bakalarska_praca

Veľkosť: px
Začať zobrazovať zo stránky:

Download "bakalarska_praca"

Prepis

1 Univerzita arlova v Praze Matematico-fyziální faulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matúš epič Využití internetu ve výuce goniometricých rovnic a nerovnic atedra didatiy matematiy Vedoucí baalářsé práce: RNDr. Robová Jarmila, CSc. Studijní program: Geografie Studijní obor: Geografie a matematia se zaměřením na vzdělávání 00

2 Rád by som poďaoval vedúcej práce, paní RNDr. Jarmile Robovej, CSc., za vedenie, rady, podporu a trpezlivosť pri tvorbe baalársej práce. Ďalej by som rád poďaoval pánovi RNDr. Ing. Jaroslavovi Richterovi za užitočné rady ohľadom tvorby webových stráno. Tatiež ďaujem celej svojej rodine a priateľom za podporu pri tvorbe baalársej práce. Prehlasujem, že som svoju baalársu prácu napísal samostatne a výhradne s použitím citovaných prameňov. Súhlasím s jej zapožičiavaním. V Prahe dňa 7. júla 00 Matúš epič

3 Obsah Obsah... Abstrat... Úvod...5. Úvodná časť Použitie strány Použité symboly a značy...6. Teória Goniometricé funcie Záladné vlastnosti goniometricých funcií Grafy goniometricých funcií Vzorce Prehľad záladných tabuľových hodnôt Vzorce pre goniometricé funcie Goniometricé rovnice..... Goniometricé nerovnice.... Goniometricé rovnice..... Záladné goniometricé rovnice..... Zložitejšie goniometricé rovnice...7. Goniometricé nerovnice Záladné goniometricé nerovnice Zložitejšie goniometricé nerovnice Testy...9 Záver...5 Literatúra...5 Naladanie s prácou...55

4 Abstrat Název práce: Využití internetu ve výuce goniometricých rovnic a nerovnic Autor: Matúš epič atedra: atedra didatiy matematiy Vedoucí baalářsé práce: RNDr. Jarmila Robová, CSc. vedoucího: robova@arlin.mff.cuni.cz Abstrat: Táto práca slúži ao výuový materiál pre žiaov a učiteľov stredných šôl. Zaoberá sa učivom o goniometricých rovniciach a nerovniciach. Práca obsahuje teoreticú časť, de sú zrozumiteľne vysvetlené záladné teoreticé poznaty o goniometricých rovniciach a nerovniciach. Dôraz je ladený na praticú časť, torá obsahuje vzorové riešené prílady a úlohy určené precvičovaniu, toré sú doprevadzané roovaným riešenim. Práca má formu webovej strány, obsahuje interatívne prvy (napr. roované riešenia, testy s výberom z viacerých možnosti). Súčasťou práce je priložené CD, de je celá práca vo formáte.pdf. Práca je voľne dostupná na internete. ľúčové slova: goniometricé funcie, goniometricé rovnice, goniometricé nerovnice Abstract Title: Use of internet in teaching of goniometric equations and inequalities Author: Matúš epič Department: Department of Mathematics Education Supervisor: RNDr. Jarmila Robová, CSc. Supervisor's address: robova@arlin.mff.cuni.cz Abstract: This wor serves as a teaching material for pupils and teachers of secondary school. It deals with subject of goniometrical equations and inequalities. The wor contains a theoretical part where is clearly explained the basic theoretical nowledge of the goniometrical equations and inequalities. The emphasis is on practical section that contains the solved examples and the problems for practice which is accompanied by stepping solution. The wor has a form of a web application, contains interactive elements (for example. step-bystep solution, multiple choice tests). It is freely accessible on the Internet. The wor is accompanied by a CD, where is this thesis in.pdf format. eywords: trigonometric functions, goniometrical equations, inequalities goniometrical

5 Úvod Goniometricé rovnice a nerovnice patria medzi náročnejšie časti učiva matematiy na stredných šolách. Veľa žiaov máva problémy s touto apitolou a medzery, toré si žiaci často vybudujú nedostatočným pochopením goniometricých rovníc a nerovníc, ich sprevádzajú v ďalšiom štúdiu na strednej šole, poprípade na vysoých šolách. Práve vysoé šoly pri prijímacích pohovoroch často vyžadujú výbornú znalosť riešenia goniometricých rovníc a nerovníc. Mojím cieľom je práve preto vytvoriť interatívnu webovú stránu zameranú na výuu goniometricých rovníc a nerovníc, torá by pomohla žiaom lepšiemu pochopeniu tohto učiva. Webová strána pozostáva z dvoch hlavných časti. Prvá časť si ladie za cieľ oboznámiť uživateľa so záladnými teoreticými poznatami o goniometricých rovniciach a nerovniciach, toré sú potrebné správnej apliácií pri riešení príladov. Druhá časť je venovaná samotným príladom a úloham určeným precvičovaniu, toré sú obohatené roovaným riešením. Z dôvodu rozsiahlejšej práce som v tomto texte rozobral vždy len prvú úlohu, ostatné úlohy sú dostupné na internete. Dôraz je ladený na riešené prílady, metódy riešenia príladov v súvislosti s vlastnosťami goniometricých funcií. Prílady sú radené od jednoduchších zložitejším. Súčasťou práce je aj apitola venovaná testom, de si môžu žiaci precvičiť svoje zísané znalosti formou testu s výberom z viacerých možností. Táto práca je voľne prístupná na internete, čo poladám za veľmi dôležité, eďže v dnešnej dobe stále viac žiaov využíva štúdiu práve internet. Práca má veľmi blízo môjmu študijnému zameraniu, didatie matematiy, čo bolo pre mňa veľou motiváciou, eďže sám môžem prispieť niečim, čo môže pomôcť žiaom pri pochopení matematicého učiva. Informatia nie je mojim študijným zameraním, ale pochopenie záladných znalosti tvorby webových stráno je pre mňa motivujúce, eďže sa mi to môže hodiť v budúcej profesií. Dúfam, že táto práca bude pre žiaov prínosná a pomôže im pochopeniu riešení goniometricých rovníc a nerovníc. Webová apliácia je dostupná na adrese: 5

6 . Úvodná časť.. Použitie strány Táto webová strána obsahuje navigáciu umiestnenú na ľavom oraji, torá je súčasťou aždej časti. Práca je členená na teoreticú a praticú časť. Súčasťou práce sú interatívne prvy v rôznej podobe: Súčasťou práce sú interatívne prvy v rôznej podobe: a) formou odazov, toré sú podčiarnuté, naprílad odaz na súčtové vzorce, alebo odaz určený pre návrat na začiato strány (pre návrat na začiato stlač => hore) b) formou roovaných riešení, toré sa objavujú pri úlohach určených precvičovaniu Pre väčšiu pozornosť je táto poznáma vyznačená farebným ramčeom. c) v testoch, toré sú určené precvičovaniu zísaných znalosti, a to v dvoch podobách: - testy s výberom z viacerých možnosti: A B C - testy s výberom medzi možnosťami "ano", "nie": ANO NIE - tlačídlo slúži vymazaniu predchádzajúcich odpovedi a možnosti opätovného testovania.. Použité symboly a značy Zoznam použitých matematicých symbolov a značie Z R množina všetých celých čísel množina všetých reálnych čísel a < b číslo a je menšie ao číslo b a b číslo a je menšie alebo rovné ao číslo b a > b číslo a je väčšie ao číslo b a b číslo a je väčšie alebo rovné ao číslo b a A, a A a je prvom množiny A, a nie je prvom množiny A A B prieni množín A, B A B zjednotenie množín A, B 6

