Študent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp
|
|
- Eliška Formanová
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá pre päť študentov označených A,, C, D a E obsahuje známky v bodoch (v rozsahu 0 aţ 00) z predmetov Matematika, Logika a Programovanie. predmet Matematika Logika Programovanie A C D E Riadky tejto tabuľky sú priradené jednotlivým študentom, zatiaľ čo stĺpce sú priradené predmetom. Na priesečníku daného riadku (študent predmet) je uvedený počet bodov, ktoré získal daný študent pre daný predmet. Ak z tejto tabuľky odstránime redundantný popis riadkov a stĺpcov dostávame matematickú štruktúru, ktorá sa nazýva matica A (4.) Definícia 4.. Nech I,,...,m je mnoţina riadkových indexov a J,,...,n je mnoţina stĺpcových indexov, pričom m a n sú kladné celé čísla, m,n. Maticou nazývame mnoţinu obsahujúcu m n čísel, ktoré sú špecifikované riadkovým (i) a stĺpcovým (j) indexom A A ; ii, j J (4.) ij Typ matice je usporiadaná dvojica kladných prirodzených čísel, ktoré sú rovné mohutnostiam mnoţín indexov I a J t A m,n (4.) Štruktúra matice A môţe byť jednoducho znázornená pomocou tabuľky, ktorá obsahuje m riadkov a n stĺpcov, pričom na priesečníku i-tého riadku a j-tého stĺpca je umiestnený prvok A ij, pozri obr. 4.. a formulu (4.).
2 j-tý stĺpec A = A ij i-tý riadok Obrázok 4.. Znázornenie matice A pomocou tabuľky, ktorá obsahuje m riadkov a n stĺpcov. Niekedy sa pouţíva aj skratkové označenie pre maticu A A ij implicitne predpokladá počet riadkov a stĺpcov tejto matice., pričom sa Príklad 4.. Určite typ matice: (a) (b) 4 0 A, t, 4 0 A. A, t, A. (c) 0, t 4,. (d) X, t, X. Základná terminológia () Ak m=n, matica sa nazýva štvorcová, v opačnom prípade sa matica nazýva obdĺžniková. () Prvky A ii matice A sa nazývajú diagonálne, všetky diagonálne prvky tvoria (hlavnú) diagonálu matice, pozri obr. 4.. () Ak všetky prvky matice sú nuly, potom sa matica nazýva nulová matica. (4) Štvorcová matica, ktorá mimo diagonály má nulové prvky a na diagonále má aspoň jeden nenulový prvok sa nazýva diagonálna matica. (5) Špeciálny prípad diagonálnej matice je jednotková matica (budeme ju značiť E), kde všetky diagonálne prvky sú jednotky
3 A ij pre i j 0 pre i j A= Obrázok 4.. Znázornenie diagonálnych prvkov v matici A, ktorá je typu t(a) = (m,n). Diagonála začína v prvku A a končí v prvku A mm (ak m n), alebo v prvku A nn (ak m > n). V prípade, ţe matica je štvorcová (m = n), potom diagonála začína v ľavom hornom rohu a končí v pravom dolnom rohu matice. (6) Nech A je matica typu t(a) = (m,n), potom matica transponovaná k tejto matici, označená A T, sa vytvorí z matice A tak, ţe vzájomne zameníme stĺpce za riadky a naopak, potom t(a T ) = (n,m) (pozri obr. 4.). Názorne hovoríme, ţe matica A T vznikla z matice A jej preklopením (otočením o 80) okolo diagonály. Transponovaná matica je ilustrovaná príkladom T 0 0 Obrázok 4.. Schematické znázornenie vzniku transponovanej matice A T diagonály. pootočením pôvodnej matice A okolo (7) Štvorcová matica sa nazýva symetrická matica, ak platí A T =A. Jednoduchý príklad symetrickej matice je T (8) Matica A typu (m,n) sa nazýva trojuholníková matica, ak pod diagonálou má nulové prvky a na diagonále má nenulové prvky (pozri obr. 4.4) 0 pre i j, pod diagonálou sú nulové prvky aij 0 pre i j, na diagonále sú nenulové prvky Ilustračný príklad trojuholníkovej matice je V anglickej literatúre sa beţne ako trojuholníková matica berie iba matica typu (n,n).
