Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013

Prepis

1 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013

2 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka Baculíková Košice 013

3 Matematicko počítačové modelovanie Prvé vydanie utori: c Prof. RNDr. Jozef Džurina, Sc., 013 c Doc. RNDr. Blanka Baculíková, PhD., 013 Vydavateľ: ISBN: Technická Univerzita Košice XXX-XX-XXX-XXXX-X Za odbornú a jazykovú stránku tejto vysokoškolskej učebnice zodpovedajú autori. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou.

4 Obsah Obsah 5 1 Výpočet niektorých integrálov Výpočet integrálu I Výpočet integrálu I Výpočet integrálu I Dvojný integrál 10.1 Základné vlastnosti dvojného integrálu Výpočet dvojného integrálu Niektoré aplikácie dvojného integrálu Statické momenty. Ťažisko Trojný integrál Výpočet trojného integrálu Niektoré aplikácie trojného integrálu Statické momenty. Ťažisko Transformácia trojného integrálu Krivky a ich ich parametrické vyjadrenie 7 5 Krivkový integrál II. druhu Základné vlastnosti krivkového integrálu Veta o výpočte krivkového integrálu Greenova veta Dôsledky Greenovej vety, nezávislosť od integračnej cesty Súčiny vektorov a ich aplikácie Násobok vektora skalárom Skalárny súčin Vektorový súčin Praktické použitie vektorového súčinu (príprava k plošnému integrálu) Zmiešaný súčin Dotyčnica ku priestorovej krivke určenej parametrickými rovnicami 47 8 Dotyková rovina ku ploche určenej parametrickými rovnicami 49 4

5 9 Plochy a ich parametrické vyjadrenie Plošný integrál II. druhu Základné vlastnosti plošného integrálu Veta o výpočte plošného integrálu Gauss - Ostrogradského veta plikácia integrálov - výpočet objemu molekuly Parametrizácia guľovej plochy (rovnosť =) Vyjadrenie funkcie g(t, s) (rovnosť =) Voľba funkcií P (t, s) a Q(t, s) (rovnosť =) Výpočet krivkových integrálov (rovnosť =) Prípad Ω 1 je neohraničená oblasť. (rovnosť =) Sada riešených príkladov

6 Kapitola 1 Výpočet niektorých integrálov 1.1 Výpočet integrálu I 1 I 1 = β α dϕ + B cos ϕ + sin ϕ, > B > 0. Uvedený integrál je kľúčovým pre fungovanie metódy, všetky ďalšie určité integrály sa prevedú na integrál I 1. Počítajme najprv neurčitý integrál použitím vhodnej substitúcie dϕ + B cos ϕ + sin ϕ, > B > 0. = dϕ + B cos ϕ + sin ϕ = sin ϕ = ( B)t + t + + B dt = B tg ϕ = t dϕ = B t 1+t cos ϕ = 1 t 1+t 1 ( ) t + dt B + B ( B) = B arctg( B) ( ) t + B + k B = B arctg( B)tg ϕ + B + k. Kedže sme našli primitívnu funkciu môžeme použiť Newton-Leibnizov vzorec pre výpočet určitého integrálu. Dostávame 1. pre 0 α < β < π, resp. π < α < β π I 1 = [ arctg ( B)tg β + B B arctg( B)tg α + ]. B 6

7 . ak 0 α < β = π nie je mozne pouzit N-L vzorec, lebo primitívna funkcia je neohraničená na okolí bodu π. Preto [ I 1 = B arctg( B)tg ϕ + ] π B α [ = B lim arctg ( B)tg ϕ + ] β β π B α [ π = B arctg( B)tg α + ]. B 3. ak 0 α < π < β π je primitívna funkcia opäť neohraničená na okolí bodu π, ktorý sa nachádza vo vnútri intervalu [α, β]. Preto určitý integrál vypočítame nasledovne I 1 = π α dϕ a + b cos ϕ + c sin ϕ + β π dϕ + B cos ϕ + sin ϕ = [ π + arctg ( B)tg β + B B arctg( B)tg α + ] B 4. pre 0 = α < β = π (špeciálny prípad 3. možnosti) dostávame I 1 = π B 5. ak π = α < β π nie je mozne pouzit N-L vzorec, lebo primitívna funkcia je neohraničená na okolí bodu π. Preto [ I 1 = B arctg( B)tg ϕ + ] β B π [ = B lim arctg ( B)tg ϕ + ] β α π + B α [ = arctg ( B)tg β + ] B B + π. 1. Výpočet integrálu I I = β α dϕ ( + B cos ϕ + sin ϕ), > B > 0. Zamerajme sa opäť najprv na výpočet neurčitého integrálu. V literatúre [zbierka riešených príkladov...] a samozrejme aj v iných zbierkach je možné nájsť nasledovné vzorce: [ dϕ ( + B cos ϕ) = 1 B sin ϕ B B + B cos ϕ + 7 ] dϕ, + B cos ϕ

8 [ dϕ ( + sin ϕ) = 1 cos ϕ + sin ϕ + ] dϕ. + sin ϕ Na základe týchto informácii urobíme hypotézu o výpočte neurčitého integrálu I. [ dϕ ( + B cos ϕ + sin ϕ) = 1 B sin ϕ + cos ϕ B + B cos ϕ + sin ϕ + dϕ + B cos ϕ + sin ϕ Je ľahké overiť platnosť tohto vzorca (derivovaním podľa premennej ϕ). teda pre integrál I dostávame ]. β α dϕ ( + B cos ϕ + sin ϕ) = 1 B + β α [ B sin ϕ + cos ϕ ] β + B cos ϕ + sin ϕ α dϕ + B cos ϕ + sin ϕ. 1.3 Výpočet integrálu I 3 I 3 = β Využijeme opäť známy vzorec α dϕ ( + B cos ϕ + sin ϕ) 3, > B > 0. [ dϕ ( + B cos ϕ) = 1 B sin ϕ B + B cos ϕ + ] dϕ. + B cos ϕ Kedže podobný vzorec, kde by v menovateli bola tretia mocnina nie je, otazka je nasledovna: Dá sa vhodnou upravou previesť dϕ na (+B cos ϕ) dϕ? Áno, derivovaním podľa parametra. (+B cos ϕ) 3 Derivovaním hore uvedeného vzťahu podľa parametra dostávame [ ] ( + B cos ϕ) dϕ = B sin ϕ 3 ( B ) + B cos ϕ + a dϕ + B cos ϕ [ 1 B sin ϕ + B + B cos ϕ) + dϕ + B cos ϕ ] dϕ a ( + B cos ϕ). 8

9 Vyjadrením dϕ pomocou +B cos ϕ vhodných úprav dostávame vzťah [ dϕ ( + B cos ϕ) 3 = 1 ( B ) dϕ (+B cos ϕ) B sin ϕ ( + B cos ϕ) + B sin ϕ + B cos ϕ + + B zo vzťahu "horeä použitím dϕ ( + B cos ϕ) Na základe takto získaného vzťahu urobíme hypotézu pre výpočet integrálu I 3. ]. β dϕ I 3 = α ( + B cos ϕ + sin ϕ) 3 { [ 1 B sin ϕ + cos ϕ = ( B ) ( + B cos ϕ + sin ϕ) [ B + sin ϕ + cos ϕ ] β + + B + + B cos ϕ + sin ϕ α ] β α β α dϕ ( + B cos ϕ + sin ϕ). O správnosti uvedeného vzťahu sa môžeme presvedčiť derivovaním podľa premennej ϕ príslušných neurčitých integrálov. 9

10 Kapitola Dvojný integrál Dvojný integrál zadefinujeme na základe jeho geometrickej interpretácie. Nech je daná funkcia f(x, y) definovaná na uzavretej a ohraničenej množine R. Našou úlohou je vypočítať objem valcovitého telesa T s dolnou podstavou a zhora ohraničeného plochou, ktorá je daná predpisom z = f(x, y). o z z = f(x, y) o x o y K definícii dvojného integrálu je potrebné zostrojiť delenie množiny. Toto delenie urobíme pomocou delenia intervalu I = a, b c, d, pričom I. 1. Nech D 1 je delenie intervalu a, b určené deliacimi bodmi x i, t.j. a = x 0 < x 1 < x n = b. Nech D je delenie intervalu c, d určené deliacimi bodmi y j, t.j. c = y 0 < y 1 < y m = d. x 0 x i 1 x i x n o x y 0 y j 1 y j 10 y m oy

11 Potom delenie D = D 1 D je delenie intervalu I = a, b c, d a teda aj delenie množiny. Uvažujeme normálne postupnosti delení {Dn} 1 a {Dn} intervalov a, b a c, d. Pričom postupnosť delení {Dn} 1 intervalu a, b nazývame normálnou, ak lim D 1 n n = 0, kde Dn 1 = max x i. Potom {D n } = {Dn 1 Dn} je normálna postupnosť delení intervalu I, teda aj množiny. Tie intervaly, z postupností delení {D n }, ktoré majú s množinou neprázdny prienik označíme ij.. Z každého intervalu ij vyberieme ľubovoľný bod T ij = x i, y j, t.j. x i x i 1, x i y j y j 1, y j. 3. Objem valcovitého telesa T vieme aproximovať súčtom objemov jednotlivých hranolov s podstavou n ij a výškou f(x i, y j ). o z z = f(x, y) x i o x y j o y Objem jedného hranola (s podstavou ij ) je V ij = P ( ij )f(x i, y j ) = f(x i, y j ) x i y j a teda objem celého telesa je približne V (T ) i,j f(x i, y j ) x i y j = S(f, D), kde S(f, D) je integrálny súčet pre funkciu f, delenie D a voľbu bodov T ij. 4. V prípade normálnej postupnosti delení {D n } dostávame vzťah pre výpočet objemu telesa T. V (T ) = lim S(f, D n ) = f(x, y) dxdy. t Uvedené informácie zhrnieme do nasledujúcej definície. 11

