Cvi eie z Teórie elektromagetického po a 1. cvi eie (13.2.212) Úvod Ifo o cvi iacom Meo: Luká² Tomek Katedra: Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky Oddeleie: Oddeleie didaktiky fyziky Miestos : F1 148 Mail: tomek@fmph.uiba.sk Stráka: http://sophia.dtp.fmph.uiba.sk/~tomek/ Hodoteie Práca za semester predstavuje 2 % z celkového hodoteia predmetu. Skú²ka je za 8 bodov a práca po- as semestra za 2 body. Body sa po as semestra získavajú vypracovaím ieko kých (zhruba ²tyroch) dlh²ích domácich úloh. Základé vz ahy elektrodyamiky vo vákuu divd = ρ Coulombov záko + pricíp superpozície rote = B t Faradayov záko elmag idukcie divb = eexistecia magetických ábojov (moopólov) roth = j + D t Ampérov záko + Maxwellov posuvý prúd D = ε E B = µ H materiálové vz ahy vo vákuu t ρ + divj = rovica kotiuity Vä ²ia príkladov je zo skrípt, ktoré ájdete a stráke Martia Mojºi²a (bude sa uvádza le íslo príkladu v tvare (kapitola.podkapitola.príklad), iekedy v²ak budeme po íta le jeho as ). al²ie príklady budú z iých kíh alebo tzv. vymysleé a ich zadaia budú explicite vypísaé. (I.1.1), (I.1.2), (I.1.4) 2. cvi eie (2.2.212) Základé vz ahy elektrodyamiky v látkach j = σe ρ(r, t) = ρ(r, )e σ ε t Ohmov záko expoeciály pokles hustoty áboja v kovoch (I.1.3), (I.2.1) a), b), c) + výpo et expoeciáleho útlmu elmag v v kovoch Nepoviá domáca úloha, eodovzdáva sa. Slúºi le a zopakovaie si jedoduchých výpo tov z Elektromagetizmu. (I.2.2)
3. cvi eie (27.2.212) Zákoy zachovaia pre elektromagetické pole t u + divs = E j záko zachovaia eergie u = 1 2 (ε E 2 + µ H 2 ) hustota eergie elmag po a S = E H hustota toku eergie elmag po a E j hustota výkou Loretzovej sily (rýchlos zmey hustoty eergie pohybujúcich sa ábojov) t g + divt = f záko zachovaia hybbosti g = D B hustota hybosti elmag po a T ij = uδ ij E i D j H i B j zloºky tezora hustoty toku hybosti elmag po a f = ρe + j B hustota Loretzovej sily (I.3.1), (I.3.2), (I.3.4) a), (I.3.3) a) Doplkové cvi eie (27.2.212) Odraz a lom roviej elektromagetickej vly Odvodeie zákou odrazu, (Sellovho) zákou lomu a Freselových vz ahov pre koeciet odrazu a prechodu (pomery dopadajúcej a odrazeej, resp. dopadajúcej a prejdeej eergie) z hrai ých podmieok pre elmag polia. (Pod a kapitoly 9.3 z kihy D. Griths - Itroductio to Electrodyamics.) Hrai é podmieky D 2 D 1 = η E 1 = E 2 B 1 = B 2 H 2 H 1 = k (I.2.3) 4. cvi eie (5.3.212) Zákoy zachovaia pre elektromagetické pole t l + divm = r f záko zachovaia mometu hybbosti l = r g hustota mometu hybosti elmag po a M il = ε ijk x j T kl zloºky tezora hustoty toku mometu hybosti elmag po a r f hustota mometu Loretzovej sily Odkia vido, ºe pri jedosmerom prúde je j ko²taté v priereze vodi a? Odvodeie vz ahu F i = T ij ds j pre celkovú silu pôsobiacu a áboje uzavreté plochou S. S Podobe vz ah N i = S M ij ds j pre celkový momet sily pôsobiaci a áboje uzavreté plochou S. (I.3.3) b), (I.3.4) b)
