5. XI Zderivujte a zintegrujte nasledovné funkcie: Príklady k cvičeniam z Fyziky (PEDAS) M. Gintner 1.2 Načrtnite priebeh funkcií z príkladu

Prepis

1 1.1 Zderivujte a zintegrujte nasledovné funkcie: Príklady k cvičeniam z Fyziky (PEDAS) M. Gintner 1.2 Načrtnite priebeh funkcií z príkladu Nájdite riešenia nasledovných diferenciálnych rovníc: 1.4 Nájdite riešenia diferenciálnych rovníc z príkladu 1.3, ktoré vyhovujú nasledujúcim počiatočným podmienkam (v poradí korešpondujúcom príkladu 1.3): 2.1 Skúste použitím rozmerovej analýzy nájsť vzťah pre periódu matematického kyvadla. 2.2 Pomocou rozmerovej analýzy skúste odhadnúť veľkosť atómu vodíka. Presvedčte sa, že pri použití len veličín klasickej fyziky rozmerová analýza nepredpovedá žiadny typický rozmer atómu. Skúste potom k uvažovaným klasickým veličinám pridať rýchlosť svetla ( ) alebo Planckovu konštantu ( ). Predpovedá niektorý z takto odvodených vzťahov rozumnú hodnotu pre veľkosť atómu vodíka? (Nápoveda: Hmotnosť protónu považujte za nekonečne veľkú v porovnaní s hmotnosťou elektrónu. Elektrón je k jadru viazaný Coulombovou 1

2 silou, ktorá je úmerná konštante.) 2.3 Veľkosť rýchlosti automobilu na ceste z A do B bola. Z B automobil pokračoval do C konštantnou rýchlosťou o veľkosti. Aká bola priemerná veľkost rýchlosti automobilu na ceste z A do C, keď a) úsek z A do B prešiel za minút a úsek z B do C za minút; b) úsek z A do B meral a úsek z B do C meral. 2.4 HB obieha po kružnici rýchlosťou, ktorej veľkosť je daná funkciou. a) Aká je jeho priemerná rýchlosť počas jedného obehu kružnice? b) Aká je priemerná veľkosť rýchlosti, ak sa nemení s časom? c) Aká je priemerná veľkosť rýchlosti, ak, kde je konštanta? d) Aký rozmer má konštanta vyjadrený pomocou základných jednotiek? 2.5 HB sa pohybuje po priamke tak, že jeho poloha sa v čase mení podľa vzťahu, kde a sú konštanty. a) Nájdite a. b) Načrtnite graf funkcie. c) Aká je zmena polohy HB v časových okamihoch, keď? d) Akú dráhu bude mať HB prejdenú v týchto časových okamihoch, ak? 3.1 a) Z grafu polohy HB v príklade 2.5 odčítajte smer okamžitej rýchlosti a zrýchlenia v časových okamihoch, keď. b) Spočítajte okamžitú rýchlosť a zrýchlenie HB v ľubovoľnom čase a overte si tak správnosť grafického určenia smeru týchto vektorov v daných časových okamihoch. c) Načrtnite grafy okamžitej rýchlosti a zrýchlenia HB. 3.2 Motorový čln vyvinie na nehybnej vodnej hladine rýchlosť. a) Ako treba čln natočiť v rieke tečúcej rýchlosťou, aby trajektória člna bola kolmá na breh? b) Ako treba natočiť čln, aby preplával rieku za najkratší možný čas? c) Ako ďaleko v smere toku budú od seba východiskový a koncový bod dráhy člna, ak je rieka široká 20 m? 3.3 HB sa pohybuje v rovine s konštantným zrýchlením. V čase sa nachádza v bode a má rýchlosť. a) Nájdite, ako sa bude meniť poloha a rýchlosť HB s časom. b) Nakreslite trajektóriu HB. c) Aké budú súradnice priesečníka trajektórie HB s osou? V akom čase pretne HB os? 3.4 a) Nájdite trajektóriu HB, ktorého polohový vektor je. Kde smeruje vektor rýchlosti? b) Spočítajte skalárny súčin! Spočítajte vektorový súčin. c) Spočítajte veľkosť rýchlosti HB,. Nájdite smer a veľkosť zrýchlenia HB. 3.5 a) Spočítajte vzdialenosť dopadu projektilu, ktorý bol vystrelený šikmo nahor rýchlosťou v homogénnom gravitačnom poli ( ) pod uhlom. 2