7 U Z A zjednotenie všetých množín prázdna množina p q onjuncia, p a zároveň q p q disjuncia, p alebo q A, de Z p q p impliuje q, z p plynie q p q p je evivalentné s q, p práve eď q a absolútna hodnota čísla a 7

8 . Teória V tejto apitole si uvedieme prehľad záladných vlastností goniometricých funcií a vzťahov medzi nimi, tatiež sa môžme dovzedieť záladné tabuľové hodnoty goniometricých funcií a uvedieme si záladné definície goniometricých rovníc a goniometricých nerovníc... Goniometricé funcie... Záladné vlastnosti goniometricých funcií V tabuľe je uvedený prehľad najzáladnejších vlastnosti goniometricých funcií, toré využívame pri riešení príladov. Hodnoty argumentov uvádzame väčšinou v oblúovej miere. Goniometricá funcia sin x cos x tg x cotg x Definičný obor R R U ; Z U( ; ( ) ) Z Obor funčných hodnôt Najmenšia perióda ; ; R R Poznáma: Podrobnejšie informácie o goniometricých funciách môžme nájsť v diplomovej práci Goniometrie a trigonometrie. 8

9 ... Grafy goniometricých funcií Poznáma: Grafy goniometricých funcií sú zobrazené pre x na intervale ;. Graf funcie sínus Graf funcie osínus Graf funcie tangens Graf funcie otangens Pre návrat na začiato stlač => hore 9

10 .. Vzorce... Prehľad záladných tabuľových hodnôt sin x cos x 0-0 tg x 0 * 0 * 0 cotg x * 0 * 0 * Poznáma: Výraz * znamená, že pre dané x nie je funcia definovaná. Pre návrat na začiato stlač => hore.... Vzorce pre goniometricé funcie Záladné vzťahy medzi goniometricými funciami rovnaého argumentu Pre aždé x R platí: sin x cos x = Pre aždé reálne x, Z, platí: tg x cotg x = Goniometricé funcie dvojnásobného argumentu Pre aždé reálne číslo x platí: Pre aždé reálne číslo x platí: sin x = sin x cos x cos x = cos x sin Pre aždé reálne x ( ), x ( ), Z, x platí: tg tg x x = tg x Goniometricé funcie súčtu a rozdielu argumentov Pre aždé dve reálne čísla x a y platí: 0

11 ( x y) = sin x cos y cos x sin y sin sin cos ( x y) = sin x cos y cos x sin y ( x y) = cos x cos y sin sin y ( x y) = cos x cos y sin x sin y cos Pre aždé dve reálne čísla, de x, tg ( ), y ( ), x y ( ), tg x tg y Z ( x y) tg x tg y = tg x tg y, platí: Pre aždé dve reálne čísla, de x y tg ( x y) ( ), tg x tg y, Z, tg x tg y = tg x tg y platí: Vzorce pre súčet a rozdiel hodnôt funcií sínus a osínus Pre aždé dve reálne čísla x a y platí: x y x y sin x sin y = sin cos x y x y sin x sin x = cos sin x y x y cos x cos y = cos cos x y x y cos x cos y = sin sin Goniometricé funcie poloviny argumentu Pre aždé reálne číslo x platí: x sin = cos x Pre aždé reálne číslo x platí: x cos x cos =

12 Pre aždé reálne číslo x ( ), Z, platí: x tg = cos x cos x Poznáma: Všety dôazy týchto záladných vzorcov môžme nájsť v diplomovej práci Goniometrie a trigonometrie. Pre návrat na začiato stlač => hore.. Goniometricé rovnice Definícia Goniometricými rovnicami nazývame rovnice, toré orem onštant obsahujú neznámu x alebo výrazy s neznámou x ao argumenty jednej alebo nieoľých goniometricých funcií. Prílad sin x cos x tg x = Záladnú goniometricú rovnicu s neznámou x nazývame rovnicou typu g(x)=, de g je goniometricá funcia a je reálne číslo. Prílad cos x = Vzhľadom u periodičnosti goniometricých funcií má aždá záladná goniometricá rovnica buď neonečne mnoho riešení (v prípade, že x R ) alebo riešením je prázdna množina. Na obmedzenom intervale má aždá záladná goniometricá rovnica onečný počet riešení, alebo riešením je prázdna množina.

13 .. Goniometricé nerovnice Definícia Goniometricými nerovnicami nazývame nerovnice, toré orem onštant obsahujú neznámu x alebo výrazy s neznámou x ao argumenty jednej alebo nieoľých goniometricých funcií. Prílad cos x sin x cos x Pre návrat na začiato stlač => hore

14 . Goniometricé rovnice V tejto časti si uvedieme rôzne metódy riešenia goniometricých rovníc. aždá časť obsahuje vzorové riešené prílady a zároveň veľa úloh precvičovaniu, toré sú obohatené riešením... Záladné goniometricé rovnice Riešenie záladných goniometricých rovníc je viditeľné priamo z grafov goniometricých rovníc a z tabuľových hodnôt, ao si to môžeme pozrieť na úvodných vzorovo vyriešených príladov. Úlohy venované záladným goniometricým rovniciam sú doprevadzané riešením, poprípade návodmi, toré sa zobrazia po linutí na príslušný prílad. Poznáma: Poiaľ argument x predstavuje veľosť uhla, môžme výsledo vyjadriť tiež v oblúovej alebo v stupňovej miere, naprílad = 90. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : sin x = Riešenie Riešenie je vidieť priamo z grafu funcie sínus: Pri pohľade na graf funcie sínus je vidieť, že pre x = a x = je na danom intervale ; funcia sin x =. Využitím periódy dostávame množinu riešení =,,,,,,. Množinu riešení budeme zapísovať stručnejším zápisom = U Z.

15 Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x = 0 Riešenie Pri riešení využijeme graf funcie osínus a zistíme, v torých hodnotách osínus nadobúda hodnoty 0. Pri pohľade na graf funcie osínus je vidieť, že pre x =, x =, x = a x = je na intervale ; funcia cos x = 0. Využitím periodičnosti funcie osínus, podobne ao v prvom prílade, dostávame riešenie rovnice v tvare = U Z. Pre návrat na začiato stlač => hore Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou sin x = Riešenie x R a výsledo zapíšte v stupňovej miere: Riešenie tejto úlohy je opäť viditeľné priamo z grafu funcie sínus a z tabuľových hodnôt funcie sínus: Platí, že pre x 0, je riešením 5 x =, pre x, je riešením x =

16 Funcia osínus je periodicá s periódou, obecné rieśenie je teda 5 = U ; Z 6 6 a výsledo v stupňovej miere je U{.60 ;50. } = Z Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x = 0,985 0 Poznáma: Funčné hodnoty uvádzame s presnosťou na desatinné miesta. Riešenie Použitím alulačy alebo matematicých tabulie pre osínus uhla v oblúovej miere dostávame riešenie x = 0,7 0 a x = 6,0 0, de Z. Použitím matematicých tabulie osínusu uhla v stupňovej miere dostávame riešenia x = a x = = Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = U{ , } Pre návrat na začiato stlač => hore Z Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte rovnice s neznámou t R : a) sin t = Z grafu a z tabuľových hodnôt plynie, že riešením je množina b) cos t = = U Z. 6

