Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX
|
|
- Antonie Hašková
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX
2 Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer matica M 3. Niektoré vlastnosti matice M 4. Chebyshevova identita 5. Prechod dvoma bariérami (elektrón, EM vlna) 6. Metastabilný stav Typeset by FoilTEX 1
3 Prechod rovinnej vlny cez pravouhlú bariéru Ae +ikx Fe +ik x Ce +ikx Be ikx Ge ik x De ikx l = 2a E V a a Ψ(x) = 8 >< >: Ae ikx + Be ikx x < a Fe ik x + Ge ik x a < x < a Ce ikx + De ikx a < x. (1) k = E, k = E V Typeset by FoilTEX 2
4 Máme teraz dva páry rovníc kontinuity x = a: e ika A +e +ika B = e ik a F +e +ik a G ke ika A ke +ika B = k e ik a F k e +ik a G (2) x = a: e +ika C +e ika D = e +ik a F +e ik a G ke +ika C ke ika D = k e +ik a F k e ik a G. (3) Riešime najprv ten druhý: F G = k + k 2k e +i(k k )a k k 2k e i(k+k )a k k 2k e +i(k+k )a k + k 2k e i(k k )a 1 C A C D (4) Typeset by FoilTEX 3
5 Potom prvý: A B = k + k 2k e i(k k)a k k k k 2k e i(k +k)a k + k 2k e+i(k +k)a 2k e+i(k k)a 1 C A F G (5) Predpokladajme teraz, že vlna sa šíri zl ava. Vpravo máme preto len vlnu postupujúcu doprava, D. t = C/A r = B/A. (6) Na rozdiel od potenciálového schodu máme teraz t 2 + r 2 = 1 Úloha: prečo? Úloha: Čo urobím, ak E = V? Potom totiž k =. Typeset by FoilTEX 4
6 Prípad E = V Ak E = V, tak k. Riešenie musíme hl adat zo Schrödingerovej rovnice, ktorá má tvar 2 Ψ(x) x 2 = (7) s riešením Ψ(x) = F + Gx. (8) Rovnice spojitosti sú preto komplikovanejšie: a teda e +ika C +e ika D = F +Ga ike +ika C ike ika D = G. G = ik e ika C e ika D (9) (1) Typeset by FoilTEX 5
7 Podobne F = e ika (1 ika)c + e ika (i + ika)d. (11) Rovnako musíme prepísat druhú dvojicu rovníc: e ika A +e +ika B = F Ga ike ika A ike +ika B = G. (12) Aby sme našli A = eika 2 [F + G(1 ika)/(ik)], B = e ika 2 [F G(1 + ika)/(ik)]. (13) Pozn. V poslednej rovnici sme uvažovali, že rozhranie je umiestnené v bode a. V obecnejšom prípade, kedy je rozhranie v bode a p, máme vzt ahy resp. F = e ikap (1 ika p )C + e ikap (i + ika p )D G = ik e ikap C e ikap D (14) A = e ik pa 2 ˆF + G(1 + ikap )/(ik), B = e+ika p 2 ˆF G(1 ikap )/(ik). (15) Typeset by FoilTEX 6
8 Prechod rovinnej vlny bariérou Transfer matica: C = M D A B M 11 = cos 2k a + i 2 M 12 = + i 2! k k + k sin 2k a k k k k k! sin 2k a, (16) (17) and M 22 = cos 2k a i 2 M 21 = i 2! k k + k sin 2k a k k k k k! sin 2k a. (18) Typeset by FoilTEX 7
9 Transmisia: T = t 2 = S 12 2 = 1 M (19) T = " # 2 (2) k k k sin 2 2k a. k Transmission coefficient T β = 1 E > < E < V E > V V < V > E / V Typeset by FoilTEX 8
10 Totálna transmisia T = 1 ak sin 2k a = t 1 r 2 r 1r 2 t 1e i4φ Ak 2k a = nπ, potom je vlnová dĺžka vo vnútri bariéry λ = 2π k = 4a (21) n resp. šírka bariéry l = 2a = n 2 λ. (22) t 1 r 2 t 1e i2φ r 1 t 1 r 2 r 1t 2 ei3φ t 1 t 2 eiφ Vlna sa v bariére mnohonásobne odráža. Ak l = nλ /2, potom sú všetky komponenty sú vo fáze. l Typeset by FoilTEX 9
11 Totálna transmisia T = 1 ak 2k a = 1 Real Ψ, Ψ 6 3 n = n = n = x /a Typeset by FoilTEX 1
