Microsoft Word - Galina.Horáková.doc

Prepis

1 Výška optmáleho vlastého vrubu posťovateľa Gala Horáková Abstrakt Ceľom príspevku je uvesť ektoré metódy určea čast rzka za ktorú ručí posťovateľ v rámc staovea reťazca optmálych zasťovacích ochrá. Vo všetkých prípadoch je použtý postup založeý a použtí aparátu kolektíveho modelu rzka, metodke skladaa zasťovacích ochrá a staovea fukce celkových ákladov a zskov Kľúčové slová Kolektívy model rzka, zastee, kvótové zastee, zastee excess of loss, vlastý vrub, prorta, Lagrageova metóda multplkátorov, optmále ručee. Úvod Solvetosť posťovateľa možo charakterzovať ako jeho vlastosť plť prjaté posté záväzky. Metodka, ktorá umožňuje posúdť, č stav posťove je zárukou plea prjatých záväzkov, resp. že stav posťove vyžaduje potrebé zásahy a dosahute očakávaého stavu, sa azýva vykazovae solvetost. Jedou z hlavých charakterstík Solvecy II, rysujúcej sa zmey v posťovíctve, je systematcký prístup k radeu rzík s dôrazom a tvorbu terých modelov a výpočet kaptálových požadavek, ktoré budú preverovaé a schvaľovaé regulátorom. Obece teré modely majú za ceľ obrátť pozorosť a podstatu a zdroje rzík a tým podporť ch radee. Projekt spôsobí potrebu odhadúť s akou pravdepodobosťou je výška techckých rezerv postačujúca a kryte záväzkov kokrétej spoločost. Ich koštrukca vyžaduje využte zložtých matematcko štatstckých metód. Výška kaptálu môže byť určeá apr. pomocou postupov staovea pravdepodobost krachu, využtím modelov Value at Rsk, ktorých základá dea je založeá a meraí maxmálej možej straty v daom časovom tervale s vopred daou pravdepodobosťou. Jedým z kľúčových problémov, ktorým sa teré modely budú museť veovať je zastee. Zabezpečť stabltu portfóla postých zmlúv je možé voľbou optmáleho zasťovaceho programu, ktorý môžeme určť použtím jedého z optmalzačých krtérí. Je to apr. krtérum založeé a mmalzáce rozptylu zsku posťovateľa pr fxom očakávaom zsku. Jeho ekvvalecou je maxmalzáca očakávaého zsku pr podmeke fxého rozptylu. Postup určea optmáleho zastea je založeý a. kolektívych modeloch rzka,. matematckom opse jedotlvých forem zastea, 3. koštrukc Lagrageovej fukce podľa príslušého krtéra a staoveí extrémov Lagrageovej fukce. RNDr. Gala Horáková, Csc., Katedra matematky, Fakulta hospodárskej formatky, EU Dolozemská /b, Bratslava, e-mal: horakova@.euba.sk 9

