Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5

Prepis

1 Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5. Neriešené príklady 1 Príklady 1 - vektory 1. Súradné osi Vektory i, j a k sú jednotkové vektory v smere jednotlivých osi. i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) 2. Transformácia súradných osí. Otočme súradný systém o uhol φ okolo osi z. nájdite vyjadrenie súradníc x a y pomocou x a y. Riešenie. Bod R má v súradnice (x, y) a (x, y ). Vzt ahy medzi nimi vidiet z obrázku: Z týchto vzt ahov l ahko nájdeme x a y : x = x cos φ y sin φ y = y cos φ + x sin φ x = x cos φ + y sin φ y = y cos φ x sin φ (1) (2) 1

2 3. Bod R má súradnice x, y. Otočte súradnicovú sústavu tak, aby v novej sústave mal súradnice (x, 0). Riešenie: Ak y = 0, tak zo rovnice (2) dostaneme, že súradnicovú sústavu musíme pootočit o uhol tan φ = x/y. 4. Daný je vektor a = (a x, a y, a z ). Nájdite jeho dĺžku. a = a = a a = a 2 x + a 2 y + a 2 z 5. Násobenie vektora číslom. Nájdite zložky a dĺžku vektora b = α a, kde a je vektor z predchádzajúceho príkladu a c je l ubovol né číslo. 6. Ukážte, že vektor e a = a a má dĺžku Ukážte, že každý vektor môžeme písat v tvare a = a e a Kde e a je jednotkový vektor rovnobežný s vektorom a. 8. Vyjadrite vektor a = (a x, a y, a z ) pomocou jednotkových vektorov a = a x i + a y j + a z k 9. Skalárny súčin kde γ je uhol, ktorý zvierajú vektory a a b. a b = ab cos γ 10. Nájdite skalárne súčiny vektorov i i, i j a i k. 11. Ukážte, že platí 12. Ukážte, že platí a b = a x b x + a y b y + a z b z a ( b + c) = a b + a c. 2

3 13. Ukážte, že skalárny súčin dvoch rovnobvežných vektorov a a b je rovný ab. Riešenie. Ak natočíme súradnú sústavu tak, aby vektor a bol rovnobežný s osou x, potom a = (a x, 0, 0) a a = a x. Podobne b = (b x, 0, 0) (lebo vektory sú rovnobežné), a teda skalárny súčin a b = a x b x = ab. 14. Ukážte, že skalárny súčin dvoch na seba kolmých vektorov je nula. Riešenie. Natočme súradnicové osi tak, aby vektor a ležal v smere osi z. potom a = (0, 0, a z ). Každý vektor kolmý na vektor a musí ležat v rovine (x, y), a preto má zložky b = (b x, b y, 0). Z definície skalárneho súčinu vidíme, ža naozaj a b = Dané sú vektory a a b. Nakreslite vektory c = b a a d = b + a. Nájdite uhol medzi nimi. Riešenie. Dĺčku vektora c nájdeme zo vzt ahu cos γ = c d cd c 2 = c c = ( b a) ( b a) = a 2 + b 2 2 a b. (3) Podobne d 2 = a 2 + b a b. Skalárny súčin lebo a b = b a. Po dosadení dostaneme c d = ( b a) b + a) = b 2 a 2 cos γ = b 2 a 2 (a 2 + b 2 ) 2 4( a b) 2. (4) 16. Ukážte, že dva vektory a a b = α a sú rovnobežné. Riešenie: Z rovnice (3) dostaneme pre uhol γ ktorý zvierajú vektory a a b cos γ = 1 preto γ = Kosínová veta. Dokážte, že v trojuholníku platí a 2 + b 2 2ab cos γ = c 2 (5) Riešenie. Pretože b = a + c, platí pre vektor c vzt ah c = b a. Potom c 2 = c c = ( b a) ( b a) = a 2 + b 2 2 a b pretože skalárny súčin a b = ab cos γ, dostaneme ihned vzt ah (5). 3

4 18. Vektorový súčin: c = a b je vektor. Platí c = ab sin φ, kde φ je uhol medzi vektormi a a b. c je kolmý na vektory a a b, jeho orientácia je daná pravidlom pravej ruky. 19. Ukážte, že platí i j = k, j k = i, k i = j. 20. Ukážte, že pre zložky vektorového súčinu c = a b platí c x = a y b z a z b y c y = a z b x a x b z (6) c z = a x b y a y b x 21. Ukážte, že platí. a ( b + c) = a b + a c 22. Využite vyjadrenie vektora c (rovnica 6) a ukážte, že vektor c je naozaj kolmý na obe vektory a aj b. Riešenie: nájdeme skalárny súčin a c: a c = a x c x + a y c y + a z c z = a x (a y b z a z b y ) + a y (a z b x a x b z ) + a z (a x b y a y b x ) = 0. Tak isto dokážeme aj kolmost vektorov c a b. 23. Ak a = (a x, a y, 0) a b = (b x, b y, 0), nájdite smer vektora c. Presvedčte sa, že c je kolmý na oba vektory, a aj b. Všimnite si, že má len zložku v smerer osi z. 24. Čomu je rovný vektorový súčin dvoch rovnobežných vektorov? 25. Ukážte, že platí a b 2 = a 2 b 2 ( a b) 2 Riešenie. Najprv vyjadrime Teraz vypočítame Po roznásobení dostaneme ( a b) 2 = (a x b x + a y b y + a z b z ) 2 = a 2 xb 2 x + a 2 yb 2 y + a 2 zb 2 z+ 2(a x b x )(a y b y ) + 2(a x b x )(a z b z ) + 2(a y b y )(a z b z ) a b 2 = (a y b z a z b y ) 2 + (a z b x a x b z ) 2 + (a x b y a y b x ) 2 (7) Ak sčítame rovnice (7,8), dostaneme a b 2 = a 2 x(b 2 y + b 2 z) + a 2 y(b 2 x + b 2 z) + a 2 z(b 2 x + b 2 y 2(a x b x )(a y b y ) 2(a x b x )(a z b z ) 2(a y b y )(a z b z ) čo je rovnica, ktorú sme potrebovali dokázat. a b 2 + ( a b) 2 = a 2 b 2, (9) 4 (8)

