Základné pravdepodobnostné modely v teórii spoľahlivosti
|
|
- Bohumír Hanuš
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Unverzta Komenského v Bratslave Fakulta Matematky, Fyzky a Informatky Katedra aplkovanej matematky a ²tatsktky tudjný odbor: Aplkovaná matematka tudjný program: Ekonomcká a nan ná matematka Základné pravdepodobnostné modely v teór spo ahlvost (Bakalárska práca) Luká² Lafférs Vedúc dplomovej práce: Mgr. Radoslav Harman, PhD. Bratslava, 27
2 ƒestne prehlasujem, ºe som bakalársku prácu vypracoval samostatne s vyuºtím teoretckých vedomostí a s pouºtím uvedenej lteratúry Luká² Laérs
3 Po akovane akujem vedúcemu bakalárskej práce Mgr. Radoslavov Harmanov, za cenné rady a prpomenky pr tvorbe tejto práce. Taksto akujem rodne a prate om za podporu.
4 Abstrakt Na²m ce om bude vysvetl základné pojmy pouºívané v teór spo ahlvost, formalzova pojem "systém", popísa jeho rozl né reprezentáce a vlastnost, potom odvod formulu pre strednú dobu do zlyhana týchto systémov. Na záver algortmcky nájdeme v²etky nezomorfné systémy s nízkym po tom nezávslých a rovnako spo ahlvých sú astok a popí²eme ch charakterstky. Laérs, Luká²: [Bakalárska práca], Unverzta Komenského v Bratslave, Fakulta matematky, fyzky a nformatky, Katedra aplkovanej matematky a ²tatstky; ²kolte : Mgr. Radoslav Harman, PhD., Bratslava, 27, 26 s. K ú ové slová: teóra spo ahlvost, systém, pravdepodobnos
5 Predhovor Táto práca vznkla v rámc magsterského ²túda na Fakulte matematky, fyzky a nformatky. Vznkala postupne predov²etkým ²túdom odbornej lteratúry, neskôr programovaním v softvér Matlab 7.. Jej ú elom je poskytnú stru ný vh ad do pojmov teóre spo ahlvost, odvod v²eobecný výpo et premernej ºvotnost systému a následne ho demon²trova na konkrétnych jednoduchých príkladoch, ktoré treba algortmcky generova.
6 Obsah 1 Úvod 7 2 Základné pojmy z teóre spo ahlvost Spo ahlvos a mera zlyhana Stredná doba do zlyhana Rozdelena pravdepodobnost Exponencálne rozdelene Gamma rozdelene Webullovo rozdelene Spo ahlvostné systémy a ch reprezentáca Reprezentáca pomocou tabu ky pravdvostných hodnôt Reprezentáca dagramom Reprezentáca pomocou chybového stromu Identkáca poztívnych systémov Identkáca systémov neredukovate ných na systém nº²ej dmenze Tredy ekvvalencí systémov Treda ekvvalence na základe rovnakého pravdepodobnostného správana Izomorfné systémy Výpo et strednej doby do zlyhana Výpo et spo ahlvost Výpo et strednej doby do zlyhana pre exponencálne rozdelene Príklady spo ahlvostných systémov Sérové zapojene Paralelné zapojene TMR K z N systém Preh ad zapojení s dvom, trom a ²tyrm sú astkam Zapojena s dvom sú astkam Zapojena s trom sú astkam Zapojena so ²tyrm sú astkam Záver 26 6
