Regresné modely pre nespojité veliciny
|
|
|
- Franz Švec
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Regresné modely pre nespojité veličiny I. Žežula Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika, Košice 18. slovenská štatistická konferencia, Košice
2 Obsah 1 Logistická regresia Úvod Základný model Všeobecnejšie prediktory Všeobecný model Testy asociácie 2 Multinomická regresia Úvod Všeobecný model Miery dobrej zhody a prebytok rozptylu Testy 3 Ordinálna regresia Úvod Model proporcionálnych šancí Ďalšie modely 4 Poissonova regresia Úvod Základný model Všeobecný model I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
3 1) Logistická regresia Logistická regresia Úvod Úvod Testovanie rizikového faktora: chceme overit, či určitý faktor má vplyv na pravdepodobnost prepuknutia nejakej sledovanej choroby. Tomu zodpovedá nasledujúca kontingenčná tabul ka: rizikový faktor zdravotný stav chorý zdravý suma prítomný n 11 n 12 n 10 neprítomný n 21 n 22 n 20 suma n 01 n 02 n I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
4 1) Logistická regresia Logistická regresia Úvod Úvod Testovanie rizikového faktora: chceme overit, či určitý faktor má vplyv na pravdepodobnost prepuknutia nejakej sledovanej choroby. Tomu zodpovedá nasledujúca kontingenčná tabul ka: rizikový faktor zdravotný stav chorý zdravý suma prítomný n 11 n 12 n 10 neprítomný n 21 n 22 n 20 suma n 01 n 02 n Šance prepuknutia choroby pre obidve skupiny sú: o 1 = n 11 n 12 = n 11 n 10 n 11 = n 11 n 10 1 n 11 n 10 = ˆp 1 1 ˆp 1, o 2 = ˆp 2 1 ˆp 2 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
5 1) Logistická regresia Logistická regresia Úvod Ako mieru rizika môžeme vziat pomer šancí (odds ratio): OR = o 1 o 2 = ˆp 1 1 ˆp 1 1 ˆp 2 ˆp 2 o 1 = OR o 2 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
6 1) Logistická regresia Logistická regresia Úvod Ako mieru rizika môžeme vziat pomer šancí (odds ratio): OR = o 1 o 2 = ˆp 1 1 ˆp 1 1 ˆp 2 ˆp 2 o 1 = OR o 2 Potom platí log (o 1 ) = log (o 2 ) + log (OR), I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
7 1) Logistická regresia Logistická regresia Úvod Ako mieru rizika môžeme vziat pomer šancí (odds ratio): Potom platí čiže OR = o 1 o 2 = ˆp 1 1 ˆp 1 1 ˆp 2 ˆp 2 o 1 = OR o 2 log (o 1 ) = log (o 2 ) + log (OR), y = log (o 2 ) + log (OR) x, kde x {0, 1} a y {log (o 1 ), log (o 2 )}. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
8 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Toto je základný logistický model. Formálne je to regresný model y = β 0 + β 1 x so základnou úrovňou β 0 = log (o 2 ) a smernicou β 1 = log (OR) efektom prítomnosti rizikového faktora. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
9 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Toto je základný logistický model. Formálne je to regresný model y = β 0 + β 1 x so základnou úrovňou β 0 = log (o 2 ) a smernicou β 1 = log (OR) efektom prítomnosti rizikového faktora. Ak označíme pravdepodobnost nastatia udalosti (prepuknutia choroby) p, potom ( ) p log = β 0 + β 1 x 1 p v obidvoch skupinách. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
10 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Toto je základný logistický model. Formálne je to regresný model y = β 0 + β 1 x so základnou úrovňou β 0 = log (o 2 ) a smernicou β 1 = log (OR) efektom prítomnosti rizikového faktora. Ak označíme pravdepodobnost nastatia udalosti (prepuknutia choroby) p, potom ( ) p log = β 0 + β 1 x 1 p v obidvoch skupinách. Z toho p = exp (β 0 + β 1 x) 1 + exp (β 0 + β 1 x) = exp ( β 0 β 1 x) I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
11 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Odhadovanie neznámych parametrov sa robí metódou maximálnej vierohodnoti (ML-metódou). Vierohodnost pozorovaných početností pre dané β-y je L(β) = ( n10 n 11 ) p n 11 1 (1 p 1 ) n 10 n 11 ( n20 n 21 ) p n 21 2 (1 p 2 ) n 20 n 21 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
12 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Odhadovanie neznámych parametrov sa robí metódou maximálnej vierohodnoti (ML-metódou). Vierohodnost pozorovaných početností pre dané β-y je Z toho L(β) = ( n10 n 11 ) p n 11 1 (1 p 1 ) n 10 n 11 ( n20 n 21 l(β) = log L(β) = n 11 log (p 1 ) + n 12 log (1 p 1 ) + ) p n 21 2 (1 p 2 ) n 20 n 21 + n 21 log (p 2 ) + n 22 log (1 p 2 ) I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
13 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Odhadovanie neznámych parametrov sa robí metódou maximálnej vierohodnoti (ML-metódou). Vierohodnost pozorovaných početností pre dané β-y je Z toho L(β) = ( n10 n 11 ) p n 11 1 (1 p 1 ) n 10 n 11 ( n20 n 21 l(β) = log L(β) = n 11 log (p 1 ) + n 12 log (1 p 1 ) + L ahko sa ukáže, že ML-rovnice sú ) p n 21 2 (1 p 2 ) n 20 n 21 + n 21 log (p 2 ) + n 22 log (1 p 2 ) l β 1 = n 11 n 10 p 1 = 0, l β 0 = n 11 n 10 p 1 + n 21 n 20 p 2 = 0 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
14 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model V tomto prípade už riešenie poznáme, ˆp 1 = n 11 a ˆp 2 = n 21 (a n 10 n 20 príslušné β-y). I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
15 Logistická regresia Základný model 1) Logistická regresia V tomto prípade už riešenie poznáme, ˆp 1 = n 11 a ˆp 2 = n 21 (a n 10 n 20 príslušné β-y). Vieme odvodit aj asymptotickú variančnú maticu ˆβ. Jej tvar je ( ) ˆβ var 0 = J ˆβ 1 = 1 ( ) a a, 1 ab a a + b kde a = n 10ˆp 1 (1 ˆp 1 ), b = n 20ˆp 2 (1 ˆp 2 ). I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
16 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model V tomto prípade už riešenie poznáme, ˆp 1 = n 11 a ˆp 2 = n 21 (a n 10 n 20 príslušné β-y). Vieme odvodit aj asymptotickú variančnú maticu ˆβ. Jej tvar je ( ) ˆβ var 0 = J ˆβ 1 = 1 ( ) a a, 1 ab a a + b kde a = n 10ˆp 1 (1 ˆp 1 ), b = n 20ˆp 2 (1 ˆp 2 ). ( ) a + b a J = je informačná matica. a a I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
17 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Príklad: Baystate Medical Center v Springfielde (MA), USA, študoval faktory ovplyvňujúce nízku pôrodnú hmotnost novorodencov. Vezmime za rizikový faktor fajčenie v priebehu tehotenstva. Dostaneme nasledujúcu kontingenčnú tabul ku: fajčenie nízka pôrodná hmotnost áno nie suma prítomné neprítomné suma I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
18 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Príklad: Baystate Medical Center v Springfielde (MA), USA, študoval faktory ovplyvňujúce nízku pôrodnú hmotnost novorodencov. Vezmime za rizikový faktor fajčenie v priebehu tehotenstva. Dostaneme nasledujúcu kontingenčnú tabul ku: fajčenie nízka pôrodná hmotnost áno nie suma prítomné neprítomné suma Šanca pri fajčiarkách je o 1 = 30/44 = , pri nefajčiarkách o 2 = 29/86 = , OR = Sakodov koeficient S = indikuje miernu, ale štatisticky významnú závislost (χ 2 = 4.92 > 3.84 = χ 2 1 (0.05)). I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
19 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Ked že log( ) = , log( ) = , dostávame model y = x. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
20 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Ked že log( ) = , log( ) = , dostávame model Výstup z komerčného softwaru: y = x. coefficient std. error z P > z 95% conf. interval fajcenie constant I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
21 1) Logistická regresia Logistická regresia Základný model Ked že log( ) = , log( ) = , dostávame model Výstup z komerčného softwaru: y = x. coefficient std. error z P > z 95% conf. interval fajcenie constant Vieme získat aj 95% interval spol ahlivosti (IS) pre OR: [ e ; e ] = [1.08; 3.78] I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
22 Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory 1) Logistická regresia Všeobecný kategoriálny prediktor: Musíme odhadovat viac pravdepodobností. Nech počet kategórií prediktora je m: o i = n i1 /n i2, i = 1,..., m I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
