text k predná²ke a úlohy k cvi eniam z vybraných kapitol z matematiky mi²o demetrian 1 1 Funkcionálne rady, rovnomerná konvergencia 1.1 ƒíselné rady -

Prepis

1 text k predná²ke a úohy k cvi eniam z vybraných kapito z matematiky mi²o demetrian Funkcionáne rady, rovnomerná konvergencia. ƒísené rady - opakovanie denícia konvergencie íseného radu: uvaºujeme ísený rad a n ( hovoríme, ºe tento rad konverguje k svojmu sú tu S, ak ku kaºdému kadnému ɛ nájdeme také ceé kadné íso N ɛ, ºe pre kaºdé N > N ɛ je N S a n < ɛ. Inak hovoríme, ºe rad ( nekonverguje (diverguje. kone ný sú et S N = sa voá N tý iasto ný sú et radu (. Rad ( konverguje k S práve vtedy ke patí N a n S = im N S N. Táto rovnos spája pojem konvergencie ísenej postupnosti a íseného radu. nutná podmienka konvergencie radu: ak rad ( konverguje, tak potom im a n =. Cauchy-Bozanova nutná a posta ujúca podmienka konvergencie radu: rad ( konverguje práve vtedy, ke ku kaºdému kadnému ísu ɛ sa nájde také ceé kadné íso N ɛ, ºe pre v²etky kadné ceé ísa p > N ɛ a pre v²etky kadné ceé ísa q patí: p+q a n < ɛ. n=p Zákadné informácie: geometrický rad konverguje pre q < a patí q n q n = q demetrian@fmph.uniba.sk

2 diverguje pre q. Tieto vastnosti geometrického radu sa ahko overia nasedovným spôsobom. V prvom rade si uvedomíme, ºe pre q geometrický rad diverguje, ebo nep a nutnú podmienku konvergencie. Zostavíme N-tý iasto ný sú et: S N = N q n = + q + q + + q N + q N. Potom vynásobením posednej rovnosti kvocientom q máme qs N = q + q + q q N + q N+. A od ítaním posedných dvoch rovností od seba dostávame S N ( q = q N+ S N = qn+. q (Pripome me, ºe pracujeme uº en s q < preto rovnos q = nenastáva. Vyuºitím faktu, ºe pre q < je im a q a = máme náne sú et geometrického radu S = im S q N+ N = im N q = q. Rad konverguje pre α > n α diverguje pre α (Divergencia tohoto radu pre α = bude ukázaná onedho. Zákadné kritériá konvergencie radov: absoútna konvergencia: ak konverguje rad tak konverguje aj rad (. a n, porovnávacie kritérium: nech rad ( a rad b n sú rady s nezápornými enmi, potom ak rad ( konverguje a po ínajúc niektorým indexom n patí tak aj rad b n konverguje. b n a n, ak rad ( diverguje a po ínajúc niektorým indexom n patí tak aj rad b n diverguje. b n a n, porovnávacie kritérium v imitnom tvare: nech rad ( a rad b n sú rady s nezápornými enmi, potom

3 ak rad ( konverguje a existuje vastná imita tak aj rad b n konverguje b n im, a n ak rad ( diverguje a existuje vastná od nuy rôzna aebo nevastná imita tak aj rad b n diverguje. b n im, a n podieové (d' Aembertovo kritérium: ak a n > a ak existuje íso tak potom ak k < tak rad ( konverguje ak k > tak rad ( diverguje. a n+ k = im, a n odmocninové (Cauchyho kritérium: ak a n a ak existuje íso tak potom ak k < tak rad ( konverguje ak k > tak rad ( diverguje k = im integráne kritérium: nech rad ( je rad s nezápornými enmi, ak existuje spojitá nerastúca funkcia f : [, R + taká, ºe n an, [ A ] f(n = a n ( n N a im f(xdx <, A tak rad ( konverguje; z druhej strany ak za tých istých predpokadov je tak rad ( diverguje. Leibnitzovo kritérium: uvaºujeme rad [ A ] im A f(xdx =, ( n c n, ( kde c n a (po ínajúc niektorým indexom n je c n+ c n a c n pri n, potom rad ( konverguje. 3

4 . Z denície dokáºte, ºe rad konverguje. n(n + Rie²enie: je zaoºené na nasedovnej "príjemnej" vastnosti enov zadaného radu: pre kaºdé prirodzené íso k je k(k + = k k +, o nám umoºnuje v uzavretej forme zráta N tý iasto ný sú et zadaného radu nasedovne: S N = N n(n + = N(N + = N N + = N +, takºe máme sú et radu:. Dokáºte, ºe rad konverguje. ( S = im =. N N + (3 n (4 Rie²enie: pouºijeme predchádzajúci výsedok a porovnávacie kritérium v imitnom tvare, porovnanie s radom (3 dáva: im n n(n+ takºe rad (4 konverguje rovnako ako rad (3..3 Dokáºte z denície, ºe harmonický rad: diverguje. n + n + n = im n = im Rie²enie: my²ienka je, ºe pod a obrázku a geometrickej interpretácie ur itého integráu ako obsahu pochy medzi osou x a krivkou máme odhad na N tý iasto ný sú et radu (5: S N = N n N+ n dx = n(n +. x =, (5 Preto im S N im n(n + = +. N N.4 Dokáºte, ºe rad n (6 4

5 diverguje Obr. : Rie²enie: pouºijeme znaos, ºe harmonický rad (5 diverguje a porovnávacie kritérium v imitnom tvare: im n n takºe rad (6 diverguje (a rýchej²ie ako harmonický rad. n = im = im n = +, n.5 Ukáºte, ºe rad konverguje. n= n n (n Rie²ienie: ukazuje sa by príhodné pouºi integráne kritérium, t.j. máme ukáza, ºe integrá x n (x dx je kone ný. Priamim výpo tom máme: x n (x dx = n(x = y dy = dx = x n( [ dy y = ] = y n( n( <. (7.6 Vyuºijúc predchádzajíci výsedok ukáºte, ºe konverguje rad n= Rie²enie: návod napovedá, ºe bude výhodné si spomenú, ºe ( n + n n. (8 (n n( + x im = x x (overi napríkad pomocou 'Hospitaovho pravida, znaci aj inak... Porovnáme teda rady (7 a (8: ( n + n n im (n = x = n n (x = im n( + x =, x x n n (n takºe pod a porovnávacieho kritéria v imitnom tvare rad (8 konverguje rovnako ako rad (7. aspo niekomu :- 5

6 .7 Pomocou d'aembertovho kritéria rozhodnite konvergenciu radu: Rie²enie: priamim pouºítím d'aembertovho kritéria máme t.j. rad (9 je konvergentný. im 5 n+ (n+! 5 n n! = im 5 n n!. (9 5 n! (n +! = im 5 n + = <,.8 Pomocou Cauchyho kritéria rozhodnite o konvergencii radu Rie²enie: priamim pouºitím Cauchyho kritéria máme: im n n + 5 n 3 n + 4 n = im t.j. rad ( je divergentný. [ n + 5 n 3 n + 4 n.9 Vypo ítajte s presnos ou 3 íso ] /n = im S = n + 5 n 3 n + 4 n. ( [ 5 n (( n (( n 3 n 4 + n + n. ] /n = 5 4 im [(( 5 n + (( 3 4 n + ] /n = 5 4 >, Rie²enie: v prvom rade si treba ujasni, ºe zadaný rad konverguje. To pynie z toho, ºe (geometrický rad konverguje a pod a porovnávcieho kritéria: n n + n n aj zadaný rad konverguje. My²ienka výpo tu ísa S je takáto: S = N n + n = n + n + kde N je nejaké ceé íso, no a mi prakticky vezmeme S N n + n. n=n+ Chyba, ktorej sa pri tomto dopú² ame, je odhadnute ná nasedovne: R N = n=n+ n + n n=n+ n = N+ n + n, n = N+ = N. 6

7 No a na²a poºiadavka je, aby R N 3 N < 3. Najmen²ím ceo íseným N, ktoré vyhovuje tejto nerovnosti je N = (pravda, poºadovanou presnos ou máme S n + n.587 = 4, takºe s. Porovnaním s radom typu /nα s vhodným α vy²etrite konvergenciu radov a d + n 3 b + n n + n e n 5 + n 3 c n arctan(n f ( + n /3 n arctan(n. Pomocou d' Aembertovho aebo Cauchyho kritéria rozhodnite, i sú konvergentné nasedovné rady a b n + 3 n c d g j e n + e n k n n n n! 3 n n! n n n e n n f ( + n n 3 n n 4 ( n h sin n 3 n i n n 4 n n 4 e n n ( + n. Uve te príkad radu, ktorý konverguje pod a Leibnitzovho kritéria a nekonverguje absoútne n konverguje pod a Leibnitzovho kritéria a konverguje aj absoútne..3 Nech {p n } je usporiadaná postupnos v²etkých prvo íse. Ukáºte, ºe konvergujú rady a ( n p n b. p n Poznamenajme, ºe je známe, ºe rad diverguje. p n.4 Nájdite ísenú hodnotu sú tu radu b z úohy. a radu a z úohy.3 s absoútnou presnos ou 3. 7

