Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL

Prepis

1 Matematika szlovák nyelven középszint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

2 Dôležité pokyny Formálne predpisy: 1. Prosíme, aby ste písomnú prácu opravili čitateľne, perom odlišnej farby než akú použil skúšaný študent.. Z obdĺžnikov nachádzajúcich sa vedľa príkladov je v prvom uvedený maximálny počet bodov na daný príklad, do vedľajšieho obdĺžnika sa napíše počet bodov daných opravujúcim. 3. V prípade bezchybného riešenia prosíme, aby ste vedľa napísania maximálneho počtu bodov fajkou označili, že ste daný myšlienkový postup videli a považujete ho za správny. 4. V prípade neúplného/chybného riešenia prosíme, aby hodnotiaci napísal na úlohu popri označení chyby, aj jednotlivé čiastkové bodové ohodnotenie. Keď je oprava lepšie viditeľná, tak možno prijať aj označenie bodov, ktoré skúšaný stratil. Nech nezostane taká časť v riešení, o ktorej po oprave nie je jednoznačné, či je správna, chybná alebo zbytočná. 5. V priebehu opravy používajte nasledujúce označenia. správny krok: fajka myšlienková chyba: podčiarknutie dvakrát výpočtová, alebo iná, nie myšlienková chyba: podčiarknutie raz správny krok riešený so zlým východiskovým údajom: prerušené podčiarknutie alebo prečiarknutá fajka neúplné odôvodnenie, neúplné vymenovanie alebo iný nedostatok: znak nedostatku nerozumiteľná časť: otáznik alebo/a vlnovitá čiara 6. Mimo obrázkov ceruzkou písané časti nehodnoťte. Obsahové požiadavky: 1. V prípade jednotlivých úloh sme uviedli aj bodovanie viacerých riešení. Ak sa vyskytne od uvedených odlišné riešenie, vyhľadajte zodpovedajúce rovnocenné riešenie v častiach smernice, a na základe tohto bodujte.. Body bodovacej smernice sú ďalej deliteľné, okrem prípadu iného príkazu príručky. Pridelené body môžu byť ovšem len celé body. 3. Ak je v riešení výpočtová chyba, nepresnosť, potom len na tú časť neprislúcha bod, v ktorej žiak urobil chybu. Ak s chybným čiastkovým výsledkom žiak pokračuje ďalej so správnym myšlienkovým postupom, a problém, ktorý treba vyriešiť sa nemení, potom mu treba prideliť ďalšie čiastkové body. 4. V prípade zásadnej myšlienkovej chyby v rámci jednej myšlienkovej jednotky (tieto označuje v príručke dvojčiara) neprislúchajú body ani na formálne správne matematické kroky. Ak študent so zásadnou myšlienkovou chybou získaným výsledkom ako východiskovým údajom ďalej počíta správne v ďalšej myšlienkovej jednoke alebo čiastočnej otázke, potom na túto časť má dostať maximálny počet bodov, keď sa problém týmto v zásade nezmenil írásbeli vizsga / május 9.

3 5. Ak sa v opravnej príručke nachádza v zátvorke poznámka alebo jednotka merania, v prípade jej chýbania má riešenie úplnú hodnotu. 6. Z viacero pokusov riešenia jedného príkladu možno hodnotiť len jedno, to riešenie, ktoré skúšaný označí. V priebehu opravy jednoznačne označte, ktorý variant ste hodnotili a ktorý nie. 7. Za riešenie bónusové body ( body prekračujúce maximálny počet bodov daných pre danú úlohu alebo časť úlohy) nie je možné dať. 8. Súčet bodov pridelený na jednu úlohu alebo jej časť nemôže byť záporný. 9. Pre tie nesprávne čiastkové výpočty, čiastkové kroky netreba strhnúť body, ktoré skúšaný pri riešení príkladu v skutočnosti nepoužil. 10. Pri rozvedení myšlienkového postupu možno použitie kalkulačky bez ďalšieho matematického odôvodnenia prijať pri vykonání týchto ďalších matematických úkonov: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocnenie, odmocnenie, n!, výpočet n nahradenie tabuliek funkčnej tabuľky (sin, cos, tg, log a ich inverzná hodnota), k udanie blížiacej sa hodnoty čísla π a e, určenie koreňov rovnice druhého stupňa usporiadanej na nulu. Bez ďalšieho matematického dôvodu možno kalkulačku použiť na výpočet priemeru a rozptylu v tom prípade, keď text príkladu nevyžaduje aj zapísanie podrobných čiastkových výpočtov. V iných prípadoch sa považujú výpočty kalkulačkou za neodôvodnené, preto na tieto neprislúchajú body. 11. Dokázané použitie obrazov (napríklad prečítanie údajov meraním) nemožno prijať. 1. Pri udaní pravdepodobností (keď text príkladu nenariaďuje ináč) možno prijať aj správny výsledok udaný v percentách. 13. Keď text úlohy nepredpisuje povinné zaokrúhlenie, tak možno prijať aj od príručky odlišný, racionálny a správne zaokrúhlený čiastočný alebo konečný výsledok. 14. V prípade série skúšobných úloh v časti II.B z 3 príkladov je možné vyhodnotiť len riešenie príkladov. Skúšaný do štvorčeka slúžiaceho na tento účel predpokladajúc označil poradové číslo toho príkladu, ktorého vyhodnotenie nebude započítané do celkového počtu bodov. Tomuto odpovedajúc riešenie dané na tento príklad nie je potrebné ani opraviť. Keď nevysvitne jednoznačne, že skúšaný hodnotenie ktorého príkladu nežiada, potom bude automaticky v poradí posledný príklad ten, ktorý netreba vyhodnotiť írásbeli vizsga 3 / május 9.