12 Definícia.0.1 Nech funkcia f(x, y) je spojitá na uzavretej a ohraničenej množine. k pre každú normálnu postupnosť delení {D n } množiny a pre ľubovoľnú voľbu bodov T ij existuje lim n f(t ij ) x i y j, i,j tak túto limitu nazývame dvojným integrálom z funkcie f na množine. Zapisujeme f(x, y) dxdy. Tento integrál vyjadruje objem príslušného valcovitého telesa. Poznámka.0.1 Podmienku na spojitosť funkcie môžeme nahradiť podmienkou ohraničenosti. Spojitosť nám ale zabezpečí existenciu dvojného integrálu..1 Základné vlastnosti dvojného integrálu lineárnosť Nech funkcie f a g sú spojité na, a, b R. Potom af(x, y) + bg(x, y) dxdy = a f(x, y) dxdx + b g(x, y) dxdy. delenie Nech množiny B a D tvoria delenie, potom f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy. B D. Výpočet dvojného integrálu Ukážeme ako vypočítať dvojný integrál prevodom na dvojnásobný. k množina je elementárna oblasť typu [x, y], t.j. = { [x, y] R ; a x b, g(x) y h(x) }, kde g, h sú spojité na intervale a, b, o y h(x) g(x) a b ox 1

13 potom f(x, y) dxdy = b a h(x) g(x) f(x, y) dy dx. k množina je elementárna oblasť typu [y, x], t.j. = { [x, y] R ; c y d, α(y) x β(y) }, kde α, β sú spojité na intervale c, d, potom f(x, y) dxdy = d c β(y) α(y) Príklad..1 Vypočítajme integrál ( x + y ) dxdy, f(x, y) dx dy. kde množina je ohraničená priamkami y = x, y = x, y = 3. y = x o y 3 y = x o x Riešenie: Množina je elementárna oblasť [y, x] a môžeme ju zapísať nasledujúcimi nerovnosťami : 0 y 3 y x y. Teda ( x + y ) dxdy = 3 y ( x + y ) dx dy = 0 y 3 0 [ x y x ] y y 3 dx = 8 y 3 dx = Poznámka..1 Vypočítali sme vlastne objem valcovitého telesa zdola ohraničeného množinou a zhora časťou paraboloidu z = x + y. 13

14 Niektoré typy príkladov je výhodnejšie počítať pomocou transformácie súradníc. k napr. počítame integrál na množine, ktorej hranicu tvorí kružnica alebo jej časť je vhodné použiť na popis oblasti polárne súradnice. Vzťah medzi polárnymi a pravouhlými súradnicami je vyjadrený rovnicami o y y [x, y] ρ ϕ x o x x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ, kde ϕ 0, π, ρ 0. Dvojný integrál potom počítame f(x, y) dxdy = B f(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρ dρdϕ, kde množina B vznikne transformáciou množiny do polárnych súradníc. Príklad.. Vypočítajme integrál 1 (x + y ) dxdy ak je ohraničená krivkami x + y = 4x, x + y = 4x, y = x, y = 3x. Riešenie: Načrtneme si hranice množiny. o y y = 3x y = x 4 8 o x k by sme vyjadrili množinu pomocou pravouhlých súradníc bol by výpočet veľmi komplikovaný, preto použijeme polárne súradnice a využijeme jednoduchšie vyjadrenie kružníc v polárnych súradniciach. π : 4 ϕ π 3 4 cos ϕ ρ 8 cos ϕ 14

15 Preto 1 (x + y ) dxdy = π/3 π/4 = π/3 π/4 8cos ϕ 4 cos ϕ [ 1 ρ 1 ( ρ cos ϕ + ρ sin ϕ ) ρ dρ dϕ ] 8 cos ϕ 4 cos ϕ = 3 18 ( 3 1). dϕ = 3 18 π/3 π/4 1 cos ϕ dϕ.3 Niektoré aplikácie dvojného integrálu Hmotnosť telesa Uvažujme priestorové teleso, ktorého jeden rozmer môžeme zanedbať (napr. kus plechu), teda v podstate skúmame rovinné teleso. Uvažujme na úvod jednoduchší prípad, ak teleso je homogénne s hmotnosťou m a plochou S. Plošná hustota tohto telesa je σ = m (t.j. hmotnosť S jednotkovej plochy). Uvažujme ďalej všeobecnejší prípad. Teleso nie je homogénne, pričom plošná hustota v jeho ľubovoľnom bode [x, y] je určená funkciou σ(x, y). Zaujíma nás aká je teraz hmotnosť tohto nehomogénneho telesa. Hmotnosť telesa vyjadríme pomocou dvojného integrálu. Začneme delením rovinného telesa, rovnako ako pri definícii dvojného integrálu. o y y i ij y 0 x 0 x i o x Predpokladáme, že segment delenia ij je tak malý, že plošnú hustotu na tomto segmente môžeme považovať za konštantnú, teda σ(x, y) = σ(x i, y i ), kde [x i, y i ] je ľubovoľný bod obdlžníka ij, taký, že zároveň [x i, y i ]. Označme m( ij ) hmotnosť homogénneho segmentu ij. Platí m( ij ) σ(x i, y i )P ( ij ) = σ(x i, y i ) x i y j. Hmotnosť celého telesa aproximujeme súčtom hmotností homogénnych segmentov ij, preto m() i,j m( ij ) i,j σ(x i, y i ) x i y j. 15

16 Keďže uvažujeme normálnu postupnosť delení množiny, limitným prechodom dostávame m() = lim σ(x i, yi ) x i y j = σ(x, y) dxdy. n i,j Odvodili sme vzorec pre výpočet hmotnosti rovinného nehomogénneho telesa. m() = σ(x, y) dxdy. Príklad.3.1 Polkruh x +y r, y 0 má hustotu v každom bode priamo úmernú vzdialenosti bodu od osi o x. Vypočítajte jeho hmotnosť. Riešenie: Načrtneme si množinu. o y r r ox Využitím vzťahov pre výpočet hmotnosti rovinného telesa dostávame m() = σ(x, y) dxdy = ky dxdy. Polkruh môžeme popísať aj pomocou pravouhlých súradníc aj polárnych súradníc. : r x r 0 y : 0 ϕ π r x 0 ρ r Výpočet integrálu urobíme v pravouhlých súradniciach r r x m() = ky dxdy = ky dy dx = k = k r ] r [r x x3 = 3 r 3 kr3..4 Statické momenty. Ťažisko 0 r r ( r x ) dx Motivácia: Statický moment chápeme ako silu potrebnú na udržanie hmotného bodu (telesa) v rovnováhe. 16

17 Statický moment S x hmotného bodu M vzhľadom na os o x definujeme ako súčin jeho hmotnosti m a jeho vzdialenosti od osi o x. Teda S x = my. Podobne pre statický moment S y hmotného bodu M vzhľadom na os o y definujeme S y = mx. o y y M x ox Uvažujme trošku zložitejší prípad. Pre homogénny obdlžník so stredom S = [x, y] a hmotnosťou m sú momenty vzhľadom na jednotlivé osi S x = my, S y = mx. o y y x ox Všeobecnejšia je úloha, vypočítať statické momenty vzhľadom na osi o x, o y nehomogénneho rovinného telesa (plech) o hmotnosti m s hustotou σ(x, y). Použije nasledujúcu aproximáciu, pri ktorej urobíme delenie telesa rovnaké, aké sme použili pri definícii dvojného integrálu. o y y i ij y 0 x 0 x i o x Platí, že S x () ij S x ( ij ), 17

18 kde S x ( ij ) je statický moment, obdlžníkového segmentu ij, ktorý vznikol delením m nožiny. Keďže segment môže byť ľubovoľne malý, môžeme ho považovať za homogénny, pričom jeho hustota je σ(x i, y j ), kde [x i, y j ] je stred obdlžníka ij ), a preto S x ( ij ) = m( ij )y j = σ(x i, y j ) y j ij, Teda pre statický moment vzhľadom na os o x telesa máme S x = ij σ(x i, y j ) y j ij. Limitným prechodom pre normálnu postupnosť delení množiny dostávame S x = σ(x, y) y dxdy. nalogicky odvodíme vzťah pre výpočet statického momentu telesa vzhľadom na os o y S y = σ(x, y) x dxdy. Nech teraz T = [x T, y T ] je taký bod roviny ρ xy o hmotnosti m, že S x = y T m S y = x T m, (.1) čo znamená, že statický moment celého telesa vzhľadom na os o x sa rovná statickému momentu bodu T o hmotnosti m (čo je hmotnosť celého telesa). Podobne je to pre statický moment vzhľadom na os o y. Voľne povedané hmotnosť celého telesa sústredíme do jediného bodu, tak aby sa zachovali statické momenty. Takýto bod T = [x T, y T ] nazývame ťažisko. Na základe (.1) dostávame vzťahy pre výpočet súradníc ťažiska telesa o hmotnosti m x T = 1 σ(x, y) x dxdy, m y T = 1 m σ(x, y) y dxdy. (.) Využitie ťažiska pri výpočte integrálov Dvojný integrál má rozmanité geometrické a fyzikálne aplikácie, napríklad v predchádzajúcej časti spomínané ťažisko. le aj naopak, pomocou súradníc ťažiska vieme šikovne vypočítať isté typy dvojných integrálov, konkrétne integrál z lineárnej funkcie. Vyplýva to z nasledujúcich úvah. Vieme, že x T = 1 σ(x, y) x dxdy. m 18

