Paralelné algoritmy, cast c. 2
|
|
|
- Róbert Odehnal
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
2 Obsah 1 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
3 Úvod Ciele: vzájomné simulácie paralelných a sekvenčných modelov výpočtov použitie základných princípov návrhu paralelných algoritmov: rozdel a panuj známe zo sekvenčných algoritmov; úloha sa rozdelí na jednoduchšie podúlohy, tie sa riešia paralelne a potom sa z riešení podúloh skladá riešenie celej úlohy. práca v tímoch každej variante riešenia je pridelený jeden tím, ktorý overuje, či jeho riešenie odpovedá vstupom. Práve jeden tím zistí, že jeho riešenie zodpovedá vstupu a vydá svoje riešenie ako výsledok. Dohody: obmedzená sada inštrukcií: +,, div 2, x2 y (aritmetické posuny) pre jednoduchost budeme predpokladat, že vstupné čísla sú nezáporné celé čísla František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
4 Úvod Ciele: vzájomné simulácie paralelných a sekvenčných modelov výpočtov použitie základných princípov návrhu paralelných algoritmov: rozdel a panuj známe zo sekvenčných algoritmov; úloha sa rozdelí na jednoduchšie podúlohy, tie sa riešia paralelne a potom sa z riešení podúloh skladá riešenie celej úlohy. práca v tímoch každej variante riešenia je pridelený jeden tím, ktorý overuje, či jeho riešenie odpovedá vstupom. Práve jeden tím zistí, že jeho riešenie zodpovedá vstupu a vydá svoje riešenie ako výsledok. Dohody: obmedzená sada inštrukcií: +,, div 2, x2 y (aritmetické posuny) pre jednoduchost budeme predpokladat, že vstupné čísla sú nezáporné celé čísla František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
5 Úvod Ciele: vzájomné simulácie paralelných a sekvenčných modelov výpočtov použitie základných princípov návrhu paralelných algoritmov: rozdel a panuj známe zo sekvenčných algoritmov; úloha sa rozdelí na jednoduchšie podúlohy, tie sa riešia paralelne a potom sa z riešení podúloh skladá riešenie celej úlohy. práca v tímoch každej variante riešenia je pridelený jeden tím, ktorý overuje, či jeho riešenie odpovedá vstupom. Práve jeden tím zistí, že jeho riešenie zodpovedá vstupu a vydá svoje riešenie ako výsledok. Dohody: obmedzená sada inštrukcií: +,, div 2, x2 y (aritmetické posuny) pre jednoduchost budeme predpokladat, že vstupné čísla sú nezáporné celé čísla František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
6 Úvod Ciele: vzájomné simulácie paralelných a sekvenčných modelov výpočtov použitie základných princípov návrhu paralelných algoritmov: rozdel a panuj známe zo sekvenčných algoritmov; úloha sa rozdelí na jednoduchšie podúlohy, tie sa riešia paralelne a potom sa z riešení podúloh skladá riešenie celej úlohy. práca v tímoch každej variante riešenia je pridelený jeden tím, ktorý overuje, či jeho riešenie odpovedá vstupom. Práve jeden tím zistí, že jeho riešenie zodpovedá vstupu a vydá svoje riešenie ako výsledok. Dohody: obmedzená sada inštrukcií: +,, div 2, x2 y (aritmetické posuny) pre jednoduchost budeme predpokladat, že vstupné čísla sú nezáporné celé čísla František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
7 Úvod Ciele: vzájomné simulácie paralelných a sekvenčných modelov výpočtov použitie základných princípov návrhu paralelných algoritmov: rozdel a panuj známe zo sekvenčných algoritmov; úloha sa rozdelí na jednoduchšie podúlohy, tie sa riešia paralelne a potom sa z riešení podúloh skladá riešenie celej úlohy. práca v tímoch každej variante riešenia je pridelený jeden tím, ktorý overuje, či jeho riešenie odpovedá vstupom. Práve jeden tím zistí, že jeho riešenie zodpovedá vstupu a vydá svoje riešenie ako výsledok. Dohody: obmedzená sada inštrukcií: +,, div 2, x2 y (aritmetické posuny) pre jednoduchost budeme predpokladat, že vstupné čísla sú nezáporné celé čísla František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
8 Úvod Ciele: vzájomné simulácie paralelných a sekvenčných modelov výpočtov použitie základných princípov návrhu paralelných algoritmov: rozdel a panuj známe zo sekvenčných algoritmov; úloha sa rozdelí na jednoduchšie podúlohy, tie sa riešia paralelne a potom sa z riešení podúloh skladá riešenie celej úlohy. práca v tímoch každej variante riešenia je pridelený jeden tím, ktorý overuje, či jeho riešenie odpovedá vstupom. Práve jeden tím zistí, že jeho riešenie zodpovedá vstupu a vydá svoje riešenie ako výsledok. Dohody: obmedzená sada inštrukcií: +,, div 2, x2 y (aritmetické posuny) pre jednoduchost budeme predpokladat, že vstupné čísla sú nezáporné celé čísla František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
9 Počítanie funkcií log n a log n vstup: číslo n stačí log n procesorov jednočlenné tímy i-ty tím (procesor) overuje, či i = log n : v := n 2 i if (v > 0) and ( v 2 = 0) then r1 := i pre výpočet log n pridáme: ak n = 2 i tak výsledok i, inak i + 1. Počet proc. Čas Šírka slova Model log n O(1) O(log n) CREW František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
10 Počítanie funkcií log n a log n vstup: číslo n stačí log n procesorov jednočlenné tímy i-ty tím (procesor) overuje, či i = log n : v := n 2 i if (v > 0) and ( v 2 = 0) then r1 := i pre výpočet log n pridáme: ak n = 2 i tak výsledok i, inak i + 1. Počet proc. Čas Šírka slova Model log n O(1) O(log n) CREW František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
11 Počítanie funkcií log n a log n vstup: číslo n stačí log n procesorov jednočlenné tímy i-ty tím (procesor) overuje, či i = log n : v := n 2 i if (v > 0) and ( v 2 = 0) then r1 := i pre výpočet log n pridáme: ak n = 2 i tak výsledok i, inak i + 1. Počet proc. Čas Šírka slova Model log n O(1) O(log n) CREW František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
12 Počítanie funkcií log n a log n vstup: číslo n stačí log n procesorov jednočlenné tímy i-ty tím (procesor) overuje, či i = log n : v := n 2 i if (v > 0) and ( v 2 = 0) then r1 := i pre výpočet log n pridáme: ak n = 2 i tak výsledok i, inak i + 1. Počet proc. Čas Šírka slova Model log n O(1) O(log n) CREW František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
13 Počítanie funkcií log n a log n vstup: číslo n stačí log n procesorov jednočlenné tímy i-ty tím (procesor) overuje, či i = log n : v := n 2 i if (v > 0) and ( v 2 = 0) then r1 := i pre výpočet log n pridáme: ak n = 2 i tak výsledok i, inak i + 1. Počet proc. Čas Šírka slova Model log n O(1) O(log n) CREW František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
14 Počítanie maxima z n čísel Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladat, že n je mocnina 2 (viz. vyššie). Vstupy sú x 0 v r 1,..., x n 1 v r n. Spočítame log n a n 2 (aritm. posunmi); výpočtu sa zúčastnia procesory s PID< n 2. Každý procesor rozdelí svoje PID na dve (log n)-bitové čísla i, j. i {0,..., n 1} je číslo tímu, j {0,..., n 1} je číslo člena tímu. i-ty tím overuje, či je x i maximum a bude komunikovat prostredníctvom registra r n+1+i ; (i, 0) je manažér 1 if j = 0 then r n+1+i := 0 2 if (x i < x j ) then r n+1+i := 1 3 if (j = 0) and (r n+1+i = 0) then r 1 := r i+1 Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(1) min. 2 log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
15 Počítanie maxima z n čísel Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladat, že n je mocnina 2 (viz. vyššie). Vstupy sú x 0 v r 1,..., x n 1 v r n. Spočítame log n a n 2 (aritm. posunmi); výpočtu sa zúčastnia procesory s PID< n 2. Každý procesor rozdelí svoje PID na dve (log n)-bitové čísla i, j. i {0,..., n 1} je číslo tímu, j {0,..., n 1} je číslo člena tímu. i-ty tím overuje, či je x i maximum a bude komunikovat prostredníctvom registra r n+1+i ; (i, 0) je manažér 1 if j = 0 then r n+1+i := 0 2 if (x i < x j ) then r n+1+i := 1 3 if (j = 0) and (r n+1+i = 0) then r 1 := r i+1 Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(1) min. 2 log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