Elektromagetické poteciály E = gradφ t A B = rota elmag polia cez elmag poteciály (I.4.1) b) Domáca úloha Táto domáca úloha sa odovzdáva a je za 5 bodov (z celkových 2, ktoré sa akoci pre²kálujú a 2). Nie je to (výpo tovo) i aºké, ide hlave o precvi eie ových pojmov. Úloha sa odovzdáva a za iatku budúceho cvi eia (12.3.). (I.3.3) c) Aké musí by B, aby zadaé polia E, B sp ali Maxwellove rovice? Vo výpo toch pracujte s týmto ²pecikovaým B. Overte, ºe platia v²etky tri zákoy zachovaia (eergie, hybosti, mometu hybosti). Nepoviá domáca úloha - eodovzdáva sa. (I.4.1) a), c) Preveri záko zachovaia eergie v príklade (I.3.4) a) vo vodi i aj mimo eho. 5. cvi eie (12.3.212) Elektromagetické poteciály E = gradφ t A B = rota elmag polia cez elmag poteciály φ φ = φ t Λ A A = A + gradλ kalibra é trasformácie (I.4.2) a), b), d), (I.4.3) a), b) Poissoova rovica a jedoza os jej rie²eia φ = ρ ε φ(r) S = f(r) Dirichletova úloha pre Poissoovu rovicu V (φ ψ + φ ψ)dv = φ ψ ds Greeova idetita S (II.1.1) 6. cvi eie (19.3.212) Poissoova rovica a jedoza os jej rie²eia φ = ρ ε φ(r) S = f(r) Dirichletova úloha pre Poissoovu rovicu Q i = C ij V j áboj a i-tom vodi i závisí lieáre od poteciálov a v²etkých vodi och (II.1.2), (II.1.3)
Domáca úloha Táto domáca úloha sa odovzdáva a je za 5 bodov. Úloha sa odovzdáva a za iatku cvi eia, ktoré bude 2.4. (II.1.4) d) Rie²te zvlá² pre umiesteie áboja q voku (l > R) a zvlá² vútri (l < R). V oboch prípadoch apí²te: φ i (r), E i (r) vútri izolovaej sféry a plo²ú hustotu áboja σ i a vútorom povrchu sféry. φ out (r), E out (r) voku a plo²ú hustotu áboja σ out a vokaj²om povrchu sféry. Celkovú silu F q, ktorou pôsobí sféra a áboj q. V prípade l > R overte itegráciou plo²ej hustoty, ºe celkový áboj a sfére je aozaj Q. Silu F q epo ítajte itegráciou, sta í jedoduch²ím spôsobom. V úlohe pouºite výsledky príkladu (II.1.3). Návod pre l < R: Poteciál φ(r) apí²te tak, aby sp al okrajovú podmieku φ(r) S = V s ezámou hodotou V. Nakoiec toto V ²pecikujte tak, aby celkový áboj a sfére bol Q. 7. cvi eie (26.3.212) Poissoova rovica a jedoza os jej rie²eia Metóda imagiárych ábojov (kuchyský recept): Úloha: Nájs elektrické pole E(r) kokréteho rozloºeia ábojov v priestore ohrai eom uzavretou vodivou plochou, a ktorej je zadaá hodota poteciálu φ(r) S = V. Namiesto pôvodej úlohy rie²ime ovú úlohu: Mimo uvaºovaý priestor umiestime imagiáre áboje tak, aby sme spolu so zadaým rozloºeím áboja dosiahli φ(r) S = V. Rie²eie ovej úlohy = Coulombov záko + pricíp superpozície. Veta o jedoza osti (rie²eia Dirichletovej úlohy pre Poissoovu rovicu) rie²eie pôvodej úlohy je v pôvodom ohrai eom priestore totoºé s rie²eím ovej úlohy. (II.1.4) a) Nasledujúce príklady (podobé tomu z cvi eia a domácej úlohy) odporú am ma aspo rozmysleé (ajeskôr pred skú²kou). (II.1.4) b), c) Koho to zaujíma, môºe si pozrie e²te jede ve mi vtipý príklad - sféra v homogéom elektrickom poli, ktorý sa dá rie²i pomocou imagiárych ábojov. (II.1.5) V kihe D.Griths - Itroductio to electrodyamics sú al²ie príklady a pouºitie metódy imagiárych ábojov. Problem 3.1 a 3.11