8 . Obor konvergencie funkcionáneho radu (bodová konvergencia, eementárne sú ty niektorých funkcionánych radov denícia funkcionáneho radu - funkcionánym radom nazývame rad, ktorého eny sú funkcie: f(x = funkciu na avej strane nazývame sú tom radu; f n (x ( obor konvergencie - predpokadáme prirodzene, ºe funkcie f n majú neprázdny spoo ný deni ný obor. mnoºina tých x v ktorých rad ( konverguje sa voá obor konvergencie uvedeného radu. Tento obor konvergencie je zrejme stotoºnite ný s deni ným oborom funkcie f - sú tu radu. bodová konvergencia - z denície rad ( konverguje v kaºdom bode svojho oboru konvergencie - hovoríme, ºe rad ( konverguje bodovo vo svojom obore konvergencie..5 Nájdite obor konvergencie a nakresite graf funkcie zadanej funkcionánym radom f(x = ( x n. + x + x Rie²enie: zadaný rad je geometrický rad s kvocientom q = x + x + x. Geometrický rad konverguje práve vtedy ke < q <, takºe h adáme také x pre ktoré patí < x + x + x <. Takºe x + x + x < < + x, o patí pre kaºdé x R. Sú astne ae musí by < x + x + x x x < ( + x <, o zase patí pre kaºdé x R. Takºe obor konvergencie zadaného radu je ceá reána os. Geometrický rad ide zosumova q n = Graf funkcie f je na obrázku..6 Nájdite obor konvergencie radu a vykresite graf funkcie f. q q f(x = f(x = Rie²enie: jedná sa o geometrický rad s kvocientom: q = ( x n + x + x = x + x. ( x n x x x. 8

9 f x x Obr. : x q Obr. 3: Nerovnos q < vyrie²ime ahko gracky pomcou obrázku 3. Oborom konvergencie uvedeného radu je teda interva: (, /. Je to aj deni ný obor funkcie f, ktorú môºeme vyjadri v tvare: Graf funkcie f je na obrázku 4. f(x = x x = x x x Obr. 4: f x Nájdite obor konvergencie funkcionáneho radu L(x = 9 x n x n. (

10 Rie²enie: Rad ( pripomína trochu geometrický rad, ae nie je to geometrický rad, kvôi menovate u. Je zrejmé, ºe body x = ± nepatria do oboru konvergencie ( eny radu nie sú denované. Preskúmame najprv kde konverguje zadaný rad absoútne. Za neme pomocou Cauchyho kritéria. Takºe pre x ± máme n x k(x = im n x n. Pre x = je zrejmé, ºe k( =, t.j. rad ( konverguje v x =. Pre x je { n x pre x <, k(x = im x n = pre x >. Vidíme teda, ºe pri x < rad ( konverguje a to absoútne. Naviac vidíme, ºe pre x > Cauchyho kritérium nehovorí ni (ebo k vy²o. Ae pre x > je predsa im x n =, xn takºe nie je spnená nutnápodmienka konvergencie radu. Uzatvárame: obor konvergencie radu ( 3 otvorený interva x (,. Na obrázku 5 je graf funkcie L(x danej radom (. je L x x -. L x x Obr. 5: Graf funkcie (, v avo a v pravo sú rôzne rozsahy x. Táto funkcia je neohrani ená v pravom okoí bodu a v avom okoí bodu +..8 Nájdite obor konvergencie funkcionáneho radu f(x = n sin n (x n. (3 Rie²enie: Vyskú²ame absoútnu konvergenciu zadaného radu, pouºijeme Cauchyho kritérium, po ítajme Nako ko patí tak máme im k(x = im n n = im n n n n sin n (x n. = im e n n(n = e =, k(x = sin(x. Takºe vidíme, ºe 3 tento rad sa v iteratúre nazýva Lambertov rad.

11 pre x ( π/6 + π, π/6 + π ( Z je k(x < a rad (3 konverguje (dokonca absoútne pre x (π/6 + π, 5π/6 + π ( Z je k(x > a rad (3 diverguje. Zostáva preveri body, v ktorých k(x =, t.j. body x = π/6 + π. Máme n sin n (x n = ( n n. Ae posedne napísaný rad ( i uº pre párne aebo nepárne je konvergentný. Takºe rad (3 konverguje aj v bodoch x. Preto oborom konvergencie radu (3 je mnoºina {[ π/6 + π, π/6 + π], Z}. Graf funkcie f zadanej radom (3 (v intervae [ π/6, π/6] je na obrázku 6. f x x -.5 Obr. 6: Graf funkcie zadanej radom (3 v intervae [ π/6, π/6]. Poznamenajme, ºe krajné hodnoty tejto funkcie sú: π /6 (v bode π/6 a π / (v bode π/6, tieto hodnoty nijako nevypývajú z toho, o sme urobii, ae na ich "zistenie"treba urobi hodne viac..9 Nájdite obor konvergencie funkcionáneho radu a nakresite graf funkcie f, ktorá je sumou radu. f(x = e nx (4 Rie²enie: rad (4 je vastne geometrivkým radom s kvocientom rovným e x, a ako vieme geometrický rad konverguje práve vtedy ke jeho kvocient je vä ²í ako a men²í ako. Nako ko e x > pre kaºdé x, tak obmedzujúcou je en nerovnos : e x < x >. Takºe obor konvergencie radu (4 je mnoºina (,. Máme aj expicitnú formuu pre sú et ná²ho radu f(x = Graf sumy f radu (4 je na obrázku 7. ex = e x e x, x (,.

12 f x Obr. 7: Graf sumy radu (4.. Nájdite obor konvergencie funkcionáneho radu: Rie²enie: zjavne nastávajú tri prípady: x = - vtedy sa jedná o rad ktorý je zjavne divergentný. f(x = e nx + e nx. +, x > - teraz moºno pouºi Cauchyho kritérium: n e nx e x im = im + enx e x n + e = x e x < takºe rad konverguje. x < - znova pouºijeme úspe²ne Cauchyho kritérium: takºe rad opä konverguje. im n e nx + e nx = ex < Záver: rad konverguje na mnoºine R\{} - o je deni ný obor funkcie f, zobrazenej na obrázku 8. V²imnime si, ºe funkcia f je párna: f( x = e nx + e nx = e nx e nx ( + e nx = e nx = f(x. + enx. Zakresite graf funkcie f(x = ( x n + x. Rie²enie: zistíme najpr deni ný obor funkcie - teda obor konvergencie radu. Je to geometrický rad, ktorý konverguje en vtedy ke < x + x <.

13 f x Obr. 8: Rie²ením uvedenej nerovnosti sú v²etky reáne ísa okrem ±, teda: D(f = R \ {, }. Potom uº máme priamo, ºe v D(f je: Graf funkcie f je na obrázku 9. f(x = f 8 x +x x +x = x (x x Obr. 9:. Nájdite obory konvergencie funkcionánych radov a ich sú ty, nakresite grafy funkcií zadaných radmi: a ( x n b + x x n ( x n c ( 4x n + x..3 Nájdite obory konvergencie funkcionánych radov a n x n b ( n n ( x n c + x x n + x n.4 (Einsteinov mode tepenej kapacity kry²táu Energie stacionárnych stavov kvantovomechanického ineárneho harmonického osciátoru v jednom rozmere, ktorý má kruhovú frekvenciu ω sú dané formuou ( E n = ω n +, n {,,,... }, kde je Panckova kon²tanta. Ak je takýto osciátor v kontakte s tepeným rezervoárom s inverznou tepotou β (β súvisí s oby ajnou tepotou T zadanou v Kevinoch vz ahom: β = /(kt, kde k je Botzmanova 3