23 Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory 1) Logistická regresia Všeobecný kategoriálny prediktor: Musíme odhadovat viac pravdepodobností. Nech počet kategórií prediktora je m: o i = n i1 /n i2, i = 1,..., m log (OR i ) = log o i o m = β i, i = 1,..., m 1 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
24 Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory 1) Logistická regresia Všeobecný kategoriálny prediktor: Musíme odhadovat viac pravdepodobností. Nech počet kategórií prediktora je m: o i = n i1 /n i2, i = 1,..., m log (OR i ) = log o i o m = β i, i = 1,..., m 1 Potom y = β 0 + β 1 x β m 1 x m 1, kde všetky x i {0, 1}, ale iba jedno z nich nadobúda hodnotu 1. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
25 Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory 1) Logistická regresia Všeobecný kategoriálny prediktor: Musíme odhadovat viac pravdepodobností. Nech počet kategórií prediktora je m: o i = n i1 /n i2, i = 1,..., m log (OR i ) = log o i o m = β i, i = 1,..., m 1 Potom y = β 0 + β 1 x β m 1 x m 1, kde všetky x i {0, 1}, ale iba jedno z nich nadobúda hodnotu 1. Jedna kategória z m musí byt referenčnou kategóriou. Jedna vysvetl ujúca premenná sa nahradí m 1 indikátormi ostatných kategórií, ktoré sa navzájom vylučujú. Významnost regresného koeficientu indikuje významný rozdiel medzi príslušnou kategóriou a referenčnou kategóriou (diferenciálny efekt kategórie). I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
26 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory Príklad: Vezmime hmotnost matky (zoskupenú do 3 kategórií) ako rizikový faktor nízkej pôrodnej hmotnosti novorodenca. Dostaneme hmotnostná skupina [lb] nízka pôrodná hmotnost áno nie suma riadkové podiely % 52.8% (110; 150] % 73.0% > % 80.6% suma % 68.8% Meniace sa riadkové podiely ukazujú, že (nízka) hmotnost matky môže byt rizikovým faktorom. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
27 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory Výstup zo softwaru pre 3. kategóriu ako referenčnú: variable coefficient std. error Wald df p-value wt_groups wt_groups(1) wt_groups(2) constant Výstup zo softwaru pre 1. kategóriu ako referenčnú: variable coefficient std. error Wald df p-value wt_groups wt_groups(2) wt_groups(3) constant Symbolicky zapísané, pre vplyv hmotnostných skupín platí 1 {2, 3} na hladine 5%. Hmotnost matky je štatisticky významný faktor. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
28 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory Kvantitatívny prediktor: Ak máme kvantitatívnu vysvetl ujúcu premennú, ktorá ovplyvňuje pravdepodobnost výsledku, môžeme jednoducho predpokladat, že p je (spojitou) funkciou x: ( ) p log = β 0 + β 1 x 1 p I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
29 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory Kvantitatívny prediktor: Ak máme kvantitatívnu vysvetl ujúcu premennú, ktorá ovplyvňuje pravdepodobnost výsledku, môžeme jednoducho predpokladat, že p je (spojitou) funkciou x: ( ) p log = β 0 + β 1 x 1 p Regresný koeficient x sa interpretuje ako efekt jednotkovej zmeny x na výsledok. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
30 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory Kvantitatívny prediktor: Ak máme kvantitatívnu vysvetl ujúcu premennú, ktorá ovplyvňuje pravdepodobnost výsledku, môžeme jednoducho predpokladat, že p je (spojitou) funkciou x: ( ) p log = β 0 + β 1 x 1 p Regresný koeficient x sa interpretuje ako efekt jednotkovej zmeny x na výsledok. ( ) 5 Logistická transformácia p log p 4 1 p 3 y 2 je z (0; 1) na ( ; + ), takže odstraňuje 1 0 ohraničenia obmedzujúce regresiu. 0 0,2 0,4 0,6 0, x I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
31 Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory 1) Logistická regresia Príklad: Vezmime hmotnost matky ako spojitý rizikový faktor nízkej pôrodnej hmotnosti novorodenca. Software dáva: variable coefficient std. error Wald df p-value lwt constant Hmotnost matky je opät štatisticky významný faktor. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
32 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecnejšie prediktory Príklad: Vezmime hmotnost matky ako spojitý rizikový faktor nízkej pôrodnej hmotnosti novorodenca. Software dáva: variable coefficient std. error Wald df p-value lwt constant Hmotnost matky je opät štatisticky významný faktor. Príklad: Bol skúmaný efekt antipneumokokového séra na prežitie chorých myší. Bolo podaných 5 rôznych dávok séra piatim skupinám po 40 myší. Graf ukazuje percentuálnu úmrtnost, jednoduchú regresnú priamku a logistickú regresnú krivku. 0,8 0,6 0,4 0, ,01 0,02 x 0,03 0,04 0,05 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
33 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecný model Všeobecný logistický regresný model: Máme dichotomickú závislú premennú Y a vysvetl ujúce premenné X 1, X 2,..., X k akéhokol vek typu. Chceme vysvetlit alebo predpovedat správanie Y pomocou vysvetl ujúcich premenných. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
34 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecný model Všeobecný logistický regresný model: Máme dichotomickú závislú premennú Y a vysvetl ujúce premenné X 1, X 2,..., X k akéhokol vek typu. Chceme vysvetlit alebo predpovedat správanie Y pomocou vysvetl ujúcich premenných. Model: alebo (položiac X 0 = 1) exp p i = 1 + exp ( ) p log = β 0 + β 1 X β k X k 1 p ( k ) j=0 β jx ij ( k ) = j=0 β jx ij 1 ( 1 + exp ) k j=0 β jx ij I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
35 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecný model Všeobecný logistický regresný model: Máme dichotomickú závislú premennú Y a vysvetl ujúce premenné X 1, X 2,..., X k akéhokol vek typu. Chceme vysvetlit alebo predpovedat správanie Y pomocou vysvetl ujúcich premenných. Model: alebo (položiac X 0 = 1) exp p i = 1 + exp ( ) p log = β 0 + β 1 X β k X k 1 p ( k ) j=0 β jx ij ( k ) = j=0 β jx ij 1 ( 1 + exp ) k j=0 β jx ij Odhadovanie parametrov sa robí pomocou ML-metódy. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
36 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecný model Vierohodnost pozorovaných početností pre dané β-y je L(β) = n i=1 p y i i (1 p i ) 1 y i I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
37 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecný model Vierohodnost pozorovaných početností pre dané β-y je Z toho L(β) = n i=1 p y i i (1 p i ) 1 y i l(β) = log L(β) = n y i log (p i ) + (1 y i ) log (1 p i ) i=1 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
38 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecný model Vierohodnost pozorovaných početností pre dané β-y je Z toho L(β) = n i=1 p y i i (1 p i ) 1 y i l(β) = log L(β) = n y i log (p i ) + (1 y i ) log (1 p i ) i=1 ML-rovnice sú l β j = n (y i p i (β)) x ij = 0 j i=1 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
39 1) Logistická regresia Logistická regresia Všeobecný model Tieto rovnice sa vo všeobecnosti riešia numericky (Newtonov-Raphsonov typ algoritmu). I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
40 Logistická regresia Všeobecný model 1) Logistická regresia Tieto rovnice sa vo všeobecnosti riešia numericky (Newtonov-Raphsonov typ algoritmu). Označme X = {x ij }, V = diag {ˆp 1,..., ˆp n }. Informačná matica je J = X VX a J 1 je asymptotická variančná matica ˆβ. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
41 Logistická regresia Všeobecný model 1) Logistická regresia Tieto rovnice sa vo všeobecnosti riešia numericky (Newtonov-Raphsonov typ algoritmu). Označme X = {x ij }, V = diag {ˆp 1,..., ˆp n }. Informačná matica je J = X VX a J 1 je asymptotická variančná matica ˆβ. Ak všetky prediktory sú kategoriálne, dá sa model preformulovat pre binomické premenné. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
