1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn
|
|
- Ida Březinová
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými cvičeniami (ich členenie nie je definitivne). Poznámky obsahujú nasledujúce témy: I. Analytická geometria v rovine 1. Súradnice v rovine: počiatok, vzdialenost bodov, priamka, uhol, polárne súradnice. 2. Jednoduché krivky v rovine: kružnica a elipsa, hyperbola, parabola, príklady. 3. Vektory v rovine: lineárna nezávislost, báza, skalárny súčin a ortogonalita, ortogonálna báza. 4. Lineárne transformácie: lineárne transformácie báze, sústava dvoch lineárnych rovníc, matice a ich súčin, determinant. 5. Pojem grupy (axiómy): grupa GL(2, R) a SL(2, R), transponovanie matíc, (pod)grupa ortogonálnych transformácií O(2), príklady. 5. Komplexné čísla: ako rovina R 2 s násobením, ako násobenie určitých matíc. Násobenie komplexných čísiel, komplexné združnie a absolútna hodnota. Geometrický význam komplexných čísiel a ich sčítania a násobenia, vlastnosti telesa komplexných čísiel, základná veta algebry.
2 2 II. Analytická geometria v priestore 1. Súradnice v priestore: počiatok, poloha, vzdialenost, priamka a rovina - ich vzájomná poloha, sférické súradnice. 2. Niektoré plochy v priestore: gul a a elipsoid (paraboloidy a hyperboloidy), príklady. 3. Vektory v priestore: lineárna nezávislost, báza, skalárny súčin a ortogonalita, ortogonálna báza. Vektorový súčin a plocha trojuholníka, zmiešaný súčin a objem, príklady. 4. Lineárne transformácie: sústava troch lineárnych rovníc, matice a ich súčin, determinant, hodnota matice - priamky a roviny. 5. Grupy GL(3, R) a SL(3, R), grupy rotácií O(3) a O(3). Skladanie rotácií: slnečné hodiny a iné (jednoduchšie) príklady. III. Vektorové priestory 1. Definícia vektorového priestoru: lineárna závislost dimenzia, báza, príklady. 2. Sústavy lineárnych rovníc: maticový zápis, hodnota matice, priestor riešení, transponovaná matica, súčin matíc. 3. Skalárny súčin: norma, vzdialenost, metrika, ortogonalita a ortogonálna báza. 4. Lineárne transformácie: štvorcové matice, ich súčin a determinant, grupy GL(n, R) a SL(n, R). Vlastné hodnoty a vlastné vektory matice, symetrické a antisymetrické matice. 5. Ortogonálne matice a transformácie: invariantnost skalárneho súčinu, grupy O(n) a SO(n). Vlastné hodnoty a vlastné vektory symetrickej matice,
3 3 diagonalizácia symetrických matíc. 6. Komplexné vektorové priestory: lineárna závislost dimenzia, báza, lineárne transformácie, grupy GL(n, C) a SL(n, C). Hermitovsky združená matica, hermitovské a unitárne matice, unitárne transformácie, grupy U(n) a SU(n). Skalárny súčin a jeho invariantnost, vlastné hodnoty a vlastné vektory hermitovskej matice, diagonalizácia hermitovských matíc. Motivácia. Aj ked v informatike sa pracuje najmä metódami diskrétnej matematiky a algebry, je vel mi užitočné ovládat aj základy analýzy a geometrie. Tieto aspekty sa prejavujú najmä v aplikáciách numerických a informatických metód. Často treba skúmat, simulovat alebo modelovat rôzne procesy, zobrazovat ich alebo prenášat do virtuálneho sveta počítačov. Na doplnenie treba uviest, že aj v rámci diskrétnej matematiky, pri formuláciách problémov alebo ich analýze je užitočné mat základné vedomosti zo "spojitej matematiky". Zvyčajne, alebo aspoň vel mi často, skúmaný problém má svoj matematický alebo fyzikálny popis v rámci "klasickej" analýzy a geometrie. Ciel om prednášok Matematika 2 je poskytnút základné poznatky z lineárnej algebry. Pojmový aparát bude preto budovaný len v nevyhnutnej miere. Dôraz bude kladený na praktické ovládanie metód, t.j. priebežné precvičovanie naučených poznatkov, riešenie najprv jednoduchých a potom (trochu) zložitejších problémov.
4 4 Literatúra. Učebnice. 1. I. Kluvánek, L. Mišík, J. Švec: Matematika pre štúdium technických vied, Alfa, Bratislava, Ch. B. Morrey, jr: University Calculus with Analytic Geometry, Addison-Wesley Publ. Comp., J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha, P. Zlatoš, Lineárna algebra, web stránka KAGM, FMFI UK. Prehl ady. 1. I. N. Bronštejn, K. A. Semend ajev: Príručka matematiky, SNTL, Bratislava, Malá encyklopédia matematiky, Obzor, Bratislava, 1978.
5 Hodnotenie predmetu. Výsledné hodnotenie sa skladá z priebežného hodnotenia a záverečného hodnotenia v pomere 50: Priebežné hodnotenie počas semestra 40 bodov = 20 bodov testy na cvičeniach + 20 bodov semestrálna písomka 2. Záverečné hodnotenie 40 bodov = 35 skúšková písomk + 5 bodov ústna skúška 3. Známkovanie 0-44 bodov... F x bodov... E bodov... D bodov... C bodov... B bodov... A Ku skúške bude pripustený iba poslucháč, ktorý počas semestra získa viac ako 12 bodov. Hodnotenie = semester + skúška spolu. Zlepšenie hodnotenia podl a písomných testov o 1 stupeň je dané počtom bodov získaných na ústnej skúške. Zlý výsledok ústnej skúšky môže znamenat zhoršenie známky o 1 stupeň oproti hodnoteniu podl a písomných testov.
6 6
7 Chapter 1 Lineárna algebra a geometria v rovine Súradnice v rovine Budeme predpokladat, že (intuitívne) poznáme základné pojmy Euklidovskej geometrie v rovine: pojmy bodu v rovine a vzdialenosti dvoch bodov, pojmy priamky a ich vzájomnej polohy. Pravouhlé (kartézske) súradnice v rovine zavedieme takto: (i) Zvolíme v rovine priamku p x (x-ovú os) a na nej počiatok 0, ktorý bude odpovedat bodu x = 0 na číselnej osi; (ii) Počiatkom 0 vedieme d alšiu priamku p y (y-ovú os) kolmú na x-ovú os; (iii) Ľubovoľný bod P roviny stotožníme s dvojicou reálnych čísiel P = [x P ; y P ], kde x P (y P ) označujú x-ovú os(y-ovú os) súradnicu bodu P (pozri Obr. 1a). 7
8 8 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Vzdialenost dvoch roviny. Uvažujme teraz dva body roviny P = [x P ; y P ] a Q = [x Q ; y Q ]. Ich vzdialenost d(p, Q) sa definuje ako dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka P QR, R = [x Q ; y P ] (pozri Obr. 1b). Podl a Pythagorovej vety d(p, Q) = (x P x Q ) 2 + (y P y Q ) 2. (1.1) Euklidovská rovina E 2 je priestor dvojíc reálnych čísiel R 2 opatrený pojmom vzdialenosti (1.1). Polárne súradnice definujeme takto: (i) Okolo počiatku 0 = [0; 0] nakreslíme jednotkovú kružnicu a na nej vyznačíme uhol ϕ ( π, +π], tak ako je naznačené na Obr. 2a: bodu [1; 0] je priradený uhol ϕ = 0, bodom [0; +1] a [0; 1] uhly ϕ = +π/2 resp. ϕ = π/2, bodu [ 1; 0] priradíme uhol ϕ = +π (mohli by sme priradit aj uhol ϕ = π, je dobré sa jednoznačne rozhodnút ). (ii) Každý bod P = [x; y] 0 roviny parametrizujeme jeho polárnymi súradnicami: vzdialenost ou od počiatku r = x 2 + y 2 a uhlom ϕ zadaným pomocou rovníc x = r cos ϕ, y = r cos ϕ. (1.2) Poznámka: súradníc takto: Kartézske súradnice môžeme vyjadrit pomocou polárnych r = x 2 + y 2, ϕ = arccos x r. (1.3) Polárne súradnice sú dobre definované okrem počiatku, v ktorom síce r = 0 ale uhol ϕ nie je definovaný!