17 c) tg t = d) cotg t = cos t cos t e) = cos t f) Riešte rovnicu cos t = 0, 5 s neznámou t a výsledo zapíšte v stupňovej miere s presnosťou na minúty. g) Riešte rovnicu sin t = 0,987 6 s neznámou t na intervale 0 ; a výsledo zapíšte v oblúovej miere s presnosťou na dve desatinné miesta. Pre návrat na začiato stlač => hore.. Zložitejšie goniometricé rovnice Substitúcia na záladný typ Pomocou jednoduchej substitúcie y = x l alebo y = x l prevedieme zložitejšiu goniometricú rovnicu typu g ( x l) = alebo g ( l x) =, de g je goniometricá funcia s neznámou x a l, sú reálne čísla, na záladný typ goniometricých rovníc g ( y) =. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : sin x = Riešenie Zavedieme pomocnú substitúciu y = x a dostaneme rovnicu sin y =. 7

18 Z grafu je vidieť, že pre 7 5 y = ; ; ; je na intervale ; funcia sin y =. 7 Využitím periodičnosti funcie sínus dostávame riešenia y =, Z, 6 a y = ; Z. 6 Vrátime sa substitúcií a postupnou úpravou dostávame: 7 y = 6 7 x = / 6 x : 7 = ; Z (Prvé riešenie.) y = 6 x = / 6 : x = ; Z (Druhé riešenie.) Výsledné riešenie môžme zapísať v tvare 7 = U ; Z. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : ( x ) tg = Platí, že x ( ), Z. Riešenie Zavedieme substitúciu y = x a dostávame rovnicu tg y =. 8

19 Z grafu a zo záladných tabuľových hodnôt funcie tangens plynie, že pre y =, Z y dostávame x = /, je tg =. y Vrátime sa späť substitúcií y = x a po dosadení za x =. Postupnou úpravou dostávame: : x = (Riešenie.) 6 Výsledo zapíšeme v tvare Pre návrat na začiato stlač => hore = U Z 6. Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte rovnice s neznámou t R : a) cos t = Zavedieme substitúciu cos y = y = t. 9

20 Z grafu a zo záladných tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že y = 0. Vrátime sa substitúcií a postupnou úpravou dostávame: t = t =, Z. Výsledným riešením je množina = U Z. b) cos( t) = c) cos = 0 d) sin t = e) ( t ) tg = Pre návrat na začiato stlač => hore Substitúcia na vadraticú rovnicu Pomocou ďalšiej jednoduchej substitúcie prevedieme zložitejšiu goniometricú rovnicu, torá obsahuje goniometricú funciu v druhom alebo vo štvrtom stupni, na vadraticú rovnicu. Pri tomto type úloh často využívame vzorce pre goniometricé funcie. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x cos x = 0 Riešenie Zavedieme substitúciu cos x = y. Platí: y y = 0 Vypočítame disriminant vadraticej rovnice ax bx c = 0 pomocou známeho vzorca: 0

21 D = b a c V našom prípade: D = D = 9 ( ) ( ) Určíme riešenie vadraticej rovnice pomocou vzorca y, ± = y = a y = y, b ± D =. a Vrátime sa substitúcií cos x = y. Platí cos x =, čiže x = 0,. Ďalej Z cos x =, taže x =, x =, Z. Riešenie zapíšeme v tvare = U ; ; Z. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x = sin x Riešenie ( sin ) sin x = 0 x (Využili sme záladný vzorec sin x cos x =.) sin x sin x = 0 Zavedieme substitúciu sin x = a. Platí, že a a = 0. Vypočítame disriminant vadraticej rovnice a určíme riešenia rovnice podobne ao v predchádzajúcom prílade. D =

22 D = Riešenia vadraticej rovnice teda sú: a, ± = a =, a = Vrátime sa substitúcií sin x = a. V prvom prípade dostávame sin a = odiaľ a =. 7 V druhom prípade je sin a = odiaľ a = a a =. 6 6 Riešenie je vidieť z grafu a z tabuľových hodnôt funcie sínus, postupujeme podobne ao v príladoch predchádzajúcej apitoly. Výsledné riešenie zapíšeme v tvare 7 = U ; ; Z 6 6. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : tg x cotg x = Riešenie Použijeme vzorce sin cos x cos x sin sin x cos x tg x = a cotg x =. cos x sin x x = x Aby výrazy v rovnici boli definované, musí platiť podmiena: cos x 0 x a sin x 0 x, de Z. Upravíme rovnicu do najjednoduchšieho tvaru s využitím spoločného menovateľa. sin x cos x = cos sin sin x sin x ( cos x) x cos x = cos x (Použili sme vzorec sin x cos x =. ) x cos x = cos x cos x

23 Platí, že ( ) ( ) sin x = sin x = cos x. ( cos x ) 7 cos x cos x = 0 cos x cos x 7 cos x cos x = 0 8cos x 6 cos x = 0 Zavedieme substitúciu cos x = t a dostaneme: 8t 6t = 0 Vyriešime vadraticú rovnicu (vypočítame disriminant a určíme orene vadraticej rovnice, vzorce pre výpočet disriminantu a oreňov vadraticej rovnice sú uvedené v prvom prílade danej apitoly). D = t ( 6) 8 = 6 ± = t = a t.8, = Vrátime sa substitúcií cos x = t a po dosadení za t dostaneme : cos x = cos x = ± (Odstránime odmocninu z menovateľa.) cos x = ± Z grafu a využitím periodičnosti funcie osínus dostávame pre oreň x a x : x = a x =, Z V druhom prípade po dosadení za t dostávame pre oreň x : cos x = cos x = ±

24 x = a x =, Z Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = U ; ; Z. Pre návrat na začiato stlač => hore Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte rovnice s neznámou t R : a) sin t cost = 0 ( cos ) cost = 0 t (Používame záladné vzorce.) cos t cost = 0 Zavedieme substitúciu cos t = y. y y = 0 (Vypočítame disriminant vadraticej rovnice a určíme riešenia rovnice, postupujeme ao vo vzorových príladoch tejto apitoly.) D = 5 y ± 5 = y = a y, = Vrátime sa substitúcií cos t = y a po dosadení za y dostávame: cos t t (Plynie z oboru funčných hodnôt funcie osínus.) = Dosadením za y zísame:

25 cos t = t = a t = (Využili sme graf a periodičnosť funcie osínus.) Výsledné riešenie napíšeme v tvare = U ; Z. b) sin t cos t sin t = 0 c) sin t sin t = 0 d) tg t cotg t = e) sin t tg t cos t 5 = 0 Pre návrat na začiato stlač => hore Dvojnásobný argument Pri tomto type úloh využívame vzorce pre dvojnásobný uhol, tatiež sa predpoladá znalosť predchádzajúcich typov úloh. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x sin x = 0 Riešenie cos x sin x cos x = 0 (Použili sme vzorec sin x = sin x cos x.) ( sin x) 0 cos x = (Vytnuli sme pred zátvoru funciu osínus.) Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). Odiaľ plynie: ( sin x) = 0 cos x = 0 ( sin x) 0 cos x = Prvá možnosť cos x = 0 5