5 26. Ukážte, že ak c = a b, tak c = ab sin γ. Riešenie: vieme, že a b = ab cos γ. Dosadíme do rovnice (9) a využijeme vzt ah cos 2 γ = 1 sin 2 γ. (10) 27. Ukážte, že plocha lichobežníka (obr.) je rovný a b. Riešenie. Plocha lichobežníka je S = av. Pretože v = b sin γ, dostaneme S = ab sin γ, čo je naozaj absolútna hodnota vektora a b. 28. Nájdite vektor a ( b c). Riešenie. Napríklad rozpísaním do zložiek odvodíme dôležitý vzt ah (tzv. zákon bác mínus cáb ) a ( b c) = b( a c) c( a b) 29. Nájdite c = a + b v pre vektory na obrázku. Nájdite dĺžku vektora c. Riešenie: na pravom obrázku je c = a 2 + b 2, na l avom obrázku c = 2a cos(γ/2). 30. Tulák putoval 2 km na západ, potom 2 km na sever, 1 km východne, 5 km južne, a 3 km na západ. Ako d aleko sa dostal od pôvodného miesta? Koll ko kilometrov prešiel? Nakreslite dráhu tuláka. Riešenie: Polohu tuláka vyjadríme vektorom r = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5. Zložky vektorov sú a 1 = ( 2, 0) a 2 = (0, 2) a 3 = (1, 0) a 4 = (0, 5) a 5 = ( 3, 0) Sčítaním vektorov dostaneme r = ( 4, 3), r = r = 5. Tulák prešiel dráhu s = a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 13 km, ale vzdialil sa od štartu len 5 km. Dráha tuláka vyzerá takto: 5

6 31. Tulák vyrazil z bodu (0, 0) na severovýchod a prešiel dráhu 3 km. Aké sú jeho nové súradnice? r = (3/ 2, 3/ 2) 32. Dvaja tuláci sa v čase t = 0 rozlúčili v bode x = 0, y = 0 a motali sa po rovine (x, y). Každú hodinu si hlásili svoju polohu: čas tulák 1 tulák 2 1 (1,1) (0,0.5) 2 (2,4) (-1,3) 3 (2,3) (0,-2) 4 (3,4) (1,2) 5 (3,4) (1,5) Vypočítajte, ako d aleko boli tuláci od seba v jednotlivých časoch. Nájdite, akú dráhu prešiel každý tulák. Vypočítajte rýchlost tulákov v jednotlivých časových intervaloch. Nájdite priemernú rýchlost tulákov. 33. Teleso sa pohybuje po stranách štvorca rovnomernou rýchlost ou (obr.) Nájdite časovú závislost dĺžky polohového vektora, r = r(t). Strana štvorca je a. V čase t = 0 je telesov bode O. Nakreslite r ako funkciu času. Riešenie. Pohyb pozostáva zo štytroch fáz, každá trvá čas T = a/v. V prvej fáze sa teleso pohybuje kolmo nahor, a zrejme r = vt. V druhej fáze sa teleso pohybuje po vodorovnej hrane, a z Pytagorovej 6

7 vety nájdeme r(t) = a 2 + v 2 (t + T ) 2, T t 2T. V tretej fáze, 2T t 3T, sa teleso pohybuje nadol po pravej zvislej hrane. Opat z Pytagorovej vety nájdeme r(t) = a 2 + v 2 (3T t) 2. V záverečnej fáze, 3T t 4T, sa teleso rovnomerne priamočiaro blíži k počiatku a r = a + v(3t t). 34. Teleso sa pohybuje po kružnici s polomerom R (obr) tak, že uhol φ = ωt rovnomerne narastá s časom. Nájdite časovú zmenu vektora r a jeho absolútnej hodnoty. nájdite rýchlost telesa. Riešenie. r = (x, y), kde x = (a + R) R cos ωt a y = R sin ωt. Preto r = x 2 + y 2. Rýchlost v samozrejme nezávisí od a, v = Rω. 7

8 2 Derivácie 1. Definícia derivácie: majme funkciu f(t). Jej deriváciu v bode t nájdeme: f(t) t = lim δt 0 f(t + δt) f(t) δt 2. Geometrický význam derivácie: dotyčnica ku krivke f(t) 3. Derivácie jednoduchých funkcií: Nájdite detriváciu funkcie t 3, t 2, t, 1/t, 1/ t. t n t = ntn 1 4. Nájdite 5. Nájdite 6. Nájdite sin t t = cos t 2 sin t t 2, f(αt t a 2 + t 2, t cos t t 2 cos t t 2. = α f(t). t sin ωt, e αt t = sin t 1 t a 2 + t 2 7. Derivácie zložitejších funkcií: Derivujte x (3xy2 + 2xy), y (3xy2 + 2xy) 8. Derivácie vektora. Máme vektor r = (x, y, z). Nájdite jeho deriváciu. Riešenie. ( r x t = t, y t, z ) t Iné vyjadrenie: vektor r napíšeme v tvare r = r e r, kde r = x 2 + y 2 + z 2 a e r je jednotkový vektor v smere vektora r. Potom platí r t = t (r e r) = r t e r + r e r t. (11) Derivácia vektora teda ovplyvňuje tak jeho dĺžku (prvý člen) ako aj jeho smer (druhý člen). 8

9 9. Daný je vektor r(t) = (r cos ωt, r sin ωt). Nájdite jeho absolútnu hodnotu. Nakreslite r(t) v čase t = 0, t = π/(2ω), t = π/ω. Nájdite vzt ah y = y(x). Riešenie: Zrejme r = r, a x 2 + y 2 = r 2, preto vektor r opisuje kruznicu so stredom v počiatku a polomerom r. y = ± r 2 x 2, r x +r. V čase t = 0 má smer osi x, s narastajúcim časom opisuje jeho koniec kruh s polomerom r. Perióda pohybu T = 2π/ω. 10. Vypočitajte vektor v(t) = r(t)/ t, a nakreslite jeho smer. Riešenie: r závisí od času t. Ide o prípad, kedy sa s časom t mení len smer vektora, nie jeho absolútna hodnota. Derivácia v(t) = r t = ( rω sin ωt, rω cos ωt) (12) je rýchlost pohybu. Vidíme, že r(t) nemení svojú dĺžku, pretože r/ t = 0 pre každé t. Mení ale smer Pretože v r = 0 pre každé t, je v(t) kolmé na r(t) a vidíme, že v(t) má smer dotyčnice ku kružnici, ktorú pisuje r. 11. Nájdite druhú deriváciu Riešenie: a(t) = 2 r t 2. a(t) = 2 r t 2 = ω2 r(t). (13) 3 Pohyb Študujme pohyb v čase t, pri ktorom sa rýchlosti menia v čase takto: v x (t) = v 0x v y (t) = v 0y sin ωt (14) v x je teda konštantná, v y osciluje v čase. Nech častica vyrazila v čase t = 0 z bodu x = y = 0. Polohový vektor r(t) má súradnice (x(t), y(t)), ktoré nájdeme integrovaním rýchlosti podl a času: x(t) = vx (t )dt a y(t) = v y (t )dt : x(t) = v 0x t y(t) = v 0y ω [1 cos ωt]. (15) Z prvej rovnice vieme vyjadrit čas t = x/v 0x ; dosadením do druhej rovnice dostaneme rovnicu dráhy y(x) = v 0y ω [ 1 cos ωx ], (16) v 0x ktorú vidíme na pravom obrázku. V každom bode vieme nájst dotyčnicu k dráhe: jej smernica je daná deriváciou dy(x) dx = v 0y v 0x sin ωx v 0x (17) 9