14 kon²tanta, tak jeho termodynamické funkcie sú jednozna ne dané ²tatistickou sumou (kánonickou parti nou funkciou Z(β = Menovite tepená kapacita C je daná formuou e βe n. (5 Úohy: C(β = kβ d n[z(β]. (6 dβ zistite pre ktoré hodnoty β konverguje suma (5 jedná sa o sumu: e ω(n+ β, ktorá zrejme konverguje pre v²etky hodnoty β >. zrátajte expixitne sumu (5 priamo úpravou na geometrický rad máme: Z(β = e ω(n+ β = e ωβ e ωβn = e ωβ e ωβ = sinh ( ωβ kde sme vyuºii deníciu funkcie sínus hyperboický (a pouºijeme aj kosínus hyperboický: sinh(x = ex e x, cosh(x = ex + e x. zrátajte expicitne tepenú kapacitu (6 ako funkciu premennej β a na rtnite jej graf tepená kapacita je daná vz ahom: C = kβ d dβ n sinh ( ωβ ak zavedieme berzormernú premennú: x = ωβ, tak máme: C = kx sinh (x. vypo ítajte imity: ( ωβ = k a im C(β b im C(β β + β sinh ( ωβ imita β + znamená imitu vysokej tepoty a je ekvivaentná tomu, ºe x + a zase imita β + znamená imitu nízkej tepoty a je ekvivaentná tomu, ºe x +. Priamo vypo ítame: Tento v±edok znamená ekviparti nú teorému. im C(β = im β + x kx + sinh (x = k. im C(β = im β + x + kx sinh (x =. Tento výsedok znamená, ºe pri absoútnej nue tepoty kesá do nuy tepená kapacita. Graf závisosti bezrozmernej vei iny C/k od β ako aj od /β je na obrázku.., 4

15 C k C k Β 3 4 kt Obr. : Závisos tepenej kapacity meranej v jednotkách k v modei z príkadu.4 od inverznej tepoty β resp. od tepenej energie kt..3 Rovnomerná konvergencia funkcionáneho radu, Weierstrassove kritérium denícia rovnomernej konvergencie funkcionáneho radu: hovoríme, ºe funkcionány rad f n (x (7 konverguje rovnomerne k svojmu sú tu f(x na mnoºine A R práve vtedy ke patí ɛ > N(ɛ > k > N(ɛ& x A : Tento výrok je ekvivaentný nasedovnému: k f(x f n (x < ɛ. Cauchy-Bozanova nutná a posta ujúca podmienka rovnomernej konvergencie funkcionáneho radu: p+q ɛ > N(ɛ > p > N(ɛ& q& x A : f n (x < ɛ. Na preverenie rovnomernej konvergencie radu môºeme pouºi nasedovné: Weierstrassove kritérium rovnomernej konvergencie funkcionáneho radu: Nech rad (7 konverguje na mnoºine A bodove, nech aej existuje postupnos nezáporných íse {c n } taká, ºe x A : f n (x c n a nech ísený rad konverguje. Potom rad (7 konverguje v A rovnomerne. Poznámka: Weierstrassove kritérium moºno pouºi en na rady, ktoré konvergujú absoútne..5 Ukáºte, ºe geometrický rad x n, (ktorý ako vieme konverguje (bodove pre kaºdé x < : a konverguje rovnomerne v kaºdom intervae [ a, a], kde < a <, c n n=p 5

16 b nekonverguje rovnomerne vo svojom obore konvergencie (t.j. v intervae (,. Rie²enie: a budeme postupova tromi spôsobmi (za ú eom osvojenia si prísu²ných pojmov; najprv preveríme priamo deníciu rovnomernej konvergencie, potom pouºijeme Cauchy-Bozanove kritérium a napokon dokáºeme rovnomernú konvergenciu aj pomocou Weierstrassovho kritéria ( o bude naj ah²ie. a priame overenie rovnomernej konvergencie je v tomto prípade zaoºené na tom, ºe poznáme expicitne sumu geometrického radu ako aj kaºdý iasto ný sú et geometrického radu, menovite x n = k x f(x, x k = xk+ x. Pod a denície rovnomernej konvergencie máme preveri ve kos výrazu x xk+ x = x k+ x. Teraz príde to, ºe vyuºijeme, ºe x [ a, a] (t.j. ºe x sa "ne ahá" aº k. Predchádzajúci výraz odhadneme z hora, ak menovate urobíme najmen²ím a itate najvä ²ím: x [ a, a] : x k+ x ak+ a. (Poznamenajme, ºe "rovnomernos "znamená to, ºe na pravej strane predchádzajúcej nerovnosti, ktorá patí pre kaºdé uvaºované x, uº x nevystupuje. No a teraz nájdeme N(ɛ vystupujúce v denícii: Tým sme ukázai, o boo treba. a k+ a ɛ n[( aɛ] ak+ < ( aɛ k > + N(ɛ = n(a n[( aɛ]. n(a a teraz ukáºeme rovnomernú konvergenciu pomocou Cauchy-Bozanovej podmienky. Ide o to, odhadnú výraz (kde zase bude k ú ovým, ºe x [ a, a] s < a < : p+q x n p+q p = x n x n = S p+q (x S p (x = x p+q+ x n=p a p+ a. No a teraz uº ahko nájdeme N(ɛ: a p+ n[( aɛ] < ɛ p > + N(ɛ = a n(a xp+ x n[( aɛ]. n(a = x p+ ( x q x a3 s vyuºitím Weierstrassovho kritéria dokáºeme rovnomernú konvergenciu ná²ho radu ahko; z toho, totiº priamo máme, ºe f n (x = x n a n a to, ºe < a < znamená, ºe ísený rad konverguje. b to, ºe geometrický rad nekonverguje rovnomerne v ceom obore konvergencie ukáºeme priamo. Ku kaºdému prirodzenému k nájdeme x (dostato ne bízko k z ava, ºe rozdie k-teho iasto ného sú tu S k (x od sú tu 6 a n

17 geometrického radu bude ubovo ne ve ký (to je dokonca viac ako potrebujeme!. Naozaj, rozdie o ktorý nám ide je a x xk+ x = x k+ x x k+ im = + ( k N. x x Ide tu o to, ºe funkcia /( x je neohrani ená v avom okoí bodu, ae k-ty iasto ný sú et je ohrani ený, nako ko: 4 S k (x = xk+ x = + x + x + x x k im x S k(x = k +. Situácia je znázornená na obrázku. S,S N x Obr. : Sú et geometrického radu - v bízkosti horná ierna iara a iasto né sú ty tohoto radu (druhý, ²tvrtý, ²iesty, ôsmi a desiaty. V avom okoí sa kaºdý iasto ný sú et í²i od sú tu o nekone nú hodnotu (funkcia /(x je neohra ená zhora v avom okoí kým iasto né sú ty sú ohrani ené..6 Dokáºte pomocou Weierstrassovho kritéria, ºe funkcionány rad konverguje rovnomerne v mnoºine x [,. Rie²enie: potrebujeme odhadnú (nezáporné funkcie f n (x = x + n 4 x x + n 4 x kon²tantami c n, tak aby rad c n konvergova (ak sa to dá!. Najmen²ie moºné horné ohrani enie funkcií f n dáva ich maximum. Nájdime ho: f n(x = n4 x ( + n 4 x = x = n. 4 en pre "srandu" pripome me, ºe imitu z ava v bode z k-teho iasto ného sú tu geometrického radu moºno zráta aj pomocou známeho 'Hospitaovho pravida, nasedovne: x k+ (k + x k im = im = k +. x x x 7

18 (to, ºe v x = /n má funkcia f n gobáne maximum pynie z toho, ºe je nezáporná, f n ( = a im x f n (x =. Pre názornos, funkcie f, f, f 3 sú znázornené na obrázku. Vezmeme teda No ae ísený rad c n = f n ( n = n + = n. n zrejme konverguje, t.j. ná² rad konverguje rovnomerne v [,. f,f,f x Obr. :.7 Pouºitím Weierstrassovho kritéria ukáºte, ºe rad ( n (n +! xn+ (8 konverguje rovnomerne v kaºdom intervae [ a, a], kde a >. aej prediskutujte rovnomernú konvergenciu tohoto radu v R. Pozn.: je uºito né si uvedomi resp. spomenú aebo aj uveri, ºe patí rovnos sin(x = ( n (n +! xn+. (9 Rie²enie: najprv nájdeme obor konvergencie tohoto radu, s vyuºitím d' Aembertovho kritéria (t.j. ukáºeme absoútnu konvergeciu máme, ºe pre kaºdé reáne x je im = im ( n+ x n+3 (n+3! ( n x n+ (n+! x (n + (n + 3 = <, t.j. rad (8 konverguje (absoútne v R. Uvaºujme teraz x [ a, a], a >. Potom máme odhad na eny radu (8: a aej ísený rad ( n x n+ (n +! a n+ (n +! 8 an+ (n +!