7 1 Úvod Teóra spo ahlvost hrá ve m dôleºtú úlohu v nºnersko-technologckej prax. S aplkácam sa môºeme stretnú pr bezpe nostných a spo ahlvostných systémoch, v jadrovom a chemckom premysle, v pos ovníctve, pr tvorbe softvéru a v mnohých ných odvetvach. roké spektrum aplkácí robí túto oblas pravdepodobnost a ²tatstky ve m atraktívnou. V tejto prác sa zamerame najskôr na základné pojmy z teóre spo ahlvost, zov²eobecnene a matematckú formulácu spo ahlvostných systémov, rôzne moºnost ch reprezentáce. alej sa pokúsme o odvodene postupu po ítana doby premernej ºvotnost. Zaujímavé je, ako nám tento spôsob zna ne zjednodu²í výpo et pre K z N systémy pr exponencálnom rozdelení. Prínosom práce môºe by predov²etkým algortmcká dentkáca v²etkých nezomorfných systémov s nízkym po tom nezávslých a rovnako spo ahlvých sú astok. alej vytvoríme preh ad týchto základných systémov s ch parametram. Vä ²í dôraz sme kládl najmä na presné formulovane daných pojmov, na správne uvedomene s, o je náhodná premenná, o je mnoºna udalostí a podobne, nako ko sa do takejto úrovne táto téma nezvykne rozobera, dané vec sa akos ml ky predpokladajú. 2 Základné pojmy z teóre spo ahlvost 2.1 Spo ahlvos a mera zlyhana Ak je X náhodná premenná ozna ujúca ºvotnos (d ºku ºvota) sú astky, potom Deníca 1. Spo ahlvos R(t) denujeme ako pravdepodobnos, ºe sú astka preºje do asu t. Preto R(t) P (X > t) 1 F (t), kde F (t) je dstrbu ná funkca X 1. Prepokladáme, ºe v ase t sú astka pracuje správne (R() 1) a ºe sú astka nemôºe pracova bezchybne donekone na (lm t + R(t) ). Pre záporné t nemá spo ahlvos zmysel, ale poloºíme R(t) 1 pre t <, nako ko je R(t) nerastúca. F (t) teda ur uje "nespo ahlvos ". Dervovaním R(t) máme (ak je X spojtá náhodná premenná s hustotou f(t)) R (t) f(t) (1) Uvedomme s, ºe f(t) t je nepodmenená pravdepodobnos, ºe sú astka zlyhá v ntervale (t, t + t]. Má v²ak zmysel skúma aj podmenenú pravdepodobnos, ke uº máme dodato nú nformácu o tom, ako dlho sú astka funguje, ktorá bude zrejme rôzna od f(t) t. Chceme teda vyjadr pravdepodobnos, zoh ad ujúc jej teraj²í stav. Podmenená pravdepodobnos, za predpokladu korektného fungovana po as doby t je daná vz ahom G Y (y t) P (Y y X > t) 1 Dstrbu nú funkcu denujeme ako F (t) P (X t) P (X y + t X > t) P (X y + t a X > t) P (X > t) P (t < X y + t) P (X > t) F (t + y) F (t). R(t) (2) 7
8 Deníca 2. Okamºtú meru zlyhana 2 h(t) denujeme ako 1 F (t + x) F (t) h(t) lm x x R(t) lm x R(t) R(t + x) xr(t) teda h(t) f(t) R(t). (3) Teraz h(t) t je podmenená pravdepodobnos, ºe ak sú astka funguje po as doby t, tak potom sa pokazí v ntervale (t, t + t]. Táto je vä ²a ako nepodmená, lebo R(t) < 1. Integrovaním 3 a vyuºtím (1) a R() 1 dostávame t h(s) ds t t R(t) R() f(s) R(s) ds R (s) ds R(s) dr R, ln R(t) (4) [ t ] R(t) exp h(s) ds (5) Môºe by uºto né charakterzova jedným slom, aký rsk podstupujeme ak pouºívame nejakú sú astku. Deníca 3. Funkcu nazývame celkové rzko. 3 H(t) t h(s) ds (6) Ide o akés "s ítane"v²etkých podmenených pravdepodobností výsledkom oho je celková mera rzka. Spo ahlvos a celkový rsk sú vo vz ahu R(t) e H(t) (7) Nech V X (x t) ozna uje podmenenú dstrbu nú funkcu ºvotnost X, ak sú astka preºla do asu t. Potom platí x f(y) dy t V X (x t) (8) P (X > t) Deníca 4. švotnos sú astky ak preºla do asu t je daná vz ahom V (x t) { F (x) F (t) 1 F (t), ak x t,, nak. (9) 2 v ang. aj ako hazard rate alebo condtonal probablty functon 3 v ang. cumulatve hazard 8