10 Vektor s rovnobežný s dotyčnicou má súradnice ( s = 1, dy(x) ) dx (to je tak vždy, nakreslite si, uvidíte). Preto vidiet, že je rovnobežný s vektorom rýchlosti v = (v x, v y ): To musí tak byt vždy, lebo rýchlost má vždy smer dotyčnice k dráhe. Zrýchlenie získame deriváciou rýchlosti: (18) v = (v 0x, v 0y sin ωt), s = 1 v 0x v. (19) a x (t) = 0 a y (t) = v 0y ω cos ωt. (20) Zrýchlenie má preto vždy smer osi y a nie je rovnobežné s rýchlost ou. Nájdeme dve zložky zrýchlenia: zložku zrýchlenia rovnobežnú s rýchlost ou (tangenciálne zrýchlenie) zložku zrýchlenia kolmú na rýchlost (a teda aj na dotyčnicu k dráhe) - normálové zrýchlenie. Táto zložka zodpovedá za zakrivenie dráhy. Uhol φ medzi vektormi v a a nájdeme zo skalárneho súčinu cos φ = a v a v, (21) takže máme cos φ = v 0y sin ωt v 2 0x + v2 0y sin2 ωt. (22) Tangenciálne zrýchlenie získame priemetom vektora zrýchlenia do smeru dráhy (rýchlosti): a t = a cos φ (23) a normálové zrýchlenie je tá zložka vektora zrýchlenia, ktorá je kolmá na smer rýchlosti: a n = a sin φ = a 2 a 2 t, (24) pretože normálové zrýchlenie je kolmé na tangenciálne, musí platit a 2 = a 2 n + a 2 t. Všimnite si, že absolútna hodnota rýchlosti je v = v0x 2 + v2 0y sin2 ωt (25) Derivovaním sa presvedčíte, že dv dt = a t, (26) takže tangenciálna zložka zrýchlenia naozaj zodpovedá za nárast rýchlosti častice. Normálové zrýchlenie je rovné a n v2 (27) R 10

11 Figure 1: Poloha y(t), rýchlost v(t), tangenciálne zrýchlenie a t (t) a normálové zrýchlenie a n (t) ako funkcia času. Čas meriame v periódach T = 2π/omega. Pretože x = v 0x t, môžeme tie isté dáta zobrazit aj ako funkciu polohy x (X je priestorová perióda, X = v 0x T = 2πv 0x /ω. Pravý obrázok ukazuje, že normálové zrýchlenie je nulové vtedy, ked dráha y(x) nemá zakrivenie (častica sa pohybuje po priamke). Naopak, a n (x) je maximálne v bodoch, kde je dráha y(x) najkrivšia. Podobne tangenciálne zrýchlenie a t je nulové vtedy, ked rýchlost v (v absolútnej hodnote) dosahuje maximum, resp. minimum. kde R je okamžitý polomer dráhy. Ten, samozrejme, nepoznáme, ale pretože poznáme a n aj v 2, dostaneme okamžitý polomer dráhy R = v2 a n (28) Tento vzt ah platí len ak a n 0. V poslednom prípade je polomer dráhy nekonečne vel ký. Úlohy 1. Nájdite polohy, v ktorých je tangenciálne zrýchlenie nulové 2. Nájdite body, v ktorých je normálové zrýchlenie nulové. 11

12 4 Riešené príklady zo skúšok 1. Antilopa gnu utekala čas t 1 = 10 s konštantným zrýchlením a 1 = 2.0 m/s 2, a potom čas t 2 = 20 s s konštantným spomalením a 2 = 0.1 m/s 2. Akú vzdialenost prebehla? Akú mala rýchlost na konci dráhy? (2 body) Riešenie: Za čas t 1 prebehne antilopa vzdialenost s 1 = 1 2 a 1t 2 1. Na konci tejto dráhy bude mat rýchlost v 1 = a 1 t 1. Potom začne spomal ovat, preto jej rýchlost klesá s časom v(t) = v 1 a 2 t t > t 1. (29) V druhej časti dráhy t 2 preto prebehne dráhu s 2 = v 1 t a 2t 2. Celková dráha je preto s = s 1 + s 2 = 1 2 Rýchlost antilopy na konci dráhy je v(t 2 ) = v 1 a 2 t 2 = a 1 t 1 a 2 t 2. ( ) a 1 t 2 1 a 2 t v 1 t 2. (30) 2. Loptička hmotnosti m = 100 g sa pružne odráža od podlahy; vzdialenost dvoch dopadov na podlahu je L = 10 m. Vo svojom najvyššom bode je loptička vo výške h = 5 m. Aký čas uplynie emdzi dvoma dopadmi loptičky na podložku? (1) Gravitačné zrýchlenie g = 10 m/s 2. (3 body) Riešenie. Označme rýchlost loptičky v a jej vodorovnú a zvislú zložku v x a v z. Rýchlost v x je konštantná, ale rýchlost v z sa mení v závislosti od polohy loptičky: je nulová v najvyššom bode dráhy, a maximálna v najnižšom. Z najvyššieho bodu dráhy loptička padá rovnomerne zrýchlene so zrýchlením g a trvá jej to čas t = 2h/g, teda t = 1 s. Čas T medzi dvoma dopadmi loptičky na podlahu je dvojnásobkom času t, T = 2t = 2 2h/g = 2 s. (31) 3. Po naklonenej rovine, ktorá s vodorovnou podložkou zviera uhol θ, sa pohybuje smerom nadol teleso hmotnosti M. Koeficient kinetického trenia medzi telesom a rovinou je µ k. (a) Aké je zrýchlenie telesa? (1) 12

