Biharmonická rovnica - ciže co spôsobí pridanie jedného laplasiánu

Prepis

1 iºe o spôsobí pridanie jedného laplasiánu tyc struna

2 Obsah ƒo je to biharmonická rovnica 2 Malý výlet do teórie pruºnosti 3 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia 4... a kde ostala matematická fyzika?

3 ƒo je to biharmonická rovnica harmonické rovnice: { f = 0 LAPLACE φ vo vákuu f = g POISSON φ v priestore s nábojom ( + k 2 )f = 0 HELMHOLZ ψ vo nej astice

4 ƒo je to biharmonická rovnica harmonické rovnice: { f = 0 LAPLACE φ vo vákuu f = g POISSON φ v priestore s nábojom ( + k 2 )f = 0 HELMHOLZ ψ vo nej astice biharmonická rovnica: f = 0 Sophie Germain u dosky ( f = 0: aj mydlová blana = 2D verzia struny, doska bez tuhosti v ohybe)

5 ƒo je to biharmonická rovnica harmonické rovnice: { f = 0 LAPLACE φ vo vákuu f = g POISSON φ v priestore s nábojom ( + k 2 )f = 0 HELMHOLZ ψ vo nej astice biharmonická rovnica: f = 0 Sophie Germain u dosky ( f = 0: aj mydlová blana = 2D verzia struny, doska bez tuhosti v ohybe)

6 ƒo je to biharmonická rovnica harmonické rovnice: { f = 0 LAPLACE φ vo vákuu f = g POISSON φ v priestore s nábojom ( + k 2 )f = 0 HELMHOLZ ψ vo nej astice biharmonická rovnica: f = 0 Sophie Germain u dosky ( f = 0: aj mydlová blana = 2D verzia struny, doska bez tuhosti v ohybe) nové: miestne uchytenie, dve okrajové podmienky

7 ƒo je to biharmonická rovnica harmonické rovnice: { f = 0 LAPLACE φ vo vákuu f = g POISSON φ v priestore s nábojom ( + k 2 )f = 0 HELMHOLZ ψ vo nej astice biharmonická rovnica: f = 0 Sophie Germain u dosky ( f = 0: aj mydlová blana = 2D verzia struny, doska bez tuhosti v ohybe) nové: miestne uchytenie, dve okrajové podmienky ke chceme lep²ie pochopi nejakú vec, pomôºe nám, ke na nej nie o zmeníme alebo ju dáme do inej súvislosti získame odstup Poºiadal ma, aby som sa postavil ako kolos s tak rozkro enými nohami, nako ko len moºno. Potom rozkázal svojmu generálovi (ktorý bol starý skúsený velite a môj ve ký priaznivec), aby sradil vojsko do uzavretých radov a vodil ho podo mnou.

8 Malý výlet do teórie pruºnosti Ohyb ty e slabý ohyb { l = d ºka ty e h = hrúbka ty e, u = výchylka: { tenká ty : h l malá výchylka: u l slabý ohyb: u h NOVÉ

9 Malý výlet do teórie pruºnosti Ohyb ty e slabý ohyb { l = d ºka ty e h = hrúbka ty e, u = výchylka: energia deformácie { tenká ty : h l malá výchylka: u l slabý ohyb: u h NOVÉ F deformácia je úmerná napätiu HOOKE { σ = napätie (= F /S) ɛ = relatívne pred ºenie (= l/l) : ɛ σ l

10 Malý výlet do teórie pruºnosti Ohyb ty e slabý ohyb { l = d ºka ty e h = hrúbka ty e, u = výchylka: energia deformácie { tenká ty : h l malá výchylka: u l slabý ohyb: u h NOVÉ l F deformácia je úmerná napätiu HOOKE { σ = napätie (= F /S) ɛ = relatívne pred ºenie (= l/l) : ɛ σ energia je práca vykonaná napätím v priebehu defomácie H. z. hustota energie: w = σdɛ w ɛ 2

11 Malý výlet do teórie pruºnosti energia ohnutej ty e ohnutá ty je z jednej strany roztiahnutá a z druhej stla ená δ = posunutie vzh adom na neutrálnu plochu (plochu bez napätia): ɛ δ δ

12 Malý výlet do teórie pruºnosti energia ohnutej ty e δ ohnutá ty je z jednej strany roztiahnutá a z druhej stla ená δ = posunutie vzh adom na neutrálnu plochu (plochu bez napätia): ɛ δ roztiahnutie / stla enie je úmerné krivosti ty e geometria úlohy ɛ = kδ, k = krivos ty e; malá výchylka u(x): k. = u