19 Predpokladajme, že teleso je homogénne s hustotou σ(x, y) = 1. Potom m = P ().1 a teda x dxdy = x T P (). nalogicky y dxdy = y T P (). Preto ( ax + by + c ) dxdy = { využitím lineárnosti pre dvojný integrál } = a x dxdy + b y dxdy + c dxdy = ( ax T + by T + c ) P (). V nasledujúcom príklade ukážeme použitie tohto výpočtu. Príklad.4.1 Vypočítajte (x + 3y 5) dxdy, (x 1) kde množina je ohraničená krivkou 4 Riešenie: Načrtneme si množinu. o y + (y ) 9 = 1 1 o x k sa na množinu pozrieme ako na homogénne rovinné teleso, tak potom súradnice jeho ťažiska sú T = [1, ]. Obsah množiny je P () = 6π. Preto (x + 3y 5) dxdy = (x T + 3y T 5)P () = 18π. 19

20 Kapitola 3 Trojný integrál Trojný integrál zavedieme analogicky ako dvojný intergál. Nech funkcia f(x, y, z) je ohraničená na uzavretej a ohraničenej množine R 3. Nech je I = a, b c, d e, l. 1. Nech D 1 je delenie intervalu a, b určené deliacimi bodmi x i, t.j. a = x 0 < x 1 < x n = b. Nech D je delenie intervalu c, d určené deliacimi bodmi y i, t.j. c = y 0 < y 1 < y m = d. Nech D 3 je delenie intervalu e, l určené deliacimi bodmi z i, t.j. e = z 0 < z 1 < z p = l. Potom delenie D = D 1 D D 3 je delenie intervalu I a teda aj delenie množiny I. Tie intervaly, z delenia D, ktoré majú s množinou neprázdny prienik označíme ijk. Z každého intervalu n ijk vyberieme ľubovoľný bod T ijk = x i, y j, z k, t.j. x i x i 1, x i y j y j 1, y j z k z k 1, z k 3. Integrálny súčet pre funkciu f, delenie D a voľbu bodov T ijk je definovaný nasledovne S(f, D) = i,j,k f(x i, y j, z k j ) x i y j z k. V prípade, že { D n } je normálna postupnosť delení intervalu I dostávame postupnosť integrálnych súčtov {S(f, D n )} 4. Limitným prechodom lim S(f, D n) = t f(x, y, z) dxdydz. 0

21 Uvedené informácie zhrnieme do nasledujúcej definície. Definícia Nech funkcia f(x, y, z) je spojitá na uzavretej a ohraničenej množine. k pre každú normálnu postupnosť delení množiny a pre ľubovoľnú voľbu bodov T ijk existuje lim n f(t ijk ) x i y j z k, i,j,k tak túto limitu nazývame trojným integrálom z funkcie f na množine. Zapisujeme f(x, y, z) dxdydz Poznámka Podmienku na spojitosť funkcie môžeme nahradiť podmienkou ohraničenosti. 3.1 Výpočet trojného integrálu V prípade, že množina je priestorová oblasť typu [x, y, z], t.j. vieme ju popísať nerovnosťami = { [x, y, z] R 3 ; a x b, g(x) y h(x), α(x, y) z β(x, y) }, potom trojný integrál počítame prevodom na trojnásobný b h(x) β(x,y) f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dy dx. a g(x) α(x,y) Podobne postupujeme pri výpočte trojného integrálu na elementárnych oblastiach typu [x, z, y], [y, x, z], [y, z, x], [z, x, y] a [z, y, x],. 3. Niektoré aplikácie trojného integrálu Objem telesa Priamo z definície trojného integrálu, že V () = 1 dxdydz Hmotnosť telesa Uvažujme priestorové teleso, s hotnosťou m a objemom V. V prípade, že teleso je homogénne, tak jeho hustotu vieme vyjadriť σ = m V. Predpokladajme, že teleso nie je homogénne a jeho hustota v bode [x, y, z] je daná funkciou σ(x, y, z). Otázka je ako vypočítať hmotnosť takéhoto telesa. 1

22 Poocou delenia (ako pri definícii trojného integrálu) rozdelíme teleso. na hranolčeky ijk. Segment ijk môžeme vďaka použitiu normálnej postupnosti delení považovať za tak malý, že jeho hustota je konštantná a je reprezentovaná hustotou vo zvolenom bode T ijk = [x i, yj, zk ] ijk a teda na ijk je σ(x, y, z) = σ(x i, yj, zk). Preto hotnosť segmentu ijk môžeme vyjadriť m( ijk ) σ(x i, y i, z k)v ( ijk ) = σ(x i, y i, z k) x i y j z k Hmotnosť celého telesa aproximujeme súčtom hmotností homogénnych segmentov ij, preto m() i,j,k m( ijk ) i,j,k σ(x i, y i, z k) x i y j z k. Keďže uvažujeme normálnu postupnosť delení množiny, limitným prechodom dostávame m() = σ(x, y, z) dxdydz. 3.3 Statické momenty. Ťažisko Statické momenty priestorového telesa s hustotou σ(x, y, z) vzhľadom na roviny ρ xy, ρ xy, ρ xy počítame analogicky ako pri rovinnej oblasti S xz = σ(x, y, z) y dxdydz S xy = S yz = σ(x, y, z) z dxdydz σ(x, y, z) x dxdydz. Pre súradnice ťažiska T = [x T, y T, z T ] platia nasledovné vzťahy x T = 1 x σ(x, y, z) dxdydz m y T = 1 m z T = 1 m y σ(x, y, z) dxdydz z σ(x, y, z) dxdydz Rovnako ako pri dvojnom integráli, aj pri trojnom vieme súradnice ťažiska využiť pri výpočte trojných integrálov z lineárnej funkcie ( ) ( ax + by + cz + d dxdydy = axt + by T + cz T + d ) V (),

23 pričom V () je objem homogenného telesa hustotou σ(x, y, z) = 1 pričom T = (x T, y T, z T ) sú súradnice jeho ťažiska. V nasledujúcom príklade ukážeme použitie tohto výpočtu. Príklad Vypočítajte hmotnosť telesa = 0, 0, 3 0, 4, ktorého hustota je σ(x, y, z) = 3x y + z + 5. Riešenie: Načrtneme si množinu. o z 4 3 o x o y m = σ(x, y, z) dxdydz = (3x y + z + 5) dxdydz { tento integrál môžeme rátať pomocou súradníc ťažiska T = [1.5; 1; ], teraz už homogénneho hranola } = (3x T y T + z T + 5)V () = 8. Príklad 3.3. Vypočítajte súradnice ťažiska homogénneho telesa ohraničeného plochami y = x, z = 0, x + z =. o z o x o y Zo symetrie telesa plynie, že pre ťažisko platí T = [x T, 0, z T ]. Náčrtok nám pomôže popísať množinu ako oblasť typu [x, y, z], t.j. 0 x x y x 0 z x. 3

24 Môžeme položiť σ(x, y, z) = 1, a preto x m = dxdydz = = Pre statické momenty platí 0 S yz = = S xy = = 1 Preto T = [ 6 7, 0, 4 7] x x 0 dz dy dx [ ] x y xy dx = ( x x 3/) dx = 3 x x dxdydz = 0 x x [ ] (x x x )y dx = x z dxdydz = 0 x x 0 x 0 x 0 x dz dy dx ( x 3/ x 5/) dx = z dz dy dx [ ] (4 4x x x ( )y dx = (4 4x x ) x ) dx = 18 x Transformácia trojného integrálu V niektorých prípadoch je výhodnejšie trojný integrál počítať pomocou transformácie do cylindrických alebo sférických súradníc. Transformačné vzťahy pre cylindrické súradnice sú x = ρ cos α x = ρ sin α z = z α 0, π, ρ 0, z R. o z [x, y, z] α ρ x y ox z o y 4

25 Pomocou tejto transformácie bodu [x, y, z] priradíme bod [α, ρ, z] a platí f(x, y, z) dxdydz = ρ f(ρ cos α, ρ sin α, z) dαdρdz B kde f je spojitá na, množina B vznikne transformáciou množiny do cylindrických súradníc. ylindrické súradnice používame spravidla pri valcovitých telesách. Príklad Vypočítajte trojný integrál telesa z dxdydz, kde je ohraničená plochami z = x + y, z = x y. Riešenie: Načrtneme o z si množinu. o x o y Teleso je výhodné popísať cylindrickými súradnicami, pričom využijeme, že priemet telesa do roviny ρ xy je kruh s polomerom 1, Preto 0 α π 0 ρ 1 ρ = x + y z x y = ρ z dxdydz = π ρ ρ ρ z dz dρ dα = 1 π 0 [ ρ 6 6 5ρ ρ Transformačné vzťahy pre sférické súradnice sú x = r cos α cos β x = r sin α cos β z = r sin β α 0, π, β π, π ] 1 0 dα = 11π 1. r 0. 5

26 o z [x, y, z] r z α β x y ox o y Pomocou tejto transformácie bodu [x, y, z] priradíme bod [α, β, r] a platí f(x, y, z) dxdydz = = r cos β f(r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β) dαdβdr, B kde f je spojitá na, množina B vznikne transformáciou množiny do sférických súradníc. Príklad 3.4. Odvoďte vzorec pre objem gule s polomerom r 1. Riešenie: Guľu : x + y + z r 1 je výhodné popísať sférickými súradnicami pričom 0 α π π/ β π/ 0 r r 1 Preto V = dxdydz = π 0 = r3 1 3 π/ π/ π 0 r 1 0 r cos β dr dβ dα [ ] π/ sin β dα = 4πr3 1 π/ 3. 6