4 A= Obrázok 4.4. Schematické znázornenie trojuholníkovej matice, ktorej prvky na diagonále sú nenulové a pod diagonálou má len nulové prvky. (9) Ak matica A typu t(a) = (m,n) má počet riadkov (m) alebo počet stĺpcov (n) rovný, potom takáto špeciálna matica sa nazýva riadkový vektor (m = ) resp. stĺpcový vektor (n = ). Príklady riadkovej a stĺpcovej matice sú 0 0, A Aplikáciou operácie transpozície, stĺpcový vektor sa mení na riadkový vektor a naopak, pre predchádzajúce dve matice dostaneme 0 T, A T 0 Pomocou riadkových alebo stĺpcových vektorov môţeme vyjadriť kaţdú maticu ako kompozíciu týchto elementárnych matíc. Nech A je matica (4.) typu t(a) = (5,). Definujme päť riadkových vektorov r r r r r a tri stĺpcové vektory s 9, s 8, s Pomocou týchto vektorov vyjadríme maticu A (4.) dvoma alternatívnymi spôsobmi takto r r A r, A s s s. r4 r5. Operácie nad maticami
5 j-tý st ĺ pec Nad maticami je moţné definovať rôzne binárne operácie, pomocou ktorých sa definuje tzv. algebra matíc, ktorá podstatne uľahčuje a zefektívňuje ich aplikácie v matematike. Definícia 4.. () Nech matice A = (A ij ) a = ( ij ) sú rovnakého typu, t(a) = t() = (m,n). Hovoríme, ţe tieto matice sa rovnajú, A =, vtedy a len vtedy, ak i I j J A (4.4) ij ij () Nech matice A = (A ij ) a = ( ij ) sú rovnakého typu, t(a) = t() = (m,n). Hovoríme, ţe matica je -násobkom matice A, = A, vtedy a len vtedy, ak i I j J A (4.5) ij ij () Nech matice A = (A ij ), = ( ij ) a C = (C ij ) sú rovnakého typu, t(a) = t() = t(c) = (m,n). Hovoríme, ţe matica C je súčtom matíc A a, C = A +, vtedy a len vtedy, ak i I j J C A (4.6) ij ij ij (4) Matica A = (A ij ) je typu t(a) = (m,k), matica = ( ij ) je typu t() = (k,n) a matica C = (C ij ) je typu t(c) = (m,n). Hovoríme, ţe matica C je súčinom matíc A a, C = A, vtedy a len vtedy, ak k i I j J Cij Aip pj Ai j Ai j... Aik kj (4.7) p m C A i-tý riadok = m n k k c ij n Obrázok 4.5. Znázornenie súčinu matíc C =A pomocou súčinu riadkového vektora matice A a stĺpcového vektora matice. Najzloţitejšia binárna operácia je súčin dvoch matíc. Definícia (4.7) súčinu dvoch matíc A a môţe byť podstatne zjednodušená pouţitím riadkových vektorov matice A a stĺpcových vektorov matice (pozri obr. 4.5). Nech r i je i-tý riadkový vektor matice A a s j je j-tý stĺpcový vektor matice, potom prvok C ij je zadaný takto j C r s A A... A A (4.8) k j ij i j i i ik ip pj... p kj Príklad 4.. Násobenie matíc
6 a a b b 0 A, a a b b Definujme riadkové vektory matice A a stĺpcové vektory matice r, r s 0, s Potom prvky matice C = A sú určené takto C r s 0 C r s 0 4 C r s 4 0 C r s 0 6 Potom súčin A je určený 0 4 A 4 6 Podobným spôsobom zostrojíme aj maticu A 0 A 8 Vo všeobecnosti platí, ţe súčin matíc nie je komutatívna operácia (pozri príklad 4.) AA (4.9a) Ďalšia dôleţitá vlastnosť je, ţe jednotková matica E pôsobí ako jednotka pre maticový súčin EA AE A (4.9b) Základné vlastnosti súčtu a súčinu matíc moţno zosumarizovať do tvaru tzv. maticovej algebry : () Súčet matíc je komutatívny A+ =+A (4.0a) () Súčet a súčin je asociatívny A+(+C)=(A+)+C, A(C)=(A)C (4.0b) () Súčin je distributívny vzhľadom k súčtu matíc (A+)C=AC+C (4.a) A(+C)=A+AC (4.b) (+)A=A+A (4.c) (A+)=A+ (4.d) (4) Asociatívnosť operácie násobenia matice číslom vzhľadom k operácii súčin matíc A()=(A) (4.a)
7 (A)=()A (4.b) Algoritmus pre násobenie matíc Nech matica A = (A ij ) je typu t(a) = (m,k), matica = ( ij ) je typu t() = (k,n) a matica C = (C ij ) je typu t(c) = (m,n). Podľa definície 4. prvky matice C sú určené vzťahom (4.7), ktorý môţe slúţiť aj ako algoritmický podklad pre implementáciu programu pre násobenie dvoch matíc (pozri algoritmus 4. napísaný v pseudokóde Pascalu). Algoritmus 4.. procedure matrix_multiplication(a,,c : matrices); for i:= to m do for j:= to n do begin sum:=0; for p:= to k do sum:=sum+a[i,p]*[p,j]; C[i,j]:=sum; end; Vypočítať jeden prvok C ij podľa (4.7) vyţaduje k súčinov a (k ) súčtov (vyššie uvedený algoritmus má pre p= zbytočný súčet, čo je vyváţené jednoduchosťou pseudokódu). Pretoţe matica C má mn prvkov, potom algoritmus vyţaduje kmn súčinov a (k )mn súčtov. Môţeme teda konštatovať, ţe zloţitosť algoritmu rastie úmerne n, pričom sa predpokladá, ţe dimenzie matíc sú si rovné, k = m = n. Je prekvapujúce, ţe uţ tak jednoduchý algoritmus ako tento môţe byť akcelerovaný. V 60-tych rokoch minulého storočia bol 7 navrhnutý algoritmus, ktorého zloţitosť rastie n, pretoţe 7, tento nový algoritmus je o trochu efektívnejší ako náš algoritmus 4.. Tento vylepšený algoritmus sa stáva