16 Počítanie maxima z n čísel Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladat, že n je mocnina 2 (viz. vyššie). Vstupy sú x 0 v r 1,..., x n 1 v r n. Spočítame log n a n 2 (aritm. posunmi); výpočtu sa zúčastnia procesory s PID< n 2. Každý procesor rozdelí svoje PID na dve (log n)-bitové čísla i, j. i {0,..., n 1} je číslo tímu, j {0,..., n 1} je číslo člena tímu. i-ty tím overuje, či je x i maximum a bude komunikovat prostredníctvom registra r n+1+i ; (i, 0) je manažér 1 if j = 0 then r n+1+i := 0 2 if (x i < x j ) then r n+1+i := 1 3 if (j = 0) and (r n+1+i = 0) then r 1 := r i+1 Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(1) min. 2 log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
17 Počítanie maxima z n čísel Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladat, že n je mocnina 2 (viz. vyššie). Vstupy sú x 0 v r 1,..., x n 1 v r n. Spočítame log n a n 2 (aritm. posunmi); výpočtu sa zúčastnia procesory s PID< n 2. Každý procesor rozdelí svoje PID na dve (log n)-bitové čísla i, j. i {0,..., n 1} je číslo tímu, j {0,..., n 1} je číslo člena tímu. i-ty tím overuje, či je x i maximum a bude komunikovat prostredníctvom registra r n+1+i ; (i, 0) je manažér 1 if j = 0 then r n+1+i := 0 2 if (x i < x j ) then r n+1+i := 1 3 if (j = 0) and (r n+1+i = 0) then r 1 := r i+1 Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(1) min. 2 log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
18 Počítanie maxima z n čísel Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladat, že n je mocnina 2 (viz. vyššie). Vstupy sú x 0 v r 1,..., x n 1 v r n. Spočítame log n a n 2 (aritm. posunmi); výpočtu sa zúčastnia procesory s PID< n 2. Každý procesor rozdelí svoje PID na dve (log n)-bitové čísla i, j. i {0,..., n 1} je číslo tímu, j {0,..., n 1} je číslo člena tímu. i-ty tím overuje, či je x i maximum a bude komunikovat prostredníctvom registra r n+1+i ; (i, 0) je manažér 1 if j = 0 then r n+1+i := 0 2 if (x i < x j ) then r n+1+i := 1 3 if (j = 0) and (r n+1+i = 0) then r 1 := r i+1 Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(1) min. 2 log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
19 Počítanie maxima z n čísel Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladat, že n je mocnina 2 (viz. vyššie). Vstupy sú x 0 v r 1,..., x n 1 v r n. Spočítame log n a n 2 (aritm. posunmi); výpočtu sa zúčastnia procesory s PID< n 2. Každý procesor rozdelí svoje PID na dve (log n)-bitové čísla i, j. i {0,..., n 1} je číslo tímu, j {0,..., n 1} je číslo člena tímu. i-ty tím overuje, či je x i maximum a bude komunikovat prostredníctvom registra r n+1+i ; (i, 0) je manažér 1 if j = 0 then r n+1+i := 0 2 if (x i < x j ) then r n+1+i := 1 3 if (j = 0) and (r n+1+i = 0) then r 1 := r i+1 Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(1) min. 2 log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
20 Počítanie maxima z n čísel Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladat, že n je mocnina 2 (viz. vyššie). Vstupy sú x 0 v r 1,..., x n 1 v r n. Spočítame log n a n 2 (aritm. posunmi); výpočtu sa zúčastnia procesory s PID< n 2. Každý procesor rozdelí svoje PID na dve (log n)-bitové čísla i, j. i {0,..., n 1} je číslo tímu, j {0,..., n 1} je číslo člena tímu. i-ty tím overuje, či je x i maximum a bude komunikovat prostredníctvom registra r n+1+i ; (i, 0) je manažér 1 if j = 0 then r n+1+i := 0 2 if (x i < x j ) then r n+1+i := 1 3 if (j = 0) and (r n+1+i = 0) then r 1 := r i+1 Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(1) min. 2 log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
21 Počítanie maxima z n čísel Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladat, že n je mocnina 2 (viz. vyššie). Vstupy sú x 0 v r 1,..., x n 1 v r n. Spočítame log n a n 2 (aritm. posunmi); výpočtu sa zúčastnia procesory s PID< n 2. Každý procesor rozdelí svoje PID na dve (log n)-bitové čísla i, j. i {0,..., n 1} je číslo tímu, j {0,..., n 1} je číslo člena tímu. i-ty tím overuje, či je x i maximum a bude komunikovat prostredníctvom registra r n+1+i ; (i, 0) je manažér 1 if j = 0 then r n+1+i := 0 2 if (x i < x j ) then r n+1+i := 1 3 if (j = 0) and (r n+1+i = 0) then r 1 := r i+1 Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(1) min. 2 log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
22 Sčítanie n b-bitových čísel predpokladajme, že n je mocnicna 2 a vstupné čísla x 0,..., x n sú kladné súčet n b-bitových čísel nebude mat viac než O(b + log n) bitov toto číslo bude potrebovat každý procesor: log n viz alg. vyššie b spočítame max. a použijeme hornú celú čast b + log n zaokrúhlime na najbližšiu vyššiu alebo rovnú mocninu 2 2 n(b+log n) tímov po n procesoroch; procesor interpretuje svoje PID ako n čísel y 0,..., y n 1 s b + log n bitmi a číslo j s log n bitmi y n 1 y n 2... y 0 j každý procesor extrahuje z PID svoje číslo v tíme j, 0-tý člen tímu extrahuje y 0, j-ty (j > 0) člen tímu extrahuje y j a y j 1. Stačia na to posuny o i(b + log n) bitov. Vel kost posunu je i mocnicna 2 v konštantnom čase. 1 0-tý člen tímu kontroluje či y 0 = x 0 2 j-ty člen tímu kontroluje, či y j = y j 1 + x j Procesory, ktoré zistia nerovnost, to oznámia manažérovi (prostredníctvom komunikačného registra) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
23 Sčítanie n b-bitových čísel predpokladajme, že n je mocnicna 2 a vstupné čísla x 0,..., x n sú kladné súčet n b-bitových čísel nebude mat viac než O(b + log n) bitov toto číslo bude potrebovat každý procesor: log n viz alg. vyššie b spočítame max. a použijeme hornú celú čast b + log n zaokrúhlime na najbližšiu vyššiu alebo rovnú mocninu 2 2 n(b+log n) tímov po n procesoroch; procesor interpretuje svoje PID ako n čísel y 0,..., y n 1 s b + log n bitmi a číslo j s log n bitmi y n 1 y n 2... y 0 j každý procesor extrahuje z PID svoje číslo v tíme j, 0-tý člen tímu extrahuje y 0, j-ty (j > 0) člen tímu extrahuje y j a y j 1. Stačia na to posuny o i(b + log n) bitov. Vel kost posunu je i mocnicna 2 v konštantnom čase. 1 0-tý člen tímu kontroluje či y 0 = x 0 2 j-ty člen tímu kontroluje, či y j = y j 1 + x j Procesory, ktoré zistia nerovnost, to oznámia manažérovi (prostredníctvom komunikačného registra) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
24 Sčítanie n b-bitových čísel predpokladajme, že n je mocnicna 2 a vstupné čísla x 0,..., x n sú kladné súčet n b-bitových čísel nebude mat viac než O(b + log n) bitov toto číslo bude potrebovat každý procesor: log n viz alg. vyššie b spočítame max. a použijeme hornú celú čast b + log n zaokrúhlime na najbližšiu vyššiu alebo rovnú mocninu 2 2 n(b+log n) tímov po n procesoroch; procesor interpretuje svoje PID ako n čísel y 0,..., y n 1 s b + log n bitmi a číslo j s log n bitmi y n 1 y n 2... y 0 j každý procesor extrahuje z PID svoje číslo v tíme j, 0-tý člen tímu extrahuje y 0, j-ty (j > 0) člen tímu extrahuje y j a y j 1. Stačia na to posuny o i(b + log n) bitov. Vel kost posunu je i mocnicna 2 v konštantnom čase. 1 0-tý člen tímu kontroluje či y 0 = x 0 2 j-ty člen tímu kontroluje, či y j = y j 1 + x j Procesory, ktoré zistia nerovnost, to oznámia manažérovi (prostredníctvom komunikačného registra) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