2 Kolektívy model rzka V klasckom procese rzka prebytok posťovateľa vo fxom čase je určeý trom velčam: hodotou prebytku v čase 0, hodotou prjatého postého do času t a hodotou postých pleí, vyplateých do času t. Le jeda z tejto trojce velčí je áhodá, výdaje a áklady, a kryte škôd. { Nt ()} t 0 je ačítací proces pre počet škôd, prčom pre fxú hodotu t > 0, áhodá premeá N( t ) popsuje počet škôd v časovom tervale 0, t. V klasckom procese rzka je to áhodá premeá s Possoovým rozdeleím a ačítací proces sa azýva Possoov proces. Celková výška škody sa modeluje pomocou postupost ezávslých, detcky X, kde X = predstavuje výšku - tej škody. Rozdelee celkovej škody do času t, v súlade s kolektívym modelom rzka pre jedu časovú peródu, ozačíme St () a vyjadríme vzťahom rozdeleých áhodých premeých { } ( t ) S(t)= X + X X N () t = X (.6) prčom S(t)=0, keď N(t)=0. Proces S() t je zložeý stochastcký, v klasckom procese rzka Possoov zložeý { } t 0 proces, prčom áhodé premeé S() resp. N() ozačujú výšku celkového postého plea, resp. počet škôd v časovom tervale jedotkovej dĺžky korešpodujú s premeým vystupujúcm v základom kolektívom model rzka. { } t 0 Proces prebytku U() t N = potom vyjadríme pomocou áhodých premeých U( t) = U + c t S( t), (.7) kde U(0) = U je hodota rezervého postého fodu a začatku sledovaého obdoba, teda prebytok v čase t = 0, U(t) je áhodá premeá popsujúca prebytok posťove a koc časového úseku 0, t, c je koštatá mera tezty prjímaa postého v časovom tervale jedotkovej dĺžky. Potom celkové prjaté posté do času t možo zapísať ako ct, pre t 0. 3 Zastee Zastee je postee posťovateľa, ktorý má možosť preesť a zasťovateľa tú časť rzka, ktoré presahuje jeho fačé schopost, te rzká, ktoré by mohl arušť rovováhu postého kmeňa. Je jasé, že kvôl ochrae pred veľkým možstvom malých postých udalostí, rozsahlym postým pleam, pr tvorbe ových produktov, homogezác postého kmeňa je pre prvoposťovateľa zastee veľm potrebé. V prax je dôležté využť kombovae rôzych typov ochrá. Vzká otázka kedy použť kokréty druh zastea a v akom poradí jedotlvé ochray optmále skladať. Možo vyberať z dvoch forem a to oblgatóreho (pového) fakultatíveho (dobrovoľého). Pr oblgatórom aj fakultatívom zasteí rozlšujeme dva základé typy proporcoále zastee, (quota share, surplus) eproporcoále zastee (excess of loss, stop loss) Proporcoále je charakterstcké deleím postej častky, postého plee aj postého vopred staoveým pomerom medz posťovateľa a zasťovateľa, prčom teto pomer 9

3 ezávsí a výške škody. Pr eproporcoálom zasteí zasťovateľ preberá po vzku škody časť postého plea posťovateľa, ktorá presahe jeho vlastý vrub, uvedeý v postej zmluve. Dôležtou hodotou pr cedovaí rzka je teda vlastý vrub posťove, maxmála suma, ktorá sa vzťahuje a postú zmluvu, respektíve skupu rzík, ktorou je posťovňa prpraveá partcpovať a krytí škody. Pr určovaí maxmáleho vlastého vrubu pre rôze rzká v prax často víťaza emprcké skúseost a ásledé rozhoduta prjaté a ajvyššej úrov vedea spoločost. Optmalzáca skladaa reťazcov zasťovacích ochrá umožňuje prvoposťovateľov eesť prebytočé rzko, ale prtom zachovať dostatočý prebytok, čo sa poztíve premete aj a cee poúkaých produktov. Optmálu skladbu zasťovacích ochrá pre kokréte portfólo postých zmlúv možo odvodť matematcky v prípade, že pozáme charakterstky príslušých áhodých premeých, v lepšom prípade rozdelee celkovej škody a vzťahy pre rzkové prrážky a faktory a áklady a zastee. Výhodou je pozať zasťovací trh v prax. 4 Metóda Lagrageových multplkátorov Túto metódu použjeme ako ástroj a staovee vazaého mma, resp. maxma fukce f ( x) pr ohračeach g ( x ) = 0, j =,,..., m, kde fukce f : R R, j g j : R R, j =,,..., m sú dvakrát dferecovateľé, prčom pre počet premeých a počet väzeb platí m<. Skoštruujeme Lagrageovu fukcu m Lx (, γ) = f( x) + γ j g j( x) (3.) kde γ j pre j =,,..., m sú Lagrageove multplkátory a hľadáme extrém fukce Lxγ (, ), pretože vazaý extrém fukce f je zároveň lokálym extrémom fukce L. Na základe platost utej podmeky určíme stacoáre body Lagrageovej fukce a a základe postačujúcej podmeky overíme, č fukca L adobúda v stacoárom bode mmum, resp. maxmum. Overee postačujúcej podmeky exstece extrému fukce L sa realzuje pomocou kvadratckej formy pramo, alebo apr. pomocou Sylvestrovho krtéra. 5 Výška optmáleho vlastého vrubu posťovateľa Optmálu časť rzka, za ktorú by mal bezpeče ručť posťovateľ, vlastý vrub, môžeme staovť ekoľkým postupm. Uvedeme krtérum mmáleho rozptylu celkového zsku s väzbou a koštatý očakávaý zsk z portfóla postých zmlúv skladajúceho sa z ezávslých subportfólí. Nech posťovateľ má portfólo pozostávajúce z ezávslých rzík a chce zabezpečť te stý typ zastea pre každé rzko. Úroveň zsku posťovateľa z týchto rzík jase závsí od úrove zastea. Posťovateľ astaví fxú úroveň pre svoj očakávaý zsk z portfóla počas daého časového obdoba, povedzme že jede rok, a zvolí s výšku vlastého vrubu tak, aby mmalzoval rozptyl zsku z portfóla počas tohto obdoba. Postup staovea optmáleho vlastého vrubu uvedeme pr proporcoálom zasteí a pr zasteí excess of loss. 5. Proporcoále zastee Na rešee daej úlohy prjmme asledujúce ozačee: počet ezávslých subportfólí, j= 93