27 Kapitola 4 Krivky a ich ich parametrické vyjadrenie Pred definíciou krivkového integrálu II. druhu sa budeme zaoberať pojmom krivka. Rovnica : r(t) = ϕ(t) ı + ψ(t) ı, t [α, β], predstavuje parametrické vyjadrenie krivky v rovine. ψ(t) ϕ(t) α t β resp. Podobne rovnica : r(t) = ϕ(t) ı + ψ(t) j + χ(t) k, t [a, b], x = ϕ(t) y = ψ(t) z = χ(t), t [α, β] predstavuje parametrické vuyjadrenie priestorovej krivky. Špeciálne krivky tvoria grafy funkcií y = f(x), x [α, β]. Napríklad graf funkcie y = 1 x, x [ 1, 1] predstavuje oblúk kružnice. 7

28 1 1 Vyjadríme túto krivku parametricky. Jedno z možných vyjadrení je x = t y = 1 t, t [ 1, 1] Ďaľšie je napríklad x = cos t y = sin t, t [0, π] Teda jedna krivka môže mať rôzne parametrické vyjadrenia. Uvažujme rovinnú krivku danú parametrickými rovnicami x = ϕ(t) y = ψ(t), t [α, β] k pre t = α dostaneme prvý bod krivky, tak hovoríme, že krivka je orientovaná súhlasne so svojím parametrickým vyjadrením. ψ(α) ϕ(α) α β V opačnom prípade hovoríme, že krivka je orientovaná nesúhlasne so svojim parametrickým vyjadrením. Krivku nazývame hladkou, ak funkcie ϕ(t) a ψ(t) majú spojité derivácie na [a, b]. k krivka nepretína sama seba, tak ju nazývame jednoduchou. Krivku : r(t) [α, β] nazveme uzavretou ak r(α) = r(β) (teda prvý a posledný bod krivky sú totožné). Príkladom uzavretej krivky je napr. kružnica x = cos t y = sin t, t [0, π] 8

29 Uzavretú krivku nazvem kladne orientovanou, ak jej orientácia je proti smeru pohybu hodinových ručičiek (viď obrázok). V opačnom prípade uzavretú krivku nazývame záporne orientovanou. 9

30 Kapitola 5 Krivkový integrál II. druhu V tejto kapitole zadefinujeme krivkový integrál pomocou jeho praktickej aplikácie. Budeme vyšetrovať akú prácu vykoná sila určená funkciou F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) pri pohybe hmotného bodu po orientovanej rovinnej krivke. Uvažujme na začiatok jednorozmerný prípad, keď sa hmotný bod pohybuje po osi o x pôsobením konštantnej sily F a prejde dráhu dĺžky s, t.j. krivka je úsečka ležiaca na osi o x. Vykonaná práca je určená vzťahom = F.s s Ďalej uvažujme prípad, keď sa hmotný bod pohybuje v smere vektora s = (s 1, s ) a prejde dráhu s a pôsobí naňho konštantná sila F = (P, Q) o y s F Q P s s 1 o x Pohyb hmotného bodu rozložíme na dva pohyby. Prvý pohyb je v smere osi o x, t.j. po úsečke s 1 pôsobebením sily P Druhý pohyb je v smere osi o y, t.j. po úsečke s pôsobením sily Q. Práca vykonaná v smere osi o x je Práca vykonaná v smere osi o y je x = P.s 1 y = Q.s 30

31 elková práca, ktorú vykoná sila F = (P, Q) pri pohybe pozdĺž vektora s je teda = x + y = P.s 1 + Q.s = F s = F s cos α, kde αjeuholvektorov F, s. Je užitočné si všimnúť, že F cos α je kolmý priemet vektora F na vektor s. Uvažujme ďalej najvšeobecnejší prípad. Počítajme prácu, ktorú vykoná sila F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) pri pohybe hmotného bodu po krivke (jednoduchá, po častiach hladká, orientovaná) určenej parametrickým vyjadrením σ určenú parametrickým vyjadrením : x = ϕ(t), y = ψ(t), t [a, b], Keďže úlohu máme vyriešenú pre jednoduchší prípad: konštantná sila a krivka je úsečka, prevedieme túto všeobecnejšiu úlohu na jednoduchší prípad a zároveň zadefinujeme v štyroch krokoch krivkový integrál. 1. Rozdelíme krivku pomocou deliacich bodov P i = [x i, y i ], na menšie oblúky i = P i 1 P i, kde i = 1,,..., m. Uvažujeme postupnosti delení {D n } n=1, pričom táto postupnosť sa nazýva normálna ak lim D n = 0, t kde D n = max{d( i )}, pričom d( i ) je priemer krivky i, ktorý chápeme ako vzdialenosť dvoch "najvzdialenejších"bodov i (t.j. d( i ) = sup ρ(, B), kde, B i ) o y y i y 0 P 1 P 0 P i P m x 0 x i x m Predpokladáme, že delenie je tak jemné, že zakrivenie oblúkov i je minimálne, t.j. oblúky sú "blízke"úsečkám.. Urobíme dve aproximácie, ktoré sú založené na tom, že máme normálnu postupnosť delení, teda krivka i sa "máloödlišuje od úsečky P i 1 P i. Prvá aproximácia je nahradenie pohybu po krivke i pohybom po úsečke s i = (x i x i 1, y i y i 1 ) = ( x i, y i ). Druhá aproximácia je nasledovná: na krivke i zvolíme bod T i = [x i, yi ] a silu v každom bode [x, y] krivky i môžeme aproximovať F (x, y) F (x i, yi ) o x 31

32 3. elkovú prácu môžeme vyjadriť nasledovne = p n i=1 i, kde i je práca pri pohybe hmotného bodu po oblúku i, ktorú vzhľadom na použité aproximácie môžeme vyjadriť ako prácu pri pohybe hmotného bodu pozdĺž úsečky P i 1 P i vplyvom konštantnej sily F (x i, y i ) a teda preto i F (x i, y i ) s i = P (x i, y i ) x i + Q(x i, y i ) y i p n i=1 P (σ ij )P (x i, y i ) x i + Q(x i, y i ) y i = S(D n ) čo je postupnosť integrálnych súčtov odpovedajúca postupnosti delení {D n } a voľbe bodov T i. 4. Krivkový integrál je limita tejto postupnosti integrálnych súčtov. Zhrnieme uvedené informácie do nasledujúcej definície. Definícia Nech je jednoduchá, po častiach hladká, orientovaná krivka, nech F je spojitá na. k pre každú normálnu postupnosť delení krivky a pre ľubovoľnú voľbu bodov T i = [x i, y i ] existuje lim n p n i=1 (P (x i, y i ) x i + Q(x i, y i ) y i ), tak túto limitu nazývame krivkovým integrál II. druhu funkcie F na krivke. Zapisujeme F (x, y) d s = P (x, y) dx + Q(x, y) dy. Tento integrál vyjadruje veľkosť práce, ktorú vykoná sila F pri pohybe hmotného bodu po krivke. 5.1 Základné vlastnosti krivkového integrálu V ďalšom budeme predpokladať o všetkých integráloch, že existujú a krivky po ktorých integrujeme sú jednoduché, orientované a hladké. P (x, y) dx + Q(x, y) dy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy, t.j. celkovú prácu je možné rozložiť na prácu v smere osi o x a prácu v smere osi o y. 3

33 nech krivky 1, tvoria delenie krivky, potom P (x, y) dx + Q(x, y) dy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy 1 + P (x, y) dx + Q(x, y) dy, nech je krivka, ktorá vznikne z krivky zmenou orientácie, potom P (x, y) dx + Q(x, y) dy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy 5. Veta o výpočte krivkového integrálu Ukážeme ako vypočítať plošný integrál prevodom na určitý integrál. Majme krivku určenú parametrickým vyjadrením : r(t) = ϕ(t) ı + ψ(t) ı, t [a, b], K odvodeniu vety o výpočte využijeme nasledujúcu vlastnosť P (x, y) dx + Q(x, y) dy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy, Nezávisle budeme počítať integrály P (x, y) dx a Q(x, y) dy pomocou definície krivkového integrálu. Delenie D n krivky urobíme pomocou delenia intervalu [a, b] nasledovne. Uvažujme delenie a = t 0 < t 1 < t n = b Bodu t i z intervalu [a, b] odpovedá bod P i = [x i, y i ] = [ϕ(t i ), ψ(t i )] na rovinnej krivke y i y 0 P 1 P 0 P i P n x 0 x i x n t 0 t i t n Takto pomocou delenia intervalu [a, b] vytvoríme delenie krivky. nalogicky z každého podintervalu (t i 1, t i ) vyberieme bod t i a tomuto bodu odpovedá výberový bod T i = [x i, yi ] = [ϕ(t i ), ψ(t i )] na rovinnej krivke. Využitím týchto skutočností priamo z definície krivkového integrálu dostávame 33