26 Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos x = 0 pre x =, Z. Druhá možnosť sin x = 0 Úpravou dostaneme: sin x = Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že 7 sin x = pre x = a pre x =, Z. 6 6 Výsledné riešenie zapíšeme v tvare 7 = U ; ; Z 6 6. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : sin x cos x sin x = Riešenie sin x cos x cos x = sin x (Použili sme vzorec sin x = sin x cos x.) sin x cos x = cos x (Použili sme vzorec sin x cos x =.) ( sin x ) 0 cos x = Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). cos x ( sin x ) = 0 cos x = 0 ( sin x ) = 0 Prvá možnosť cos x = 0 Úpravou dostaneme: cos x = 0 6

27 Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos x = 0 pre x =, Z. Druhá možnosť sin x = 0 Úpravou dostaneme: sin x = Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že 5 sin x = pre x = a pre x =, Z. 6 6 Výsledné riešenie zapíšeme v tvare 5 = U ; ; Z 6 6. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : sin x cos x = Riešenie ( x sin x) = sin x cos x cos (Použili sme vzorce sin x = sin x cos x a cos x = cos x sin sin x cos x cos x.) x sin x = ( cos x) = sin x cos x cos x (Použili sme záladný vzorec sin x cos x =.) sin x cos x cos ( sin x cos x) 0 cos x = x = 0 7

28 Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). ( sin x cos x) = 0 cos x = 0 ( sin x cos x) 0 cos x = Prvá možnosť cos x = 0 Úpravou dostaneme: cos x = 0 Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos x = 0 pre x =, Z. Druhá možnosť sin x cos x = 0 Po úprave dostaneme: sin x = cos x Z grafu plynie, že sin x = cos x pre x =, Z. Výsledné riešenie zapíšeme v tvare Pre návrat na začiato stlač => hore = U ; Z. Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte rovnice s neznámou t R : a) sin t sin t = 0 8

29 sin t sin t cost = 0 (Používame vzorce pre dvojnásobný argument.) sin t ( cost) = 0 Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule.) ( cos ) 0 sin t ( cos t) = 0 sin t = 0 t = Prvá možnosť sin t = 0 sin t = 0 pre t = 0, Z (využitím grafu a tabuľových hodnôt funcie sínus) Druhá možnosť cost = 0 Po úprave dostaneme: cos t = cos t = pre t = pre t =, Z (využitím grafu a tabuľových hodnôt funcie osínus) Výsledné riešenia zapíšeme v tvare b) = cos t cos t c) sin t cos t = cos t d) ( cos t) sin t = cos t e) cos t = sin t sin t Pre návrat na začiato stlač => hore = U ; ; Z. 9

30 Súčet a rozdiel goniometricých funcií, súčtové vzorce Pri tomto type úloh využívame vzorce pre súčet a rozdiel goniometricých funcií, súčtové vzorce. Zároveň sa predpoladá znalosť predchádzajúcich typov úloh. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : ( 5x 5 ) sin x sin = Riešenie ( 5 5 ) sin x 0 sin x = (Využijeme = 90 5x x 5x x cos sin = 0 6x x cos sin = 0 5 =.) (Použili sme vzorec pre sin x sin y.) Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). 6x x 6x x cos sin = 0 cos = 0 sin = 0 6x Prvá možnosť cos = 0 Po úprave dostaneme: 6x cos = 0 Zavedieme substitúciu cos y = 0 6x = y a dostaneme: 0

31 Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos y = 0 pre y =, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu: 6x = 6 x = x =,. (Prvé riešenie príladu). 8 Z x Druhá možnosť sin = 0 Zavedieme substitúciu sin y = 0 x = y a dostaneme: Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie sínus plynie, že sin y = 0 pre y = 0, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu: x = x = x 5 =, Z (Druhé riešenie príladu.) 6

32 Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = U Z 5 ; 8 6. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : cos x = cos 7x Riešenie cos 7x cosx = 0 7x x 7x x cos cos = 0 (Použili sme vzorec pre cos x cos y.) cos5x cos x = 0 Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). ( cos5x = 0) cos 0 cos 5x cos x = 0 x = Prvá možnosť cos 5x = 0 Zavedieme substitúciu 5 x = y a dostaneme: cos y = 0 Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos y = 0 pre y =, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu: 5 x = Odiaľ zísame prvé riešenie príladu: x =, Z 0 5 Druhá možnosť cos x = 0 Zavedieme pomocnú substitúciu x = y a dostaneme:

33 cos y = 0 Z grafu a z tabuľových hodnôt funcie osínus plynie, že cos y = 0 pre y =, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu: x = Odiaľ dostávama druhé riešenie príladu: x =, Z Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = U Z ; 0 5. Prílad Riešte goniometricú rovnicu s neznámou x R : sin x = 5cos x Riešenie sin x cos cos x sin = 5 cos x cos sin x sin (Použili sme vzorce pre ( x y), cos( x y) sin.) sin x cos x = 5 ( cos x sin x) (Použili sme tabuľové hodnoty funcie sínus a osínus.) ( sin x cos x) = 5 ( cos x sin x) 0 = 5 0 = ( cos x sin x) ( sin x cos x) ( sin x cos x)

34 ( sin x cos x) = 0 Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). ( sin x cos x) = 0 sin x cos x = 0 Riešime teda rovnicu: sin x cos x = 0 sin x = cos x Z grafu funcií sínus a osínus plynie, že goniometricých funcií.) x =, Z (Využívame periodičnosť Výsledné riešenie zapíšeme v tvare Pre návrat na začiato stlač => hore = U Z. Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte rovnice s neznámou t R : a) cos ( t 60 ) = cos t cos ( t 60 ) cos t = 0 t 60 t t 60 t sin sin = 0 (Používame vzorce uvedené v apitole.) 5t t sin sin = 0 (Využijeme = =.)

35 5t t 5t t sin sin = 0 sin = 0 sin = 0 Využijeme vlastnosť, edy sa súčin rovná nule (aspoň, eď jeden činiteľ je rovný nule). 5t Prvá možnosť sin = 0 Zavedieme substitúciu sin y = 0 5t = y a dostaneme rovnicu: Z grafu funcie sínus je vidieť, že sin y = 0 pre y = 0, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu 5t = t =, Z 5 5 Druhá možnosť t sin Zavedieme substitúciu sin y = 0 = y t = y a dostaneme: 5

36 Z grafu funcie sínus je vidieť, že sin y = 0 pre y = 0, Z. Vrátime sa substitúcií a upravíme rovnicu: t = t =, Z 9 Výsledné riešenie zapíšeme v tvare b) sin t = sin0t c) sin t cos t = d) ( t 5 ) sin( t 5 ) sin = e) tg t tg t = 6 Pre návrat na začiato stlač => hore = U ; Z

37 . Goniometricé nerovnice V tejto časti sa budeme zaoberať riešením goniometricých nerovníc. Prílady sú opäť obohatené vzorovým riešením a úlohy určené precvičovaniu sú doprevadzané riešením po rooch, zobrazujúcich sa po linutí na posledný matematicý ro príladu. Pri riešení goniometricých nerovníc využívame znalosti zísané z riešenia goniometricých rovníc, riešenie je často viditeľné priamo z grafu daných funcií alebo z jednotovej ružnice, tatiež využívame záladné tabuľové hodnoty goniometricých funcií. Poznáma: Bližšie informácie o jednotovej ružnici môžme nájsť v diplomovej práci Goniometrie a trigonometrie... Záladné goniometricé nerovnice Riešenie záladných goniometricých nerovníc je viditeľné priamo z grafov goniometricých funcií, ao si to môžme pozrieť na úvodných vzorovo riešených príladoch. apitola obsahuje aj úlohy určené precvičovaniu, toré sú obohatené roovaným riešením. Pri riešení záladných goniometricých nerovníc sa predpoladá znalosť riešenia goniometricých rovníc, lineárnych a vadraticých nerovníc. Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x R : cos x > Riešenie Na tomto prílade si uážeme dve rôzne metody ao riešiť goniometricú nerovnicu. Prvá metóda V prvom prípade riešenie určíme pomocou jednotovej ružnice. 7