efektívnejším ako klasický algoritmus 4. aţ pre dimenzie matíc rádovo tisíc. A A A (,) (,4) (4,5) 4 ( AA) (,4) A A A (,) (,4) (4,5) 60 ( AA) (,5) 40 ( AA ) A (,5) S=4+40=64 0 A ( A A ) (,5) S=60+0=90 A Obrázok 4.6. Výpočet súčinu troch matíc pre dve rôzne zátvorkovania. V prvom prípade A je potrebných 64 súčinov, zatiaľ čo v druhom prípade je potrebných 90 súčinov. To znamená, ţe pre výpočet súčinu troch daných matíc musíme preferovať zátvorkovanie A A A, ktoré vyţaduje menej elementárnych súčinov neţ ako druhé zátvorkovanie A A A. Problém násobenia reťazca matíc Pretoţe násobenie matíc je asociatívna operácia, nezáleţí na zátvorkovaní jednotlivých medzivýsledkov. Tak napríklad pre výpočet súčinu troch matíc A A A existujú dva rôzne spôsoby zátvorkovania, avšak v dôsledku asociativity súčinu matíc musí platiť
8 A A A A A A. Preto by sme sa mohli domnievať, ţe z pohľadu algoritmizácie tohto problému výpočtu súčinu reťazca matíc (ktorých dimenzie sú také, ţe ich súčin existuje) je irelevantný spôsob zátvorkovania. Ţiaľ nie je to pravda, aj keď výsledná matica je invariantná vzhľadom k zátvorkovaniu, numerická náročnosť (napríklad celkový počet elementárnych súčinov maticových prvkov) výpočtu je uţ závislá od spôsobu zátvorkovania. Zvoľme tieto jednoduché typy matíc: t A,, t A 4, a t A 45,. Výpočet súčinov týchto troch matíc je znázornený na obr Z tohto jednoduchého ilustračného príkladu vyplýva, ţe pre výpočet súčinu reťazca matíc existuje optimálne zátvorkovanie medzivýsledkov, ktoré poskytuje minimálny počet elementárnych súčinov pre výpočet celého reťazca matíc. Uvaţujme n matíc A, A,, A n, ktoré sú typu t(a i ) = (p i,q i ), pričom pre susedné matice A i a A i+ musia byť splnené podmienky, aby existoval ich súčin q i = p i+, kde typ súčinu týchto matíc je t(a i A i+ ) = (p i,q i+ ). Pre výpočet maticového súčinu A i A i+ je potrebných m AA p q q (4.) i i i i i elementárnych súčinov. Týmto sme dospeli k formulácii nasledujúceho problému: Ako určiť zátvorkovanie súčinu n matíc AA... A n tak, aby počet elementárnych súčinov pri výpočte súčinu tohto reťazca matíc bol minimálny? V prvom kroku upriamime našu pozornosť na enumeračný problém určenia počtu rôznych zátvorkovaní reťazca matíc AA... A n.označme počet moţných zátvorkovaní reťazca matíc AA... A n symbolom P(n). Vytváranie zátvorkovania môţeme uskutočniť jednoduchým rekurentným spôsobom. Nech U k je mnoţina, ktorá obsahuje reťazce k matíc pre rôzne zátvorkovania, kde k =,,..., n. Potom mnoţinu U n vytvoríme tak, ţe pre všetky moţné dvojice podmnoţín U n-k a U k vytvoríme moţné zátvorkovanie Un UU n UU n... UnU Un U (4.4) Potom počet rôznych zátvorkovaní reťazca n matíc je pre n Pn (4.5a) n Pk Pn k pre n i olo ukázané, ţe počet zátvorkovaní je určený pomocou binomického koeficientu Prvé hodnoty P(n) sú P n n n n n n n P,P,P,P 4 5,P 5 4,... Na obrázku 4.7 je znázornený rekurentný postup konštrukcie mnoţín U, U, U a U 4. (4.5b)
9 U ={ } U = U U = { } U U U U U = = {, } = = {,,,, } U 4 U U U U U U Obrázok 4.7. Rekurentný postup konštrukcie prvých štyroch mnoţín U, U, U a U 4. Konštrukciu optimálneho zátvorkovania budeme realizovať pomocou jednoduchej heuristiky, ktorá sa nazýva greedy algoritmus. Pre hľadanie optimálneho zátvorkovania spočíva jeho podstata v tom, ţe postupne v danej etape vyberieme také zátvorky, ktoré poskytujú minimálny výsledok, tento postup opakujeme tak dlho, aţ zostrojíme kompletné zátvorkovanie celého reťazca AA... A n. Tento postup budeme ilustrovať pomocou reťazca súčinu štyroch matíc A A A A 4, ktorých typy nech sú špecifikované takto A 4 5 A 5 A 5 A 5 t,,t,,t,,t, 4 Pre tieto matice vytvoríme postupnosť dimenzií matíc (predpokladáme, ţe podmienky q i = p i+ pre existenciu súčinu matíc A i A i+ sú splnené) (4,5,,5,), ktorá sa v priebehu algoritmu vyuţíva k výpočtu aktuálneho počtu elementárnych súčinov, pozri obrázok 4.4. V texte, ktorý doprevádza tento obrázok, sú špecifikované aj základné myšlienky greedy algoritmu. Z uvedeného ilustračného príkladu vyplýva, ţe aj napriek jednoduchosti tohto algoritmu je v tomto prípade výsledok totoţný s optimálnym výsledkom. (4,5,,5,) (4,5,,5,) (4,,5,) (4,5,5,) (4,5,,) (4,5,) (4,,) (4,5,) (4,5,) (4,5,) (4,,) (4,) (4,) (4,) (4,) (4,) (4,) N=60 N=4 N=65 N=5 N=4 A 40 Obrázok 4.4. (A) Ľavý obrázok vyjadruje metódu spätného prehľadávania pre konštrukciu úplného stromu riešení. Vo vrchole tohto stromu je reťazec matíc A A A A 4 bez zátvorkovania. Na ďalšej úrovni si vţdy zvolíme dvojicu susedných matíc A i A i+, pre