Leto120w.dvi

Prepis

1 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R V tejto kapitole budeme pokraèova v túdiu bilineárnych a kvadratick ch foriem. Obmedzíme sa v ak na bilineárne a kvadratické formy na vektorov ch priestoroch nad po om reálnych èísel. Tento zvlá tny prípad je zároveò najdôle itej í z h adiska aplikácií lineárnej algebry v geometrii a matematickej anal ze. Ako príklad toho si v poslednom paragrafe predvedieme vyu itie reálnych kvadratick ch foriem pri h adaní a klasifikácii extrémov a sedlov ch bodov funkcií viac premenn ch. Pole R má charakteristiku 1, teda char R 6= 2.To nám umo òuje plne vyu i v etky v sledky predchádzajúcej kapitoly. Mno ina reálnych èísel je v ak popri truktúre po a vybavená aj reláciou usporiadania, ktorá je vhodne zladená so sèítaním a násobením na R. Navy e, pre a 2 R platí a 0 práve vtedy, keï existuje nejaké b 2 R také, e a = b 2. Práve táto vlastnos nám umo ní hlb ie objasni a jemnej ie klasifikova truktúru bilineárnych a kvadratick ch foriem nad R Signatúra Nech A 2 R n n je symetrická matica. Pod a vety A je kongruentná s nejakou diagonálnou maticou B 2 R n n.potom A a B majú rovnakú hodnos h(a) =h(b), ktorá sa zrejme rovná poètu nenulov ch prvkov na diagonále matice B. Popri hodnosti sú v ak i poèty kladn ch a záporn ch prvkov na diagonále matice B invariantmi, spoloèn mi pre navzájom kongruentné matice. Pre ubovo nú diagonálnu maticu A 2 R n n polo me ff(a) =(s + ;s ;s 0 ); kde s + je poèet kladn ch, s poèet záporn ch as 0 poèet nulov ch prvkov na diagonále matice A. Usporiadanú trojicu ff(a) =(s + ;s ;s 0 ) naz vame signatúrou matice A. V imnite si, e tri zlo ky signatúry ff(a) nie sú nezávislé. Platí toti s + + s = h(a) a s + + s + s 0 = n; to znamená, e pri znalosti rozmeru n a hodnosti h(a) je signatúra jednoznaène urèená u jedn m z èísel s +, s. Z tohto dôvodu niektorí autori definujú signatúru len ako poèet s +. Teraz u mô eme sformulova tvrdenie o invariantnosti signatúry presnej ie Veta. (Sylvestrov zákon zotrvaènosti) Nech A; B 2 R n n sú diagonálne matice. Potom A B ) ff(a) =ff(b): Dôkaz. Nech A B. Oznaème h = h(a) =h(b) hodnos oboch matíc a k, l poèty kladn ch diagonálnych prvkov v maticiach A resp. B. Potom ff(a) =(k; h k; n h) a ff(b) =(l; h l; n h), tak e staèí dokáza rovnos k = l. Keï e poradie prvkov na 1

2 2 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R diagonále mo no prehadzova pri zachovaní vz ahu kongruencie, mô eme si dovoli predpoklada, e na e matice majú tvar A = diag(a 1 ;:::;a k ; a k+1 ;:::; a h ; 0;:::;0); B = diag(b 1 ;:::;b l ; b l+1 ;:::; b h ; 0;:::;0); kde a i > 0, b i > 0 pre i» h. Keï e A B, existuje regulárna matica P 2 R n n taká, e B = P T A P. Jej ståpce tvoria bázu fi =(v 1 ;:::;v n )vektorového priestoru R n. Potom A ja maticou kvadratickej formy q(x) =x T A x na R n v báze ", zatia èo B je jej maticou v báze fi (pozri vetu ). Oznaème S =[e 1 ;:::;e k ]; T =[v l+1 ;:::;v n ] lineárne podpriestory v R n. Pre ka d nenulov vektor x = x 1 e 1 + :::+ x k e k 2 S platí q(x) =x T A x = a 1 x :::+ a kx 2 k > 0: Podobne, pre ka d vektor y = y l+1 v l+1 + :::+ y n v n 2 T platí q(y) =(y) T fi B (y) fi = b l+1 y 2 l+1 ::: b h y 2 h» 0: Z toho vypl va, e S T = f0g, teda dim(s + T ) = dim S + dim T = k +(n l): Keï e S + T R n, zrejme dim(s + T )» n. Z nerovnosti k + n