Andersonov prechod kov-izolant v neusporiadaných systémoch Peter Markoš Fyzikálny ústav SAV 11. január 2004 Typeset by FoilTEX

Prepis

1 Andersonov prechod kov-izolant v neusporiadaných systémoch Peter Markoš Fyzikálny ústav SAV 11. január 24 Typeset by FoilTEX

2 1. Úvod: teória Andersonovej lokalizácie. 2. Ciele práce. 3. Dosiahnuté výsledky. 4. Otvorené problémy, záver, diskusia. Typeset by FoilTEX 1

3 Anderson (1958): absencia elektrónovej difúzie v neusporiadanej štruktúre. Periodická mriežka: Ψ( r) e i k r Náhodný systém: Ψ( r) e r r /λ, r r λ Typeset by FoilTEX 2

4 Lokalizácia..5 W= W=1 W= W=2 W= N Vlnová funkcia elektrónu ako funkcia polohy v 1D systéme. (W je miera neusporiadanosti.) Typeset by FoilTEX 3

5 Neusporiadanost - disorder. Andersonov model: 1.5 Gauss H = W n ε n c nc n + t [nn ] c nc n. 1 P(ε) Box.5 t = 1 definuje škálu energie. W - disorder - miera neusporiadanosti ε Andersonov model je model bez spinu, symetrický voči zámene času - má ortogonálnu symetriu. - Model s náhodnými preskokmi: aj t je náhodná veličina. - QHE: Andersonov model + magnetické pole. Peierlsov faktor: t x = exp iα, t y = 1 (unitárna symetria). - Systémy s náhodným magnetickým pol om: α je náhodné. - Modely so spinom: t je 2 2 matica (symplektická symetria). Typeset by FoilTEX 4

6 Disorder: rôzne modely. (a) Periodická mriežka. (b) Rovnaké atómy v rôznych polohách. (c) Náhodné polohy, konštantný počet susedov na každý uzol. (d) Rovnaké polohy, rôzne atómy. (e) Spinový. (f) Náhodné preskokové členy. Typeset by FoilTEX 5

7 Prah pohyblivosti (mobility edge). hustota stavov ρ(e) delokalizovane stavy lokalizovane stavy E c Energia E Andersonov prechod: - Disorder spôsobí rozšírenie vodivostného pásu. - Existencia prahu poyblivosti E c = E c (W ). - Zmenou Fermiho energie E F sa zmení transportný režim (kov: E F > E c, resp. izolant E F < E c ). Andersonov izolant: el. vodivost σ = aj ked ρ(e). Typeset by FoilTEX 6

8 Kritický disorder. Pre fixovanú Fermiho energiu nastane prechod kov-izolant, ak rastie neusporiadanost (hodnota W ). Kritický disorder W c = W c (E F ). σ (W c -W) s λ 1 (W-W c ) ν Kov W c Izolant disorder W - Kritické exponenty: s = (d 2)ν [Wegner]. - σ: elektrická vodivost v kovovej fáze (W < W c ). - λ: polomer lokalizácie v lokalizovanej fáze (W > W c ). Typeset by FoilTEX 7

9 Konduktancia g. Rozptylový experiment: A C B D ( C B ( C D ) ) ( A = S D ( A = T B ) ) ( t r S = r t ( t 1 T = rt 1 ) r t 1 t r t 1 r ) (1) (2) Konduktancia g [Landauer] ( h 2 /2e = 1) g = Tr t t. Typeset by FoilTEX 8

10 Konduktancia g. g ako miera citlivosti na okrajové podmienky [Thouless]: g(e F ) = δe E. E = E n+1 E n n, E F ɛ < E n < E F + ɛ, (ɛ malé). (3) δe... zmena vlastných energíı v dôsledku zmeny okrajových podmienok: Ψ(x + L) = +Ψ(x) Ψ(x + L) = Ψ(x) Φ n (x) Φ n (x) + δφ n (x) E n E n + δe n (4) δe = δe n n, E F ɛ < E n < E F + ɛ. Typeset by FoilTEX 9

11 Konduktancia g ako funkcia L. Limita L : Izolant elektrón je lokalizovaný δe n g exp 2L/λ Kov elektrón je všade δe n g = σl d 2 W = W c Ψ je (multi)fraktálna δe n g = g c = const. Typeset by FoilTEX 1