ktoré vykonáme súčin (reprezentovaný spojkou ), výsledný počet elementárnych súčinov je uvedený pod kaţdým reťazcom matíc. Tento proces opakujeme tak dlho, aţ sú vykonané súčiny dvojíc matíc (v tomto prípade tri). Kaţdá vetva stromu riešení nám špecifikuje jedno moţné zátvorkovanie pôvodného reťazca matíc, jej výsledné ohodnotenie N je tvorené sumou počtu elementárnych súčinov na kaţdej úrovni stromu. Zo stromu vyplýva, ţe optimálne zátvorkovanie je 4 A A A A, ktoré obsahuje minimálny počet elementárnych súčinov N=00. () Pravý obrázok vznikol ako výsek ľavého úplného stromu riešení a reprezentuje podstatu greedy algoritmu, ktorá podstatne redukuje veľkosť stromu riešení. Na kaţdej úrovni vyberieme lokálne minimálnu moţnosť súčinu susedných matíc. Týmto spôsobom strom riešení
10 má len jednu úplnú vetvu, ktorá reprezentuje výsledné riešenie greedy algoritmu, v našom prípade celkové ohodnotenie tejto vetvy je N=00, čo je výsledok totoţný s presným riešením z celkového stromu riešení. Na záver tejto podkapitoly poznamenajme, ţe heuristika greedy je veľmi efektívna, v mnohých prípadoch nám umoţňuje jednoducho a rýchlo získať riešenie, ktoré nie je vzdialené od optimálneho riešenia. Moţno konštatovať, ţe patrí medzi najefektívnejšie heuristiky, ako pribliţne riešiť zloţité kombinatorické problémy. inárne matice Matica A, ktorá obsahuje len binárne prvky 0- sa nazýva binárna matica. Algebraické operácie nad takýmito maticami sú zaloţené na logických spojkách konjunkcie a disjunkcie ak a b ab (4.6a) 0 ináč ak aalebo b ab (4.6b) 0 ináč Nad binárnymi maticami definujeme tri binárne operácie: () Nech A = (A ij ) a = ( ij ) sú binárne matice rovnakého typu t(a) = t() = (m,n), potom matica C = (C ij ) sa nazýva konjunkcia matíc A a, C = A, jej maticové prvky sú i I j J Cij Aij ij (4.7) () Nech A = (A ij ) a = ( ij ) sú binárne matice rovnakého typu t(a) = t() = (m,n), potom matica C = (C ij ) sa nazýva disjunkcia matíc A a, C = A, jej maticové prvky sú i I j J C A (4.8) ij ij ij () Nech binárna matica A = (A ij ) je typu t(a) = (m,k), binárna matica = ( ij ) je typu t() = (k,n) a binárna matica C = (C ij ) je typu t(c) = (m,n). Hovoríme, ţe matica C je súčinom matíc A a, C = A, jej maticové prvky sú i I j J Cij Ai j Ai j... Aik kj (4.9) Pretoţe súčin binárnych matíc je asociatívna operácia, môţeme definovať r-tú mocninu štvorcovej binárnej matice A = (A ij ), kde r je kladné celé číslo r > r A A A... A (4.0) rkrát Ako interpretovať operácie nad binárnymi maticami? inárna matica môţe byť chápaná ako maticová reprezentácia binárnej relácie R X X X x,x,...,x. Prvok 0 ij A implikuje, ţe usporiadaná dvojica x i,x j Jednoduchými úvahami je moţné dokázať, ţe matica kompozície R R R. Formulu (4.6) prepíšeme do tvaru i I j J Cij max min A il,lj l, kde n R (pozri kapitolu.). A AA je reprezentáciou (4.) kde sme pouţili formule a b mina,b a a b max a,b (pozri kapitolu v učebnom texte Matematická logika [xx]). Ak porovnáme (4.) s definíciou kompozície dvoch binárnych relácií (.8), dospejeme k záveru, ţe definícia súčinu binárnej matice (4.9) je formálne totoţná s kompozíciou R R R. Pomocou grafovej interpretácie relácie R a jej mocnín (pozri obr. 4.9) môţeme potom alternatívne interpretovať n-té mocniny matice A tak, ţe ak má jednotkový prvok v pozícii (i, j), potom existuje postupnosť n hrán z i-tého vrcholu grafu do j-tého vrcholu grafu.
11 R R R R R R R A C R R R 4 R R 4 R 5 D E Obrázok 4.9. Grafová reprezentácia relácie R (diagram A) a jej mocnín R (diagram ), R (diagram C), R 4 (diagram D) a R 5 (diagram E). Diagramy E obsahujú aj rekurentnú tvorbu relácií R n z predchádzajúceho výsledku R n-. Príklad 4.. Nech A a sú binárne matice 0 A 0, Zostrojte súčin A A Príklad 4.4. Zostrojte všetky mocniny matice 0 0 A V prvom kroku spočítame A 0 A A A Postupne v ďalších krokoch spočítame vyššie mocniny matice 0 A A A 0