3 b) Spočítajte dobu letu projektilu pre jednotlivé uhly. c) Aké zmeny v pohybe projektilu môžeme očakávať, ak by sme započítali aj odpor vzduchu? Aký rozdiel vo vzdialenostiach dopadu očakávate v tomto prípade pre a? 3.6 Predpokladajme, že v príklade 3.5 (bez odporu vzduchu) poznáme počiatočnú rýchlosť projektilu s presnosťou a že uhol výstrelu dokážeme nastaviť s presnosťou. Spočítajte neurčitosť vzdialenosti dopadu pre uhly. Skúste vysvetliť, ako a prečo sa táto neurčitosť mení s uhlom. 4.1 Vlak ide po priamom úseku trate konštantnou rýchlosťou. Cestujúcemu vo vlaku vypadne z ruky minca. a) Po akej dráhe bude minca vo vlaku padať? b) Ako sa táto trajektória zmení, ak vlak bude práve brzdiť s konštantným spomalením? 4.2 Dieťa v kočíku vyhodí na chodník loptičku. Opíšte trajektóriu loptičky (predpokladajte, že loptička nebude počas svojho pohybu rotovať). Aké bude zrýchlenie loptičky v jednotlivých bodoch jej trajektórie? 4.3 Dieťa sa hojdá na zavesenej hojdačke. Aké bude jeho zrýchlenie v jednotlivých bodoch dráhy jeho pohybu? V ktorých bodoch dráhy bude jeho zrýchlenie najväčšie/najmenšie? Predpokladajte, že hojdačke nie je dodávaná energia zvonka a ani žiadnu nestráca (napr. v dôsledku trenia alebo odporu prostredia). 4.4 a) Aký je najmenší polomer zákruty stíhačky letiacej rýchlosťou, ak vieme, že pilot neprežije zrýchlenie? b) Ak výkon motorov stíhačky nie je limitujúcim faktorom, za aký najkratší čas a na akej vzdialenosti môže stíhačka túto rýchlosť dosiahnuť priamym letom z počiatočnej rýchlosti? c) Pri akých pohyboch lietadla bude pilot pociťovať bezváhový stav? 4.5 Kozmická stanica má podobu bicyklového kolesa o polomere. Obytná zóna je vo vnútri pneumatiky, t.j. po vonkajšom obvode kozmickej stanice. V snahe vytvoriť pre obyvateľov stanice umelú gravitáciu, stanica sa otáča okolo svojho stredu s konštantnou uhlovou rýchlosťou. a) Kde sa budú, z pohľadu posádky stanice, nachádzať v obytnej zóne podlaha a strop? b) S akou frekvenciou/periódou sa musí stanica otáčať, aby posádka stanice pociťovala pozemskú gravitáciu? 4.6 Polomer Zeme je. a) Aké je dostredivé zrýchlenie človeka stojaceho na rovníku Zeme? b) Ako sa toto zrýchlenie mení so zemepisnou šírkou? Porovnajte výsledok s gravitačným zrýchlením na zemskom povrchu. c) Ako by sa musela skrátiť dĺžka pozemského dňa, aby človek na rovníku stratil kontakt so zemským povrchom? 4.7 Spočítajte dostredivé zrýchlenia jednotlivých planét našej Slnečnej sústavy (včítane Pluta) predpokladajúc ich pohyb po kruhových dráhach. Zaneste nájdené dostredivé zrýchlenia planét do log-log grafu závislosti na vzdialenosti od Slnka. Pokúste sa narysovanými bodmi preložiť priamku so smernicou. Ukážte, že závislosť daná touto priamkou znamená, že dostredivé zrýchlenie 3