l» n okam ite vypl va k» l. Zo symetrie vz ahu kongruencie dostávame tie l» k. Práve dokázaná veta umo òuje korektne roz íri definíciu signatúry z diagonálnych matíc na v etky symetrické matice, a taktie na symetrické bilineárne a kvadratické formy. Signatúrou symetrickej matice A 2 R n n, oznaèenie ff(a), rozumieme signatúru ubovo nej s òou kongruentnej diagonálnej matice B 2 R n n. Signatúrou symetrickej bilineárnej formy F : V 2! R na koneènorozmernom reálnom vektorovom priestore V, oznaèenie ff(f ), rozumieme signatúru jej matice vzh adom na ubovo nú bázu vo V. Koneène signatúrou kvadratickej formy q : V! R na koneènorozmernom vektorovom priestore nad R, oznaèenie ff(q), rozumieme signatúru jej polárnej formy. V imnite si, e pre symetrickú bilneárnu aj pre kvadratickú formu sa príslu ná signatúra rovná signatúre nejakej jej diagonálnej matice. Sylvestrov zákon zotrvaènosti spolu s vetou nám zaruèujú, e ubovo né dve diagonálne matice zodpovedajúce, danej forme vzh adom na rôzne bázy, v ktor ch má táto forma diagonálnu maticu, majú rovnakú signatúru. Ka dú reálnu symetrickú maticu A 2 R n n mo no upravi na s òou kongruentnú diagonálnu maticu. Tú zasa mo no zmenou poradia prvkov na diagonále upravi na s òou kongruentnú maticu tvaru diag(d 1 ;:::;d k ; d k+1 ;:::; d k+l ; 0;:::;0); z } m krát kde ff(a) =(k; l; m) ad i > 0 pre i» k + l. Akteraz pre ka dé i» k + l vynásobime i-ty ståpec aj riadok skalárom 1= p d i, vyjde nám matica v blokovo diagonálnom tvare A diag(i k ; I l ; 0 m;m ):

3 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R 3 Spojením tejto úvahy so Sylvestrov m zákonom dostávame Veta. Nech A; B 2 R n n sú ubovo né symetrické matice. Potom A B, ff(a) =ff(b): Dôsledok. Nech V je vektorov priestor nad R koneènej dimenzie n. Potom (a) ka dá symetrická bilineárna forma F : V 2! R má vhodnej báze ff priestoru V blokovo diagonálnu maticu tvaru [F ] ff = diag(i k ; I l ; 0 m;m ); kde ff(f )=(k; l; m); (b) ka dá kvadratická forma q : V! R má vo vhodnej báze ff priestoru V diagonálny tvar q(x) =x :::+ x2 k x 2 k+1 ::: x 2 k+l; kde ff(q) =(k; l; n k l) a (x) ff =(x 1 ;:::;x n ) T. Pre porovnanie si e te uvedieme pár poznámok o symetrick ch bilineárnych a kvadratick ch formách na vektorov ch priestoroch nad po om C v etk ch komplexn ch èísel a po om Q v etk ch racionálnych èísel. Keï e char C = char Q = 1 6= 2, ka dú symetrickú maticu A typu n n nad jedn m i druh m po om mo no upravi na s òou kongruentnú diagonálnu maticu A diag(d 1 ;:::;d h ; 0;:::;0); kde h = h(a) ad j 6=0pre j» h. V komplexnom prípade si ka d z prvkov d j mô eme vyjadri v goniometrickom tvare d j = r j (cos ff j + i sin ff j ); kde r j = jd j j > 0a0» ff j < 2ß. Akpreka dé j» h vynásobíme j-ty ståpec i riadok skalárom c j = p 1 cos ff j rj 2 i sin ff j ; 2 pre ktor platí c 2 j d j = 1, dostaneme A diag(i h ; 0 m;m ); kde m = n h. Z toho vidíme, e nad po om C sa niè podobné rozdeleniu nenulov ch prvkov na kladné a záporné nekoná v etky nenulové prvky na diagonále sú rovnocenné a mo no ich nahradi jednotkou. Jedin m invariantom, ktor jednoznaène urèuje kongruenciu symetrick ch matíc ako aj kanonick tvar matíc symetrick ch bilineárnych i kvadratick ch foriem nad C, je ich hodnos, ktorá tak plne preberá úlohu signatúry v reálnom prípade. Nasledujúce tvrdenie je upresnením a zhrnutím na ich úvah.