19 konverguje - zase pod a d' Aembertovho kritéria: im a n+3 (n+3! a n+ (n+! a = im (n + (n + 3 = <. Preto pod a Weierstrassovho kritéria rad (8 konverguje rovnomerne v intervae [ a, a], kde a je ubovo né kadné íso. Teraz si zodpovedajme - asi prirodzenú - otázku: konverguje rad (8 rovnomerne v R? Pri odpovedaní si na túto otázku budeme pouºíva istý podfuk - a to ºe sa budeme tvári, ºe nám je známe, ºe patí (9, ae to fakticky my²ienku neovpyv uje 5. Vezmime teda N tý iasto ný sú et radu (8: S N (x = N ( n (n +! xn+ = x x3 6 + x5 + + ( N (N +! xn+. Potrebujeme preskúma, i S N (x aproximuje funkciu sin(x s dostato nou presnos ou ak en vezmeme dostato ne ve ké N - a to bez oh adu na x. ƒiasto ný sú et S N (x je poynóm (nenuový v premennej x. Ae to znamená, ºe musí pati im S N(x = ± x + im S N(x = ± x no ae funkcia sin(x nadobúda hodnoty en medzi a - to ae znamená, ºe rozdie S N (x sin(x nemôºe by maý naraz pre v²etky x reáne - a teda rad (8 nekonverguje rovnomerne v R! Situácia je znázornená na obrázku 3..8 Preskúmajme rovnomernú konvergenciu radu v jeho obore konvergencie. f(x = xe nx Rie²enie: oborom konvergencie uvedeného radu je zrejme mnoºina [,. Pokúsime sa nájs najep²í majorantný rad k zadanému - nájdeme teda maximá funkcií f n (x = xe nx v mnoºine [,. Priebehy funkcií f n sú pre niektoré n znázornené na grafe 4 - ako vidíme z obrázka, funkcie f n majú jedno maximum, ktorého poohu ahko zistíme pomocou diferenciáneho po tu. f n(x = e nx ( nx = x (n M = n. Takºe najep²í výber íse c n je: Bohuºia, rad c n = f n (x (n M = e n. e n 5 Pomocou Cauchy-Bozanovej podmienky by sa tento "nedostatok" da vynecha, ae dávame v tomto prípade prednos názornosti pred rigoróznos ou. 9

20 Obr. 3: Porovnanie funkcie sin(x s iasto nými sú tami radu (8. Z ava hore: druhý, piaty, desiaty a dvadsiaty iasto ný sú et radu (8. zjavne diverguje - preto Weierstrassovo kritérium k ná²mu prípadu nepovie ni. Zamysime sa v²ak aej nad situáciou. Body x (n M sa hromadia v okoí nuy - preto ak je probém s rovnomernou konvergenciou tak bude tam. Pozme me mnoºinu na ktorej skúmame rad na mnoºinu typu: B δ = [δ,, δ >. Potom zrejme existuje n δ také, ºe pre kaºdé n > n δ je x (n M íso c n avú krajnú hodnotu funkcie f n : Rad íse c n = x exp( nδ. n>n δ x exp( nδ < δ a teda patí, ºe pre n > n δ je moºné vzia za zjavne konverguje. Preto kon²tatujeme, ºe funkcionány rad xe nx konverguje rovnomerne v kaºdej mnoºine B δ. aej uº s Weierstrassovým kritériom asi nepostúpime. Pozrime sa ²ak na expicitné vyjadrenie funkcie f(x: { f(x = Funkcia f(x je znázornená na grafe 5. Ke ºe tak funkcia f je nespojitá v bode 6. nua, x = x, x >. e x im f(x =, x + 6 Zanedho ukáºeme, ºe toto uº znamená (v tejto situácii, ºe skúmaný rad nekonverguje rovnomerne v okoí (pravom bodu

21 f n x Obr. 4: Grafy funkcií f n pre n =,, 3, 4 (krivky usporiadané od hora doe. f x x Obr. 5: Pozrime sa teda, ako sa správa rozdie iasto ného sú tu: S N (x = N a sú tu radu f(x v okoí podozrivého bodu nua: xe nx = x e (N+x e x N = f(x S N (x = xe (N+x e x. Tieto rozdiey sú znázornené pre niektoréhodnoty N na grafe 6. Vidíme, ºe im x + N = > takºe xnou hodnotou N nemôºeme zabezpe i v ceom okoí bodu rovnakú presnos aproximácie f(x pomocou iasto ného sú tu ak poºadujeme, aby táto presnos boa men²ia ako - a to je v spore s rovnomernou konvergenciou - teda ná² rad nekonverguje rovnomerne v mnoºinách typu [, α], α >..9 Dokáºte pouºitím Weierstrassovho kritéria, ºe zadané rady konvergujú rovnomerne v zadaných mnoºinách: a d nx + n 5 x, x R b cos(nx + sin (nx n 3/, x R e x + n, x R c cos(nx n, x R n ( + x n n, x [ a, a], a R f x e nx, x [, (n

22 N x Obr. 6: Zobrazenie rozdieov N, pre N =,, 3, 4 (krivky usporiadané od hora doe..3 Rozhodnite, i zadaný funkcionány rad konverguje rovnomerne v zadanej mnoºine (vyuºite, ºe ide v podstate o geometrický rad ( xx n, x [, ]..3 Pre ktoré hodnoty parametru α moºno na dôkaz rovnomernej konvergencie radu ( x arctan x + n α v R pouºi Weierstrassove kritérium?.4 Spojitos sú tu funkcionáneho radu, integrovanie a derivovanie funkcionáneho radu " en po ene" Uvaºujeme funkciu zadanú ako sú et funkcionáneho radu f(x = f n (x. ( Patia tri dôeºité (a pre praktické výpo ty ve mi nápomocné tvrdenia o spojitosti funkcii f, jej integrovate nosti a diferencovate nosti, tu sú: veta o spojitosti sú tu radu: nech funkcie f n sú spojité v intervae [a, b] a nech rad ( konverguje v [a, b] rovnomerne, potom aj sú et radu f je spojitá funkcia v [a, b]. dôkaz: nech x je ubovo ný bod intervau [a, b], zoberme k-ty iasto ný sú et S k (x = k Zadenujeme funkciu (zvy²ok radu R k vz ahom f n (x, ²peciáne S k (x = k f n (x. f(x = S k (x + R k (x, ²peciáne f(x = S k (x + R k (x. My potrebujeme ukáza, ºe rozdie f(x f(x je pre dostato ne maé x x dostato ne maý. Odhadujme (s vyuºitím trojuhoníkovej nerovnosti: f(x f(x = S k (x + R k (x S k (x R k (x S k (x S k (x + R k (x + R k (x (

23 Teraz zoberme akéko vek ɛ >. Rovnomerná konvergencia radu ( zaru uje, ºe existuje také íso K(ɛ, ºe pre kaºdé k > K(ɛ a pre kaºdé x [a, b] patí: R k (x < ɛ 3. Tým sme odhadi posedné dva eny nerovnosti (. Prvý en tejto nerovnosti odhadneme nasedovne: funkcie S k (x sú iba kone né sú ty spojitých funkcií f n, preto aj S k sú spojité funkcie a to znamená, ºe ku kaºdému ɛ > existuje také δ(ɛ >, ºe pre kaºdé x vzdiaené od x o menej ako δ(ɛ t.j. pre x x < δ(ɛ je o zavr²uje dôkaz. S k (x S k (x < ɛ 3, príkad: v dôkaze sme naozaj pouºii predpokad rovnomernej konvergencie radu (, ae je prirodzené sa pýta, i by sme sa predsa en nezaobi²i aj bez nej. Tento príkad ukáºe, ºe to nejde. Vezmime rad x ( + x n. V prvom rade si v²imnime, ºe eny radu sú spojité funkcie v ceom R. aej, pod a Cauchyho kritéria: k(x = im n x ( + x n = ( x R + x tento rad konverguje v kaºdom bode x R. Ke ºe je to v podstate geometrický rad, nájdeme priamo jeho sú et x { pre x =, ( + x n = pre x. T.j. suma radu ( nie je spojitá v R - ebo nie je spojitá v bode. To je práve kvôi tomu, ºe rad ( nekonverguje rovnomerne v okoí bodu. Situácia je znázornená na obrázku S k - - x Obr. 7: ƒiasto né sú ty radu ( S k (x, krivky oddoa hore pre k =, 4, 6, 8. Vznik nespojitosti v bode x = je zjavný. veta o integrovaní funkcionáneho radu en po ene: predpokadáme, ºe eny radu ( sú integrovate né funkcie na intervae [a, b] (tu je podstatné, ºe sa jedná o kone ný interva!a ºe rad ( 3

