Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integrály vypoµcítajte pomocou základných pravidiel derivovania. 3 3 + 4 d. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. p 3 p d 3 d e a d + cos 0 + + + d sin d Metódou per partes vypoµcítajte integrály arctg d e sin d Vypoµcítajte integrály e p d 0... p 0 arcsin p + d e +0 e e +5 d 3p + 6p 5 d 3. 0 cos sin +sin 6 d 4. Vypoµcítajte plošný obsah rovinnej oblasti ohraniµcenej µciarami (Naµcrtnite obrázok) y = ln ; = ; = ; o
5. Vypoµcítajte plošný obsah rovinnej oblasti ohraniµcenej µciarami (Naµcrtnite obrázok) y = 7 +9 ; y = 6 Vypoµcítajte integrály z racionálnych funkcií 6. 7. 8. 9. + ++5 d 5 + 4 7 3 +8 3 3 + 6 d 6 3 (4 +4+7) d 3 +4 4 4 +4 d 0. Vypoµcítajte integrál (najskôr substitúcia, potom racionálna funkcia ) e +0 e e +5 d. Vypoµcítajte integrál (najskôr substitúcia, potom racionálna funkcia ) q + d. Vypoµcítajte integrál (Eulerova substitúcia) p + 4 + 3d 3. Vypoµcítajte integrál (doplnenie na vhodný tvar, alebo Eulerova substitúcia) p d 8 6 9 4. Vypoµcítajte integrál (doplnenie na vhodný tvar, alebo Eulerova substitúcia) p3 d 5. Vypoµcítajte integrál (univerzálna trigonometrická substitúcia) 6. Vypoµcítajte integrál (vzorec) cos (3) cos (4) d 3 3+cos d (3 sin 7. Vypoµcítajte integrál (substitúcia, potom racionálna funkcia) 5 sin 5) cos (sin 3)(sin sin +) d
Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta, t a odovzda, t na kontrolu na nasledujúcej konzultácii.. Nájdite súµcet radu, ak eistuje (pouµzite de níciu súµctu radu). 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0.. X n= X n= (n+)(n+4) e n e (n+) Vyšetrite konvergenciu radu X n= X n= X n= X n= X n= n p n+ p n(n+) 3 n n! n n n n+ n+5 ( ) n+ ln(n+) X sin n n= X n= X n= sin n tg n ( ) n n ln n Nájdite a naµcrtnite de niµcný obor funkcie. f (; y) = +y y 3. f (; y) = p y + ln 6 + y 4. f (; y) = ln ( sin y) + p y sin 5. f (; y; z) = p y + z + +y z 3
6. Daná je funkcia f (; y) = p + 4y Naµcrtnite graf zúµzenia f j A ; f j B ; ak A = (; y) R + 4y ; B = (; y) R jj ; jyj 4
3 Priebeµzné písomné zadanie µc.3.. Vypoµcítajte lim n! (n) v R 3 ; ak (n) = p n+ n n ; n ; sin n n. Vypoµcítajte lim n! (n) v R ; ak (n) n = n 3 + ; ( )n 3. Nájdite de niµcný obor a komponenty funkcie f (; y) = ( cos y; sin y; y) 4. Nájdite de niµcný obor a komponenty funkcie f (t) = p t + i + p t j + k 5. lim (;y)!(0;0) + y sin 6. lim (;y)!(0;) sin(y) 7. lim (;y)!(;k) + y 8. lim (;y)!(0;0) +y y 9. Daná je funkcia f R 3! R; f (; y; z) = ( 3y+z p +y +z (; y; z) 6= (0; 0; 0) 0 (; y; z) = (0; 0; 0) Vypoµcítajte (a) parciálne derivácie v bode (0; 0; 0) ; (b) zistite, µci je funkcia v bode (0; 0; 0) diferencovate, l ná. 0. Pomocou de nície vypoµcítajte parciálne derivácie funkcie f (; y) = 4 3 y + 3y + 5y v bode a = (; ) (. Pomocou de nície vypoµcítajte parciálne derivácie funkcie f (; y) = + y cos +y (; y) 6= (0 0 (; y) = (0 v bode a = (0; 0). Vypoµcítajte parciálne derivácie, gradient a diferenciál funkcie f (; y) = y ln (y) v bode a = (; e) 3. Vypoµcítajte parciálne derivácie, gradient a diferenciál funkcie f (; y) = (3 +4y ) v bode a = ( ; ) 4. Vypoµcítajte ( parciálne derivácie, gradient a diferenciál funkcie f (; y) = 4 y 4 4 +y (; y) 6= (0; 0) 4 v bode a = (0; 0) 0 (; y) = (0; 0) 5. Vypoµcítajte p parciálne derivácie, gradient a diferenciál funkcie f (; y) = + y + v bode a = (; ) 6. istite, µci je funkcia f R! R 3 ; f (; y) = ; y; p + y spojite diferencovate lná, a napíšte jej deriváciu a diferenciál v bode a = 3 ; 5
7. Nájdite rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f (; y) = y v bode T = (?; ; ) 8. Nájdite rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f (; y) = 4 + y y + v bode T = (;?; ) 9. Nájdite deriváciu funkcie f (; y) = e y cos ( + y) v bode a = ; 0 v smere vektora e = ; p 3 0. Nájdite smer, v ktorom je smerová derivácia funkcie f (; y) = 3 4 +7y 4 y; v bode a = (; 0) maimálna a jej hodnotu. 6
4 Priebeµzné písomné zadanie µc.4. V nasledujúcich príkladoch nájdite lokálne etrémy funkcií. f (; y) = 3 y + 5 + y. f (; y) = e + y + y 3. f (; y) = 3 + y 3 8y + 5 4. f (; y) = 7 y + 4y 3 69y 54 5. f (; y) = 3 + y 3 + 3y + 6. f (; y) = + y y y + 7. f (; y) = 3 + 8y 3 6y + 5 8. f (; y) = 5y + 5 + 8 y ; > 0; y > 0 9. f (; y) = y ( y) 0. f (; y) = e y y +. f (; y; z) = + y + z y + z +. f (; y; z) = 3 + 3 + y + yz + y + z z 3. f (; y; z) = + y + z y z 4. f (; y; z) = + y + z + + 4y 6z 5. f (; y; z) = y + z yz y z 6. f (; y; z) = 3 + y + z + y + z Nájdite lokálne etrémy funkcie a nakreslite graf funkcie f, ak 7. f (; y) = + p + y 8. f (; y) = + 4 y 6y 9 9. f (; y) = y + y 7