4 4 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R Tvrdenie. (a) Nech A; B 2 C n n sú symetrické matice. Potom A B práve vtedy, keï h(a) =h(b). (b) Nech V je koneènorozmern vektorov priestor nad C, a F : V 2! C je symetrická bilineárna forma. Potom F má vzh adom na nejakú bázu ff priestoru V maticu v blokovo diagonálnom tvare [F ] ff = diag(i h ; 0 m;m ), kde h = h(f ) a m = dim V h. K m situácia nad C je podstatne jednoduch ia ne nad R a dokázali sme ju úplne popísa, nad Q si tak ahko poradi nevieme. Základn problém tkvie v tom, e nie v etky kladné racionálne èísla majú racionálne druhé odmocniny. Tak u pre matice rozmeru 1 1 máme napr. (2) 6 (1) v dôsledku iracionality èísla p 2. Aby to v ak nebolo také jednoduché, v rozmere 2 2 napr. platí : 0 1 (Presvedète sa o tom!) Systematickému túdiu kongruencie racionálnych symetrick ch matíc, ktoré u nie je èiste zále itos ou lineárnej algebry ale aj teórie èísel, sa v tomto kurze viac venova nebudeme Definitnos Nech V je vektorov priestor nad po om R. Kvadratická forma q : V! R sa naz va (a) kladne definitná, akq(x) > 0 pre ka dé 0 6= x 2 V ; (b) kladne semidefinitná, akq(x) 0 pre ka dé x 2 V ; (c) záporne definitná, akq(x) < 0 pre ka dé 0 6= x 2 V ; (d) záporne semidefinitná, akq(x)» 0 pre ka dé x 2 V ; (e) indefinitná, akexistujú x; y 2 V také, e q(x) < 0 <q(y). Rovnakú klasifikáciu zavádzame aj pre symetrické bilineárne formy F : V 2! R F má príslu nú vlastnos definitnosti práve vtedy, keï òou indukovaná kvadratická forma q(x) =F (x; x), má túto vlastnos. Podobne, symetrická matica A 2 R n n má príslu nú vlastnos definitnosti práve vtedy, keï túto vlastnos má kvadratická forma q(x) =x T A x na priestore R n. Na zaèiatok zaznamenáme nieko ko jednoduch ch pozorovaní: (a) ) (b), (c) ) (d), no ka dá z podmienok (a), (c), (e) vyluèuje zvy né dve. Dokonca (e) vyluèuje ka dú z podmienok (b), (d). Podmienky (b), (d) sa vzájomne nevyluèujú, no jediná kvadratická forma, ktorá je zároveò kladne aj záporne semidefinitná, je forma identicky rovná nule na V. V dimenzii n = 1 je to v ak jediná (kladne alebo záporne) semidefinitná forma. V dimenzii n = 1 takisto neexistujú nijaké indefinitné formy. Nasledujúce oèividné tvrdenie poskytuje úpln popis definitnosti aj regularitykvadratick ch foriem (a zároveò aj symetrick ch bilineárnych foriem a symetrick ch matíc) v jazyku ich signatúry Tvrdenie. Nech V je n-rozmer vektorov priestor nad po om R a q : V! R je kvadratická forma so signatúrou ff(q) =(s + ;s ;s 0 ). Potom (a) q je kladne definitná práve vtedy, keï ff(q) =(n; 0; 0); (b) q je kladne semidefinitná práve vtedy, keï ff(q) =(h(q); 0; n h(q)); (c) q je záporne definitná práve vtedy, keï ff(q) =(0;n;0); (d) q je záporne semidefinitná práve vtedy, keï ff(q) =(0;h(q);n h(q)); (e) q je indefinitná práve vtedy, keï s + 1 a s 1; (f) q je regulárna práve vtedy, keï s 0 =0.

5 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R 5 Èas (a) predchádzjúceho tvrdenia v spojení s dôsledkom okam ite dáva Dôsledok. Symetrická matica A 2 R n n je kladne definitná práve vtedy, keï existuje regulárna matica P 2 R n n taká, e A = P T P : Tvrdenie nám spolu s algoritmom z dôkazu vety (prípadne Lagrangeovou metódou) dáva priamy návod na zistenie charakteru definitnosti nejakej formy èi matice. Tak napríklad kvadratická forma z príkladov , má signatúru (2; 2; 0), teda je indefinitná. Kvadratická forma z príkladu má signatúru (2; 0; 0), èi e je kladne definitná. Niekedy v ak mô e by u itoèné, ak doká eme urèi charakter definitnosti nejakej symetrickej matice (a t m pádom aj òou urèenej kvadratickej èi bilineárnej formy) priamo, t. j. bez