24 rovnomerne konverguje na [a, b]. Potom: funkcia f (suma radu ( je tieº integrovate ná v [a, b] a naviac patí formua: c, d : [c, d] [a, b] : d c ( [ d ] f(xdx = f n (x dx = c [ d c ] f n (xdx. dôkaz: úný dôkaz vety je pomerne zd havý, ae ak nahradíme v predpokadoch integrovate nos funkcií f n ich spojitos ou v [a, b] (spojitá funkcia v uzvretom intervae je v om integrovate ná! tak ahko vetu dokáºeme. V prvom rade integrovate nos funkcie f pynie z toho, ºe pod a predchádzajúcej vety je f spojitá v [a, b] a teda ( je integrovate ná. Zostáva dokáza uvedený vzorec. Ten tvrdí ºe íso na avo je rovné imite postupnosti iasto ných sú tov íseného radu napravo. Tak overíme, ºe to tak naozaj je. Vezmeme ɛ >, potom z denície rovnomernej konvergencie nájdeme také K(ɛ >, ºe pre kaºdé k > K(ɛ a pre kaºdé x [a, b] je k f(x f n (x < ɛ, takºe pre takto vybrané k postupne dostávame d k [ d f(xdx f n (xdx] d c c = f(xdx c d k f(x f n (x dx ɛ(d c. c d c [ k f n (xdx] = d c [ f(x veta o derivovaní funkcionáneho radu en po ene: predpokadáme, ºe eny radu ( sú spojite diferencovate né funkcie na intervae [a, b], ºe rad ( rovnomerne konverguje (dobre, je známe, ºe tento predpokad je zbyto ný, ae to nevadí..., aej, o je ae podstatné predpokadáme, ºe rad ] k f n (x dx f n(x ( rovnomerne konverguje v [a, b]. Potom: funkcia f (suma radu ( je diferencovate ná na [a, b] a patí naviac formua: ([ ] x [a, b] : f (x = f n (x = f n(x. dôkaz: je zaoºený na predchádzajúcej vete, ukáºeme, ºe pre kaºdé x [a, b] je x a φ(tdt = f(x + C, kde φ(x = f n(x, o presne znamená, ºe f (x = φ(x. Ke vyuºijeme, ºe rad ( konverguje rovnomerne v [a, b] - t.j. môºeme ho integrova en po ene (funkcie f n sú spojité: x a φ(tdt = [ x a ] f n(tdt = [f n (x f n (a] = f(x + C. 4

25 .3 Vypo ítajte integrá Rie²enie: v²etky funkcie π [ ] sin (nx dx. n(n + f n (x = sin (nx n(n + sú spojité v uzavretom intervae [, π], eementárna nerovnos sin (nx n(n + n(n +, x R spou s dobre známim faktom, ºe ísený rad n(n + konverguje nám pod a Weierstrassovho kritéria zaru ujú rovnomernú konvergenciu zadaného radu v intervae [, π] a to nám zase zaru uje, ºe môºeme integrova en po ene: [ π ] sin (nx π dx = sin π ( (nxdx = n(n + n(n + n(n + cos(nx dx = [ x n(n + ] π 4n sin(nx = π n(n + = π..33 (K zdôvodneniu príkadu.4 Uvaºujeme kvantovomechanickú sústavu, ktorej vastné energie E n majú vastnosti: E n (n {,,, 3,... }, E n+ > E n, im E n =. aej uvaºujeme inverznú tepotu β (β,, β >. Vezmeme ²tatistickú sumu Z(β = e βen, (3 o je funkcionány rad (s premennou β. Vezmime rad z derivácií (pod a β enov radu (3 [ E n e βen ], (4 keºde patí β (β, : E n e βe n E n e β E n a ísený rad E n e β E n je konvergentný, to znamená (Weierstrassove kritérium, ºe rad (4 konverguje rovnomerne (a absoútne a teda rad (3 moºno derivova en po ene, t.j. patí dz(β dβ = [ E n e βen ]. 5

26 Prirodzená denícia strednej energie sústavy je E β = E ne βe n e βen = dz(β dβ Z(β = d n [Z(β]. dβ Tepená kapacita C je denovaná ako mnoºstvo tepa potrebného na zvý²enie tepoty sústavy o jeden Kevin, t.j. a teda náne dostávame ako sme mai v úohe.4. C(β = d E β dt, ae d dt = dβ dt d dβ = kt C(β = kβ d n [Z(β] dβ.34 Preverme znova rovnomernú konvergenciu radu v mnoºine [,. f(x = xe nx d dβ = d kβ dβ Rie²enie: v príkade.8 sme na²i, ºe sú et radu f(x je funkcia nespojitá v bode nua. ƒeny totoho radu sú ae funkcie spojité v okoí bodu nua. Preto tento rad nemôºe konvergova rovnomerne v okoí bodu bodu nua a teda ani v mnoºine [,..35 Preverme spojitos a diferencovate nos tzv. theta-funkcie zadanej pre kaºdé x > funkcionánym radom θ(x = + e πnx. (5 Rie²enie: V prvom rade uvedený funkcionány rad naozaj konverguje na mnoºine x > ako vidno z Cauchyho kritéria: n k(x = im e πnx = im e πnx = < (a nekonverguje nikde inde, ako vidno z nutnej podmienky konvergencie radu. Dokáºeme spojitos θ v bode x >. Pre zadané x > vezmime interva [x /, - pre kaºdé x z tohoto intervau patí nerovnos a rad < e πnx < e πn x / e πn x / konverguje (zase pod a Cauchyho kritéria, preto pod a Weierstrassovho kritéria konverguje rad denujúci theta-funkciu rovnomerne v [x /,. No a v²etky funkcie e πnx sú v intervae [x /, spojité preto theta-funkcia je spojitá v bode x - ten bo ae zvoený ako ubovo né kadné íso, preto theta-funkcia je spojitá v x >. Preveríme diferencovate nos theta-funkcie. Vezmeme rad z derivácií enov radu pre theta-funkciu: ( πn e πn x 6

27 a rovnako pre kaºdé kadné x patí, ºe pre kaºdé x [x /, je πn e πn x πn e πn x / a rad ( πn e πn x / konverguje. Preto pod a Weierstrassovho kritéria konverguje rad derivácií rovnomerne v [x /, a teda theta-funkcia je difrencovate ná v x - ubovo nom kadnom íse. Graf theta-funkcie je na obrázku 8. Θ x Obr. 8: Graf theta-funkcie (5 - je to funkcia neohrani ená v pravom okoí bodu, monotónne kesá a im x θ(x =..36 Nájdite sumu radu f(x = n e nx. (6 Rie²enie: najprv treba nájs obor konvergencie zadaného radu, pod a Cauchyho kritéria < pre x > n im n e nx = im n/n e x = e x = pre x = > pre x < vidíme, ºe zadaný rad: konverguje pri x > diverguje pri x <. Zostáva preveri bod x = : nako ko pri x = nie je spnená nutná podmienka konvergencie, tak obor konvergencie radu (6 je interva (,. Naviac patí: rad (6 konverguje rovnomerne v kaºdom intervae (a, s a > rovnomerne, o pynie z Weierstrassovho kritéria takto: patí nerovnos a ísený rad x > a : < n e nx < n e na n e na je konvergentný (integráne kritérium. Presne rovnako sa ukáºe aj rovnomerná konvergencia radov (v intervae (a, : ne nx e nx. 7

28 To ae znamená, ºe za ú eom nájdenia sumy radu (6 môºeme pouºi po enné derivovanie funkcionáneho radu, o postupne dáva: f(x = n e nx ( = ne nx ( ( = ne nx ( = e nx ( = e nx = ( e x e x = ex ( + e x (e x 3. Funkcia f(x - sú et radu - je znázornená na obrázku 9. f x x Obr. 9: 8

29 Mocninové (poten né rady. Poomer konvergencie poten ného radu, charakter konvergencie poten ného radu peciány prípad funkcionáneho radu je tzv. mocninný (poten ný rad a n (x x n, a n, x R. (7 ƒ±ia a n sú koecienty poten ného radu a pod a ísa x hovoríme o poten nom rade so stredom v x. Nako ko ineárnou zámenou premennej x: x x y jednoducho dostávame z radu (7 rad so stredom v bode, budeme sa bavi o takomto rade: a n x n. (8 Zákadné vastnosti poten ných radov sú zhrnuté tu: zákadná veta o obore konvergencie poten ného radu: ak rad (8 konverguje v bode X tak potom konverguje absoútne v kaºdom x: x < X. dôkaz: dokáºeme to takto: pod a predpokadu ísený rad a n X n konverguje a to znamená, ºe (nutná podmienka konvergencie radu: To ae znamená, ºe postupnos im a nx n =. {a n X n } je ohrani ená a teda existuje íso M >, ºe pre kaºdé n je a n X n < M. V prvom rade spome me prípad X = - ten je triviány a preto v a ²om predpokadáme X. Odhadnime (s uºitím toho, ºe x/x < eny radu a nx n : a n x n = a nx n xn X n M x n, X o znamená, ºe rad a nx n pre: X < x < X konverguje rovnako ako geometrický rad s kvocientom x <. X poznámka: ujasnime si, ºe v predchádzajúcej vete nemoºno tvrdi, ºe by rad (8 konvergova v kaºdom x: x X - hoci by sme touto modikáciou pridai jediný bod - menovite bod x = X. Vidno to z nasedovného príkadu: vezmeme rad 9 ( n n xn.