4 S predstavuje celkovú škodu z -teho subportfóla, počas fxého časového obdoba pre =,,...,, PP predstavuje posté, ktoré získal posťovateľ a pokryte svojho rzka, posťovateľ ovplyvňuje proporcoálym zasteím každé subportfólo pomerom q prrážky ζ, ζ > 0, faktory ákladov a zastee, áklady a zastee jedotlvých subportfólí vyjadruje tvar ( q ) ( + ζ ) E( S ) (4.) Potom očakávaý zsk udržíme rový E (( Zq ( )) k hodoty prčom koštata c je určeá podmekou E( ( Z( q) ) = k. = mmalzovaím (( ( )) D Z q výberom cζ E( S) q =, (4.) DS ( ) Tvrdee dokážeme jedoduchým spôsobom. Mmalzujeme Lagrageovu fukcu, vyhovujúcu vzťahu (3.) ( ) Lqγ (, ) = D( ( Z( q) ) γ E( ( Z( q) ) k (4.3) kde očakávaý zsk vyjadríme vzťahom ( ( )) = ( ( ) ( + ζ ) ( ) ( )) ) E Z q PP q E S q E S (4.4) = a ezávslosť rzík sa premete do vzťahu D( ( Z( q) ) = q D( S) (4.5) = Pre splee utej podmeky astata extrému fukce Lqγ (, ) rešme vo všeobecost systém + rovíc Lq (, γ ) = qd ( S) γ (( + ζ) E( S) E( S) ) = 0, =,3,..., q E( ( Z( q) ) k = 0 (4.6) z ktorých vyjadríme hodoty multplkátora γ a kvóty q v tvare pre každé z =,3,..., subportfólí γ ζ ES ( ) q = (4.7) DS ( ) Na základe overea postačujúcej podmeky môžeme astavť optmály vlastý vrub posťovateľa pre celé portfólo. Môžeme teda koštatovať, že rešee problému uvedeým spôsobom je efektíve, vede k určeu mmáleho rozptylu, prčom aktuále hodoty q sú determovaé väzbou E (( Zq ( )) = k, z ktorej vyplýva c ζe( S) c ζ E ( S) PP ( ) ( + ζ ) E( S) ) = k = DS ( ) DS ( ) (4.8) z čoho vyjadríme c a áslede hodoty q. 94