25 Sčítanie n b-bitových čísel predpokladajme, že n je mocnicna 2 a vstupné čísla x 0,..., x n sú kladné súčet n b-bitových čísel nebude mat viac než O(b + log n) bitov toto číslo bude potrebovat každý procesor: log n viz alg. vyššie b spočítame max. a použijeme hornú celú čast b + log n zaokrúhlime na najbližšiu vyššiu alebo rovnú mocninu 2 2 n(b+log n) tímov po n procesoroch; procesor interpretuje svoje PID ako n čísel y 0,..., y n 1 s b + log n bitmi a číslo j s log n bitmi y n 1 y n 2... y 0 j každý procesor extrahuje z PID svoje číslo v tíme j, 0-tý člen tímu extrahuje y 0, j-ty (j > 0) člen tímu extrahuje y j a y j 1. Stačia na to posuny o i(b + log n) bitov. Vel kost posunu je i mocnicna 2 v konštantnom čase. 1 0-tý člen tímu kontroluje či y 0 = x 0 2 j-ty člen tímu kontroluje, či y j = y j 1 + x j Procesory, ktoré zistia nerovnost, to oznámia manažérovi (prostredníctvom komunikačného registra) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
26 Sčítanie n b-bitových čísel predpokladajme, že n je mocnicna 2 a vstupné čísla x 0,..., x n sú kladné súčet n b-bitových čísel nebude mat viac než O(b + log n) bitov toto číslo bude potrebovat každý procesor: log n viz alg. vyššie b spočítame max. a použijeme hornú celú čast b + log n zaokrúhlime na najbližšiu vyššiu alebo rovnú mocninu 2 2 n(b+log n) tímov po n procesoroch; procesor interpretuje svoje PID ako n čísel y 0,..., y n 1 s b + log n bitmi a číslo j s log n bitmi y n 1 y n 2... y 0 j každý procesor extrahuje z PID svoje číslo v tíme j, 0-tý člen tímu extrahuje y 0, j-ty (j > 0) člen tímu extrahuje y j a y j 1. Stačia na to posuny o i(b + log n) bitov. Vel kost posunu je i mocnicna 2 v konštantnom čase. 1 0-tý člen tímu kontroluje či y 0 = x 0 2 j-ty člen tímu kontroluje, či y j = y j 1 + x j Procesory, ktoré zistia nerovnost, to oznámia manažérovi (prostredníctvom komunikačného registra) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
27 Sčítanie n b-bitových čísel predpokladajme, že n je mocnicna 2 a vstupné čísla x 0,..., x n sú kladné súčet n b-bitových čísel nebude mat viac než O(b + log n) bitov toto číslo bude potrebovat každý procesor: log n viz alg. vyššie b spočítame max. a použijeme hornú celú čast b + log n zaokrúhlime na najbližšiu vyššiu alebo rovnú mocninu 2 2 n(b+log n) tímov po n procesoroch; procesor interpretuje svoje PID ako n čísel y 0,..., y n 1 s b + log n bitmi a číslo j s log n bitmi y n 1 y n 2... y 0 j každý procesor extrahuje z PID svoje číslo v tíme j, 0-tý člen tímu extrahuje y 0, j-ty (j > 0) člen tímu extrahuje y j a y j 1. Stačia na to posuny o i(b + log n) bitov. Vel kost posunu je i mocnicna 2 v konštantnom čase. 1 0-tý člen tímu kontroluje či y 0 = x 0 2 j-ty člen tímu kontroluje, či y j = y j 1 + x j Procesory, ktoré zistia nerovnost, to oznámia manažérovi (prostredníctvom komunikačného registra) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
28 Sčítanie n b-bitových čísel predpokladajme, že n je mocnicna 2 a vstupné čísla x 0,..., x n sú kladné súčet n b-bitových čísel nebude mat viac než O(b + log n) bitov toto číslo bude potrebovat každý procesor: log n viz alg. vyššie b spočítame max. a použijeme hornú celú čast b + log n zaokrúhlime na najbližšiu vyššiu alebo rovnú mocninu 2 2 n(b+log n) tímov po n procesoroch; procesor interpretuje svoje PID ako n čísel y 0,..., y n 1 s b + log n bitmi a číslo j s log n bitmi y n 1 y n 2... y 0 j každý procesor extrahuje z PID svoje číslo v tíme j, 0-tý člen tímu extrahuje y 0, j-ty (j > 0) člen tímu extrahuje y j a y j 1. Stačia na to posuny o i(b + log n) bitov. Vel kost posunu je i mocnicna 2 v konštantnom čase. 1 0-tý člen tímu kontroluje či y 0 = x 0 2 j-ty člen tímu kontroluje, či y j = y j 1 + x j Procesory, ktoré zistia nerovnost, to oznámia manažérovi (prostredníctvom komunikačného registra) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
29 Sčítanie n b-bitových čísel predpokladajme, že n je mocnicna 2 a vstupné čísla x 0,..., x n sú kladné súčet n b-bitových čísel nebude mat viac než O(b + log n) bitov toto číslo bude potrebovat každý procesor: log n viz alg. vyššie b spočítame max. a použijeme hornú celú čast b + log n zaokrúhlime na najbližšiu vyššiu alebo rovnú mocninu 2 2 n(b+log n) tímov po n procesoroch; procesor interpretuje svoje PID ako n čísel y 0,..., y n 1 s b + log n bitmi a číslo j s log n bitmi y n 1 y n 2... y 0 j každý procesor extrahuje z PID svoje číslo v tíme j, 0-tý člen tímu extrahuje y 0, j-ty (j > 0) člen tímu extrahuje y j a y j 1. Stačia na to posuny o i(b + log n) bitov. Vel kost posunu je i mocnicna 2 v konštantnom čase. 1 0-tý člen tímu kontroluje či y 0 = x 0 2 j-ty člen tímu kontroluje, či y j = y j 1 + x j Procesory, ktoré zistia nerovnost, to oznámia manažérovi (prostredníctvom komunikačného registra) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
30 Sčítanie n b-bitových čísel predpokladajme, že n je mocnicna 2 a vstupné čísla x 0,..., x n sú kladné súčet n b-bitových čísel nebude mat viac než O(b + log n) bitov toto číslo bude potrebovat každý procesor: log n viz alg. vyššie b spočítame max. a použijeme hornú celú čast b + log n zaokrúhlime na najbližšiu vyššiu alebo rovnú mocninu 2 2 n(b+log n) tímov po n procesoroch; procesor interpretuje svoje PID ako n čísel y 0,..., y n 1 s b + log n bitmi a číslo j s log n bitmi y n 1 y n 2... y 0 j každý procesor extrahuje z PID svoje číslo v tíme j, 0-tý člen tímu extrahuje y 0, j-ty (j > 0) člen tímu extrahuje y j a y j 1. Stačia na to posuny o i(b + log n) bitov. Vel kost posunu je i mocnicna 2 v konštantnom čase. 1 0-tý člen tímu kontroluje či y 0 = x 0 2 j-ty člen tímu kontroluje, či y j = y j 1 + x j Procesory, ktoré zistia nerovnost, to oznámia manažérovi (prostredníctvom komunikačného registra) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
31 Sčítanie n b-bitových čísel predpokladajme, že n je mocnicna 2 a vstupné čísla x 0,..., x n sú kladné súčet n b-bitových čísel nebude mat viac než O(b + log n) bitov toto číslo bude potrebovat každý procesor: log n viz alg. vyššie b spočítame max. a použijeme hornú celú čast b + log n zaokrúhlime na najbližšiu vyššiu alebo rovnú mocninu 2 2 n(b+log n) tímov po n procesoroch; procesor interpretuje svoje PID ako n čísel y 0,..., y n 1 s b + log n bitmi a číslo j s log n bitmi y n 1 y n 2... y 0 j každý procesor extrahuje z PID svoje číslo v tíme j, 0-tý člen tímu extrahuje y 0, j-ty (j > 0) člen tímu extrahuje y j a y j 1. Stačia na to posuny o i(b + log n) bitov. Vel kost posunu je i mocnicna 2 v konštantnom čase. 1 0-tý člen tímu kontroluje či y 0 = x 0 2 j-ty člen tímu kontroluje, či y j = y j 1 + x j Procesory, ktoré zistia nerovnost, to oznámia manažérovi (prostredníctvom komunikačného registra) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
32 Sčítanie n b-bitových čísel (pokračovanie) práve jeden tím nezistí žiadnu nerovnost jeho manažér extrahuje y n 1 a vydá výsledok. to, že sa jedná o b-bitové čísla ovplyvňuje počet procesorov, ale nie dobu výpočtu Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 n(b+log n) O(1) n (b + log n)) + log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
33 Sčítanie n b-bitových čísel (pokračovanie) práve jeden tím nezistí žiadnu nerovnost jeho manažér extrahuje y n 1 a vydá výsledok. to, že sa jedná o b-bitové čísla ovplyvňuje počet procesorov, ale nie dobu výpočtu Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 n(b+log n) O(1) n (b + log n)) + log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