jej predchádzajúcej úpravy na s òou kongruentn diagonálny tvar. Za t m úèelom najprv zavedieme istú modifikáciu úprav typu (1) z dôkazu vety nazveme ich úpravami typu (1 + ) Nech i» n je najmen í index tak, e a ii 6= 0. Potom postupne pre ka dé j» n také, e j > i a a ij = a ji 6= 0, pripoèítame k j-temu ståpcu matice a ij a a ii -násobok i-teho ståpca a v takto získanej matici pripoèítame ji a ii - násobok i-teho riadku k j-temu riadku. Inak povedané, pomocou diagonálneho prvku a ii 6=0vynulujeme v etky nenulové prvky i-teho riadku aj ståpca, ktoré le ia napravo resp. nadol od prvku a ii. Uvedomme si, e matica prechodu, ktorá vznikne vykonaním ESO, zodpovedajúcich nejak m úpravám typu (1 + ) na jednotkovej matici, je v dy horná trojuholníková matica s jednotkami na diagonále. Navy e, súèin dvoch matíc takéhoto tvaru má tie tak to tvar (presvedète sa o tom). Ak A =(a ij ) n n je matica nad ubovo n m po om K a1» k» n, tak pre potreby zvy ku tohto paragrafu A k oznaèuje maticu tvorenú av m horn m rohom rozmeru k k matice A. Teda A 1 =(a 11 ); A 2 = a11 a 12 a 21 a 22 ; :::; A n = A: Veta. (Jacobi) Nech K je ubovo né pole a 0 6= A 2 K n n je symetrická matica hodnosti h. Potom nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) matica A h je regulárna a maticu A mo no upravi na s òou kongruentn diagonálny tvar v luène pomocou úprav typu (1 + ); (ii) ja k j6=0pre ka dé 1» k» h, a platí A diag ja 1 j; ja 2j ja 1 j ;::: ; ja h j ja h 1 j ; 0;:::;0 ; (iii) ja k j6=0pre ka dé 1» k» h; (iv) ja k j6=0pre ka dé 1» k» h a maticu A mo no upravi na s òou kongruentn diagonálny tvar diag v luène pomocou úprav typu (1 + ). ja 1 j; ja 2j ja 1 j ;::: ; ja h j ja h 1 j ; 0;:::;0

6 6 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R Dôkaz. (i) ) (ii): Nech platí (i). Pod a poznámky, predchádzajúcej dokazovanú vetu existuje horná trojuholníková matica P 2 K n n s jednotkami na diagonále taká, e matica B = P T A P je v diagonálnom tvare. Zrejme i ka dá z matíc P k,1» k» n, tvorená av m horn m rohom rozmeru k k matice P,jevtakomto tvare. Oznaème B = diag(b 1 ;:::;b n ). Prenechávame èitate ovi, aby sa sám presvedèil, e potom pre ka dé k» n platí B k = diag(b 1 ;:::;b k )=P T k A k P k : Determinant ka dej z matíc P k je súèin jej diagonálnych prvkov, èi e jp k j = 1. Preto jb k j = b 1 :::b k = ja k j pre ka dé k» n. Keï e matica A h je regulárna, platí ja h j = jb h j = b 1 :::b h 6=0; teda b k 6= 0 pre v etky k» h. Z jednotliv ch rovností ja 1 j = b 1, ja 2 j = b 1 b 2, :::, ja h j = b 1 b 2 :::b h u priamo vypl va nenulovos v etk ch minorov ja k j pre k» h, ako aj rovnosti b 1 = ja 1 j, b 2 = ja 2 j=ja 1 j, :::, b h = ja h j=ja h 1 j. Keï e h(b) =h(a) =h, pre h» k» n platí b k =0. (ii) ) (iii) platí triviálne. (iii) ) (iv): Nech platí (iii). Doká eme, e maticu A mo no upravi na diagonálny tvar A diag ja 1 j; ja 2j ja 1 j ;::: ; ja h j ja h 1 j ; 0;:::;0 len pomocou úprav typu (1 + ). Nako ko platí a 11 = ja 1 j 6= 0, pomocou a 11 mo no vynulova v etky ostatné prvky prvého riadku aj ståpca matice A. Keï e le ia napravo resp. nadol od a 11, ide o úpravu typu (1 + ). Dostaneme tak maticu v blokovo diagonálnom tvare A diag a 11 ; C (1) ; kde C (1) = c (1) ij je matica rozmeru (n 1) (n 1) nad K. Vzh adom na charakter vykonan ch ståpcov ch a riadkov ch úprav platí A 2 = a taktie ja 2 j = a 11 c (1) 11, èi e a11 a 12 a 21 a 22 c (1) 11 = ja 2j a 11 a c (1) ; 11 = ja 2j ja 1 j 6=0: Pomocou prvku c (1) 11 6= 0 mo no teraz vynulova v etky ostatné prvky prvého riadku aj ståpca matice C (1). Opä ide o úpravu typu (1 + ) na matici diag a 11 ; C (1). Dostaneme tak maticu v blokovo diagonálnom tvare A diag a 11 ; C (1) diag ja 1 j; ja 2j ja 1 j ; C(2) ;

