadku tak, aby sa mohol vynulovať vyznačený element pod diagonálou v. stĺpci; z. (4.) riadku je vytknuté číslo 6 (8), tieto čísla sú uvedené aj pred determinantom. 4. krok, transformácia 4 5vynásobí tretí riadok číslom /, pred determinant sa vytkne inverzná hodnota tohto čísla. 5. krok, transformácia 5 6 vykoná po prípravných predchádzajúcich dvoch krokoch vynulovanie elementu pod diagonálou v.stĺpci, výsledok je, že sme dostali trojuholníkovú maticu. 6. krok, hodnota determinantu je vypočítaná ako súčin diagonálnych elementov matice krát kumulované čísla pred determinantom, ktoré vznikli ako dôsledok aplikácie elementárnych pravidiel. Možno dokázať, že tento algoritmus patrí medzi najefektívnejšie prístupy k výpočtu determinantu. V prípade, že na diagonále sa nám vygenerovala nula, potom algoritmus môžeme ukončiť, výsledná hodnota determinantu je 0. Bez dôkazu uvedieme dôležitú vetu o determinante súčinu dvoch matíc Veta 9.6. Nech a B sú štvorcové matice rovnakého typu t t n,n determinant súčinu týchto matíc sa rovná súčinu ich determinantov B, potom 9. kapitola str. 4 (.. 05 o 6:07)

15 B B (9.0) ko jednoduchý dôsledok tejto vety je formula pre determinant inverznej matice vyhovuje podmienke E, použitím formuly (9.0) dostaneme k tento výsledok spojíme s vetou 9.4, potom determinant inverznej matice, ktorá (9.) eistuje vtedy a len vtedy, ak hodnosť matice sa rovná jej dimenzii n z typu t n,n h n., t. j. Veta 9.7. Matica je regulárna vtedy a len vtedy, ak jej determinant je nenulový 0 (9.) Jedna zo základných aplikácií determinantov je ich použitie k riešeniu systému lineárnych rovníc b () ktorý má štvorcovú a regulárnu maticu koeficientov (t. j. 0). maticu vyjadríme pomocou stĺpcových vektorov, potom systém () môžeme prepísať do tvaru n k k k n s, s,..., s b b s () Označme symbolom i maticu, ktorá vznikne z matice tak, že jej i-tý stĺpec nahradíme stĺpcovým vektorom konštantných členov b s,..., s, b, s,..., s Budeme počítať determinant tejto matice i i i n s,..., s, b, s,..., s s,..., s, s, s,..., s i i i n i k k i n n k k i s,..., si, sk, si,..., sn i 0 pre ki kde sme použili vlastnosť (9.7) a (9.4b). Za predpokladu, že je regulárna matica, z poslednej rovnice vyplýva riešenie systému lineárnych rovníc v eplicitnom tvare, tento poznatok sformulujeme ako vetu. n Veta 9.8 (Cramerove pravidlo). Systém lineárnych rovníc matica, má riešenie b, kde je regulárna i i (pre i =,,..., n) (9.) V r. 750 toto pravidlo bolo formulované švajčiarskym fyzikom Gabrielom Cramerom. 9. kapitola str. 5 (.. 05 o 6:07)

16 Príklad 9.4. Nájdite riešenie systému lineárnych rovníc pomocou Crameroveho pravidla Nájdite riešenie systému lineárnych rovníc pomocou Crameroveho pravidla Zostrojíme jednotlivé determinanty z (9.) Potom riešenie 0, 0, 0 6, 6, , 6 Cvičenia Cvičenie 9.. Definujete maticu koeficientov, stĺpcový vektor neznámych a stĺpcový vektor konštantných členov b pre systémy (a) 0, (b) (c) (d) 4 Cvičenie 9.. Riešte pomocou inverznej matice systém rovníc y 6z 4 y z 5y z Cvičenie 9.. Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešte systémy lineárnych rovníc 9. kapitola str. 6 (.. 05 o 6:07)

17 (a) (b) (c) (d) y z y z y z y z 4 y z y y 4 y 5 4 6y 8 (e) y z 4 y z (f) kapitola str. 7 (.. 05 o 6:07)

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................

Podrobnejšie

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru 8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte

Podrobnejšie

Študent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp

Študent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá

Podrobnejšie

Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc

Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc 3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky

Podrobnejšie

Microsoft Word - Transparencies03.doc

Microsoft Word - Transparencies03.doc 3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú

Podrobnejšie

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i

Podrobnejšie

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom 2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c

Podrobnejšie

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc 6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4

Podrobnejšie

1

1 ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda

Podrobnejšie

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu

Podrobnejšie

Microsoft Word - Final_test_2008.doc

Microsoft Word - Final_test_2008.doc Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou

Podrobnejšie

Axióma výberu

Axióma výberu Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín

Podrobnejšie

S rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018

S rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami

Podrobnejšie

Microsoft Word - Argumentation_presentation.doc

Microsoft Word - Argumentation_presentation.doc ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou

Podrobnejšie

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).