38 8 Z jednotovej ružnice je vidieť, že daná goniometricá nerovnica nadobúda riešenie v prvom a v štvrtom vadrante. Časť jednotovej ružnice znázornená červenou farbou odpovedá riešeniu danej goniometricej nerovnice. Výsledné riešenie môžme zapísať v tvare U Z = = ; ; 5, využívame podobne ao pri goniometricých rovniciach periodičnosť funcie osínus, platí 5 =. Druhá metóda V druhom prípade riešenie určíme pomocou grafu funcie osínus. Časť grafu znázornená červenou farbou odpovedá riešeniu danej goniometricej nerovnice. Využitim periodičnosti funcie osínus dostávame výsledné riešenie, toré zapíšeme v tvare. ; U Z = Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou : R x tg x

39 Riešenie Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmiena x ( ), Z. Z jednotovej ružnice je vidieť, že riešením je množina = U ;, pričom Z 6 platí, že v bode funcia tangens nie je definovaná, preto použijeme orúhlu zátvoru, naopa bod 6 patrí do riešenia, plynie zo zadania, preto použijeme uhlovú zátvoru. Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x R : 0 cotg x Riešenie Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmiena x, Z. 9

40 Využitím grafu a periodičnosti funcie otangens dostávame výsledo, torý zapíšeme v tvare = U ;. 6 Z Pre návrat na začiato stlač => hore Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte nerovnice s neznámou t R : a) sin x Využitím jednotovej ružnice dostávame riešenie, toré zapíšeme v tvare 9 = U ; = U ; Z Z. b) cos t c) cotg t < d) tg t 0 e) cost < cos Pre návrat na začiato stlač => hore 0

41 .. Zložitejšie goniometricé nerovnice Pri riešení zložitejších goniometricých nerovníc využívame znalosti, toré sme zísali pri riešení goniometricých rovníc a záladných goniometricých nerovníc. Postupnou úpravou prevedieme zložitejšiu goniometricú nerovnicu na záladný typ goniometricých nerovníc. apitola obsahuje vzorové vyriešené prílady a tatiež aj úlohy určené precvičovaniu, toré sú obohatené riešením. Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x R : sin x Riešenie Zavedieme pomocnú substitúciu y = x. sin y Situáciu zobrazíme na jednotovej ružnici: Využitím jednotovej ružnice dostávame riešenie y 5 ; 6 6 = 5 ;, Z. 6 6 Vrátime sa substitúcií 5 y = x, odiaľ plynie, že x ;. 6 6 Úpravou dostávame 5 x ;, Z.

42 Výsledné riešenie zapíšeme v tvare U Z =. ; 5 Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou : R x tg tg x Riešenie Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmiena ( ) Z x,. tg x (Použili sme tabuľovú hodnotu funcie tangens uvedenú v prehľade tabuľových hodnôt.) Z definície absolútnej hodnoty vyplýva tg tg x x. Poznáma: Bližšie informácie o absolútnej hodnote môžme nájsť v baalársej práci Záladní poznaty z matematiy na střední šole. Využitím grafu funcie a periodičnosti funcie tangens dostávame riešenie: Z x, ; ;. Výsledné riešenie zapíšeme v tvare U Z = ; ;.

43 Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x R : sin x > cos x Riešenie Využijeme graf funcie sínus a osínus: Časť grafu vyznačená červenou farbou zahŕňa riešenie danej nerovnice. Je vidieť, že riešením 5 pri využití periódy je množina = U ;. Z Prílad Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x 0; : cos x sin x < Riešenie cos x sin x sin x < (Použili sme vzorec cos x = cos x sin x.) ( sin ) sin x sin x < sin x (Použili sme vzorec sin x cos x =.) x sin x < sin x sin x < 0 ( sin x ) 0 sin x < (Využijeme vlastnosť, edy je súčin dvoch čísel menší ao nula.) ( sin x ) < 0 (sin x < 0 sin x > 0) (sin x > 0 sin x 0) sin x < Riešenie sa nám rozdelí na dva prípady. Prvá možnosť sin x < 0 sin x > 0 Uvažujme prvú časť: sin x < 0 Situáciu znázornime na jednotovej ružnici:

44 Z jednotovej ružnice plynie, že sin 0 pre x Uvažujme druhú časť prvej možnosti: sin x > 0 sin x > sin x < x <, odiaľ (, ). Z jednotovej ružnice plynie, že = = ( ; ) 5 sin x < pre x, odiaľ = 0; ;. 6 6 Druhá možnosť sin x > 0 sin x < 0 Uvažujme prvú časť: sin x > 0

45 Z jednotovej ružnice plynie, že sin x > 0 pre Uvažujme druhú časť druhej možnosti: sin x < 0 sin x < sin x > x, odiaľ ( 0; ). = 5 Z jednotovej ružnice plynie, že sin x > 0 pre x, odiaľ = ;. 6 6 = 5 = ; 6 6 = (Celově riešenie je zjednotením dvoch čiastových.) Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = ; ( ; ) 5

46 Prílad 5 Riešte goniometricú nerovnicu s neznámou x R : sin x 5cos x 0 Riešenie ( cos ) 5cos x 0 x (Použili sme vzorec sin x cos x =.) cos x 5cos x 0 Zavedieme substitúciu cos x = a. a 5a 0 (Určíme disriminant a orene odpovedajúcej vadraticej rovnice.) D = 5 = 9 5 ± 9 5 ± a, = = a = a a =. Nájdené orene využijeme tomu, aby sme vadraticý trojčlen v nerovnici rozložili na súčin. a ( a ) 0 (Vrátime sa substitúcií cos x = a.) ( cos )( cos x ) 0 x (Využijeme vlastnosť, edy je súčin dvoch čísel väčší ao nula). ( cos x )( cos x ) 0 ( cos x 0 cos x 0) ( cosx 0 cosx 0) Riešenie sa nám rozdelí na dva prípady. Prvá možnosť cos x 0 cos x 0 Po úprave dostaneme: cos x cos x, odiaľ plynie, že cos x Situáciu si znázorníme na jednotovej ružnici. 6

47 Využitím jednotovej ružnice a periodičnosti funcie osínus, platí =, dostávame riešenie, toré zapíšeme v tvare U = ;. Z Druhá možnosť cos x 0 cos x 0 Po úprave dostaneme: cos x cos x, odiaľ plynie, že cos x cos x x (Plynie z oboru funčných hodnôt funcie osínus.) Odiaľ plynie, že množina oreňov je prázdna, čo matematicý zapíšeme ao =. = (Celově riešenie je zjednotením dvoch čiastových). Výsledné riešenie zapíšeme v tvare Pre návrat na začiato stlač => hore = U ;. Z Úlohy Riešenia jednotlivých úloh sa zobrazujú po rooch, linutím myšou na posledný matematicý ro príladu. Riešte nerovnice s neznámou t R : a) cos t > 7