7 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R 7 kde C (2) = c (2) ij 2 K (n 2) (n 2).Rovnakou úvahou ako v predo lom prípade dospejeme k záveru, e c (2) 11 = ja 3j ja 2 j 6=0: Takto mô eme pokraèova tak dlho, a k m nedospejeme k blokovo diagonálnemu tvaru A diag ja 1 j; ja 2j ja 1 j ;::: ; ja h j ja h 1 j ; C(h) ; kde C (h) 2 K (n h) (n h). Vzh adom nato, e obe matice majú hodnos h, (pokia h<n) matica C (h) je identicky nulová. (iv) ) (i) je opä triválne Veta. (Sylvestrovo kritérium) Nech A 2 R n n je symetrická matica. Potom (a) A je kladne definitná práve vtedy, keï ja k j > 0 pre v etky 1» k» n; (b) A je záporne definitná práve vtedy, keï ( 1) k ja k j > 0 pre v etky 1» k» n. Dôkaz. (a) Nech A je kladne definitná. Pod a dôsledku existuje regulárna matica P 2 R n n, taká, e A = P T P. Keï e jp j6=0,odtia u priamo vypl va jaj = jp T j jp j = jp j 2 > 0: Pre ka dé 1» k» n oznaème S k = [e 1 ;:::;e k ] lineárny podpriestor v R n generovan prv mi k vektormi kanonickej bázy " a q k = q μ S k zú enie kvadratickej formy q(x) =x T A x na podpriestor S k. Zrejme ka dé q k je kladne definitná kvadratická forma, ktorá má v báze (e 1 ;:::;e k ) podpriestoru S k maticu A k.tak e ka dá z matíc A k,1» k» n, je kladne definitná. Pod a prvej èasti dôkazu z toho vypl va ja k j > 0. Nech naopak v etky minory ja k j, 1» k» n, sú kladné. Potom h(a) =n a pod a Jacobiho vety platí A diag ja 1 j; ja 2j ja 1 j ;::: ; ja n j : ja n 1 j Keï e v etky diagonálne prvky v poslednej matici sú kladné, A je kladne definitná. (b) vypl va z (a) na základe faktu, e A je záporne definitná práve vtedy, keï A je kladne definitná, a rovnosti j A k j =( 1) k ja k j splnenej pre v etky k» n Extrémy funkcií viac premenn ch V tomto paragrafe si predvedieme, ako nám èerstvo nadobunuté poznatky o kvadratick ch formách mô u pomôc pri túdiu funkcií viac premenn ch, presnej ie pri h adaní extrémov a sedlov ch bodov tak chto funkcií a v eobecnej ie pri klasifikácii ich stacionárnych bodov. Najprv si zopakujme, ako si poèíname v prípade funkcie jednej premennej. Pre jednoduchos sa obmedzíme len na dostatoène hladké funkcie. " Reálnu funkciu jednej premennej f : A! R definovanú na nejakej otvorenej mno- ine 1 A R nazveme pre úèely tohto paragrafu dostatoène hladkou, ak f má na celej mno ine A koneènú a spojitú prvú i druhú deriváciu. Z matematickej anal zy 1 Mno ina A R sa naz va otvorená, ak pre ka dé a 2 A existuje " >0 také, e cel otvoren interval (a "; a + ") je obsiahnut v mno ine A.

8 8 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R si pripomeòme si, e pre takúto funkciu f máme v ka dom bode a 2 A k dispozícii Taylorov rozvoj f(x) =f(a)+f 0 (a)(x a)+ 1 2 f 00 (a)(x a) 2 + (x)(x a) 2 pre x z istého okolia 2 N A bodu a, prièom funkcia : N! R je spojitá a vyhovuje podmienke (a) = 0, teda absolútna hodnota zvy ku (x)(x a) 2 je v dos malom okolí M N bodu a v porovnaní s ostatn mi èlenmi uvedeného rozvoja zanedbate ne malá. Pre x z tohto malého okolia bodu a teda mô eme písa f(x) ß f(a)+f 0 (a)(x a)+ 1 2 f 00 (a)(x a) 2 Ak f 0 (a) 6= 0,tak lineárny èlen f 0 (a)(x a) mení v bode a znamienko a v dostatoène malom okolí bodu a preva uje nad kvadratick m èlenom 1 2 f 00 (a)(x a) 2. Preto dostatoène hladká funkcia (dokonca u funkcia s koneènou a spojitou prvou deriváciou) mô e nadobúda na otvorenej mno ine extrémy len bodoch a, pre ktoré platí f 0 (a) = 0; hovoríme im stacionárne alebo tie kritické body funkcie f. Ak a 2 A je stacionárny bod, tak uveden Taylorov rozvoj má v tomto bode tvar