4 1. x 1 x 0 I.. Na oba festivaly by s radosťou išlo ( =) 13 študentov Spolu sme si zapísali = podaní rúk, ale všetky podania rúk sme počítali dvakrát. Počet podaní rúk je teda 7. za nakreslenie vhodného grafu. 3 body 5. x = x = 1 7. C Poznámka: Keď skúšaný vedľa správnej odpovede udá aj nesprávnu, môže dostať írásbeli vizsga 4 / május 9.

5 8. Základňou hranolu je pravidelný trojuholník, 4 3 ktorého obsah je 4 (= 4 3 6,93 cm ). Objem hranolu je ,7 cm 3. 4 body 9. x 1,6 10. A: správny B: nesprávny C: správny Pri dvoch správnych odpovediach prislúcha, v prípade jednej správnej odpovede 0 bodov. 11. A B C = {d; e; f} (A B) \ C = {a; b; h} 4 body 1. Pri hodení dvomi kockami je počet možných výsledkov 36 (všetky prípady). Súčin hodených čísiel môže byť jediným spôsobom 9 ( 3 3 ). 1 Hľadaná pravdepodobnosť je ( 0,07 ) body 1613 írásbeli vizsga 5 / május 9.

6 13. a) prvé riešenie II. A Z prvej rovnice y = 1 3x, Z druhej rovnice x = 1 y. po dosadení tohoto do druhej rovnice: x + 6x = y + y = 1 Z toho x =, a y = 7. Kontrola (napríklad dosadním do oboch rovníc). 5 bodov 13. a) druhé riešenie Po odčítaní druhej rovnice z dvojnásobku prvej rovnice: 5x = 10. Z toho x =, a y = 7. Kontrola (napríklad dosadním do oboch rovníc). 5 bodov Po odčítaní trojnásobku druhej rovnice z prvej rovnice: 5y = b) x x x Po zlúčení , Z čoho 5 5. (Kvôli vzájomnej jednoznačnosti exponenciálnej rovnice) x =. Kontrola dosadením, alebo odvolaním sa na ekvivalenciu. 5 bodov 14. a) Graf funkcie pochádza z grafu funkcie absolútnej hodnoty, jeho minimum pre miesto x = 4 je 0, a je zúžená na udanú množinu. 3 body 1613 írásbeli vizsga 6 / május 9.

7 14. b) prvé riešenie Po znázornení funkcie g v tom istom súradnicovom systéme: Prvú koordinátu priesečníku vieme prečítať z obrázku x = 1. Kontrola dosadením: f(1) = g(1) = 3. 4 body 14. b) druhé riešenie (Treba vyriešiť rovnicu x 4 x 1.) (v prípade x < 4:) x 4 x 1, z čoho x = 1, čo je (po kontrole dosadením) naozaj riešením. (V prípade 4 x 5:) x 4 x 1, z čoho x = 5, ale toto nie je riešením úlohy. 4 body 14. c) prvé riešenie Sčítané čísla tvorí prvých 46 členov takej aritmetickej postupnosti, ktorej prvý člen sa rovná 5. členu pôvodnej postupnosti a rozdiel je. 5. člen pôvodnej postupnosti: ( 3 4 ) Hľadaný súčet: 46 = bodov Tieto prislúchajú aj vtedy, keď tieto myšlienky vyplývajú len z riešenia írásbeli vizsga 7 / május 9.