12 4 A A A A A A Poznamenajme, ţe tieto mocniny matice A môţeme jednoducho určiť pomocou grafovej interpretácie relácie R, pozri obr Potom vyššie mocniny matice A sú určené n 5 n 5A A. Hodnosť matice Hodnosť matice A je celé kladné číslo označené h(a), ktoré patrí medzi dôleţité charakteristiky matíc. Neţ pristúpime k definícii tejto veličiny, zavedieme ďalší dôleţitý pojem lineárnej závislosti/nezávislosti stĺpcových (riadkových vektorov). Pre jednoduchosť budeme tieto úvahy uskutočňovať pre stĺpcové vektory, automaticky budú platiť aj pre riadkové vektory, a naopak. Definícia 4.. Nech a, a,..., a n je n stĺpcových (riadkových) vektorov z p (t. j. vektory majú p prvkov). Hovoríme, ţe tieto vektory sú lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak existujú také koeficienty (čísla),,..., n, z ktorých je aspoň jeden nenulový, aby ich lineárna kombinácia bola rovná nulovému vektoru 0 a a... a 0 (4.) n n Veta 4.. Stĺpcové (riadkové) vektory a, a,..., a n sú lineárne závislé práve vtedy, ak jeden z nich môţeme vyjadriť ako lineárnu kombináciu ostatných vektorov, napr. a a... a (4.) n n Dôkaz tejto vety je veľmi jednoduchý. Na základe definície 4. z predpokladu lineárnej závislosti vektorov a, a,..., a n vyplýva, ţe aspoň jeden koeficient je nenulový. Predpokladajme, ţe 0, potom (4.) môţeme upraviť do tvaru a a... a n Týmto sme dokázali, ţe z predpokladu 0 vyplýva (4.), čím je dôkaz zavŕšený. Veta 4.. Stĺpcové (riadkové) vektory a, a,..., a n sú lineárne nezávislé vtedy a len vtedy, ak a a... a 0 (4.4) n n len pre nulové koeficienty,... n 0. Táto veta je jednoduchým dôsledkom definície 4.. n
13 Príklad 4.5. Majme trojicu stĺpcových vektorov 0 0 a 0, a, a Ľahko dokáţeme, ţe tieto vektory sú lineárne nezávislé. Uvaţujme podmienku (4.4) z vety a a a Porovnaním posledných vektorov dostaneme, ţe 0. To znamená, ţe táto lineárna kombinácia sa rovná nulovému stĺpcovému vektoru len pre nulové koeficienty, potom podľa vety 4. vektory sú lineárne nezávislé. Definícia 4.4. Hovoríme, ţe matica A má stĺpcovú (riadkovú) hodnosť rovnú k vtedy a len vtedy, ak má maximálne k lineárne nezávislých stĺpcových (riadkových) vektorov. h A k (4.5) sr Veta 4.. Pre kaţdú maticu A typu t(a) = (m,n) riadková a stĺpcová hodnosť sú rovnaké, pričom hodnosť je zdola ohraničená 0 (pre nulové matice) a zhora ohraničená minimálnou hodnotou m a n h A h A h A min m,n (4.6) 0 s r Príklad 4.6. Majme maticu A Riadkové vektory tejto matice majú tvar r, r 0, r 0 0 Študujme lineárnu kombináciu Koeficienty sú určené rovnicami Postupným riešením tohto systému dostaneme riešenie 0. To znamená, ţe riadkové vektory sú lineárne nezávislé, maximálny počet lineárne nezávislých vektorov je, t. j. riadková hodnosť matice je. Stĺpcové vektory matice A sú
14 s 0, s, s 0 0 Ich lineárna kombinácia sa rovná nulovému stĺpcovému vektoru Koeficienty sú určené rovnicami Riešením tohto systému dostaneme 0. To znamená, ţe stĺpcové vektory sú lineárne nezávislé, čiţe matica ma stĺpcovú hodnosť. Týmto sme dokázali, ţe matica A má stĺpcovú a riadkovú hodnosť, čiţe hodnosť matice je, h(a) =. Definícia 4.5. Hovoríme, ţe matice A a sú ekvivalentné, A ~, vtedy a len vtedy, ak majú rovnakú hodnosť, h(a) = h(). Veta 4.4. Nech matica vznikne z matice A pomocou jednej z týchto 4 operácií: () vzájomnou výmenou poradia dvoch riadkov (stĺpcov), () vynásobením riadku (stĺpca) nenulovým číslom, () pripočítaním riadku (stĺpca) k inému riadku (stĺpcu), (4) vynechaním riadku (stĺpca), ktorý buď obsahuje len nulové prvky alebo je lineárnou kombináciou ostatných riadkov (stĺpcov). Potom matice A a sú ekvivalentné, h(a) = h(). Jednotlivé kroky z tejto vety budeme ilustrovať pomocou matice,,..., i-tý stĺpcový vektor: () Výmena poradia dvoch stĺpcov A s,..., s,..., s,..., s s,..., s,..., s,..., s i j n j i n () Stĺpec je vynásobený číslom 0 A s,..., s,..., s s,..., s,..., s i n i n A s s s, kde s i je n () Vynechaním stĺpca, ktorý je buď lineárnou kombináciou ostatných stĺpcov alebo je nulový A s,..., s, s, s,..., s s,..., s, s,..., s i i i j n i i j n (4) K stĺpcu pripočítame iný stĺpec A s,..., s,..., s,..., s s,..., s,..., s s,..., s i j n i j i n Podobné znázornenie elementárnych operácií môţe byť vykonané aj pre riadkové vektory matice A.
15 Dôkaz vety 4.4 vyplýva priamo zo skutočnosti, ţe 4 povolené operácie nad riadkami alebo stĺpcami matice nemenia jej hodnosť, t.j. zachovávajú počet lineárne nezávislých riadkových a aj stĺpcových vektorov. Veta 4.5. Trojuholníková matica A typu t(a)=(m,n), kde m n, má hodnosť h(a) = m (4.7) Pri dôkaze tejto vety pre jednoduchosť predpokladajme, ţe trojuholníková matica A má rovnaký počet riadkov a stĺpcov, m = n. Vyjadríme ju pomocou riadkových vektorov r A A... A m r 0 A... A m A m A r mm Pripomeňme, ţe jej diagonálne prvky Aii 0. Študujme lineárnu kombináciu jej riadkových vektorov, ktorú poloţíme rovnú riadkovému nulovému vektoru 0 r r... mrm 0 Koeficienty sú určené systémom rovníc A 0 A A 0... A m A m... m Amm 0 Pretoţe, ako uţ bolo poznamenané, diagonálne prvky trojuholníkovej matice sú nenulové, A 0, systém môţeme postupne riešiť, dostaneme ii... m 0 Týmto sme dokázali, ţe riadky trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé, čiţe platí h(a) = m. Veta 4.5 v kombinácii s vetou 4.4 umoţňuje implementáciu efektívneho algoritmu pre stanovenie hodnosti matice. Pre danú maticu A budeme pomocou vety 4.4 vykonávať také elementárne transformácie (ktoré nemenia jej hodnosť), aby výsledná matica bola trojuholníková, potom pomocou vety 4.5 hodnosť výslednej matice sa rovná počtu riadkov. Príklad 4.7. Nech matica A má tvar A krok. Vykonáme také elementárne transformácie, ktoré budú viesť k zániku nenulového prvku v prvom stĺpci pod diagonálou. Tretí riadok vynásobíme číslom - a potom k tomuto riadku pripočítame prvý riadok