12 Univerzalita. Neusporiadaný systém je charakterizovaný rôznymi parametrami: - stredná vol ná dráha pružných zrážok l, - polomer lokalizácie λ, - korelačná dĺžka potenciálu l c, Hypotéza univerzality: V limite L {l, l c, λ} sú všetky veličiny len funkciou jediného parametra: g = g(l/ξ(w )), kde ξ je korelačná dĺžka. V okoĺı kritického bodu ξ diverguje: ξ(w ) W W c ν. Typeset by FoilTEX 11

13 Škálovacia teória lokalizácie (AALR). ln g ln L Funkcia β(ln g): = β(ln g). β(ln g) 1 ln g c d=3 d=2 ln g - spojitá - monotónna - neznáma. -1 d=1 Konduktancia g je parametrom usporiadania prechodu kov-izolátor. g 1 g σl d 2 β(ln g) = d 2 g 1 g exp 2L/λ β(ln g) = ln g g = g c β(g c ), s = 1 g c β (g c. (5) Typeset by FoilTEX 12

14 Teória. Analytické výpočty sú možné len v limite slabého disorderu: - v kovovom režime, - v dimenzii d = 2 + ɛ, ɛ 1. - poruchové počty [Lee, Stone, Fukuyama], - supersymetrické modely [Wegner, Efetov, Altshuler, Mirlin], - DMPK rovnica, teória náhodných matíc [Mello, Pichard, Beenakker]. Analytické teórie kritického a lokalizovaného režimu: - supersymetrické modely (d = 2 + ɛ) [Wegner, Hikami, Altshuler], - teórie stredného pol a [Vollhardt, Wölfle, Suslov, Janiš]. Typeset by FoilTEX 13

15 Funkcia β(g) v dimenzii d = 2 + ɛ. Poruchové rozvoje v mocninách g 1 1 (ortogonálna symetria): β O (g) = ɛ 1 g 12ζ(3) g ζ(4) 2g Riešenie rovnice β(g c ) = dáva - kritický disorder: W c 1/ɛ, - kritická konduktancia: g c 1/ɛ, - kritické exponenty: s = (d 2)ν, ν = 1 ɛ 9 4 ζ(3)ɛ Výsledky: g c = 2.53, s = ν =.73 [Hikami, Padè approx.] nie sú použitelné pre 3D (ɛ = 1). Typeset by FoilTEX 14

16 Spinovo závislý rozptyl. Funkcia β(g) mení znamienko aj pre d = 2: β U (g) = ɛ + 1 g 3ζ(3) 4g Kritická dimenzia d = 2 (ɛ = ). Prechod kov-izolátor je možný len pre systémy so spinom. 2D systém v magnetickom poli: v každom Landauovom páse existuje izolovaná kritická energia E c, pre ktorú ξ a σ (kvantovaný Hallov jav). Typeset by FoilTEX 15

17 Numerické metódy. Väčšina známych poznatkov o prechode kov-izolant v 3D bola získaná numericky. - Kvázi jednorozmerné systémy L L L z, L z L [MacKinnon, Kramer, Slevin, Ohtsuki]. Spektrálna štatistika: P (s), s = E n+1 E n [Altshuler, Shklovskii, Schweitzer, Zarakeshev]. - Štatistika konduktancie [PM, Slevin, Ohtsuki]. Typeset by FoilTEX 16

18 Kvázi jednorozmerné systémy. Pre systém L L L z, L z L sú všetky x i L z. Preto x i 1 a g = i 1 cosh 2 x i /2 4 i exp L z L z i 4 exp L z L z 1 V limite L z /L konverguje z 1 z 1 [Oseledec]. Je preto možné numericky počítat z 1 a z jeho škálovania nájst - kritický disorder W c, - kritický exponent ν 1.57 (3D), - fázový diagram v priestore E F, W, - potvrdit univerzalitu: ν nezávisí od mikroskopickych detailov modelu [MacKinnon, Kramer, 1981, Ohtsuki, Slevin 1999]. Typeset by FoilTEX 17

19 Metóda konečnorozmerného škálovania. Univerzalita: existuje len jeden relevantný kritický exponent. Preto v okoĺı kritického bodu predpokladáme z 1 = z 1c + A(W W c )L 1/ν + BL y +... (6) kde y <... irelevantný exponent. Numericky získané dáta pre z 1 = z 1 (W, L) fitujeme rovnicou (6). V limite L z 1 = z 1 (L/ξ(W )), ξ(w )... korelačná dĺžka Typeset by FoilTEX 18