8 14. c) druhé riešenie Súčtom prvých 50 členov postupnosti je: = 600. Súčet prvých štyroch členov je: ( =) 4. Hľadaný súčet je rozdielom týchto dvoch súčtov, teda = = bodov Poznámka: Keď skúšaný vymenuje a sčíta členy postupnosti a tak udá správnu odpoveď, dostáva plný počet bodov. 15. a) prvé riešenie Polobod strany AC je (3,5; 6), Polobod strany BC je (8,5; 6). Dĺžka hľadanej strednej priečky je ( 8,5 3,5) (6 ( 6)) = body 15. a) druhé riešenie Dĺžka strany AB je ( 6 ( 4)) (14 ( 10)) = 6. Dĺžka strednej priečky sa rovná polovici s ňou rovnobežnej strany, teda body vyplýva len z riešenia b) Výška patriaca k strane AB vychádza z vrcholu C a je kolmá na stranu AB, jeden jeho normálový vektor je AB (10; 4). bod n(5; 1) (Jedna) rovnica hľadanej priamky 10x + 4y = 5x + 1y = = 6. = 31 5 bodov vyplýva len z riešenia írásbeli vizsga 8 / május 9.

9 15. c) prvé riešenie AB = AC = BC = ( 6 ( 4)) (14 ( 10)) 6 ( 11 ( 4)) ( ( 10)) 17 ( 11 6) ( 14) 81 ( 16,76) Po označení hľadaného uhla α, a po napísaní kosínovej vety pre BC stranu trojuholníka ABC: cos Z toho cos α 0,7738, takto α 39,3. 5 bodov 15. c) druhé riešenie Vnútorný uhol ležiaci pri vrchole A je rozdielom smerového uhlu priamok strán AB a AC. vyplýva len z riešenia.. (Smerový uhol bočnej strany AB označme δ) tg δ =,4. (Smerový uhol bočnej strany AC označme ε) 8 tg ε =. 15 δ 67,38, ε 8,07 Potom α = δ ε 39,3. 5 bodov 15. c) tretie riešenie Bočné vektory uzavierajúce hľadaný uhol: AB (10; 4) a AC (15; 8). Skalárny súčet dvoch vektorov je po prvé , po druhé 6 17 cosα. Z toho cos α 0,7738, potom α 39,3. 5 bodov 1613 írásbeli vizsga 9 / május 9.

10 16. a) Polomer jednej gule je 10 cm, druhej 8 cm. 4 3 Objem gulí je (cm 3 ), respektíve (cm 3 ), 3 Spolu pribl (cm 3 ). Toto je 80% objemu nezhustenej náplne, II. B 6334 takto objem nezhustenej náplne je (cm 3 ), 80 čo je pribl. 7,9 litrov. 6 bodov 16. b) vyplýva len z riešenia. Polomer R kruhového výseku sa rovná bočnej hrane kužeľa, vyplýva len z riešenia. dĺžka ktorej je R 4,8 = 5, (cm). Dĺžka oblúku kruhového výseku je zhodný s obvodom kruhovej základne, čo je π ( 1,57 cm). vyplýva len z riešenia. Označme stredový uhol kruhového výseku udaného v stupňoch α, potom α 4π Rπ, radián = 5, z čoho α = 138, ,5 5, 5, 6 bodov 1613 írásbeli vizsga 10 / május 9.