42 Logistická regresia Všeobecný model 1) Logistická regresia Tieto rovnice sa vo všeobecnosti riešia numericky (Newtonov-Raphsonov typ algoritmu). Označme X = {x ij }, V = diag {ˆp 1,..., ˆp n }. Informačná matica je J = X VX a J 1 je asymptotická variančná matica ˆβ. Ak všetky prediktory sú kategoriálne, dá sa model preformulovat pre binomické premenné. Klady & zápory: I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
43 Logistická regresia Všeobecný model 1) Logistická regresia Tieto rovnice sa vo všeobecnosti riešia numericky (Newtonov-Raphsonov typ algoritmu). Označme X = {x ij }, V = diag {ˆp 1,..., ˆp n }. Informačná matica je J = X VX a J 1 je asymptotická variančná matica ˆβ. Ak všetky prediktory sú kategoriálne, dá sa model preformulovat pre binomické premenné. Klady & zápory: nemáme explicitné vzorce, odhady sú iteratívne I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
44 Logistická regresia Všeobecný model 1) Logistická regresia Tieto rovnice sa vo všeobecnosti riešia numericky (Newtonov-Raphsonov typ algoritmu). Označme X = {x ij }, V = diag {ˆp 1,..., ˆp n }. Informačná matica je J = X VX a J 1 je asymptotická variančná matica ˆβ. Ak všetky prediktory sú kategoriálne, dá sa model preformulovat pre binomické premenné. Klady & zápory: nemáme explicitné vzorce, odhady sú iteratívne + sú k dispozícii približné variancie, p-hodnoty a IS I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
45 1) Logistická regresia Logistická regresia Testy asociácie Waldov test koeficientu: Ak platí H 0 : β i = 0, potom Z = ˆβ i s ˆβ i má asymptoticky rozdelenie N(0; 1). Existuje alternatívna chí-kvadrát forma (Z 2 ). I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
46 1) Logistická regresia Logistická regresia Testy asociácie Waldov test koeficientu: Ak platí H 0 : β i = 0, potom Z = ˆβ i s ˆβ i má asymptoticky rozdelenie N(0; 1). Existuje alternatívna chí-kvadrát forma (Z 2 ). Test pomerom vierohodností (LRT): Pojmy: odhadovaný model model s prediktormi prázdny model model bez prediktorov, iba s konštantou plný model model, ktorý predpovedá n i0ˆp i = n i1 i, t.j. ŷ i = y i i I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
47 1) Logistická regresia Logistická regresia Testy asociácie Deviancia: ˆl m = log ˆL m = log ˆL(odhadovaný model), ˆl f = log ˆL f = log ˆL(plný model) ) ) D m = 2 (ˆl f ˆl m = 2 log (ˆLf /ˆL m Pre binomické dáta je D m mierou dobrej zhody dát s modelom. Asymptoticky D m χ 2 n k 1 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
48 1) Logistická regresia Logistická regresia Testy asociácie Deviancia: ˆl m = log ˆL m = log ˆL(odhadovaný model), ˆl f = log ˆL f = log ˆL(plný model) ) ) D m = 2 (ˆl f ˆl m = 2 log (ˆLf /ˆL m Pre binomické dáta je D m mierou dobrej zhody dát s modelom. Asymptoticky D m χ 2 n k 1 Pre všetky druhy modelov platí, že rozdiel deviancií sa dá použit na porovnanie vnorených modelov (LRT test významnosti pridaných prediktorov): D m1 D m2 = 2 (ˆlm2 ˆl ) m1 χ 2 k 2 k 1 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
49 1) Logistická regresia Logistická regresia Testy asociácie Príklad: Uvažujme opät pôrodné dáta s rizikovým faktorom fajčenie. Software dáva ˆl 1 = log ˆL 1 = log ˆL(odhadovaný model) = , ˆl 0 = log ˆL 0 = log ˆL(prázdny model) = Ak platí H 0 : β 1 = 0, potom ( ) ) ˆL1 2 (ˆl 1 ˆl 0 = 2 log χ ˆL Máme teda D = 2( ) = > 3.84 = χ 2 1(0.05), takže asociácia medzi fajčením a nízkou pôrodnou hmotnost ou je významná. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
50 Logistická regresia Testy asociácie 1) Logistická regresia Interakcie Logistický regresný model umožňuje uvažovat (a testovat ) aj interakcie kategoriálnych premenných. Ak premenná X má c kategórií a premenná Z d kategórií, potom interakcia X Z má (c 1)(d 1) kategórií. Sú to všetky možné kombinácie nereferenčných kategórií X a Z. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
51 Logistická regresia Testy asociácie 1) Logistická regresia Interakcie Logistický regresný model umožňuje uvažovat (a testovat ) aj interakcie kategoriálnych premenných. Ak premenná X má c kategórií a premenná Z d kategórií, potom interakcia X Z má (c 1)(d 1) kategórií. Sú to všetky možné kombinácie nereferenčných kategórií X a Z. Interakcie sa testujú Waldovým testom alebo LRT testom ako akákol vek iná premenná. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
52 Logistická regresia Testy asociácie 1) Logistická regresia Interakcie Logistický regresný model umožňuje uvažovat (a testovat ) aj interakcie kategoriálnych premenných. Ak premenná X má c kategórií a premenná Z d kategórií, potom interakcia X Z má (c 1)(d 1) kategórií. Sú to všetky možné kombinácie nereferenčných kategórií X a Z. Interakcie sa testujú Waldovým testom alebo LRT testom ako akákol vek iná premenná. Ak je interakcia významná, významnost pôvodných interagujúcich premenných nemá interpretáciu any zmysel. Efekty sú skrížené, a preto máme len dve možnosti riešenia: 1 Urobit stratifikáciu a rôzne skupiny/vrstvy analyzovat zvlášt. 2 Vytvorit novú premennú, ktorej obor hodnôt je kartézsky súčin skrížených premenných (interakčná premenná), a vynechat interagujúce premenné. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
53 Logistická regresia Testy asociácie 1) Logistická regresia Miery dobrej zhody Nech ˆl 0 = log ˆL 0 = log ˆL(prázdny model). McFaddenovo R 2 MF = 1 ˆl mˆl0 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
54 1) Logistická regresia Logistická regresia Testy asociácie Miery dobrej zhody Nech ˆl 0 = log ˆL 0 = log ˆL(prázdny model). McFaddenovo RMF 2 = 1 ˆl mˆl0 ( ) 2 n ˆL0 Coxovo & Snellovo RCS 2 = 1 ˆL m I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
55 1) Logistická regresia Logistická regresia Testy asociácie Miery dobrej zhody Nech ˆl 0 = log ˆL 0 = log ˆL(prázdny model). McFaddenovo RMF 2 = 1 ˆl mˆl0 ( ) 2 n ˆL0 Coxovo & Snellovo RCS 2 = 1 ˆL m R2 CS Nagelkerkovo RN 2 = 1 ˆL 2 n 0 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
56 1) Logistická regresia Logistická regresia Testy asociácie Miery dobrej zhody Nech ˆl 0 = log ˆL 0 = log ˆL(prázdny model). McFaddenovo RMF 2 = 1 ˆl mˆl0 ( ) 2 n ˆL0 Coxovo & Snellovo RCS 2 = 1 ˆL m R2 CS Nagelkerkovo RN 2 = 1 ˆL 2 n 0 Hosmer-Lemeshowov test (chí-kvadrát test dobrej zhody v kontingenčnej tabul ke medzi závislou premennou a skupinami predikovaných hodnôt) I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
57 1) Logistická regresia Logistická regresia Testy asociácie Alternatívy Logistická funkcia nie je jediná, ktorú možno použit na transformáciu pravdepodobností binárnych výsledkov. Najpoužívanejšie sú: ( ) logistická funkcia log p 1 p probitová funkcia Φ 1 (p) komplementárna log-log funkcia log( log(1 p)) negatívna log-log funkcia log( log(p)) cauchitová funkcia tan (( p 1 2 ) π ) y ,2 0,4 0,6 x probit 0,8 1 com. log-log Nazývajú sa spojovacie funkcie. logit cauchit I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
58 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Úvod Príklad: Z dát 1991 U.S. General Social Survey chceme overit, či pohlavie respondenta ovplyvňuje pravdepodobnost úrovne pocitu spokojnosti so životom. Dostávame nasledujúcu kontingenčnú tabul ku: pohlavie úroveň spokojnosti vzrušujúci rutinný nudný suma muži ženy suma I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
59 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Úvod Príklad: Z dát 1991 U.S. General Social Survey chceme overit, či pohlavie respondenta ovplyvňuje pravdepodobnost úrovne pocitu spokojnosti so životom. Dostávame nasledujúcu kontingenčnú tabul ku: pohlavie úroveň spokojnosti vzrušujúci rutinný nudný suma muži ženy suma Toto by sa dalo riešit pomocou série binárnych modelov: I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
60 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Úvod Príklad: Z dát 1991 U.S. General Social Survey chceme overit, či pohlavie respondenta ovplyvňuje pravdepodobnost úrovne pocitu spokojnosti so životom. Dostávame nasledujúcu kontingenčnú tabul ku: pohlavie úroveň spokojnosti vzrušujúci rutinný nudný suma muži ženy suma Toto by sa dalo riešit pomocou série binárnych modelov: 1 život je vzrušujúci nie vzrušujúci 2 nie vzrušujúci život: rutinný nudný I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