13 (b) Nájdite vodorovnú silu F, ktorou musíte pôsobit na teleso, aby sa pohybovalo nadol rovnomerne, t.j. s konštantnou rýchlost ou. (2) (3 body) Riešenie. (a) Na teleso pôsobí len tiažová sila G = Mg. Do pohybu ju môže uviest len jej zložka rovnobežná s naklonenou podložkou, G = G sin θ. Proti pohybu pôsobí sila trenia, F t = µ k N, kde N = G cos θ. Zrýchlenie telesa je teda a = G F t M = g (sin θ µ k cos θ). (32) (b) Silu F rozložíme do zložiek F a F (rovnobežnej a kolmej na podložku). Dostaneme F = F cos θ a F = F sin θ. V smere rovnobežnom s podložkou pôsobí na teleso sila G F smerom nadol, a sila trenia, N = µ k (F + G ). Pretože sa teleso pohybuje rovnomernou rýchlost ou, sú tieto sily rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačne orientované. máme preto rovnicu Mg sin θ F cos θ = µ k N = µ k (F sin θ + Mg cos θ) (33) z ktorej vyjadríme silu F = Mg sin θ µ k cos θ cos θ + µ k sin θ. (34) 4. Na lane dĺžky L = 1 m roztáčame kameň hmotnosti m = 0.1 kg. Uhlová rýchlost otáčok rovnomerne rastie so zrýchlením ε = 0.1 s 2. Nájdite čas, kedy sa lano pretrhne, ak vieme, že maximálne zat aženie lana je F = 102, 4 N. (2 body) Riešenie. Uhlová rýchlost ω narastá s lineárne s časom, ω = εt. Preto odstredivá sila narastá s časom V kritickom čase F od = F, takže kritický čas je Po dosadení t = 320 s. F od = mω 2 L = mlε 2 t 2 (35) F t = mlε 2. (36) 5. Dve telieska s rovnakými hmotnost ami m visia na nehmotných nitiach dĺžky L. Teliesko 1 vychýlime o uhol θ (pozri obrázok) a potom pustíme. (a) akú rýchlost má teliesko 1 v najnižšom bode dráhy etsne pred zrážkou s druhým telesom? (b) akú rýchlost budú mat telieska 1 a 2 po zrážke, ak je zrážka pružná? (c) akú rýchlost budú mat telieska 1 a 2 po zrážke, ak sa zrážkou zlepia dohromady? (3 body) 13

14 Riešenie. (a) Teleso 1 získa kinetickú energiu E k = 1 2 mv2 z potenciálnej energie E p = mgh, kde h = L L cos θ = L(1 cos θ). Preto jeho rýchlost tesne pred zrážkou je v = (b) Zo zákona zachovania hybnosti plynie, že 2gL(1 cos θ). (37) mv = mv 1 + mv 2 (38) Pretože zrážka je pružná, zachováva sa aj kinetická energia, takže máme Z týchto rovníc dostaneme rovnice a 1 2 mv2 = 1 2 mv mv2 2 (39) v = v 1 + v 2 (40) v 2 = v v 2 2 (41) Z prvej rovnice dostaneme v 2 = v v 1, a z druhej v 2 2 = v2 v 2 1 = (v + v 1)(v v 1 ) = (v + v 1 )v 2, takže máme v 2 = v v 1 a zároveň v 2 = v + v 1. Riešením je v 1 = 0 a v 2 = v. (c) Ak je zrážka nepružná, tak zákon zachovania hybnosti dáva takže v 1 = v/2. mv = (2m)v 1, (42) 6. Jožko postavil z kociek vežu podl a obr. 2. Každá kocka má rozmer a a a, dlhá kocka má rozmer a a 10a. Všetky kocky sú z toho istého materiálu. (a) Nájdite t ažisko veže (b) Rozhodnite, či je veža stabilná (3 body) 14

15 Riešenie (a) Položme počiatok súradnicovej sústavy do stredu podstavy spodnej kocky. Potom t ažiská jednotlivých kociek sú r 1 = (0, 0, a/2), r 2 = (0, 0, 3a/2), r 3 = (0, 0, 5a/2), r 4 = (0, 0, 7a/2), r 5 = (9a/2, 0, 9a/2), (43) a ich hmotnosti sú m 1 = m 2 = m 3 = m 5 = m, ale m 4 = 10m. Dosadíme do rovnice pre t ažisko R = mi r i mi, (44) a dostaneme R = 1 ( ) 9a 14 (9a/2, 0, 44a) = 22a, 0,. (45) 28 7 (b) Horizontálna súradnica t ažiska horných dvoch kociek sa nachádza vo vzdialenosti 9a/22 od stredu veže. Pretože 9/22 < 1/2, je systém stabilný. Poznámka. Stabilitu je treba posudzovat pre každú kocku zvlášt. Kocka 5 je OK, lebo jasne enspadne z kocky 4. V d alšom kroku je treba posúdit stabilitu kociek 4 a 5. Dôvod: predstavte si, že kocky 1,2 a 3 budú t ažšie ako kocka 5. Potom je t ažisko celej veže takmer totožné s t ažiskom kociek 1-3, a to nezávisle od toho, ako umiestnime kocky 4 a 5 - aj keby sme ich vysunuli úplne doprava. Posudzovat t ažisko celej veže teda nestačí. 7. Na valci s hmotnost ou M a polomerom R je namotané lano, na ktorom visí závažie hmotnosti m. V čase t = 0 sa závažie dá do pohybu. Akú bude mat rýchlost v okamihu, ked kleslo do hĺbky h? (2 body) Riešenie Potenciálna energia E p = mgh sa zmenila na kinetickú energiu valca, E 1 = 1 2 Jω2 a na kinetickú energiu telesa, E 2 = 1 2 mv2. Moment zotrvačnosti valca J = 1 2 MR2 a platí v = Rω. Po dosadení dostaneme vzt ah mgh = 1 [m + 1 ] 2 2 M v 2, (46) z ktorého vyjadríme rýchlost v. 8. Vo vodorovnej rovine leží kríž zložený zo štyroch ramien, každé rameno má dĺžku L a hmotnost M. Do okraja jedného ramena narazí rýchlost ou v mucha hmotnosti m. Nájdite uhlovú rýchlost otáčania sústavy kríž + mucha. (2 body) 15

