NÁZOV ČLÁNKU (11 TIMES NEW ROMAN, BOLD, VŠETKO VEĽKÉ)
|
|
- Naděžda Procházková
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 FACULTY OF NATURAL SCIENCES CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA ACTA MATHEMATICA 6 ON AN APPROXIMATION OF NUMBER O JEDNOM ODHADE ČÍSLA ABSTRACT I the arcticle with the help f the elemetary gemetric csideratis we will try t fid Viete s frmula fr evaluati the umber At the same time we fid the pssibility f apprximati f this cstat KEYWORDS: iscribed circle, circumscribed circle, aprximati ABSTRAKT V čláku sa pmcu elemetárych gemetrických úvah pkúsime ájsť Vietev vzrec a výpčet čísla Súčase ájdeme mžsť aprximácie tejt kštaty KĽÚČOVÉ SLOVÁ: Ludlfve čísl, kružica vpísaá (písaá) uhlíku, aprximácia CLASSIFICATION: A 308 Úvd i Eulerva frmula e 0 je pvažvaá za ajkrajší matematický vzrec Obsahuje ttiž základé kštaty matematickej aalýzy, algebry, teórie čísel i gemetrie V ďalších riadkch sa budeme vevať práve číslu spmeutému aj v uvedem vzťahu, ktré pzáme predvšetkým z gemetrie Tt čísl je záme už z viacerých starvekých civilizácií, pričm každá pužívala svju vlastú aprximáciu Napríklad 5 v babylskej matematike sa pčítal s hdtu 3,5 ; egyptskí matematici 8 56 zas plžili 3,605 ; v Biblii pstačila aprximácia 3 Zatiaľ č áš prvý 8 uvedeý dhad je asi z bdbia 000 rkv p l, Archimedes z Syrakúz v dbe 3 približe 00 rkv p l už ašiel hraičeie 3,0 3, Ďalší 7 7 záujem tt čísl prichádza až v stredveku Viete h určil s pressťu a 9 desatiých miest, va Rme a 5, Ludlf va Ceule dkca a 35 desatiých miest (v rku 60) Odvtedy čísl esie začeie Ludlfve čísl Nasledujúcimi úvahami sa pkúsime dvdiť rvsť ktrú ešte v rku 593, dlišým spôsbm, bjavil fracúzsky matematik Fracis Viete a ktré zvšebecil Leard Euler v tvare si lim cs cs cs cs 3 99
2 Z ášh pstupu vyplyie aj istá mžsť dhadu čísla * Kružice písaé - uhlíku Uvažujme pstupsť pravidelých - uhlíkv s kštatým bvdm Nech kružice k (kde,, ) písaé uvažvaým - uhlíkm sú sústredé s stredm v bde S (br ) Obrázk Obrázk Ozačme AB strau pravideléh samzrejme platí - uhlíka s bvdm, ptm pre jej dĺžku AB Ak bd S je stred kružice k, písaej uvažvaému štvrcu, ptm úsečka SA je jej plmerm (br ) Ozačme P pätu klmice z bdu S a strau AB uvažvaéh štvrca, tj úsečka SP je výšku z bdu S a strau uvažvaéh štvrca Dĺžku plmeru SA kružice k začme r a dĺžku výšky z bdu S a strau AB uvažvaéh štvrca ak v, teda SA r, SP v Nech úsečka AB je strau asledujúceh pravideléh 3 - uhlíka s bvdm Ptm pre jej dĺžku a veľksť uhla ASB platí AB ASB , tj A B A B, A SB A SB T však zameá, že strau AB pravideléh semuhlíka môžeme zstrjiť ak stredú priečku trjuhlíka A B C, kde bd C je priesečík si uhla ASB * V predšlých riadkch sme spmeuli velikáv, ktrý sa sažili vyčísliť lgickými, tj matematicky krektými, pstupmi Ak prtiklad k tmut riešeiu prblémv môžeme tradiče pužiť plitikv a ich správaie V rku 897 sa v štáte Idiaa jedduch rzhdli, že správu hdtu môžu uzákiť legislatíve Našťastie, tát prcedúra bla prerušeá istým matematikm, ktrý zhdu áhd sa tht zasadaia zúčastil 00
