Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27
1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava Algoritmus 3 Výsledky Skúmané modely Quasi 1D DMPK (testovací výpočet) Kov Kritický bod Izolant 4 Záver
Vodivost a transfér matica A B C D ( ) ( ) C A = S B D ( ) ( ) C A = T D B T = ), (1) ( t S = + r r + t ( t T = + r (t ) 1 r + r (t ) 1 (t ) 1 r + (t ) 1 ), (2) ( ) ( ) ( ) u λ + 1 λ u v λ λ + 1 v, (3) g = e2 h Tr(t ) t = e2 h a 1 1 + λ a. (4)
Klasická DMPK rovnica l P L = 2 N βn + 2 β λ λ i (1 + λ i )J J 1 P, (5) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j β, vab v cd = 1 N δ ab δ cd, v cavcb v da v db = 1 + δ ab N(N + 1) δ cd, (6) i<j P({x n}, s) = C(s) (sinh 2 x j sinh 2 x i ) (sinh 2x i ) i<j i [ ( Det dk exp 1 4 ) k 2 ( ) ] s 1 tanh N 2 πk k (2m 1) P 12 (ik 1) (cosh 2xn), (7) s = L l, λn = sinh2 x i, (8) N 1 g =, g = a 1 + λ a... N a N 1 dλ ap({λ a}, L), (9) a 1 + λ a var g = g 2 g 2 = 2 15β. (1)
Zovšeobecnená DMPK rovnica (GDMPK) pre β = 1 : l P N L = λ λ i (1 + λ i )K ii J J 1 P, (11) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j γij, (12) i<j γ ij = 2K ij K ii, K ij = a u ia 2 u ja 2. (13) quasi 1D limit : K 1Disotropy ab = 1 + δ ab, pre = 1, (14) N + 1 1,8 kaa 1,6 1,4 W=2 14x14x112 W=2 1x1x16 W=4 18x18x72 W=4 18x18x18 W=2 14x14x14 1,2 1 1 2 3 a
Ciel e Numericky vyriešit GDMPK, preskúmat quasi 1D limitu pre GDMPK na DMPK,
Ciel e Numericky vyriešit GDMPK, preskúmat quasi 1D limitu pre GDMPK na DMPK, Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant,
Ciel e Numericky vyriešit GDMPK, preskúmat quasi 1D limitu pre GDMPK na DMPK, Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant, Rôzna dimenzionalita vzorky,
Ciel e Numericky vyriešit GDMPK, preskúmat quasi 1D limitu pre GDMPK na DMPK, Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant, Rôzna dimenzionalita vzorky, Dvojparametricky model matice K ij.
Transformácia rovnice, 1.čast l P N L = λ λ i (1 + λ i )K ii J J 1 P, (15) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j γij, γ ij = 2K ij, lim P = K i<j ii L δ(λ i + ). (16) i
Transformácia rovnice, 1.čast l P N L = λ λ i (1 + λ i )K ii J J 1 P, (15) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j γij, γ ij = 2K ij, lim P = K i<j ii L δ(λ i + ). (16) i N s P({λn}, s) = i=1 D(λ λ i ) i ( P + P ) Ω({λ n}), (17) λ i λ i D(λ i ) = λ i (1 + λ i )K ii, Ω({λ n}) = γ ij ln λ j λ i, s = L l i<j (18)
Transformácia rovnice, 1.čast l P N L = λ λ i (1 + λ i )K ii J J 1 P, (15) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j γij, γ ij = 2K ij, lim P = K i<j ii L δ(λ i + ). (16) i N s P({λn}, s) = i=1 D(λ λ i ) i ( P + P ) Ω({λ n}), (17) λ i λ i D(λ i ) = λ i (1 + λ i )K ii, Ω({λ n}) = γ ij ln λ j λ i, s = L l i<j P({x n}, s) = P({λ n}, s) f (x i ), λ n = f (x n), (19) i Ω Ω i ln f (x i ), D D/f (x i ) 2, f (x i )[1 + f (x i )]/f (x i ) 2 = const, (2) (18)