f(x) =f(a)+ 1 2 f 00 (a)(x a) 2 + (x)(x a) 2 ß f(a)+ 1 2 f 00 (a)(x a) 2 pre x 2 M. Ak f 00 (a) > 0, tak f(a) <f(x) pre v etky x 6= a z nejakého okolia L M bodu a, teda f má v bode a ostré lokálne minimum. Ak f 00 (a) < 0, tak f(a) >f(x) pre v etky x 6= a z nejakého okolia L M bodu a, teda f má v bode a ostré lokálne maximum. Ak f 00 (a) = 0, tak v bode a sa mo e dia v podstate " èoko vek, presnej ie, len na základe prvej a druhej derivácie nevieme urèi, èi f má v bode a extrém, ani charakter prípadného extrému. Ak f má aj derivácie vy ích rádov, ich znalos nám mô e pomôc. No t m sa u zaobera nebudeme. Podobne si budeme poèína aj pri skúmaní funkcií viac premenn ch. Namiesto obyèajnej derivácie v ak musíme uva ova derivácie pod a rôznych premenn ch " funkcie f hovoríme im parciálne derivácie. Pre èitate a, ktor sa s parciálnymi deriváciami dosia nestretol, poznamenávame, e parciálnu i funkcie f pod a premennej x i dostaneme tak, e f jednoducho derivujeme pod a x i ako funkciu jednej premennej, prièom v etky ostatné premenné pova ujeme za kon tanty. Druhú parciálnu deriváciu funkcie f, najprv pod a premennej x j a potom pod a premennej x i, 2 f=@x j. 2 f=@x i pí 2 f=@x 2 i. Pre jednoduchos sa opä obmedzíme len na dostatoène hladké funkcie. " Reálnu funkciu n premenn ch definovanú na otvorenej mno ine 3 A R n nazveme pre úèely tohto paragrafu dostatoène hladkou, akf má na celej mno ine A koneèné a spojité v etky parciálne derivácie prvého i druhého rádu. 2 Mno ina N R sa naz va okolím bodu a 2 R, ak existuje ">0 také, e (a "; a + ") N. 3 Mno ina A R n sa naz va otvorená, ak pre ka dé a 2 A existuje ">0 také, e celá otvorená gu a B(a;")=fx 2 R n ; x :::+ x2 n <"2 g je obsiahnutá v mno ine A.

9 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R 9 Nech teda f : A! R je dostatoène hladká funkcia definovaná na otvorenej mno ine A R n a a 2 A. Prvou (totálnou) deriváciou alebo tie gradientom funkcie f v bode a naz vame vektor f 0 (a) = 1 n ktorého zlo ky tvoria prvé parciálne derivácie funkcie f v bode a. Druhou (totálnou) deriváciou funkcie f v bode a naz vame maticu f 00 (a) j ; n n tvorenú v etk mi druh mi parciálnymi deriváciami funkcie f v bode a. V diferenciálnom poète funkcií viac premenn ch sa dokazuje, e zo spojitosti druh ch parciálnych derivácií vypl 2 f(x) i pre v etky i; j» n a x 2 A. To znamená, e druhá derivácia f 00 (a) dostatoène hladkej funkcie f je symetrická matica, teda je maticou kvadratickej formy q(v) =v f(a) v T = j v T na (riadkovom) vektorovom priestore R n vzh adom na kanonickú bázu " (n).uká eme si, e práve signatúra druhej derivácie f 00 (a) rozhodujúcim (a v prípade jej regularity dokonca jednoznaèn m) spôsobom urèuje chovanie funkcie v jej kritick ch bodoch. Podobne ako v prípade jednej premennej, aj dostatoène hladkú funkciu viac premenn ch mo no v ka dom bode 4 a = (a 1 ;:::;a n ) 2 A písa v tvare Taylorovho rozvoja f(x) =f(a)+f 0 (a) (x a) T (x a) f 00 (a) (x a) T +(x a) (x) (x a) T pre x = (x 1 ;:::;x n ) z istého okolia 5 N A bodu a, kde (x) = ij (x) n n je matica, ktorej zlo ky tvoria hodnoty spojit ch funkcií ij : N! R v bode x. Tieto funkcie navy e vyhovujú podmienke ij (a) = 0, teda absolútna hodnota zvy ku (x a) (x) (x a) T je v dos malom okolí M N bodu a v porovnaní s ostatn mi èlenmi uvedeného rozvoja zanedbate ne malá. Pre x z tohto malého okolia bodu a teda mô eme písa f(x) ß f(a)+f 0 (a) (x a) T (x a) f 00 (a) (x a) T : 4 V imnite si, e, tak ako je to zvykom v matematickej anal ze, prvky priestoru R n zapisujeme ako riadkové vektory. 5 Mno ina N R n sa naz va okolím bodu a 2 R, ak existuje ">0 také, e B(a;") N.