48 Zavedieme substitúciu y = t. cos y > Z jednotovej ružnice je vidieť, že riešenim je y ;, Z. Vrátime sa substitúcií t ; y = t. t ;, Z Výsledné riešenie zapíšeme v tvare = U ;. Z b) sin t < cos 6 c) tg t cotgt d) sin t cost e) cos t sin t 0 Pre návrat na začiato stlač => hore 8

49 5. Testy Táto apitola je venovaná testom, toré služia zopaovaniu učiva preberaného v predchádzajúcich apitolách. Testy sú doprevádzané výsledom, torý sa zobrazí po linutí na danú možnosť. Úloha Priraď správnu funčnú hodnotu: Úloha Určí riešenie danej rovnice s neznámou x R : a) cos x = U{ 0 } = Z 9

50 50 U Z = U{ } Z = b) sin = x U Z = 6 5 ; 6 U Z = ; U Z = ; c) 0 tg = x U{ } Z = U Z = U{ } Z = d) cotg = x U Z = U Z = U Z =

51 Úloha Zisti aému zadaniu odpovedá červenou farbou vyznačené riešenie na jednotovej ružnici: a) sin x cos x > sin x > b) sin x 0 cos x > 0 cos x < 0 5

52 c) cos x tg x cotg x Úloha Rozhodni, či dané tvrdenie je pravdivé: a) sin = 6 b) Funcia sínus je pre x R nepárna. c) Funcia tangens je pre x R neohraničená. d) Funcia otangens je pre x R rastúca na celom definičnom obore. e) Funcia osínus je pre x R neohraničená. f) cos80 = g) tg = 0 h) cotg x = sin cos x x 5

53 Záver V baalársej práci som sa snažil vytvoriť interatívnu webovú stránu zameranú na výuu goniometricých rovníc a nerovníc. Učebný text bol doprevádzaný záladnými teoreticými poznatami, na toré boli viazané samotné prílady. Dôraz bol ladený práve na riešené prílady, rôzne metódy riešenia v súvislosti s vlastnosťami goniometricých funcií. Prílady boli radené od jednoduchších po zložitejšie, pričom aždá časť obsahovala úlohy určené precvičovaniu, na torých si môžu žiaci precvičiť svoje nadobudnuté vedomosti. Pri vymýšľaní príladov som sa inšpiroval použitou literatúrou uvedenou v zozname. Oceňujem hlavne, že daná práca je voľne prístupná na internete, eďže v dnešnej dobe veľa žiaov namiesto lasicých učebných textov využíva štúdiu práve internet. Z tohto dôvodu verím, že žiaci danú prácu ocenia a bude pre nich prínosná a pomôže im zvládnutiu tohto učiva. 5

54 Literatúra Zoznam použitej literatúry [] Bartsch H. J.(000): Matematicé vzorce. Mladá fronta, Praha. [] ováči J. a ol. (006): Řešené přílady z matematiy pro střední šoly. Aspi, Praha. [] ubát J. (00): Sbira úloh z matematiy pro přípravu přijímacím zoušám na vysoé šoly. Prometheus, Praha. [] Odváro O. (99): Matematia pro gymnázia - goniometrie. Prometheus, Praha. [5] Partiová. - Reiterová M. (005): Nová maturita - Matematia. Príroda, Bratislava. [6] Petáová J. (998): Matematia - příprava maturitě a přijímacím zoušám na vysoé šoly. Prometheus, Praha. [7] Polá J. (977): Přehled středošolsé matematiy. Státní pedagogicé naladatelství, Praha. [8] Retorys. a spolupracovníci (000): Přehled užité matematiy I. Prometheus, Praha. 5

55 Naladanie s prácou Súhlasím s vystavením svojej práce na webových stránach atedry didatiy matematiy MFF U v Prahe. Ďalej súhlasím s jej nesoršími úpravami za účelom jej zapojenia do štrutúry matematicého portálu, torý vznine z tejto a podobných diplomových práci. Portál vytvorí a bude spravovať práve a jedine atedra didatiy matematiy MFF U, či osoba ňou poverená. Matúš epič 55

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc 6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4

Podrobnejšie

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť

Podrobnejšie

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný

Podrobnejšie

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie

Podrobnejšie

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť

Podrobnejšie

VZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY

VZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY 5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to

Podrobnejšie

Microsoft Word - Diskusia11.doc

Microsoft Word - Diskusia11.doc Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu

Podrobnejšie

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne

Podrobnejšie

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p 4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,

Podrobnejšie

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i

Podrobnejšie

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD. III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej

Podrobnejšie

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,

Podrobnejšie

Prijímacie skúšky kritériá pre školský rok 2018/2019 Študijný odbor 4236 M ekonomika pôdohospodárstva Prihlášky na štúdium v tomto študijnom odbore tr

Prijímacie skúšky kritériá pre školský rok 2018/2019 Študijný odbor 4236 M ekonomika pôdohospodárstva Prihlášky na štúdium v tomto študijnom odbore tr Prijímacie skúšky kritériá pre školský rok 2018/2019 Študijný odbor 4236 M ekonomika pôdohospodárstva Prihlášky na štúdium v tomto študijnom odbore treba doručiť do 20. 4. 2018 Prijímacie skúšky budú v

Podrobnejšie

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom 2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod

Podrobnejšie

1)

1) Prijímacia skúška z matematiky do prímy gymnázia s osemročným štúdiom Milá žiačka/milý žiak, sme veľmi radi, že ste sa rozhodli podať prihlášku na našu školu. Dúfame, že nasledujúce úlohy hravo vyriešite

Podrobnejšie

Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in

Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,

Podrobnejšie

Informačné technológie

Informačné technológie Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných

Podrobnejšie

Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, pp Persistent UR

Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, pp Persistent UR Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1988. pp. 68 75. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404183 Terms of use: Ivan Korec,

Podrobnejšie

Katalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške

Katalóg  cieľových požiadaviek  k maturitnej skúške CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020

Podrobnejšie

Microsoft Word - mpicv11.doc

Microsoft Word - mpicv11.doc 1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a

Podrobnejšie

Axióma výberu

Axióma výberu Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín

Podrobnejšie

Microsoft Word - Final_test_2008.doc

Microsoft Word - Final_test_2008.doc Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou

Podrobnejšie

Microsoft Word - skripta3b.doc

Microsoft Word - skripta3b.doc 6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak

Podrobnejšie

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu

Podrobnejšie

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel 10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia

Podrobnejšie

A 1

A 1 Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu

Podrobnejšie

Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc

Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc 3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky

Podrobnejšie

1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ

1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integrály vypoµcítajte pomocou základných pravidiel derivovania.

Podrobnejšie

Priebeh funkcie

Priebeh funkcie Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť

Podrobnejšie

EVOLUČNÁ ROBOTIKA

EVOLUČNÁ  ROBOTIKA Schéma evolučného experimentu Správca populácie mutácia ríženie selecia vyhodnotenie Schéma evolučného experimentu Premiestňovanie: pri prepínaní medzi dvomi jedincami v populácii sa robot náhodne premiestni

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c

Podrobnejšie

MO_pred1

MO_pred1 Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická

Podrobnejšie

Microsoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx

Microsoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď

Podrobnejšie

Testovanie Matematika Výsledky a analýza priemernej úspešnosti žiakov 9. ročníka ZŠ v testovaných oblastiach a v jednotlivých úlohách z matemat

Testovanie Matematika Výsledky a analýza priemernej úspešnosti žiakov 9. ročníka ZŠ v testovaných oblastiach a v jednotlivých úlohách z matemat Testovanie 9 2019 Matematika Výsledky a analýza priemernej úspešnosti žiakov 9. ročníka ZŠ v testovaných oblastiach a v jednotlivých úlohách z matematiky Test z matematiky riešilo spolu 37 296 žiakov 9.