16 Riešenie. Využijeme zákon zachovania momentu hybnosti. Pred zrážkou bol Po zrážke L 0 = mvl (47) L f = 4 Jω + ml 2 ω. (48) kde J je moment zotrvačnosti jedného ramena kríža, J = 1 3 ml2. Porovnaním oboch členov dostaneme ω = m v 4 3 M + m L. (49) 9. Po naklonenej rovine, ktorá zviera s vodorovnou podložkou uhol α, začneme kotúl at dva homogénne valce s tou istou hmotnost ou M ale s rôznymi polomermi R 1 a R 2. Ktorý valec sa skotúl a rýchlejšie? (2 body) Riešenie. Kinetické energia kotúl ajúceho sa valca je E k = 1 2 Mv Jω2 (50) Pretože J = 1 2 MR2 a v = ωr, dostaneme, že E k = 3 4 Mv2 (51) nezávisí od polomeru valca. Preto sa oba valce pohybujú rovnakou rýchlost ou a dosiahnu spodok naklonenej roviny v rovnakom čase. 10. Fyzikálne kyvadlo je zložené zo 4 rovnakých guličiek hmotnosti m, spojených nehmotnými tyčami (obr. 1) Vzdialenost dvoch susedných guličiek je l. Rozmery guličiek zanedbajte. Nájdite periódu kmitov tohto kyvadla, ak je zavesené v bode A. (3 body) 16

17 Riešenie. Najprv nájdem polohu t ažiska. Ťažisko určite leží na osi telesa, takže staží nájst súradnicu v zvislom smere. Položím počiatok sústavy do bodu A a dostanem Moment zotrvačnosti J vzhl adom na bod A je h = 1 4 [ ] l = 3 l. (52) 4 J = ml 2 [ ] = 5ml 2. (53) Dosadím do vzorca ω = 4mgh 3g = J 5l. (54) 11. Jožko hodil do studne hrajúci tranzistor. Tesne predtým, ako tranzistor dopadol do vody, vyslal tón s frekvenciou f 0 = 1050 Hz. Jožko začul tento tón s frekvenciou f = 1000 Hz. Aká hlboká je studňa? Rýchlost zvuku c = 340 m/s. (2 body) Riešenie. Z Dopplerovho princípu poznáme vzt ah medzi frekvenciami f 0 a f: f = z ktorého nájdeme rýchlost rádia tesne pred dopadom: c c + v f 0 (55) v = f 0 f c (56) f takže v = 0.05c = 17 m/s. Pretože rádio padalo vol ným pádom, platí v = 2gh, a hĺbka studne Po dosadení h = m. ( ) h = v2 2g = f0 f 2 c 2 f 2g. (57) 12. Na (nehmotnej) niti dĺžky l visí závažie s hmotnosti M. Na teliesku sedí mucha hmotnosti m. Mucha aj závažie sú v kl ude. Náhle mucha odletí vodorovným smerom rýchlost ou v. V akom maximálnom uhle θ m od zvislice sa vychýli závažie? Závažie aj muchu opovažujte za hmotný bod. (3 body) Riešenie. Zákon zachovania momentu hybnosti (aj hybnosti) dá M V = mv, takže počiatočná rýchlost závažia je V = (m/m)v a jeho kinetická energia E k = 1 m 2 2 M v2. (58) V okamihu maximálnej výchylky sa táto energia premení na potenciálnu energiu E p = Mgh. Maximálny uhol je určený vzt ahom h = L(1 cos θ m ), takže cos θ m = 1 m2 2M 2 v 2 gl. (59) 17

18 13. Na strune visia dve závažia hmotnosti m 1 = 10 dkg a m 2 = 30 dkg. Struna sa vplyvom ich tiaže predĺžila o x = 10 cm. Zrazu závažie m 2 odpadlo. Závažie m 1 začalo harmonicky kmitat s frekvenciou ω. Nájdite frekvenciu ω (2 body) Riešenie. Zo vzt ahu pre silu pružnosti pružiny vieme F = k x = (m 1 +m 2 )g, takže konštanta pružiny k = (m 1 + m 2 )g/ x a k (m 1 + m 2 ) g ω = = m 1 m 1 x = 20 s 1. (60) Pozn. v niektorých písomkách bola m 2 = 20 dkg, takže ω = 17.3 s Voz so šiestimi kolesami stojí na naklonenej rovine, ktorá zviera s vodorovnou podložkou uhol α = π/6. Voz bez kolies má hmotnost M V = 200 kg. Každé koleso má tvar homogénneho disku s hmotnost ou M = 20 kg a polomerom R = 1 m. (a) Akou silou F lano je napínané lano, ktoré drží voz? (b) Ak sa lano pretrhne, s akým zrýchlením sa bude voz pohybovat dole naklonenou rovinou? (c) Pohyboval by sa voz s väčším, alebo s menším zrýchlením, keby mal len štyri kolesá? Uved te fyzikálny dôvod, alebo odôvodnite odpoved výpočtom. (d) Aké by bolo jeho zrýchlenie, keby nemal kolesá a šmýkal by sa po rovine? Valivé trenie kolies zanedbajte. V prípade (d) uvažujte kinetické trenie s koeficientom µ k = 0.2. cos α = 3/2, sin α = 1/2. Riešenie. (a) Pretože voz stojí, je sila, ktorou je napínané lano F lano = (M V + 6M)g sin α. (b) Po prejdení dráhy s získa voz rýchlost v a platí s = v2 2a, (61) kde a je hl adané zrýchlenie. Po prejdení dráhy s voz stratil potenciálnu energiu E p = (M V + 6M)gh, kde h = s sin α. Potenciálna energia je teda Potenciálna energia sa zmenila na kinetickú energiu ( ) E p = [M V + 6M] v2 g sin α. (62) 2a E k = 1 2 [M V + 6M] v Jω2 (63) 18

19 kde J = 1 2 MR2 je moment zotrvačnosti jedného kolesa. Pretože rýchlost voza v = Rω, dostaneme kinetickú energiu E k = 1 [M V + 6M + 6 ] 2 2 M v 2 = 1 2 [M v + 9M] v 2. (64) Porovnaním kinetickej a potenciálnej energie, E p = E k, dostaneme zrýchlenie (c) Keby mal voz len štyri kolesá, bolo by zrýchlenie a = M V + 6M g sin α. (65) M V + 9M a = M V + 4M g sin α > a. (66) M V + 6M Fyzikálny dôvod: pohyboval by sa rýchlejšie, pretože by nepotreboval kinetickú energiu na roztáčanie dvoch kolies. Túto energiu by použil na urýchlenie celej sústavy. ( ) (d) V prípade, že by voz kolesá vôbec nemal, šmýkal by sa dole naklonenou rovinou so zrýchleniḿ (pozri zápočtovú písomku 1) a = [sin α µ k cos α] g. (67) 15. Vežové hodiny majú minútovú ručičku dlhú L = 2.0 m. Hmotnost ručičky je M = 100 kg. Ručička je upevnená na osi hodín vo vzdialenosti x = 0.2 m od okraja ručičky. Presne o 12:20 sa ručička uvol nila a začala kmitat okolo vodorovnej osi upevnenia ako fyzikálne kyvadlo (obrázok). (a) nájdite periódu netlmených kmitov hodinovej ručičky (b) Po N = 100 kmitoch klesla amplitúda kmitov ručičky na polovicu: z pôvodnej θ 0 na θ 100 = θ 0 /2. Aký je koeficient útlmu kmitov? Zmenu frekvencie kmitov spôsobenú tlmením zanedbajte. Riešenie. (a) Ručička kmitá ako fyzikálne kyvadlo s periódou T = 1 J 2π Mgr kde r je vzdialenost bodu otáčania od t ažiska: r = L/2 x = 0.8 m, a J je moment zotrvačnosti ručičky vzhl adom na bod otáčania. Ten nájdeme s využitím Steinerovej vety: Moment zotrvačnosti vzhl adom na t ažisko je (68) J T = 1 12 ML2, (69) 19