9 Pre jej hustotu platí v(x t) { f(x), ak x t, 1 F (t), nak. (1) Podmenená hustota pravdepodobnost je korektnou hustotou, narozdel od okamºtej mery zlyhana pre ktorú platí: [ ] lm R(t) exp h(t) dt (11) t Poznamenajme alej, ºe h(t) v(t t). Deníca 5. Podmenenú spo ahlvos R t (y) denujeme ako pravdepodobnos toho, ºe sú astka bude fungova po as asového ntervalu d ºky y, ak preºla do asu t. Teda R t (y) R(t + y) R(t) (12) Uvedomme s, ºe R t (y) 1 G(y t). 2.2 Stredná doba do zlyhana Deníca 6. Strednú hodnotu ºvotnost sú astky X nazývame o akávaná ºvotnos alebo stredná doba do zlyhana 4 sú astky. Spo ahlvos ºvotnost sú astky X je daná vz ahom R(t) P (X < t) a R (t) f(t). Platí E[X] Integrácou per partes dostávame tf(t) dt E[X] tr(t) + tr (t) dt. R (t) dt. Za predpokladu exstence kone nej strednej hodnoty E(X) ke ºe R(t) sa blíº k nule rýchlej²e ako t k teda lm t tr(t), máme E[X] 3 Rozdelena pravdepodobnost R(t) dt. (13) V tejto ast popí²eme rôzne rozdelena pravdepodobnost vyskytujúce sa v teór spo ahlvost. 4 z ang. Mean tme to falure, ozna uje sa aj ako stredná doba do poruchy 9
10 3.1 Exponencálne rozdelene Exponencálne rozdelene pravdepodobnost hrá ve m dôleºtú úlohu v teór spo ahlvost. Dôvodom je Markovova vlastnos a jej vz ah k Possonovmu rozdelenu. Preto nasledujúce náhodné premenné môºeme charakterzova exponencálnym rozdelením ƒas medz dvoma prístupm na server ƒas do zlyhana (ºvotnos ) ƒas potrebný na opravu pokazenej sú astky Deníca 7. Hovoríme, ºe náhodná premenná X má Exponencálne rozdelene s parametrom λ (λ > ), ak jej hustota pravdepodobnost je daná vz ahom: f(x) { λe λx, ak x >,, nak. (14) Pre náhodné premenné s takouto funkcou hustoty pouºívame ozna ene X EXP(λ), λ >. Dstrbu ná funkca exponencálneho rozdelena je daná vz ahom: Pre pravdepodobnos platí F (x) { 1 e λx, ak x <,, nak. (15) P (X > t) t e λt f(x) dx a ak a < b P (a X b) F (b) F (a) e λa e λb. Skúmajme teraz podmenené rozdelene pravdepodobnost. Zaujíma nás rozdelene Y X t, teda zostávajúcej ºvotnost. Pre exponencálne rozdelene pod a (2) platí G Y (y t) y+t t t y+t t t f(x) dx f(x) dx λe λx dx λe λx dx e λt (1 e λy ) e λt 1 e λy. Exponencálne rozdelene ako jedné dsponuje Markovovou vlastnos ou, teda rozdelena podmenenej a nepodmenenej pravdepodobnost sú rovnaké. G Y (y t) je nezávslá od t. Sú astka, 1