61 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Úvod Alternatívou je uvažovat viac pravdepodobností a šancí. V našom príklade to znamená uvažovat dve multinomické rozdelenia (p 11, p 12, p 13 ) a (p 21, p 22, p 23 ), ktoré popisujú pravdepodobnosti úrovní pocitu spokojnosti zvlášt pre pre mužov a ženy. Najjednoduchší spôsob je zvolit si jednu z kategórií ako referenčnú povedzme vzrušujúci život lebo jedna z pravdepodobností v každom riadku je redundantná. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
62 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Úvod Alternatívou je uvažovat viac pravdepodobností a šancí. V našom príklade to znamená uvažovat dve multinomické rozdelenia (p 11, p 12, p 13 ) a (p 21, p 22, p 23 ), ktoré popisujú pravdepodobnosti úrovní pocitu spokojnosti zvlášt pre pre mužov a ženy. Najjednoduchší spôsob je zvolit si jednu z kategórií ako referenčnú povedzme vzrušujúci život lebo jedna z pravdepodobností v každom riadku je redundantná. Výsledný model teda je ( ) pij log = β 0j + β 1j x i, j = 2, 3, p i1 kde x i {0, 1} je indikátor pohlavia. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
63 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Úvod Alternatívou je uvažovat viac pravdepodobností a šancí. V našom príklade to znamená uvažovat dve multinomické rozdelenia (p 11, p 12, p 13 ) a (p 21, p 22, p 23 ), ktoré popisujú pravdepodobnosti úrovní pocitu spokojnosti zvlášt pre pre mužov a ženy. Najjednoduchší spôsob je zvolit si jednu z kategórií ako referenčnú povedzme vzrušujúci život lebo jedna z pravdepodobností v každom riadku je redundantná. Výsledný model teda je ( ) pij log = β 0j + β 1j x i, j = 2, 3, p i1 kde x i {0, 1} je indikátor pohlavia. Predchádzajúci vzorec je totožný s jednoduchým lineárnym logistickým modelom v prípade dichotomických výsledkov. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
64 Multinomická regresia Úvod 2) Multinomická regresia Na základe pozorovaných početností dostávame nasledujúce šance a ich logaritmy: šanca log-šanca 200/213 = /213 = /221 = /221 = I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
65 Multinomická regresia Úvod 2) Multinomická regresia Na základe pozorovaných početností dostávame nasledujúce šance a ich logaritmy: šanca log-šanca 200/213 = /213 = /221 = /221 = Rozdiely logaritmov šancí v posledných dvoch stĺpcoch sú a Môžeme teda napísat dva modely pre pocit rutiny a nudy. y = x, y = x I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
66 Multinomická regresia Úvod 2) Multinomická regresia Na základe pozorovaných početností dostávame nasledujúce šance a ich logaritmy: šanca log-šanca 200/213 = /213 = /221 = /221 = Rozdiely logaritmov šancí v posledných dvoch stĺpcoch sú a Môžeme teda napísat dva modely y = x, y = x pre pocit rutiny a nudy. Software dáva: Life B Std. Error Wald df Sig. Exp(B) 95% CI Intercept Routine [sex=1] [sex=2] 0 0 Intercept Dull [sex=1] [sex=2] 0 0 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
67 Multinomická regresia Všeobecný model 2) Multinomická regresia Všeobecný model Nech závislá premenná Y má r kategórií, a X 1,..., X k sú vysvetl ujúce premenné; I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
68 Multinomická regresia Všeobecný model 2) Multinomická regresia Všeobecný model Nech závislá premenná Y má r kategórií, a X 1,..., X k sú vysvetl ujúce premenné; y i = (y i1,..., y ir ) sú hodnoty závislej premennej v i-tej podskupine, ktoré majú multinomické rozdelenie Mn (n i, p i1,..., p ir ); I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
69 Multinomická regresia Všeobecný model 2) Multinomická regresia Všeobecný model Nech závislá premenná Y má r kategórií, a X 1,..., X k sú vysvetl ujúce premenné; y i = (y i1,..., y ir ) sú hodnoty závislej premennej v i-tej podskupine, ktoré majú multinomické rozdelenie Mn (n i, p i1,..., p ir ); β j = (β 0j, β 1j,..., β kj ) sú regresné koeficienty pre j-tu kategóriu výsledku vzhl adom k j -tej (referenčnej) kategórii; I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
70 Multinomická regresia Všeobecný model 2) Multinomická regresia Všeobecný model Nech závislá premenná Y má r kategórií, a X 1,..., X k sú vysvetl ujúce premenné; y i = (y i1,..., y ir ) sú hodnoty závislej premennej v i-tej podskupine, ktoré majú multinomické rozdelenie Mn (n i, p i1,..., p ir ); β j = (β 0j, β 1j,..., β kj ) sú regresné koeficienty pre j-tu kategóriu výsledku vzhl adom k j -tej (referenčnej) kategórii; x i = (1, x i1,..., x ik ) sú hodnoty vysvetl ujúcich premenných pre i-tu podskupinu. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
71 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Všeobecný model Všeobecný model Nech závislá premenná Y má r kategórií, a X 1,..., X k sú vysvetl ujúce premenné; y i = (y i1,..., y ir ) sú hodnoty závislej premennej v i-tej podskupine, ktoré majú multinomické rozdelenie Mn (n i, p i1,..., p ir ); β j = (β 0j, β 1j,..., β kj ) sú regresné koeficienty pre j-tu kategóriu výsledku vzhl adom k j -tej (referenčnej) kategórii; x i = (1, x i1,..., x ik ) sú hodnoty vysvetl ujúcich premenných pre i-tu podskupinu. Všeobecný multinomický regresný model má potom tvar ( ) pij log = x i β j, j j p ij I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
72 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Všeobecný model Inverzné vzorce sú exp (x i p ij = β j) 1 + r exp k=1 k j ( x i β k ), j j a p ij = 1 + r 1 exp k=1 k j ( x i β k ). I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
73 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Všeobecný model Inverzné vzorce sú a exp (x i p ij = β j) 1 + r exp k=1 k j p ij = 1 + r ( x i β k ), j j 1 exp k=1 k j ( x i β k ). Odhadovanie sa robí opät pomocou ML-metódy. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
74 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Všeobecný model Log-vierohodnostná funkcia je ( ) n i! l(β) = log r j=1 y + ij! n i=1 j=1 r y ij log (p ij ) I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
75 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Všeobecný model Log-vierohodnostná funkcia je ( ) n i! l(β) = log r j=1 y + ij! n i=1 j=1 r y ij log (p ij ) ML-rovnice sú l β mj = n x im (y ij n i p ij ) = 0, i=1 j j, m = 0,..., k I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
76 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Všeobecný model Log-vierohodnostná funkcia je ( ) n i! l(β) = log r j=1 y + ij! n i=1 j=1 r y ij log (p ij ) ML-rovnice sú l β mj = n x im (y ij n i p ij ) = 0, i=1 j j, m = 0,..., k Hessián odhadov β = ( β j, j = 1,..., r, j j ) je H = n i=1 (I r 1 x i ) ˆV i (I r 1 x i ), kde ˆV i = n i (diag (ˆp i ) ˆp i ˆp i ) a ˆp i sú vektory odhadov všetkých pravdepodobností p ij okrem p ij I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
77 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Miery dobrej zhody a prebytok rozptylu Chí-kvadrát odhadovaného modelu je χ 2 = n r (y ij n i ˆp ij ) 2 i=1 j=1 n i ˆp ij Celkový počet neredundantných parametrov modelu je (r-1)(k+1), a preto platí χ 2 χ 2 (n k 1)(r 1). I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
78 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Miery dobrej zhody a prebytok rozptylu Chí-kvadrát odhadovaného modelu je χ 2 = n r (y ij n i ˆp ij ) 2 i=1 j=1 n i ˆp ij Celkový počet neredundantných parametrov modelu je (r-1)(k+1), a preto platí χ 2 χ 2 (n k 1)(r 1). Deviancia odhadovaného modelu je D m = 2 (l f l m ) = Tu opät platí D m χ 2 (n k 1)(r 1). n r i=1 j=1 ( ) yij y ij log n i ˆp ij I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
