Susedov rozli²ujúci index grafu Bakalárska práca pre ²tudijný program Matematika alebo Ekonomická a nan ná matematika v akademickom roku 2019/20 vedúc

Prepis

1 Bakalárska práca pre ²tudijný program Matematika alebo Ekonomická a nan ná matematika v akademickom roku 2019/20 vedúci práce pokra ovanie v diplomovej práci vítané

2 G graf, C mnoºina farieb, ϕ : E(G) C hranové zafarbenie

3 G graf, C mnoºina farieb, ϕ : E(G) C hranové zafarbenie ϕ regulárne: e 1, e 2 E(G) ( e 1 e 2 = 1 ϕ(e 1 ) ϕ(e 2 )) susedné hrany rôzne farby

4 G graf, C mnoºina farieb, ϕ : E(G) C hranové zafarbenie ϕ regulárne: e 1, e 2 E(G) ( e 1 e 2 = 1 ϕ(e 1 ) ϕ(e 2 )) susedné hrany rôzne farby v V (G) S ϕ (v) := {ϕ(e) : e v} ϕ-paleta vrcholu v

5 G graf, C mnoºina farieb, ϕ : E(G) C hranové zafarbenie ϕ regulárne: e 1, e 2 E(G) ( e 1 e 2 = 1 ϕ(e 1 ) ϕ(e 2 )) susedné hrany rôzne farby v V (G) S ϕ (v) := {ϕ(e) : e v} ϕ-paleta vrcholu v ϕ susedov rozli²ujúce (neighbour-distinguisghing), ak platí: x, y V (G) ({x, y} E(G) S ϕ (x) S ϕ (y)) susedné vrcholy rôzne ϕ-palety

6 G graf, C mnoºina farieb, ϕ : E(G) C hranové zafarbenie ϕ regulárne: e 1, e 2 E(G) ( e 1 e 2 = 1 ϕ(e 1 ) ϕ(e 2 )) susedné hrany rôzne farby v V (G) S ϕ (v) := {ϕ(e) : e v} ϕ-paleta vrcholu v ϕ susedov rozli²ujúce (neighbour-distinguisghing), ak platí: x, y V (G) ({x, y} E(G) S ϕ (x) S ϕ (y)) susedné vrcholy rôzne ϕ-palety Denícia G je minimálny po et farieb ndi(g) v regulárnom susedov rozli²ujúcom zafarbení grafu G.

7 G graf, C mnoºina farieb, ϕ : E(G) C hranové zafarbenie ϕ regulárne: e 1, e 2 E(G) ( e 1 e 2 = 1 ϕ(e 1 ) ϕ(e 2 )) susedné hrany rôzne farby v V (G) S ϕ (v) := {ϕ(e) : e v} ϕ-paleta vrcholu v ϕ susedov rozli²ujúce (neighbour-distinguisghing), ak platí: x, y V (G) ({x, y} E(G) S ϕ (x) S ϕ (y)) susedné vrcholy rôzne ϕ-palety Denícia G je minimálny po et farieb ndi(g) v regulárnom susedov rozli²ujúcom zafarbení grafu G. susedov nerozli²ujúce S ϕ (x) = S ϕ (y)

8 G graf, C mnoºina farieb, ϕ : E(G) C hranové zafarbenie ϕ regulárne: e 1, e 2 E(G) ( e 1 e 2 = 1 ϕ(e 1 ) ϕ(e 2 )) susedné hrany rôzne farby v V (G) S ϕ (v) := {ϕ(e) : e v} ϕ-paleta vrcholu v ϕ susedov rozli²ujúce (neighbour-distinguisghing), ak platí: x, y V (G) ({x, y} E(G) S ϕ (x) S ϕ (y)) susedné vrcholy rôzne ϕ-palety Denícia G je minimálny po et farieb ndi(g) v regulárnom susedov rozli²ujúcom zafarbení grafu G. susedov nerozli²ujúce S ϕ (x) = S ϕ (y) susedov rozli²ujúce ndi(c 5 ) = 5 = (C 5 ) + 3

9 Hypotéza (Neighbour-Distinguishing Conjecture, NDC) Ak G / {K 2, C 5 } je súvislý graf, tak ndi(g) (G) + 2.

10 Hypotéza (Neighbour-Distinguishing Conjecture, NDC) Ak G / {K 2, C 5 } je súvislý graf, tak ndi(g) (G) + 2. NDC platí pre bipartitné grafy (grafy bez kruºníc nepárnej d ºky)

11 Hypotéza (Neighbour-Distinguishing Conjecture, NDC) Ak G / {K 2, C 5 } je súvislý graf, tak ndi(g) (G) + 2. NDC platí pre bipartitné grafy (grafy bez kruºníc nepárnej d ºky) grafy s maximálnym stup om nanajvý² 3

12 Hypotéza (Neighbour-Distinguishing Conjecture, NDC) Ak G / {K 2, C 5 } je súvislý graf, tak ndi(g) (G) + 2. NDC platí pre bipartitné grafy (grafy bez kruºníc nepárnej d ºky) grafy s maximálnym stup om nanajvý² 3 planárne grafy bez kruºníc d ºky nanajvý² 5

13 Hypotéza (Neighbour-Distinguishing Conjecture, NDC) Ak G / {K 2, C 5 } je súvislý graf, tak ndi(g) (G) + 2. NDC platí pre bipartitné grafy (grafy bez kruºníc nepárnej d ºky) grafy s maximálnym stup om nanajvý² 3 planárne grafy bez kruºníc d ºky nanajvý² 5 planárne grafy s maximálnym stup om vrcholu aspo 12

14 Hypotéza (Neighbour-Distinguishing Conjecture, NDC) Ak G / {K 2, C 5 } je súvislý graf, tak ndi(g) (G) + 2. NDC platí pre bipartitné grafy (grafy bez kruºníc nepárnej d ºky) grafy s maximálnym stup om nanajvý² 3 planárne grafy bez kruºníc d ºky nanajvý² 5 planárne grafy s maximálnym stup om vrcholu aspo 12 Ciel' práce Spracovat' prehl'ad o lánkoch pojednávajúcich o susedov rozli²ujúcom indexe. Skúmat' ndi pre kompletné multipartitné grafy. Hl'adat' nové grafy (príp. triedy grafov) podporujúce NDC.