9 9 Definícia: Priamka p v E 2 je množina bodov X = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu p : a x + b y + c = 0, (1.4) kde a, b a c sú reálne čísla, pričom a 2 + b 2 > 0. Bez ujmy na všeobecnosti, budeme predpokladat, že a 0 (v opačnom prípade rovnicu (1.4) násobíme číslom 1). Ak b = 0, rovnica a x + c = 0 definuje priamku rovnobežnú s y-ovou osou. Podobne, ak a = 0, rovnica b y + c = 0 definuje priamku rovnobežnú s x-ovou osou. Smerový uhol priamky. Smerový uhol α priamky p (1.4) definujeme rovnicou tg α = a b, b 0. (1.5) Uhol berieme z intervalu [0, π), ak b = 0 kladieme α = π/2. Je to uhol, ktorý priamka p zviera s x-ovou osou (pozri Obr. 2b). Poznámka. Ak b 0 rovnicu (1.4) prepíšeme ako funkciu y = a b x c b. potom y = a b = tg α, v súlade s geometrickou interpretáciou derivácie ako smernice ku krivke v danom bode. Uhol dvoch priamok p a q s kladnými smerovými uhlami α resp. β sa
10 10 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE nazýva kladný uhol ϕ = α β z intervalu [0, π). Ak ϕ = π/2, hovoríme, že priamky sú kolmé. Poznámka. Rovnicu (1.4) po vydelení a 2 + b 2 môžeme prepísat do tvaru p : sin α x cos α y + e = 0, e = c a2 + b 2, (1.6) kde sin α = a a2 + b, cos α = b 2 a2 + b. (1.7) 2 Priamka prechádzajúca bodom Q = [x Q ; y Q ] s daným smerovým uhlom α je daná rovnicou p : sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) = 0. (1.8) Porovnaním s rovnicou (1.6) dostaneme e = y Q cos α x Q sin α. Parametrický tvar priamky. Priamku p prechádzajúcu bodom Q = [x Q ; y Q ] možno tiež zadat v parametrickom tvare ako množinu bodov p : [b t + x Q ; a t + y Q ], t je l ubovolné reálne číslo. (1.9) Zavedené pojmy bodu a priamky v E 2 spĺňajú Euklidove axiómy rovinnej geometrie:
11 11 (i) Dvomi rôznymi bodmi P 0 = [x 0 ; y 0 ] a P 1 = [x 1 ; y 1 ] možno viest práve jednu priamku p, ktorá je v parametrickom tvare zadaná ako množina bodov P (t) = [t x 0 + (1 t)x 1 ; t y 0 + (1 t)y 1 ], t R. (1.10) Ak 0 t 1, tak máme úsečku s koncovými bodmi P 0 = [x 0 ; y 0 ] a P 1 = [x 1 ; y 1 ]. (ii) Bodom Q = [x Q ; y Q ], ktorý neleží na priamke p : sin α x cos α y + e = 0, možno viest práve jednu priamku p rovnobežnú s p, ktorá je zadaná rovnicou p : sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) = 0. (1.11) Priamky p a p nemajú spoločný bod: keby takýto bod P = [x ; y ] existoval, tak preň by platilo sin α x cos α y + e = 0, sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) = 0. Odčítaním oboch rovníc dostaneme sin α x Q cos α y Q + e = 0, čo je ekvivalentné tomu, že bod Q = [x Q ; y Q ] leží na priamke p - spor s našim východzím predpokladom. Vzdialenost bodu od priamky. Bodom Q, ktorý neleží na priamke p možno viest práve jednu priamku p kolmú na p zadanú rovnicou p : b (x x Q ) a (y y Q ) = 0. (1.12)
12 12 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Priesečník P = [x ; y ] priamok p a p je určený rovnicami p : cos α (x x Q ) + sin α (y y Q ) = 0, p : sin α (x x Q ) cos α (y y Q ) + d = 0, kde d = e + sin α x Q cos α y Q. Jednoduchý výpočet dá x = x Q sin α d, y = y Q + cos α d. Vzdialenost bodu Q od priamky p definujeme ako vzdialenost bodov Q a P : d(q, P ) = (x Q x ) 2 + (y Q y ) 2 = d = e + sin α x Q cos α y Q. (1.13)
13 13 Jednoduché krivky v rovine. Elipsa v rovine (v štandartnom tvare) je daná ako množina bodov P = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu (pozri Obr. 3a): x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, a 2 = b 2 + e 2. (1.14) Číslo e = a 2 b 2 sa nazýva excentricita elipsy; ak e = 0, elipsa sa redukuje na kružnicu. Body F 1 = [ e; 0] a F 2 = [+e; 0] sa nazývajú ohniská elipsy. Veta: Elipsa (1.14) je množina tých bodov roviny, ktoré majú od ohnísk konštantný súčet vzdialeností rovný 2a. Dôkaz: Súčet vzdialeností bodu P = [x; y] elipsy od jej ohnísk je rovný (pozri Obr. 3a): (e + x)2 + y 2 + (e x) 2 + y 2 = 2a. Umocnením tohto vzt ahu, po jednoduchej úprave, prídeme k rovnici 2a 2 (e 2 + x 2 + y 2 ) = (e 2 + x 2 + y 2 ) 2 4e 2 x 2. Ďal ším umocnením obdržíme rovnicu a 4 a 2 e 2 = a 2 y 2 + (a 2 e 2 )x 2, ktorá už je ekvivalentná definičnej rovnici (1.14). Hyperbola v rovine (v štandartnom tvare) je daná ako množina bodov
14 14 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE P = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu (pozri Obr. 3b): x 2 a 2 y2 b 2 = 1, e 2 = a 2 + b 2. (1.15) Číslo e = a 2 + b 2 sa nazýva excentricita hyperboly. Body F 1 = [ e; 0] a F 2 = [+e; 0] sú jej ohniská. Hyperbola má dve asymptoty (t.j. priamky) dané rovnicou y ± b a x = 0. Veta: Hyperbola (1.15) je množina tých bodov roviny, ktoré majú od ohnísk konštantný rozdiel vzdialeností rovný 2a. Dôkaz je obdobný ako v prípade elipsy. Rozdiel vzdialeností bodu P = [x; y] hyperboly od jej ohnísk je rovný (pozri Obr. 3b): (e + x)2 + y 2 (e x) 2 + y 2 = 2a. Umocnením tohto vzt ahu, po jednoduchej úprave, prídeme k rovnici (e 2 + x 2 + y 2 ) 2a 2 = (e 2 + x 2 + y 2 ) 2 4e 2 x 2. Ďal ším umocnením obdržíme rovnicu a 4 a 2 e 2 = a 2 y 2 + (a 2 e 2 )x 2, ekvivalentnú definičnej rovnici (1.15). Parabola v rovine (v štandartnom tvare) je daná ako množina bodov P = [x; y], ktoré spĺňajú rovnicu (pozri Obr. 3c): y 2 = 2 p x, p > 0. (1.16)
15 15 Bod V = [0; 0] sa nazýva vrchol paraboly, bod F = [0; p/2] je jej ohnisko. Veta: Parabola (2.3) je množina tých bodov roviny, ktoré majú od jej ohniska F = [ p 2 ; 0] a od riadiacej priamky x + p 2 rovnú p. = 0 rovnakú vzdialenost Dôkaz: Vzdialenost bodu P = [x; y] od riadiacej priamky je resp. ohniska je rovná (pozri Obr. 3c): x + p 2 resp. (x p 2 )2 + y 2. Po umocnení rovnice x + p 2 = (x p 2 )2 + y 2 dostaneme hned definičnú rovnicu (2.3). Vektory v rovine Uvažujme priestor V 2 vektorov (= orientovaných úsečiek - "šipiek") x smerujúcich z počiatku 0 do bodu X = [x 1 ; x 2 ] (zložky bodu X budeme systematicky značit ako x 1, x 2 miesto x a x). Každému vektoru ("šipiek") príradíme 2-zložkový stĺpec x = x 1. (1.17) Čísla x 1 a x 2 nazveme zložkami vektora x; vektor s nulovými komponentami, odpovedajúci počiatku budeme značit ako 0. x 2
16 16 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Súčet dvoch vektorov x = x 1, y = y 1 x 2 y 2 definujeme ako vektor x + y = x 1 + y 1 x 2 + y 2. (1.18) Sčítanie vektorov má názorný geometrický význam: x + y je vektor odpovedajúci prepone rovnobežníka so stranami x a y. Násobenie vektora x číslom a R sa definuje ako vektor ax so zložkami a x 1 a a x 2 : ax = a x 1 a a 2. (1.19) Definícia: Množina V je vektorový (lineárny) priestor ak pre lineárne kombináciescítanie jeho prvkov (scítanie vektorov a ich násobenie číslom) platia nasledujúce axiómy: x + 0 = x, x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + y, 1.x = x, a (bx) = (ab) x, (a + b)x = ax + bx,
17 17 a(x + y) = ay + by). (1.20) Poznámka: L ahko sa možno presvedčit, že priestor V 2 (vektorov - šipiek v E 2 ) s lineárnou kombináciou definovanou v (1.18) a (1.19), je v zmysle tejto definície vektorový priestor. Skalárny súčin dvoch vektorov x = x 1 x 2 r cos α r sin α je reálne číslo x.y definované takto:, y = ρ cos β ρ sin β x.y = x 1 y 1 + x 2 y 2 = rρ (cos α cos β sin α sin β) = rρ cos(α β). (1.21) Tento vzt ah môžme prepísat takto: x.y = x y] cos ϕ, (1.22) kde ϕ = α β je uhol medzi "šipkami" odpovedajúcich vektorom x a y, kým x a y označujú dĺžku vektorov x a y. Ak x.y = 0, hovoríme, že vektory x a y sú ortogonálne. Vlastnosti skalárneho súčinu. Jednoducho sa možno presvedčit, že skalárny súčin má nasledujúce vlastnosti: x.x 0, a x.x = 0 len ak x = 0,
18 18 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE x.y = y.x, (ax).y = a (x).y), (x + y).z = x.z + y.z. (1.23) Dĺžku vektora (tiež norma vektora) x je definovaná vzt ahom: x = x.x x x 2 2 = r (1.24) Ak x = 1, vektor sa nazýva normovaný (na jednotku). Norma vektora spĺňa nasledujúce axiómy: x 0, a x = 0 len ak x = 0, ax = a x, x + y x + y trojuholníková nerovnost. (1.25) Zápis priamky pomocou vektorov. Pretože konce vektorov - "šipiek" odpovedajú bodom v rovine, môžeme priamky vyjadrovat pomocou vektorov: (i) Paramatrický zápis priamky p so smerovým uhlom α prechádzajúcou bodom x 0 : p : y = nt + x 0, t R, (1.26) kde n = cos α sin α,
19 19 je vektor jednotkovej ĺžky v smere priamky. Rovnicu (1.26) môžeme prepísat do tvaru p : y = at + x 0, t R, (1.27) kde sme zavedli nový parameter t vzt ahom: t = a t, a > 0. (ii) Zápis priamky p so smerovým uhlom α prechádzajúcou bodom x 0 pomocou rovnice: x p m.(x x 0 ) = 0, (1.28) kde m = sin α cos α, je vektor jednotkovej ĺžky kolmý na priamku. Po vynásobení číslom b > 0 rovnicu (1.28) môžeme prepísat do všeobecnejšieho tvaru x p b.x + c = 0, (1.29) kde b = b m a c = b m.x 0. Lineárna závislost systému vektorov. Systém vektorov x 1, x 2,..., x n nazveme lineárne závislým, ak existuje také riešenie rovnice a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0, (1.30) že niektoré z čísiel a 1, a 2,..., a n sú nenulové: a a a 2 n > 0. Ak rovnica (1.30) má len triviálne riešenie a 1 = a 2 =... = a n = 0, hovoríme, že vektory x 1, x 2,..., x n sú lineárne nezávislé.
