Základy automatického riadenia - Prednáška 2

Prepis

1 Základy automatického riadenia Predná²ka 2 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Ko²iciach LS 2015/2016 (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

2 Denícia Systém je objekt s denovanými veli inami a denovanými vz ahmi medzi nimi. Deterministický jednorozmerný systém je denovaný na skúmanom objekte tak, ºe na z okolia pôsobí vstupná veli ina u(t) a výsledkom tohto pôsobenia je pozorovate ná, výstupná veli ina y(t), pri om pri rovnakých po iato ných podmienkach k ur itej veli ine u(t) je priradená vºdy tá istá veli ina y(t). Nezávislá premenná je as t. Pri dynamických systémoch so sústredenými parametrami sú vz ahy medzi vstupnými a výstupnými veli inami opísané pomocou oby ajných diferenciálnych rovníc a deriváciami pod a asu. (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

3 Zákon superpozície Lineárne systémy sú také systémy, pre ktoré platí zákon superpozície. Tento zákon moºno vyjadri rovnicou y = T (a 1 u 1 + a 2 u 2 ) kde T je lineárny operátor a a 1, a 2 sú reálne ísla. = a 1 T (u 1 ) + a 2 T (u 2 ) = a 1 y 1 + a 2 y 2 (1) Ak pre proces denujeme z h adiska priestoru a asu súbor typicky významných vlastností, dôleºitých pre cie ná²ho skúmania, potom hovoríme, ºe sme na objekte - procese denovali systém. (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

4 Klasikácia systémov Dynamické systémy so sústredenými parametrami so rozloženými parametrami lineárne nelineárne deterministické stochastické s konštantnými parametrami s premenlivými parametrami diskrétne spojité (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

5 Základné charakteristiky Matematický opis lineárnych spojitých systémov je moºné vyjadri pomocou dvoch ekvivalentných opisov: vonkaj²í opis - opis pomocou vstupno-výstupných premenných - diferenciálne rovnice, obrazové prenosy vnútorný opis - opis pomocou vnútorných premenných Ak poznáme vnútorný popis (model) LDS, jednozna ne z neho vyplýva aj vonkaj²í opis (V/V opis) LDS. (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

6 Vonkaj²í matematický opis spojitých LDS systémov Spojitý LDS je moºné popísa lineárnou diferenciálnou rovnicou: a n y (n) (t) a 1 y (t) + a 0 y(t) = b m u (m) (t) b 1 u (t) + b 0 u(t) kde a 0, a 1,..., a n, b 0, b 1,..., b m sú kon²tantné koecienty y(t) je výstup LDS u(t) je vstup LDS podmienka fyzikálnej realizovate nosti: n m (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

7 Pri získavaní modelu LDS (odvodenie LDR) vychádzame z fyzikálnej podstaty dejom skúmaného LDS. Vonkaj²í (V/V) opis LDS: model v tvare LDS obrazový prenos v LT frekven ný prenos prechodová charakteristika, impulzná charakteristika, frekven ná charakteristika Vnútorný opis LDS: metóda stavového priestoru (úplný obraz o v²etkých dynamických vlastnostiach lineárneho systému) Metódy zaloºené na stavovom priestore pracujú v t-oblasti. (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

8 Laplaceova transformácia Laplaceova transformácia poskytuje ve mi jednoduchú metódu rie²enia lineárnych diferenciálnych rovníc vhodná na odvodenie vstupno-výstupných modelov, ktorých pouºitie je výhodné pri identikácii alebo návrhu algoritmov riadenia Laplaceova transformácia je daná vz ahom L{f (t)} 0 f (t) e st Funkciu f (t) nazývame originálom a funkciu F (s) jej obrazom. (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

9 Eulerove vzorce Pre praktické výpo ty pomocou Laplaceovej transformácie sú uºito né pomocné vz ahy(eulerove vzorce): cos(ωt) = ei ωt + e i ωt, sin(ωt) = ei ωt e i ωt, 2 2 i e i ωt = cos(ωt) + i sin(ωt), e i ωt = cos(ωt) i sin(ωt). Základné vlastnosti Laplaceovej transformácie: originál obraz linearita k 1 f 1 ± k 2 f 2 k 1 F 1 ± k 2 F 2 substitúcia f (at) 1/aF (s/a) posun v origináli f (t a) e at F (s) posun v obraze e at f (t) F (s + a) (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

10 Obrazový prenos Obrazový prenos LDS je denovaný ako pomer obrazu Y(s) výstupnej veli iny y(t) ku obrazu U(s) vstupnej veli iny u(t): F (s) = Y (s) U(s) Popis LDS s pomocou obrazového prenosu SISO systém, SIMO systém, MIMO systém (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