Transformácia rovnice, 1.čast l P N L = λ λ i (1 + λ i )K ii J J 1 P, (15) i=1 i λ i J({λ n}) = λ i λ j γij, γ ij = 2K ij, lim P = K i<j ii L δ(λ i + ). (16) i N s P({λn}, s) = i=1 D(λ λ i ) i ( P + P ) Ω({λ n}), (17) λ i λ i D(λ i ) = λ i (1 + λ i )K ii, Ω({λ n}) = γ ij ln λ j λ i, s = L l i<j P({x n}, s) = P({λ n}, s) f (x i ), λ n = f (x n), (19) i Ω Ω i ln f (x i ), D D/f (x i ) 2, f (x i )[1 + f (x i )]/f (x i ) 2 = const, (2) f (x i ) = sinh 2 (x i ), resp λ n = sinh 2 (x i ) (21) s P({xn}, s) = 1 N ( P 4 K x ii + P ) Ω({x n}), i=1 i x i x i (22) Ω({x n}) = γ ij ln sinh 2 (x j ) sinh 2 N (x i ) ln sinh(2x i ). (23) i<j i=1 (18)
Transformácia rovnice, 2.čast ( ) t P = D x i ({x}) + 2 D i x i x ij ({x}) P (24) j x i =h i ({x}, s) + g ij ({x})γ j (s), Γ(s) =; Γ(s)Γ(s ) = 2δ(s s ), g ij =( D) ij = ( D) ji, h i =D i ( D) kj ( D) x ij, k (25a) (25b) (25c) (25d) D i ({x}) = K ii 4 Ω({x n}) x i, (26a) D ij ({x}) = K ii 4. (26b)
Algoritmus štartovací bod s = s, x is x i (s ) Nν x i(n+1) = x in + D i ({x n})σ + D ij ({x n})σw jn, (27) j=1 kde N ν je počet premenných (kanálov), σ je krok v čase. Po N 1 krokoch získame hodnotu premennej x in = x i (s n) v čase s n = s + σn, (n =, 1,..., N 1; i = 1, 2,..., N ν). w j, w j1,..., w j (N 1) sú N N ν nezávislé Gaussovské premenné s nulovou strednou hodnotou a s variáciou rovnou 2, w jn w kn = 2δ jk δ nn. (28) Reflecting boundary conditions: x i 1n < x in < x i+1n 1, < x 1n, x Nνn < x Nν 1n. (29) Cuttoff C: x Nνn, x Nνn C, n. (3)
Prezentované modely GDMPK: Plná matica K ij ; červena farba v grafoch Dvojparametrický model matice K ij {K ii = K 11, K ij,i =j = K 12 }; fialová farba v grafoch Transfer matrix; čierna farba v grafoch: H = w i ɛ i c i c i + t i c i c i + t c i c i i t = 1, t =.4, ɛ i =, var ɛ i = 1 12 3D a 2D konfigurácie (L L L z resp. L 2 1 L z )
Quasi 1D DMPK (testovací výpočet) modely g var g ln g var ln g Quasi 1D W=2.; TM vs. dmpk TM 3x3x3 2.3712234.166191.81967346.337185 TM 3x3x5 1.4614871.1329123.34528266.731734 dmpk 1.46148266.1271281.3468185.69829 TM 3x3x7 1.33854.11938658 -.362296.1493575 dmpk 1.3298297.1155576 -.394479.1425711 TM 3x3x1.67593721.1492471 -.53958478.3592139 dmpk.67525933.1361166 -.5379974.35178 TM 3x3x12.52998731.9686311 -.86426619.576851 dmpk.52949337.966933 -.8648914.574584 TM 3x3x14.42687494.8852371-1.17931111.8462932 dmpk.4267792.8823384-1.1765441.8332798
Quasi 1D DMPK (testovací výpočet) 2 1.5 1.5 P(x 1 ) P(x 2 ) 2 1.5 1.5 1 2 3 4 1 2 3 4.2 P(x ) all 1 P(g).1.5 5 1 1 2 3 4
Kov modely g var g ln g var ln g 3D kov W=3.; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=.522582,K12=.243982 TM 7x7x6 21.1119113 1.76419675 3.4733437.4848 TM 7x7x8 17.58169596 1.4177822 2.8645636.461756 gdmpk K ab 17.58187697 1.3233124 2.86518723.337745 gdmpk K 11 K 12 17.57655575.9696899 2.86498584.317352 TM 7x7x1 15.499534 1.12387762 2.788751.5157 gdmpk K ab 15.589422.783319 2.7141646.31238 gdmpk K 11 K 12 15.488642.62157976 2.799599.277352 2D kov W=3.; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=.7127655, K12=.836649 TM 49x1x6 21.8915239 2.474683 3.835672.58899 TM 49x1x8 18.18954484 2.1254797 2.8976559.652321 gdmpk K ab 18.223236 1.7947977 2.89881889.54897 gdmpk K 11 K 12 18.18863 1.9129269 2.89745276.586525 TM 49x1x1 15.46389649 1.8583418 2.734585.791316 gdmpk K ab 15.481469 1.47522927 2.73653568.624348 gdmpk K 11 K 12 15.4858771 1.6513795 2.73645679.698428