12 Tunelovanie cez bariéru 3 E < V k = i p E V = iκ Dosadím: 1 T = " # 2 (23) k 4 k k sin 2 2k a. k Dostanem exponenciálny pokles transmisie: 1 T = " # 2 (24) k 4 κ + κ sinh 2 2κ a. k Ψ, Ψ Real β = 1 E =.95 V x /a Typeset by FoilTEX 11
13 Tunelovanie - prúd cez bariéru V bariére vlnová funkcia klesá exponenciálne. napriek tomu ňou musí tiect prúd, inak by častica nemala šancu tunelovat. Úloha: Nájdite prúd tečúci bariérou v procese tunelovania. j(x) = hi» Ψ(x) Ψ (x) 2m x Dosadíme Ψ(x) = Fe +κx + Ge κx a dostaneme Ψ (x) Ψ(x). (25) x j(x) = i hκ m ˆG F F G. (26) Naozaj prúd je nenulový. Samozrejme j(x) nezávisí od x a je rovný prúdu nal avo a napravo od bariéry. Úloha: dokážte toto tvrdenie. Typeset by FoilTEX 12
14 Viazané stavy Ak je V <, potom existujú viazané stavy s E < Najdeme ich l ahko: Pretože E < a k 2 = E, musí byt k = iκ. Ak κ >, potom vlna De ikx = De +κx nesmie existovat (x > ). Preto D. Rovnako Ae +ikx = Ae κx nesmie existovat (x < ). Preto A. Máme ale vzt ah medzi koeficientami A, B, C a D: C D = M A B C = M 11 A + M 12 B D = M 21 A + M 22 B (27) Druhá rovnica môže byt splnená, len ak B = (triviálne riešenie), alebo ak M 22 (k = iκ) =. (28) Typeset by FoilTEX 13
15 Dostali sme všeobecne platnú rovnicu pre výpočet viazaných stavov: M 22 (k = iκ) =. (29) Energia viazaného stavu: E b = κ 2. Riešeníe: v prípade potenciálovej bariéry M 22 (k) = cos2k a i 2! k k + k sin 2k a (3) k M 22 (k = iκ) = cos2k a + 1 2! κ k k sin2k a = (31) κ cot 2k a = 1 2 " # κ k k, k = κ q (E V ). (32) Teraz využijeme cot 2x = 1 2 (cot x tan x), Typeset by FoilTEX 14
16 Dostaneme dve vetvy riešení: alebo tan k a = κ k tan k a = k κ. (33) β = 1 β = 1 β = 1-8 β = kp (k a) 2 + (κa) 2 = V a 2 = β 2 (34) Typeset by FoilTEX 15
17 or tan k a = 1 k a q β 2 (k a) 2 tan k k (35) a a = p β 2 (k a) 2. Energia viazaného stavu: E = V» 1 + 1β 2(k a) 2, (36) Úloha: Nájdi energie viazaných stavov v limite V. Vtedy tan k a = alebo tan k a =, preto k a = π 2 n a čo je výraz známy z učebnice QM. E = h2 (k a) 2 2m a 2 = h2 π 2 n 2 8mn 2 Typeset by FoilTEX 16
18 Vlnová funckia viazaných stavov n = 7 n = 6 n = 5 Ψ n (x) n = 4 n = 3 n = 2 n = x /a Typeset by FoilTEX 17
19 Viazané stavy elektromagnetickej vlny n=2 n=7 x z Ak má vrstva vyšší index lomu ako okolité prostredie, potom existuju viazané stavy - analógia s viazným stavom v kvantovej potenciálovej jame. Mimo vrstvy EM vlna exponenciálne klesá so vzdialenost ou. Vo vnútri vrstvy sa EM vlna širi rovnobežne s rozhraním (vlnovody). Typeset by FoilTEX 18
20 Prechod vlnového baĺıka bariérou Celková vlnová funkcia bude Z Ψ(x) = C d kp(k)φ k (x)e iet (37) Kde teraz φ k (x) = 8 >< >: Ae ikx + Be ikx x < a Fe ik x + Ge ik x a < x < a Ce ikx + De ikx a < x. (38) Samozrejme, A = A(k), B = B(k), atd. k = E, k = E V Typeset by FoilTEX 19
21 Prechod barierou V=3 a=1, k=2, var(k)=.1 Τ =.685 Ψ x Vlna sa mnohonásobne odráža od oboch rozhraní - preto odrazená vlna pozostáva z viacerých komponent. Typeset by FoilTEX 2
22 Prechod vlnového baĺıka bariérou Prechod barierou V=3 a=1, k=2, var(k)=.1 Τ =.685 Ψ x Detail Ψ(x) 2 v čase t = 12 (najspodnejšia krivka na predchádzajúcom obrázku). Typeset by FoilTEX 21