34 Sčítanie n b-bitových čísel (pokračovanie) práve jeden tím nezistí žiadnu nerovnost jeho manažér extrahuje y n 1 a vydá výsledok. to, že sa jedná o b-bitové čísla ovplyvňuje počet procesorov, ale nie dobu výpočtu Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 n(b+log n) O(1) n (b + log n)) + log n COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
35 Násobenie b-bitových čísel v konštantnom čase školská metóda násobenia, predpokladáme, že x 1 a x 2 sú kladné spočítame b (log väčšieho z nich) a vložíme do r 0 i-ty procesor: extrahuj i-ty bit čísla x 2 (zodpovedá rádu 2 i ) ak je bit 1, tak posuň x 1 o i bitov dol ava (tj. násob 2 i ) a výsledok zapíš do r i+1 inak do r i+1 zapíš 0 súčet čísel r 1,..., r b spočítame v konšt. čase Počet proc. Čas Šírka slova Model b 2 b (2b+log b) O(1) O(b (b + log b)) = O(b 2 ) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
36 Násobenie b-bitových čísel v konštantnom čase školská metóda násobenia, predpokladáme, že x 1 a x 2 sú kladné spočítame b (log väčšieho z nich) a vložíme do r 0 i-ty procesor: extrahuj i-ty bit čísla x 2 (zodpovedá rádu 2 i ) ak je bit 1, tak posuň x 1 o i bitov dol ava (tj. násob 2 i ) a výsledok zapíš do r i+1 inak do r i+1 zapíš 0 súčet čísel r 1,..., r b spočítame v konšt. čase Počet proc. Čas Šírka slova Model b 2 b (2b+log b) O(1) O(b (b + log b)) = O(b 2 ) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
37 Násobenie b-bitových čísel v konštantnom čase školská metóda násobenia, predpokladáme, že x 1 a x 2 sú kladné spočítame b (log väčšieho z nich) a vložíme do r 0 i-ty procesor: extrahuj i-ty bit čísla x 2 (zodpovedá rádu 2 i ) ak je bit 1, tak posuň x 1 o i bitov dol ava (tj. násob 2 i ) a výsledok zapíš do r i+1 inak do r i+1 zapíš 0 súčet čísel r 1,..., r b spočítame v konšt. čase Počet proc. Čas Šírka slova Model b 2 b (2b+log b) O(1) O(b (b + log b)) = O(b 2 ) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
38 Násobenie b-bitových čísel v konštantnom čase školská metóda násobenia, predpokladáme, že x 1 a x 2 sú kladné spočítame b (log väčšieho z nich) a vložíme do r 0 i-ty procesor: extrahuj i-ty bit čísla x 2 (zodpovedá rádu 2 i ) ak je bit 1, tak posuň x 1 o i bitov dol ava (tj. násob 2 i ) a výsledok zapíš do r i+1 inak do r i+1 zapíš 0 súčet čísel r 1,..., r b spočítame v konšt. čase Počet proc. Čas Šírka slova Model b 2 b (2b+log b) O(1) O(b (b + log b)) = O(b 2 ) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
39 Násobenie b-bitových čísel v konštantnom čase školská metóda násobenia, predpokladáme, že x 1 a x 2 sú kladné spočítame b (log väčšieho z nich) a vložíme do r 0 i-ty procesor: extrahuj i-ty bit čísla x 2 (zodpovedá rádu 2 i ) ak je bit 1, tak posuň x 1 o i bitov dol ava (tj. násob 2 i ) a výsledok zapíš do r i+1 inak do r i+1 zapíš 0 súčet čísel r 1,..., r b spočítame v konšt. čase Počet proc. Čas Šírka slova Model b 2 b (2b+log b) O(1) O(b (b + log b)) = O(b 2 ) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
40 Násobenie b-bitových čísel v konštantnom čase školská metóda násobenia, predpokladáme, že x 1 a x 2 sú kladné spočítame b (log väčšieho z nich) a vložíme do r 0 i-ty procesor: extrahuj i-ty bit čísla x 2 (zodpovedá rádu 2 i ) ak je bit 1, tak posuň x 1 o i bitov dol ava (tj. násob 2 i ) a výsledok zapíš do r i+1 inak do r i+1 zapíš 0 súčet čísel r 1,..., r b spočítame v konšt. čase Počet proc. Čas Šírka slova Model b 2 b (2b+log b) O(1) O(b (b + log b)) = O(b 2 ) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
41 Násobenie b-bitových čísel v konštantnom čase školská metóda násobenia, predpokladáme, že x 1 a x 2 sú kladné spočítame b (log väčšieho z nich) a vložíme do r 0 i-ty procesor: extrahuj i-ty bit čísla x 2 (zodpovedá rádu 2 i ) ak je bit 1, tak posuň x 1 o i bitov dol ava (tj. násob 2 i ) a výsledok zapíš do r i+1 inak do r i+1 zapíš 0 súčet čísel r 1,..., r b spočítame v konšt. čase Počet proc. Čas Šírka slova Model b 2 b (2b+log b) O(1) O(b (b + log b)) = O(b 2 ) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
42 Násobenie b-bitových čísel v konštantnom čase školská metóda násobenia, predpokladáme, že x 1 a x 2 sú kladné spočítame b (log väčšieho z nich) a vložíme do r 0 i-ty procesor: extrahuj i-ty bit čísla x 2 (zodpovedá rádu 2 i ) ak je bit 1, tak posuň x 1 o i bitov dol ava (tj. násob 2 i ) a výsledok zapíš do r i+1 inak do r i+1 zapíš 0 súčet čísel r 1,..., r b spočítame v konšt. čase Počet proc. Čas Šírka slova Model b 2 b (2b+log b) O(1) O(b (b + log b)) = O(b 2 ) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
43 Odmocňovanie čísel v konštantnom čase nech c > 1, prirodzené číslo, n vstupné celé číslo. Chceme spočítat n 1 c n tímov procesorov tím i (0 i < n) kontroluje, či i = n 1 c 1 počíta i c pomocou c 1 násobení; jeden tím má 2 O(log2 n) procesorov 2 if (n i c ) and (i c 1 < n) then r 1 := i Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(log2 n) O(1) O(log 2 n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
44 Odmocňovanie čísel v konštantnom čase nech c > 1, prirodzené číslo, n vstupné celé číslo. Chceme spočítat n 1 c n tímov procesorov tím i (0 i < n) kontroluje, či i = n 1 c 1 počíta i c pomocou c 1 násobení; jeden tím má 2 O(log2 n) procesorov 2 if (n i c ) and (i c 1 < n) then r 1 := i Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(log2 n) O(1) O(log 2 n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
45 Odmocňovanie čísel v konštantnom čase nech c > 1, prirodzené číslo, n vstupné celé číslo. Chceme spočítat n 1 c n tímov procesorov tím i (0 i < n) kontroluje, či i = n 1 c 1 počíta i c pomocou c 1 násobení; jeden tím má 2 O(log2 n) procesorov 2 if (n i c ) and (i c 1 < n) then r 1 := i Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(log2 n) O(1) O(log 2 n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
46 Odmocňovanie čísel v konštantnom čase nech c > 1, prirodzené číslo, n vstupné celé číslo. Chceme spočítat n 1 c n tímov procesorov tím i (0 i < n) kontroluje, či i = n 1 c 1 počíta i c pomocou c 1 násobení; jeden tím má 2 O(log2 n) procesorov 2 if (n i c ) and (i c 1 < n) then r 1 := i Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(log2 n) O(1) O(log 2 n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
47 Odmocňovanie čísel v konštantnom čase nech c > 1, prirodzené číslo, n vstupné celé číslo. Chceme spočítat n 1 c n tímov procesorov tím i (0 i < n) kontroluje, či i = n 1 c 1 počíta i c pomocou c 1 násobení; jeden tím má 2 O(log2 n) procesorov 2 if (n i c ) and (i c 1 < n) then r 1 := i Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(log2 n) O(1) O(log 2 n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
48 Odmocňovanie čísel v konštantnom čase nech c > 1, prirodzené číslo, n vstupné celé číslo. Chceme spočítat n 1 c n tímov procesorov tím i (0 i < n) kontroluje, či i = n 1 c 1 počíta i c pomocou c 1 násobení; jeden tím má 2 O(log2 n) procesorov 2 if (n i c ) and (i c 1 < n) then r 1 := i Počet proc. Čas Šírka slova Model n 2 O(log2 n) O(1) O(log 2 n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
49 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova budeme potrebovat sčítat čísla s konštantnou bitovou dĺžkou na COMMON PRAM s lineárnou dĺžkou slova Vstup: n kladných celých čísel s n 1 1 c bitmi pre nejaké celé číslo c 2 Dohoda: nebudeme označovat horné a dolné celé časti súčet a každý čiastočný súčet bude mat maximálne O(n 1 1 c ) bitov Algoritmus: spočítame m = n 1 c+1 Fáza 1: rozdel vstupné čísla do skupín po m čísel a urob súčet každej skupiny opakuj c-krát dostaneme n m čísel n c Fáza 2: sčítaj m čiastočných súčtov c František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