16 krok. Vykonáme vynulovanie prvkov pod diagonálou v druhom stĺpci. Štvrtý riadok vynásobíme číslom - a potom k tretiemu a k štvrtému riadku pripočítame druhý riadok krok. V tomto poslednom kroku vynecháme štvrtý riadok, ktorý obsahuje len nulové prvky Postupnými elementárnymi úpravami sme pretransformovali pôvodnú maticu A na trojuholníkovú maticu, ktorá obsahuje tri riadky, potom h(a)= Pri týchto úpravách treba dať pozor na prípad, kedy by sme dostali maticu, ktorá má pod diagonálou nuly a na diagonále tieţ nulu, ale v tom istom riadku má ešte nenulové prvky, potom treba prehodiť stĺpce, aby na diagonále bol nenulový prvok..4 Inverzná matica Nech A je štvorcová matica typu t(a) = (n,n), problém existencie takej matice, pre ktorú platí A = A = E, kde E je jednotková matica typu t(a) = (n,n), nie je zaručený pre ľubovoľnú štvorcovú maticu, ale len pre určité špeciálne matice, ktoré nazývame regulárne matice. Definícia 4.6. Štvorcová matica A, typu t(a) = (n,n), sa nazýva regulárna vtedy a len vtedy, keď pre jej hodnosť platí h(a) = n. Z definície regulárnej matice plynie, ţe tak stĺpcové ako aj riadkové vektory sú lineárne nezávislé. Môţeme teda parafrázovať definíciu regulárnej matice takto: štvorcová matica A je regulárna vtedy a len vtedy, ak jej riadkové (stĺpcové) vektory sú lineárne nezávislé. Definícia 4.7. Matica A - sa nazýva inverznou maticou vzhľadom k regulárnej matici A vtedy a len vtedy, ak spĺňa podmienku AA A A E. Veta 4.6. Pre regulárnu maticu A existuje práve jedna inverzná matica A -.
17 Tento dôkaz jednoznačnosti inverznej matice vykonáme nepriamo. udeme predpokladať, ţe vzhľadom k regulárnej matici A existujú dve rôzne inverzné matice označené a C A A E () AC CA E () zo vzťahu () vyberieme A E, ktorý vynásobíme sprava maticou C, dostaneme A E AC EC E C C E C Veta 4.7. Inverzná matica vyhovuje vzťahom A A (4.8a) A A (4.8b) Vzťah (4.8a) vyplýva priamo z definičnej podmienky AA A A E, ktorú môţeme A A. interpretovať tak, ţe matica A je inverznou maticou k matici A -, t. j. musí platiť Vzťah (4.8b) dokáţeme pomocou vzťahu. A A E. Počítajme: A A A A E E E Týmto sme dokázali, ţe súčin A dáva výsledky aké by dávala matica A. Pretoţe podľa vety 4.6 inverzná matica existuje jednoznačne, tak potom relácia (4.8b) určuje inverznú maticu jednoznačne. Zostávajúcu časť tejto kapitoly venujeme metóde konštrukcie inverznej matice, ktorá je veľmi podobná metóde stanovenia hodnosti matice. udeme študovať dvojicu matíc AE, nad maticami tejto dvojice budeme vykonávať postupnosť elementárnych operácií z vety 4.4 tak, ţe vybraná elementárna operácia je súčasne aplikovaná na obe matice, pričom sa snaţíme pouţívať také elementárne operácie, ktoré transformujú ľavú maticu A na jednotkovú maticu E. Kaţdá elementárna transformácia aplikovaná na nejakú maticu X je vyjadriteľná pomocou súčinu matíc X, formálne ele.transf. X X X Keď dvojicu AE transformujeme postupnosťou n elementárnych transformácií určených maticami,,..., n, dostaneme A E... A... E n n Ako uţ bolo povedané, tieto elementárne transformácie sú vykonané s cieľom transformácie matice A na jednotkovú maticu n... A E A n... Potom dostaneme A A E n... A n... E E A E A Postupnosť elementárnych transformácií rozdelíme na tri etapy:. etapa nulovanie maticových prvkov pod diagonálou (podobne ako v metóde stanovenia hodnosti matice),