10 BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM i 6= 0, tak i (x i a i ) lineárneho èlena f 0 (a) (x a) T mení v bode a znamienko a v dostatoène malom okolí bodu a takéto zlo ky preva ujú nad kvadratick m èlenom 1 2 (x a) f 00 (a) (x a) T. Preto dostatoène hladká funkcia (dokonca u funkcia s koneèn mi a spojit mi prv mi parciálnymi deriváciami) mô e na otvorenej mno ine nadobúda extrémy len v bodoch a, pre ktoré platí f 0 (a) =0, t. j. v etky parciálne i v bode a sa rovnajú nule. Tak mto bodom hovoríme stacionárne alebo tie kritické body funkcie f. Ak a 2 A je stacionárny bod, tak uveden Taylorov rozvoj má v tomto bode tvar f(x) =f(a)+ 1 2 (x a) f 00 (a) (x a) T + (x a) (x) (x a) T ß f(a)+ 1 2 (x a) f 00 (a) (x a) T pre v etky x z okolia M bodu a. Ak matica f 00 (a) je kladne definitná, tak pre v etky x 6= a z nejakého okolia L M bodu a platí (x a) f 00 (a) (x a) T > 0af(a) <f(x), teda f má v bode a ostré lokálne minimum. Ak matica f 00 (a) je záporne definitná, tak pre v etky x 6= a z nejakého okolia L M bodu a platí (x a) f 00 (a) (x a) T < 0af(a) >f(x), teda f má v bode a ostré lokálne maximum. Ak matica f 00 (a) je indefinitná, tak existujú vektory u, v a èíslo " > 0 také, e u f 00 (a) u T < 0 < v f(a) v T, obe úseèky X = fa+tu; jtj»"g, Y = fa+tv; jtj»"g sú celé obsiahnuté v okolí M a pre v etky body x 2 X, y 2 Y rôzne od a platí f(x) <f(a) <f(x). Hovoríme, e f má v bode a sedlo. Tento prípad nemô e nasta pre funkcie jednej premennej. Zrejme v sedlovom bode funkcia nenadobúda extrém. Ak matica f 00 (a) je nenulová, singulárna a semidefinitná, tak ná èitate asi oèakáva, e f v bode a nadobudne neostré lokálne minimum (pre kladne semidefinitnú maticu) alebo neostré lokálne maximum (pre záporne semidefinitnú maticu). No nie v dy je tomu tak. Podobne ako v prípade nulovej druhej derivácie u funkcií jednej premennej, ak matica f 00 (a) je singulárna a (kladne alebo záporne) semidefinitná, tak bez oh adu nato, èi je nulová alebo nie, v bode a sa mô e udia prakticky èoko vek. Funkcia v tomto bode mô e, ale nemusí ma extrém alebo sedlo. Nieèo v ak " predsa len mô eme poveda : ak uvedená matica je nenulová a kladne semidefinitná, tak f nemá v bode a (ostré ani neostré) lokálne maximum; ak je nenulová a záporne semidefinitná, tak f nemá v bode a (ostré ani neostré) lokálne minimum. Ak f má aj derivácie vy ích rádov, tak na ich základe èasto mô eme poveda o nieèo viac. Tieto otázky v ak presahujú rámec ná ho úvodného kurzu lineárnej algebry a geometrie. Prípadn ch záujemcov o ich podrobnej ie túdium odkazujeme na nejakú uèebnicu diferenciálneho poètu funkcií viac premenn ch Príklad. (Kopèeky a jamky) Preskúmame funkciu f : R 2! R, danú predpisom f(x; y) = sin ßx ßy sin. Jej prvé parciálne derivácie sú = ß ßx ßy cos sin 2 2 = ß ßx ßy sin cos : Keï e sinus a kosinus nejakéko èísla sa súèasne nemô u rovna nule, (x; y) je stacionárnym bodom funkcie f práve vtedy, keï cos ßx ßy ßx ßy = cos = 0 alebo sin = sin =

11 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R 11 z = f(x; y) = sin ßx 2 sin ßy 2 Teda stacionárnymi bodmi funkcie f sú práve v etky mre ové body roviny tvaru (m; n), kde m, n sú celé èísla rovnakej parity (t. j. m n je párne èíslo). Vypoèítame i druhé parciálne 2 f = ßx ßy 2 ß2 sin sin = ß2 ßx ßy cos cos : Vidíme, e funkcia f je dostatoène hladká na celej rovine R 2. Jej druhá derivácia v stacionárnych bodoch má tvar f 00 (m; n) = ß2 4 sin mß sin nß cos mß cos nß cos mß cos nß sin mß sin nß : Pre m =2k, n =2l obe párne máme f 00 (m; n) = ß2 4 0 ( 1) m+n 2 ( 1) m+n : 0 1 V ka dom z t chto bodoch je matica indefinitná, teda funkcia f má v bodoch tvaru (2k; 2l), kde k; l 2 Z, sedlá. Hodnota funkcie vo v etk ch sedlov ch bodoch je 0. Pre m =2k +1,n =2l +1obe nepárne máme f 00 (m; n) = ß2 4 m+n ( 1) ( 1) m+n ( 1) k+l+1 : Táto matica je záporne definitná, ak k+l je párne èíslo, a kladne definitná pre nepárne k + l. Funkcia f teda nadobúda ostré lokálne maximá v bodoch (2k +1; 2l + 1), kde k, l sú celé èísla a k + l je párne. Hodnota v etk ch t chto maxím je 1. V bodoch (2k +1; 2l + 1), kde k; l 2 Z a k + l je nepárne èíslo, nadobúda f ostré lokálne minimá, ktor ch hodnota je v dy 1. Na obrázku je graf funkcie f na èasti definièného oboru h0; 4i h0; 4i. Vidno na òom maximá v bodoch (1; 1), (3; 3), minimá v bodoch (1; 3), (3; 1) a sedlo v bode (2; 2).