34 P (x, y) dx = lim n = lim n = lim n p n i=1 p n i=1 p n i=1 P (x i, y i ) x i P (ϕ(t i ), ψ(t i ))(ϕ(t i ) ϕ(t i 1 )) P (ϕ(t i ), ψ(t i )) ϕ(t i) ϕ(t i 1 ) t i t i 1 (t i t i 1 ) { Lagrangeova veta pre funkciu ϕ(t) na intervale [t i 1, t i ] dáva bod t i, taký, že ϕ(t i) ϕ(t i 1 ) = ϕ (t i ). Tento bod t i t i 1 } je zároveň výberový bod z intervalu [t i 1, t i ] = lim n p n i=1 P (ϕ(t i ), ψ(t i ))ϕ (t i ) t i { v tomto vzťahu spoznávame limitu postupnosti integrálnych súčtov pre dvojný integrál a preto} = b P (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) dt. Odvodili sme nasledujúci vzťah a P (x, y) dx = nalogickým postupom dostávame Q(x, y) dx = b a b a P (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) dt. Q(ϕ(t), ψ(t))ψ (t) dt. Na základe uvedeného môžeme sformulovať vetu o výpočte krivkového integrálu. Veta 5..1 Nech F = P (x, y) ı + Q(x, y) j je spojitá vektorová funkcia definovaná na orientovanej jednoduchej hladkej krivke, ktorej parametrické vyjadrenie je : r(t) = ϕ(t) ı + ψ(t) ı, t [a, b], Potom b P (x, y) dx + Q(x, y) dy = ± a P (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ (t) dt, kde znamienko + resp. platí ak je orientovaná súhlasne resp. nesúhlasne so svojim parametrickým vyjadrením. 34

35 Príklad 5..1 Vypočítajte krivkový integrál y dx x dy, ak krivka ak je elipsa : r(t) = cos t ı + sin t ı, t [0, π], orientovaná súhlasne so svojim parametrickým vyjadrením. Riešenie: Zakreslíme elipsu a v niekoľkých vybraných bodoch znázorníme aj vektor sily F = y ı x j. o y 3 F o x 3 Keďže sila pôsobí stále proti pohybu hmotného bodu bude výsledná práca záporná, a znamienko mínus vyjadruje, že silové pole prácu nekoná, ale na prekonanie silového poľa treba prácu dodať. Výpočet dáva y dx x dy = π 0 ( 3 sin t ( sin t) 6 cos t (3 cos t) ) dt = 1π. k by sa hmotný bod pohyboval po elipse opačným smerom, silové pole by prácu konalo a výsledok by bol 1π 5.3 Greenova veta V prípade, ak je krivka uzavretá, kladne orientovaná, môžeme krivkový integrál počítať prevodom na dvojný integrál, o čom hovorí nasledujúca veta. Veta Nech je uzavretá, jednoduchá, hladká, kladne, orientovaná krivka. Nech D je rovinná oblasť ohraničená krivkou. Nech P, Q, Q, x sú spojité na D. Potom P y P (x, y) dx + Q(x, y) dy = D ( Q(x, y) x ) P (x, y) dxdy y 35

36 Dôkaz. Ukážeme, že platia nasledujúce rovnosti. P (x, y) P (x, y) dx = dxdy y D Q(x, y) Q(x, y) dy = dxdy x D Predpokladáme, že D je elementárna oblasť typu [x, y] aj [y, x] (ak nie,tak oblasť D vyjadríme ako zjednotenie viacerých elementárnych oblastí. ) a h g 1 b d c α 3 β 4 D : a x b g(x) y h(x) D : c y d α(y) x β(y) Krivku rozdelíme na dve krivky = 1, kde 1 : x = t, : x = t, y = g(t) t [a, b] y = h(t) t [a, b] pričom krivka 1 je orientovaná súhlasne s týmto parametrickým vyjadrením a krivka nesúhlasne. Počítajme krivkový integrál P (x, y) dx = P (x, y) dx + P (x, y) dx 1 b b = P (t, g(t)) dt P (t, h(t)) dt a Ďalej počítajme dvojný integrál { P (x, y) keďže D : a x b dxdy = y g(x) y h(x) D ( ) = = b a b h(x) g(x) P (x, y) y a dx dy P (x, h(x)) P (x, g(x)) dx } = ( ) a 36

37 Tým sme dokázali požadovanú rovnosť. nalogicky sa overí, že Q(x, y) Q(x, y) dy = dxdy x Príklad Vypočítajte krivkový integrál (x + y) dx (x y) dy, ak krivka ak je kladne orientovaná elipsa x 4 + y 9 = 1, o y 3 D o x Riešenie: Použitím Greenovej vety dostávame (x + y) dx (x y) dy = 1 dxdy = P (D) = 1π Príklad 5.3. Vypočítajte krivkový integrál y x dx + dy, ak je kladne orientovaná hranica oblasti ohraničenej krivkami y = ln x, y = 1, y =, x = 0. Riešenie: Načrtneme si kontúry oblasti ohraničenej krivkou. o y y = ln x 1 o x D Množina D vyjadríme nasledovne D : 1 y 0 x e y Použitím Greenovej vety dostávame y x dx + dy = D (x y) dxdy = [ e y = 4 yey + e y ] 1 1 ey 0 = e4 4 5e 4. (x y) dx dy 37

38 x Príklad Pomocou krivkového integrálu odvoďte vzorec pre výpočet obsahu elipsy danej: a + y b = 1. Riešenie: Vieme, že plochu vieme vyjadriť pomocou dvojného integrálu, na ktorý aplikujeme Greenovu vetu: D b a o x Teda Plocha = D 1 dxdy = D = ( Q(x, y) x P (x, y) dx + Q(x, y) dy ) P (x, y) dxdy y Potrebujeme nájsť také funkcie P, Q, aby platilo ( ) Q(x, y) P (x, y) 1 =. x y Možnosti na zvolenie funkcií P, Q je samozrejme viacej. My použijeme P (x, y) = y Q(x, y) = x teda odvodili sme všeobecný vzorec pre výpočet obsahu rovinného telesa P (D) = y dx + x dy, kde je kladne orientovaná hranica D. plikáciou tohto vzorca na náš príklad, použitím nasledujúcich parametrických rovníc pre elipsu : x = cos t, y = sin t, t [0, π], dostávame P (D) = y dx + x π dy = ( b sin t)( a sin t) + (a cos t)(b cos t) dt = πab 0 Príklad Nech je uzavretá, jednoduchá hladká, kladne orientovaná krivka, ktorá tvorí hranicu oblasti Ω. Vyjadrite dvojný integrál ts dtds pomocou krivkového integrálu. Ω 38

39 Riešenie: Greenova veta vyžaduje funkcie P (t, s), Q(t, s), také,že ( ) Q(t, s) P (t, s) ts =. t s Existuje nekonečne veľa variant pre ich výber. My urobíme jeden konkrétny založený na zameniteľnosti premenných t, s vo funkcii ts, a teda ts = ts ts ( ) Q(t, s) = P (t, s). t s Funkciu Q(t, s) nájdeme z podmienky Q(t,s) = ts a využitím symetrie medzi t t a s stačí potom položiť P (t, s) = Q(s, t). teda v našom prípade bude Preto Q(t, s) = t s 4 Ω a následne ts dtds = P (t, s) = ts 4. ts 4 dt + t s 4 ds. Nasledujúci príklad využijeme ako referenčný pri odvodzovaní metódy výpočtu objemu molekuly. Príklad Nech je uzavretá, jednoduchá hladká, kladne orientovaná krivka, ktorá tvorí hranicu oblasti Ω. Vyjadrite dvojný integrál 1 (t + s + r ) dtds Ω pomocou krivkového integrálu. Riešenie: by sme mohli aplikovať Greenovu vetu potrebujeme zvoliť funkcie P, Q tak, aby ( 1 Q(t, s) (t + s + r ) = t ) P (t, s). s Existuje nekonečne veľa možností ako vybrať tieto funkcie. Problém je ako ich nájsť v čo najjednoduchšom tvare. Keďže ľavá strana je vlastne podiel dvoch polynómov, budeme aj funkcie P, Q hľadať v tvare racionálnej funkcie. Využitím symetrie medzi premennými t, s v predpise funkcie a faktu, že derivácia racionálnej funkcie zvyšuje stupeň mocniny v menovateli, skúsime P, Q hľadať v nasledujúcom tvare 1 (t + s + r ) = t ( ) t t + s + r s ( ) s, t + s + r kde je konštanta. Vypočítaním parciálnych derivácii na pravej strane, dostávame 1 (t + s + r ) = r t t + s + r 39

40 a teda pre = 1 vieme funkciu napísať ako rozdiel požadovaných parciálnych derivácii. plikácia Greenovej vety dáva požadovanú transformáciu na r krivkový integrál: 1 (t + s + r ) dtds = 1 s r t + s + r dt + t t + s + r ds Ω = 1 r s dt + t ds t + s + r. 5.4 Dôsledky Greenovej vety, nezávislosť od integračnej cesty Nech je uzavretá, jednoduchá hladká, kladne orientovaná krivka, ktorá tvorí hranicu oblasti D. k na oblasti D platí, potom Q(x, y) x = P (x, y), y P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0. Táto vlastnosť je bezprostredným dôsledkom Greenovej vety a využijeme ho pri nasledujúcich úvahách. Nech na oblasti D platí, Q(x, y) x = P (x, y), y Nech jednoduché krivky 1 a ležia v oblasti D a majú spoločný začiatočný aj koncový bod. o y 1 B D o x potom P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 1 P (x, y) dx + Q(x, y) dy. To znamená, že uvedený krivkový integrál nezávisí od integračnej cesty (od tvaru krivky), ale len od začiatočného a koncového bodu. Uvedené tvrdenie 40