30 Pod a Leibnitzovho kritéria tento rad konverguje v bode x =, av²ak v bode x = máme o je divergentný harmonický rad. dôsedok: existuje nezáporné íso - poomer konvergencie poten ného radu - R (aebo pripú² ame aj R =, ºe obor konvergencie radu (8 je interva jedného z typov: ( R, R ( R, R] [ R, R [ R, R]. n, Na výpo et poomeru konvergencie R existujú formue: poomer konvergencie poten ného radu - vzorec. (aebo Cauchy-Hadamardov vzorec: R = kde vec mysíme tak, ºe ak menovate vyjde berieme R =. poznámka: pokia existuje im n an = im sup im sup n a n, (9 n an R = im n a n. poomer konvergencie poten ného radu - vzorec. : ak existuje imita na pravo (vastná aebo nevastná tak patí: R = im a n a n+. (3 charakter konvergencie poten ného radu vo vnútri intervau konvergencie: nech je poomer konvergencie radu (8 rovný kadnému ísu R, potom v kaºdom intervae [ ρ, ρ], kde < ρ < R, konverguje rad (8 rovnomerne. dôkaz: pod a predpokadu je ísený rad a n ρ n absoútne konvergentný a vzh adom na nerovnos : x [ ρ, ρ] & n N : a n x n a n ρ n usudzujeme pod a Weierstrassovho kritéria, ºe tvrdenie je správne.. Nájdite poomer konvergencie a obor konvergencie poten ného radu 3 n + ( n x n. n 3

31 Rie²enie: Koecient stojaci pri x n je a n = 3n + ( n. n Poomer konvergencie vypo ítame ahko pomocou vz ahu (9 - dokonca existuje prísu²ná imita: n 3 im n + ( n n = im 3 n n + ( n n 3 + ( n 3 = 3 im = 3. n n Takºe R = 3. Takºe v obore konvergencie je ur ite (otvorený! interva ( /3, /3 a e²te je moºné, ºe aj niektorý (aebo aj oba z jeho krajných bodov. Toto treba e²te preveri. Na to preskúmame, i konverguje zadaný rad ak za x dosadíme najprv /3 a potom /3. Urobme to: máme najprv rad 3 n + ( n n 3 n = [ n + ( n ] n 3 tu vidíme, ºe má divergentnú harmonickú as, preto bod x = /3 nepatrí do oboru konvergencie. Zato v²ak ak dosadíme bod /3 máme: 3 n + ( n n ( n 3 n = [ ( n + n n ( n ] 3 o sú dva konvergentné rady (prvý z nich pod a Leibnitzovho kritéria, druhý je men²í ako geometrický rad s kvocientom rovným /3. Takºe bod /3 patrí do oboru konvergencie, ktorý je teda rovný intervau: [ /3, /3. Sú et tohoto radu je znázornený na grafe x Obr. :. Nájdite poomer konvergencie funkcionáneho radu ( n x n, (n! = 3... n. n! Rie²enie: Pri x n stojí koecient a n = ( n. n! Na výpo et poomeru konvergencie je tentokrát výhodnej²ie pouºi vz ah (3: ( n R = im n! = im (n +! = im (n + =. n! ( n+ (n+! 3

32 .3 Vyuºijúc metódy hadania oboru konvergencie poten ného radu, nájdite obor konvergencie funkcionáneho radu Rie²enie: Ak v zadanom rade pooºíme tak máme rad n + ( x n. + x y = x + x n + yn, ktorého poomer konvergencie ahko nájdeme pod a vz ahu (3: n + 3 R = im n + =. Obor konvergencie obsahuje aj bod ae neobsahuje bod (t.j. obor konvergencie je [,, ebo rad: ( n n + konverguje Takºe obor konvergencie pôvodného radu je ur ený nerovnos ami: ktorých rie²ením je: x >..4 Nájdite poomer konvergencie poten ného radu: x + x <, 3 n x n. n + diverguje. Rie²enie: Najprv identikujme správne koecienty a n (totiº pod a formuy (8 je a n to, o stojí pri x n : a = a = a = 3 a 3 = a 4 = 9 a 5 = a 6 = 7 at, takºe v obecnosti ak k je prirodzené íso aebo nua Takºe Overíme krajné body x = ±/ 3 n im sup an = im (x = / 3 : (x = / 3 : a k = 3 k, a k+ =. 3 n ( 3 n = ( 3 n 3 n = takºe obor konvergencie je interva (,. 3 3 n 3 n = 3 R = 3. diverguje ( n diverguje, 3

33 .5 Nájdite poomer konvergencie a obor konvergencie poten ných radov: a d g x n n b n 5 n xn e ( n n x n n! h n x n c n n! xn n n n(n xn f n x3n [3 + ( n ] n x n x n i n n. Derivovanie a integrovanie poten ných radov, sumovanie niektorých poten ných radov Z viet o rovnomernej konvergencii poten ného radu v uzavretom podintervae oboru konvergencie pynie, ºe poten ný rad (8 moºno derivova a integrova en po ene v rámci jeho poomeru konvergencie ubovo ne ve a krát. Naviac týmito operáciami dostávame poten né rady s rovnakým poomerom konvergencie. Poznámka: derivovanie a ontegrovanie poten ného radu en po ene síce nemenia poomer konvergencie, ae môºe zmeni obor konvergencie radu (samozrejme en o krajný bod(y a to menovite tak, ºe integrovanie môºe prida k oboru konvergencie niektorý z krajných bodov a derivovanie môºe niektorý z krajných bodov odobra z oboru konvergencie ako to ukazuje nasedovný príkad: vezmeme jednoduchý geometrický rad x n, ktorého obor konvergencie je (,. Ak zobereme x (, tak integrovaním tohoto radu en po ene dostávame rad x [ ] t n dt = [ x ] t n dt = x n n + ktorého obor konvergencie je [,. My²ienku derivovania aebo integrovania poten ného radu en po ene môºe by pouºitá na nájdenie súm niektorých radov..6 Nájdite sú et radu f(x = x + x3 3 + x5 5 + x n+ n +. Rie²enie: Poomer konvergencie zadaného radu je (a n =, a n+ = /(n + R = im sup n a n = n+ im V oboch krajných bodoch rad diverguje ako harmonický rad, preto obor konvergencie radu je (,. Vypo ítame deriváciu funkcie f f (x = ( x n+ = n + ( x n+ = n + n+ =. x n = x. 33

34 Takºe máme f(x = dx x = ( x + n + C. x Kon²tantu C ur íme z toho, ºe ak dosadíme do zadania funkcie f hodnotu x =, tak máme f( = C = f(x = ( x + n. x.7 Vypo ítajte sú et radu f(x = n x n. (3 Rie²enie: V prvom rade, poomer konvergencie tohoto radu je a obor konvergencie je (, nako ko rady n R = im (n + = n ( n n ani nutnú podmienku konvergencie nesp ajú. S vyuºitím moºnosti derivova rad en po ene postupne dostávame ( ( ( ( f(x = n x n = x n (x n = x nx n = x x (x n = x x x n = ( x x ( x x = x + x ( x 3. Graf tejto funkcie je na obrázku. ( x -.5 Obr. : Graf funkcie (3 denovanej v intervae konvergencie radu (3: (,, v intervae (, táto funkcia rastie a im x f(x = f x.8 Nájdite (pomocou derivovania aebo integrovania poten ného radu en po ene sú ty radov: a nx n b ( n xn+ n + c x n n. 34