20 takže J = J T + Mr 2. (70) (b) Amplitúta kmitov klesá vplyvom tlmenia ako θ N = θ 0 e bnt. Po dosadení N = 100, θ 100 /θ 0 = 1/2 dostaneme 1 2 = e 100bT (71) z čoho ln 100 b = 2T. (72) 16. Kolotoč na obrázku má parametre R = 5 m, L = 10 m. (a) Aká je uhlová rýchlost otáčok kolotoča, ak retiazka sedadla zviera so zvislicou uhol θ = π/6? (b) Ak decko na kolotoči celý čas píska na frekvencii f 0 = 1000 Hz, akú maximálnu a akú minimálnu frekvenciu počuje jeho mama, ked stojí na zemi 20 m od kolotoča? Gravitačné zrýchlenie g = 10 m/s 2, rýchlost zvuku c = 340 m/s. sin θ = 1/2, cos θ = 3/2. Riešenie. (a) Vektorový súčet gavitačnej sily mg a odstredivej sily F od = mω 2 (R + L sin θ). má smer retiazky, na ktorej je sedadlo zavesené. Preto odkial tan θ = F od mg = mω2 (R + L sin θ), (73) mg ω 2 = ( ). Po dosadení dostaneme ω = 0.76 s 1. g tan θ R + L sin θ = 1/ 3. (74) (b) Podl a Dopplerovho princípu je frekvencia píšt alky zmenená na hodnoty c f = f 0 c + v kde v je okamžitá rýchlost. V priebehu jednej otáčky sa decko raz vzd al uje rýchlost ou v = ω(r + L sin θ), a raz sa tou istou rýchlost ou približuje. Preto f max = c c v f min = Dosadením: v = 7.6 m/s, f max = s 1, f min = 978 s (75) c c + v. (76)

21 17. V potrubí podl a obrázku preteká kvapalina s hustotou ρ. V priereze S 1 je jej rýchlost v 1 a v užšom priereze S 2 je jej rýchlost v 2. Na trubicu je napojená U-trubica naplnená ortut ou s hustotou ρ Hg. Obrázok ukazuje, že rozdiel hladín v U-trubici je h. Nájdite rýchlost v 1 kvapaliny. 6 bodov Riešenie. Z rovnice kontinuity máme vzt ah medzi rýchlost ami v 1 a v 2 : S 1 v 1 = S 2 v 2. (77) Z Bernouliho rovnice vyjadríme 1 2 ρv2 1 + p 1 = 1 2 ρv2 2 + p 2. (78) ( ) Rozdiel tlakov p 1 p 2 = (ρ Hg ρ)gh. Po úpravách dostaneme v 1 = (ρ Hg ρ) ρ S 2 2 S 2 1 S2 2 2gh. (79) 18. Tank hmotnosti M T = kg sa dostal na l adovú plochu s nulovým koeficientom trenia a pohyboval sa rýchlost ou v 0 = 5 km/hod. Aby zastavil, vystrelil v smere jazdy N nábojov hmotnosti m = 10 kg. (Rýchlost vystreleného náboja vzhl adom na tank bola v = 200 km/hod. Nájdite, kol ko nábojov musel vystrelit, kým sa zastavil. Riešenie. Hybnost tanku pred prvým výstrelom bola p = M T v 0. Zákon zachovania hybnosti po výstrele dá z čoho dostaneme rýchlost tanku po výstrele kde x = m/m T. Po N výstreloch dostaneme Tento výraz upravíme v N = v 0 M T v 0 = (M T m)v 1 + m(v 0 + v) (80) v 1 = v 0 m M T m v m v, (81) M T m m M T 2m v... m v. (82) M T Nm v N = v 0 v m M T F (x) (83) 21

22 kde Predpokladjame teraz, že F (x) = 1 1 x x Nx (84) N 1, (85) takže výrazy úmerné 1/N budeme považovat za malé v porovnaní s jednotkou. Akplatí aj Nm/M T 1, potom sumu v zátvorke vieme nájst : [ F (x) = N 1 + Nx ] 2 + (Nx) (86) 3 kde sme využili N = 1 N 2 N(N + 1) 2 2 a podobne sme získali aj ostatné členy. Výsledný stav upravíme [ v N = v 0 + v ln 1 Nm ] M T Ak tank po N výstreloch zastal, potom v N = 0 a dostaneme N = M T m Po dosadení v 0 /v = 1/40, e v 0/v = nájdeme N = 25. (87) (88) [ 1 e v 0/v ]. (89) 19. Vozík so štyrmi kolesami je pripojený na pružinu s konštantou k = 0.1 N/m. Ak ho posunieme z rovnovážnej polohy o vzdialenost A = 10 cm a pustíme, začne vykonávat harmonické kmity s frekvenciou ω. (a) nájdite maximálnu rýchlost vozíka v max (b) vypočítajte frekvenciu ω (c) nájdite celkovú energiu vozíka. Riešenie. Natiahnutím pružiny o A dodáme do systému potenciálnu energiu ktorá je zároveň aj celkovou energiou vozíka (odpoved na otázku c). E p = 1 2 ka2, (90) Vozík má maximálnu rýchlost v okamihu, ked sa celá potenciálna energia zmení na kinetickú: E p = E k = 1 2 [M voz + 4M koleso ] v Jω2. (91) Po dosadení za moment zotrvačnosti kolesa J = mr 2 /2 (r je polomer kolesa) a uhlovú rýchlost ω = v/r dostaneme v 2 ka 2 = = ω 2 A 2. (92) M voz + 6M koleso Posledný vzt ah zároveň udáva frekvenciu ω (otázka b). Po dosadení ω = 0.25 s 1 a v = m/s 22