18 . etapa nulovanie maticových prvkov nad diagonálou,. etapa násobenie riadkov číslami tak, aby na diagonále zostali len jednotkové prvky. V prípade, ţe táto postupnosť nie je vykonateľná (napr. dostaneme nulový riadok), procedúru transformácie ukončíme, pretoţe matica nie je regulárna (teda ani invertibilná). Naznačený spôsob konštrukcie inverznej matice môţe byť pouţitý ako konštruktívny dôkaz vety 4.6, bez diskusie podmienky jednoznačnosti inverznej matice. Príklad 4.4. Nájdite inverznú maticu k matici 4 A 4 Zostrojíme dvojicu matíc 4 0 X V prvej etape vykonáme takú elementárnu operáciu, ktorá nuluje prvok pod diagonálou, vykonáme elementárnu operáciu ep, ţe druhý riadok vynásobíme a k takto upravenému druhému riadku pripočítame prvý riadok ep : r r r Dvojica X 0 sa pretransformuje na X 4 0 X 0 4 V druhej etape budeme nulovať prvky nad diagonálou, vykonáme elementárnu operáciu ep, ţe k prvému riadku pripočítame druhý riadok ep : r r r Dvojica X sa pretransformuje na X 0 X 0 4 V tretej etape prvý riadok vynásobíme a druhý riadok vynásobíme 4, dostaneme finálnu dvojicu 0 X 0 4 E A Potom inverzná matica má tvar A 4 Ľahko sa presvedčíme, ţe táto matica je inverzná 4 0 AA E A A E Cvičenia
19 Cvičenie 4.. Stanovte typ matice a jej názov. (a) (b) 0 (c) (d) 0 Cvičenie 4.. Nájdite hodnoty a,b,c, d tak, aby platilo a b c d Cvičenie 4.. Rozhodnite o pravdivosti týchto tvrdení A; A je jednotková matica A; A je symetrická matica (a) (b) A; A je symetrická matica A; A je diagonálna matica 0 0 A; A je štvorcová matica A; A je diagonálna matica (c) A; A je jednotková matica (d) (e) A; A je jednotková matica A; A je diagonálna matica Cvičenie 4.4. (a) Zostrojte matice A A ij, ij a C ij typu (, ), pre ktoré platí A i j, i j, C 4i j ij ij ij (b) Zostrojte maticu A A ij (c) (d) C,, typu (4, 4), ktorá je symetrická a má tieto vlastnosti: Aii i, A A 4 0, A 4, A A A A, A4 A A4 Zostrojte maticu, ktorá je súčasne stĺpcovým aj riadkovým vektorom. Nájdite x a y pre maticu x y 0 A Aij x y 4 A A a A A /. pre
20 Cvičenie 4.5. Zostrojte transponované matice k maticiam (a) 0 (b) (c) 0 0 (d) Cvičenie 4.6. Pre matice A 0 0,, 0 vypočítajte matice (ak existujú) (a) A (b) A (c) AC (d) AC (e) C (f) T C 0 Cvičenie 4.7. Pre maticu riešte rovnicu X E, kde X je matica typu (, ) a E je jednotková matica typu (, ). T Cvičenie 4.8. Pre riadkové vektory u a v spočítajte uv (ak existuje). u 0, v 0 0 (a) (b) u, v (c) u 0, v Cvičenie 4.9. Pre kaţdú dvojicu matíc A a určte ich typ a či súčin matíc existuje, ak existuje, tak ho vypočítajte. 4 (a) A, (b) A, 0 0
21 0 4 A, (c) Cvičenie 4.0. Nech A a, vypočítajte 0 (a) A (b) A6 (c) A (d) A (e) A A (f) (g) A A (h) A A (i) T A (j) T A Cvičenie 4.. Nech A, A, A a. 0 0 A 0 0 a sú diagonálne matice, vypočítajte 0 0 Cvičenie 4.. Ukáţte, ţe ak A je štvorcová matica, potom Cvičenie 4.. Dokáţte tieto vlastnosti transponovanej matice: (a) A T T A (b) T T T A A (c) T T T A A Cvičenie 4.4. Stanovte hodnosť matíc 0 (a) A 0 0 (b) (c) A pre ktoré hodnoty p, má matica A hodnosť. p A T A je symetrická matica.
22 (d) (e) 0 A 0 pre ktoré hodnoty parametrov p a q má matica 0 A hodnosť. p q Cvičenie 4.5. Nájdite inverznú maticu (ak existuje) k matici: (a) 6 A 5 (b) A 4 5 (c) 5 A (d) 4 8 A (e) 4 A 6 (f) 0 A 0 0 (g) A (h) A 0 Cvičenie 4.6. Dokáţte matematickou indukciou formulu A A A A A A. n n Cvičenie 4.7. Nech A, a C sú štvorcové matice rovnakého typu (n,n). Dokáţte, ţe ak A je regulárna matica, potom zo vzťahu A AC vyplýva = C. Cvičenie 4.8. Ukáţte, ţe ak A a sú štvorcové matice rovnakého typu (n,n) a A je regulárna matica, potom A A A A. Cvičenie 4.9. Nech A je regulárna matica, ukáţte, ţe A A. n n
23 Cvičenie 4.0. Nech A a 0 (a) A (b) A (c) A 0 sú binárne matice, zostrojte 0 Cvičenie 4.. Nech (a) A (b) A (c) A 0 A 0 a sú binárne matice, zostrojte 0
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšieMicrosoft Word - 8.cvicenie.doc
Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti),
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieMicrosoft Word - 16.kapitola.doc
6. kapitola Logická teória diagnózy zložitých systémov 6. Úvodné poznámky tanovenie diagnózy zložitých systémov v medicíne u človeka, veľkých výrobných zariadení, elektronických obvodov, a pod.) patrí
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšieInteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Október, 2018 Katedra kybernetiky
Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Marian.Mach@tuke.sk http://people.tuke.sk/marian.mach Október, 2018 Katedra kybernetiky a umelej inteligencie FEI, TU v Košiciach 1 Best-first
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
Podrobnejšie1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn
1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
PodrobnejšieMicrosoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia
Matice Užívateľská dokumentácia k programu Autor: Miroslav Jakubík 2009 Obsah 1 Úvod... 2 1.1 Stručný popis programu... 2 1.2 Spustenie programu... 2 1.3 Otvorenie dokumentu... 3 1.4 Ovládanie programu...