20 20 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Ortonormálna báza v priestore V 2. V priestore V 2 l uvolné tri vektory a, b a c sú lineárne závislé. Existujú ale dvojice vektorov, ktoré sú lineárne nezávislé. Ako príklad lineárne nezávislej dvojice, môžu slúžit vektory e 1 = 1 0, e 2 = 0 1. Skutočne, rovnica a 1 e 1 + a 2 e 2 = a 1 = 0 0 = 0 a 2 má len triviálne riešenie a 1 = a 2 = 0. L ubovolný vektor x V 2 možno vyjadrit ako lineárnu kombináciu vektorov e 1 a e 2 : x = x 1 x 2 = x x = x 1 e 1 + x 2 e 2. Hovoríme, že vektory {e 1 e 2 } tvoria bázu vektorového priestoru V 2. Pre túto bázu platí: e 2 1 = e 2 2 = 1, e 1. e 2 = 0. (1.31) Takáto báza sa nazýva ortonormálna: všetky bázové vektory sú normované na 1 a rôzne bázové vektory sú navzájom ortogonálne. Zrejme, x 1 = x. e 1, x 2 = x. e 2. (1.32) Ortonormálna báza, t.j. báza, ktorá spĺňa (1.31), nie je určená jednoznačne. L ahko sa možno presvedčit, že aj vektory e 1 = cos ϕ e 1 + sin ϕ e 2,
21 tvoria ortonormálnu bázu. 21 e 2 = sin ϕ e 1 + cos ϕ e 2, (1.33) Lineárne zobrazenie a matice Zobrazenie vektorov x = x 1 x 2 x = x 1 x 2. (1.34) tvaru x 1 A 11 x 1 + A 12 x 2 = x 1, x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 = x 2, (1.35) nazveme lineárnym zobrazením vo V 2 zadaným pomocou 2 2 reálnej matice (2 2 tabul ky reálnych čísiel): A = A 11, A 12 A 21, A 22, A ij R. (1.36) Rovnicu (1.35) vyjadrujeme v maticovom zápise takto: A 11 A 12 A 21 A 22 x 2 x 1 A 11 x 1 + A 12 x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 = x 1 x 2. (1.37) L avá strana tohto dôležitého vzt ahu definuje násobenie 2 2 matice A a 2-zložkového vektora (stĺpca) x. Rovnicu (1.37) stručne zapisujeme takto: A x = x. (1.38)
22 22 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Pôsobme teraz maticou na jednotlivé vektory štandartnej báze: A e 1 = A e 2 = A 11 A 12 A 21 A 22 = A 11 e 1 = A 12 e 2, = A 21 e 1 = A 22 e 2. Ak teraz vynásobíme skálarne tieto vektory bázovými vektormi, prídeme k dôležitému vyjadreniu l ubovoln0ho prvku matice A: A ij = e i. (A e j ), i j = 1, 2. (1.39) Tento zápis znamená, že formula pre A ij platí pre všetky možné kombinácie indexov i = 1, 2 a j = 1, 2. Algebra matíc. Množina 2 2 matíc je algebra lebo sú v nej definované dve operácie: (i) Lineárna kombinácia a A + b B matíc A = A 11, A 12 A 21, A 22, B = B 11, B 12 B 21, B 22 ktorá je definovaná ako matica s prvkami a A ij + b B ij : a A + b B = a A 11 + b B 11, a A 12 + b B 12 a A 21 + b B 21, a A 22 + b B 22, (1.40). (1.41) Vzhl adom k takto zavedenej lineárnej kombinácii matice tvoria vektorový (lineárny) priestor, v ktorom úlohu počiatku hrá nulová matica O = 0, 0. (1.42) 0, 0
23 (ii) Súčin A B matice A s maticou B, ktorý je definovaný ako matica A B = A 11 B 11 + A 12 B 21, A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21, A 21 B 12 + A 22 B 22 Poznamejme, že maticový súčin je asociatíny: A (B C) = (A B) C A B C. 23. (1.43) Transponovaná matica A t k matici A s je matica A t = A 11, A 21 A 12, A 22, (1.44) v ktorej riadky a stĺpce sú navzájom vymenené, t.j. inverzná matica A t má prvky A t ij = A ij : A t matica je otočená okolo hlavnej diagonály ( A 11, A 22 ). Pre transpozíciu súčinu matíc máme: (A B) t = B t A t. Pre skalárny súčin platí nasledujúca identita: Dokázat sa dá jednoducho priamym dosadením: x. (A y) = (A t x). y. (1.45) x. (A y) = x 1 (A 11 y 1 + A 12 y 2 ) + x 2 (A 21 y 1 + A 22 y 2 ) = (x 1 A 11 + x 2 A 21 ) y 1 + (x 1 A 12 + x 2 A 22 ) y 2 = (A t x). y. (1.46) Špeciálne pre symetrickú maticu máme, x. (A y) = (A x). y. (1.47)
24 24 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Jednotková matica (s 1-mi na diagonále a 0-mi mimo nej) I = 1, 0 (1.48) 0, 1 hrá úlohu "jednotky" pri maticovom súčine: I A = A I = A. Inverzná matica a determinant matice. Hovoríme, že matica A je regulárna (invertibilná), ak k nej existuje inverzná matica A 1, pre ktorú platí: A A 1 = A 1 A = I. (1.49) Pokial matice A a B sú invertibilné, ich súčin je invertibilný a platí: (A B) 1 = B 1 A 1. Determinant matice je reálne číslo priradené matici A predpisom A det A 11, A 12 A 21, A 22 = A 11 A 22 A 12 A 21. (1.50) Druhý zápis tvaru A ij používa sa vtedy, ked potrebujeme explicitne zdôraznit hodnoty maticových prvkov. Determinant má nasledujúce vlastnosti: (i) Determinant transponovanej matice A t je rovný determinantu matice A: det A t = det A. (1.51) (ii) Determinat zmení znamienko ak vymeníme oba riadky (stĺpce). (iii) Determinat sa nezmení ak k niektorému riadku (stĺpcu) pripočítame násobok druhého riadku (stĺpca).