50 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova budeme potrebovat sčítat čísla s konštantnou bitovou dĺžkou na COMMON PRAM s lineárnou dĺžkou slova Vstup: n kladných celých čísel s n 1 1 c bitmi pre nejaké celé číslo c 2 Dohoda: nebudeme označovat horné a dolné celé časti súčet a každý čiastočný súčet bude mat maximálne O(n 1 1 c ) bitov Algoritmus: spočítame m = n 1 c+1 Fáza 1: rozdel vstupné čísla do skupín po m čísel a urob súčet každej skupiny opakuj c-krát dostaneme n m čísel n c Fáza 2: sčítaj m čiastočných súčtov c František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
51 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova budeme potrebovat sčítat čísla s konštantnou bitovou dĺžkou na COMMON PRAM s lineárnou dĺžkou slova Vstup: n kladných celých čísel s n 1 1 c bitmi pre nejaké celé číslo c 2 Dohoda: nebudeme označovat horné a dolné celé časti súčet a každý čiastočný súčet bude mat maximálne O(n 1 1 c ) bitov Algoritmus: spočítame m = n 1 c+1 Fáza 1: rozdel vstupné čísla do skupín po m čísel a urob súčet každej skupiny opakuj c-krát dostaneme n m čísel n c Fáza 2: sčítaj m čiastočných súčtov c František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
52 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova budeme potrebovat sčítat čísla s konštantnou bitovou dĺžkou na COMMON PRAM s lineárnou dĺžkou slova Vstup: n kladných celých čísel s n 1 1 c bitmi pre nejaké celé číslo c 2 Dohoda: nebudeme označovat horné a dolné celé časti súčet a každý čiastočný súčet bude mat maximálne O(n 1 1 c ) bitov Algoritmus: spočítame m = n 1 c+1 Fáza 1: rozdel vstupné čísla do skupín po m čísel a urob súčet každej skupiny opakuj c-krát dostaneme n m čísel n c Fáza 2: sčítaj m čiastočných súčtov c František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
53 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova budeme potrebovat sčítat čísla s konštantnou bitovou dĺžkou na COMMON PRAM s lineárnou dĺžkou slova Vstup: n kladných celých čísel s n 1 1 c bitmi pre nejaké celé číslo c 2 Dohoda: nebudeme označovat horné a dolné celé časti súčet a každý čiastočný súčet bude mat maximálne O(n 1 1 c ) bitov Algoritmus: spočítame m = n 1 c+1 Fáza 1: rozdel vstupné čísla do skupín po m čísel a urob súčet každej skupiny opakuj c-krát dostaneme n m čísel n c Fáza 2: sčítaj m čiastočných súčtov c František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
54 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova budeme potrebovat sčítat čísla s konštantnou bitovou dĺžkou na COMMON PRAM s lineárnou dĺžkou slova Vstup: n kladných celých čísel s n 1 1 c bitmi pre nejaké celé číslo c 2 Dohoda: nebudeme označovat horné a dolné celé časti súčet a každý čiastočný súčet bude mat maximálne O(n 1 1 c ) bitov Algoritmus: spočítame m = n 1 c+1 Fáza 1: rozdel vstupné čísla do skupín po m čísel a urob súčet každej skupiny opakuj c-krát dostaneme n m čísel n c Fáza 2: sčítaj m čiastočných súčtov c František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
55 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova budeme potrebovat sčítat čísla s konštantnou bitovou dĺžkou na COMMON PRAM s lineárnou dĺžkou slova Vstup: n kladných celých čísel s n 1 1 c bitmi pre nejaké celé číslo c 2 Dohoda: nebudeme označovat horné a dolné celé časti súčet a každý čiastočný súčet bude mat maximálne O(n 1 1 c ) bitov Algoritmus: spočítame m = n 1 c+1 Fáza 1: rozdel vstupné čísla do skupín po m čísel a urob súčet každej skupiny opakuj c-krát dostaneme n m čísel n c Fáza 2: sčítaj m čiastočných súčtov c František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
56 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova budeme potrebovat sčítat čísla s konštantnou bitovou dĺžkou na COMMON PRAM s lineárnou dĺžkou slova Vstup: n kladných celých čísel s n 1 1 c bitmi pre nejaké celé číslo c 2 Dohoda: nebudeme označovat horné a dolné celé časti súčet a každý čiastočný súčet bude mat maximálne O(n 1 1 c ) bitov Algoritmus: spočítame m = n 1 c+1 Fáza 1: rozdel vstupné čísla do skupín po m čísel a urob súčet každej skupiny opakuj c-krát dostaneme n m čísel n c Fáza 2: sčítaj m čiastočných súčtov c František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
57 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova predvýpočet: čas O(1), malá šírka slova pre vel ké n Fázy 1 a 2 sa urobia starým postupom v konšt. čase šírka slova na Fázu 1: m n 1 1 c = n 1 1 c 2 +c šírka slova na Fázu 2: n m c n1 1 c = n 1 1 c 2 +c František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
58 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova Veta n (n 1 1 c )-bitových( čísel sa) dá sčítat v konštantnom čase na PRAMe so šírkou slova O n 1 1 c 2 +c. Ekvivalentne: λ, 0 < λ 1 2 µ > 0 : súčet n čísel s n 1 λ bitmi sa dá spočítat v čase O(1) na PRAMe COMMON so šírkou slova n 1 µ obecná technika: použitím jedného algoritmu na menšie skupiny sa vel kost úlohy zredukuje a na zmenšenú úlohu sa aplikuje pôvodný algoritmus. Zisk: zníženie potrebnej šírky slova z n(n 1 1 c + log n) + log n n 2 1 c > n 3 2 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
59 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova Veta n (n 1 1 c )-bitových( čísel sa) dá sčítat v konštantnom čase na PRAMe so šírkou slova O n 1 1 c 2 +c. Ekvivalentne: λ, 0 < λ 1 2 µ > 0 : súčet n čísel s n 1 λ bitmi sa dá spočítat v čase O(1) na PRAMe COMMON so šírkou slova n 1 µ obecná technika: použitím jedného algoritmu na menšie skupiny sa vel kost úlohy zredukuje a na zmenšenú úlohu sa aplikuje pôvodný algoritmus. Zisk: zníženie potrebnej šírky slova z n(n 1 1 c + log n) + log n n 2 1 c > n 3 2 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
60 Sčítanie čísel v konštantnom čase s menšou šírkou slova Veta n (n 1 1 c )-bitových( čísel sa) dá sčítat v konštantnom čase na PRAMe so šírkou slova O n 1 1 c 2 +c. Ekvivalentne: λ, 0 < λ 1 2 µ > 0 : súčet n čísel s n 1 λ bitmi sa dá spočítat v čase O(1) na PRAMe COMMON so šírkou slova n 1 µ obecná technika: použitím jedného algoritmu na menšie skupiny sa vel kost úlohy zredukuje a na zmenšenú úlohu sa aplikuje pôvodný algoritmus. Zisk: zníženie potrebnej šírky slova z n(n 1 1 c + log n) + log n n 2 1 c > n 3 2 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
61 Počítanie funkcií prev a last Nech x i N, 1 x i n, 1 i n prev : Z n { Z n a prev(x 1,..., x n ) =< y 1,..., y n > j ak x j = x i, j < i a x k x i pre j < k < i kde y i = 0 ak také j neexistuje last : Z n { Z n a last(x 1,..., x n ) =< y 1,..., y n > j ak x j = x i a x k x i pre j < k n kde y i = 0 ak také j neexistuje prev a last sa dajú spočítat v konštantnom čase na PRAMe so šírkou slova O(log n) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
62 Počítanie funkcií prev a last Nech x i N, 1 x i n, 1 i n prev : Z n { Z n a prev(x 1,..., x n ) =< y 1,..., y n > j ak x j = x i, j < i a x k x i pre j < k < i kde y i = 0 ak také j neexistuje last : Z n { Z n a last(x 1,..., x n ) =< y 1,..., y n > j ak x j = x i a x k x i pre j < k n kde y i = 0 ak také j neexistuje prev a last sa dajú spočítat v konštantnom čase na PRAMe so šírkou slova O(log n) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
63 Počítanie funkcií prev a last Nech x i N, 1 x i n, 1 i n prev : Z n { Z n a prev(x 1,..., x n ) =< y 1,..., y n > j ak x j = x i, j < i a x k x i pre j < k < i kde y i = 0 ak také j neexistuje last : Z n { Z n a last(x 1,..., x n ) =< y 1,..., y n > j ak x j = x i a x k x i pre j < k n kde y i = 0 ak také j neexistuje prev a last sa dajú spočítat v konštantnom čase na PRAMe so šírkou slova O(log n) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