8. cvi eie (2.4.212) Rie²eie Poissoovej rovice metódou separácie premeých φ = ρ ε φ(r) S = f(r) Dririchletova úloha pre Poissoovu rovicu φ = φ P + φ L rozdeleie rie²eia φ P = ρ ε φ(r) S = Poissoova rovica s ulovými okr. podm. (OP) φ L = φ(r) S = f(r) Laplaceova rovica so zadaými OP φ L = X(x)Y (y) Separácia premeých v obd ºikovej oblasti φ L (x, y) = a si πx sih πy rie²eie pre OP: v²ade, le φ(x, L y ) = f(x) 1 2 Lx a = sih πly f(x) si πx dx koeciety Fourierovo radu Lx φ = λ φ φ S = λ < φ je vlastá fukcia laplaciáu s vlastou hodotou λ f(r) = c φ (r) φ m φ d 3 r = δ m vlasté fukcie tvoria úplý a ortoormály systém c φ (r) = ρ(r) ε rozvoj pravej stray Poisso. rovice do vl. fukcií c = 1 ε φ (r)ρ(r) d 3 r koeciety rozvoja do vlastých fukcií 1 c λ φ (r) rie²eie Poissoovej rovice s ulovými OP φ P (r) = φ P (x, y) = 1 c m λ m si mπx m, ( ) 2 ( ) 2 mπ λ m = π L y si πy L y rie²eie pre obd ºikovú oblas vlasté hodoty c m = 2 Lx c (x) si mπx dx koeciety Fourierovo radu c (x) = 1 2 Ly ε L y ρ(x, y) si πy dy (II.2.1) Domáca úloha Úloha sa odovzdáva a za iatku cvi eia 16.4. L y Príklad 1 Nájdite poteciál φ(x, y) vo vútri obd ºika Ω = { x, y L y }, ak sú a hraici Ω zadaé Dirichletove okrajové podmieky (OP) φ(x, ) = φ(x, L y ) = V x ( φ(, y) = φ(, y) = V 1 + si πy ) L y a vútri obd ºika hustota áboja ρ(x, y) = ρ y L y Návod: Rie²eie h ada ako superpozíciu φ = φ L + φ P, pri om φ L sp a Laplaceovu rovicu so zadaými OP a φ P sp a Poissoovu rovicu s ulovými OP. ƒas φ L h ada ako superpozíciu φ L = φ + φ 1, pri om φ poºadova v tvare φ = A + Bx + Cy + Dxy (sp a Laplaceovu rovicu) a ur i A, B, C, D tak, aby sa zabezpe ilo, ºe pre φ 1 zostae OP φ 1 Ω = φ Ω φ Ω, ktorá má uly v rohoch (vi. predá²ka). Príklad 2 (Problem 3.15 z Grithsa) Nájdite poteciál φ(x, y, z) vo vútri prázdej (ρ = ) kovovej krabice v tvare kocky (hraa a), ktorej 5 stie je uzemeých a vrchý poklop je od ich odizolovaý a pripojeý a poteciál V. Návod: Okrajové podmieky sú espojité a euly v rohoch sa edajú vybavi trikom aalogickým φ z prvého príkladu. Fourier si s tým v²ak poradí. Metódou separácie premeých sa dopracujte ku vz ahu m2 + 2 πz φ(x, y, z) = m, c m si mπx a πy si a sih a