79 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Miery dobrej zhody a prebytok rozptylu Chí-kvadrát odhadovaného modelu je χ 2 = n r (y ij n i ˆp ij ) 2 i=1 j=1 n i ˆp ij Celkový počet neredundantných parametrov modelu je (r-1)(k+1), a preto platí χ 2 χ 2 (n k 1)(r 1). Deviancia odhadovaného modelu je D m = 2 (l f l m ) = Tu opät platí D m χ 2 (n k 1)(r 1). n r i=1 j=1 ( ) yij y ij log n i ˆp ij Môžeme používat tie isté pseudo-r 2 štatistiky ako v modeli logistickej regresie. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
80 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Miery dobrej zhody a prebytok rozptylu Ak je skutočná variančná matica y i podstatne väčšia ako V i = n i (diag (p i ) p i p i ) (daná multinomickým modelom), hovoríme o prebytku rozptylu. V takom prípade môžeme do modelu pridat škálový parameter σ 2, tak že var y i = σ 2 V i. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
81 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Miery dobrej zhody a prebytok rozptylu Ak je skutočná variančná matica y i podstatne väčšia ako V i = n i (diag (p i ) p i p i ) (daná multinomickým modelom), hovoríme o prebytku rozptylu. V takom prípade môžeme do modelu pridat škálový parameter σ 2, tak že var y i = σ 2 V i. Obvyklý (asymptoticky nestranný) odhad σ 2 je ˆσ 2 = (alebo D m namiesto χ 2 ). χ 2 (n k 1)(r 1) I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
82 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Miery dobrej zhody a prebytok rozptylu Ak je skutočná variančná matica y i podstatne väčšia ako V i = n i (diag (p i ) p i p i ) (daná multinomickým modelom), hovoríme o prebytku rozptylu. V takom prípade môžeme do modelu pridat škálový parameter σ 2, tak že var y i = σ 2 V i. Obvyklý (asymptoticky nestranný) odhad σ 2 je ˆσ 2 = (alebo D m namiesto χ 2 ). Použitie σ 2 nezmení odhady β. χ 2 (n k 1)(r 1) I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
83 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Miery dobrej zhody a prebytok rozptylu Ak je skutočná variančná matica y i podstatne väčšia ako V i = n i (diag (p i ) p i p i ) (daná multinomickým modelom), hovoríme o prebytku rozptylu. V takom prípade môžeme do modelu pridat škálový parameter σ 2, tak že var y i = σ 2 V i. Obvyklý (asymptoticky nestranný) odhad σ 2 je ˆσ 2 = (alebo D m namiesto χ 2 ). Použitie σ 2 nezmení odhady β. χ 2 (n k 1)(r 1) Variančná matica odhadov potom je var ˆβ = ˆσ 2 [ n i=1 ] 1 (I r 1 x i ) ˆV i (I r 1 x i ) I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
84 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Testy Testy Pre l ubovol nú maticu L q k+1 plnej hodnosti platí ˆβ j L [ L var ˆβ j L ] 1 L ˆβ j χ 2 q za platnosti H 0 : Lβ j = 0. To dovol uje testovat jednotlivé regresné koeficienty alebo ich lineárne kombinácie. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
85 Multinomická regresia Testy 2) Multinomická regresia Testy Pre l ubovol nú maticu L q k+1 plnej hodnosti platí ˆβ j L [ L var ˆβ j L ] 1 L ˆβ j χ 2 q za platnosti H 0 : Lβ j = 0. To dovol uje testovat jednotlivé regresné koeficienty alebo ich lineárne kombinácie. LR test vnorených modelov s k 1 a k 2 (k 1 < k 2 ) regresnými parametrami je založený na 1 ˆσ 2 (D m 1 D m2 ) = 2ˆσ 2 (ˆlm2 ˆl m1 ) χ 2 k 2 k 1 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
86 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Testy Príklad: V štúdii modelujúcej úroveň spokojnosti so životom sme ako prediktor použili pohlavie. Tento prvý model mal 4 neredundantné parametre (konštantu a jednu nereferenčnú kategóriu pohlavia pre každý z dvoch nereferenčných životných pocitov). I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
87 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Testy Príklad: V štúdii modelujúcej úroveň spokojnosti so životom sme ako prediktor použili pohlavie. Tento prvý model mal 4 neredundantné parametre (konštantu a jednu nereferenčnú kategóriu pohlavia pre každý z dvoch nereferenčných životných pocitov). Ak pridáme rasu (bielu, čiernu, inú) ako d alší možný prediktor, budeme mat 4 d alšie neredundantné parametre 2 nereferenčné rasy pre každý z 2 nereferenčných životných pocitov. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
88 Multinomická regresia 2) Multinomická regresia Testy Príklad: V štúdii modelujúcej úroveň spokojnosti so životom sme ako prediktor použili pohlavie. Tento prvý model mal 4 neredundantné parametre (konštantu a jednu nereferenčnú kategóriu pohlavia pre každý z dvoch nereferenčných životných pocitov). Ak pridáme rasu (bielu, čiernu, inú) ako d alší možný prediktor, budeme mat 4 d alšie neredundantné parametre 2 nereferenčné rasy pre každý z 2 nereferenčných životných pocitov. Prebytok rozptylu nebol pozorovaný. Software dáva: Z toho ˆl m1 = , ˆlm2 = D m = 2( , 8165) = < = χ 2 8 4(0.05) Príslušná p-hodnota je Rasový faktor je teda štatisticky nevýznamný. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
89 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Úvod Príklad: Náhodne vybraná vzorka vermontských občanov mala ohodnotit prácu kriminalistov v ich štáte. Ponúknutá škála bola Nedostatočná (1), Dostatočná (2), Dobrá (3) a Vynikajúca (4). Súčast ou dotazníka bola aj otázka, či niekto z ich domácnosti bol obet ou kriminálneho činu v priebehu posledných 3 rokov. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
90 Ordinálna regresia Úvod 3) Ordinálna regresia Príklad: Náhodne vybraná vzorka vermontských občanov mala ohodnotit prácu kriminalistov v ich štáte. Ponúknutá škála bola Nedostatočná (1), Dostatočná (2), Dobrá (3) a Vynikajúca (4). Súčast ou dotazníka bola aj otázka, či niekto z ich domácnosti bol obet ou kriminálneho činu v priebehu posledných 3 rokov. Skúmalo sa, či l udia s osobnou skúsenost ou so zločinom a l udia bez tejto skúsenosti hodnotia prácu kriminalistov rovnako. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
91 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Úvod Príklad: Náhodne vybraná vzorka vermontských občanov mala ohodnotit prácu kriminalistov v ich štáte. Ponúknutá škála bola Nedostatočná (1), Dostatočná (2), Dobrá (3) a Vynikajúca (4). Súčast ou dotazníka bola aj otázka, či niekto z ich domácnosti bol obet ou kriminálneho činu v priebehu posledných 3 rokov. Skúmalo sa, či l udia s osobnou skúsenost ou so zločinom a l udia bez tejto skúsenosti hodnotia prácu kriminalistov rovnako. Zistené dáta: Obet v domácnosti Hodnotenie práce kriminalistov Nedostatočná Dostatočná Dobrá Vynikajúca suma Áno Nie suma I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
92 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Úvod Pri ordinálnych dátach je prirodzené uvažovat pravdepodobnosti kumulatívnych javov, napr. konkrétne hodnotenie alebo horšie. Tabul ka kumulatívnych početností vyzerá takto: Obet v domácnosti Nedostatočná Hodnotenie práce kriminalistov Dostatočná Dobrá alebo horšia alebo horšia Vynikajúca alebo horšia Áno riadkový podiel 18,42% 55,26% 96,05% 100,00% Nie riadkový podiel 7,76% 42,45% 93,06% 100,00% I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
93 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Úvod Pri ordinálnych dátach je prirodzené uvažovat pravdepodobnosti kumulatívnych javov, napr. konkrétne hodnotenie alebo horšie. Tabul ka kumulatívnych početností vyzerá takto: Obet v domácnosti Nedostatočná Hodnotenie práce kriminalistov Dostatočná Dobrá alebo horšia alebo horšia Vynikajúca alebo horšia Áno riadkový podiel 18,42% 55,26% 96,05% 100,00% Nie riadkový podiel 7,76% 42,45% 93,06% 100,00% 1 0,8 0,6 0,4 0, Yes No I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
94 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Úvod Pri ordinálnych dátach je prirodzené uvažovat pravdepodobnosti kumulatívnych javov, napr. konkrétne hodnotenie alebo horšie. Tabul ka kumulatívnych početností vyzerá takto: Obet v domácnosti Nedostatočná Hodnotenie práce kriminalistov Dostatočná Dobrá alebo horšia alebo horšia Vynikajúca alebo horšia Áno riadkový podiel 18,42% 55,26% 96,05% 100,00% Nie riadkový podiel 7,76% 42,45% 93,06% 100,00% Graf vytvára dojem, že osobná skúsenost so zločinom vedie k negatívnejšiemu hodnoteniu práce kriminalistov. Obe čiary sa prirodzene musia stretnút na 100%. Ináč vyzerajú prakticky paralelné. Do úvahy teda prichádza model s rovnakým sklonom priamky pre obe kategórie. 1 0,8 0,6 0,4 0, Yes No 3 4 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