11 Obrazový prenos Prenos systému je podiel obrazu výstupu ku obrazu vstupu pri nulových po iato ných podmienkach: L{y(t)} = L f (τ)u(t τ)dτ 0 y(t)e st = f (τ)u(t τ)dτ e st 0 0 ξ = t τ t = t + ξ = dξ Y (s) = f (τ)u(ξ)dτ e sτ e sξ dξ = = f (τ)e sτ dτ } {{ } F (s) 0 0 u(ξ)e sξ dξ = F (s)u(s) } {{ } U(s) F (s) = Y (s) U(s) Y (s) = F (s)u(s) (2) (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

12 Obrazový prenos Funk ný vz ah medzi vstupnou a výstupnou veli inou uvaºovaného systému je daný nasledovnou diferenciálnou rovnicou: a 2 y (t) + a 1 y (t) + a 0 y(t) = ku(t) (3) Za predpokladu, ºe sústava je v rovnováºnom stave, teda po iato né podmienky sú nulové (y(0) = 0, y (0) = 0), pouºitím LT môºeme písa : odkia obrazový prenos je: a 2 s 2 Y (s) + a 1 sy (s) + a 0 Y (s) = ku(s), (4) F (s) = Y (s) U(s) = k a 2 s 2 + a 1 s + a 0 (5) (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

13 Obrazový prenos V²eobecne môºeme obrazový prenos F (s) zapísa v tvare: F (s) = Y (s) U(s) = b ms m + b m 1 s m b 0 a n s n + a n 1 s n a 0 (6) Korene polynómu itate a ozna ujeme ako nuly a korene polynómu menovate a ako póly. Polynóm menovate a rovný nule sa volá charakteristická rovnica. (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

14 Príklady systémov prvého rádu - elektrický systém Elektrický systém vstup u 1 (t) výstup u 2 (t) Úloha: Nájdite v ah medzi vstupom a výstupom u 2 (t) = f (u 1 (t)) (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

15 Príklady systémov prvého rádu - elektrický systém Ak R 1 a C 1 sú ideálne (nemenia svoje hodnoty v závislosti od teploty, prúdu), systém je LINEÁRNY Pod a 1. a 2. Kirchhoovho zákona platí: u 1 (t) = R 1 i 1 (t)+u 2 (t), i 1 (t) = i 2 (t)+i c (t), i 2 (t) = 0 i 1 (t) = i c (t) a prúd te úci kondenzátorom môºeme vyjadri v tvare: i c = i 1 = C 1 du 2 u 1 = R 1 C 1 du 2 + u 2 (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

16 Príklady systémov prvého rádu - elektrický systém Ozna ením R 1 C 1 = T 1 dostávame nehomogénnu diferenciálnu rovnicu 1. rádu: T 1 du 2 + u 2 = u 1 Rie²enie uvedenej diferenciálnej rovnice sa skladá z rie²enia homogénnej dif. rovnice a partikulárneho rie²enia dif. rovnice: homogénnej rovnici T 1 du 2 + u 2 = 0 prislúcha rie²enie: u 2h = K 1 e st, u 2h (t) = K 1 e t T 1 kde s = 1/T 1 pre partikulárne rie²enie platí: nech u 1 (t) = u 1K, potom rie²enie má tvar u 2n (t) = K 2 a po dosadení do rovnice: T K 2 = u 1K ur íme kon²tantu K 2 = u 1K, u 2n (t) = u 1K (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

17 Príklady systémov prvého rádu - elektrický systém Výsledné rie²enie diferenciálnej rovnice: u 2 (t) = u 2h (t) + u 2n (t) = K 1 e t T 1 Kon²tantu K 1 ur íme z po iato ných podmienok: + u 1K u 2 (0) = 0 0 = K 1 e t/t 1 +u 1k K 1 = u 1K u 2 (t) = u 1k (1 e t T 1 ) Gracký priebeh rie²enia diferenciálnej rovnice pomocou analytických metód: (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

18 Elektrický systém prvého rádu (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

19 Elektrický systém prvého rádu Rie²enie pomocou Laplaceovej transformácie Nech u 1 (t) = u 1K, u 1 (0) = 0 du 2 (t) T 1 +u 2 (t) = u 1 (t) prepis do LT T 1 U 2 (s)s+u 2 (s) = u 1K s pri om Laplaceov obraz výstupnej veli iny: U 2 (s) = u 1 (t) U 1 (s) = u 1K s u 1K s(t 1 s + 1) = A s + B T 1 s + 1, A = u 1K, B = u 1K T 1 U 2 (s) = u 1K ( 1 s T 1 T 1 s + 1 ) (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

20 Elektrický systém prvého rádu Po prevode do asovej oblasti: u 2 (t) = u 1k (1 e t T 1 ) Gracký priebeh rie²enia diferenciálnej rovnice pomocou Laplaceovej transformácie: (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