41 vyplýva z nasledujúcich úvah. Uvažujme uzavretú krivku = ( 1 ), ktorá je kladne orientovaná. Použitím prvého dôsledku pre krivku máme 0 = P dx + Q dy = P dx + Q dy P dx + Q dy, 1 odkiaľ vyplýva naše tvrdenie. Ďalej zadefinujeme potenciál silového poľa a ukážeme jeho použitie pri výpočte krivkového integrálu. Majme jednoduchú hladkú krivku určenú parametrickým vyjadrením : r(t) = ϕ(t) ı + ψ(t) ı, t [a, b], a jej orientácia je súhlasná s daným parametrickým vyjadrením, t.j. = [ϕ(a), ψ(a)] je jej začiatočný bod a B = [ϕ(b), ψ(b)] je jej koncový bod. Krivka leží v oblasti D. o y ψ(a) ψ(b) ϕ(a) 1 B ϕ(b) o x Uvažujme integrál P (x, y) dx + Q(x, y) dy. Predpokladajme, že existuje skalárna funkcia V (x, y), pre ktorú na D platí V (x, y) x V (x, y) y = P (x, y), = Q(x, y). Takúto funkciu nazývame potenciál silového poľa F = (P, Q). k zmiešané parciálne derivácie funkcie V (x, y) sú spojité na D, potom z ich rovnosti vyplýva a teda integrál P (x, y) y = V (x, y) x y = V (x, y) y x P (x, y) dx + Q(x, y) dy. = Q(x, y) x spĺňa podmienku nezávislosti na integračnej ceste. Môžeme zhrnúť. Krivkový integrál nezávisí od integračnej cesty práve vtedy ak existuje potenciál jeho silového poľa. 41

42 Ukážeme, že pomocou potenciálu silového poľa môžeme jednoducho vypočítať krivkový integrál. P (x, y) dx + Q(x, y) dy = { použitím vety o výpočte } = b P (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ (t) dt = a keďže dv (ϕ(t), ψ(t)) dt = V (ϕ(t), ψ(t)) dϕ(t) + x dt V (ϕ(t), ψ(t)) y = P (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ (t) dψ(t) dt = b a d ( ) [ ] b V (ϕ(t), ψ(t)) dt = V (ϕ(t), ψ(t)) = V (B) V (). dt a Uvedené možno zhrnúť do nasledujúceho tvrdenia k existuje potenciál silového poľa V (krivkový integrál nezávisí od integračnej cesty), potom P (x, y) dx + Q(x, y) dy = V (B) V (), kde a B sú prvý a posledný bod krivky. Príklad Vypočítajte krivkový integrál y dx + x dy, ak = [1, 1] a B = [, 4] sú prvý a posledný bod krivky. Riešenie: Keďže Q(x, y) P (x, y) = 1 =, x y uvedený integrál nezávisí od integračnej cesty a môžeme ho rátať pomocou potenciálu V (x, y), kde V (x, y) = P (x, y) = y, x V (x, y) = Q(x, y) = x. y Očividne V (x, y) = xy vyhovuje týmto podmienkam, a preto [ ] B=[,4] y dx + x dy = xy = 8 1 = 7. =[1,1] 4

43 Kapitola 6 Súčiny vektorov a ich aplikácie V tejto kapitole zadefinujeme niekoľko operácii s vektormi a ukážeme ich použitie. 6.1 Násobok vektora skalárom Nech v = (v 1, v, v 3 ) je daný vektor a c R, potom c. v = (cv 1, cv, cv 3 ) Pri násobení vektora skalárom sa mení veľkosť vektora, zatiaľ čo smer a orientácia (c > 0) zostávajú. Vektory c. v, c. v sú teda rovnobežné. 6. Skalárny súčin Nech v = (v 1, v, v 3 ) a u = (u 1, u, u 3 ) sú dané vektory. Skalárny súčin vektorov v, u označujeme v u a definujeme nasledovne v u = u 1 v 1 + u v + u 3 v 3. Pomocou skalárneho súčinu vieme vyjadriť uhol dvoch vektorov. P v Q α O u Uvažujme vektory v = (v 1, v, v 3 ), u = (u 1, u, u 3 ) body P = [v 1, v, v 3 ] a Q = [u 1, u, u 3 ] počítajme štvorec veľkosti vektora P Q P Q = (u 1 v 1 ) + (u 1 v 1 ) + (u 1 v 1 ) = u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) = u + v u v 43

44 Na trojuholník PQO aplikujeme kosínusovú vetu P Q = u + v u. v cos α, kde α je uhol vektorov u, v. Spojením oboch rovností dostávame u v = u. v cos α. ( ) Poznámka 6..1 Niektorí autori práve týmto vzťahom definujú skalárny súčin. Vlastnosti skalárneho súčinu: Nech u, v sú vektory a α je uhol týchto vektorov. Zo vzťahu ( ) máme α = π [ α 0, π ) ( π ] α, π u v = 0 u v > 0 u v < 0 priamo z definície plynie 6.3 Vektorový súčin u v = u v (c u) v = c( u v) u u = u Nech v = (v 1, v, v 3 ) a u = (u 1, u, u 3 ) sú dané vektory. Vektorový súčin vektorov v, u je vektor w, (zapisujeme w = v u), ktorý definujeme nasledovne ı j k w = v u = u 1 u u 3 = (u v 3 v u 3, v 1 u 3 u 1 v 3, u 1 v u v 1 ). v 1 v v 3 Vlastnosti vektorového súčinu. a) Nech w = v u, potom w v a w u, t.j. vektorový súčin je kolmý na rovinu určenú vektormi v a u. b) Pomocou vektorového súčinu vieme vypočítať obsah rovnobežníka tvoreného nezávislými vektormi v a u 44

45 v h α u Obr. Nech w = v u. Počítajme štvorec veľkosti vektora w w = (u v 3 v u 3 ) + (v 1 u 3 u 1 v 3 ) + (u 1 v u v 1 ) = u v3 + vu 3 + v1u 3 + u 1v3 + u 1v + u v1 (u v 3 v u 3 + v 1 u 3 u 1 v 3 ) + u 1 v u v 1 ) = ( ( ) u 1 + u + u3) + v 1 + v + v3 (u1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) = u v ( u v) = u v u. v cos α = u. v sin α Keďže α [0, π], dostávame w = u. v sin α. Na druhej strane obsah rovnobežníka na Obr. je P = u h = u. v sin α. teda obsah rovnobežníka určeného vektormi v a u môžeme vyjadriť ako veľkosť ich vektorového súčinu. c) Pre vektory v, u, w platí P = u v. u ( v + w) = u v + u v (c u) v = c( u v) 6.4 Praktické použitie vektorového súčinu (príprava k plošnému integrálu) Rovina ρ daná bodom P a dvojicou nezávislých vektorov u, v má štandardné parametrické vyjadrenie: X = P + t u + s u, (t, s) R Tú istú rovinu môžeme vyjadriť samozrejme aj v tvare X = P + (t t 1 ) u + (s s 1 ) u, (t, s) R kde t 1, s 1 sú ľubovoľné čísla. k pre parametre t, s zavedieme obmedzenia t [t 1, t ], s [s 1, s ], tak rovnica r(t, s) = X = P + (t t 1 ) u + (s s 1 ) u 45

46 reprezentuje rovnobežník, B v P u kde body P = r(t 1, s 1 ) = r(t, s 1 ) = P + (t t 1 ) u B = r(t 1, s ) = P + (s s 1 ) v Obsah uvedeného rovnobežníka vyjadrený pomocou vektorového súčinu je P = P P B = (t t 1 ) u (s s 1 ) v = (t t 1 )(s s 1 ) u v Odvodený vzťah použijeme neskôr pri odvádzaní vety o výpočte plošného integrálu. 6.5 Zmiešaný súčin Nech v = (v 1, v, v 3 ), u = (u 1, u, u 3 ) a w = (w 1, w, w 3 ) sú dané vektory. Zmiešaný súčin definujeme nasledovne ı j k u 1 u u 3 u ( v u) = (u 1, u, u 3 ) v 1 v v 3 = v 1 v v 3. w 1 w w 3 w 1 w w 3 46

47 Kapitola 7 Dotyčnica ku priestorovej krivke určenej parametrickými rovnicami Nech : r(t) = ϕ(t) ı + ψ(t) j + χ(t) k, t [α, β], je parametrické vyjadrenie jednoduchej, hladkej krivky. Zvoľme na krivke dva body P = [p 1, p, p 3 ] = r(t 0 ) a Q = r(τ), pričom teda t 0, τ (α, β). r(t) P Q α t 0 τ β Našim cieľom je napísať rovnicu dotyčnice ku krivke v bode P. Najprv napíšeme rovnicu sečnice, t.j. priamky prechádzajúcej bodmi P a Q. Jej parametrické vyjadrenie je X = P + t P Q, t R. Respektíve namiesto vektora P Q môžeme v parametrickom vyjadrení použiť 1 jeho vhodný násobok, napr. τ t 0 P Q a teda 1 r(τ) r(t 0 ) X = P + t P Q = P + t. τ t 0 τ t 0 Uvedené vyjadrenie rozpísané po zložkách je x = p 1 + t ϕ(τ) ϕ(t 0) τ t 0 y = p + t ψ(τ) ψ(t 0) τ t 0 z = p 3 + t χ(τ) χ(t 0) τ t 0 47

48 Pre Q P, teda τ t 0 sa sečnica dotyčnicou, preto limitným prechodom dostávame rovnicu dotyčnice x = p 1 + t ϕ (t 0 ) y = p + t ψ (t 0 ) z = p 3 + t χ (t 0 ) respektíve X = P + t r (t 0 ). Teda r (t 0 ) je smerový vektor dotyčnice ku krivke určenej parametrickým r(t) vyjadrením v bode P = r(t 0 ). 48