95 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Úvod Označme pij c = P(hodnotenie j), i = 1(Nie), 2(Áno), j = 1, 2, 3 netriviálne kumulatívne pravdepodobnosti. Náš model potom je ( ) ( ) p c 1j p c 2j log 1 p1j c = α j a log 1 p2j c = α j + β, I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
96 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Úvod Označme pij c = P(hodnotenie j), i = 1(Nie), 2(Áno), j = 1, 2, 3 netriviálne kumulatívne pravdepodobnosti. Náš model potom je ( ) ( ) p c 1j p c 2j log 1 p1j c = α j a log 1 p2j c = α j + β, alebo ( ) p c j (x) log 1 pj c(x) = α j + βx j, x {0, 1}. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
97 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Úvod Označme pij c = P(hodnotenie j), i = 1(Nie), 2(Áno), j = 1, 2, 3 netriviálne kumulatívne pravdepodobnosti. Náš model potom je ( ) ( ) p c 1j p c 2j log 1 p1j c = α j a log 1 p2j c = α j + β, alebo ( ) p c j (x) log 1 pj c(x) = α j + βx j, x {0, 1}. Software dáva α 1 = 2.39, α 2 = 0.32, α 3 = 2.59, β = Pomocou štandardného vzorca pre inverziu logitov dostaneme nasledujúce odhady: Áno 14,69% 57,85% 96,18% Nie 8,38% 42,15% 93,04% I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
98 Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí 3) Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí Nech Y je ordinálna závislá premenná s možnými hodnotami 1,..., r I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
99 Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí 3) Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí Nech Y je ordinálna závislá premenná s možnými hodnotami 1,..., r X = (X 1,..., X k ) sú nezávislé regresné premenné I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
100 Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí 3) Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí Nech Y je ordinálna závislá premenná s možnými hodnotami 1,..., r X = (X 1,..., X k ) sú nezávislé regresné premenné α 1,..., α r 1 a β = (β 1,..., β k ) sú neznáme regresné koeficienty I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
101 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí Model proporcionálnych šancí Nech Y je ordinálna závislá premenná s možnými hodnotami 1,..., r X = (X 1,..., X k ) sú nezávislé regresné premenné α 1,..., α r 1 a β = (β 1,..., β k ) sú neznáme regresné koeficienty Model: logity kumulatívnych pravdepodobností pj c (x) = P (Y j X = x) spĺňajú ( ) p c j (x) log 1 pj c(x) = α j + β x j = 1,..., r 1 I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
102 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí Model proporcionálnych šancí Nech Y je ordinálna závislá premenná s možnými hodnotami 1,..., r X = (X 1,..., X k ) sú nezávislé regresné premenné α 1,..., α r 1 a β = (β 1,..., β k ) sú neznáme regresné koeficienty Model: logity kumulatívnych pravdepodobností pj c (x) = P (Y j X = x) spĺňajú ( ) p c j (x) log 1 pj c(x) = α j + β x j = 1,..., r 1 Pretože logaritmus kumulatívneho pomeru šancí dosiahnutia rovnakej hodnoty závislej premennej v rôznych x-ových bodoch je priamo úmerný ich vzdialenosti, model nazývame modelom proporcionálnych šancí: ( p c j (x 1 ) log 1 pj c (x 1 ) 1 ) pc j (x 2 ) pj c = β (x 1 x 2 ) (x 2 ) I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
103 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí Odhadovanie parametrov sa robí opät ML-metódou. Sú pritom dve možnosti: I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
104 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí Odhadovanie parametrov sa robí opät ML-metódou. Sú pritom dve možnosti: 1 najprv odhadnút p c j (x), a potom vyrátat p j (x) = p c j (x) p c j 1(x) (definujeme p 0 (x) 0) I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
105 3) Ordinálna regresia Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí Odhadovanie parametrov sa robí opät ML-metódou. Sú pritom dve možnosti: 1 najprv odhadnút p c j (x), a potom vyrátat p j (x) = p c j (x) p c j 1(x) (definujeme p 0 (x) 0) 2 odhadovat priamo p j (x) I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
106 Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí 3) Ordinálna regresia Odhadovanie parametrov sa robí opät ML-metódou. Sú pritom dve možnosti: 1 najprv odhadnút p c j (x), a potom vyrátat p j (x) = p c j (x) p c j 1(x) (definujeme p 0 (x) 0) 2 odhadovat priamo p j (x) Vierohodnostná funkcia je L(α, β) = n i=1 j=1 r [p j (x i ) p j 1 (x i )] y ij I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
107 Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí 3) Ordinálna regresia Odhadovanie parametrov sa robí opät ML-metódou. Sú pritom dve možnosti: 1 najprv odhadnút p c j (x), a potom vyrátat p j (x) = p c j (x) p c j 1(x) (definujeme p 0 (x) 0) 2 odhadovat priamo p j (x) Vierohodnostná funkcia je L(α, β) = n i=1 j=1 r [p j (x i ) p j 1 (x i )] y ij Všetky štandardné miery dobrej zhody sú použitel né. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
108 Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí 3) Ordinálna regresia Odhadovanie parametrov sa robí opät ML-metódou. Sú pritom dve možnosti: 1 najprv odhadnút p c j (x), a potom vyrátat p j (x) = p c j (x) p c j 1(x) (definujeme p 0 (x) 0) 2 odhadovat priamo p j (x) Vierohodnostná funkcia je L(α, β) = n i=1 j=1 r [p j (x i ) p j 1 (x i )] y ij Všetky štandardné miery dobrej zhody sú použitel né. Odhady parametrov sú iné ako pri separátnych logitových modeloch pre všetky j. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
109 Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí 3) Ordinálna regresia Example: Výstup software pre vermontské kriminalistické dáta: Estimate Std. Error Wald df Sig. 95% conf. interval Threshold [rating = 1] -2, , , , , ,09475 [rating = 2] -0, , , , , ,13852 [rating = 3] 2, , , , , ,92955 Location [hhcrime=1] -0, , , , , ,17831 [hhcrime=2] Všimnite si opačných znamienok koeficienta β (hhcrime=1). Vel a softwarov používa model α j βx kvôli lepšej interpretácii: v takomto modeli totiž väčšie koeficienty sú asociované s vyšším hodnotením. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
110 Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí 3) Ordinálna regresia Example: Výstup software pre vermontské kriminalistické dáta: Estimate Std. Error Wald df Sig. 95% conf. interval Threshold [rating = 1] -2, , , , , ,09475 [rating = 2] -0, , , , , ,13852 [rating = 3] 2, , , , , ,92955 Location [hhcrime=1] -0, , , , , ,17831 [hhcrime=2] Všimnite si opačných znamienok koeficienta β (hhcrime=1). Vel a softwarov používa model α j βx kvôli lepšej interpretácii: v takomto modeli totiž väčšie koeficienty sú asociované s vyšším hodnotením. Pridajme teraz d alší prediktor, pohlavie: Estimate Std. Error Wald df Sig. 95% conf. interval Threshold [rating = 1] -2, , , , , ,22844 [rating = 2] -0, , , , , ,24571 [rating = 3] 2, , , , , ,80336 Location [hhcrime=1] -0, , , , , ,16548 [hhcrime=2] [sex=1] -0, , , , , ,02726 [sex=2] I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
111 Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí 3) Ordinálna regresia Máme podozrenie, že pohlavie môže ovplyvnit senzitivitu k obetiam zločinu, takže pridáme aj interakciu: Estimate Std. Error Wald df Sig. 95% conf. interval Threshold [rating = 1] -2, , , , , ,29434 [rating = 2] -0, , , , , ,29920 [rating = 3] 2, , , , , ,74993 Location [hhcrime=1] -1, , , , , ,48959 [hhcrime=2] [sex=1] -0, , , , , ,12959 [sex=2] [hhcrime=1] * [sex=1] 0, , , , , ,86857 [hhcrime=1] * [sex=2] [hhcrime=2] * [sex=1] [hhcrime=2] * [sex=2] I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