12 BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R Nako ko v etky typy kritick ch bodov, ktor ch charakter mo no urèi na základe druhej derivácie funkcie, sa nám podarilo ilustrova na jedinom príklade, v ïal ích uká kach sa zameriame na funkcie so singulárnymi semidefinitn mi druh mi deriváciami v kritick ch bodoch. Keï e v takom prípade nám toho na a teória mnoho nepovie, zvolíme si funkcie, pri ktor ch nám charakter kritick ch bodov bude jasn z názoru, ako napokon aj v prvom príklade. Najprv jeden príklad, kde v etko dopadne pod a oèakávania Príklad. (Vlnit plech) Je daná funkcia g : R 2! R, kde g(x; y) = cos(ßx). Jej prvé parciálne = =0: Stacionárne body funkcie g teda vytvárajú systém ekvidistantn ch rovnobe n ch priamok (s rovnicami) x = k, kde k je ubovo né celé èíslo. Druhé parciálne derivácie funkcie g 2 2 g 2 ß2 g =0; teda funkcia g je dostatoène hladká. Druhá derivácia v stacionárnych bodoch teda vyzerá takto cos(kß) 0 ( 1) k g 00 (k; y) = ß 2 = ß 2 0 : Pre k párne dostávame g 00 (k; y) 1 0 ; 0 0 èo je záporne semidefinitná singulárna matica. Podobne, pre k nepárne máme 1 0 g 00 (k; y) ; 0 0 èo je kladne semidefinitná singulárna matica. V takom prípade nám na a teória neposkytuje nijaké závery. Z grafu funkcie na èasti h 3; 3 i h0; 2i definièného oboru 2 2 a z periodiènosti funkcie cos(ßx) v ak mo no usúdi, e pre párne k 2 Z nadobúda funkcia g na priamkach x = k neostré lokálne maximum hodnoty 1 a pre nepárne k 2 Z nadobúda g na priamkach x = k neostré lokálne minimum hodnoty 1. 1 z = g(x; y) = cos(ßx)

13 12. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY NAD PO OM R 13 Na záver si predvedieme, èo v etko sa v kritickom bode mô e e te sta Príklad. (Kreslo, sie a sedlo) Uva ujme reálne funkcie dvoch premenn ch h 1 (x; y) =x 2 + y 3 ; h 2 (x; y) =x 2 + y 4 ; h 3 (x; y) =x 2 y 4 : ahko mo no nahliadnu, e v etky majú jedin a ten ist stacionárny bod (0; 0), v ktorom nadobúdajú tú istú hodnotu 0. Taktie majú v tomto bode rovnakú druhú deriváciu h 00 1 (0; 0) = h00 2 (0; 0) = h00 (0; ) = ; 0 0 (presvedète sa o tom sami). Tak e uvedená matica je nenulová, singulárna a kladne semidefinitná. Z obrázkov grafov funkcií v ist ch okoliach bodu (0; 0) v ak vidno, e (1) h 1 nemá v bode (0; 0) extrém ani sedlo v tomto bode sa toti pretína krivka z = x 2, y = 0, pre ktorú, je (0; 0) bodom ostrého lokálneho minima, s krivkou x =0,z = y 3, ktorá má v bode (0; 0) inflexn bod; (2) h 2 má v bode (0; 0) ostré lokálne minimum; (3) h 3 má v bode (0; 0) sedlo. z = h 1 (x; y) =x 2 + y 3 z = h 2 (x; y) =x 2 + y 4 z = h 3 (x; y) =x 2 y 4 z 8 1