49 Kapitola 8 Dotyková rovina ku ploche určenej parametrickými rovnicami Nech σ : r(t, s) = x(t, s) ı + y(t, s) j + z(t, s) k, (t, s) Ω R je parametrické vyjadrenie hladkej plochy. Na ploche zvolíme bod P σ, t.j. P [x 0, y 0, z 0 ] = r(t 1, s 1 ), (t 1, s 1 ) Ω. Úlohou je zostrojiť dotykovú rovinu a normálový vektor k ploche σ v bode P. t = t 1 s 1 s = s 1 t 1 Úsečke (t, s 1 ) Ω odpovedá priestorová krivka 1 ležiaca na Ω s parametrickým vyjadrením r(t, s 1 ). Preto smerový vektor dotyčnice ku krivke 1 v bode P [x 0, y 0, z 0 ] je [ ] r(t, s1 ) = r(t 1, s 1 ) t t=t 1 t 1 n P nalogicky úsečke (t 1, s) Ω odpovedá priestorová krivka ležiaca na Ω s parametrickým vyjadrením r(t 1, s). Preto smerový vektor dotyčnice ku 49

50 krivke 1 v bode P [x 0, y 0, z 0 ] je r(t 1, s 1 ) Rovina prechádzajúca bodom P s a určená vektormi r(t 1, s 1 ) r(t 1, s 1 ), t s sa nazýva dotyková rovina ku ploche σ v bode P. Vektor kolmý na dotykovú rovinu sa nazýva normálový vektor a je je určený n = r(t 1, s 1 ) t r(t 1, s 1 ) s Poznámka Normálový vektor ku ploche σ jednotkovej veľkosti vyjadríme ako n = r t r s r t r s. 50

51 Kapitola 9 Plochy a ich parametrické vyjadrenie Pred zavedením a študiom plošného integrálu II. druhu sa budeme zaoberať pojmom plocha. Plocha vznikne deformáciou nejakej časti roviny, predstavujeme si ju ako nejaký krivý list (napr. papiera), alebo povrch telesa (prípadne časti telesa). Budeme uvažovať plochy, ktoré vieme vyjadriť nasledovným parametrickým vyjadrením resp. σ : r(t, s) = x(t, s) ı + y(t, s) j + z(t, s) k, (t, s) Ω R σ x = x(t, s) y = y(t, s) z = z(t, s), (t, s) Ω R Uvažujme plochu σ ako časť paraboloidu z = x + y pre z [0, 1]. Parametrickým vyjadrením tejto plochy je napríklad σ x = t y = s z = t + s, t + s 1. lebo parametrické vyjadrenie tejto plochy je aj σ x = t cos s y = t sin s, z = t, 0 s π 0 t 1. Teda istá plocha môže mať rôzne parametrické vyjadrenia. 51

52 Poznámka 9.0. Plochu σ : r(t, s) = x(t, s) ı + y(t, s) j + z(t, s) k, (t, s) Ω R nazývame hladkou, ak sú funkcie x(t, s), y(t, s), z(t, s) a všetky ich parciálne derivácie spojité. 5

53 Kapitola 10 Plošný integrál II. druhu V tejto kapitole zadefinujeme plošný integrál cez jeho praktickú aplikáciu. Budeme vyšetrovať tok tekutiny cez plochu σ ak rýchlosť toku za jednotku času je daná funkciou f(x, y, z) = (f 1 (x, y, z), f (x, y, z), f 3 (x, y, z)). Uvažujme na začiatok najjednoduchšiu situáciu plocha σ je obdlžník v rovine ρ xy a rýchlosť toku tekutiny je popísaná konštantnou vektorovou funkciou f(x, y, z) = (0, 0, f 3 ). n f Našou úlohou je zistiť množstvo tekutiny, ktoré pretečie plochou σ za jednotku času v smere jednotkového normálového vektora n, ktorý je v tomto prípade n = (0, 0, 1) Tekutina, ktorá pretečie plochou za jednotku času vytvorí kváder s podstavou σ a výškou f a teda s objemom kde P (σ) je obsah obdlžníka σ. V = P (σ) f, n f Uvažujme teraz zložitejšiu situáciu, keď plocha σ je opäť obdlžník, rýchlosť toku tekutiny je popísaná konštantnou vektorovou funkciou f(x, y, z) = (f 1, f, f 3 ) pričom teraz jednotkový normálový vektor n f a vektory n, f 53

54 zvierajú uhol α. Tekutina za jednotku času vytvorí šikmý kváder s výškou v a objemom V = P (σ)v = P (σ) f cos α, f v α n Z vlastnosti skalárného súčinu a preto pre hľadaný objem platí cos α = n f f V = P (σ)v = P (σ). n f. Uvažujme ďalej najvšeobecnejší prípad majme zakrivenú ednoduchu, po častiach hladkú, orientovanú plochu σ určenú parametrickým vyjadrením σ : r(t, s) = x(t, s) ı + y(t, s) j + z(t, s) k, (t, s) Ω, ktorej orientáciu určuje jednotkový normálový vektor n = r t r s r t r s Rýchlosť toku tekutiny je v každom bode plochy σ určený vektorovou funkciou f(x, y, z) = (f 1, f, f 3 ) = (f 1 (x, y, z), f (x, y, z), f 3 (x, y, z)), ktorá je ohraničená na σ. Otázka je: ké množstvo tekutiny pretečie za jednotku času cez tú stranu plochy σ ktorú určuje jej normálový vektor. Keďže úlohu vieme riešiť pre prípad ak σ je obdlžník a vektorová funkcia f je konštantná, prevedieme úlohu na tento jednoduchší problém a zároveň zadefinujeme vštyroch krokoch plošný integrál. 1. Rozdelíme plochu σ na malé plôšky σ ij (viď obrázok) pomocou postupnosti delení {D n } n=1, pričom táto postupnosť sa nazýva normálna ak lim D n = 0, t kde D n = max{d(σ ij )}, pričom d(σ ij ) je priemer plôšky σ ij, ktorý chápeme ako vzdialenosť dvoch "najvzdialenejších"bodov σ ij σ ij σ 54

55 Predpokladáme, že delenie je tak jemné, že zakrivenie plôšiek σ ij minimálne, t.j. plôšky sú "blízkeöbdlžníkom. je. Z každej plôšky d(σ ij ) vyberieme bod Q ij a na celej plôške σ ij aproximujeme vektorovú funkciu f(x, y, z) = f(q ij ), (x, y, z) σ ij 3. Na základe úvad s obdlžníkovou plochou je objem tekutiny, ktorá pretečie cez plôšku σ ij približne rovný P (σ ij ). n f(q ij ). celkový objem tekutiny, ktorý pretečie cez celú plochu σ V i,j P (σ ij ). n f(q ij ) = S(D n ) čo je postupnosť integrálnych súčtov pre delenia {D n } a voľbu bodov Q ij, pričom sumácia vzľadom na i aj j sa robí podľa počtu deliacich bodov delenia D n 4. Plošný integrál je limita postupnosti integrálnych súčtov. Zhrnieme uvedené informácie do nasledujúcej dedinície. Definícia Nech σ je jednoduchá, po častiach hladká, orientovaná plocha, nech f je spojitá na σ. k pre každú normálnu postupnosť delení plochy σ a pre ľubovoľnú voľbu bodov Q ij existuje lim n P (σ ij ). n f(q ij ), i,j tak túto limitu nazývame plošným integrálom II. druhu funkcie f na ploche σ. Zapisujeme f(x, y, z) d σ = f 1 dydz + f dxdz + f 1 dxdy. σ σ Tento integrál reprezentuje množstvo tekutiny, ktoré pretečie za jednotku času plochu σ ak rýchlosť toku je daná funkciou f 10.1 Základné vlastnosti plošného integrálu Základne vlastnosti plošného integrálu sú zrejme z f(x, y, z) d σ = f(x, y, z) d σ + σ σ 1 σ f(x, y, z) d σ 55

56 10. Veta o výpočte plošného integrálu Ukážeme ako vypočítať plošný integrál prevodom na dvojný integrál. Majme plochu σ určenú parametrickým vyjadrením σ : r(t, s) = x(t, s) ı + y(t, s) j + z(t, s) k, (t, s) Ω, K odvodeniu vety o výpočte využijeme definíciu plošného integrálu. Delenie D n plochy σ urobíme pomocou delenia množiny Ω nasledovne. Nech Ω je časťou intervalu I = [a, b] [c, d]. Urobíme delenie intervalu [a, b]: a delenie intervalu [c, d]: a = t 0 < t 1 < t n = b c = s 0 < s 1 < s m = d (viď obrázok). Úsečke [t 1, s] Ω odpovedá krivka r(t 1, s) na ploche σ Podobne úsečke [t, s] Ω odpovedá krivka r(t, s) σ nalogicky úsečke [t, s 1 ] Ω odpovedá krivka r(t, s 1 ) na ploche σ. s m. Ω s 1 s 0 t 0 t 1 t... t n Takýmto spôsobom pomocou delenia rovinnej množiny Ω vyrobíme delenie priestorovej plochy σ. r(t 1, s) σ 11 σ 1 σ r(t, s 1 ) r(t, s) Jednotlivé plôšky σ ij vytvárajúce delenie D majú teda hranice tvorené oblúkmi kriviek r(t i, s), r(t i+1, s), r(t, s j ), r(t, s j+1 ). Priesečníky kriviek r(t i, s) a r(t, s j ) označíme Q ij = r(t i, s j ). Q ij σ ij Q ij ρ ij Pre malú plôšku σ ij zostrojíme dotykovú rovinu (konkrétne rovnobežník) v bode Q ij, krorý má predpis 56