112 Ordinálna regresia Model proporcionálnych šancí 3) Ordinálna regresia Máme podozrenie, že pohlavie môže ovplyvnit senzitivitu k obetiam zločinu, takže pridáme aj interakciu: Estimate Std. Error Wald df Sig. 95% conf. interval Threshold [rating = 1] -2, , , , , ,29434 [rating = 2] -0, , , , , ,29920 [rating = 3] 2, , , , , ,74993 Location [hhcrime=1] -1, , , , , ,48959 [hhcrime=2] [sex=1] -0, , , , , ,12959 [sex=2] [hhcrime=1] * [sex=1] 0, , , , , ,86857 [hhcrime=1] * [sex=2] [hhcrime=2] * [sex=1] [hhcrime=2] * [sex=2] Ked že interakcia je štatisticky významná, jej individuálne zložky nemajú samostatne dobrý zmysel: Estimate Std. Error Wald df Sig. 95% conf. interval Threshold [rating = 1] -2, , , , , ,29434 [rating = 2] -0, , , , , ,29920 [rating = 3] 2, , , , , ,74993 Location [hhcrime=1] * [sex=1] -0, , , , , ,00110 [hhcrime=1] * [sex=2] -1, , , , , ,48959 [hhcrime=2] * [sex=1] -0, , , , , ,12959 [hhcrime=2] * [sex=2] Redundantné parametre sa neodhadujú, stačí samotná interakcia. Tento model má to isté χ 2, devianciu a pseudo-r 2 ako predchádzajúci. I. Žežula (PF UPJŠ) 18. SŠK Košice / 58
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit roo
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Viacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu
Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
Analýza hlavných komponentov
Value at Risk Voľba parametrov výpočtu VaR Confidence level Dĺžka časového obdobia Hodnota investícií do jednotlivých finančných nástrojov Identifikácia rizikových faktorov Spôsob zohľadnenia korelácií
Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
Exaktné testy a konfidencné oblasti pre parametre normálneho lineárneho modelu s dvomi variancnými komponentami
1 Práca vznikla v spolupráci s J. Volaufovou (School of Public Health, LSU Health Sciences Center, New Orleans, USA a vd aka podpore grantov APVV-0096-10, VEGA 2/0019/10 a VEGA 2/0038/12 Exaktné testy
Prenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
PowerPoint Presentation
Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
Ekon Supply of labour by John Pencavel
Labour supply of men by John Pencavel Prednáša: V. Kvetan (EÚ SAV) Obsah kapitoly Úvod Empirické regulácie Trendy v pracovnom správaní Cross sekčné odchýlky v pracovnom správaní Koncepčný rámec Kanonický
Microsoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
SRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
TESTOVANIE STABILITY PROCESU POKRAČOVANIA GRADIOMETRICKÝCH MERANÍ DRUŽICE GOCE NADOL
S L O V E N S K Á E C H N I C K Á U N I V E R Z I A V B R A I S L A V E S A V E B N Á F A K U L A K A E D R A G E O D E I C K Ý C H Z Á K L A D O V ESOVANIE SABILIY PROCESU POKRAČOVANIA GRADIOMERICKÝCH
Paralelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
Autoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22
Autoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22 Príklad 1 AR(2) proces z prednášky: x t =1.4x t 1 0.85x t 2 +u t V R-ku: korene charakteristického polynómu
MO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
8
8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
Axióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
Monday 25 th February, 2013, 11:54 Rozmerová analýza M. Gintner 1.1 Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznate
Monday 25 th February, 203, :54 Rozmerová analýza M. Gintner. Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznatel ný po častiach. Napriek tomu, že si to bežne neuvedomujeme,
Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
Operačná analýza 1-00
Operačá aalýza -00 základy teórie odhadu testovaie štatistických hypotéz Základy teórie odhadu. odhad parametra rozdeleia pravdepodobosti. odhad rozdeleia pravdepodobosti X, X, X 3,... X - áhodý výber
6 Kapitola 6 Výsledky vyšetrení počas projektov Lekári idú do ulíc a MOST 2008 Počas mesiacov júl a august v rámci projektu Lekári idú do ulíc a počas
6 Kapitola 6 Výsledky vyšetrení počas projektov Lekári idú do ulíc a MOST 2008 Počas mesiacov júl a august v rámci projektu Lekári idú do ulíc a počas 30 dní trvania Mesiaca o srdcových témach (MOST-u)
Základné stochastické procesy vo financiách
Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty
Zvýšenie kvality......
Testovanie 9-16 Výsledky celoslovenského testovania žiakov 9. ročníka ZŠ 15/16 Testovanie 9-16 Riadny termín 6. apríl 16 Náhradný termín 19. apríl 16 Administrované testy Test z matematiky Test zo slovenského
1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
Študent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp
Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá
Brezina_Gertler_Pekar_2005
Makroekonomické výsledky Slovenskej republiky v stredoeurópskom regióne Ivan Brezina Pavel Gertler Juraj Pekár KOVE FHI EU, Dolnozemská 1/b, 852 35 Bratislava Pri vstupe nových členských štátov do Európskej
Dopyt po vzdelaní
Dopyt po vzdelaní 1. Úloha vzdelania v ekonomike Aký je prínos vzdelania k produktu ekonomiky? Ako sa mení dopyt po vzdelaní v súvislosti s ekonomickým rastom? Aká je nahraditeľnosť vzdelaných pracovníkov
Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos
![Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos](/thumbs/101/150094868.jpg "Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos")
Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval koval@fmph.uniba.sk 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozostávajúci z N nezávislých spinov. Každý zo spinov sa
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30
ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
Operačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
Štruktúra Modelu Výsledky odhadu Záver Trh práce v krajinách strednej Európy: Small Search and Matching Model Martin Železník Národná Banka Slovenska
Trh práce v krajinách strednej Európy: Small Search and Matching Model Národná Banka Slovenska Humusoft, 06.06.2013 Obsah 1 Štruktúra Modelu Domácnosti Firmy Trh práce Nastavenie miezd Uzavretie modelu
Optimal approximate designs for comparison with control in dose-escalation studies
Optimal approximate designs for comparison with control in dose-escalation studies a Radoslav Harman Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského 15. 9. 2016 Optimálne aproximatívne dizajny
Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov mode
Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model p.1/19 Úvod Frank Bass (1926-2006) - priekopník matematických
Snímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
trafo
Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N
Operačná analýza 2
Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov
Tue Oct 3 22:05:51 CEST Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, kto
Tue Oct 3 22:05:51 CEST 2006 2. Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, ktoré si postupne rozoberieme: dátové typy príkazy bloky
Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a
Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.
bakalarska prezentacia.key
Inteligentné vyhľadávanie v systéme na evidenciu skautských družinových hier Richard Dvorský Základné pojmy Generátor družinoviek Inteligentné vyhľadávanie Ako to funguje Základné pojmy Skautská družina
Propagačný a informačný program na podporu spotreby mlieka a mliečnych výrobkov na Slovensku Závery kvantitatívnej štúdie post-test kampane Nobody s U
Propagačný a informačný program na podporu spotreby mlieka a mliečnych výrobkov na Slovensku Závery kvantitatívnej štúdie post-test kampane Nobody s Unpredictable Marketingové pozadie projektu Európska
Didaktické testy
Didaktické testy Didaktický test - Nástroj systematického zisťovania výsledkov výuky - Obsahuje prvky, ktoré je možné využiť aj v pedagogickom výskume Druhy didaktických testov A) Didaktické testy podľa
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. Katedra matematických metód, Fa
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk Katedra matematických metód, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita v
Priebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
Informačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
Zvýšenie kvality......