23 Rozptylová matica S Každý potenciál, ktorý je ohraničený v priestore na interval maticou. dĺžky l môžeme charakterizovat rozptylovou S = Ae +ikx Be ikx r t Fe +ik x Ge ik x E V x! t r B A = S F G S vyjadruje odchádzajúce vlny pomocou vchádzajúcich Vchádzajúca vlna alebo prejde, alebo sa odrazí. Preto B = r A + tg F = t (39) A + rg t, r, t, r amplitúdy prechodu (transmisie) a odrazu reflexie. (4) Typeset by FoilTEX 22
24 Transfer matica M... definuje lineárny vzt ah medzi vlnovými funkciami nal avo a napravo od prekážky. B = r A + tg F = t A + rg (41) Z týchto rovníc vyjadríme G = t 1 B t 1 r A F = t A + rt 1 B rt 1 r A Takže máme F G = M A B = t rt 1 r t 1 r rt 1 t 1! A B (42) je transfer matica. Výhoda transfer matice: súčin dvoch transfer matíc je opät transfer matica: M 12 = M 2 M 1 (43) Túto a iné vlastnosti transfer matice využijeme neskôr pri analýze zložitejšićh rozptylových procesov. Typeset by FoilTEX 23
25 Príklad I: Transfer matica vol ného priestoru dĺžky l M = e ik eik l 1 A, (44) Typeset by FoilTEX 24
26 Príklad II: Rovinná vlna na rozhraní; elektrón Ae +ikx Fe +ik x Be ikx Ge ik x V (x) = j x < = V = const x > Riešenie Schrödingerovej rovnice: (45) E V h2 2m 2 Ψ + [V (x) E]Ψ =, (46) x2 x je vlnová funkcia Ψ(x) = ( ΨL (x) = Ae ikx + Be ikx k = E x < Ψ R (x) = Fe ik x + Ge ikx k = E V x > (47) Typeset by FoilTEX 25
27 Zo spojitosti Ψ(x) a Ψ(x)/ x na rozhraní x = dostaneme lineárne rovnice A + B = F + G k(a B) = k (F G) (48) z ktorých vyjadríme amplitúdy F G vĺn v jednom prostredí pomocou amplitúd v tom druhom: = 1 k + k k! k A F A 2k k k k = M + k B G B (49) alebo A B = 1 2k k + k k k k k k + k! F G A B = M F G (5) Inou možnost ou je vyjadrit vlny odchádzajúce od rozhrania pomocou B = 1 k k 2k! A B F k + k 2k k k G F vĺn vchádzajúcich: = S A G (51) Úloha: Ukážte, že M M = 1 Úloha: Ukážte, že det S = 1 Typeset by FoilTEX 26
28 Príklad III: Transfer matica pre potenciálovú bariéru Ae +ikx Fe +ik x Ce +ikx Be ikx Ge ik x De ikx l = 2a E V a a M bariéra = M schod M M 1 schod. (52) F G = k + k 2k k k 2k k k 2k k + k 2k 1 C A A B F G = M schod A B (53) Typeset by FoilTEX 27
29 Ae +ikx Fe +ik x Ce +ikx Be ikx Ge ik x De ikx l = 2a E V a a M bariéra = M schod M M 1 schod. (54) k + k k 1 k C = B 2k 2k C F C A = [M G D schod ] 1 F (55) G Takže je naozaj M bariera = M schod k k eik l k + k 2k e ik l 1 A [M schod ] 1 (56) Typeset by FoilTEX 28
30 Chebyshevova identita Matematická identita: Majme maticu M a b M = c d. (57) det M=1, vlastné hodnoty sú λ 1 = e iql a λ 2 = e iql. (58) Potom N-tá mocnina M N M N a b = = c d Kde U N je dané vzt ahom aun 1 U N 2 bu N 1 cu N 1 du N 1 U N 2. (59) U N = sin(n + 1)ql, Tr M = λ 1 + λ 2 = 2 cos ql. U 1 =, U = 1. (6) sin ql Typeset by FoilTEX 29
31 Význam Chebyshevovej identity Analyzujme prechod cez N rovnakých prekážok. Ak poznáme M pre jednu prekážku, tak výsledná transfer matica je M N. Transmisia cez jednu prekážku je T = t 2 = t 2 t 2 + r 2 = r 2 t 2 (61) ( t 2 + r 2 = 1). Ďalej máme M 12 = r t, (62) so that the transmission through a single barrier is T 1 = M (63) Typeset by FoilTEX 3