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
PodrobnejšieNumerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
PodrobnejšieMultikriteriálna optimalizácia
Multikriteriálna optimalizácia Tomáš Madaras Ústav matematických vied, PF UPJŠ, Košice Príklad Vyberte smartfón s najlepšími parametrami z nasledovnej ponuky: model displej cena pamäť výdrž váha foto (")
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieAnalýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieTue Oct 3 22:05:51 CEST Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, kto
Tue Oct 3 22:05:51 CEST 2006 2. Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, ktoré si postupne rozoberieme: dátové typy príkazy bloky
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieSTRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU
STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 6 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu Autor na obrazovke, potom zvolíme Užívateľskú úroveň Pokročilý
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
PodrobnejšieSúkromné gymnázium, Česká 10, Bratislava INFORMATIKA
Súkromné gymnázium, Česká 10, 831 03 Bratislava INFORMATIKA ÚVOD Cieľom maturitnej skúšky z informatiky je zistiť u žiakov najmä úroveň: - schopností riešiť algoritmické problémy, - schopností zdokumentovať
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
Podrobnejšie1)
Prijímacia skúška z matematiky do prímy gymnázia s osemročným štúdiom Milá žiačka/milý žiak, sme veľmi radi, že ste sa rozhodli podať prihlášku na našu školu. Dúfame, že nasledujúce úlohy hravo vyriešite
Podrobnejšie8
8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie
PodrobnejšiePokrocilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia
Pokročilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia Ing. Viktor Kocur viktor.kocur@fmph.uniba.sk DAI FMFI UK 29.11.2017 Obsah 1 Segmentácia O čo ide 2 Watershed Princíp Postup 3 k-means clustering
PodrobnejšieKatalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z INFORMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšiePocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD
Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej
Podrobnejšie(ıkolské kolo-PYT)
Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V
PodrobnejšieSK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,
SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.
PodrobnejšieVerejná konzultácia k článku 18 Nariadenia Komisie (EÚ) 2017/2195, ktorým sa ustanovuje usmernenie o zabezpečovaní rovnováhy v elektrizačnej sústave P
Verejná konzultácia k článku 18 Nariadenia Komisie (EÚ) 2017/2195, ktorým sa ustanovuje usmernenie o zabezpečovaní rovnováhy v elektrizačnej sústave Predmet konzultácie Predmetom verejnej konzultácie je
PodrobnejšieNÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieSTRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU
STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 5 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program IP- COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu na obrazovke: Obr.1 Voľba úlohy na meranie Po kliknutí
Podrobnejšie7/1/2015 Úvod do databáz, skúškový test, max 25 bodov, 90 min
19/1/2017 Úvod do databáz, skúškový test, max 60 bodov 1. Uvažujte databázu bez duplikátov a null hodnôt: lubipijan, Alkohol, navstivilidn, Pijan, Krcma, vypilidn, Alkohol, Mnozstvo. Platí: Idn Pijan,
PodrobnejšiePrezentace aplikace PowerPoint
Ako vytvárať spätnú väzbu v interaktívnom matematickom učebnom prostredí Stanislav Lukáč, Jozef Sekerák Implementácia spätnej väzby Vysvetlenie riešenia problému, podnety pre konkrétne akcie vedúce k riešeniu
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
PodrobnejšieRelačné a logické bázy dát
Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.
Podrobnejšie1 Portál pre odborné publikovanie ISSN Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika 28.04.2010 Článok spočíva v predstavení a opísaní algoritmu
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšiePlatný od: OPIS ŠTUDIJNÉHO ODBORU
Platný od: 27.2.2017 OPIS ŠTUDIJNÉHO ODBORU (a) Názov študijného odboru: (b) Stupne vysokoškolského štúdia, v ktorých sa odbor študuje a štandardná dĺžka štúdia študijných programov pre tieto stupne vysokoškolského
PodrobnejšieStravné - přecenění
Vytvorenie a nastavenie novej kategórie pre Obedy zadarmo Platí pre verziu programu Stravné 4.61 POZOR! Postup pre jedálne základných škôl, ktoré majú povinnosť sledovať dotácie od 1. 9. 2019 je uvedený
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Prog_p08.ppt
Štruktúra záznam Operácie s bitovými údajmi 1. Štruktúra záznam zložený typ štruktúry záznam varianty štruktúr záznam reprezentácia štruktúry záznam použitie štruktúry záznam v jazyku C 2. Operácie s bitovými
PodrobnejšieAlgoritmizácia a programovanie - Príkazy
Algoritmizácia a programovanie Príkazy prof. Ing. Ján Terpák, CSc. Technická univerzita v Košiciach Fakulta baníctva, ekológie, riadenia a geotechnológíı Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov
PodrobnejšieSiete vytvorené z korelácií casových radov
Siete vytvorené z korelácií časových radov Beáta Stehlíková 2-EFM-155 Analýza sociálnych sietí Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, UK v Bratislave, 2019 Siete vytvorené z korelácií Siete vytvorené
PodrobnejšieMO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
PodrobnejšieRepublika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV
Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšieB _UZP_rocne_zuctovanie_A5_0718.indd
VYSVETLENIE K VÝPOČTU VÝSLEDKU ROČNÉHO ZÚČTOVANIA POISTNÉHO ZA ROK 2017 Union zdravotná poisťovňa má záujem na tom, aby ste čo najľahšie porozumeli, ako sme dospeli k výsledku vášho ročného zúčtovania
PodrobnejšieZáklady práce s textovými reťazcami Doteraz sme v MATLABe pracovali s datovými typmi: reálne číslo, vektor, matica. Veľmi dôležitým a často používaným
Základy práce s textovými reťazcami Doteraz sme v MATLABe pracovali s datovými typmi: reálne číslo, vektor, matica. Veľmi dôležitým a často používaným dátovým typom je textový reťazec. Ako si môžeme predstaviť
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšieVZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY
5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to
Podrobnejšie12Prednaska
propozičná logika vs. logika prvého rádu globálna vs. kompozičná vetviaci sa čas vs. lineárny čas časové body vs. časové intervaly diskrétny čas vs. spojitý čas minulosť vs. budúcnosť distribovanosť vs.
PodrobnejšieProgramátorské etudy - Pascal
MODIFIKÁCIA OBRÁZKOV ÚLOHA NA HODINU Dorobte projekt Modifikácia obrázkov, ktorý je zameraný na prácu s grafickou plochou ako dvojrozmerným poľom. Modifikáciu 13 máte predpripravenú. Doprogramujte ďalšie
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac
SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieMicrosoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník
P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte
Podrobnejšie