35 .3 Tayorove rady, denícia, Tayorove rady eementárnych funkcií denícia Tayorovho radu: nech funkcia f je denovaná v okoí bodu x a nech má derivácie kaºdého rádu v bode x. Takejto funkcii priradíme poten ný rad so stredom v bode x : Ak patí rovnos f(x = f (n (x (x x n. (33 n! f (n (x (x x n n! v niektorom okoí bodu x, tak funkciu f voáme anaytickou (v prísu²nom intervae. peciány prípad s x = sa zvykne nazýva Mac Laurinov rad funkcie f. (my budeme skôr hovori Tayorov rad so stredom v. Tayorove rady eementárnych funkcií: patia nasedovné dôeºité rovnosti e x = + x + x + x3 3 + x = x n n! sin(x = x x3 3! + x5 5! = ( n xn+ (n +! cos(x = x! + x4 4! = ( + x α = + αx + n( + x = x x + x3 α(α x +! 3 = ( n xn (n! α(α (α x 3 + = 3! n+ xn ( n ( α n Vyuºijúc tieto rozkady moºno do Tayorovho radu rozoºi mnohé a ²ie funkcie. x R (34 x R (35 x R (36 x n < x < (37 < x (38 Poznámka: v (37 sme zaviedi zov²eobecnenie kombina ného ísa pre reáne hodnoty α: ( α α(α (α... (α n + =. n n! Poznámka: ²peciány prípad formuy (37 (tzv. Newtonovho binómu je prípad s α =, ke máme vastne formuu pre dôverne známu sumu geometrického radu s kvocientom rovným x: ( + x = + x = ( n x n. Poznámka3: druhý ²peciány prípad vz ahu (37 známi zo strednej ²koy nastáva, ke je α rovné prirodzenému ísu (povedzme n - vtedy vz ah (37 je zhodný s binomickou vetou: ktorá patí pre kaºdé reáne x. ( + x n = n k= ( n k x k = n k= n! k!(n k! xk, 35

36 .9 Rozoºte do Tayorovho radu so stredom v funkciu sin (x. Rie²enie: vyuºijeme stredo²koskú trigonometriu a vy²ie uvedený rozvoj pre funkciu cos(x a máme postupne sin (x = cos(x = ( n (xn = n+ (xn ( = (n! (n! ( n+ n x n. (n! Poomer konvergencie nájdeného radu je - to vidno z postupu, ktorým sme ho odvodii - pouºii sme en rozvoj pre funkciu cos, ktorý má poomer konvergencie. Môºeme sa o tom ae presved i aj priamo. Ak zavedieme premennú y = x tak skúmame poten ný rad ( n+ n y n, (n! ktorého poomer konvergencie zrátame pod a (3 ( n+ n R = im (n! = im ( n+ n+ (n+! (n +! 4(n! (n + (n + = im =. 4 Toto je poomer konvergencie v premennej y - ae zobrazenie y x hovorí, ºe aj v premennej x je R nekone no.. Rozoºte do Tayorovho radu so stredom v bode 4 funkciu n(x. Rie²enie: Vyuºijeme vastnosti ogaritmu a rozvoj (38: [ ( n(x = n(4 + (x 4 = n 4 + x 4 ] [ = n(4 + n + x 4 ] ( n+ = n( n (x 4 n. n Poomer konvergencie tohoto radu je (pod a (9 im n ( n+ n4 n = 4 R = 4.. Rozoºte do Tayorovho radu so stredom v funkciu x + 5x. Rie²enie: Vyjdeme z (37 a máme: x + 5x = x ( + 5x / = x ( n [ (5x n = x + ( 5x + 5 x +! = x + 5x! 5 x ! 53 x x = 4! n (n 3!!5n ( n x n+ n (n 5!!5n = ( n! n (n! xn, kde sme zaviedi symbo (dvojný faktoriá: ( ( 3! ] 5 3 x k párne : k!! = k k nepárne : k!! = k a dohodu, ºe dvojný faktoriá nuy a kaºdého záporného ísa je. Poomer konvergencie zrátame pod a (3 R = im = im n 5(n 3 = 5. ( n (n 5!!5 n n (n! ( n (n 3!!5 n n (n! 36

37 . Rozoºte do Tayorovho radu so stredom v 5 funkciu /(x +. Rie²enie: x + = 6 + (x 5 = 6 + x 5 = 6 6 Poomer konvergencie pod a (9 je ( x 6 n ( n = 6 im n n ( n 6 n+.3 Rozoºte do Tayorovho radu so stredom v funkciu x( + x( x. = 6 R = 6. ( n 6 n+ (x 5n. Rie²enie: Je zaoºené na (37 a rozkade na parciáne zomky. Urobíme najpr ten rozkad x( + x( x = A x + B + x + C x A = A B + C = B + C = A =, B =, C =. aej teda máme x( + x( x = x + x + x = + (x + (x 3 + (x = + x + (x 6 + x = ( n 3 n (x ( n (x ( n 6 3 n (x ( n [ n = n ] 3 n+ (x n. Poomer konvergencie ahko ur íme pod a (9: n ( im n [ n ] 3 n+ = R =..4 Rozoºte zadané funkcie do Tayorovho radu s ur eným stredom x : a d x + 5x, x = b e x, x = c x x, x = ( x, x = e ex + e x, x = f sin(x, x = π 6 g sin 3 (x, x = h x + x 3, x = i x, x = x j (x (x, x = k x(x + (x +, x = 3 n[( + x( + x ], x =.5 Nájdite rozkad funkcie arctan(x do Tayorovho radu so stredom v bode. Rie²enie: rie²enie sa zakadá na moºnosti derivova funkciu zadanú poten ným radom en po ene (a integrova tak isto. Ak ozna íme f(x = arctan(x, tak potom f (x = + x = ( n x n. 37

38 Poomer konvergencie tohoto radu je. Preto s vyuºitím toho, ºe arctan( = dostávame pre kaºdé x : x < arctan(x = [ x ] ( n t n dt = ( n n + xn+. (39 Pozn.: uvedený rad pre funkciu arctan konverguje aj v bode x =, preto (toto je obsahom tzv. druhej Abeovej vety patí rovnos (39 aj vtedy ak dosadíme na avo aj napravo x =, ke ºe v²ak arctan( = π/4, tak pomocou (39 máme vyjadrenie ísa π v tvare nekone ného radu: π = 4 Tento rad, treba poveda, nie je ktovieako rýche konvergentný. ( n n +. (4.6 Ko ko enov radu (4 sta í vzia, aby sme íso π zrátai s prestnos ou 4?.7 Rozoºte do Tayorovho radu so stredom v funkciu arcsin(x. Rie²enie: Pod a (37 rozoºíme najprv deriváciu zadanej funkcie arcsin(x =! x + x = ( x / = ( 3 x 4! ( 3 3! ( 5 ( n x 6 + = x n ( n = (n!! n x n. n! Kde poomer konvergencie radu je. Ke ºe arcsin( =, tak pre kaºdé x : x < máme arcsin(x = [ (n!! n n! x ] t n dt = (n!! n n!(n + xn+. (4 Bod / eºí vnútri oboru konvergencie radu (4 a patí: arcsin(/ = π/6 aebo inak π = 6 arcsin(/, preto máme a ²ie vyjadrenie pre íso π v tvare nekone ného radu: π = 6 (n!! 3n+ n!(n + (4.8 Ko ko enov radu (4 sta í vzia, aby sme zrátai íso π s presnos ou 4? Porovnajte s úohou.6..9 S vyuºitím (37 vypo íta hodnotu 3. Rie²enie: Postupujeme nasedovne A teraz vyuºijeme (37 s α = /3 a x = /4, máme { ( 3 = 3 +! ! n (3n ( n! n. ( 3 = (8 + /3 = + /3. 4 ( 3 ( 5 3 3! ( 3 ( 5 3 4! ( } =

39 V rie²ení sme pouºii rozkad = 8 +, kde sme boi motivovaný tým, ºe 3 8 =. Takýchto rozkadov desiatky je pravda nekone ne ve a. Niektoré sú pouºite ne niektoré nie. Vezmime dva rozkady: = ( + 9 /3 ( = 4 7 /3. 3 Prvý z nich je z poh adu formuy (37 nepouºite ný nako ko 9 > - teda sme mimo oboru konvergencie radu (37. Druhý prípad je síce teoreticky v poriadku, ae je to hor²ia vo ba ako vy²²ie podané rie²enie, ebo zomok 7/3 je uº moc bízko k jednej (a ako vidíme, zbyto ne bízko k jednej.. Rozoºte do Tayorovho radu funkciu (tzv. integrány sínus - nie je to eementárna funkcia Si(x = Rie²enie: Podintegrána funkcia má Tayorov rad x sin(t dt. t sin(t t = t ( n (n +! tn+ = ( n (n +! tn, ktorého poomer konvergencie je - ako sa ahko moºno presved i. Preto tento rad konverguje rovnomerne v kaºdom ohrani enom intervae a preto moºno zameni integrovanie a sumáciu: [ x ] ( n ( n x Si(x = (n +! tn dt = t n ( n dt = (n +! (n + (n +! xn+. Poomer konvergencie tohoto radu je samozrejme tieº. Graf funkcie Si je na obrázku. Si x x Obr. : Graf integráneho sínusu; je to nepárna funkcia, dá sa ukáza, ºe im x Si(x = π.. Nájdite hodnotu C = s presnos ou 3. (Jedná sa o tzv. Cataanovu kon²tantu. arctan(x dx (43 x Rie²enie: Rozoºíme podintegránu funkciu do Tayorovho radu, pri om vyuºijeme, ºe uº poznáme rozkad funkcie arctan(x: arctan(x x = 39 ( n n + xn.