32 1 T N = 1 + M 12 2 U N 1 2. (64) T N = 1 + r 2 t 2 1 sin 2, Nql sin 2 ql (65) Takže zo znalosti vlastností jedinej prekážky okamžite vieme nájst transmisiu cez l ubovol ný pčet rovnakých prekážok. Typeset by FoilTEX 31
Klasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 2008 Typeset by FoilTEX
Klasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod cez bariéru/vrstvu: rezonančná transmisia 2. Tunelovanie 3. Rezonančné tunelovanie 4.
PodrobnejšieLokalizácia Peter Markoš Fyzikálny ústav SAV Katedra fyziky FEI STU Abstract Pri nízkych teplotách sa elektróny správajú ako kvantové častice. Preto s
Peter Markoš Fyzikálny ústav SAV Katedra fyziky FEI STU Abstract Pri nízkych teplotách sa elektróny správajú ako kvantové častice. Preto sa analýza elektrónového transportu nezaobíde bez znalostí kvantovej
PodrobnejšieModel tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 2008 Typeset by FoilTEX
Model tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. TBH: definícia: elektrónový, elektromagnetický 2. Disperzné vzt ahy 3. Spektrum, okrajové podmienky 4. TBH vs.
PodrobnejšieL avoruké materiály Peter Markoš, FÚ SAV 25 február 2004 Abstract Porozprávam o niektorých EM vlastnostiach l avorukých materiálov: elektrodynamika s
L avoruké materiály Peter Markoš, FÚ SAV 25 február 2004 Abstract Porozprávam o niektorých EM vlastnostiach l avorukých materiálov: elektrodynamika s ε < 0 a µ < 0, l avoruké štruktúry, numerické simulácie,
PodrobnejšiePocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD
Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšieFotonické kryštály a metamateriály Peter Markoš
Fotonické kryštály a metamateriály Peter Markoš Obsah Úvod 4 1 Základné pojmy 7 1.1 Základné pojmy.................................. 7 1.2 Elektrická permitivita............................... 13 1.3 Magnetická
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
Podrobnejšietrafo
Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieNumerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
PodrobnejšieDiracova rovnica
3. Štruktúra hadrónov 6. 3. 005 Rozptyl e e dáva: Pre kvadrát modulu amplitúdy fi platí: 8 e θ θ cos sin fi EE (1) Pre jeho účinný prierez dostávame: ( αe ) dσ θ θ cos sin δ ν + de dω kde αe /π, νe E.
Podrobnejšie1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ
Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integrály vypoµcítajte pomocou základných pravidiel derivovania.
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieOceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Paschenov zakon [Read-Only] [Compatibility Mode]
Výboje v plynoch, V-A charakteristika Oblasť I. : U => I pri väčšej intenzite poľa (E) je pohyb nosičov náboja k elektródam rýchlejší a tak medzi ich vznikom a neutralizáciou na elektródach uplynie kratší
PodrobnejšieOhyb svetla
Difrakcia (OHYB SVETLA NA PREKÁŽKACH ) Odpoveď: Nepíš a rozmýšľaj Svetlo aj zvuk sú vlnenie, ale napriek tomu sú medzi nimi orovské rozdiely. Počujeme aj to, čo sa deje za rohom Čo sa deje za rohom nevidíme.
PodrobnejšieJadrova fyzika - Bc.