25 25 Dôkaz týchto vlastností plynie priamo z formuly (1.50) (iv) Determinant súčinu dvoch matíc sa rovná súčinu ich determinantov: det (A B) = det A det B. (1.52) Dôkaz: Z definícií súčinu matíc a determinantu dostaneme: det (A B) = (A 11 B 11 + A 12 B 21 ) (A 21 B 12 + A 22 B 22 ) (A 11 B 12 + A 12 B 22 ) (A 21 B 11 + A 22 B 21 ) = (A 11 A 22, A 12 A 21 ) (A 11 A 22 A 12 A 21 ) = det A det B. (v) Matica A je invertibilná práve vtedy, ked det A 0. Inverzná matica je daná formulou: A 1 = 1 det A A 22, A 12 A 21, A 11 Dôkaz: Skutočne, z formúl (1.43) a (1.53) máme: A A 1 1 = A 11 A 22 A 12 A 21, A 11 A 12 A 12 A 11 det A A 21 A 22 A 22 A 21, A 21 A 12 A 22 A 11 Formula A 1 A = I sa dokáže analogicky.. (1.53) = I. Sústavy lineárnych rovníc V tejto časti budeme sa zaujímat o riešenie sústavy dvoch lineárnych algebraických rovníc A 11 x 1 + A 12 x 2 = b 1,
26 26 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE A 21 x 1 + A 22 x 2 = b 2, (1.54) pre neznáme x 1, x 2. Čísla b 1, b 2 sa nazývajú pravou stranou sústavy rovníc. Ak pravá strana je nulová, hovoríme o homogénnej sústave rovníc; ak je nenulová, sústava sa nazýva nehomogénna. Vo vektorovom (maticovom) zápise sústavu (1.54) môžme zapísat ako vektorovú rovnicu: A x = b. (1.55) Riešenie sústavy pomocou determinantov. (i) Ak D det A 0 sústava má práve jedno riešenie dané formulami: D 1 = x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D, b 1, A 12 b 2, A 22, D 2 = A 11, A 12 b 1, b 2. (1.56) Teda D 1 a D 2 sú determinanty matíc, ktoré sa dostanú tak, že v matici A nahradíme 1. resp. 2. stĺpec zložkami vektora b na pravej strane rovnice. Dôkaz: Vynásobme rovnicu (1.55) maticou A 1 : x = A 1 b. Ak použijeme vzorec (1.53) a vyčíslime A 1 b hned dostaneme hl adané riešenie (1.58). (ii) Prípad D = 0 a D 1 = D 2 = 0 diskutujeme nižej. (iii) Ak D = 0 a niektoré z D j 0, sústava nemá riešenie. Riešenie sústavy pomocou rozšírenej matice.
27 Sústavu lineárnych algebraických rovníc (1.54) zapíšeme ako 2 3 rozšírenú maticu (tabul ku čísiel): (A b) A 11 A 12 b 1 A 21 A 22 b (1.57) Nejedná sa o nič iné, ako o maximálne úsporný zápis sústavy (1.54). Neznáme x 1 a x 2 explicitne nevypisujeme, vieme ale že: stĺpci. x 1 resp. x 2 násobia 1. resp 2. stĺpec, potom oba stĺpce sčítame, a súčty jednotlivých riadkov sa rovnajú príslušným členom v tret om Veta: Sústava lineárnych algebraických rovníc popisaných rozšírenou maticou (A b) má riešenie práve vtedy, ked povcet lineárne nezávislých riadkov matice sústavy A sa rovná povctu lineárne nezávislých riadkov rozšírenej matice (A b). Komentár: (i) Ak oba riadky A aj (A b) sú lineárne nezávislé, tak D = det A 0 a existuje jednoznačné riešenie sústavy dané (1.56). (ii) Ak (A b) má len jeden lineárne nezávislých riadok (a druhý je jeho násobkom), potom sústava sa redukuje na jednu nezávislá rovnicu (povedzme, danú j-tym riadkom) A j1 x 1 + A j2 x 2 = b j. (1.58) Tento vzt ah reprezentuje rovnicu určitej priamky p. Riešení je nekonečne
28 28 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE vel a: každý bod na p rieši sústavu. V tomto prípade D = 0 a D 1 = D 2 = 0. (iii) Ak rozšírená matica (A b) má dva lineárne nezávislé riadky, kým A len jeden, potom sústava nemá riešenie. V tomto prípade D = 0 a aspoň jeden z determinantov D 1 a D 2 je rôzny od nuly. Príklad 1. Riešte sústavu rovníc x 1 x 2 = 1 2 x x 2 = +1 +1, , Riešenie: Na pravej strane sústava je zapísaná pomocou rozšírenej matice. Aby sme eliminovali premennú x 1 v druhej rovnici, odčítajme dvojnásobok prvej rovnice od druhej. Na úrovni rozšírenej matice pod diagonálou sa objaví nula: +1, , , 1 1 0, x 1 x 2 = 1 5 x 2 = +3 (symbol " " označuje, že obe rozšírené matice odpovedajú ekvilaletným sústavám rovníc). Teraz môžme z druhej rovnice priamo vyjadrit x 2 a po dosadení do prvej rovnice aj x 1 : x 2 = 3 5, x 1 = x 2 1 = = 3 5. Príklad 2. Uvažujme teraz dve modifikácie predchádzajúceho príkladu zadané rozšírenými maticami: (a) +1, 1 1, (b) +1, , , +2 +3
29 29 Riešenie: Postupujme rovnako ako predtým a odčítajme dvojnásobok prvého riadku od druhého. Dostaneme, (a) +1, 1 1 x 1 x 2 = 1, 0, = 0 (b) +1, 1 1 0, 0 +5 x 1 x 2 = 1 0 = +5,. (a) Rozšírená matica (A b) má dva lineárne závislé riadky, takže vhodným odčítaním vynulujeme druhý riadok: prvému riadku odpovedá rovnica priamky, kým druhý riadok predstavuje identitu 0 = 0. Sústava má nekonečne vel a riešní - riešia ju všetky body priamky. (b) Rozšírená matica (A b) má dva lineárne závislé riadky, kým matica A má lineárne závislé riadky: prvému riadku odpovedá netriviálna rovnica, kým druhý riadok predstavuje neplatný vzt ah 0 = +5. Sústava nemá riešnie. Grupa regulárnych matíc Maticu A zobrazenia x A x nazveme regulárnou ak jej determinant je nenulový: det A 0. Regulárne zobrazenia zobrazujú priestor V 2 jednoznačne na seba: ak x 1 x 2 potom A x 1 A x 2, a naviac, pre každé x V 2 existuje také x, že platí: x = A x, regulárne zobrazenia x B x a x A x môžeme skladat : zložené zobrazenie je regulárne a odpovedá mu súčin matíc: A (B x) = (A B) x.
30 30 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE V množina regulárnych matíc G môžeme definovat operáciu - maticový súčin: A, B G A B G, ktorý má nasledujúce vlastnosti: (i) Asociatínost. Pre l ubovolnú trojicu A (B C) z G platí: A (B C) = (A B) C; (ii) Existencia jednotkového prvku I. Pre l ubovolný prvok A z G platí: A I = I A = A; (iii) Existencia inveverzného prvku. Ku každému prvku A z G existuje A 1, pre ktorý platí: A A 1 = A 1 A = I. Definícia grupy a podgrupy. Množina G je grupa ak je v nej definovaný súčin s s vlastnost ami (i) - (iii). Podmnožina G G je podgrupa grupy G ak grupovvý súčin zúžený na G má vlastnosti (i) - (iii). Poznámka 1. Množina regulárnych matíc s nenulovým determinantom je grupa vzhl adom k maticovému súčinu, ktorá sa zvykne označovat ako G = GL(2, R): jednotková matica odpovedá jednotkovému prvku grupy a inverzná matica odpovedá inverznému prvku. Je to dôsledkom toho, že det A 0 a det B 0 det (AB) = det A det B 0. Poznámka 2. Jej podmožina matíc s jednotkovým determinantom je grupa, ktorá sa zvykne označovasoftt ako G = SL(2, R). Je dôsledkom toho, že vzt ah det (AB) = det A det B je konzistentný so podmienkou det A = 1.
