SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos
Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh ťaţiska r T = 1 rdm M m 1 1 1 = ldl = SdS = V dv M M M 1 1 1 = ldl = SdS = V dv M M M 1 1 1 z = z ldl z = z SdS z = z V dv M M M V V V Hlavné zloţk tenzora momentu zotrvačnosti I = z ldl I = z ldl I zz = ldl I = z SdS I = z SdS I zz = SdS V I = z dv I = z dv V I zz = dv V
I = f, dd S integračný obor - interval, množina
integračný obor - interval, množina integračný obor - interval
Viacrozmerné integrál d f d dd f I b a d c d c b a, =, = d f d dd f I d c b a d c b a, =, = integračný obor - interval, množina Nezáleží na poradí integrovania
integračný obor
Príklad a d a d a c ln a a1 c a 1, Najskor cez 1 3 3. 1 3 1 1 3 m = dd = d d = d = d ln ln 0 0 0 0 3 1 3 1 3 1 m = dd = dd = d = 1 0 0 0 3 = d = ln 1 = ln 1 =3 4 = 1 3 1 Nieked je vhodné preferovať isté poradie integrovania
Ak je podintegrálna funkcia f(,) súčinom dvoch funkcií f(,)= f 1 () f () pôvodný integrál sa počíta ako súčin dvoch integrálov: f 1 f dd = d f1 d f b d b d a c a c
Výpočet integrálov na množine Hranice jednej premenej závisia od druhej Nepravouhla oblasť Hranice jednej premenej závisia od druhej
Výpočet integrálov na množine : a b, g1 g 1 : h h, c d b g f, dd = d df, a g 1 polotovar d h f, dd = d df, c h 1 ZÁLEŢÍ NA PORADÍ INTEGROVANIA
Integrácia najskôr podľa a potom podľa Hľadanie integračných hraníc 1 1 Výstup 1 Vstup 1 Výstup 1 Vstup 1 Najmenšie je =0 Najväčšie je =1 R 1 1,, f dd f dd 0 1
Vpočítajte integrál nad oblasťou ohraničenou priamkami =1, = R sin dd Nieked je vhodné preferovať isté poradie integrovania
Vpočítajte integrál nad oblasťou ohraničenou priamkami =1, = =???? Nieked je vhodné preferovať isté poradie integrovania
Komplikovaná integračná množina všeobecnejší tvar 1 3 Integrál treba rozbiť na sumu integrálov po jednoduchších oblastiach
Nájdite plochu, ktorú ohraničuje parabola a priamka 1 4 0 1 1
Určte ťažisko 0 1
Určte moment zotrvačnosti 6 6 6
Vpočítajte integrál z funkcie 3 4 f, nad oblasťou oblasťou ohraničenou funkciami 3 4 0 /3 dd Priesečník: 3=4- Vpočítajte integrál z funkcie f, sin nad oblasťou oblasťou ohraničenou funkciami 1 0 sin dd a rovinou
Transformácia viacrozmerných integrálov SÚSTAVA rcos hr 1 Polárna ds rddr rsin h r rcos 1 Clindrická r sin h r dv rddrdz TRANSF. VZŤAHY 1 1 r sin sin sin z rcos h rsin h z z h rcossin Lammeho koeficient h Sférická r h r dv r drdd r z Plošné, objemové element dddz Jdq dq dq J u, v, w 1 3 z u u u z v v v z w w w
Ak je podintegrálna funkcia f(,) súčinom dvoch funkcií f(,)= f 1 () f () pôvodný integrál sa počíta ako súčin dvoch integrálov: f 1 f dd = d f1 d f b d b d a c a c
Výpočet viacrozmerného integrálu v polárnch súradniciach Oblast ohranicená lúčmi Maimálna a minimálna hodnota fi + lúc
OBLASŤ polkružnica Transformácia do polárnej SS Z integrovania na množine sa mení na integrovanie na intervale r
/3 A 4 0 φ π/ r musí bť vžd kladný A /1cos 0 1 sinrdrd I z k dd I z / acos 4 kr drd / 0
Vpočítajte plochu ohraničenú krivkami 1 sin 6 3 3 cos 6 1 cot 1 g 3 3 4
Integračné hranice trojrozmerných integrálov z f, Výstup z f, g z f 1, a Vstup z f 1, a b b 1 g
Clindrická sústava
Ťažisko Vpočítajte ťažisko telesa ktoré je zhora ohraničené z = 4, valcovou plochou + = 4 a rovinou : z=0.
Vpočítajte I = rcosφ = rsinφ z = z dv = rdφdrdz oblasť R H H z h/ R R h I z ddddz r sin z rdrddz M 4 1 h/ 0 0
Kužel ťažisko, moment zotrvačnosti H r z Definovanie oblasti: H H z R r z R r R H r dv rdrddz
Vpočítajte polohu ťažiska a, homogénnej polgule b, nehomogénnej polgule s hustotou 5 A z Vpočítajte moment zotrvačnosti gule s polomerom R vzhľadom na os prechádzajúcu jej stredom Izz štvrtin gule
Transformácia
R e dd Nové premenné, v ktorých budú hranice konštantné u v v / u uv 1 1 1/ v e 1 u dudv
u 1 v u 1 1 1/ e dd u uv v v u v 1 1 1/ u u u e dd ve dudv e ududv G v G Špecifikácia oblasti G
Určte plochu elips J u, v u v u v a b 1 au bv a b 1 u v 1, a 0 dd dudv dudv abdudv uv, 0 b
Laplacove integral
Poznámk Pomocný integrál: e d u du d e k u du e Ak je podintegrálna funkcia f(,) súčinom dvoch funkcií f(,)= f 1 () f () pôvodný integrál sa počíta ako súčin dvoch integrálov: f1 f dd = d f1 d f b d b d a c a c
Zhrnutie I 0 n n I e d 0 1 Y 1 0 I 1 1 Y 0 n n Y e d 1 n n n Y Y 1 n n n I I Štartovače