Je to le ²peciály prípad ( = L y = a) vzorca, o ste si mali sami odvodi a predá²ke (v skriptách je a str. 49). Treba uº le ájs koeciety c m Fourierovho radu tak, aby platilo φ(x, y, a) = V. Vyjde to tak, ºe c m le pre m, epáre. Nemusíte to zapisova cez ejaké 2k + 1, aby vzorec evyzeral príli² zloºito. Sta í, ak pod zak sumy apí²ete m, = 1, 3, 5,... Nepoviý dodatok pre faj²mekrov : Máme φ, takºe vieme vypo íta E = φ a z eho (z hrai ých podmieok pre elmag. polia) σ a jedotlivých steách krabice. Leºe a výpo et E treba derivova φ, ktoré je ekoe ým fukcioálym radom. Na to, aby sme boli opráveí derivova ho le po lee, musia by spleé isté podmieky (vi. Matematika 3). Problém je v tom, ºe v krabici tie 3 derivovaé rady ekovergujú rovomere. Nemám to úple domysleé (a budem rád, ak to iekto domyslí), ale pravdepodobe kovergujú rovomere le a akejko vek asti krabice, ktorá sa edotýka vrcháku a preto E vieme vyráta v²ade, le ie a vrcháku a tým pádom evieme touto metódou vypo íta σ a vrcháku (a uzemeých steách by emal by problém). Celý problém pravdepodobe vziká a základe espojitosti OP. 9. cvi eie (16.4.212) Rie²eie Poissoovej rovice metódou separácie premeých (II.2.4) a) Rie²eie Poissoovej rovice metódou Greeovej fukcie f(x)δ(x)dx = f() f(x)δ(x a)dx = f(a) dei á vlastos Diracovej δ-fukcie δ-fukcia s posuutým argumetom f(x)δ(ax)dx = 1 a f() a δ-fukcia s argumetom ásobeým ko²tatou f(x)δ(g(x))dx = 1 δ(x) = lim ε πx si x ε K 1 δ(x) = lim K 2π e ikx dk K δ(r r ) = δ(x x )δ(y y )δ(z z ) 1 g (x ) f(x ) g(x ) = δ-fukcia s argumetom g(x) = slu²á fukcia Dririchletova reprezetácia δ-fukcie Fourierova reprezetácia δ-fukcie 3-rozmerá δ-fukcia v kartézskych súradiciach δ(r r ) = 1 r 2 si ϑ δ(r r )δ(ϑ ϑ )δ(φ φ ) 3-rozmerá δ-fukcia vo sférických súradiciach G(r, r ) = δ(r r ) G(r, r ) S = deícia Greeovej fukcie φ(r) = 1 ε G(r, r )ρ(r )d 3 r + f(r ) G(r, r )ds magic rule (rie²eie úlohy φ = ρ ε, φ S = f) V S (II.3.1), (II.3.2), (II.3.3) (II.2.4) b) - Osoºé cvi eie, laplaciá vo sférických súradiciach. Je faj si to raz za ºivot vypo íta. Výsledok sa bude pouºíva v kvatovej mechaike. Návod: Napísa si vz ahy r(x, y, z), ϑ(x, y, z), φ(x, y, z) a po íta f(r, ϑ, φ) ( 2 x + 2 y + 2 z)f(r, ϑ, φ) ako derivácie zloºeej fukcie podobe, ako sme to robili a cviku v cylidrických súradiciach. Výsledok je: f = 1 r 2 r ( r 2 f r (II.3.4) - e²te jede príklad a magic rule ) + 1 r 2 si ϑ ϑ ( si ϑ f ϑ ) + 1 2 f r 2 si 2 ϑ φ 2
1. cvi eie (23.4.212) Rie²eie Poissoovej rovice metódou Greeovej fukcie δ(r r ) = φ (r )φ (r) G(r, r ) = 1 λ φ (r )φ (r) (II.3.5) Vly v jedom rozmere reprez. δ-fukcie cez úplý systém ortoorm. f-cií Greeova fukcia pre Poisso. rovicu cez vlasté f-cie xu(x, 2 t) 1 v 2 2 t u(x, t) = vlová rovica v jedom rozmere u(x, ) = f(x) t u(x, ) = h(x) po iato é podmieky Fourierovo rie²eie pre pevé koce u(x, t) = c si(k x) cos(ω t) + c si(k x) si(ω t) c = 2 L L =1 f(x) si(k x)dx c = 1 ω 2 L L h(x) si(k x)dx k = π L, ω = k v Brkutie a gitare. Farba tóu, ktorý vydáva strua, sa meí pod a toho, v akej vzdialeosti od