3 O JEDNOM ODHADE ČÍSLA s kružicu k Ptm je plmerm kružice k, písaej uvažvaému semuhlíku Nech P je päta klmice z bdu S a strau AB uvažvaéh semuhlíka, tj úsečka SP je výšku z bdu S a strau uvažvaéh semuhlíka Dĺžky úsečiek SA, SP, pdbe ak v predchádzajúcm prípade začme SA r, SP v Keďže r je dĺžka stray a v dĺžka výšky a základňu rvrameéh trjuhlíka ASB, je zrejmé, že platí r v Z br tiež vidíme, že r v CP CP r v Keďže v je výšku a strau AB rvrameéh trjuhlíka AB S, kde A S BS r, tak r v 0 Odtiaľ už vyplýva platsť ervsti 0 r v r v N vzhľadm k tmu, že úsečka AC leží a si uhla B AC, bd C patrí úsečke CP, tj CP CP Keďže úsečka AB je stredu priečku trjuhlíka A BC, tak CP CP r v Zhrutím uvedeéh dstávame 0 r v CP CP r v prípade 0 r v r v Obr 3 Strau AB 3 3 pravideléh šestásťuhlíka, pre ktrej dĺžku platí A3 B3 A B 6 môžeme aalgicky ak v predchádzajúcm prípade zstrjiť ak stredú priečku trjuhlíka A BC, kde bd C je priesečík si uhla ASB s kružicu k (br 3) Ptm úsečka SA 3, kde SA3 r3, je plmerm kružice k 3 písaej uvažvaému šestásťuhlíku a úsečka SP 3, kde SP3 v3, je výšku z bdu S a strau uvažvaéh pravideléh šestásťuhlíka Z br 3 vidíme, že r3 v3 C3P3 CP r v, tj 0 r3 v3 r v Využitím ervstí z predchádzajúceh prípadu tak dstávame 0 r3 v3 r v r v Keďže 0
4 úsečka AC 3 3 leží a si uhla B3 A3C, bd C 3 patrí úsečke CP, 3 tj C3P3 CP3 Aalgicky ak v predchádzajúcm prípade, úsečka AB 3 3 je stredu priečku trjuhlíka A3 B3C, teda CP3 CP r v Odtiaľ už vyplýva ervsť 0 r3 v3 C3P3 CP3 CP r v r v resp 0 r3 v3 r v V zstrjvaí pravidelých - uhlíkv s kštatým bvdm môžeme zrejme pdbým spôsbm pkračvať ľubvľe dlh Nech teda úsečka SA, kde SA r, je plmerm kružice SP k, písaej uvažvaému v, je výšku z bdu S a strau tht pravideléh - uhlíku a úsečka SP, kde - uhlíka Ptm zrejme platí aj ervsť r v CP CP r v Vzhľadm a t, že v je výšku a základňu rvrameéh trjuhlíka AB S, kde A S BS r, pre každé tiež platí r v, čiže r v 0 T však zameá, že platí 0 r v r v Využijúc ervsti, získaé v predchádzajúcich prípadch, dstávame 0 r v r3 v3 r v r v Pdbými úvahami ak v predchádzajúcich prípadch by sme zrejme tiež dspeli k záveru (ktrý mž dkázať matematicku idukciu), že pre všetky tiež platí r v CP CP CP r v r v, resp r v r v Z uvedeéh už vyplýva, že pre všetky platí 0 r v r v Keďže lim 0 0 a súčase lim r v 0, tak a základe vety limite zvretej pstupsti dstávame lim r v 0 resp lim r lim v Nech lim r lim v R Pretže r je plmer kružice písaej - uhlíku a v zas plmer kružice vpísaej,,, platí - uhlíku, pre bvd v r - uhlíka, kde 0
5 O JEDNOM ODHADE ČÍSLA N keďže lim v R a tiež lim r R, z vety limite zvretej pstupsti vyplýva, že aj R, čiže R Gemetricky mž iterpretvať tet fakt asledve: existuje jediá kružica, ktrá je zárveň člem pstupsti vpísaých i písaých kružíc; avyše tát istá kružica je súčase akýmsi limitým uhlíkm v pstupsti ami kštruvaých uhlíkv Obr 6a Obr 6b Ak začíme veľksť uhla ASC symblm ptm z br 6a, 6b je už zrejmé, že platí r r3 cs, cs Matematicku idukciu už ptm ľahk dkážeme, r r že pre každé r platí rvsť cs r Dsadeím práve získaých rvstí d asledujúcej triviále platej rvsti r r3 r r r r r r r r r r pre r tiež dstávame 3 r r r r r r r r 3 cs cs cs cs 3 r r r3 r r Využijúc skutčsť, že lim r R, získavame resp lim r lim r cs cs cs cs 3 R, R lim cs cs cs cs 3 r r 03