Podrobnejšie

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4

Podrobnejšie

Relačné a logické bázy dát

Relačné a logické bázy dát Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.

Podrobnejšie

EVOLUČNÁ ROBOTIKA

EVOLUČNÁ  ROBOTIKA Schéma evolučného experimentu Správca populácie mutácia ríženie selecia vyhodnotenie Schéma evolučného experimentu Premiestňovanie: pri prepínaní medzi dvomi jedincami v populácii sa robot náhodne premiestni

Podrobnejšie

GPH MIchalovce

GPH MIchalovce KRITÉRIÁ prijímacích skúšok a termíny konania prijímacích skúšok do 1. ročníka na školský rok 2008/2009 v Gymnáziu Pavla Horova Michalovce V zmysle 4 ods. 1 Vyhlášky MŠ SR č. 145/1996 Zb. o prijímaní na

Podrobnejšie

Kriteria 2019

Kriteria 2019 Riaditeľ Súkromnej Spojenej školy EDUCO, Slanická osada 2178, Námestovo v súlade s 62 až 68 zákona NR SR č. 245/2008 Z. z. o výchove a vzdelávaní (školský zákon) a v súlade so zákonom NR SR č. 596/2003

Podrobnejšie

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011

Podrobnejšie

Metódy násobenie v stredoveku

Metódy násobenie v stredoveku 1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili

Podrobnejšie

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................

Podrobnejšie

Microsoft Word - Transparencies03.doc

Microsoft Word - Transparencies03.doc 3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú

Podrobnejšie

Stredné odborné učilište, Tovarnícka 1609, Topoľčany

Stredné odborné učilište, Tovarnícka 1609, Topoľčany Kritériá na prijatie uchádzačov v 1. kole do 1. ročníka študijných odborov pre šk. rok 2019/2020. V zmysle zákona č. 245/2008 Z. z. o výchove a vzdelávaní a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení

Podrobnejšie

Téma: Horolezecký algoritmus s učením (hill climbing with learning, HCwL), realizácia algoritmu pre hľadanie globálneho minima funkcií s binárnou repr

Téma: Horolezecký algoritmus s učením (hill climbing with learning, HCwL), realizácia algoritmu pre hľadanie globálneho minima funkcií s binárnou repr Téma: Horolezecý algoritmus s učením (hill climbing with learning, HCwL), realizácia algoritmu pre hľadanie globálneho minima funcií s binárnou reprezentáciou premennej. Predmet: Modelovanie a simulácie

Podrobnejšie

Microsoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia

Microsoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia Matice Užívateľská dokumentácia k programu Autor: Miroslav Jakubík 2009 Obsah 1 Úvod... 2 1.1 Stručný popis programu... 2 1.2 Spustenie programu... 2 1.3 Otvorenie dokumentu... 3 1.4 Ovládanie programu...

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:

Podrobnejšie

Matematika - úroven B.pdf

Matematika - úroven B.pdf MATURITA 008 EXTERNÁAS MATEMATIKA úrove B kód testu: 8940 NEOTVÁRAJTE, POKAJTE NA POKYN! PREÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma typmi úloh: Pri úlohách s

Podrobnejšie

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Vzdelávacia oblasť : Matematika a práca s informáciami Názov predmetu : Matematika Časový rozsah výučby : 4 hodiny týždenne, spolu 132 hod. Ročník : prvý Škola :

Podrobnejšie

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru 8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte

Podrobnejšie

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.

Podrobnejšie

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali

Podrobnejšie

prijimacky 2014 MAT 4rocne ver A.doc

prijimacky 2014 MAT 4rocne ver A.doc Priezvisko a meno: " Sem nepíš! Kód: M-A-4r Kód: M-A-4r 1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava Test z matematiky (verzia A 12. máj 2014) Pokyny pre žiakov 1. 2. Tento test obsahuje

Podrobnejšie

Microsoft Word - Priloha_1.docx

Microsoft Word - Priloha_1.docx Obsah 1 Úvod... 1 2 Hlavné menu verejnej časti ITMS2014+... 1 3 Zoznam ŽoNFP na verejnej časti ITMS2014+... 2 3.1 Vyhľadávanie ŽoNFP... 2 3.2 Horná lišta zoznamu ŽoNFP... 2 3.3 Stĺpce zoznamu ŽoNFP...

Podrobnejšie

Microsoft Word - MAT_2018_2kolo.docx

Microsoft Word - MAT_2018_2kolo.docx Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 17. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práva jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď

Podrobnejšie

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A

Podrobnejšie

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 6 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu Autor na obrazovke, potom zvolíme Užívateľskú úroveň Pokročilý

Podrobnejšie

(ıkolské kolo-PYT)

(ıkolské kolo-PYT) Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V

Podrobnejšie

S rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018

S rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku

Podrobnejšie

DIDKATICKÉ POSTUPY UČITEĽA

DIDKATICKÉ POSTUPY UČITEĽA DIDAKTICKÉ MYSLENIE A POSTUPY UČITEĽA OBOZNÁMENIE SA SO VŠEOBECNÝMI CIEĽMI VÝUČBY A PREDMETU UJASNENIE TÉMY V RÁMCI TEMATICKÉHO CELKU DIDAKTICKÁ ANALÝZA UČIVA KONKRETIZÁCIA CIEĽOV VO VZŤAHU MOŽNOSTIAM

Podrobnejšie

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).

Podrobnejšie

Funkcie viac premenných

Funkcie viac premenných Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie

Podrobnejšie

Kritéria prijatia žiakov na štúdium do prvého ročníka

Kritéria prijatia žiakov na štúdium do prvého ročníka Stredná odborná škola Ostrovského 1, 040 01 Košice Kritériá a ostatné podmienky prijímacieho konania pre prijatie žiakov 9. ročníka ZŠ na denné štúdium do prvého ročníka SOŠ, Ostrovského 1, Košice pre

Podrobnejšie

Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc

Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia

Podrobnejšie

ŠkVP_MAT

ŠkVP_MAT Súkromné Gymnázium DSA, Komenského 40, 083 01 Sabinov MATEMATIKA Učebné osnovy 3. september 2018 Názov predmetu Časový rozsah výučby Názov ŠkVP Názov ŠVP Stupeň vzdelania Dĺžka štúdia Forma štúdia Vyučovací

Podrobnejšie

Cirkevná stredná odborná škola sv. Jozafáta, Komenského 1963/10, Trebišov Tel.: 056/ , K R I T É R I Á a ostatné

Cirkevná stredná odborná škola sv. Jozafáta, Komenského 1963/10, Trebišov Tel.: 056/ ,   K R I T É R I Á a ostatné Cirkevná stredná odborná škola sv. Jozafáta, Komenského 1963/10, 075 01 Trebišov Tel.: 056/66702 11, e-mail: skola@csostv.sk K R I T É R I Á a ostatné podmienky prijatia na štúdium do prvého ročníka na

Podrobnejšie

Prehľad dôležitých podujatí

Prehľad dôležitých podujatí Ž I LI N S K Ý samosprávny kraj zriaďovateľ STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA LESNÍCKA A DREVÁRSKA Jozefa Dekreta Matejovie Hradná 534, 033 14 Liptovský Hrádok V zmysle zákona NR SR č. 245/2008 Z. z. o výchove a vzdelávaní

Podrobnejšie

Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a

Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.