Základné vlastnosti jadier 1-FYZ-601 Jadrová fyzika ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI ATÓMOVÉHO JADRA 3. 10. 2018 Zhrnutie a základné poznatky 2/10 Praktické jednotky v jadrovej fyzike Je praktické využiť pre jednotky
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieMonday 25 th February, 2013, 11:54 Rozmerová analýza M. Gintner 1.1 Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznate
Monday 25 th February, 203, :54 Rozmerová analýza M. Gintner. Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznatel ný po častiach. Napriek tomu, že si to bežne neuvedomujeme,
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieAndersonov prechod kov-izolant v neusporiadaných systémoch Peter Markoš Fyzikálny ústav SAV 11. január 2004 Typeset by FoilTEX
Andersonov prechod kov-izolant v neusporiadaných systémoch Peter Markoš Fyzikálny ústav SAV 11. január 24 Typeset by FoilTEX 1. Úvod: teória Andersonovej lokalizácie. 2. Ciele práce. 3. Dosiahnuté výsledky.
PodrobnejšieMonday 25 th February, 2013, 11:50 Kvantové vlastnosti častíc M. Gintner 1 Kvantové (časticové) vlastnosti svetla 1.1 Hybnost fotónu Experimenty a zis
Monday 25 th February, 2013, 11:50 Kvantové vlastnosti častíc M. Gintner 1 Kvantové (časticové) vlastnosti svetla 1.1 Hybnost fotónu Experimenty a zistenia, ktoré sme opísali vyššie, sú dostatočnou motiváciou,
PodrobnejšieARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30
ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
PodrobnejšieMicrosoft Word - mpicv11.doc
1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická
Podrobnejšie16 Franck-Hertz.doc
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III Úloha č.: 16 Název: Meranie rezonančného a ionizačného potenciálu ortuti. Franck-Herzov pokus Vypracoval: Viktor Babjak...stud.
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieRozvojom spoločnosti najmä v druhej polovici minulého storočia dochádza čím ďalej tým viac k zásahu človeka do životného prostredia
3 Prenos hmoty a energie 3.1 Stacionárny prípad 1. Prúd vody v rieke s prietokom Qs 10m 3 /s má koncentráciu chloridov cs 20mg/l. Prítok rieky s prietokom Qw 5m 3 /s má koncentráciu chloridov cw 40mg/l.
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
PodrobnejšieVybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos
Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval koval@fmph.uniba.sk 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozostávajúci z N nezávislých spinov. Každý zo spinov sa
PodrobnejšiePokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály
Pokročilé programovanie II Nelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-253 Letný semester 27/28 Obsah Logistická mapa - May Period doubling, podivný atraktor,
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieVypracované úlohy z Panorámy z fyziky II Autor: Martin Brakl UČO: Dátum:
Vypracované úlohy z Panorámy z fyziky II Autor: Martin Brakl UČO: 410 316 Dátum: 15.6.2013 Príklad 1 a) Aká je vzdialenosť medzi najbližšími susedmi v diamantovej mriežke uhlíka (C), kremíka (Si), germánia
Podrobnejšie1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle
1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr at b + k. idea postupu je postupne rozpisovat cleny T b... teda T b = at + 1... dokym v tom neuvidime nejaky tvar
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieTechnická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013
Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieMetodický list k pracovnému listu Atóm I.
Názov projektu: Čítaj viac a dvere k poznaniu sa samy otvoria Kód projektu: 26110130437 ZŠ s MŠ Centrum I 32, Dubnica nad Váhom Metodický list k pracovnému listu Zaujímavosti prírody Austrálie. RNDr. Mária
PodrobnejšieNÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
Podrobnejšie36. Fázová analýza pomocou Mössbauerovej spektroskopie
36. Fázová analýza pomocou Mössbauerovej spektroskopie 1. Všeobecná časť Na fázovú analýzu sa častejšie používa röntgenová analýza s využitím Debyeových Schererových metód, a spektrálnej analýzy čiar L
Podrobnejšie1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn
1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
Podrobnejšiegis7 prifuk
Kartografické aspekty GIS základné pojmy Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid Geoid Povrch zeme Referenčný elipsoid Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid
PodrobnejšieRelačné a logické bázy dát
Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................
Podrobnejšie1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013
1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5
PodrobnejšieZákladné stochastické procesy vo financiách
Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty
PodrobnejšieAnalýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis
PodrobnejšieSK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,
SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.