20 Štatistika. Problém: konduktancia g nie je samoustrednená veličina P(ln g).1 P(g) ln g Lokalizovaný režim: P (ln g) je Gaussovo rozdelenie so šírkou g Kovový režim: P (g) je Gaussovo rozdelenie s univerzálnou šírkou (UCF) var ln g = const. ln g var g = O(1). Typeset by FoilTEX 19

21 Kovový režim: teória náhodných matíc (RMT). Konduktancia [Landauer]: g = Tr t t = N i λ i = N i 1 cosh 2 x i /2. (7) Štatistické vlastnosti g sú dané štatistikou x i. V limite slabého disorderu (difúzny režim) poznáme P ({x i }) = exp βh, H = κ x 2 i + U(x i, x j ). (8) 2 i<j Parameter β = 1, 2 alebo 4, určuje fyzikálny symetriu [Pichard, Beenakker]. RMT spolu s DMPK rovnicou [Mello, Beenakker] poskytuje úplný popis transportu v difúznom (kovovom) režime. i Typeset by FoilTEX 2

22 Konduktancia v lokalizovanom režime. g g Fermiho energia E F Realizacia nahodnych energii Ukážka fluktuácíı g v 1D systéme. Ergodická hypotéza: štatistika určená zmenou Fermiho energie je identická so štatistikou vel kého súboru. Typeset by FoilTEX 21

23 Štatistika konduktancie v kritickóm režime. Testovanie univerzality vyžaduje štúdium celého rozdelenia P (g). 1992: Predpokladala sa univerzálna distribúcia P c (g), nezávislá na vel kosti systému, ale závislá od dimenzie d. Analytické výsledky len pre d = 2 + ɛ, ɛ 1 [Altshuler, Lerner]. Kumulanty konduktancie: δg n = { ɛ n 2 n < n = 1/ɛ L ɛn2 n n > 1/ɛ. (9) Z kumulantov bolo analyticky odvodené rozdelenie P c (g) [Cohen, Shapiro] P (g) g 2 2/ɛ g g 1/ɛ. (1) Typeset by FoilTEX 22

24 Ciele predloženej práce. Vzhl adom na štatistickú povahu teórie nestačí vyšetrovat len stredné hodnoty. Problémy: - Ako vyzerá distribúcia P (g) v kritickom bode? - Platí škálovacia teória pre celú distribúciu P (g)? - Je možné zovšeobecnit teóriu náhodných matíc pre kritický a lokalizovaný režim? Metódy: numerické simulácie. - Numerický výpočet Landauerovej konduktancie pre rôzne W, E F, d. - Vel kost vzorky: L L L z, L 2, L z = L alebo L z L (pre kvázi jednorozmerné systémy). - Analýza štatistických súborov s N stat 1.. vzorkami. - Metóda konečnorozmerného škálovania. Typeset by FoilTEX 23

25 Tvar kritickej distribúcie P c (g). 1 d P(g)/d g P(g) g g g P c (g) nezávisí od L, od modelu, ale závisí od okrajových podmienok, od fyzikálnej symetrie, od toplógie mriežky. P c (g) je neanalytická v bode g = 1. lim g P c (g) =. Typeset by FoilTEX 24

26 Kritická distribúcia vs. dimenzia systému P(log g) P(g) log g g P c (ln g) pre 3D vs 4D Andersonov model. P c (g) pre dva 2D modely so spinorbitálnou interakciou: - Evangelou-Ziman - Ando. Typeset by FoilTEX 25

27 Kritická distribúcia na fraktálnych mriežkach..5.4 A B C P(g) g Kritická distribúcia závisí od dimenzie, ale inak, ako predpovedá teória. Nevidíme mocninný pokles P (g) 1/g 1+2/(d 2) (g g ). Napríklad pre 3D by malo P (g) 1/g 3. Typeset by FoilTEX 26

28 3D: Škálovanie strednej konduktancie v kritickom režime. Stredná hodota ln g ako funkcia W a L v kritickom režime. Z numerických dát sme získali kritický exponent ν Typeset by FoilTEX 27

29 Škálovanie distribúcie konduktancie v kritickom režime. Percentil g q : definícia q = gq P L (g) dg. 1 g q (W, L) = g (c) q + W W c L 1/ν +... P(g) 1-1 g.75 g < ν < g Škálovanie percentilov dokazuje škálovanie distribúcie P (g). Typeset by FoilTEX 28