31 Poznámka 3. Matica A sa nazýva ortogonálnou ak pre jej transponovanú maticu A t platí: A t A = I. Množina ortogonálnych matíc tvorí grupu H, ktorá sa zvykne označovat ako O(2, R) alebo jednoducho O(2). grupu, čo plynie z toho že A t A = I a B t B = I implikuje (A B) t (A B) = B t A t A B = B t (A t A) B = B t B = I. 31 Jedná o Poznámka 4. Zo vzt ahu A t A = I vyplýva det A t det A = (det A) 2 = 1. Preto, det A = ±1. s det A = +1, tvoria podgrupu H sa nazýva sa grupou vlastných rotácií roviny. L ahko sa možno presvedčit, že ortogonálne matice odpovedá rotácii roviny o nejaký uhol α: A = cos α, sin α. sin α, cos α = SO(2) grupy H = O(2), ktorá Každá matica A SO(2) Poznámka 5. Matice z grupy rotácií s determinantom rovným 1 netvoria podgrupu: súčin dvoch takýchto matíc je matica s determinantom +1. Každá ortogonálna matica A s determinantom rovným 1, ale môže byt zapísaná ako súčin matice E = 1, 0 0, 1 odpovedajúcej priestorovej reflexii (odrazu v zrkadle umiestnenom v 1. súradnicovej osi v rovine) a vlastnej rotácie A: A = E A, kde det A = +1. Poznámka 6., Grupa SO(2) je podgrupou ako grupy SL(2, R), tak aj grupy O(2). Naviac platí: SO(2) = SL(2, R) O(2). Všeobecné báze vo vektorovom priestore
32 32 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Uvažujme lineárne zobrazenie x A x generované regulárnou maticou A = A 11, A 12 A 21, A 22. Pôsobením na štandartnú ortonormálnu bázu e 1 = 1 0, e 2 = 0 1, obdržíme dvojicu vektorov f 1 = A e 1 = f 2 = A e 2 = A 11, A 12 A 21, A 22 A 11, A 12 A 21, A = = A 11 A 21 A 12 A 22,. Dvojica vektorov f 1 a f 2 predstavuje všeobecnú (neortonormálnu) bázu vo vektorovom priestore, t.j. každý vektor x možno vyjadrit ako lineárnu kombináciu vektorov f 1 a f 2 : = x 1 x = x 1 e 1 + x 2 e 2 = A 11 A 21 + x 2 A 12 A 22 x 1 x 2 = = x 1f 1 + x 2 f 2 A 11 x 1 + A 12 x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 Vidíme, že koeficienty rozvoja x 1 a x 2 vektora v neortonormálnej báze sú určené rovnicami A 11 x 1 + A 12 x 2 = x 1, A 21 x 1 + A 22 x 2 = x 2..
33 Vd aka tomu, že A je regulárna matica, táto sústava má jednoznačné riešenie pri l ubovolnom x 1 a x Diagonalizácia symetrickej matice Vektor x sa nazýva normovaným vlastným vektorom matice A k vlastnej hodnote λ, ak existuje reálne číslo λ tak, že je splnená rovnica A x = λ x (A λ I) x = 0, x = 1. (1.59) Jedná sa o homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc pre zložky vektora x. Aby táto sústavu rovníc mala nenulové riešenie, determinant sústavy musí sa rovnat nule: det(a λ I) = 0. Tento vzt ah je kvadratická rovnica pre neznámu λ. Takáto rovnica ale nemusí mat povžadované reálne riešenie. V d alšom sa preto obmedzíme na symetrické matice, ktoré ako uvidíme, majú reálne vlastné hodnoty. Vlastné vektory a hodnoty symetrickej matice L ubovolnú symetrickú maticu A môžeme (vhodne) parametrizovat takto: A = a + r cos α, r sin α. r sin α, a r cos α
34 34 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Podmienka na vlastnú hodnotu nadobúda tvar a λ + r cos α, r sin α det(a λ I) = r sin α, a λ + r cos α = (a λ)2 r 2. Vlastné hodnoty matice A teda sú: λ = a ± r. Môžu nastat dva prípady: (i) Ak r = 0, potom A = a I. Všetky vektory, sú vlastné vektory k hodnote λ = a: A x = a x. Môžeme vybrat, napríklad štandartnú bázu ako ortonormálny systém dvoch vlastných vektorov: x 1 = 1 0, x 2 = 0 1. (ii) Ak r 0, tak vlastné vektory sú riešením rovnice a + r cos α, r sin α x 1 = (a ± r) x 1 r sin α, a + r cos α x 2 x 2, ktorá sa redukuje na sústavú dvoch homogénnych algebraických rovníc: cos α x 1 + sin α x 2 = ± x 1, sin α x 1 cos α x 2 = ± x 2. Obe rovnice nie sú nezávislé (vynásobte prvú rovnicu sin α a druhú cos α). Rovnice so znamienkom "+" resp. "-" majú normované riešenie: x 1 = cos α 2 sin α 2, resp. x 2 = sin α 2 cos α 2. Poznámka: L ahko sa možno presvedčit, že oba vlastné vektory x 1 a x 2 sú normované a navzájom ortogonálne: x 1 = x 2 = 1 a x 1. x 2 = 0. Nie je to náhoda, lebo platí
35 35 Veta: Vlastné vektory symetrickej matice k rôznym vlastným hodnotám sú navzájom ortogonálne. Dôkaz: Rovnice A x 1 = λ 1 x 1 resp. A x 2 = λ 2 x 2, vynásobme x 2 resp. x 1. Dostaneme rovnice x 2.(A x 1 ) = λ 1 x 2.x 1 resp. x 1.(A x 2 ) = λ 2 x 1.x 2. Odčítaním oboch týchto rovníc obdržíme vzt ah: (λ 1 λ 2 ) x 1.x 2 = 0, kde sme využili to, že pre symetrickú maticu platí x 2.(A x 1 ) = x 1.(A x 2 ). Pretože, podl a predpokladu λ 1 λ 2, tak musí byt x 1.x 2 = 0. V ortonormálne báze svojich vlastných vektorov x 1 x 11 x 21, x 2 x 11 x 21, každá symetrická matica A je diagonálna s vlastnými hodnotami na diagonále. Skutočne, pre maticové prvky báze vlastných vektorov Λ ij x i. (Ax j ) = λ j x i. x j. Ak využijeme ortonormalitu báze {x 1 x 2 }, hned dostaneme: Λ 12 = Λ 21 = 0, Λ 11 = λ 1, Λ 22 = λ 2.
36 36 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Príslušnú diagonálnu maticu Λ dostaneme tiež tak, že maticu A vynásobíme sprava maticou X s prvkami x ij (ktoré odpovedajú zložkám vlastných vektorov {x 1, x 2 } zavedených vyššie) a zl ava transponovanou maticou X t. Teda X t A X = Λ, resp. A X = X Λ (1.60) Posledný vzt ah je plynie z ortogonálity X t X matice X. Tieto rovnice detailne vyzerájú takto: x 11, x 21 x 12, x 22 A 11, A 12 A 21, A 22 x 11, x 12 x 21, x 22 = λ 1, 0 0, λ 2, resp. A 11, A 12 A 21, A 22 x 11, x 12 x 21, x 22 = x 11, x 12 x 21, x 22 λ 1, 0 0, λ 2. Stĺpce poslednej maticovej rovnice odpovedajú jednotlivým rovniciam na vlastné hodnoty: A x 1 = λ 1 x 1 a A x 2 = λ 2 x 2. Komplexné čísla. Teleso komplexných čísiel C môžeme zaviest ako množinu reálnych matíc špeciálneho tvaru: X = x, x x, x = x I + x E. Ich lineárna kombinácia je opät matica tohto tvaru:
37 37 Matice I = 1, 0 0, 1, E = 0, 1 1, 0, spĺňajú vzt ahy: I 2 = I, I E = E I = E, E 2 = I. Lineárna kombinácia dvoch komplexných čísiel X = x I + x E a Y = y I + y E je opät matica tohto tvaru: X + Y = (x + y) I + (x + y ) E. Pre ich súčin l ahko dostaneme: X Y = (x y x y ) I + (x y + x y) E. Číslo X = X t = x I x E sa nazýva komplexne združené k číslu X = x I + x E. Nezáporné číslo X = X X = x2 + x 2 X sa nazýva absolútnou hodnotou komplexného čísla X. Kvôli skráteniu zápisu (a aj z historických dôvodov) symbol I sa nahradzuje "1" (a zväčša sa vynecháva) a symbol E sa nahrádza imaginárnou jednotkou "i", ktoré pri násobení sa správajú rovnáko ako I a E: 1 2 = 1, 1.i = i.1 = i, i 2 = 1. Píšeme, X = x + i x. Jeho súčin s komplexným číslom Y zapiše takto: X Y = (x y x y ) + i (x y + x y). = y + i y sa Ak X = cos α + i sin α = e iα (kde α je reálny parameter), tak X = 1.
38 38 CHAPTER 1. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V ROVINE Každé komplexné číslo X = x + i x je jednoznačne zadané dvojicou reálnych čísiel x a x, ktoré môžeme znázornit ako bod [x; x ] reálnej roviny R 2 resp. ako vektor x v rovine smerujúci z počiatku do koncového bodu [x; x ]. Značenie je také, že 1) X = x (nal avo je absolútna hodnota komplexného čísla a napravo vystupuje dĺžka vektora), 2) vynásobeniu reálnym číslom a : X a X odpovedá násobenie vektora číslom a : x a x, 3) vynásobeniu komplexným číslom e iα : X e iα X odpovedá rotácia roviny R 2 o uhol α: x x cos α, sin α sin α, cos α x x.
