Prednáška č.4 Kľúčové slová: poznávací proces študenta, motivácia, separované, univerzálne a abstraktné modely, kryštalizácia, automatizácia. Škola ni

Prepis

1 Predáška č.4 Kľúčové slová: pozávací proces študeta, motivácia, separovaé, uiverzále a abstrakté modely, kryštalizácia, automatizácia. Škola ie je miesto, kde by dieťa malo získať čo ajviac vedomostí bez akejkoľvek ámahy. Kocept školy hrou skôr žiada, aby škola využívala spotáe objavovaie schopostí dieťaťa, a tak ho motivovala k ámahe k vyakladaiu úsilia, ie však, aby ho od akejkoľvek ámahy ušetrila. Škola bez ámahy a úsilia ie je žiaduca: predovšetkým v škole sa totiž môže dieťaťu vštepiť základá kultúra usilovosti a sažeia sa o čokoľvek, ktorá je pre ašu civilizáciu potrebá. V. Jamka Cesta k pozatkovej štruktúre žiaka Učeie môžeme chápať v súlade s Jiřím Marešem ako proces koštruovaia pozatkových štruktúr. Takýto ázor korešpoduje s ázorom a matematiku ako a štruktúru pozostávajúcu z axióm, defiícií a viet podložeých dôkazmi. Osvojovaie matematických schopostí je úzko spojeé s duševým výkoom žiaka a jeho podstatou súčasťou je proces abstrakcie. Pozávací proces bol skúmaý mohými bádateľmi. V tejto predáške uvádzame koštruktívy prístup išpirovaý prácou M. Hejého. Vychádza z toho, že v pozávacom procese človek zväčša ajskôr víma a pochopí iekoľko kokrétych príkladov, všíma si a hľadá čo majú spoločé, až áslede dochádza k obecejším a abstraktým pozatkom.

2 Obrázok : Schéma pozávacieho procesu ABSTRAKTNÉ VEDOMOSTI Kryštalizácia. abstrakčý zdvih UNIVERZÁLNE MODELY. abstrakčý zdvih Motivácia SEPAROVANÉ MODELY Celú prvú fázu pozávacieho procesu a prechod k uiverzálym a abstraktým modelom musí sprevádzať ázorý prístup učiteľa, aby podporil vzik kvalitej predmetej predstavy matematického pojmu. Jadrom pozávacieho procesu sú dva metále zdvihy. Priebeh pozávacieho procesu, s uplateím pricípu ázorosti v ňom, prezetujeme a príklade zavedeia súčtu prvých - čleov aritmetickej postuposti. Učivo je zaradeé do výučby po vyučovacích hodiách, a ktorých

3 boli už vysvetleé pojmy: aritmetická postuposť, diferecia aritmetickej postuposti, vzťahy medzi člemi aritmetickej postuposti. Motivácia Môžeme začať prezetáciou aekdoty o slávom matematikovi K.F.Gaussovi, v ktorej sa hovorí, že keď avštevoval árodú školu, žiaci jeho triedy dostali za úlohu vypočítať súčet: = Učiteľ sa domieval, že si urobí krátku pauzu. Toto mu však zmaril žiak Gauss, ktorý sa vzápätí prihlásil so správym výsledkom Separovaé modely Separovaými modelmi sú v tomto prípade kokréte aritmetické postuposti. Necháme určovať žiakov súčty kokrétych aritmetických postupostí s meším počtom sčítacov. (apr.: = ) Ďalej im avrheme šikový spôsob zápisu podľa príkladu mladého Gaussa: (0.00) Teraz už zväčša sami študeti vypočítajú : s Nechajme žiakov overiť daý postup a ďalších typoch aritmetických postupostí; (apr. pre súčet čleov postuposti: -30; -7; -4;-;-8; -5; -; -9; -6; -3).. abstrakčý zdvih: Vyzveme študetov, aby zapísali vzťah pre čleov aritmetickej postuposti z príkladu o Gaussovi. Bez akýchkoľvek ťažkostí študeti avrhú vzorec a základe úvahy: Nakoľko s = = + ( - ) platí teda s = (+ ). ; ( ) odkiaľ dostávame: s. Uiverzále modely

4 Následe upozoríme študetov, že v predchádzajúcom prípade sa jedalo o špeciály typ aritmetickej postuposti s difereciou a prvým čleom a =, a že úvahu treba rozšíriť a obecý typ aritmetickej postuposti {a } s difereciou d a prvým čleom a. Aký tvar bude mať vzorec teraz? Úvahy študetov usmerňujeme otázkami ako: ktoré fakty o aritmetickej postuposti musia byť záme, aby sme mohli vypočítať súčet koečého počtu jej čleov? Môžeme vhode využiť aj geometrický model, pomocou ktorého prídeme ázore k vzorcu pre čleov aritmetickej postuposti, ak arysujeme jej čley ako obdĺžiky so šírkou a výškou rovajúcou sa hodote príslušého člea postuposti a. Obrázok. Súčet čleov aritmetickej postuposti S a a a a 4 a a 3 S a.. 3. ( -). Dvojásobok súčtu radu s sa rová obsahu obdĺžika s rozmermi () a (a + a ). Na základe obrázku študeti zapíšu hľadaý vzorec: s.( a ) a ( ) Na tomto mieste študeti koštatujú, že pre každú aritmetickú postuposť platí vzorec () čím prekoávajú druhý abstrakčý zdvih a vytvára sa u ich abstraktá vedomosť. Teraz je vhodé, aby učiteľ zaradil do výučby exaktý matematický dôkaz vzorca. Dôkaz. Zapíšeme súčet prvých čleov aritmetickej postuposti dvoma spôsobmi a áslede ich sčítame. Dostávame :