Podrobnejšie

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit roo

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit roo Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Podrobnejšie

Stredná odborná škola technická, Kozmálovská cesta 9, Tlmače Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium)

Stredná odborná škola technická, Kozmálovská cesta 9, Tlmače Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium) Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium) 1. Počty žiakov a tried, ktoré možno prijať do prvého ročníka študijných odborov Podľa 65 ods. 1) Zákona č. 245/2008

Podrobnejšie

TECHNICKÁ UNIVERZITA VO ZVOLENE Organizačná smernica č. 5/2013 Podpora študentov a uchádzačov o štúdium so špecifickými potrebami Zvolen, 2013

TECHNICKÁ UNIVERZITA VO ZVOLENE Organizačná smernica č. 5/2013 Podpora študentov a uchádzačov o štúdium so špecifickými potrebami Zvolen, 2013 TECHNICKÁ UNIVERZITA VO ZVOLENE Organizačná smernica č. 5/2013 Podpora študentov a uchádzačov o štúdium so špecifickými potrebami Zvolen, 2013 TECHNICKÁ UNIVERZITA VO ZVOLENE Organizačná smernica č. 5/2013

Podrobnejšie

Stredné odborné učilište, Tovarnícka 1609, Topoľčany

Stredné odborné učilište, Tovarnícka 1609, Topoľčany Kritériá na prijatie uchádzačov v 1. kole do 1. ročníka študijných odborov pre šk. rok 2018/2019. V zmysle zákona č. 245/2008 Z.z. o výchove a vzdelávaní a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení

Podrobnejšie

Príloha k iŠkVp 2018/2019

Príloha k iŠkVp 2018/2019 Príloha k iškvp 2018/2019 Učebný plán pre 9. ročník ZŠ s MŠ Voderady Učebný plán pre 9. ročník Podľa tohto učebného plánu postupujú len žiaci 9. ročníka v školskom roku 2018/2019. Učebný plán pre 9. ročník

Podrobnejšie

Klasická metóda CPM

Klasická metóda CPM Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).

Podrobnejšie

UČEBNÉ OSNOVY

UČEBNÉ    OSNOVY UČEBNÉ OSNOVY Predmet: Matematika 8. 9. ročník (ISCED ) Charakteristika predmetu: Učebný predmet matematika na. stupni ZŠ je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky

Podrobnejšie

Prezentace aplikace PowerPoint

Prezentace aplikace PowerPoint Ako vytvárať spätnú väzbu v interaktívnom matematickom učebnom prostredí Stanislav Lukáč, Jozef Sekerák Implementácia spätnej väzby Vysvetlenie riešenia problému, podnety pre konkrétne akcie vedúce k riešeniu

Podrobnejšie

Vyhodnotenie dotazníkovej ankety vyučujúcich (učitelia + doktorandi) Obdobie dotazovania: 23. november január 2018 Odpovedalo 210 respondento

Vyhodnotenie dotazníkovej ankety vyučujúcich (učitelia + doktorandi) Obdobie dotazovania: 23. november január 2018 Odpovedalo 210 respondento Vyhodnotenie dotazníkovej ankety vyučujúcich (učitelia + doktorandi) Obdobie dotazovania: 23. november 2017-31. január 2018 Odpovedalo 210 respondentov z 492 oslovených 42,68 % Základné údaje Pohlavie

Podrobnejšie

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9

Podrobnejšie

ZvukPostup

ZvukPostup Postup merania B. Trpišová, J. Kúdelčík Úlohy: 1. Generovanie signálu 2. nalýza grafu signálu. Monofrekvenčný zvuk B. Rázy 3. Meranie rýchlosti zvuku vo vzduchu. Meranie rýchlosti zvuku z oneskorenia zvukového

Podrobnejšie

Photo Album

Photo Album MZDY Stravné lístky COMPEKO, 2019 V programe je prepracovaná práca s evidencoiu stravných lístkov. Z hľadiska dátových štruktúr je spracovanie stravných lístkov rozložené do súborov MZSTRLH.dbf a MZSTRLP.dbf,

Podrobnejšie

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 4. POKYNY PRE ADMINISTRÁTORA ELEKTRONICKÉHO TESTOVANIA ELEKTRO

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 4. POKYNY PRE ADMINISTRÁTORA ELEKTRONICKÉHO TESTOVANIA ELEKTRO Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ 4. POKYNY PRE ADMINISTRÁTORA ELEKTRONICKÉHO TESTOVANIA ELEKTRONICKÉ TESTOVANIE Zvyšovanie kvality vzdelávania na

Podrobnejšie

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 5 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program IP- COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu na obrazovke: Obr.1 Voľba úlohy na meranie Po kliknutí

Podrobnejšie

Microsoft Word - Praktikum_07.doc

Microsoft Word - Praktikum_07.doc 33 Praktikum 7: Lineárne optimalizačné úloh Cieľ: Grafick znázorniť množinu prípustných riešení, zobraziť účelovú funkciu, nájsť optimálne riešenie a interpretovať riešenie danej úloh. Metodický postup:

Podrobnejšie

Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tret

Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tret Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tretí Týždenne: 5 h ročne: 165 h 1 disponibilná hodina

Podrobnejšie

STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA LETECKO-TECHNICKÁ, Legionárska 160, Trenčín Kritériá prijatia žiakov na štúdium v SOŠ LT pre školský rok 2019/2020 Riadit

STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA LETECKO-TECHNICKÁ, Legionárska 160, Trenčín Kritériá prijatia žiakov na štúdium v SOŠ LT pre školský rok 2019/2020 Riadit STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA LETECKO-TECHNICKÁ, Legionárska 160, 911 04 Trenčín Kritériá prijatia žiakov na štúdium v SOŠ LT pre školský rok 2019/2020 Riaditeľ Strednej odbornej školy letecko-technickej v Trenčíne

Podrobnejšie

Prenosový kanál a jeho kapacita

Prenosový kanál a jeho kapacita Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a

Podrobnejšie

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka

Podrobnejšie

Intellectual Property, Psychology and Sociology

Intellectual Property, Psychology and Sociology Táto publikácia bola vytvorená realizáciou projektu Centrum poznatkovej organizácie duševného vlastníctva, ITMS 26220220054 na základe podpory operačného programu Výskum a vývoj financovaného z Európskeho

Podrobnejšie

Obsah

Obsah Faulta Matematiy, Fyziy a Informatiy Univerzita Komensého Bratislava Zložitostné aspety rádiových sietí Diplomová práca Diplomant: Vedúci diplomove práce: Františe Galčí RNDr. Rastislav Královič, PhD.

Podrobnejšie

Microsoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník

Microsoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte

Podrobnejšie

M59dkZ9ri10

M59dkZ9ri10 MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal

Podrobnejšie

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\)) 1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic

Podrobnejšie

Microsoft Word - Argumentation_presentation.doc

Microsoft Word - Argumentation_presentation.doc ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou

Podrobnejšie