kraja do ej brkeme. Kvatitatíve vysvetlite teto jav. (III.1.3) (III.1.2) a) - e²te jede príklad a Fourierovo rie²eie a strue (komu sa málilo brkutie a gitare) 11. cvi eie (3.4.212) Vly v jedom rozmere xu(x, 2 t) 1 v 2 2 t u(x, t) = vlová rovica v jedom rozmere u(x, ) = f(x) t u(x, ) = g(x) po iato é podmieky D'Alambertovo rie²eie u(x, t) = 1 2 [f(x + vt) + f(x vt)] + 1 2 [H(x + vt) H(x vt)] H(x) = 1 v x h(x )dx Fourierovo rie²eie a priamke u(x, t) = [c(k) si kx cos ωt + c (k) si kx si ωt + c(k) cos kx cos ωt + c (k) cos kx si ωt] dk c(k) = 1 π f(x) si kx dx c (k) = 1 1 ω(k) π h(x) si kx dx c(k) = 1 π f(x) cos kx dx c (k) = 1 1 ω(k) π h(x) cos kx dx ω = kv (III.1.1), (III.1.2) b), (III.1.4)
12. cvi eie (7.5.212) Vly v troch rozmeroch Krátky úvod do akustiky (III.2.1) a) Paova auta Domáca úloha Úloha sa odovzdáva a za iatku cvi eia 14.5. Pí² ala kocovka Pí² ala kocovka (aglicky overtoe ute) je dlhá valcová pí² ala bez dierok (hmatových otvorov). Rôze tóy sa vyludzujú zmeou itezity fúkaia a zakrývaím/odokrývaím spodého koca pí² aly (odtia ázov kocovka). Ve mi jemé fúkutie hrá základý tó, silej²ie fúkutia tvoria vy²²ie harmoické tóy. Na stráke http://www.youtube.com/ watch?v=eaju5g5bmou si môºete vypo u, ako zie. Obr. 1: Hlava kocovky. al²ie ukáºky a iformácie ájdete apríklad a http://ii.fmph.uiba.sk/~takac/fujara/kocovka.html Kocovka sa správa ako pí² ala s dvoma otvoreými kocami (jede je te dolý a druhý je a za iatku - ²tvorcový otvor a obrázku ved a). Uvaºujme zjedodu²eý model: hraatú pí² alu s hraami, L y, L z. Otvoreé koce sú z = a z = L z. Va²ou úlohou je: 1. Napísa okrajové podmieky pre akustický tlak ˆp. 2. Metódou separácie premeých ájs módy v re i akustického tlaku ˆp a vlasté frekvecie ω lm. 3. Pre rozmery = L y = 1, 5 cm; L z = 65 cm a rýchlos zvuku c = 34 ms 1 : (a) Nájs ajiº²iu frekveciu, od ktorej v spektre za íajú eharmoické prímesi od eulových l, m. (b) Nájs prvých 9 frekvecií (v Hertzoch) a im zodpovedajúcich tóov 1 v prípade, ºe koiec je odokrytý. (c) Nájs prvých 9 frekvecií a im zodpovedajúcich tóov v prípade, ºe koiec je zakrytý prstom (sta í zobra vzorec z cvika a dosadi ). (d) Urobi z toho preh adú tabu ku a uvidie v ej, ako sa a kocovke hrá. (Ke chcem hra ejakú melódiu, tak z dolých frekvecií ve a muziky earobím. Tóy za íajú by dostato e ahusto aº vo vy²²ej asti spektra.) 13. cvi eie (14.5.212) Vly v troch rozmeroch (III.2.1) kometár ku b) Dodatok ku látkam s pamä ou. Bubová blaa. Nájdite módy a vlasté frekvecie kruhovej membráy. Vlovú rovicu v dvoch rozmeroch rie²te separáciou premeých v polárch súradiciach. Je spektrum blay harmoické? ƒo sa zmeí v prípade tlmeej blay (tlmeie úmeré rýchlosti)? 1 Frekvecie hudobých tóov ájdete a http://e.wikipedia.org/wiki/frequecies_of_otes. Pouºite ázvy zo st p eka Scietic ame.