5 s s s ( a ) ( a )...( a ) Zo vzťahov pre súčet dvoch rôzych čleov aritmetickej postuposti vyjadríme: a r + a s = a r+ + a s- akoľko platí: a r+ = a r + d; a s- = a s d; zisťujeme, že všetky súčty v zátvorkách sa rovajú súčtu ( a + a )..( a Počet takýchto zátvoriek je práve. Dostávame teda vzorec : ) s Kryštalizácia. Pod týmto pojmom sa ukrýva začleeie ového pojmu do štruktúry matematických pojmov. V ašom kokrétom príklade ide o začleeie pojmu súčet koečého počtu čleov aritmetickej postuposti k tematickému celku postuposti, odhaleie súvislostí a prepojeia ového vzorca s už zámymi vzorcami z tohto tematického celku bolo ilustrovaé pri dôkaze. Ukázali sme, ako je možé pri zavádzaí ového pojmu zo stredoškolského učiva postupovať od kokréteho k abstraktému s použitím ázorých prostriedkov. Samozrejme, že ie vždy sa ám podarí, hlave a vyšších stupňoch vzdelávaia problém vizualizovať pomocou vhodého obrázku, vždy je však možé použiť apríklad kokréto-deduktívy alebo empirickokoštruktívy spôsob výkladu ového pojmu, ktorý apomáha pozávaciemu procesu žiaka. V asledujúcom bližšie teoreticky vysvetlíme pojmy, ktoré sa achádzajú v uvedeej schéme pozávacieho procesu žiaka. Motivácia Niekde medzi ľahostajosťou a vybičovaou aktivitou existuje optimála úroveň vzbudeia pozorosti, ktorá je pre učeie ajpriazivejšia...ako vzbudiť záujem dieťaťa o svet pojmov?...posiliť vútorý záujem o preberaé učivo, vštepovať žiakom zmysel pre objavovaie, prekladať to, čo mu chceme povedať a myšliekové formy a obrazy vlasté dieťaťu.... Pristupuj k vyučovaiu le vtedy, ak bola predtým u žiakov sile podieteá chuť učiť sa. (J. A. Komeský) Separovaé modely Sú etapou kokretizácie. Model tu chápeme ako metodologický prostriedok k tomu, aby sme sa zorietovali v situácii. Túto fázu pozávacieho procesu emožo bagatelizovať, akoľko zalosť, ktorá ie je opretá o žiade

6 separovaý (kokréty) model, o žiadu kokrétu predstavu, býva obvykle sile formála a práve takýmto zalostiam sa chceme pri výučbe matematiky vyhúť. Uiverzále modely Kým etapa separovaých modelov je vyslovee etapou hľadaia, je etapa uiverzálych modelov etapou achádzaia vzájomých súvislostí. Pomocou prvého metáleho zdvihu sa myšlieka posuie od kokréteho ku všeobecejšiemu; dostae sa a vyššiu úroveň. Uiverzály model má všeobecejší charakter ež ľubovoľý separovaý model, predstavuje už istý komplexý ávod, vzorec, či algoritmus riešeia problému. Pre etapu uiverzálych modelov je teda charakteristické isté zovšeobeceie kokréteho. Abstraktá vedomosť Abstrakté vedomosti sú v ajvyššom poschodí vzdelávacieho procesu. Doprajme žiakom zažiť pocit objavu, ktorý je aktom metálej koštrukcie. Preveďme ich po ceste objavu dvoma abstrakčými zdvihmi. Prvý zdvih pri budovaí pojmu je určitým zovšeobeceím kokrétej predstavy a dáva zrod uiverzálemu modelu. Druhý je už zbaveý predmetých predstáv je teda abstrakciou v pravom slova zmysle a rodí sa z eho abstraktá vedomosť. Automatizácia Štadardé matematické operácie, maipulatíve čiosti s číslami a matematickými objektmi (počítaie, precvičovaie rutiých výpočtov) sú výsledkom automatizácie a sú dôležitou súčasťou vyučovaia matematiky. Pri riešeí zložitejších matematických úloh je aša pozorosť zameraá predovšetkým a stratégiu riešeia problému. Táto čiosť vyžaduje vysoké itelektuále asadeie. Na druhej strae kalkulatíve kroky robíme s epatrým výdajom duševej eergie, pretože úpravy číselých a algebrických výrazov máme zautomatizovaé. Cieľom vyučovaia matematiky má byť predovšetkým rozvoj kogitívych schopostí žiaka a preto treba ájsť správu mieru medzi kladeím dôrazu ato, aby sme aučili žiakov počítať a aby sme pritom súčase eobetovali tomuto cieľu to podstaté rozvoj kogitívej štruktúry žiaka.