13 Malý výlet do teórie pruºnosti energia ohnutej ty e δ ohnutá ty je z jednej strany roztiahnutá a z druhej stla ená δ = posunutie vzh adom na neutrálnu plochu (plochu bez napätia): ɛ δ roztiahnutie / stla enie je úmerné krivosti ty e geometria úlohy ɛ = kδ, k = krivos ty e; malá výchylka u(x): k. = u... takºe energia je úmerná krivosti ty e na druhú objemová hustota energie: w ɛ 2 = k 2 δ 2 d ºková hustota energie: W k 2 kon²t = 2 E 2. moment plochy =! 2 & pribliºné k energia: E = 2 (u ) 2 dx Euler-Bernoulli

14 Malý výlet do teórie pruºnosti Ohyb dosky pred ºenie v jednom smere vyvoláva stla enie v druhom POISSON relatívne pred ºenie v prie nom smere: ɛ = = νɛ, ν, (oce 0,3, korok 0) 2 2 l 2 l

15 Malý výlet do teórie pruºnosti Ohyb dosky 2 2 l l pred ºenie v jednom smere vyvoláva stla enie v druhom POISSON relatívne pred ºenie v prie nom smere: ɛ = = νɛ, ν, (oce 0,3, korok 0) 2 keby nebolo prie nej deformácie, energia by bola integrál z tr H 2 ty : W =. 2 k2 = 2 (u ) 2 / doska bez ν: W pl = = 2 k2 + 2 k2 2 & k.,2 = h,2 = hlavné hodnoty. Hessiánu (matice 2. derivácií) W pl = tr H2 2

16 Malý výlet do teórie pruºnosti Ohyb dosky 2 2 l l pred ºenie v jednom smere vyvoláva stla enie v druhom POISSON relatívne pred ºenie v prie nom smere: ɛ = = νɛ, ν, (oce 0,3, korok 0) 2 keby nebolo prie nej deformácie, energia by bola integrál z tr H 2 ty : W =. 2 k2 = 2 (u ) 2 / doska bez ν: W pl = = 2 k2 + 2 k2 2 & k.,2 = h,2 = hlavné hodnoty. Hessiánu (matice 2. derivácií) W pl = tr H2 2 od prie nej deformácie pribudne len s det H. oprava H. z.: W pl = νk k 2 = ν det H E = [ 2 u2 xx + ( ν)u 2 xy + 2 u2 yy + νu xx u yy ] ds [...] 0 pre ν, ; ale svet je 3D

17 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rovnica ty e Varia ný princíp 2 (u ) 2 dx F i u(x i ) = min LAGRANGE

18 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rovnica ty e Varia ný princíp 2 (u ) 2 dx F i u(x i ) = min LAGRANGE Rovnica u = F i δ(x x i ) u = 0 & u je C 2 -spojité v x, x 2,...

19 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rovnica ty e Varia ný princíp 2 (u ) 2 dx F i u(x i ) = min LAGRANGE Rovnica u = F i δ(x x i ) u = 0 & u je C 2 -spojité v x, x 2,... Okrajové podmienky u, u dané votknutá / u dané, u = 0 opretá / u = u = 0 vo ná

20 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rovnica ty e Varia ný princíp 2 (u ) 2 dx F i u(x i ) = min LAGRANGE Rovnica u = F i δ(x x i ) u = 0 & u je C 2 -spojité v x, x 2,... Okrajové podmienky u, u dané votknutá / u dané, u = 0 opretá / u = u = 0 vo ná Rie²enie u = polynóm 3. stup a na intervale SPLAJN ty opretá v krajných bodoch / -ná prirodzený splajn

21 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rovnica dosky Rovnica a okrajové podmienky [ 2 tr H2 + ν det H ] [ ds = 2 ( ν)tr H2 + 2 ν(tr H)2] ds, { tr H 2 = u ij u ij : δtr H 2 = 2u ij δu ij ˆ= 2 uδu (tr H) 2 = u ii u jj : δ(tr H) 2 ν nevstupuje = 2u ii δu jj ˆ= dtto do rovnice, iba do okrajových podmienok (S. G.: ν = ZLE, ale rovnica jej vy²la správne!)

22 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rovnica dosky Rovnica a okrajové podmienky [ 2 tr H2 + ν det H ] [ ds = 2 ( ν)tr H2 + 2 ν(tr H)2] ds, { tr H 2 = u ij u ij : δtr H 2 = 2u ij δu ij ˆ= 2 uδu (tr H) 2 = u ii u jj : δ(tr H) 2 ν nevstupuje = 2u ii δu jj ˆ= dtto do rovnice, iba do okrajových podmienok (S. G.: ν = ZLE, ale rovnica jej vy²la správne!) opretá doska u = F i δ Pi, { u C = 0 (u nn + νu tt ) C = 0 al²ie príklady: potenciál σ pri rovinnej deformácii AIRY (opä pruºnos...), gravitácia vy²²ích rádov

23 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rie²enia kruhová doska podopretá v strede r r u δ(x), kde r = d 2 d dr : d 2 r + r u = Ar 2 lnr + Br 2 + C lnr + D; u(0) = =, u() = u () + νu () = 0:

24 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rie²enia u,0 0,5 V 0 kruhová doska podopretá v strede r r u δ(x), kde r = d 2 d 2 r + d r dr : u = Ar 2 lnr + Br 2 + C lnr + D; u(0) = =, u() = u () + νu () = 0: ] u = + r 2 [ 2( + ν) 3 + ν lnr 0,0 0,0 0,5,0 r

25 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rie²enia u,0 0,5 0 V 0,0 0,0 0,5,0 r kruhová doska podopretá v strede r r u δ(x), kde r = d 2 d 2 r + d r dr : u = Ar 2 lnr + Br 2 + C lnr + D; u(0) = =, u() = u () + νu () = 0: ] u = + r 2 [ 2( + ν) 3 + ν lnr -ná doska, vi splajn tenkej dosky

26 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rie²enia u r kruhová doska podopretá v strede r r u δ(x), kde r = d 2 d 2 r + d r dr : u = Ar 2 lnr + Br 2 + C lnr + D; u(0) = =, u() = u () + νu () = 0: ] u = + r 2 [ 2( + ν) 3 + ν lnr -ná doska, vi splajn tenkej dosky { + r u = 2 (lnr ), r lnr, r >

27 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rie²enia u r kruhová doska podopretá v strede r r u δ(x), kde r = d 2 d 2 r + d r dr : u = Ar 2 lnr + Br 2 + C lnr + D; u(0) = =, u() = u () + νu () = 0: ] u = + r 2 [ 2( + ν) 3 + ν lnr -ná doska, vi splajn tenkej dosky { + r u = 2 (lnr ), r lnr, r > doska s napätím r r u α 2 r u δ(x)

28 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia Rie²enia u,0 0,5 / ,0 0,0 0,5,0 r kruhová doska podopretá v strede r r u δ(x), kde r = d 2 d 2 r + d r dr : u = Ar 2 lnr + Br 2 + C lnr + D; u(0) = =, u() = u () + νu () = 0: ] u = + r 2 [ 2( + ν) 3 + ν lnr -ná doska, vi splajn tenkej dosky { + r u = 2 (lnr ), r lnr, r > doska s napätím r r u α 2 r u δ(x) Besselove funkcie imaginárneho argumentu

29 ... a kde ostala matematická fyzika? Opretá doska pod a Temama R. Temam: Problèmes Mathematiqués en Plasticité, Gauthier-Villars, Paris (983) priestor funkcií: Ω = ohrani ená oblas v R 2 s hranicou Γ z C 2, H 2 (Ω) = Sobolevov priestor rádu (2, 2) = priestor funkcií z L 2 (Ω), ktorých slabé derivácie po druhú sú tieº z L 2 (Ω), C a (acceptable) = priestor funkcií z H 2 nulových na Γ

30 ... a kde ostala matematická fyzika? Opretá doska pod a Temama R. Temam: Problèmes Mathematiqués en Plasticité, Gauthier-Villars, Paris (983) priestor funkcií: Ω = ohrani ená oblas v R 2 s hranicou Γ z C 2, H 2 (Ω) = Sobolevov priestor rádu (2, 2) = priestor funkcií z L 2 (Ω), ktorých slabé derivácie po druhú sú tieº z L 2 (Ω), C a (acceptable) = priestor funkcií z H 2 nulových na Γ Veta. Majme úlohu inf C a e²te raz opretá doska [ 2 ( ν)tr H2 + 2 ν(tr H)2 fu ] ds, kde f je z L 2 (Ω) (Φ); íslo inf C a {Φ} je kone né a Φ pripú² a jediné rie²enie Dôkaz Vety : dualita & konvexná analýza

31 ... a kde ostala matematická fyzika? Opretá doska pod a Temama R. Temam: Problèmes Mathematiqués en Plasticité, Gauthier-Villars, Paris (983) priestor funkcií: Ω = ohrani ená oblas v R 2 s hranicou Γ z C 2, H 2 (Ω) = Sobolevov priestor rádu (2, 2) = priestor funkcií z L 2 (Ω), ktorých slabé derivácie po druhú sú tieº z L 2 (Ω), C a (acceptable) = priestor funkcií z H 2 nulových na Γ Veta. Majme úlohu inf C a e²te raz opretá doska [ 2 ( ν)tr H2 + 2 ν(tr H)2 fu ] ds, kde f je z L 2 (Ω) (Φ); íslo inf C a {Φ} je kone né a Φ pripú² a jediné rie²enie Dôkaz Vety : dualita & konvexná analýza Mám nemalú rados, ºe sa toto moje dielo nemôºe stretnú s nijakou kritikou; lebo aké moºno robi námietky proti spisovate ovi, ktorý rozpráva iba prosté fakty, o sa staly v takých vzdialených krajinách, kde nemáme najmen²ie obchody ani obchodné jedna ky?