4 klesá so štvorcom vzdialenosti od Slnka. 5.1 Možu akcia a reakcia pôsobiť niekedy na to isté teleso? 5.2 Nakreslite vektory všetkých síl pôsobiacich na nasledovné telesá: a) skala padajúca zo šikmej veže v Pise; b) basketbalová lopta hodená na kôš; c) kocka ležiaca na stole; d) kocka, ktorá sa kĺže dole naklonenou rovinou; e) Zem obiehajúca okolo Slnka; f) lietadlo letiace konštantnou rýchlosťou; g) ponožka zavesená na šnúre; 5.3 Odhadnite, po akých trajektóriách sa budú telesá z príkladu 4.2 pohybovať a ako sa budú meniť ich rýchlosti. 5.4 Traktor počas orby ťahá pluh silou. a) Musí pôsobiť zem na pluh rovnako veľkou silou? b) Musí aj pluh pôsobiť späť na traktor rovnako veľkou silou? 5.5 Traktor ťahá na reťazi peň rýchlosťou a pritom naň pôsobí silou. Tiaž pňa je. Aká výsledná sila pôsobí na peň? 5.6 Aby sa sústava chlapec+bicykel pohybovala zrýchlene, musí na ňu pôsobiť nenulová výsledná vonkajšia sila. Šliapanie do pedálov vytvára tlakovú silu, ktorá nie je pre uvedenú sústavu vonkajšou silou. Aká vonkajšia sila hrá úlohu pri zrýchľovaní tejto sústavy? 5.7 Sedíte v strede dokonale hladkého zamrznutého jazera. Nájdite spôsob, ako sa dostať z tejto nepríjemnej situácie. 5.8 Na lanku visí závažie o hmotnosti. Z neho na ďalšom lanku visí závažie o hmotnosti. a) Akou veľkou silou musíme pôsobiť na horné lanko, aby obidve závažia viseli nehybne? b) Akou veľkou silou musíme pôsobiť na horné lanko, aby sa obidve závažia pohybovali smerom nahor zrýchlením? Akou silou je napnuté lanko spájajúce závažia? 5.9 Tri rovnaké kvádre (A, B, C) ležia na dokonale hladkej vodorovnej podložke a vzájomne sa dotýkajú (A-B-C). Na kváder A pôsobí vodorovná sila v smere ku kvádrom B a C. a) Aká výsledná sila pôsobí na kváder A? b) Aká je zrýchlenie kvádra C? c) Akou silou pôsobí kváder A na kváder B? 5.10 Dieťa ťahá štyri vzájomne zviazané vozne rovnakých hmotností tak, že silou pôsobí na prvý vozík šikmo hore pod uhlom k vodorovnému smeru. Vláčik je ťahaný po vodorovnej rovine bez trenia. Nájdite zrýchlenie vláčika a sily, ktoré napínajú lanká, spájajúce jednotlivé vozne Akú rýchlosť nadobudnú sane v piatej sekunde od štartu, keď idú dolu svahom so sklonom 30 stupňov a koeficient kĺzavého trenia medzi snehom a sánkami je? Svah po šesťdesiatich metroch od miesta štartu prechádza náhle na zasneženú vodorovnú rovinu. Ako ďaleko sa sánky 4

5 dostanú vlastnou zotrvačnosťou? Za účelom dosiahnutia väčšej zábavy udelil sankár sánkam počiatočnú rýchlosť. Hmotnosť sánok je, hmotnosť sankára. Ako sa výsledky zmenia, ak sankár nestihol na začiatku na rozbehnuté sánky naskočiť? 5.12 Matematické kyvadlo o dľžke vychýlime z rovnovážnej polohy o a udelíme mu rýchlosť smerom k rovnovážnej polohe. Určte, ako sa bude meniť poloha kyvadla a aká bude perióda jeho kmitov. Aká bude maximálna výchylka a maximálna rýchlosť kyvadla? 5.13 Na pružine visiacej zo stropu je zavesené závažie o hmotnosti. Aká musí byť tuhosť pružiny, aby kmity závažia mali rovnakú periódu ako matematické kyvadlo v príklade 5.10? O koľko musíme na začiatku natiahnuť pružinu a akú rýchlosť jej udeliť, aby bol pohyb závažia popísaný rovnakou funkciou ako výchylky matematického kyvadla v príklade 5.10? Hmotnosť pružiny je zanedbateľná. 6.1 S akým zrýchlením by začalo padať jablko, keby Newtonova jabloň mala výšku km? 6.2 Výsledná sila, ktorá pôsobí na Mesiac, sa rovná súčtu dvoch síl, dostredivej sily a gravitačnej sily. Je to pravda alebo nie? 6.3 Keď kozmonaut vypne raketový motor, pohybuje sa jeho kozmická loď s nulovým zrýchlením. Je to pravda alebo nie? 6.4 Človek, ktorý nemá zrýchlenie, musí byť v stave beztiaže. Je to pravda alebo nie? 7.1 a) Aká práca je potrebná na vytiahnutie 10-gramového telesa po dokonale hladkej naklonenej rovine, ktorej dľžka je a výška? b) Aká práca sa vykoná pri posúvaní toho istého telesa, k medzi telesom a naklonenou rovinou pôsobí trenie? c) Akú rýchlosť má teleso na vrchole naklonenej roviny, ak ho posúva sila? Predpokladajte rovnaké trenie ako v b). 7.2 Umelá družica Zeme sa pohybuje po elipse, pričom stred Zeme S leží v ohnisku elipsy. Zvoľme na dráhe družice dva body, A a B, tak, že. a) Je celková energia družice väčšia v bode A alebo B? b) Je potenciálna energia družice väčšia v bode A alebo B? c) Je kinetická energia družice väčšia v bode A alebo B? Čo z toho vyplýva pre rýchlosť družice v rôznych bodoch jej obežnej dráhy? 7.3 Kocka ľadu sa pohybuje po vnútornom polguľovom povrchu misky od jedného okraja k druhému a späť, pričom pohyb začal na jednom okraji misky. Predpokladajme, že sa ľad šmýka bez trenia. Hmotnosť ľadu je, polomer misky je. a) Akou rýchlosťou prechádza ľad dnom misky? b) Akou silou pôsobí miska na kocku, keď ľad prechádza dnom misky? c*) Aká by bola perióda pohybu kocky, keby kmitala len v tesnej blízkosti dna misky? 5