6 Keďže a x cs x cs cs Ak zvlíme, ptm, pužitím vzťahu pre plvičý argumet ksíusu, tj, môžeme predchádzajúcu rvsť apísať v tvare R r r R a r, dstávame prípade p úprave získavame rvsť Navyše si všimime, že z uvedeéh tiež vyplýva mžsť aprximácie čísla keďže pre každé platí v R r v r, tj r v Záver Výpčet čísla fascival matematikv či laikv už ddáva V čláku sme sa dstali k vzrcu, ktrý iým spôsbm dvdil kcm 6 strčia Fracis Viete (zaujímavsťu hdu spmeutia je, že v tmt zápise sa prvýkrát v histórii matematiky bjavil ekečý súči) Zárveň sme pri ašm pstupe pri pisvaí kružíc ašli metódu a jedduché hraičeie Ludlfvh čísla Literatúra [] [] Zám, Š (986) Phľad d dejí matematiky Bratislava, Alfa, s Beckma, P (998) Histrie čísla Praha, Academia, s ISBN Člák prijatý dňa apríla 03 Adresa autrv Mgr Michaela Klepacvá Katedra matematiky Fakulta prírdých vied Uiverzita Kštatía Filzfa v Nitre, Tr A Hliku, SK 997 Nitra; michaelaklepacva@ukfsk PaedDr Marek Varga Katedra matematiky Fakulta prírdých vied Uiverzita Kštatía Filzfa v Nitre, Tr A Hliku, SK 997 Nitra; mvarga@ukfsk 0
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieMicrosoft Word - Rozd_odvod_znorm.doc
1 Rozdeleia odvodeé z oráleho Mioriady výza pri aalýze štatistických údajov, získaých áhodý výbero, ajú spojité rozdeleia: chí-kvadrát rozdeleie, t-rozdeleie a F-rozdeleie. Sú odvodeé z oráleho rozdeleia
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšiePošta, Telekomunikácie a Elektronický obchod ISSN VPLYV NÁKLADOV POISŤOVNE NA BEŽNÚ SPLÁTKU BRUTTO POISTNÉHO Základné pojmy Lucia Švábová 1
VPLYV NÁKLAOV POISŤOVNE NA BEŽNÚ SPLÁTKU BRUTTO POISTNÉHO Základé pojmy Lucia Švábová 1 Poisteie zabezpečuje právo a vyplateie poistej sumy v dohodutej výške v prípade astatia poistej udalosti v priebehu
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieActa Fac. Paed. Univ. Tyrnaviensae,
8 ZOBRAZENIA ZACHOVÁVAJÚCE VZDIALENOSŤ Marti Billich Katedra matematiky a fyziky, Pedagogická fakulta, Katolícka uiverzita Námestie A Hliku 56/, 034 0 Ružomberok, SR e-mail: MartiBillich@fedukusk Abstract:
PodrobnejšiePokyny_Doctorandorum dies
(a) Forma príspevku Pokyny pre autorov/autorky článkov do konferenčného zborníku Príspevky možno písať v jazyku: slovenský, český, anglický, nemecký, francúzsky, ruský. Text, tabuľky, obrázky používať
PodrobnejšieOperačná analýza 1-00
Operačá aalýza -00 základy teórie odhadu testovaie štatistických hypotéz Základy teórie odhadu. odhad parametra rozdeleia pravdepodobosti. odhad rozdeleia pravdepodobosti X, X, X 3,... X - áhodý výber
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšieVZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY
5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to
PodrobnejšieMake Model Variants TCDS Status AMM Edition Alexander Schleicher AS-K 13 AS-K 13 LBA 267/SP approved EASA , REV ASK 18 ASK 18 LBA 307/S
Make Model Variants TCDS Status AMM Edition Alexander Schleicher AS-K 13 AS-K 13 LBA 267/SP ASK 18 ASK 18 LBA 307/SP ASK 18B ASK 16 ASK 16 approval pending ASK 16 b K 10 A K 10 A LBA 239 K 12 ASK 14 LBA
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Modely a metódy lieáreho a celočíselého programovaia (Tézy k preáške č. 9) Téma predášky Gomoryho algoritmus Prof. Ig. Michal Fedek, PhD. Katedra operačého výskumu a ekometrie Ekoomická uiverzita Bratislava
PodrobnejšieÚlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, pp Persistent UR
Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1988. pp. 68 75. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404183 Terms of use: Ivan Korec,
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje
PodrobnejšieReklamačný poriadok 1. Úvodné ustanovenia 1.1. Spoločnosť, Designed for Fitness Slovakia s.r.o. so sídlom na adrese Ružinovská 3 Bratislava - mestská
Reklamačný priadk 1. Úvdné ustanvenia 1.1. Splčnsť, Designed fr Fitness Slvakia s.r.. s sídlm na adrese Ružinvská 3 Bratislava - mestská časť Ružinv 821 02, zapísaná v bchdnm registri Okresnéh súdu Bratislava
PodrobnejšieMicrosoft Word - M1- forma A bez k¾úèa.doc
M O N I T O R piltné testvanie matrantv MONITOR Matematia Test M-,. časť rma A Odbrný arant prjet: Realizácia prjet: Štátn pedaicý ústav, Bratislava EXAM, Bratislava Matematia testm-. časť rma A Keb sa
PodrobnejšieSestava 1
Cenník produktov Invest EUR JEDNORAZOVÉ INVESTÍCIE platnosť od 1.1.2015 FONDY / INVESTIČNÉ PROGRAMY () Fondy korporátnych Vyvážený Zaslaná 0 3 999 EUR čiastka: 4 000 19 999 EUR 20 000 119 999 EUR 120 000
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieLED svetelné zdroje |
Lighting env dstupné riešenie LEDbulb Zdrje repr LEDbulb sú vhdnú d existujúcich svietidiel s bjímku E27 a slúžia ak priama náhrada žiarviek. Zabezpečujú významnú úspru elektrickej energie a minimalizujú
PodrobnejšieMicrosoft Word - HoreckaHrvol.doc
DLHODOBÝ CHOD VYBRANÝCH CHARAKTERISTÍK VLHKOSTI VZDUCHU V OBLASTI PODUNAJSKEJ A VÝCHODOSLOVENSKEJ NÍŽINY V. Horecká 1, J. Hrvoľ 2 1 Slovak Hydrometeorological Institute Bratislava, Slovak Republic e-mail:
PodrobnejšieZápis zo zasadnutia Akademického senátu FHV INIZA Dátum konania: Miesto konania: AD 312 Čas: 13,00 hod. Prítomní členovia AS FHV UNIZA: Paed
Zápis zo zasadnutia Akademického senátu FHV INIZA Dátum konania: 13.3.2017 Miesto konania: AD 312 Čas: 13,00 hod. Prítomní členovia AS FHV UNIZA: PaedDr. Dalibor Gonda, PhD., RNDr. Adrian Kacian, PhD.,
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
PodrobnejšieMicrosoft Word - 18.doc
96 ZARIADENIE NA ZÍSKAVANIE ELEKTRICKÝCH VELIČÍN OBEHOVÉHO ČERPADLA SLNEČNÉHO KOLEKTORA PAULOVIČ Stanislav - MAKVA Martin Abstrakt: Príspevok oboznamuje s možnosťou automatického merania elektrických veličín.
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšiePríloha č
UVÁDZANIE RÁDIONUKLIDOV DO ŽIVOTNÉHO PROSTREDIA A VYNÁŠANIE PREDMETOV Z KONTROLOVANÉHO PÁSMA Oslobodzovacie úrovne, uvoľňovacie úrovne, úrovne aktivity vymedzujúce vysokoaktívny žiarič a najvyššie prípustné
PodrobnejšiePrezentácia programu PowerPoint
Priestorové aalýzy a modelovaie Predáška 4 Názov predášky: Aalýza distribúcie priestorových dát a priestorová autokorelácia Osova predášky: Aalýza distribúcie priestorových dát Priestorová autokorelácia
PodrobnejšieMilí študenti, ďakujeme Vám za vyplnenie predmetovej ankety za jednotlivé semestre akademického roku 2015/16. Jej výsledky sme zoradili podľa jednotli
Milí študenti, ďakujeme Vám za vyplnenie predmetovej ankety za jednotlivé semestre akademického roku 2015/16. Jej výsledky sme zoradili podľa jednotlivých katedier, v obsahu uvádzame názvy jednotlivých
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. O postupnosti (a n ) n=1 vieme,
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. O postupnosti (a n ) n=1 vieme, že pre všetky prirodzené čísla n platí a n+1 = a 2
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
PodrobnejšieMicrosoft Word - veronika.DOC
Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky,
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieBez názvu - 1