5 Praktcká ukážka postupu. Majme dve subportfóla, popísaé asledujúcm zložeým rozdeleam. S ~ CoPo(5, X ~ Γ(0; )), S ~ CoPo(00, X ~ Γ (5; )) Určme optmále kvótové zastee tohto portfóla, ak predpokladáme rzkovú prrážku θ = 0,, ζ = 0,, ζ = 0, 5. Zo vzťahov platacch v kolektívom model rzka sme vyčísll potrebé charakterstky ( ) ES DS ( ) PP Predpokladajme väzbu E( ( Z( q )) = 40, prčom EZq ( ( )) = ( PP ( + ζ qζ) ES ( )) a = = Tab.4. ( PP E( S )) = 60 Potom Lagrageova fukca má v tomto prípade tvar Lq (, q, γ ) = q 55 + q 750 γ (30 ( q), 50 q ( q), 5 50 q) a adobúda ostré lokále mmum pre hodoty q = 0,95633, q = 0, , γ = 5, Tabuľka 4.3 udáva hodoty q a q vypočítaé pomocou krtéra mmáleho rozptylu zsku pr koštate astaveom zsku pre uvedeé hodoty väzby. Očakávaý q q DZ ( ) Ψ (0,) zsk = k k = k = k = Tab.4.3 Z tabuľky 4.3 môžeme vyčítať, že optmále výšky vlastého vrubu sú astaveé tak, že očakávaý zsk posťovateľa sa rová hodote k. S arastajúcm očakávaým zskom raste rozptyl zsku a tým aj pravdepodobosť krachu. Výšky hodôt q a q mmalzujú pravdepodobosť krachu posťovateľa pre fxe staoveý očakávaý zsk. Tabuľka 4.4 udáva pre porovae hodoty q a q vypočítaé pomocou krtéra mmáleho rozptylu zsku pr koštate astaveom zsku v prípade, že rezervy a začatku sledovaého obdoba sa rovajúu = 0 očakávaý q q DZ ( ) Ψ (0,) zsk = k k = k = k = Tab

6 Pre porovae výsledkov uveďme pravdepodobosť, že v tomto prípade posťovňa ebude plť svoje záväzky je bez zastea a bez uvažovaa rezerv 0, , bez zastea, ale s rezervam U = 0 je 0, Z výsledkov vyplýva, že proporcoále zastee môže zače zredukovať pravdepodobosť krachu, hoc v mohých prípadoch až 50% maxmáleho očakávaého zsku by bolo treba obetovať, aby sme mohl dosahuť takúto bezpečosť. 5. Zastee excess of loss V prípade zastea prebytku straty, postup odvodeí charakterstík je komplkovaejší ako u proporcoáleho zastea charakterstky ele dvduálej, ale aj celkovej škody. Teto sú ezbyté a staovee maxmálej čast vzklej škody, ktorú hradí posťovňa. Pre staovee optmálej prorty prjmeme asledujúce ozačee: počet ezávslých subportfólí, S predstavuje celkovú škodu z -teho subportfóla, počas fxého časového obdoba pre =,,...,, PP predstavuje posté, ktoré získal posťovateľ a pokryte svojho rzka, β predstavuje úroveň ručea pre každé -te rzko, teda posťovateľ zasahuje pr zasteí prebytku straty do výšky ručea β, prrážky ζ, ζ > 0, faktory ákladov a zastee S CoPo λ FX ( x) ~ ( ; ) áklady a zastee jedotlvých subportfólí vyjadruje vzťah Z P ( + ζ) E( S) = ( + ζ) E( S S), ζ > 0 (4.) kde P Z S predstavuje celkovú škodu posťovateľa z rzka s poradovým číslom, S celkovú škodu zasťovateľa z príslušého rzka. Potom fukca celkového zsku posťovateľa pre portfóĺo skladajúce sa z subportfólí má tvar P Z( β) = PP ( + ζ) λ ( x β) f X ( x)d x S ) = (4.3) M E ( Z( β ) = k pre ejaké k, mmalzovaím rozptylu Očakávaý zsk udržíme rový ( ) celkového zsku D( ( Z( β )) a to v prípade, že β = c ζ, (4.4) kde c je determovaé väzbou. Na základe rovakého postupu ako pr staoveí vlastého vrubu pr proporcoálom zasteí, s vyššou umerckou áročosťou, tvrdee dokážeme. Platí E( Z( β )) = PP ( + ζ) λ ( x β) f X ( x)dx = β β λ x fx ( x)d x+ β ( ( )) FX β (4.5) = 0 96