11 16. c) Rozmer očí môže byť 6 druhov. (Označme gombíky od najmenšieho po najväčší číslami 1,,3,4,5,6.) Keď je hore číslo 4, je jediná možnosť (4-5-6). Keď je hore číslo 3, sú 3 možnosti (3-4-5; 3-4-6; 3-5-6). Týmto podobne, keď je hore gombík číslo, je 6 možností. Keď je hore najmenší gombík, to je ďalších 10 možností. Spolu je na prišitie gombíkov: = 0 rôznych možností. Veľkosť troch kabátových gombíkov možno vybrať 6 (= 0 spôsobmi. 3 Mamička môže pripraviť 6 0 = 10 rôznych plánov 5 bodov Potom je prišitie gombíkov v poradí kvôli zväčšujúcemu sa rozmeru jednoznačné. 17. a) V prvej hodine prešlo auto 70 km, v druhej hodine 10 km, k tomu bola 6 8, = 4, + 10, spotreba benzínu. Spolu teda auto prešlo 190 km, k čomu spotrebovalo 14,4 litrov benzínu. 14,4 Takto je priemerná spotreba na celú trasu ,6 litrov (na 100 kilometrov). 6 bodov Tento bod neprislúcha, keď skúšaný nezaokrúhli, alebo zaokrúhli nesprávne. 17. b) prvé riešenie Auto prejde (5 1,6 =) 40 kilometrov s 3,8 litrami benzínu. 3,8 Priemerná spotreba je 100 = 40 = 9,5 litrov na 100 kilometrov. 3 body 1613 írásbeli vizsga 11 / május 9.

12 17. b) druhé riešenie Auto prejde (5 1,6 =) 40 kilometrov s 3,8 litrami benzínu. 100 km je,5 násobok 40 km, takto je priemerná spotreba,5 3,8 = 9,5 litrov na 100 kilometrov. 3 body 17. c) (Keď je cesta prekonaná prvý deň x míľ, potom) x 0,9. bod 186 x míľ prešiel pán Kováč prvý deň. 0,9 3 body Poznámka: Keď skúšaný na každý deň napíše dĺžku trase ( so správnym zaokrúhlením) a na základe tohoto správne odpovie, môže dostať plný počet bodov. 17. d) 4 Poznávacie značky môžu mať 10 druhov štvoríc čísiel na konci. Čísla budú rôzne v (= 5040) prípadoch. Pravdepodobnosť toho, že na náhodne vybranej poznávacej značke budú všetky čísla rôzne je: , Pravdepodobnosť toho, že vyberieme poznávaciu 0,504 > 0,5 značku s rovnakými číslami je 1 0,504 = 0,496. Teda pravdepodobnosť toho, že na vybranej poznávacej značke sú rôzne čísla je väčšia, ako toho, že obsahuje rovnaké čísla. 5 bodov 1613 írásbeli vizsga 1 / május 9.

13 18. a) m (Všetky merania merané v ) bude priemer ôsmych s hodnôt 9,85, rozptyl bude 0,05 0,1 0,15 0 0,05 0,1 0,1 0,05 8 = 0,06 8 0, ,087, čo je menšie ako 0,1; teda meranie považujeme za dobré. 4 body Tieto body prislúchajú aj vtedy, keď skúšaný kalkulačkou vypočíta priamo rozptyl. 18. b) Priemer počítame váženým aritmetickým priemerom. 9,7 7 9, ,8 8 9,85 7 9,9 6 9,95 40 m 9,84 s V poradí podľa veľkosti je výsledok 0. a 1. merania m 9,85, s m potom medián je 9,85. s 5 bodov vyplýva len z riešenia írásbeli vizsga 13 / május 9.

14 18. c) prvé riešenie Keď prvú medenú guľku dáme do rúry ako prvú, druhá medená guľka môže byť na 8 mieste. Podobne, keď prvú medenú guľku vložíme do rúry na., 3., miesto, druhá medená guľka sa môže dostať na 7., 6., miesto. Počet možností usporiadania guliek bude súčtom týchto, teda ( =) bodov vyplýva len z riešenia. 18. c) druhé riešenie Počet vhodných poradí sa rovná rozdielu možných a nesprávnych poradí guliek. Počet rôznych možných poradí guliek (koľkými spôsobmi môžeme vybrať dve medené guľky z miest): = 45. Keď dve medené guľky položíme vedľa seba, tak sa môžu dostať na 9 miest v rúre = 36 prípadoch nebudú medené guľky vedľa seba. 5 bodov vyplýva len z riešenia. 18. c) tretie riešenie 8 železných guliek vyznačí 9 možných, nesusediacich miest pre medené guľky. Z týchto 9 miest máme vybrať dve. 9 Toto môžeme vykonať = = 36 možnými spôsobmi. 5 bodov 18. d) Pravdepodobnosť toho, že jedno meranie bude úspešné je: 1 0,06 = 0,94. (Merania sú nezávislé, preto) pravdepodobnosť toho, 40 že všetkých 40 meraní bude úspešných bude: 0,94 0, body vyplýva len z riešenia írásbeli vizsga 14 / május 9.