Slovak University of Agriculture, Faculty of Engineering Otázky zo spoločných predmetov pre všetky študijné programy Odpovede zo spoločných predmetov pre všetky študijné programy Otázky z predmetov pre
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
PodrobnejšieVyšetrovanie riešiteľnosti konštrukčných úloh pomocou trigonome
Vyšetrovanie riešiteľnosti konštrukčných úloh pomocou trigonometrie Božena Koreňová ABSTRACT: In the first part, the presented paper considers the importance and mission of teaching mathemathics at elementary
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšieObec Malé Kršteňany Všeobecne záväzné nariadenie Obce Malé Kršteňany č. 3/2011 o miestnych daniach a o miestnom poplatku za komunálne odpady a drobné
Obec Malé Kršteňany Všebecne záväzné nariadenie Obce Malé Kršteňany č. 3/2011 miestnych daniach a miestnm pplatku za kmunálne dpady a drbné stavebné dpady na území Obce Malé Kršteňany Návrh VZN vyvesený
PodrobnejšieMetoclopramide Art CHMP Opinion
Prílha II Vedecké závery a dôvdnenie zrušenia/zmeny v pvleniach na uvedenie na trh 36 Vedecké závery Celkvý súhrn vedeckéh hdntenia liekv bsahujúcich iba metklpramid (pzri prílhu I) Základné infrmácie
PodrobnejšieZbierka úloh KMS 1. až 5. ročník ( ) Ondrej Budáč, Tomáš Jurík, Ján Mazák
Zbierka úloh KMS 1. až 5. ročník (2002 2007) Ondrej Budáč, Tomáš Jurík, Ján Mazák Prvé vydanie c Trojsten, Bratislava 2010 Väčšina úloh je prevzatá z rôznych matematických súťaží po celom svete. Zadania
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšieActa Mathematica Nitriensia Vol. 2, No. 1, p ISSN Budúci učitelia elementaristi a ich vedomosti o zlomkoch Future Elementary School T
Acta Mathematica Nitriensia Vol. 2, No. 1, p. 27 35 ISSN 2453-6083 Budúci učitelia elementaristi a ich vedomosti o zlomkoch Future Elementary School Teachers and their Knowledge of Fractions Valéria Švecová
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
Podrobnejšie17. medzinárodná vedecká konferencia Riešenie krízových situácií v špecifickom prostredí, Fakulta špeciálneho inžinierstva ŽU, Žilina, máj 2
17. medzinárodná vedecká konferencia Riešenie krízových situácií v špecifickom prostredí, Fakulta špeciálneho inžinierstva ŽU, Žilina, 30. - 31. máj 2012 ZÁSOBOVANIE VRTUĽNÍKOV VYUŽÍVANÝCH PRI RIEŠENÍ
PodrobnejšieMicrosoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e
Charakteristika vyučovacieho predmetu Predmet matematika v nižšom strednom vzdelávaní je prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí - vedomosti,
PodrobnejšieR4308IPCPR_SK
Prehlásenie o Parametroch [CompanyGraphic] 1. Jedinečný identifikačný kód typu výrobku: MPN, DDP-N, TW, WP, KP, KP/HB, DP-3, DPF-30, DDP-N, DDP-RT, DDP-RT BIT, DDP-RT BITF, Termotoit RT, Termotoit RT BT,
Podrobnejšieseminarna_rocnikova_a_bakalárska práca
Seminárna, ročníková a bakalárska práca 1. Seminárna a ročníková práca A. Seminárna a ročníková práca musí spĺňať nasledovné formálne požiadavky: Titulný list seminárnej práce 1. Názov univerzity a pod
PodrobnejšieMicrosoft Word - Sprava 2005 rocna 03 DEF.doc
VÚB AM DLHOPISOVÝ EUROFOND, otvorený podielový fond VÚB Asset Management, správ. spol., a.s. Správa o hospodárení k 31.12.2005 Správa o hospodárení k 31.12.2005 VÚB AM DLHOPISOVÝ EUROFOND, otvorený podielový
PodrobnejšieNÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY Matematika MAREC I 2019 ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! Zopakujte si základní informace ke zkoušce n Test obsahuje
NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY MAREC I 9 ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce Test obshuje úloh. N jeho riešeie máte 9 miút čistého čsu. Kždá úloh má správu le jedu
PodrobnejšieMicrosoft Word Sprava 04 DKG.doc
VÚB AM DLHOPISOVÝ KONVERGENTNÝ FOND, otvorený podielový fond VÚB Asset Management, správ. spol., a.s. Správa o hospodárení k 31.12.2003 Správa o hospodárení k 31.12.2003 VÚB AM DLHOPISOVÝ KONVERGENTNÝ
PodrobnejšieAPROXIMÁCIA BINOMICKÉHO ROZDELENIA NORMÁLNYM A PRÍKLAD JEJ APLIKÁCIE V AKTUÁRSTVE S VYUŽITÍM JAZYKA R Abstrakt Príspevok sa zameriava na prezentáciu l
APROXIMÁCIA BINOMICKÉHO ROZDELENIA NORMÁLNYM A PRÍKLAD JEJ APLIKÁCIE V AKTUÁRSTVE S VYUŽITÍM JAZYKA R Abstrakt Príspevok sa zamerava na prezentácu lmtných vet v analýze rzka v nežvotnom postení. Jednoducho
PodrobnejšieHARMONOGRAM ŠTÚDIA FAKULTY ZDRAVOTNÍCTVA A SOCIÁLNEJ PRÁCE NA AKADEMICKÝ ROK Zimný semester Zápis študentov - vyššie ročníky podľa zverejnen
HARMONOGRAM ŠTÚDIA FAKULTY ZDRAVOTNÍCTVA A SOCIÁLNEJ PRÁCE NA AKADEMICKÝ ROK 2019 2020 Zimný semester Zápis študentov - vyššie ročníky podľa zverejnených informácií Slávnostné otvorenie akademického roka
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieManažment v Tvorbe Softvéru 2018/2019
(dokonč.) MTS 2018/19 I. M. rozsahu projektu II. M. rozvrhu projektu III. M. nákladov projektu rozsahu rozvrhu Definovanie činností nákladov Získanie požiadaviek Zoradenie činností Odhad trvania činností
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieDirichletov princíp 4. kapitola. Kódovanie In: Lev Bukovský (author); Igor Kluvánek (author): Dirichletov princíp. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969
Dirichletov princíp 4. kapitola. Kódovanie In: Lev Bukovský (author); Igor Kluvánek (author): Dirichletov princíp. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 30 38. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403703
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac
SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieStavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta,
Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 110 116. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403692
PodrobnejšieAlternatívy dôchodkovej reformy na Slovensku
Vláda a jej zasahovanie do trhu a životov ľudí (Zhrnutie obrázkov) Peter GONDA Konzervatívny inštitút M. R. Štefánika Východiská Úloha vlády a jej zasahovanie do trhu a životov ľudí 2 Východiská Legenda:
PodrobnejšieVN 22 kV SAMOSTATNE IZOLOVANÉ VODIČE
Stredoslovenská distribučná, a.s. Pri Rajčianke 2927/8, 010 47 Žilina, www.ssd.sk Technický štandard: Spojovací materiál žiarovo zinkovaný, nerezový a mosadzný Vypracovali: Ing. Peter Slota Ing. Peter
PodrobnejšieÚvod
Acta Mntanistica Slvaca Rčník 4 (1999), 1, 49-56 Kvalita pripjenej siete z hľadiska hmgenity bdv Juraj Sütti 1 Quality f the cnnected netwrks with a view t their pint hmgeneity Evaluatin f the lcal cnnected
PodrobnejšieBiharmonická rovnica - ciže co spôsobí pridanie jedného laplasiánu