7 β ( ( ) ) ( )d ( ( )) D Z β = λ x fx x x+ β FX β (4.6) = 0 Lagrageova fukca a určee mmáleho rozptylu zsku s väzbou a koštatú stredú hodotu má tvar L( β ) = D( ( Z( β) ) γ ( E( ( Z( β) ) k) (4.7) Dervovaím fukce (4.5) podľa β dostaeme L( β ) = λ β( FX ( β )) ( ) ( ( )) + γ λ ζ FX β (4.8) ( β ) Opäť zo systému rovíc L( β ) = 0, =,,3,... E( ( Z( β )) k = 0 ( β ) vyjadríme hodotu hrace β vzťahom γ β = ζ (4.9) Teda hodoty β určujú mmály rozptyl závslý ba a prrážkeζ. Praktcká ukážka postupu. Majme dve rzká S ~ CoPo(5, X ~ Γ(0; )), S ~ CoPo(00, X ~ Γ (5; )) a rzkovú prrážku θ = 0,, =, rzko ES ( ) DS ( ) PP ζ λ F ( x ) , ( x) X e x = 0 4 x! x ,3 00 ( ) Mmalzujme D( ( Z( β )) za podmeky ( ) e = 0! Tab.4. E ( Z( β ) = 50, prčom očakávaý zsk je 60. Podľa (4.) vyjadríme hodoty β = c 0, 5, β = c 0,3, podľa (4.) = Z Z ( ζ ) Z( β) = PP ( + ) E( S ) S + S z čoho v kokrétom prípade 9 x ( x) EZ ( ( β )) = 60 0, 5 5 e ! β = 4 x ( x) ,3 00 e 50 0! β = V prípade, že očakávaý zsk je 50, c = 5, a teda optmále hodoty prorty v jedotlvých prípadoch sú β = 3,958660, β = 4,

8 Pre porovae, pr väzbe a očakávaý zsk E( ( Z( β )) = 40 sú optmále hodoty pre jedotlvé subportfóla β =, , β = 3, Použte aparátu teóre rzka, metódy skladaa zasťovacích reťazcov, maxmalzácu fukce celkových zskov, resp. mmalzácou pravdepodobost krachu dospejeme k vyjadreu vzťahov, pomocou ktorých môžeme staovť podľa skúmaej skladby zasťovaceho reťazca optmály vlastý vrub, kvótu, prortu, ktorá zabezpečí stabltu daého portfóla. Využívaím možostí, ktoré teré modely poúkajú, posťove majú možosť odbore posudzovať a radť rzká, a tým dosahovať efektívejše a stablejše výsledky. Tvorba a vývoj terých modelov však bude a počatku vyžadovať emalé zdroje a použte modelov bude v mohých prípadoch lmtovaé potrebým objemom dát z mulých období, čo pre ektoré posťove môže byť veľký problém.. Využívae terých modelov a radee rzík a výpočet kaptálových požadavek zataľ u ás e je rozšíreé, ale dá sa očakávať, že s príchodom SOLVENCY II, ktorá podporuje používae terých modelov, budú kaptálové požadavky kalkulovaé pomocou ch. Lteratúra [] BILIKOVÁ, M., LUFFRUM, G.: Mathematcal models lfe surace.zborík medzárodej vedeckej koferece st Iteratoal Coferece APLIMAT 00, Bratslava: Stroj. fakulta STU, 00. (str. 8), ISBN [] CIPRA,T.: Zajšteí a přeos rzk v pojšťovctví. Grada, 004 [3] FECENKO, J., Nežvoté postee. Vydavateľstvo EKONÓM, 006 [4] HORÁKOVÁ,G., KOZUBÍK, A.: O the Aggregate Loss Dstrbuto for a Sum of Correlated Clams. Kofereca FINRISK 000, Trečaské Teplce [5] HORÁKOVÁ, G., MUCHA, V.: Teóra rzka v posťovíctve. EKONÓM 006 [6] HORÁKOVÁ, G., MUCHA, V.: Optmály zasťovací program Ekoomcký časops, 53/005, 6 [7] WATERS, H., R.: Some mathematcal aspects of resurace. Mathematcs ad Ecoomcs. 983 Summary The am of ths paper s to preset ad compare some methods for determg that part of a rsk, whch s covered by the surer, partg coecto wth the settg up a optmal cha of resurace cover. All examples are based o the collectve rsk model, the methodology of composg resurace covers ad the allocato fucto of the total costs ad profts. 98