21 Elektrický systém prvého rádu Jednokapacitný prenos Transformáciou diferenciálnej rovnice pri nulových po. podmienkach: T 1 du 2 (t) na Laplaceov obrazový prenos dostávame: + u 2 (t) = u 1 (t) T 1 U 2 (s)s + U 2 (s) = U 1 (s) a následnou úpravou získame Laplaceov obrazový prenos jednokapacitnej sústavy: F (s) = U 2(s) U 1 (s) = 1 T 1 s + 1 (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

22 Hydraulický systém prvého rádu Hydraulický systém prvého rádu vstup q 1 (t) - prítok média do nádoby výstup q 2 (t) - mnoºstvo vytekajúceho média z nádoby výstup h 1 (t) - vý²ka hladiny v nádobe S 1 - prierez nádoby, R 1 - hydr. odpor, γ - ²pecická váha kvapaliny Úloha 1: Nájdite vz ah medzi vstupom a výstupom q 2 (t) = f 1 (q 1 (t)) Úloha 2: Nájdite vz ah medzi vstupom a výstupom h 1 (t) = f 2 (q 1 (t)) (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

23 Hydraulický systém prvého rádu Bilan ná rovnica d(kvapaliny) = prítok ook dh 1 (t) S 1 = q 1 (t) q 2 (t) (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

24 Hydraulický systém prvého rádu Úloha 1 Výstup q 2 (t) - priamo úmerný hydraulickému tlaku v mieste odporu R 1, nepriamo úmerný odporu R 1 a lineárne závislý od vý²ky hladiny h 1 (t): q 2 (t) = γ R 1 h 1 (t) kde γ je ²pecická váha kvapaliny vytekajúca cez hydraulický odpor R 1 Deriváciou dostávame: dq 2 (t) = γ R 1 dh 1 (t) dh 1(t) = R 1 γ dq 2 (t) (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

25 Hydraulický systém prvého rádu Úloha 1 Dosadením do pôvodnej diferenciálnej rovnice dostaneme: S 1 R 1 γ dq 2 (t) + q 2 (t) = q 1 (t) Ozna ením S 1R 1 γ = T 1 sme získali LDR I. rádu. Výsledná diferenciálna rovnica pre hydraulický systém: T 1 dq 2 (t) + q 2 (t) = q 1 (t), ktorej rie²ením je: q 2 (t) = q 1 (1 e t T 1 ) o je rovnako ako v predo²lom príklade tvar rie²enia pre jednokapacitný prenos. (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

26 Hydraulický systém prvého rádu Úloha 2a: lineárny prípad, h 1(t) = f (q 1(t)) Ak chceme rie²i úlohu h 1 (t) = f (q 1 (t)), dosadíme do výsledného bilan ného vz ahu: dh 1 (t) S 1 = q 1 (t) q 2 (t) za q 2 (t) = γh 1(t) R 1 : S 1 dh 1 (t) a následnou úpravou dostávame LDR: S 1 dh 1 (t) = q 1 (t) γh 1(t) R 1 + γ R 1 h 1 (t) = q 1 (t), ktorej postup rie²enia je totoºný s uº uvedenými príkladmi. (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

27 Hydraulický systém prvého rádu Úloha 2b: nelineárny prípad Ak pre výtok kvapaliny z nádoby platí: q 2 (t) = k 1 f 2gh 1 (t), kde k 1 - kon²t., f - priemer výtokového otvoru, g - gravita né zrýchlenie Ozna ením k 2 = k 1 f 2g a dosadením do výslednej bilan nej rovnice: S 1 dh 1 (t) = q 1 (t) q 2 (t) dostávame nelineárnu diferenciálnu rovnicu (NDR): S 1 dh 1 (t) + k 2 h1 (t) = q 1 (t), NDR nevieme rie²i analyticky v t-oblasti oblasti, ani pomocou Laplaceovej transformácie. (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

28 Hydraulický systém prvého rádu Úloha 2b: nelineárny prípad (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

29 Hydraulický systém prvého rádu Úloha 2b: nelineárny prípad, linearizácia Linearizácia rozvoj do Taylorovho radu: q 2 (t) q 2 (h1) 0 + q 2(h 1) (h 1(t) h 0) ! pri om platí: q 2 (h 0) = k 1 2 h 0, 1 q 2 (h0) = k h 0 = k 1 h dosadením do rovnice dostávame: q 2 (t) k 2 h k 2 q 2 (t) k 2 h h 0 1 2h k 2 2 (h 1 (t) h 0 1) h 0 1 2h 0 1 h 1 (t) 2h 0 1 (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30

30 Hydraulický systém prvého rádu Úloha 2b: nelineárny prípad Ozna ením: k 3 = k 2 h 0 1 dostávame výsledný hydraulický model vyjadrený LDR: S 1 dh 1 (t) 2 + k 3 h h 0 1 (t) = q 1 (t) k 3, 1 ktorú vieme rie²i metódami uvedenými v predo²lých príkladoch. (TUKE) Základy automatického riadenia LS 2015/ / 30