iºe o spôsobí pridanie jedného laplasiánu tyc struna Obsah ƒo je to biharmonická rovnica 2 Malý výlet do teórie pruºnosti 3 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia 4... a kde ostala matematická fyzika? ƒo
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieSchválené siete s účasťou slovenských vysokých škôl
AT 12 Filozofická fakulta, Univerzita Komenského prof. PhDr. Jana Rakšányiová, CSc. Stavebná fakulta, Slovenská technická univerzita doc. Ing. Otília Lulkovičová, PhD. AT 50 Obchodná fakulta, Ekonomická
PodrobnejšiePlatný od: OPIS ŠTUDIJNÉHO ODBORU
Platný od: 27.2.2017 OPIS ŠTUDIJNÉHO ODBORU (a) Názov študijného odboru: (b) Stupne vysokoškolského štúdia, v ktorých sa odbor študuje a štandardná dĺžka štúdia študijných programov pre tieto stupne vysokoškolského
PodrobnejšiePS_J&T BOND EUR
J&T BOND EUR o. p. f. PRVÁ PENZIJNÁ SPRÁVCOVSKÁ SPOLOČNOSŤ POŠTOVEJ BANKY, správ. spol., a.s. Polročná správa o hospodárení správcovskej spoločnosti s majetkom v podielovom fonde k 3.6.215 J&T BOND EUR
PodrobnejšieSlovenský pohár kord _15
Slovenský pohár kord 2015-16, nominácie na ME, MS. Mladší žiaci, žiačky: 12 turnajov v rebríčku, započítava sa: všetky 4 domáce turnaje 2 najlepšie výsledky zo zahraničných turnajov - hodnotia sa 2 české(najbližšie)
PodrobnejšiePodpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. Katedra matematických metód, Fa
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk Katedra matematických metód, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita v
PodrobnejšieMzdové účtovníčky, ekonómovia, seminár určený pre Vás! Viete, ktorému zamestnancovi môžete urobiť ročné zúčtovanie dane z príjmov zo závislej činnosti
Mzdvé účtvníčky, eknómvia, seminár určený pre Vás! Viete, ktrému zamestnancvi môžete urbiť rčné zúčtvanie dane z príjmv z závislej činnsti? Viete aká bude výška nezdaniteľnej časti základu dane d 1. januára
PodrobnejšieJoH^OS/fo^ Zmluva č. 1/2011 o poskytnutí finančného príspevku na úhradu nákladov na sociálnu službu v zariadení pestúnskej starostlivosti podľa 100 od
JH^OS/f^ Zmluva č. 1/2011 pskytnutí finančnéh príspevku na úhradu nákladv na sciálnu službu v zariadení pestúnskej starstlivsti pdľa 100 ds. 11 a 12 zákna NR SR č. 05/2005 Z.z. sciálnprávnej chrane detí
PodrobnejšiePríloha č.2 Hlásenie o stave majetku - Solid
Príloha č. 8 k vyhláške č. 545/2009 Z. z.! druhy majetku sa upravujú podľa platného znenia zákona, uvedené platí aj pre ostatné časti prílohy VZOR Strana 1/5 Členenie podľa trhov Druh majetku Členenie
PodrobnejšieMicrosoft Word - Sbornik2014
DOI: 10.5817/CZ.MUNI.P210-6840-2014-32 VPLYV REGIONÁLNYCH ROZDIELNOSTÍ NA MOŽNOSŤ VZDELÁVANIA SA ZAMESTNANCOV V PODNIKU INFLUENCE OF THE REGIONAL DIFFERENCES ON THE POSSIBILITIES OF EDUCATION OF EMPLOYEES
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieObsah
Obsah str. 1. Základné pojmy pružnosti a pevnosti 1.1 Predmet a význam náuky o pružnosti a pevnosti 3 1.2 Z histórie oboru 3 1.3 Základné predpoklady o materiáli 4 1.4 Vonkajšie a vnútorné sily 5 1.5 Normálové
PodrobnejšieBez nadpisu
Odbor kvality vôd a environmentálnej politiky BVS a.s. Pitná voda -strategická komodita štátu, alebo základné ľudské právo? Teória a prax Ing. Alena Trančíková SMERNICA 2000/60/ES EURÓPSKEHO PARLAMENTU
PodrobnejšiePrehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;
Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...