30 P (ln g) v okoĺı kritického bodu..4.3 Kov.2 Izolator P(ln g).2 P(ln g).1.1 (a) ln g (b) ln g Nielen stredná hodnota, ale celá distribúcia sa mení, ked L rastie. V limite L konverguje (a) ku Gaussovmu rozdeleniu P (g) pre W < W c, (b) ku Gaussovmu rozdeleniu P (ln g) pre W > W c. Typeset by FoilTEX 29

31 Škálovanie Lyapunovovych exponentov. kvázi-jednorozmerný systém L L L z, L z L 2..7 g i exp L z L z i z (1) j (L) /ν j z i = z () i (L) + W z (1) i (L) < ν < L z i (W, L) = z (c) i + (W W c )L 1/ν +... => z (1) i (L) L 1/ν (11) Typeset by FoilTEX 3

32 Zovšeobecnenie teórie náhodných matíc I. Teória náhodných matíc určuje rozdelenie parametrov x: P ({x i }) = exp βh, H = κ x 2 i + U(x i, x j ). (12) 2 i<j Parameter β = 1, 2 alebo 4 definuje fyzikálnu symetriu modelu. i P ({x i }) je odvodené z predpokladu konštantnej hustoty ρ(x) = δ(x x i ) = const. (13) i Pretože x i = z i L z /L, môžeme na základe numerických dát pre z i odhadnút, ako sa mení ρ(x) v okoĺı kritického bodu. Typeset by FoilTEX 31

33 Zovšeobecnenie teórie náhodných matíc II. 8 6 ρ(x) 4 2 3D Anderson model W=6,1,16.5,25,32 Všeobecný tvar hustoty ρ(x): ρ(x) = c(w, L)[x + a(w, L)]. Funkcia a(w, L) mení znamienko v kritickom bode. V limite L ξ x a(w, L) = { +2L/ξ W Wc 2L/ξ W W c Konzistentný popis lokalizovaného režimu vyžaduje aj hypotézu β ξ/l. Typeset by FoilTEX 32

34 Neceločíselné hodnoty parametra β. 2D silne anizotropný model. s = x i+1 x i. Teória náhodných matíc predpovedá varg = c β a P (s) sβ. Numerické dáta potvrdzujú, že β v limite silnej anizotropie <g> β(t) P(g).5 t=1. L=5 <g>=4.46 var(g)= var g.5 1 t t=.5 L=5 <g>=6.81 var(g)=1.71 P(log s) t Poisson t=.5 t=.1 t=.15 t=.2 t=.35 t= <g> 1 5 Wigner 1 5 log s Typeset by FoilTEX 33

35 Distribúcia konduktancie v lokalizovanom režime. Paradigma: P (ln g) je Gaussovo rozdelenie. g = n cosh 2 x n /2. Zovšeobecnená teória náhodných matíc predpovedá x 2 x 1 = const. x 1 prew > W c..25 p(x n ) p(x 1 ) p(x 2 ) p(x 3 ) p(x 4 ) P (log g) Q1D: Lz=124 <log g>= D: W=49 <log g>= x n log g Rozdelenie P (x 1 ) musí byt asymetrické, lebo x 1 fluktuovat pre vel ké hodnoty x 1 > x 1. Pretože ln g x 1, je aj P (ln g) negaussovské. nemá dost miesta Typeset by FoilTEX 34

36 Záver Príspevok do teórie prechodu kov-izolant: - Tvar a vlastnosti kritickej distribúcie konduktancie P c (g). - Jednoparametrické škálovanie g a celej distribúcie v kritickom režime. - Škálovanie vyšších Lyapunovovych exponentov. - Závislost kritických parametrov od dimenzie. - Návrh zovšeobecnenej teórie náhodných matíc pre kritický lokalizovaný režim. Typeset by FoilTEX 35

37 Pod akovanie V. Bezák, J. Mašek, B. Kramer, W. Apel, D. Endesfelder, I. Zarakeshev, S. Evangelou, M. Henneke, T. Ohtsuki, K. Slevin, M. Rühländer, C. M. Soukoulis, I. Travěnec, M. Moško, K. Muttalib, L. Schweitzer,... Typeset by FoilTEX 36