64 Počítanie funkcií prev a last Nech x i N, 1 x i n, 1 i n prev : Z n { Z n a prev(x 1,..., x n ) =< y 1,..., y n > j ak x j = x i, j < i a x k x i pre j < k < i kde y i = 0 ak také j neexistuje last : Z n { Z n a last(x 1,..., x n ) =< y 1,..., y n > j ak x j = x i a x k x i pre j < k n kde y i = 0 ak také j neexistuje prev a last sa dajú spočítat v konštantnom čase na PRAMe so šírkou slova O(log n) František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
65 Počítanie funkcií prev a last prev: n 2 tímov tím zodpovedá dvojici < i, j >, 1 i, j n každý tím má komunikačný register v spoločnej pamäti; ten manažér tímu inicializuje na 0 k-ty procesor, j < k < i (ostatné nepracujú) overí, či x k x i, ak zistí rovnost, tak do komunikačného registra zapíše 1 manažér skontroluje komunikačný register tímu, ak je tam 0 a x i = x j tak do r i zapíše j Počet proc. Čas Šírka slova Model n 3 O(1) O(log n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
66 Počítanie funkcií prev a last prev: n 2 tímov tím zodpovedá dvojici < i, j >, 1 i, j n každý tím má komunikačný register v spoločnej pamäti; ten manažér tímu inicializuje na 0 k-ty procesor, j < k < i (ostatné nepracujú) overí, či x k x i, ak zistí rovnost, tak do komunikačného registra zapíše 1 manažér skontroluje komunikačný register tímu, ak je tam 0 a x i = x j tak do r i zapíše j Počet proc. Čas Šírka slova Model n 3 O(1) O(log n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
67 Počítanie funkcií prev a last prev: n 2 tímov tím zodpovedá dvojici < i, j >, 1 i, j n každý tím má komunikačný register v spoločnej pamäti; ten manažér tímu inicializuje na 0 k-ty procesor, j < k < i (ostatné nepracujú) overí, či x k x i, ak zistí rovnost, tak do komunikačného registra zapíše 1 manažér skontroluje komunikačný register tímu, ak je tam 0 a x i = x j tak do r i zapíše j Počet proc. Čas Šírka slova Model n 3 O(1) O(log n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
68 Počítanie funkcií prev a last prev: n 2 tímov tím zodpovedá dvojici < i, j >, 1 i, j n každý tím má komunikačný register v spoločnej pamäti; ten manažér tímu inicializuje na 0 k-ty procesor, j < k < i (ostatné nepracujú) overí, či x k x i, ak zistí rovnost, tak do komunikačného registra zapíše 1 manažér skontroluje komunikačný register tímu, ak je tam 0 a x i = x j tak do r i zapíše j Počet proc. Čas Šírka slova Model n 3 O(1) O(log n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
69 Počítanie funkcií prev a last prev: n 2 tímov tím zodpovedá dvojici < i, j >, 1 i, j n každý tím má komunikačný register v spoločnej pamäti; ten manažér tímu inicializuje na 0 k-ty procesor, j < k < i (ostatné nepracujú) overí, či x k x i, ak zistí rovnost, tak do komunikačného registra zapíše 1 manažér skontroluje komunikačný register tímu, ak je tam 0 a x i = x j tak do r i zapíše j Počet proc. Čas Šírka slova Model n 3 O(1) O(log n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
70 Počítanie funkcií prev a last prev: n 2 tímov tím zodpovedá dvojici < i, j >, 1 i, j n každý tím má komunikačný register v spoločnej pamäti; ten manažér tímu inicializuje na 0 k-ty procesor, j < k < i (ostatné nepracujú) overí, či x k x i, ak zistí rovnost, tak do komunikačného registra zapíše 1 manažér skontroluje komunikačný register tímu, ak je tam 0 a x i = x j tak do r i zapíše j Počet proc. Čas Šírka slova Model n 3 O(1) O(log n) COMMON František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
71 Počítanie súčtu n čísel Označenie: Nech T (n, P(n)) je čas potrebný na výpočet súčtu n čísel (konečnej alebo nekonečnej) pologrupy pomocou P(n) procesorov na modele COMMON PRAM. [Namiesto T (n, n) budeme písat T (n).] Definícia Hovoríme, že f : Z Z je konštruovatel ná v konštantnom čase, ak COMMON PRAM s n procesormi môže spočítat f (n) zo vstupu n v konštantnom čase. s rozšírenou sadou aritmetických inštrukcií sú polynómy, log n, odmocniny,... konštruovatel né v konštantnom čase. František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
72 Počítanie súčtu n čísel Označenie: Nech T (n, P(n)) je čas potrebný na výpočet súčtu n čísel (konečnej alebo nekonečnej) pologrupy pomocou P(n) procesorov na modele COMMON PRAM. [Namiesto T (n, n) budeme písat T (n).] Definícia Hovoríme, že f : Z Z je konštruovatel ná v konštantnom čase, ak COMMON PRAM s n procesormi môže spočítat f (n) zo vstupu n v konštantnom čase. s rozšírenou sadou aritmetických inštrukcií sú polynómy, log n, odmocniny,... konštruovatel né v konštantnom čase. František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
73 Počítanie súčtu n čísel Označenie: Nech T (n, P(n)) je čas potrebný na výpočet súčtu n čísel (konečnej alebo nekonečnej) pologrupy pomocou P(n) procesorov na modele COMMON PRAM. [Namiesto T (n, n) budeme písat T (n).] Definícia Hovoríme, že f : Z Z je konštruovatel ná v konštantnom čase, ak COMMON PRAM s n procesormi môže spočítat f (n) zo vstupu n v konštantnom čase. s rozšírenou sadou aritmetických inštrukcií sú polynómy, log n, odmocniny,... konštruovatel né v konštantnom čase. František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
74 Počítanie súčtu n čísel Lemma Nech f : N N, f (n) n, pre všetky n 0, je konštruovatel ná v konštantnom čase. Potom ( ) n T (n) T + T (f (n), n) + O(1). f (n) Dôkaz: vstup n čísel, n procesorov spočítame f (n); procesory rozdelíme do f (n) tímov po maximálne n f (n) procesoroch každý tím sčíta svoje vstupy v čase T ( n f (n) ) Predpokladáme, že T (n) je monotónna neklesajúca funkcia. Dostanene f (n) čiastočných súčtov, ktoré sa dajú sčítat v čase T (f (n), n) pre f (n) = O(log n) sa súčet n čísel v konečnej pologrupe dá spočítat v čase ) s použitím n procesorov. O( log n log log n František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
75 Počítanie súčtu n čísel Lemma Nech f : N N, f (n) n, pre všetky n 0, je konštruovatel ná v konštantnom čase. Potom ( ) n T (n) T + T (f (n), n) + O(1). f (n) Dôkaz: vstup n čísel, n procesorov spočítame f (n); procesory rozdelíme do f (n) tímov po maximálne n f (n) procesoroch každý tím sčíta svoje vstupy v čase T ( n f (n) ) Predpokladáme, že T (n) je monotónna neklesajúca funkcia. Dostanene f (n) čiastočných súčtov, ktoré sa dajú sčítat v čase T (f (n), n) pre f (n) = O(log n) sa súčet n čísel v konečnej pologrupe dá spočítat v čase ) s použitím n procesorov. O( log n log log n František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
76 Počítanie súčtu n čísel Lemma Nech f : N N, f (n) n, pre všetky n 0, je konštruovatel ná v konštantnom čase. Potom ( ) n T (n) T + T (f (n), n) + O(1). f (n) Dôkaz: vstup n čísel, n procesorov spočítame f (n); procesory rozdelíme do f (n) tímov po maximálne n f (n) procesoroch každý tím sčíta svoje vstupy v čase T ( n f (n) ) Predpokladáme, že T (n) je monotónna neklesajúca funkcia. Dostanene f (n) čiastočných súčtov, ktoré sa dajú sčítat v čase T (f (n), n) pre f (n) = O(log n) sa súčet n čísel v konečnej pologrupe dá spočítat v čase ) s použitím n procesorov. O( log n log log n František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
77 Počítanie súčtu n čísel Lemma Nech f : N N, f (n) n, pre všetky n 0, je konštruovatel ná v konštantnom čase. Potom ( ) n T (n) T + T (f (n), n) + O(1). f (n) Dôkaz: vstup n čísel, n procesorov spočítame f (n); procesory rozdelíme do f (n) tímov po maximálne n f (n) procesoroch každý tím sčíta svoje vstupy v čase T ( n f (n) ) Predpokladáme, že T (n) je monotónna neklesajúca funkcia. Dostanene f (n) čiastočných súčtov, ktoré sa dajú sčítat v čase T (f (n), n) pre f (n) = O(log n) sa súčet n čísel v konečnej pologrupe dá spočítat v čase ) s použitím n procesorov. O( log n log log n František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