Testovanie 9 2019 Výsledky celoslovenského testovania žiakov 9. ročníka základných škôl a 4. ročníka gymnázií a stredných športových škôl s osemročným vzdelávacím programom v školskom roku 2018/2019 Testovanie
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika 28.04.2010 Článok spočíva v predstavení a opísaní algoritmu
Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX
Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis
Snímka 1
HIERARCHICKÝ LINEÁRNY MODEL PRIDANEJ HODNOTY ŠKOLY VO VZDELÁVANÍ Trajová Jana, Mária Kolková, Pavol Kaclík, Lukáš Píš 20.-21.10.2015, Bratislava Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je
Operačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
Microsoft PowerPoint - Zeman_Senaj.ppt
DSGE model pre Slovensko Juraj Zeman, Matúš Senaj Cieľ projektu Vytvoriť DSGE model slovenskej ekonomiky, ktorý by slúžil ako laboratórium na štúdium hospodárskych cyklov umožnil analyzovať efekty rôznych
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
Paralelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
Slovenská akadémia vied Analýza finančnej podpory a scientometrických výstupov SAV Bratislava 2019
Slovenská akadémia vied Analýza finančnej podpory a scientometrických výstupov SAV Bratislava 2019 Analýza finančnej podpory a scientometrických výstupov SAV I. Výskum a vývoj (VaV) na Slovensku a vo
Microsoft Word - Zbornik_KEE_10_piaty_rocnik_zz.doc
VEDECKÉ ŠTÚDIE A ČLÁNKY 7 HODNOTENIE ÚROVNE ENVIRONMENTÁLNEJ VÝCHOVY PRE RAST ENVIRONMENTÁLNEHO POVEDOMIA POSLUCHÁČOV ŠKÔL MANAŽÉRSKEHO ZAMERANIA 1 EVALUATION OF ENVIRONMENTAL EDUCATION`S LEVEL FOR GROWTH
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put
Models of marital status and childbearing
Models of marital status and childbearing Montgomery and Trussell Michaela Potančoková Výskumné demografické centrum http://www.infostat.sk/vdc Obsah Demografické modely Ekonomické modely: Sobášnosti a
Vyhodnotenie dotazníkovej ankety vyučujúcich (učitelia + doktorandi) Obdobie dotazovania: 23. november január 2018 Odpovedalo 210 respondento
Vyhodnotenie dotazníkovej ankety vyučujúcich (učitelia + doktorandi) Obdobie dotazovania: 23. november 2017-31. január 2018 Odpovedalo 210 respondentov z 492 oslovených 42,68 % Základné údaje Pohlavie
VZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY
5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to
Bakalárska práca
UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE MICHAL ZACHAR Grafické modely v analýze diskrétních finančních dat Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské
Blood Glucose Monitoring System Copyright Ascensia Diabetes Care Holdings AG. All rights reserved. diabetes.ascensia.com
Používanie Mojich charakteristických vzorov s aplikáciou CONTOUR DIABETES Zmeny v liečbe, diéte alebo cvičení konzultujte vždy vopred s Vašim lekárom. Funkcia Moje charakteristické vzory identifikuje špecifické
Microsoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
EURÓPSKA KOMISIA V Bruseli C(2018) 6560 final ANNEX 1 PRÍLOHA k vyoknávaciemu rozhodnutiu Komisie, ktorým sa stanovuje metodika monitorov
EURÓPA KOMISIA V Bruseli 11. 10. 2018 C(2018) 6560 final ANNEX 1 PRÍLOHA k vyoknávaciemu rozhodnutiu Komisie, ktorým sa stanovuje metodika monitorovania a pokyny na podávanie správ členskými štátmi v súlade
Dobývanie znalostí
Dobývanie znalostí Vranec Maroš, Lučanský Ján Zadanie Predikcia pozície internetových stránok na kľúčové slovo vo vyhľadávači Google* * www.google.cz * site:cz Využitie Pri SEO (Search Engine Optimization)
Microsoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
Kolmogorovská zložitost
Kolmogorovská zložitosť 5.12.2013 (2013/14) KZ 5.12.2013 1 / 16 Kt zložitosť age(x) = min p{2 l(p) t : U(p) = x v priebehu t krokov} Def. (Kt zložitosť) UTS monotonne skenuje začiatok p kým vypíše x, t(p,
Jadrova fyzika - Bc.
Základné vlastnosti jadier 1-FYZ-601 Jadrová fyzika ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI ATÓMOVÉHO JADRA 3. 10. 2018 Zhrnutie a základné poznatky 2/10 Praktické jednotky v jadrovej fyzike Je praktické využiť pre jednotky
Snímka 1
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Ciele štúdie PISA a jej priebeh na národnej úrovni Finančná a štatistická gramotnosť žiakov v kontexte medzinárodných
Cvičenie I. Úvodné informácie, Ekonómia, Vedecký prístup
Cvičenie I. Úvodné informácie, Ekonómia, Vedecký prístup Úvodné informácie k štúdiu - cvičenia 2 semestrálne písomky (25 b, v 7. a 11. týždni, cvičebnica) Aktivita (max 10 b za semester, prezentácie, iné)
Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
Využitie moderných meracích technológií na hodnotenie kvality tlače
REPRODUKOVATEĽNOSŤ FARIEB FAREBNEJ FOTOGRAFIE KODAK A FUJI Katarína Kianicová - Vladimír Bukovský Metodika: 1. Počítačový návrh na prípravu modelovej farebnej fotografie pozostával z doplnkových farieb.
Snímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
Generovanie viacstavových modelov a ich riešenie v Maxime 1 Jozef Fecenko Abstrakt Cieľom príspevku je prezentovať zdrojový kód v open source systéme
Generovanie viacstavových modelov a ich riešenie v Maxime 1 Jozef Fecenko Abstrakt Cieľom príspevku je prezentovať zdrojový kód v open source systéme Maxima na generovanie viacstavových Markovovských modelov,
Vyhodnotenie študentských ankét 2013
Výsledky študentskej ankety na UJS v akademickom roku 2012/2013 Študenti Univerzity J. Selyeho v zmysle 70 ods. 1 písm. h) zákona č. 131/2002 Z. z. o vysokých školách a o zmene a doplnení niektorých zákonov
STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU
STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 6 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu Autor na obrazovke, potom zvolíme Užívateľskú úroveň Pokročilý
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KVANTILOVÁ REGRESIA V EKONOMETRII DIPLOMOVÁ PRÁCA 2014 Bc. Lucia KUBALOVÁ
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KVANTILOVÁ REGRESIA V EKONOMETRII DIPLOMOVÁ PRÁCA 2014 Bc. Lucia KUBALOVÁ UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY,
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE KREDITNÉHO ZLYHANIA PRI KRÁTKODOBÝCH RETAILOVÝCH ÚVEROCH DIPLO
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE KREDITNÉHO ZLYHANIA PRI KRÁTKODOBÝCH RETAILOVÝCH ÚVEROCH DIPLOMOVÁ PRÁCA 2018 Bc. Nikolas MÁRKUS UNIVERZITA KOMENSKÉHO
A 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
Úvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁRSKA PRÁCA Monika Jakubcová Štatistická analýza cenzorovaných dát Katedra pravdepodobno
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁRSKA PRÁCA Monika Jakubcová Štatistická analýza cenzorovaných dát Katedra pravdepodobnosti a matematickej štatistiky Vedúci bakalárskej práce:
Prezentácia programu PowerPoint
Fakulta prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov...fakulta, ktorá spája Spotrebiteľské prieskumy v doprave Anna Dolinayová, Jaroslav Mašek Prečo spotrebiteľské prieskumy? Informácie pre marketing sú akékoľvek
Analýza přežití s programem STATISTICA
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zuzana Kaderjáková Analýza přežití s programem STATISTICA Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské
Rozdiely v incidencii nadorov u obyvatelov zijucich v meste a na vidieku
Rozdiely v incidencii nádorov u obyvateľov žijúcich v meste a na vidieku Jarmila Korcova Fakulta zdravotnictva a socialnej prace Trnavskej univerzity v Trnave jkorcova@truni.sk Košice, 21.-22.september
Paralelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2011/2012 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,