23 20. Dve gulôčky visia na nehmotných nitiach dĺžky l. Gulôčka 1 má hmotnost N-krát väčšiu ako gulôčka 1. Gulôčku 1 vychýlime o uhol θ (obrázok) a pustíme. (a) Nájdite rýchlosti oboch gulôčiek tesne po zrážke, ak zrážka bola pružná (b) Do akej maximálnej výšky gulôčky vyletia? Riešenie. Najprv nájdeme rýchlost prvej gulôčky tesne pred zrážkou. Pretože jej potenciálna energia sa zmenila na kinetickú, dostaneme v 2 = 2gh (93) kde výška (pozri zápočtovú písomku 2). h = l(1 cos θ) (94) Rýchlosti v 1 a v 2 oboch gulôčiek tesne po zrážke nájdeme zo zákonov zachovania hybnosti a energie: Nmv = Nmv 1 + mv 2 (95) a 1 2 Nmv2 = 1 2 Nmv mv2 2. (96) Z prvej rovnice máme v 2 = N(v v 1 ). Dosadením do druhej rovnice dostaneme kvadratickú rovnicu pre v 1, ktorej riešením je v 1 = N 1 N + 1 v (97) Po dosadení do prvej nájdeme rýchlost druhej gulôčky v 2 = 2N v. (98) N + 1 Pre prípad N = 1 dostaneme v 1 = 0 (gulôčky majú rovnakú hmotnost a pri zrážke si vymenia rýchlosti). Pre N 1 vidíme, že rýchlost gulôčky 1 sa zmení len minimálne, zatial čo rýchlost gulôčky 2 je podstatne (takmer N ) väčšia, ako rýchlost gulôčky 1. (b) Výšky, do akých gulôčky vyletia, dostaneme zo zákona zachovania energie: h 1 = v 2 1 /(2g) a h 2 = v 2 2 /(2g). Z výšok l ahko určíme maximálnu výchylku θ 1 a θ 2 (pozri rovnicu (94). 21. Dva reproduktory vysielajú zvukový signál s tou istou frekvenciou f = 170 Hz a s tou istou fázou. Reproduktory sú od seba vzdialené L = m. Poslucháč stojí na priamke, ktorá prechádza oboma reproduktormi, vo vzdialenosti x = 7.8 m od pravého reproduktora (pozri obrázok) O kol ko a ktorým smerom je treba posunút l avý reproduktor, aby poslucháč počul najsilnejší možný signál? Rýchlost zvuku je v = 340 m/s. 23

24 Riešenie. Signál je najsilnejší, ak je vzdialenost reproduktorov rovná celočíselnému násobku vlnovej dĺžky. Pretože λ = v/f = 2 m, vidíme, že najlepšie je posunút l avý reproduktor o vzdialenost x = 56 cm dol ava. Riešení je samozrejme viac, napr. x = 144 cm doprava. 22. Loptička s priemerom d = 2 cm a hmotnosti m = 2 g je ponorená do hĺbky H = 2 m pod hladinu vody. (a) ukážte, že po uvol není bude loptička stúpat nahor. (b) akú rýchlost bude mat v okamihu, ked sa dotkne hladiny? (c) ako vysoko nad hladinu vyletí? (d) ako hlboko sa zasa ponorí? (e) ako hlboko by musela byt ponorená do ortute, aby po uvol není vyskočila do tej istej výšky? Odpor prostredí a povrchové napätie vody zanedbajte. Hustota vody je ρ v = 1000 kg/m 3, hustota ortute je ρ Hg = kg/m 3. Riešenie. (a) Aby loptička po uvol není stúpala, musí byt jej hmotnost menšia, ako hmotnost vody toho istého objemu. Polomer loptičky je r = d/2 = 10 2 m, takže aj bez kalkulačky nájdeme m v = 4 3 πr3 ρ v = 4.2 g > m. (99) (b) Z Archimedovho zákona vieme, že na loptičku pôsobí smerom nahor sila kde m v = 4 3 πr3 ρ v a r = d/2. Táto sila udelí loptičke zrýchlenie F = [m v m]g, (100) a = F/m = m v m g. (101) m V okamihu dotyku s hladinou bude preto rýchlost loptičky v = mv m 2aH = 2gH. (102) m (c) po opustení vody sa loptička pohybuje nahor so spomalením g. Vyletí preto do výšky h = v2 2g = m v m H. (103) m (d) Pretože neuvažujeme žiadne energetické straty, musí sa loptička ponorit do pôvodnej hĺbky. (e) Výška, do ktorej loptička vyletí nad hladinu, je daná jej rýchlost ou na hladine. Preto hĺbku v orturi H získame porovnaním rýchlostí pri hladine: z čoho dostaneme mv m m 2gH = mhg m m 2gH. (104) H = m v m H. (105) m Hg m 24

25 23. Aký musí byt minimálny objem balóna naplneného héliom, aby uniesol náklad o hmotnosti M = 10 4 kg? Hustota vzduchu je ρ v = 1 kg/m 3, hustota hélia je ρ He = ρ v /8 Riešenie. Pretože hélium je l ahšie ako vzduch, bude balón naplnený héliom stúpat k oblohe. Zo stavovej rovnice plynov vieme, že 1 mol akéhokol vek plynu zaberá ten istý objem, preto je 1 m 3 hélia 8 l ahší ako 1m 3 vzduchu. Objem V je preto nadl ahčovaný silou ktorá musí byt rovná váhe Mg. Preto F 1 = V (ρ vzduch ρ He )g (106) V = M ρ vzduch ρ He. (107) 25