Podrobnejšie

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD. III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej

Podrobnejšie

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová

Podrobnejšie

Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc

Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia

Podrobnejšie

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk

Podrobnejšie

Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in

Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,

Podrobnejšie

Microsoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia

Microsoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia Matice Užívateľská dokumentácia k programu Autor: Miroslav Jakubík 2009 Obsah 1 Úvod... 2 1.1 Stručný popis programu... 2 1.2 Spustenie programu... 2 1.3 Otvorenie dokumentu... 3 1.4 Ovládanie programu...

Podrobnejšie

Matematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh

Matematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh 7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna

Podrobnejšie

Informačné technológie

Informačné technológie Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných

Podrobnejšie

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný

Podrobnejšie

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011

Podrobnejšie

Microsoft Word - 16.kapitola.doc

Microsoft Word - 16.kapitola.doc 6. kapitola Logická teória diagnózy zložitých systémov 6. Úvodné poznámky tanovenie diagnózy zložitých systémov v medicíne u človeka, veľkých výrobných zariadení, elektronických obvodov, a pod.) patrí

Podrobnejšie

1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn

1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn 1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými

Podrobnejšie

Poznámky k cvičeniu č. 2

Poznámky k cvičeniu č. 2 Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení

Podrobnejšie

Klasická metóda CPM

Klasická metóda CPM Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).

Podrobnejšie

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali

Podrobnejšie

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie

Podrobnejšie

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť

Podrobnejšie

Priebeh funkcie

Priebeh funkcie Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť

Podrobnejšie

Funkcie viac premenných

Funkcie viac premenných Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie

Podrobnejšie

Paralelné algoritmy, cast c. 2

Paralelné algoritmy, cast c. 2 Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,

Podrobnejšie

Prenosový kanál a jeho kapacita

Prenosový kanál a jeho kapacita Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a

Podrobnejšie

Microsoft Word - skripta3b.doc

Microsoft Word - skripta3b.doc 6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak

Podrobnejšie

Microsoft Word - 8.cvicenie.doc

Microsoft Word - 8.cvicenie.doc Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti),

Podrobnejšie

Microsoft Word - mnohouholnik.doc

Microsoft Word - mnohouholnik.doc Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice

Podrobnejšie

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne

Podrobnejšie

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:

Podrobnejšie

Úvodná prednáška z RaL

Úvodná prednáška z RaL Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky

Podrobnejšie

Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1

Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4

Podrobnejšie

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia

Podrobnejšie

SRPkapitola06_v1.docx

SRPkapitola06_v1.docx Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode

Podrobnejšie

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia

Podrobnejšie

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu   v limite, ked sú velké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako

Podrobnejšie

Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.

Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava

Podrobnejšie

8

8 8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie

Podrobnejšie

Metódy násobenie v stredoveku

Metódy násobenie v stredoveku 1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili

Podrobnejšie

Relačné a logické bázy dát

Relačné a logické bázy dát Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.

Podrobnejšie

ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30

ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa

Podrobnejšie

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.

Podrobnejšie

Microsoft Word - Diskusia11.doc

Microsoft Word - Diskusia11.doc Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu

Podrobnejšie

Multikriteriálna optimalizácia

Multikriteriálna optimalizácia Multikriteriálna optimalizácia Tomáš Madaras Ústav matematických vied, PF UPJŠ, Košice Príklad Vyberte smartfón s najlepšími parametrami z nasledovnej ponuky: model displej cena pamäť výdrž váha foto (")

Podrobnejšie

A 1

A 1 Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu

Podrobnejšie

B5.indd

B5.indd Úvod do limitných prechodov Vladimír Janiš ÚVOD DO LIMITNÝCH PRECHODOV Autor: doc. RNDr. Vladimír Janiš, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Martin Kalina, CSc. RNDr. Pavol Krá, PhD. Vydavate : Belianum. Vydavate

Podrobnejšie

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel 10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh

Podrobnejšie

Pocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD

Pocítacové modelovanie  - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej

Podrobnejšie

Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a

Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.

Podrobnejšie

1

1 1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami

Podrobnejšie

M59dkZ9ri10

M59dkZ9ri10 MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom

Podrobnejšie

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................

Podrobnejšie

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje

Podrobnejšie

Viacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu

Viacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model

Podrobnejšie

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9

Podrobnejšie

SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,

SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.