40 Poomer konvergencie tohoto radu je ae naviac v bode x = + tento rad konverguje - pod a Leibnitzovho kritéria - toto zaru uje, ºe íso C môºeme po íta takto: [ ] ( n ( n C = n + xn dx = n + x n dx = ( n (n +. Takºe zatia máme Cataanovu kon²tantu v tvare nekone ného radu. Ten teraz treba zosumova s poºadovanou presnos ou. Vyuºijeme, ºe sa jedná o rad eny ktorého striedajú znamienka a ich moduy monotónne kesajú k nue. Preto ohad chyby N tého iasto ného sú tu je C N = R N N ( n (n + (N + 3. Pod a na²ej poºiadavky máby R N 3, preto ak vezmeme N aspo bude to sta i a dostaneme N = 6 3 C Rie²enie diferenciánych rovníc pomocou poten ných radov. Nájdite rie²enie diferenciánej rovnice vyhovujúce zadaným po iato ným podmienkam v tvare poten ného radu y (x + y(x =, y( =, y ( =. Rie²enie: Táto úoha je iste vysvet ujúca princíp, nako ko zadaná diferenciána rovnica má známe (a jednoduché rie²enie v tvare eementárnych funkcií, menovite jej obecné rie²enie je y(x = C cos(x + C sin(x a rie²enie vyhovujúce zadaným podmienkam v bode je samozrejme y(x = sin(x. Vysvetíme si v²ak ako dôjs k tomuto výsedku pouºitím poten ných radov. Predpokadajme rie²enie v tvare radu y(x = a n x n. Na²ou úohou je vastne nájs ísa a n. To znamená, ºe ( y (x = a n x n = (a n x n = n(n a n x n. n= Tieto výrazy dosadíme do avej strany zadanej rovnice a upravíme a n x n + n(n a n x n = a n x n + (n + (n + a n+ x n = [a n + (n + (n + a n+ ] x n. n= 4

41 My²ienka rie²enia je teraz v tom, ºe rovnos : α n x n =, ktorá mápati pre kaºdé x z nejakého intervau znamená, ºe v²etky ísa α n sú rvné nue. V na²om prípade máme rovnos [a n + (n + (n + a n+ ] x n = a n + (n + (n + a n+ = ( n {,,,... }, ktorá predstavuje rekurentný predpis na výpo et koecientov a n, menovite a n a n+ = (n + (n +. (44 aej musíme zoh adni zadané po iato né podmienky na funkciu y(x. To urobíme z deni ného vz ahu pre Tayorov rad funkcie y(x: y(x = y (n ( x n = n! a n x n a n = y(n (. n! No a mi m me zadané, ºe y( = a y ( y ( ( =, takºe to znamená, ºe a = a =. No a teda rekurentná formua (44 nám dáva: a =, a 4 =, a 6 =,... a k = a 3 = 3, a 5 = 3 4 5, a 7 = ,... a k+ = ( k (k +!, kde k {,,, 3,... }. Takºe náne máme rie²enie rovnice vyhovujúce po iato ným podmienkam ( n y(x = (n +! xn+, o pravda nie je ni iné (vi (35, ako Tayorov rad funkcie sin(x, t.j. y(x = sin(x..3 Nájdite rie²enie diferenciánej rovnice sp ajúce zadané po iato né podmienky v tvare poten ného radu so stredom v bode : Rie²enie: h adáme rie²enie v tvare radu ( xy (x + xy y =, y( =, y ( =. n= y(x = a n x n. avá strana zadanej diferenciáne rovnice teda je rovná ( xy (x + xy y = ( x n(n a n x n + x na n x n a n x n = n= n=3 n(n a n x n n(n a n x n + na n x n a n x n = (a a + n(n a n x n n(n a n x n + na n x n a n x n = (a a + [(n + (n + a n+ (n + na n+ + (n a n ] x n, 4 n= n=

42 takºe musíme spni rekurentné vz ahy: a a = (n + (n + a n+ (n + na n+ + (n a n =, n {,,, 3,... }. (45 ku ktorým pristupujú po iato né podmienky: a =, a =. Z prvého zo vz ahov (45 máme, ºe a = / a aej pomocou druhého dostávame: takºe n a n+ = (n + (n + a n + n n + a n+, a =, a 3 = 6, a 4 = 4, a 5 =,... Tieto ísa napovedajú, ºe by moha pati formua a naozaj a n =, n {,,, 3,... } n! n (n + (n + n! + n n + (n +! = (n +! [ n + n] = (n +!. Takºe rie²enie na²ej úohy je (s vyuºitím (34:.4 Nájdite rie²enie diferenciánej rovnice v tvare poten ného radu so stredom v bode. Rie²enie: Predpokadáme teda rie²enie v tvare n! xn = e x. x y (x + xy (x + (x y(x = y(x = Dosadením do avej strany zadanej rovnice máme x n= n(n a n x n + x na n x n + x n= a n x n. a n x n n= a n x n = n(n a n x n + na n x n + a n x n+ a n x n = a + n(n a n x n + na n x n + a n x n+ a n x n = a + [n(n a n + na n + a n a n ] x n [ = a + an (n ] + a n x n. n= T.j. máme systé vz ahov pre koecienty a n : n= a = a n (n + a n =, 4 n= n=

43 z ktorých vidíme, ºe v²etky párne koecienty sú rovné nue, koecient a je ubovo ný a a ²ie nepárne koecienty vypo ítame z: Maou úpravou a n = n a n, n = k +, k {,, 3... }. a k+ = (k + a k = (k + (k a k 3 = (k + (k (k 3 a k 5 = (k + (k (k a = (k + (k (k(k (k (k a = Vyuºijúc e²te máme Takºe h adané rie²enie je a k+ = y(x = a (k!! = k k! k= Graf tejto funkcie s výberom a = je na obrázku 3. ( k k k!(k +! a. ( k k k!(k +! xk+. ( k (k +!!(k!! a Obr. 3:.5 Nájdite rie²enie diferenciánej rovnice y (x + xy(x =, ktoré vyhovuje po iato ným podmienkam y( =, y ( = v tvare poten ného radu so stredom v bode. Rie²enie: Predpokadáme teda, ºe rie²enie sa rozkadá do radu y(x = a n x n. 43

44 Dosadením do avej strany rovnice máme n(n a n x n + a n x n+ = a + n(n a n x n + a n x n+ = n= a + [(n + 3(n + a n+3 + a n ] x n+. n=3 Takºe koecienty a + n musia vyhovova rekurentným vz ahom a = (n + 3(n + a n+3 + a n =, ktoré, spou s po iato nými podmienkami, hovoria, ºe nenuové sú en koecienty: a rie²enie je a = a 4 = 4 3 Graf rie²enia je na obrázku 4. a 7 = y(x = x 4 3 x x7 a = x ( Obr. 4: Graf funkcie (46 pre kadné hodnoty jej argumentu..6 Vyrie²te v tvare poten ného radu diferenciáne rovnice spou s po iato nými podmienkami: a y (x + xy (x + y(x =, y( =, y ( = b ( x y (x xy (x =, y( =, y ( = c y (x + xy(x =, y( =, y ( = y ( = d y (x + xy (x =, y( =, y ( = y ( = e y (x + xy (x + y(x = + x 3, y( = y ( = f ( x y (x xy (x = x 3, y( = y ( =.7 Ktoré z nasedovného je/nie je pravda o funkcii (46: je párna je nepárna nie je párna ani nepárna je periodická 44