57 ρ ij : X = Q ij + (t t i ) r t(t, s) + (s s j ) r s(t, s) Zostrojený dotykový rovnobežník ρ ij aproximuje plôšku σ ij a pri dostatočne jemnom delení zároveň pre ich obsahy platí Z kapitoly xy vieme, že P (σ ij ) P (ρ ij ). P (ρ ij ) = (t i+1 t i )(s j+1 s j ) r t r s = r t r s t i s j. Jednotkový normálový vektor v bode [ ] r n(q ij ) = t r s r t r s Vzťah pre výpočet plošného integrálu dostaneme priamo z jeho definície f(x, y, z) d σ = lim P (σ ij ). n f(q ij ) = ( ) σ n i,j využitím normálnej postupnosti delení sa aproximáci P (σ ij ) P (ρ ij ) pre n mení na rovnosť a teda ( ) = lim f(q ij ) n.p (ρ ij ) n i,j [ r = lim f(q ij ) t r s n r i,j t r s ] Q ij = lim f( r(t i, s j )) ( r t r n s) Qij i,j Q ij. r t r s t i s j t i s j { v tomto vzťahu spoznávame limitu postupnosti integrálnych súčtov pre dvojný integrál a preto} = f( r(t, s)) ( r t r s) dtds Ω { využitím vlastností zmiešaného súčinu vektorov} f 1 ( r(t, s)) f ( r(t, s)) f3 ( r(t, s)) = x t(t, s) y t(t, s) z t(t, s) dtds Ω x s(t, s) y s(t, s) z s(t, s) Na základe uvedeného môžeme sformulovať vetu o výpočte plošného integrálu. Veta Nech f(x, y, z) je spojitá vektorová funkcia definovaná na orientovanej jednoduchej hladkej ploche σ, ktorej parametrické vyjadrenie je r(t, s) = x(t, s) ı + y(t, s) j + z(t, s) k, (t, s) Ω, 57

58 Potom σ f(x, y, z) d σ = ± Ω f 1 ( r(t, s)) f ( r(t, s)) f3 ( r(t, s)) x t(t, s) y t(t, s) z t(t, s) x s(t, s) y s(t, s) z s(t, s) dtds, kde znamienko + resp. platí σ ak je orientovaná súhlasne resp. nesúhlasne s parametrizáciou plochy. Poznámka Znamienko + (teda plocha je orientovaná súhlasne s parametrickým vyjadrením) platí ak ı j k n = x t(t, s) y t(t, s) z t(t, s). x s(t, s) y s(t, s) z s(t, s) Príklad Vypočítajte plošný integrál x dydz + y dxdz + z dxdy, ak σ σ : r(t, s) = t ı + s j + (ts + 1) k, (t, s) Ω = [0, 1] [0, 1], Plocha je orientovaná tak, že normálový vektor v každom bode plochy zvierá s vektorom k ostrý uhol. Riešenie: Použitím vety o výpočte dostávame σ x dydz + y dxdz + z dxdy = ± Ω t s (ts + 1) 1 0 t dtds = ( ) 0 1 s Použili sme normálový vektor n = r t r s = ı j k 1 0 t 0 1 s = ( t, s, 1). Keďže n k = 1 > 0, zvierá náš normálový vektor s vektorom k ostrý uhol a teda použijeme znamienko +. Preto ( ) = (ts + 1) dtds =

59 Obr. 10.1: Graf plochy σ 10.3 Gauss - Ostrogradského veta Veta Nech σ je uzavretá, jednoduchá, hladká plocha, orientovanej normálovým vektorom smerom von. Nech R 3 je množina skladajúca sa zo všetkých bodov plochy σ aj jej vnútra. Nech f(x, y, z) aj div f(x, y, z) sú spojité na. Potom platí r(t, s) = x(t, s) ı + y(t, s) j + z(t, s) k, (t, s) Ω, Potom f(x, y, z) d σ = div f(x, y, z) dxdydz σ = ( f1 x + f y + f ) 3 dxdydz. z Dôkaz. Overíme platnosť nasledujúcich troch rovností f 1 (x, y, z) dydz = (f 1 ) x dxdydz σ σ σ f (x, y, z) dxdz = f 3 (x, y, z) dxdy = (f ) y dxdydz (f 3 ) z dxdydz 59

60 σ 1 n B σ n Obr. 10.: Graf plochy σ = σ 1 σ Plochu σ rozdelíme na dve plochy, σ = σ 1 σ (viď obrázok), kde σ 1 : z = ψ(x, y), (x, y) B a normálový vektor tejto plochy zviera s vektorom k ostrý uhol a σ : z = ϕ(x, y), (x, y) B Počítajme plošný integrál f 3 (x, y, z) dxdy = f 3 (x, y, z) dxdy + σ σ 1 σ f 3 (x, y, z) dxdy = ( ) Využitím nasledujúcej parametrizácie σ 1 : x = x y = y (x, y) B, z = ψ(x, y) σ : x = x y = y (x, y) B, z = ϕ(x, y) a vety o výpočte plošného integrálu dostávame 0 0 f 3 (x, y, ψ(x, y)) ( ) = 1 0 ψ x dxdy B 0 1 ψ y 0 0 f 3 (x, y, ϕ(x, y)) 1 0 ϕ x dxdy B 0 1 ϕ y a teda ( ) = f 3 (x, y, ψ(x, y)) dxdy f 3 (x, y, ϕ(x, y)) dxdy. B B Ďalej počítajme trojný integrál f 3 z dxdydz = ( ) 60

61 po množine danej : ϕ(x, y) z ψ(x, y) (x, y) B, preto ( ) = B ψ(x,y) ϕ(x,y) f 3 z dz dxdy = B B f 3 (x, y, ψ(x, y)) dxdy f 3 (x, y, ϕ(x, y)) dxdy = ( ) Tým sme dokázali požadovanú rovnosť. Príklad Vypočítajte plošný integrál x dydz + y dxdz + z dxdy σ ak σ je povrch guľovej plochy : (x 1) + (y 1) + (z ) 1 orientovanej normálou von. Riešenie: Použitím G.-O. vety dostávame σ x dydz + y dxdz + z dxdy = 3 1 dxdydz = 3V () = 4π Príklad Vypočítajte plošný integrál x dydz + y dxdz + z dxdy σ ak σ je povrch kocky = [0, 1] [0, 1] [0, 1] orientovaného normálou von. Riešenie: Použitím G.-O. vety dostávame x dydz + y dxdz + z dxdy = (x + y + z) dxdydz σ {trojný integrál je výhodné riešiť pomocou súradníc ťažiska} = (x T + y T + z T ) V () = 3 61

62 Kapitola 11 plikácia integrálov - výpočet objemu molekuly Úloha (riešime problém) Pre molekulu M skladajúcu sa z atómov G i tvaru guličiek (pozri Fig 1) M = G 1 G G n : n N je treba vypočítať objem, pričom G i : (x x i ) + (y y i ) + (z z i ) = r i Z teórie trojného integrálu vieme, že V (M) = 1 dxdydz. M Pre praktický výpočet tohto integrálu je už pre n = 3 nemožné na popis molekuly M použiť sférické súradnice (nie je totiž možné zistiť potrebné uhly súvisiace s prienikmi jednotlivých gúľ) Tieto problémy je možné odstráníť prevodom trojného integrálu na plošný použitím Gauss - Ostrogradského vety (kapitola xy). teda pre výpočet objemu máme V (M) = M 1 dxdydz = P (M) z dxdy = n i=1 P (G i ) z dxdy, kde P (M) je povrch molekuly M orientovaný normálou von, P (G i ) je prístupný povrch guličky G i (takisto orientovaný normálou von), t.j. ide o tú časť povrchu G i, ktorá leží zvonku všetkých susedov G i t.j. je prístupná, narozdiel od časti povrchu, ktorý je "pohltený"susedmi a je teda neprístupný. Gauss = Ostrogradského vetaposkytuje nekonečne veľa možností na vyjadrenie trojného integrálu pomocou plošného. Mohli sme napríklad použiť nasledujúce vyjadrenie dxdydz G.O. = 1 3 x dydz + y dxdz + z dxdy M P (M) 6

63 Obr. 11.1: Molekula zložená z n atómov Použijeme samozrejme jednoduchšie vyjadrenie uvedené vo vzťahu (S). Stačí ukázať ako vypočítať jeden z plošných integrálov z dxdy; i = 1,..., n. P (G i ) Výpočet ostatných je analogický. Bez újmy na všeobecnosti počítajme integrál pre i = 1. Na základe vety o výpočte plošného integrálu (kapitola xy) je potrebné vyjadriť plochu pomocou vhodného parametrického vyjadrenia. P (G i ) : r(t, s) = x(t, s) ı + y(t, s) j + z(t, s) k, (t, s) Ω 1. Teda počítame plošný integrál prevodom na dvojný integrál z dxdy = g(t, s) dtds, P (G 1 ) Ω 1 kde funkcia g(t, s) závisí od parametrického vyjadrenia plochy P (G 1 ). Pre jednoduchosť predpokladajme najprv, že Ω 1 je ohraničená oblasť, a preto tento dvojný integrál môžeme vypočítať prevodom na krivkový integrál využitím Greenovej vety (kapitola xy). K tomu potrebujeme vyjadriť funkciu g(t, s) v nasledujúcom tvare g(t, s) = Q(t, s) t Greenova veta teda dáva ( ) Q(t, s) P (t, s) dtds = t s Ω 1 P (t, s). s H(Ω 1 ) P (t, s) dt + Q(t, s) ds, kde H(Ω 1 ) je označenie pre hranicu Ω 1. V našom prípade, ako uvidíme neskôr, hranicu Ω 1 tvoria oblúky kružníc. 63