39 Chapter 2 Lineárna algebra a geometria v priestore Súradnice v priestore Najprv zavedieme pravouhlé (kartézske) súradnice v Euklidovskom priestore: (i) Zvolíme v priestore rovinu a v nej počiatok 0, ktorým vedieme dve priamky: x-ovú os a na ňu kolmú y-ovú os; počiatku 0 odpovedá bod x = 0 na x-ovej číselnej osi a bod y = 0 na y-ovej číselnej osi. (ii) Počiatkom 0 vedieme d alšiu priamku z-ovú os kolmú na x-ovú aj y-ovú os; počiatku odpovedá bodu z = 0 na xz-ovej číselnej osi. (iii) Ľubovoľný bod P priestoru stotožníme s trojicou reálnych čísiel P = [x P ; y P ; z P ], kde x P, y P a z P označujú po rade x-ovú, y-ovú a z-ovú súradnicu bodu P na príslušnej osi. 39
40 40CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Vzdialenost dvoch v priestore. P = [x P ; y P ; z P ] a Q = [x Q ; y Q ; z Q ]. Uvažujme teraz dva body v priestore Ich vzdialenost d(p, Q) sa definuje ako dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka P QR, R = [x Q ; y Q ; z P ]. Podl a Pythagorovej vety d(p, Q) = (x P x Q ) 2 + (y P y Q ) 2 + (z P z Q ) 2. (2.1) Euklidovský priestor E 3 je množina trojíc reálnych čísiel R 3 opatrená pojmom vzdialenosti (2.1). Sférické súradnice definujeme takto: (i) Okolo počiatku 0 = [0; 0; 0] nakreslíme jednotkovú sféru: jej bod N = [0; 0; +1] nazveme severným pólom a bod S = [0; 0; 1] nazveme južným pólom. Bodom na rovníku priradíme polárny uhol ϕ ( π, +π] v (xy)-ovej rovine. Body na rovníku majú súradnice: [cos ϕ; sin ϕ; 0]. (ii) Všeobecnému bodu sféry prirad ujeme okrem polárneho uhla aj azimutálny uhol θ [0, π] (uhol medzi bodom a severným pólom). L ubovolný bod na sfére je potom daný ako: [cos ϕ sin θ; sin ϕ sin θ; cos θ]. (iii) Každý bod P = [x; y; z] 0 priestoru parametrizujeme jeho sférickými uhlami (polárnym uhlom ϕ a azimutálnym uhlom θ) a vzdialenost ou od počiatku r = x 2 + y 2 + z 2 : x = r cos ϕ sin θ, y = r cos ϕ sin θ, z = r cos θ. (2.2) Sférické súradnice sú dobre definované okrem počiatku, v ktorom síce r = 0 ale sférické uhly ϕ a θ nie sú definované! Vektory v priestore
41 41 Pri vyšetrovaní dôležitých lineárnych objektov v trojrozmernom priestore (bodov, priamok a rovín) a ich vzájomnnej polohy je výhodné využívat formalizmus trojrozmerných vektorov. Preto tento formalizmus uvedieme ako prvý. Priestor V 3 trojrozmerných vektorov definujeme ako priestor orientovaných úsečiek - "šipiek") x smerujúcich z počiatku 0 = [0; 0; 0] do bodu X = [x 1 ; x 2 ; x 3 ] (zložky bodu X budeme opät systematicky značit ako x 1, x 2, x 3 miesto x, y a z. Každému vektoru ("šipke") príradíme 3-zložkový stĺpec x = x 1 x 2 x 3. (2.3) Čísla x 1, x 2 a x 3 nazveme zložkami vektora x; vektor s nulovými komponentami, odpovedajúci počiatku budeme značit ako 0. Súčet dvoch vektorov x = x 1 x 2, y = y 1 y 2 x 3 y 3 definujeme podobne ako predtým: x + y = x 1 + y 1 x 2 + y 2. (2.4) x 3 + y 3
42 42CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Násobenie vektora x číslom a R sa definuje ako vektor: ax = a x 1 a x 2. (2.5) a x 3 L ahko sa možno presvedčit, že priestor V 3 (vektorov - šipiek v E 3 ) s lineárnou kombináciou definovanou v (2.4) a (2.5), je vektorový priestor (v zmysle definície uvedenej v predchádzajúcej časti). Lineárna závislost systému vektorov sa definuje rovnako ako predtým: Systém vektorov x 1, x 2,..., x n nazveme lineárne závislým, ak existuje také riešenie rovnice a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0, (2.6) že niektoré z čísiel a 1, a 2,..., a n sú nenulové: a a a 2 n > 0. Ak táto rovnica má len triviálne riešenie a 1 = a 2 =... = a n = 0, hovoríme, že vektory x 1, x 2,..., x n sú lineárne nezávislé. Ortonormálna báza v priestore. Vo V 3 l uvolné štyri vektory a, b, b a d sú lineárne závislé. Štandartná báza v trojrozmernom priestore e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = 0.. (2.7) reprezentuje trojicu vektorov, ktoré sú lineárne nezávislé. L ubovolný vektor
43 43 x možno vyjadrit ako lineárnu kombináciu vektorov štandartnej báze: x = x 1 x 2 x 3 = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3. Skalárny súčin dvoch vektorov x = x 1 x 2, y = y 1 y 2 x 3 y 3 je reálne číslo x.y definované ako: 3 x.y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = x i y i. (2.8) Je dobré si postupne zvykat na zápis súčtov pomocou súm (je to zápis, ktorý je rovnako pracný vo vektorových priestoroch l ubovolnej dimenzie). Ak x.y = 0, hovoríme, že vektory x a y sú ortogonálne. i=1 (1.23). Jednoducho sa možno presvedčit, že (2.8) spĺňa axiómy skalárneho súčinu Dĺžku vektora (norma vektora) x definovaná vzt ahom x = x.x = x x x 3 2, (2.9) tiež spĺňa obvyklé axiómy (1.24). Ak x = 1, vektor sa nazýva normovaný (na jednotku).
44 44CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Vektory štandartnej báze e i, i = 1, 2, 3 tvoria ortonormálnu bázu lebo platí: e i 2 = e i.e i = 1, i = 1, 2, 3, e i.e j = 0, pre i j. Tieto vzt ahy sa zvyknú kompaktne zapisovat takto: e i.e j = δ ij, kde δ ij je Kroneckerov symbol delta definovaný ako δ ii = 1, δ ij = 0, pre i j. Poznámka: Pre skalárny súčin dvoch vektorov platí formula podl a, ktorej je rovný súčinu dĺžok vektorov a kosínusu zovretého uhla: x.y = x y] cos θ. (2.10) Tento vzt ah evidentne platí prípade vektora x v smere 3-tej osi a vektora y orientovaného v l ubovolnom smere danom sférickými uhlami θ a ϕ: 0 cos ϕ sin θ x = x 0, y = y sin ϕ sin θ. 1 cos θ Stačí dosadit zložky oboch vektorov do rovnice (2.8). Všeobecný prípad plynie z invariatnosti skalárneho súčinu vzl adom k rotáciam (toto ukážeme neskôr).
45 45 Vektorový súčin dvoch vektorov je operácia, ktorá je typická pre trojrozmerné vektory. Definícia: Vektorový súčin dvoch vektorov x = x 1 x 2 x 3, y = y 1 y 2 y 3 je vektor x y, ktorý je definovaný takto: x 2 y 3 x 3 y 2 x y = x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1. (2.11) Vektorový súčin má nasledujúce dôležité vlastnosti: x y = y x antisymetria, (a x + b y) z = a x z + b y z linearita, x. (x y) = y. (x y) = 0 ortogonalita. (2.12) Z prvých dvoch vzt ahov vyplýva, že x y = 0 ak jeden z vektorov je násobkom druhého. Posledný vzt ah nám hovorí, že vektorový súčin x y je vektor kolmý na x aj y. Poznámka: Tvar zložiek vektorového súčinu x y si l ahko zapamätáme: 1) Prvá zložka je daná ako (x y) 1 = x 2 y 3 x 3 y 2 :
46 46CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE - prvá trojica indexov je tu 123 (1 nal avo) a (2 a 3 napravo so znamienkom "+" pred x 2 y 3 x 3 ), - druhá trojica indexov je 132 (1 nal avo) a (2 a 3 napravo so znamienkom "-" pred x 3 y 2 ), 2) V druhej zložke (x y) 2 = x 3 y 1 x 1 y 3 indexy sú dané rovnakou cyklickou zámenou 1 2, 2 3 a 3 1 v oboch členoch. 3) Napokon v tretej zložke (x y) 3 = x 1 y 2 x 2 y 1 indexy sú dané v oboch členoch opät cyklickou zámenou (2 3, 3 1 a 1 2). Geometrický význam vektorového súčinu. Uvažujme dva vektory v (23)- rovine: cos α cos β x = x sin α, y = y sin β. 0 0 Ich vektorový súčin x y je vektor orientovaný v smere osi 3 (lebo je kolmý ako na osi 1 aj 2): x y = x y 0 0, sin φ kde φ = α β je uhol zovretý oboma vektormi. Jeho vel kost je súčin dĺžok oboch vektorov vynásobený absolútnou hodnotou sinusu zovretého uhla: x y = x y sin φ. Toto je práve plocha rovnobežníka vytvoreného oboma vektormi.