Podrobnejšie

Vzhľadom k tomu, že Žiadosť o platbu č

Vzhľadom k tomu, že Žiadosť o platbu č Postup na identifikáciu žiadateľa ako podniku v ťažkostiach podľa Usmernenia Spoločenstva o štátnej pomoci na záchranu a reštrukturalizáciu firiem v ťažkostiach (2004/C244/02) Pred tým, ako bude uvedený

Podrobnejšie

Microsoft PowerPoint - Paschenov zakon [Read-Only] [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Paschenov zakon [Read-Only] [Compatibility Mode] Výboje v plynoch, V-A charakteristika Oblasť I. : U => I pri väčšej intenzite poľa (E) je pohyb nosičov náboja k elektródam rýchlejší a tak medzi ich vznikom a neutralizáciou na elektródach uplynie kratší

Podrobnejšie

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka

Podrobnejšie

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA PRÁCA 2014 BYSTRÍK KUBALA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V

Podrobnejšie

Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU

Analýza sociálnych sietí  Geografická lokalizácia krajín EU Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis

Podrobnejšie

Príklad 5 - Benzén 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = kmol/h Definovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude v

Príklad 5 - Benzén 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = kmol/h Definovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude v Príklad 5 - enzén 3. ilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = 12.862 kmol/h efinovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude vhodné prepočítať na hmotnostný tok. m 1 = n 1*M 1 enzén

Podrobnejšie

(ıkolské kolo-PYT)

(ıkolské kolo-PYT) Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V

Podrobnejšie

Microsoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx

Microsoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď

Podrobnejšie

7/1/2015 Úvod do databáz, skúškový test, max 25 bodov, 90 min

7/1/2015 Úvod do databáz, skúškový test, max 25 bodov, 90 min 19/1/2017 Úvod do databáz, skúškový test, max 60 bodov 1. Uvažujte databázu bez duplikátov a null hodnôt: lubipijan, Alkohol, navstivilidn, Pijan, Krcma, vypilidn, Alkohol, Mnozstvo. Platí: Idn Pijan,

Podrobnejšie

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p 4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,

Podrobnejšie

História

História Fakulta riadenia a informatiky ŽU Množiny Pojmy zavedené v 8. prednáške N-rozmerné polia Dvojrozmerné polia matica definícia typ[][] premenna inicializácia new typ[pocetriadkov][pocetstlpcov] práca s prvkami

Podrobnejšie

Pokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály

Pokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály Pokročilé programovanie II Nelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-253 Letný semester 27/28 Obsah Logistická mapa - May Period doubling, podivný atraktor,

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:

Podrobnejšie

Microsoft Word - Priloha_1.docx

Microsoft Word - Priloha_1.docx Obsah 1 Úvod... 1 2 Hlavné menu verejnej časti ITMS2014+... 1 3 Zoznam ŽoNFP na verejnej časti ITMS2014+... 2 3.1 Vyhľadávanie ŽoNFP... 2 3.2 Horná lišta zoznamu ŽoNFP... 2 3.3 Stĺpce zoznamu ŽoNFP...

Podrobnejšie

Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005

Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005 Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005 c Doc. RNDr. J á n D u p l á k, CSc. PREDSLOV Obsah AFINNÉ

Podrobnejšie

Paralelné algoritmy, cast c. 3

Paralelné algoritmy, cast c. 3 Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,

Podrobnejšie

Statika konštrukcií - prednášky

Statika konštrukcií - prednášky PEDAGOGICKÁ DOKUMENTÁCIA PREDMETU Názov : Statika konštrukcií Identifikačné číslo : B-501205 Garantujúca katedra, ústav : Katedra stavebnej mechaniky, Ústav inžinierskeho staviteľstva Študijný odbor :

Podrobnejšie

Microsoft Word - Zmeny v dlhodobom majetku.docx

Microsoft Word - Zmeny v dlhodobom majetku.docx Zmeny v dlhodobom majetku s dopadom na DPPO A) Úprava základu dane pri osobných automobiloch so vstupnou cenou 48 000 Eur a viac Ak je v evidencii majetku osobný automobil so vstupnou cenou 48 000 Eur

Podrobnejšie

1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013

1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5

Podrobnejšie

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ LINEÁRNE A KVADRATICKÉ PROGRAMOVANIE Vysokoškolská učebnica F

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ LINEÁRNE A KVADRATICKÉ PROGRAMOVANIE Vysokoškolská učebnica F Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ LINEÁRNE A KVADRATICKÉ PROGRAMOVANIE Vysokoškolská učebnica Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný

Podrobnejšie

trafo

trafo Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N

Podrobnejšie