38 Témy pre d alší rozvoj teórie. Teória prechodu kov-izolant nie je uzavretá. Problémom je - nesúhlas kritických exponentov: teória vs numerické dáta, - neschopnost uvážit elektrón-elektrónovú interakciu, - absencia mikroskopickej teórie pre kritický režim. Teória vel mi dobre súhlasí s experimentom v limite slabého disorderu: (slabá lokalizácia, univerzálne fluktuácie konduktancie... ), ale nedosiahla sa zhoda v - hodnotách kritického exponentu, - existencii kovového režimu v 2D. Typeset by FoilTEX 37

39 Problém I: Kritické exponenty: teória vs numerické dáta. Numerické dáta potvrdzujú univerzalitu prechodu kov-izolant Dáta ale nesúhlasia so žiadnou teóriou. metóda d = 3 d = 4 ν Suslov: 1/(d-2) pre d<4, 1/2 pre d>4 1/ε - rozvoj Numericke vysledky numericky mean field 1.5 ɛ-rozvoje.73 1 Hikami d S Typeset by FoilTEX 38

40 Problém II: Elektrón-elektrónová interakcia. Shepelyansky: e-e interakcia spôsobí nárast lokalizačnej dĺžky (problém len dvoch elektrónov) [Pichard, Evangelou, Halfpap]. Kravchenko: experimentálne pozorovaný prechod kov-izolátor v 2D iteragujúcich systémoch. Technický problém: zahrnutie interakcie spôsobí extrémny nárast CPU. V súčasnosti neviem, ako efekty e-e iterakcie numericky študovat. Typeset by FoilTEX 39

41 Dodatok 1: Pokračovanie po odovzdaní DrSc práce. - Štúdium rozptylu EM vĺn v náhodných prostrediach [PM, C.M. Soukoulis, PRB 25]. - Analytické a numerické štúdium zovšeobecnenej DMPK rovnice [PM, K. Muttalib, P. Wölfle, J.R. Klauder, Europhys. Lett. (24), K. Muttalib, PM, P. Wölfle, cond-mat/5111]. P(ln g) P (ln g) v lokalizovanom režime nie je gaussovské. Analytické ýsledky získané pre parameter symetrie β γ ξ/l ln g [PM 1995] súhlasia s numerickými dátami. Typeset by FoilTEX 4

42 Dodatok 2: Konduktancia vs vodivost. Konduktancia g - pre konečné systémy - nulová teplota T = - kvantová koherencia - fluktuácie Vodivost σ: - pre nekonečný systém - z teplotných strát (KG) - žiadne štatistické fluktuácie Vzt ah g vs. σ g = σl d 2 bol odvodený pre slabý disorder a v limite L porovnaním maticových elementov pri výpočte transmisie [Fischer, Lee] alebo z Thoulessovej definície g. Numericky dokázaný v režime QHE (d = 2). Typeset by FoilTEX 41

43 Závislost kritických parametrov od dimenzie. V práci [PM, M. Henneke, 1994] boli navrhnuté vzt ahy 4 critical exponent 1 var g <g> W c (d) = W c (d = 3)(d 2) 3 z 1 (d) = z 1 (d = 3) d 2 Tieto vzt ahy nie sú byt presné, napríklad [Travěnec, PM, 22] z 1 (d = 4) z 1 (d = 3) = ε ε 1 Parametre W c, z 1, g c závisia od topológie mriežky, nie sú preto podstatné pre štúdium univerzality. Typeset by FoilTEX 42

44 Kovový režim. Máme teóriu náhodných matíc (RMT) a DMPK rovnicu p Lz (λ) (L z /l) J = 2 1 N [ λ a (1 + λ a )J p ], N + 1J λ a a λ a N λ a λ b β. (14) a<b λ a = sinh 2 x a /2 - Súvis medzi RMT a DMPK [Beenakker]. - Presné hodnoty fluktuácíı konduktancie. - Vyššie kumulanty konduktacie. - Slabá lokalizácia. - Vplyv fyzikálnych symetríı. Typeset by FoilTEX 43

45 Teplota. Všetky prezentované výsledky boli odvodené pre teplotu T =. Andersonova lokalizácia je dôsledok kvantovej koherencie elektrónu. Pri nenulovej teplote potrebujeme poznat L φ (T ) - stredná vol ná dráha nepružných zrážok. Koherentný pohyb elektrónu je možný len na vzdialenosti L φ. Preto v prvom pribĺıžení možno expermentálne výsledky interpretovat teoretickými výsledkami pre T =, ak L L φ. [Kramer]. Pri vyšších teplotách je treba vyšetrovat nové efekty (hopping). Typeset by FoilTEX 44