47 47 Pre vektorový súčin prvkov štandartnej báze platí e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1, e 3 e 1 = e 2. Tieto vzt ahy sa zvyknú kompaktne zapisovat takto: e i.e j = ε ijk e j, (2.13) kde ε ijk je Levi-Civitov symbol epsilon definovaný ako (i) ε 123 = 1 a d al šie hodnoty symbolu plynú z toho, že (ii) ε ijk mení znamienko pri výmene l ubovolných dvoch indexov: ε ijk = ε jik = ε ikj = ε kji. Evidentne ε ijk = 0, ak aspoň dva indexy sú rovnaké, ak indexy i, j, k, sú navzájom rôzne potom ε ijk = ±1 (znamienko l ahko plynie z pravidiel (i) a (ii)). Zmiešaný súčin a viacnásobné súčiny Zmiešaný súčin troch vektorov a = a i e i, b = b j e j, c = c k e k, i=1 j=1 k=1 je reálne číslo definované vzt ahom: a. (b c) = a i b j c k e i. (e j e k ) i=1 j=1 k=1 = 3 i=1 3 j=1 3 a i b j c k ε ijk. k=1
48 48CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Posledná formula je priamym dôsledkom (2.13). Zmiešaný súčin troch vektorov má názorný geometrický význam: a. (b c) je objem rovnobežnostena určeného vektormi a, b a c. Dvojnásobný vektorový súčin vektorov a, b a c je vektor definový ako: a (b c) = b (a. c) b (a. c). Vzorec sa l ahko zpamätá ako formula "bac mínus cab". Je priamym dôsledkom užitočnej identity: 3 ε ijk ε ilm = δ jl δ km δ jm δ kl. i=1 Spojením oboch predchádzajúcich vzorcov dostaneme formulu: (a b). (c d) = (a. c) (b. d) (a. d) (b. c). Lineárne zobrazenia a matice Zobrazenie vektorov x = x 1 x 2 x = x 1 x 2. (2.14) x 3 x 3 tvaru x 1 A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 = x 1, x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3 = x 1, x 3 A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 = x 2, (2.15)
49 nazveme lineárnym zobrazením vo V 3 zadaným pomocou 3 3 reálnej matice: A 11, A 12, A 13 A = A 21, A 22, A 23, A ij R. (2.16) A 31, A 32, A 33 Ak definujeme násobenie 3 3 matice A a 3-zložkového vektora (stĺpca) x ako A 11, A 12, A 13 A 21, A 22, A 23 A 31, A 32, A 33 x 1 x 2 x 3 potom rovnica (2.17) dá sa stručne zapísat takto: 49 A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3, A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 (2.17) A x = x. (2.18) L ubovolný prvok matice A môžme opät vyjadrit pomocou jej maticových prvkov v štandartnej báze (2.12): A ij = e i. (A e j ), i, j = 1, 2, 3. (2.19) Algebra matíc. Množina 3 3 matíc je algebra lebo sú v nej definované dve operácie: (i) Lineárna kombinácia a A + b B dvoch matíc A a B s prvkami A ij resp. B ij, i, j = 1, 2, 3, je definovaná ako matica s prvkami a A ij + b B ij, i, j = 1, 2, 3.
50 50CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Vzhl adom k takto zavedenej lineárnej kombinácii matice tvoria vektorový (lineárny) priestor, v ktorom úlohu počiatku hrá nulová maticao B s nulovými prvkami O ij = 0, i j = 1, 2, 3. (ii) Súčin A B matice A s maticou B je definovaný ako matica A B s prvkami 3 (A B) ij = A ik B kj = A i1 B 1j + A i2 B 2j + A i3 B 3j, i j = 1, 2, 3. (2.20) Poznamejme, že maticový súčin je asociatíny: A (B C) = (A B) C A B C. k=1 A t ij Transponovaná matica A t k matici A s prvkami A ij je matica s prvkami = A ij, i, j = 1, 2, 3. V matici A t riadky a stĺpce matice A sú navzájom vymenené: A t matica je otočená okolo hlavnej diagonály matice A. Pre transpozíciu súčinu matíc platí: (A B) t = B t A t. L ahko potom možno ukázat, že skalárny súčin spĺňa nasledujúcu identitu: x. (A y) = (A t x). y. (2.21) Dokázat sa to dá jednoducho priamym dosadením: x. (A y) = 3 3 x i ( A ij y j ) = i=1 j=1 3 i=1 3 x i A ij y j j=1 = 3 3 ( j=1 i=1 A ji t x i ) y j = (A t x). y. Špeciálne pre symetrickú maticu máme: x. (A y) = (A x). y.
51 51 Jednotková matica I je matica s prvkami I ij = δ ij : δ ii = 1 na diagonále a δ ij = 0 pre i j, mimo nej. Jednotková matica hrá úlohu "jednotky" pri maticovom súčine: I A = A I = A. Inverzná matica a determinant matice. Hovoríme, že matica A je regulárna (invertibilná), ak k nej existuje inverzná matica A 1, pre ktorú platí: A A 1 = A 1 A = I. Pokial matice A a B sú invertibilné, ich súčin je invertibilný a platí: (A B) 1 = B 1 A 1. Determinant matice je reálne číslo priradené matici A predpisom A 11, A 12, A 13 det A A 21, A 22, A 32 = A 31, A 32, A x i ( ( ε ijk A 1i A 2j A 3k. (2.22) i=1 j=1 k=1 V poslednom výraze vystupuje vyššie zavedený úplne antisymetrický symbol ε ijk. Determinant má nasledujúce vlastnosti: (i) Determinant transponovanej matice A t je rovný determinantu matice A: det A t = det A. (2.23) (ii) Determinat zmení znamienko ak vymeníme l ubovolné dva riadky (stĺpce).
52 52CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE (iii) Determinat sa nezmení ak k niektorému riadku (stĺpcu) pripočítame l ubovolnú kombináciu ostatných riadkov (stĺpcov). (iv) Determinant súčinu dvoch matíc sa rovná súčinu ich determinantov: det (A B) = det A det B. (v) Matica A je invertibilná práve vtedy, ked det A 0. Prvky inverznej matice A 1 sú dané formulou: kde A ij (A 1 ) ij = ( 1)i+j det A det A ji, (2.24) je 2 2 matica, ktorú dostaneme z matice A vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca (pozor na vymenené indexy i a j na pravej strane). Dôkaz vyplýva z definícií súčinu matíc a determinantu; podobne vlastnost vyplýva z definícií 2 2 a 3 3 determinantov (oba dôkazy sú zdĺhavé). Zápis priamok a rovín v priestore. Parametrický zápis. Priamka. Body priamky p prechádzajúcou bodom x 0 v smere vektora a 0 sú zadané pomocou jedného reálneho parametra t takto: p : y = at + x 0, (2.25) Ak zavedieme nový parameter t = a t, rovnicu priamky môžeme prepísat takto: y = n t + x 0, t R, (2.26) kde n = a 1 a je vektor jednotkovej ĺžky v smere priamky.
53 53 Rovina. Body roviny R určenej dvojicou lineárne nezávislých vektorov a 1 a a 2 a prechádzajúcou bodom x 0 sú zadané dvojicou reálnych parametrov t 1 a t 2 takto: R : y = a 1 t 1 + a 2 t 2 + x 0. (2.27) Namiesto, vektorov a 1 a a 2 môžme zaviest ortonormálnu dvojicu e 1 a e 2 Schmidtovým-Grammovým ortonormalizačným procesom: (i) Položíme e 1 = a 1 1 a 1 a druhý vektor hl adáme v tvare e 2 = b (a 2 c e 1). (ii) Z podmienky 0 = e 1. e 2 = b (e 1. a 2 c) určíme c = e 1. a 2. Nakoniec, b sa určí z normalizačnej podmienky: 1 = e 2 2 = b 2, (a 2 c e 1) 2 = b 2, ( a 2 2 c 2 ). Pretože, a 1 a a 2 sú lineárne nezávislé, a 2 c e takže b bude existovat. Body roviny môžeme vyjadrit aj pomocou ortonormálnych vektorov e 1 a e 2: R : y = e 1 t 1 + e 2 t 2 + x 0. (2.28) Vzt ah medzi dvojicami parametrov t 1, t 2 a t 1, t 2 plynie z ortonormalizačného procesu (skúste si ho odvodit ). Zápis pomocou rovnice.