78 Počítanie maxima n 2 procesorov čas O(1) n procesorov čas O(log n) pre f (n) = n T (n) T ( n) + T ( n, n) + O(1) = T ( n) + O(1) O(log log n) s n 1+ 1 k procesormi, pre nejakú konštantu k 1, a f (n) = n sa hĺbka rekurzie obmedzí na log k konštantný čas František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
79 Počítanie maxima n 2 procesorov čas O(1) n procesorov čas O(log n) pre f (n) = n T (n) T ( n) + T ( n, n) + O(1) = T ( n) + O(1) O(log log n) s n 1+ 1 k procesormi, pre nejakú konštantu k 1, a f (n) = n sa hĺbka rekurzie obmedzí na log k konštantný čas František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
80 Počítanie maxima n 2 procesorov čas O(1) n procesorov čas O(log n) pre f (n) = n T (n) T ( n) + T ( n, n) + O(1) = T ( n) + O(1) O(log log n) s n 1+ 1 k procesormi, pre nejakú konštantu k 1, a f (n) = n sa hĺbka rekurzie obmedzí na log k konštantný čas František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
81 Počítanie maxima n 2 procesorov čas O(1) n procesorov čas O(log n) pre f (n) = n T (n) T ( n) + T ( n, n) + O(1) = T ( n) + O(1) O(log log n) s n 1+ 1 k procesormi, pre nejakú konštantu k 1, a f (n) = n sa hĺbka rekurzie obmedzí na log k konštantný čas František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy, 2009/ / 17
Paralelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
Paralelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2011/2012 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
Metódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
Informačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
Prenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle
1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr at b + k. idea postupu je postupne rozpisovat cleny T b... teda T b = at + 1... dokym v tom neuvidime nejaky tvar
Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a
Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
Kolmogorovská zložitost
Kolmogorovská zložitosť 5.12.2013 (2013/14) KZ 5.12.2013 1 / 16 Kt zložitosť age(x) = min p{2 l(p) t : U(p) = x v priebehu t krokov} Def. (Kt zložitosť) UTS monotonne skenuje začiatok p kým vypíše x, t(p,
NÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
Tue Oct 3 22:05:51 CEST Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, kto
Tue Oct 3 22:05:51 CEST 2006 2. Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, ktoré si postupne rozoberieme: dátové typy príkazy bloky
Microsoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
trafo
Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
Axióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
Optimal approximate designs for comparison with control in dose-escalation studies
Optimal approximate designs for comparison with control in dose-escalation studies a Radoslav Harman Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského 15. 9. 2016 Optimálne aproximatívne dizajny
Microsoft PowerPoint - Prog_p08.ppt
Štruktúra záznam Operácie s bitovými údajmi 1. Štruktúra záznam zložený typ štruktúry záznam varianty štruktúr záznam reprezentácia štruktúry záznam použitie štruktúry záznam v jazyku C 2. Operácie s bitovými
Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
Študijný program (Študijný odbor) Školiteľ Forma štúdia Téma Elektronické zbraňové systémy (8.4.3 Výzbroj a technika ozbrojených síl) doc. Ing. Martin
doc. Ing. Martin Marko, CSc. e-mail: martin.marko@aos.sk tel.: 0960 423878 Metódy kódovania a modulácie v konvergentných bojových rádiových sieťach Zameranie: Dizertačná práca sa bude zaoberať modernými
Priebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
MO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium Pamäťový operand Adresovanie pamäte Priama nepriama a indexovaná adresa Práca s jednorozmerným poľom Pra
Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium Pamäťový operand Adresovanie pamäte Priama nepriama a indexovaná adresa Práca s jednorozmerným poľom Praktické programovanie assemblerových funkcií Autor:
Klasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Október, 2018 Katedra kybernetiky
Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Marian.Mach@tuke.sk http://people.tuke.sk/marian.mach Október, 2018 Katedra kybernetiky a umelej inteligencie FEI, TU v Košiciach 1 Best-first
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
Študent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp
Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá
A51
Mobilné siete Univerzita Komenského, 2019 Mgr. Ján Kotrady Kľúčové slová Ki Kc RAND SRES (XRES) RES A3, A5 IMSI 15 čísel AUTN, MAC, SQN Kľúčové slová USIM - Universal Subscriber Identity Module UE - User
Snímka 1
Generovanie LOGICKÝCH KONJUNKCIÍ doc. Ing. Kristína Machová, PhD. kristina.machova@tuke.sk http://people.tuke.sk/kristina.machova/ OSNOVA: 1. Prehľadávanie priestoru pojmov 2. Reprezentácia a použitie
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
Úvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA NA STREDNÝCH ŠKOLÁCH 54. ročník, školský rok 2004/2005 Zadania úloh 3. kola kategórie P 1. súťažný deň Na riešenie úloh máte 4.5
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA NA STREDNÝCH ŠKOLÁCH 54. ročník, školský rok 2004/2005 Zadania úloh 3. kola kategórie P 1. súťažný deň Na riešenie úloh máte 4.5 hodiny čistého času. Riešenie každého príkladu musí
Titulná strana Arial 30 bodov
CRH LOGOMANUÁL Základné pravidlá 1 1. 9. 2015 CRH (Slovensko) a.s. Úvod Tento dokument slúži ako stručný sprievodca štýlom spoločnosti. Obsahuje základné princípy používania loga, písma a farieb. 2 1.
Olympiáda v informatike ročník (2012/2013) zadania domáceho kola kategórie A a B Informácie a pravidlá Pre koho je súťaž určená? Kat
Informácie a pravidlá Pre koho je súťaž určená? Kategória B má dve kolá: domáce a krajské. Do kategórie B sa smú zapojiť len tí žiaci základných a stredných škôl, ktorí ešte ani v tomto, ani v nasledujúcom
Photo Album
MZDY Stravné lístky COMPEKO, 2019 V programe je prepracovaná práca s evidencoiu stravných lístkov. Z hľadiska dátových štruktúr je spracovanie stravných lístkov rozložené do súborov MZSTRLH.dbf a MZSTRLP.dbf,
Viacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu
Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model
Microsoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
Tomáš Jelínek - včely vyhľadávanie
Tomáš Jelínek - včely vyhľadávanie Včelí focused crawler Včelí focused crawler sa skladá z dvoch základných modelov správania sa včiel - správanie sa včely v úli (implementoval Tomáš Jelínek) a správanie
Súhrnné špecifikácie
Dell Inspiron 560/570: Komplexné technické údaje Tento dokument ponúka informácie, ktoré by ste mohli potrebovať pri nastavovaní, aktualizovaní ovládačov a inovovaní počítača. POZNÁMKA: Ponuka sa môže
Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
Light transport visualization and preturbations
Light transport visualization and preturbations Martin Pinter Vedúci práce: Prof. RNDr. Roman Ďurikovič, PhD. FMF UK 13. júna 2014 Martin Pinter (FMF UK) Light transport visualization and preturbations
Poznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
Relačné a logické bázy dát
Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.
Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, pp Persistent UR
Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1988. pp. 68 75. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404183 Terms of use: Ivan Korec,
Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;
Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika 28.04.2010 Článok spočíva v predstavení a opísaní algoritmu
--1/7-- ZŠ Scratch III 10/20 UK M. Tomcsányiová verzia HRA NIM 13 Oblasť informatiky / Téma Algoritmické riešenie problémov / Hra NIM 13 I
--1/7-- ZŠ Scratch III 10/20 UK M. Tomcsányiová verzia 20180130 10 HRA NIM 13 Oblasť informatiky / Téma Algoritmické riešenie problémov / Hra NIM 13 ISCED / Odporúčaný ročník ISCED 2 / 7. - 8. ročník Požiadavky
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit roo
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Snímka 1
Mgr. Ing. Roman Horváth, PhD. Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta Trnavská univerzita v Trnave roman.horvath@truni.sk Algoritmus a vlastnosti algoritmov Algoritmus konečná postupnosť krokov
Operačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
unhbox group let unhbox hbox {Sglobal mathchardef spacefactor }accent 20 Segroup spacefactor acce
Katedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Šírenie správ v grafoch s proporcionálnym počtom chybných liniek (Diplomová práca) Mirko Zibolen Vedúci: Doc.
ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30
ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa
Predstavenie tímu Náš tím pozostáva zo siedmich členov: Andrej Hucko, Jakub Domian, Ľubomíra Trnavská, Ján Karaffa, Ľudovít Popelka, Dušan Janeček a Z
Predstavenie tímu Náš tím pozostáva zo siedmich členov: Andrej Hucko, Jakub Domian, Ľubomíra Trnavská, Ján Karaffa, Ľudovít Popelka, Dušan Janeček a Zsuzsanna Bernáth. Ako jeden z mála tímov máme dve šikovné
NSK Karta PDF
Názov kvalifikácie: Architekt informačných systémov Kód kvalifikácie U2511002-01348 Úroveň SKKR 6 Sektorová rada IT a telekomunikácie SK ISCO-08 2511002 / IT architekt, projektant SK NACE Rev.2 J INFORMÁCIE
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
B5.indd
Úvod do limitných prechodov Vladimír Janiš ÚVOD DO LIMITNÝCH PRECHODOV Autor: doc. RNDr. Vladimír Janiš, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Martin Kalina, CSc. RNDr. Pavol Krá, PhD. Vydavate : Belianum. Vydavate
Súkromné gymnázium, Česká 10, Bratislava INFORMATIKA
Súkromné gymnázium, Česká 10, 831 03 Bratislava INFORMATIKA ÚVOD Cieľom maturitnej skúšky z informatiky je zistiť u žiakov najmä úroveň: - schopností riešiť algoritmické problémy, - schopností zdokumentovať
Microsoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
Microsoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e
Charakteristika vyučovacieho predmetu Predmet matematika v nižšom strednom vzdelávaní je prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí - vedomosti,
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac
SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:
Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium Úvod Štruktúra procesorov Intel Pentium Základné inštrukcie Vetvenia a cykly Praktické programovanie jed
Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium Úvod Štruktúra procesorov Intel Pentium Základné inštrukcie Vetvenia a cykly Praktické programovanie jednoduchých assemblerových funkcií Autor: Peter Tomcsányi,
prijimacky 2014 MAT 4rocne ver A.doc
Priezvisko a meno: " Sem nepíš! Kód: M-A-4r Kód: M-A-4r 1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava Test z matematiky (verzia A 12. máj 2014) Pokyny pre žiakov 1. 2. Tento test obsahuje
PowerPoint Presentation
Seminár Robotika.SK Ako naučiť robota vidieť ľudskú tvár pomocou knižnice Dlib Andrej Lúčny Katedra aplikovanej informatiky FMFI UK lucny@fmph.uniba.sk http://dai.fmph.uniba.sk/w/andrej_lucny www.robotika.sk/cviko7-faces.zip
Microsoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
Microsoft Word - Zahradnikova_DP.doc
DIPLOMOVÁ PRÁCA Priezvisko a meno: Zahradníková Dáša Rok: 2006 Názov diplomovej práce: Nepriaznivé vplyvy v elektrizačnej sústave harmonické zložky prúdu a napätia Fakulta: elektrotechnická Katedra: výkonových
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put
Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
Služobný úrad Odbor verejného obstarávania Podľa rozdeľovníka Váš list číslo/ zo dňa: Naše číslo: Vybavuje/Klapka V Bratislave 27188/2017 Riedelová/23
Služobný úrad Odbor verejného obstarávania Podľa rozdeľovníka Váš list číslo/ zo dňa: Naše číslo: Vybavuje/Klapka V Bratislave 27188/2017 Riedelová/232 28.11.2017 Vec: Výzva na predkladanie ponúk v procese
Microsoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))
1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
UČEBNÉ OSNOVY
Matematika Charakteristika predmetu Predmet matematika je na primárnom stupni vzdelávania prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí vedomosti
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
Identity Lifecycle Management
4. prednáška (7.3.2016) Stromy alebo rodostromy a tajomstvá TreeSet-u 1 Hierarchie okolo nás Stromové zobrazenie adresárovej štruktúry Hierarchický diagram 2 Strom potomkov Janko Janko má deti Jožka, Máriu
Výzva na predkladanie ponúk zadávanie zákazky podľa 9 ods. 9 zákona č. 25/2006 Z. z. o verejnom obstarávaní a o zmene a doplnení niektorých zákonov v
Výzva na predkladanie ponúk zadávanie zákazky podľa 9 ods. 9 zákona č. 25/2006 Z. z. o verejnom obstarávaní a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení neskorších predpisov 1. Identifikácia obstarávateľa
Štruktúra Modelu Výsledky odhadu Záver Trh práce v krajinách strednej Európy: Small Search and Matching Model Martin Železník Národná Banka Slovenska
Trh práce v krajinách strednej Európy: Small Search and Matching Model Národná Banka Slovenska Humusoft, 06.06.2013 Obsah 1 Štruktúra Modelu Domácnosti Firmy Trh práce Nastavenie miezd Uzavretie modelu
MERANIE U a I.doc
MERANIE ELEKTRICKÉHO NAPÄTIA A ELEKTRICKÉHO PRÚDU Teoretický úvod: Základnými prístrojmi na meranie elektrických veličín sú ampérmeter na meranie prúdu a voltmeter na meranie napätia. Univerzálne meracie
Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov mode
Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model p.1/19 Úvod Frank Bass (1926-2006) - priekopník matematických
Negrafické výpočty na GPU v prostredí OpenGL Autor: RNDr. Michal Červeňanský Školiteľ: Prof. Ing. Miloš Šrámek, PhD. Fakulta matematiky, fyziky a info
Negrafické výpočty na GPU v prostredí OpenGL Autor: RNDr. Michal Červeňanský Školiteľ: Prof. Ing. Miloš Šrámek, PhD. Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, UK Odbor: Informatika 16.9.2010 Motivácia
STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU
STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 5 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program IP- COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu na obrazovke: Obr.1 Voľba úlohy na meranie Po kliknutí
DediĊnosť
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Dedičnosť v jazyku C# Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond OOP rekapitulácia Trieda je základná jednotka objektového programovania
ECDL Syllabus V50 SK-V01
SYLLABUS ECDL Modul Computing, M16 (Základy informatického myslenia a programovania) Sylabus, verzia 1.0 ECDL Module Computing Syllabus Version 1.0 Účel Tento dokument uvádza v plnom znení sylabus pre
Priklad 9 - LisovanieVyluhovanieSusenie.xls
Príklad 9 Surovina na výrobu rastlinného tuku obsahuje (v hmot. %) 28 % tuku, 10 % vody a beztukovú sušinu. Lisovaním sa z nej získa olej, ktorý obsahuje 80 % tuku a vodu. Tuhý zvyšok po lisovaní, ktorý
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
Regulované napájacie zdroje DC AX-3005DBL jednokanálový AX-3005DBL 3-trojkanálový
Regulované napájacie zdroje DC AX-3005DBL jednokanálový AX-3005DBL 3-trojkanálový Návod na obsluhu Kapitola 1. Inštalácia a odporúčania týkajúce sa používania Počas inštalácie napájacieho zdroja bezpodmienečne
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. Katedra matematických metód, Fa
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk Katedra matematických metód, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita v
Olympiáda v informatike ročník (2011/2012) riešenia domáceho kola kategória B Riešenia kategórie B B-I-1 Teploty Na zisk 6 bodov sta
Riešenia kategórie B B-I-1 Teploty Na zisk 6 bodov stačilo naprogramovať najjednoduchšie možné riešenie: každý z n t + 1 riadkov výstupu vyrobíme tak, že prejdeme všetky zodpovedajúce záznamy, nájdeme
gazdikova
Katolícka univerzita v Ružomberku, Pedagogická fakulta Histéria matematiky Desiatková sústava kombinácia škol. rok meno Ma Ns 2006/2007 Gazdíková S. V tejto práci sa budeme zaoberať desiatkovou sústavou,