26 5 Neriešené príklady 1. Kameň hmotnosti M = 1 kg je uviazaný na niti dĺžky R = 1 m a otáča sa v horizonálnej rovine s uhlovou rychlost ou ω = 98.5 π s 1. V čase t = 0 bol v bode (x, y) = (0, R). V čase t = 1 s sa nit pretrhla (a) po akej krivke a akým smerom sa kameň bude pohybovat? (b) akú dráhu kameň prejde, ak proti smeru jeho pohybu pôsobí trecia sila F t = 2 N? (c) aký dlhý čas bude tento pohyb trvat? 2. Z fyziky 1 vieme, že hustota vzduchu klesá s výškou z exponenciálne, ρ = ρ 0 e z/h, (108) kde ρ 0 = 1 kg/m 3 je hustota vzduchu na povrchu Zeme. Do akej výšky vystúpi balón, ak má hmotnost M = 100 kg a objem V = 1000 m 3? 3. Loptička hmotnosti m = 100 g bola vyhodená šikmo nahor rýchlost ou v 0 = 10 m/s (obrázok). (a) Aká je vzdialenost medzi djej druhým a tret1ím dopadom na podložku? (b) Ako vysoko vyletí medzi druhým a tretím dopadom? (c) Akú má rýchlost v najvyššom a v najnižšom bode dráhy? 4. Kruhový disk hmotnosti M a polomeru R sa otáča uhlovou rýchlost ou ω. V jeho strede sedí 10 mravcov, každý hmotnosti m. V čase t = 0 sa mravce rozutekajú v smere polomeru k okraju disku. Akú uhlovú rýchlost bude mat disk v okamihu, ked všetky mravce dosiahnu okraj disku? (6 bodov) 5. Nájdite súradnice t ažiska útvaru na obrázku. Stredy kruhových výrezov ležia vo vzdialenosti R/2 od stredu vel kého kruhu. Kruhové výrezy majú polomer R/4. 6. Nájdite moment zotrvačnosti vzhl adom na stred kolesa na obrázku, ak každá spica má hmotnost m a obruč má hmotnost M. Hrúbku spíc a obruče zanedbajte. polomer kolesa je R. 26

27 7. Na stene visí písmeno W (obr.). Aký uhol bude zvierat so zvislým smerom jeho strana a, ak ho zavesíme v bode A? 8. V kvapaline s hostotou ρ 0 pláva drevená kocka s hustotou ρ a dĺžkou strany a. V rovnováhe je polovica objemu kocky ponorená v kvapaline. Ak kocku stlačíme tesne pod hladinu a pustíme, začne vykonávat harmonické kmity. Nájdite frekvenciu týchto kmitov a ich maximálnu kinetickú energiu. 9. Gul a hmotnosti M sa kotúl a po vodorovnej rovine rýchlost ou v. Ako vysoko sa vykotúl a, ak terén začne stúpat so sklonom θ = 10 0? Ako vysoko vy sa vykotúl al valec tej istej hmotnosti, pohybujúci sa na rovine tou istou rýchlost ou? Trenie zanedbajte. 10. Hustota kvapaliny rasttie s jej hĺbkou h lineárne: ρ(h) = ρ 0 + αh (ρ 0 je hustota kvapaliny na hladine). Aký je hydrostatický tlak v hĺbke H? 11. Vo výške H = 1 km vybuchla umelá družica a rozpadla sa na N rovnakých častí, ktoré sa rozleteli všetkými smermi rýchlost ou v 0. (a) Kedy a kam dopadne na zem prvý úlomok? (b) Kedy a kam dopadne na zem posledný úlomok? (c) Do akej najväčšej vzdialenosti môžu jednotlivé úlomky dopadnút? 12. Z l avého rohu jamy hĺbky h a šírky L vystrelíme náboj pod uhlom α = π/4. Aká musí byt minimálna rýchlost náboja, aby vyletel z jamy von? 13. Vlak musí spomalit z rýchlosti v 1 = 60 km/h na rýchlost v 2 = 40 km/h na dráhe s = 200 m. s konštantným spomalením a. (a) nájdite hodnotu a (b) S akým zrýchlením sa musí pohybovat v d alšom úseku dráhy, aby za čas t = 2 minúty znovu získal rýchlost v 1? Akú dráhu prejde za tento čas? 14. Po naklonenej rovine, ktorá s vodorovnou podložkou zviera uhol θ, sú cez nehmotnú kladku spojené lanom dve telesá: Teleso s hmotnost ou M = 10 kg visí a t ahá nahor nahor teleso hmotnosti m = 4 kg, ktoré leží na šikmej ploche. Koeficient kinetického trenia medzi telesom a rovinou je µ k. 27

28 (a) Aké je zrýchlenie oboch telies? (b) Akou silou je napínané lano, ktorým sú telesá spojené? 15. Teleso s hmotnost ou m obieha po kruhovej dráhe polomeru R. Uhlová rýchlost obehu narastá s uhlovým zrýchlením ɛ = 0.1 Nájdite tangenciálne a normálové zrýchlenie ako funkciu času t. 16. Na ceste je kanál širky L 0 = 0.5 m. Akou rýchlost ou musíme vyhodit loptičku, aby nepadla do kanála, ak stojíme L = 5 m od kanála, a loptičku hádžeme pod uhlom θ = π/4? 17. Kotúč sa otáča tak, že jeho uhlová rýchlost prvých 10 sekúnd narastala s uhlovým zrýchlením ɛ 1 = 0.2 s 1, potom sa 20 sekúnd otáčal s konštantnou uhlovou rýchlost ou, a nakoniec 10 skúnd spomal oval s uhlovým spomalením ɛ 1. Kol ko otáčok kotúču urobil? 18. Po naklonenej rovine, ktorá s vodorovnou podložkou zviera uhol α sa kĺže teleso hmotnosti m. Koeficient kinetického trenia medzi telesom a rovinou je µ k. (a) Aké je zrýchlenie telesa? (b) Ak zmeníme sklon naklonenej roviny na β > α, ako musíme zmenit koeficient trenia, aby sa teleso pohybovalo s rovnakým zrýchlením? 19. Malé teliesko hmotnosti m je upevnené na nehmotnej tenkej niti dĺžky l. Maximálne napätie vlákna je F = 2 N. Ak teleso pustíme z vodorovnej polohy, v ktorom bode sa vlákno pretrhne? 20. Kruhová doska polomeru R s momentom zotrvačnosti J sa otáča kruhou rýchlost ou ω. V jej strede stojí človek hmotnosti M. Ako sa zmení kruhová rýchlost dosky, ked človek prejde k okraju dosky? 21. Dole naklonenou rovinou, ktorá zviera s vodorovou rovinou uhol α, sa kotúl a plný valec, obruč a gul a. Všetky telesá majú tú istú hmotnost M a polomer R. Ktoré z nich bude mat najväčšiu a najmenšiu rýchlost po prejdení dráhy s? Vypočítajte tieto rýchlosti. (2 body) 22. Po naklonenej rovine, ktorá zviera s vodorovnou podložkou uhol α, začneme kotúl at dva homogénne valce s tou istou hmotnost ou M ale s rôznymi polomermi R 1 a R 2. Ktorý valec sa skotúl a rýchlejšie? Riešenie. Kinetické energia kotúl ajúceho sa valca je E k = 1 2 Mv Jω2 (109) Pretože J = 1 2 MR2 a v = ωr, dostaneme, že E k = 3 4 Mv2 (110) nezávisí od polomeru valca. Preto sa oba valce pohybujú rovnakou rýchlost ou a dosiahnu spodok naklonenej roviny v rovnakom čase. 28