Kov 2D P(x ) 1 P(x ) 2 1 1 5 5.1.2.1.2.4 P(x ) all.4 P(g).2.2.2.4.6.8 1 1 15 2 25
Kov 3D P(x ) 1 P(x ) 2 1 1 5 5.1.2.1.2.4 P(x ) all.4 P(g).2.2.2.4.6.8 1 1 15 2 25
Kritický bod modely g var g ln g var ln g 3D kritický bod W=9.2; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=.2854427,K12=.28497 TM 7x7x6 1.873456.53848.543867.1864628 TM 7x7x8 1.8193841.3124193 -.7924381.371835 gdmpk Kab 1.8439842.27366747 -.5667295.3197861 gdmpk K11K12 1.9213164.2663925 -.442261.36798 TM 7x7x1.6834852.19954946 -.64579267.6541755 gdmpk Kab.6789144.17929548 -.62587445.578658 gdmpk K11K12.6842252.17618134 -.61271147.5696563 3D kritický bod W=8.6; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=.552338,K12=.18764 TM 49x1x6 1.9658872.6255581.58766377.19263799 TM 49x1x8 1.23431.33549249 -.15846532.4163823 gdmpk Kab 1.3734923.33117112 -.136241.393851 gdmpk K11K12 1.275292.32871191 -.14685221.395969 TM 49x1x1.5698481.193769 -.89968448.831945 gdmpk Kab.56464427.1831262 -.897362.769943 gdmpk K11K12.56699785.18397689 -.88991631.75982
Kritický bod 2D 1 P(x 1 ) P(x 2 ) 1.5.5 1 2 3 1 2 3.2.15 P(x ) all 1 P(g).1.5.5 5 1 1 2 3 4
Kritický bod 3D 1 P(x 1 ) P(x 2 ) 1.5.5 1 2 3 1 2 3.2.15 P(x ) all 1 P(g).1.5.5 5 1 1 2 3 4
Izolant modely g var g ln g var ln g 3D izolant W=26.; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=.522582,K12=.243982 TM 7x7x6.2881692.89822-5.8349273 4.66683 TM 7x7x8.53845.163947-9.4228739 7.664761 gdmpk Kab.67298.22943-9.4369423 8.1859 gdmpk K11K12.653788.215359-9.4126499 8.354991 TM 7x7x1.12696.36542-13.1234178 1.69212 gdmpk Kab.183847.64487-13.12879793 11.75684 gdmpk K11K12.18768.64911-13.1642742 12.66769 2D izolant W=26.; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=.7127655, K12=.836649 TM 49x1x6.2117155.645566-5.8349273 4.666838 TM 49x1x8.32916.97178-1.27277542 7.448712 gdmpk Kab.336747.99279-1.1779538 7.11966 gdmpk K11K12.33525.11573-1.24674352 7.13787 TM 49x1x1.5468.14943-14.46819836 1.13459 gdmpk Kab.67939.22282-14.4263378 9.44596 gdmpk K11K12.66689.22251-14.5782768 9.762933
Izolant 2D.4.3.2.1 P(x 1 ) P(x 2 ).4.3.2.1 5 1 5 1.15.1.5 P(x ) all.2 P(ln g).15.1.5 5 1 15 2 25-2 -15-1 -5
Izolant 3D.4.3.2.1 P(x 1 ) P(x 2 ).4.3.2.1 5 1 5 1.15.1.5 P(x ) all.2 P(ln g).15.1.5 5 1 15 2 25-2 -15-1 -5
Zhrnutie DMPK: použitel ná v quasi 1D, súlad s exaktným vypočtom a TM. GDMPK: správne (? kov) opisuje jednotlivé oblasti fázoveho diagramu kov-izolant pre vodivost. GDMPK: matica K ij nesie informácie o dimensionalite vzorky. GDMPK: dvojparametrický model je postačujúca aproximácia pre vodivost. GDMPK: kompletný opis distribúcie neposkytuje či už naš algoritmus alebo samotná rovnica; nezanedbatel ný faktor má matica K ij, nakol ko jej vyššie elementy sú určene nepresne.