PodrobnejšieODPORÚČANÉ ŠTUDIJNÉ PLÁNY PRE ŠTUDENTOV DENNÉHO A EXTERNÉHO ŠTÚDIA 1 Študijný program 1. stupňa: Ekonomika a manažment podniku Študijný odbor:
ODPORÚČANÉ ŠTUDIJNÉ PLÁNY PRE ŠTUDENTOV DENNÉHO A EXTERNÉHO ŠTÚDIA 1 Študijný program 1. stupňa: Ekonomika a manažment podniku Študijný odbor: 3.3.16 Ekonomika a manažment podniku ***Pre študentov, ktorí
PodrobnejšieMASTER LEDtube InstantFit HF |
Lighting Nvá generácia energeticky úsprných trubicvých zdrjv PHILIPS MASTER LEDtube InstantFit je LED svetelný zdrj tvaru tradičnej lineárnej žiarivky. Jeh jedinečný dizajn vytvára úplne jedntný vizuálny
PodrobnejšieINTERPOLIS 2016
Interpolis OZ, Fakulta politických vied a medzinárodných vzťahov Univerzity Mateja Bela, Centrum krízového riadenia, Právnicka fakulta Univerzity Mateja Bela a Fakulta sociálnych vied Univerzity sv. Cyrila
Podrobnejšienadpis
Žilinská univerzita v Žiline Fakulta humanitných vied Katedra anglického jazyka a literatúry Štúdium na KAJ Študijné programy Učiteľstvo akademických predmetov v kombináciách: Bakalárske štúdium anglický
PodrobnejšieSchwarz, Štefan - osobný fond
Ústredný archív Slovenskej akadémie vied Schwarz, Štefan osobný fond 1937 1996 (2014) inventár Kamencová, Lýdia 2016 Názov fondu: Schwarz, Štefan osobný fond Skrátený názov fondu: Evidenčné číslo: 36482
PodrobnejšieÚvod
Žilinská univerzita v Žiline Fakulta stavebná XX. ročník súťaže Študentskej vedeckej a odbornej činnosti stavebných fakúlt Českej a Slovenskej republiky Akademický rok 2018/2019 Názov práce ŠVOČ Meno a
PodrobnejšieStat1_CV1 VES
Štatistika 1 Cvičenie č. 1 Triedenie, Aritmetický priemer Príklad č. 1 Pri sledovaní výkonnosti zamestnancov sa v 20 sledovaných dňoch zistili nasledovné údaje o počte vybavených klientov počas smeny v
PodrobnejšieAk existuje čokoľvek, čo chceš urobiť, alebo povedať, urob to teraz hneď, lebo potom už môže byť neskoro
Číslo objednávky Popis objednaného plnenia Hodnota objednávk y s DPH v Eur Dátum vyhotovenia objednávky Čisl o zml uvy Identifikačné údaje dodávateľa Objednávku podpísala funkcia 1/2016 predplatné 15,60
PodrobnejšieMO_pred10
Priestorové rozvrhy vozidiel Priestorové rozvrhy (trasy) vozidiel sú riešeím široke škály problémov, ktorých spoločým meovateľom e obsluha požiadaviek zákazíkov umiesteých v uzloch doprave siete pomocou
PodrobnejšieEurópske rybárstvo v číslach
EURÓPSKE RYBÁRSTVO V ČÍSLACH Tieto tabuľky zobrazujú základné štatistické údaje z niekoľkých oblastí týkajúcich sa spoločnej rybárskej politiky (SRP), a to: rybárske flotily jednotlivých členských štátov
PodrobnejšieSnímka 1
HIERARCHICKÝ LINEÁRNY MODEL PRIDANEJ HODNOTY ŠKOLY VO VZDELÁVANÍ Trajová Jana, Mária Kolková, Pavol Kaclík, Lukáš Píš 20.-21.10.2015, Bratislava Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je
PodrobnejšiePríklad 8 - Zemnýplyn 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu 1 - zemný plyn n 1 =? kmol/h 3 - syntézny plyn x 1A =? x 1B =? n 3 = 500 kmol/h PEC x 1C
Príklad 8 - Zemýply 3. Bilačá schéma 1. Zadaie príkladu 1 - zemý ply 1 =? kmol/h 3 - sytézy ply x 1 =? x 1B =? 3 = 500 kmol/h PEC x 1C =? x 3 = 0.0516 x 3B = 0.0059 x 3C = 0.3932 2 - vodá para x 3 = 0.4409
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
PodrobnejšieBureau Veritas Consumer Products Services UK Ltd SPRÁVA Z TESTOVANIA REF. Č. SPRÁVY: ALC K : : 0414NM1 VZORKA ZÍSKANÁ: SPRÁVA VYDA
SPRÁVA Z TESTOVANIA REF. Č. SPRÁVY: ALC K : 158600 : 0414NM1 VZORKA ZÍSKANÁ: 24. 04. 2014 SPRÁVA VYDANÁ: 25. 05. 2014 OPIS VZORKY: ŽIADATEĽ: Annie Sloan Vosk Horizon Products Ltd Unit 6 Churchill Industrial
PodrobnejšiePríloha č.2 Hlásenie o stave majetku - Vital
Príloha č. 8 k vyhláške č. 545/2009 Z. z.! druhy majetku sa upravujú podľa platného znenia zákona, uvedené platí aj pre ostatné časti prílohy VZOR Strana 1/5 Členenie podľa trhov Druh majetku Členenie
Podrobnejšie1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle
1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr at b + k. idea postupu je postupne rozpisovat cleny T b... teda T b = at + 1... dokym v tom neuvidime nejaky tvar
Podrobnejšie