54 54CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Rovina. Rovinu R prechádzajúcu bodom x 0 tiež môžme zadat pomocou jednej rovnice: m. (x x 0 ) = 0, (2.29) kde m je vektor jednotkovej ĺžky kolmý na rovinu. Po vynásobení číslom b > 0 túto rovnicu môžeme prepísat do všeobecnejšieho tvaru b. x + c = 0, (2.30) kde b = b m a c = b m.x 0. Ak je rovina zadaná v parametrickom tvare (2.27) pomocou dvojice lineárne nezávislých vektorov a 1 a a 2, potom vektor b je úmerný a 1 a 2 : b a 1 a 2. Jednotkový vektor m kolmý na rovinu je daný ako b = a 1 a 2 a 1 a 2 = e 1 e 2 e 3. Vektory e i, i = 2, 2, 3, tvoria ortonormálnu bázu vo V 3 : e i.e j ako je štandartná báza). = δ ij (inú Dve roviny zadané rovnicami R 1 : b 1. x + c 1 = 0, R 2 : b 2. y + c 2 = 0, sú nerovnobežné a pretínajú sa ak vektory b 1 a b 2 sú lineárne nezávislé.
55 Priamka. Priamku p v trojrozmernom môžeme zadat ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín prechádzajúcich tým istým bodom x 0 : body x p sú riešením sústavy rovníc b 1. (x x 0 ) = 0, b 2. (x x 0 ) = 0. L ahko sa možno presvedčit (priamym dosadením), že v parametrickom tvare priamka p je daná bud ako p : x = a t + x 0, a = b 1 b 2, alebo pomocou smerového vektora n jednotkovej dĺžky p : x = nt + x 0, kde n = b 1 b 2 b 1 b 2, t = t a. 55 Príklad. Nech rovina R je zadaná rovnicou m. x + c = 0, (2.31) kde m je vektor jednotkovej ĺžky kolmý na rovinu. Určite vzdialenost bodu Q = [q 1 ; q 2 ; q 3 ] od roviny. Riešenie: Priamka p kolmá na rovinu R a prechádzajúca bodom Q je v parametrickom tvare daná ako p : x = m t + q, (2.32) kde q je vektor s koncovým bodom Q (jeho zložky sú q 1, q 2, q 3 ). Dosadením (2.32) do (2.31) dostaneme rovnicu pre parameter t: t + m. q + c = 0.
56 56CHAPTER 2. LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA V PRIESTORE Jej riešenie t = m. q c určuje vektor p = m t 0 + q = q m (c + m. q), ktorého koncový bod P odpovedá práve prieniku priamky a roviny. Vzdialenost bodu Q od roviny R je rovná d = d(q, P ) = q p = c + m. q. Sústavy lineárnych rovníc V tejto časti budeme sa zaujímat o riešenie sústavy troch lineárnych algebraických rovníc A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 = b 1, A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3 = b 2, A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 = b 3, (2.33) pre neznáme x 1, x 2, x 3. Čísla b 1, b 2, b 3 sa označujú pravú stranu sústavy rovníc. Ak pravá strana je nulová, hovoríme o homogénnej sústave rovníc; ak je nenulová, sústava sa nazýva nehomogénna. Vo maticovom zápise túto sústavu môžme zapísat ako vektorovú rovnicu: A x = b. (2.34) Riešenie sústavy pomocou determinantov.
57 (i) Ak D det A 0 sústava má práve jedno riešenie dané formulami: 57 x i = D i D, i = 1, 2, 3, (2.35) kde D i označuje determinant matice, ktorú dostaneme tak, že v matici A nahradíme i-ty stĺpec zložkami vektora b na pravej strane rovnice. Dôkaz: Vynásobme rovnicu (2.34) maticou A 1 : x = A 1 b. Ak použijeme vzorec (2.24) a vyčíslime A 1 b hned dostaneme hl adané riešenie (1.56). (ii) Prípady s D = 0 diskutujeme nižej. Riešenie sústavy pomocou rozšírenej matice. Sústavu lineárnych algebraických rovníc (2.33) zapíšeme ako 3 4 rozšírenú maticu (tabul ku čísiel): A 11 A 12 A 13 b 1 (A b) A 21 A 22 A 23 b 2. (2.36) A 31 A 32 A 33 b 3 Jedná sa o maximálne úsporný zápis sústavy (2.33). Neznáme x 1, x 2 a x 3 explicitne nevypisujeme, vieme ale že: x i vynásobíme i-ty stĺpec a všetky stĺpce sčítame, súčty jednotlivých riadkov sa rovnajú príslušným členom v poslednom (štvrtom) stĺpci rozšírenej matice. Veta: Sústava lineárnych algebraických rovníc popisaných rozšírenou maticou (A b) má riešenie práve vtedy, ked povcet lineárne nezávislých riadkov
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieŠtudent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp
Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá
PodrobnejšieMicrosoft Word - mpicv11.doc
1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a
Podrobnejšie(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))
1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieZadání čtvrté série
Pomocný text Vektory V na²om pomocnom texte Vás prevedieme postupne afínnou geometriou, skalárnym sú inom dvoch vektorov, vektorovým sú inom a zmienime sa krátko o orientovanom obsahu a jeho vyuºití. Tento
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšiePrehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;
Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
Podrobnejšietkacikova
Apollonius z Perge (história matematiky) Jana Tkačíková, 4. roč. Mat-NV Apollonius z Perge Apollonius z Perge (približne 262-190 p.n.l.) bol grécky geometer a astronóm, je známy ako jeden z najvýznamnejších
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšieBariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX
Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšieSeriál XXXII.II Mechanika, FYKOS
Seriál: Mechanika Úvod Na úvod vás vítam pri čítaní druhej časti seriálu u. Začiatkom druhej série sa ešte raz vrátime k značeniu, kde si rýchlo ukážeme ako fungujú indexy, ktoré nám umožnia písať jednu
PodrobnejšieMicrosoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia
Matice Užívateľská dokumentácia k programu Autor: Miroslav Jakubík 2009 Obsah 1 Úvod... 2 1.1 Stručný popis programu... 2 1.2 Spustenie programu... 2 1.3 Otvorenie dokumentu... 3 1.4 Ovládanie programu...
PodrobnejšieKatalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020
PodrobnejšieŠkVP_MAT
Súkromné Gymnázium DSA, Komenského 40, 083 01 Sabinov MATEMATIKA Učebné osnovy 3. september 2018 Názov predmetu Časový rozsah výučby Názov ŠkVP Názov ŠVP Stupeň vzdelania Dĺžka štúdia Forma štúdia Vyučovací
PodrobnejšieMicrosoft Word - veronika.DOC
Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky,
Podrobnejšie8
8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie
Podrobnejšiegis7 prifuk
Kartografické aspekty GIS základné pojmy Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid Geoid Povrch zeme Referenčný elipsoid Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid
PodrobnejšieAnalýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšieOtázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati
Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka
PodrobnejšieTechnická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013
Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
Podrobnejšie1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013
1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5
PodrobnejšieB5.indd
Úvod do limitných prechodov Vladimír Janiš ÚVOD DO LIMITNÝCH PRECHODOV Autor: doc. RNDr. Vladimír Janiš, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Martin Kalina, CSc. RNDr. Pavol Krá, PhD. Vydavate : Belianum. Vydavate
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšieMO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
PodrobnejšieKatedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005
Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005 c Doc. RNDr. J á n D u p l á k, CSc. PREDSLOV Obsah AFINNÉ
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
PodrobnejšiePowerPoint Presentation
Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšieOceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieO babirusách
VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieMonday 25 th February, 2013, 11:54 Rozmerová analýza M. Gintner 1.1 Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznate
Monday 25 th February, 203, :54 Rozmerová analýza M. Gintner. Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznatel ný po častiach. Napriek tomu, že si to bežne neuvedomujeme,
PodrobnejšieStavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta,
Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 110 116. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403692
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieMicrosoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e
Charakteristika vyučovacieho predmetu Predmet matematika v nižšom strednom vzdelávaní je prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí - vedomosti,
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
PodrobnejšieRepublika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV
Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A
PodrobnejšieZákladné stochastické procesy vo financiách
Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty
PodrobnejšiePríklady Cvičenie 1 V krúžku je 20 študentov, ktorí sa zúčastnili skúšky z predmetu XX. Hodnotenie každého z nich je prvok z množiny H ta, B, C, D, E,
Príklady Cvičenie 1 V krúžku je 20 študentov, ktorí sa zúčastnili skúšky z predmetu XX. Hodnotenie každého z nich je prvok z množiny H ta, B, C, D, E, F Xu. Označme množinu študentov S. a) Môže byt zobrazenie
PodrobnejšieMatematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL
Matematika szlovák nyelven középszint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Dôležité pokyny
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieBodová častica vo VTR Vladimír Balek Pole bodového náboja. Majme časticu s nábojom q, ktorá sa nachádza v počiatku súradníc. Elektrická intenzita E v
Bodová častica vo VTR Vladimír Balek Pole bodového náboja. Majme časticu s nábojom q, ktorá sa nachádza v počiatku súradníc. Elektrická intenzita E v priestore okolo častice je daná Gaussovým zákonom E
Podrobnejšie