PodrobnejšieFYZIKA I Rámcove otázky 1998
Otázky k teoretickej skúške z predmetu Fyzika, ZS 2014/2015 Rámcové otázky: 1. Odvodiť vzťahy pre dráhu, rýchlosť a zrýchlenie pohybu hmotného bodu po priamke,(rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb).
Podrobnejšie29.Kvantová fyzika sa zakladá na Planckových a Einsteinových teóriach a hovorí, že všetky procesy sa dejú po maličkých krokoch => všetky fyzikálne vel
29.Kvantová fyzika sa zakladá na Planckových a Einsteinových teóriach a hovorí, že všetky procesy sa dejú po maličkých krokoch => všetky fyzikálne veličiny narastajú o malé hodnoty, ktoré nazývamé kvantá
PodrobnejšieEkon Supply of labour by John Pencavel
Labour supply of men by John Pencavel Prednáša: V. Kvetan (EÚ SAV) Obsah kapitoly Úvod Empirické regulácie Trendy v pracovnom správaní Cross sekčné odchýlky v pracovnom správaní Koncepčný rámec Kanonický
PodrobnejšieO babirusách
VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne
PodrobnejšiePowerPoint Presentation
Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,
PodrobnejšieMOPM -prednáška 9.
Prednáška 09/12 doc. Ing. Rastislav RÓKA, PhD. Ústav telekomunikácií FEI STU Bratislava Klasifikácia telekomunikačných vedení prenosové cesty drôtové a rádiové 1. Efektívne využívanie existujúcich vedení
PodrobnejšieInteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Október, 2018 Katedra kybernetiky
Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Marian.Mach@tuke.sk http://people.tuke.sk/marian.mach Október, 2018 Katedra kybernetiky a umelej inteligencie FEI, TU v Košiciach 1 Best-first
PodrobnejšieAplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a
Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.
PodrobnejšieŠtruktúra Modelu Výsledky odhadu Záver Trh práce v krajinách strednej Európy: Small Search and Matching Model Martin Železník Národná Banka Slovenska
Trh práce v krajinách strednej Európy: Small Search and Matching Model Národná Banka Slovenska Humusoft, 06.06.2013 Obsah 1 Štruktúra Modelu Domácnosti Firmy Trh práce Nastavenie miezd Uzavretie modelu
Podrobnejšieprijimacky 2014 MAT 4rocne ver A.doc
Priezvisko a meno: " Sem nepíš! Kód: M-A-4r Kód: M-A-4r 1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava Test z matematiky (verzia A 12. máj 2014) Pokyny pre žiakov 1. 2. Tento test obsahuje
PodrobnejšiePodpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. Katedra matematických metód, Fa
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk Katedra matematických metód, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita v
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
PodrobnejšieSnímka 1
Posúdenie účinnosti protipovodňových opatrení zelenej a šedej infraštruktúry podľa metodiky NWRM Marek Čomaj HISTÓRIA PROTIPOVODŇOVÝCH OPATRENÍ Klasické regulačné úpravy koryta v obciach - Prirodzené koryto
PodrobnejšieMicrosoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia
Matice Užívateľská dokumentácia k programu Autor: Miroslav Jakubík 2009 Obsah 1 Úvod... 2 1.1 Stručný popis programu... 2 1.2 Spustenie programu... 2 1.3 Otvorenie dokumentu... 3 1.4 Ovládanie programu...
PodrobnejšieÚloha č.2 Meranie odporu rezistorov Vladimír Domček Astrofyzika semester Skupina č Laboratórne podmienky: Teplota: 22,6 C Tlak:
Úloha č.2 Meranie odporu rezistorov Vladimír Domček Astrofyzika 394013 2. semester Skupina č.8 15.3.2012 Laboratórne podmienky: Teplota: 22,6 C Tlak: 100 kpa Vlhkosť: 48% 1 Zadanie rčenie odporu 2 rezistorov
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zahradnikova_DP.doc
DIPLOMOVÁ PRÁCA Priezvisko a meno: Zahradníková Dáša Rok: 2006 Názov diplomovej práce: Nepriaznivé vplyvy v elektrizačnej sústave harmonické zložky prúdu a napätia Fakulta: elektrotechnická Katedra: výkonových
Podrobnejšie