11 ktorej pravdepodobnostné rozdelene ºvotnost je exponencálne nestarne, jej zlyhane ne je dôsledkom nejakého postupného procesu, ale výsledkom akejs náhlej udalost. Sú astka s nepamätá ako dlho ºje. Pre okamºtú meru zlyhana exponencálneho rozdelena platí h(t) f(t) R(t) λe λt e λt λ, (16) teda ako jedné rozdelene má kon²tantnú okamºtú meru zlyhana. Uvaºujme sú astku, ktorá nestarne, teda jej spo ahlvos je nezávslá od toho ako dlho ºje. Podmenená spo ahlvos je rovná nepodmenenej spo ahlvost. Ukáºeme, ºe podmenené rozdelene doby ºvotnost je exponencálne. Pouºtím deníce (5) dostávame R t (y) R(y) pre y, t. Preusporadaním máme R(y + t) R(y) t Ak t pouºjúc R() 1 získame R(y + t) R(y)R(t) (17) [R(t) 1]R(y) t Teda R(y) e y R (). Ak poloºíme R () λ dostávame (18) R (y) R ()R(y). (19) R(y) e λy, y >, (2) o znamená, ºe náhodná premenná ºvotnost má exponencálne rozdelene s parametrom λ. Základné charakterstky E(X) 1 λ D(X) 1 λ Gamma rozdelene Deníca 8. Hovoríme, ºe náhodná premenná X má Gamma rozdelene s parametram parametram α a λ (α >, λ > ), ak jej hustota pravdepodobnost je daná vz ahom: f(x) { λ α x α 1 e λx Γ(α), ak x >,, nak. α nazývame parameter tvaru a λ parameter ²kály. Pr vo be parametra α 1 dostaneme exponencálne rozdelene. Základné charakterstky (21) E(X) α λ D(X) α λ 2 11
12 3.3 Webullovo rozdelene Deníca 9. Hovoríme, ºe náhodná premenná X má Webullovo rozdelene s parametram α a λ (α >, λ > ), ak jej hustota pravdepodobnost je daná vz ahom: f(x) { λαx α 1 e λxα, ak x >,, nak. (22) Môºeme pozorova, ºe exponencálne rozdelene je ²pecálnym prípadom Webullovho rozdelena v prípade vo by α 1. Základné charakterstky E(X) ( ) 1/α 1 Γ(1 + 1/α) D(X) λ ( ) 2/α 1 [Γ(1 + 2/α) Γ 2 (1 + 1/α)] λ 4 Spo ahlvostné systémy a ch reprezentáca 4.1 Reprezentáca pomocou tabu ky pravdvostných hodnôt Pre teoretcké zdôvodnene správnost algortmu, ktorému sa budeme venova v ast 5 s potrebujeme dané pojmy formalzova. Deníca 1. Stavom 5 budeme rozume vektor X (X 1,..., X n ) {, 1} n. Stavom v ase t budeme rozume náhodný vektor X(t) (X 1 (t),..., X n (t)) s hodnotam v mnoºne {, 1} n Udalos X (t) 1 znamená, ºe -ta sú astka zapojena v ase t funguje. Pre kaºdú sú astku exstuje náhodná premenná jej ºvotnost, pre celé zapojene máme teda náhodný výber ºvotností T 1,..., T n (pretoºe de o nezávslé, rovnako rozdelené náhodné premenné) pr om udalos T > t znamená, ºe -ta sú astka v ase t nezlyhala (X (t) 1). Deníca 11. Systémom 6 budeme rozume funkcu Φ : M n {, 1} n {, 1}. Teda kaºdému stavu (kaºdej moºnej stuác fungovana jednotlvých sú astok) prradí 1 ak systém v danom stave funguje a ak nefunguje. V zmysle denící 1 a 11 sa na mnoºnu M n (teda mnoºnu stavov) môºeme pozera ako na matcu núl a jednotek rozmerov 2 n x n a systém môºeme jednozna ne charakterzova st pcovým vektorom d ºky 2 n. Potom kaºdý radok matce je stav a k nemu prslúchajúca komponenta vo vektore charakterzujúcom systém hovorí, systém pre daný stav funguje. Na obrázku je zobrazená stuáca pre n 3 a systém, ktorý funguje práve vtedy, ke aspo dve z troch sú astok fungujú (TMR ako je uvedené v sekc 6.3). 5 v angl. ako State vector 6 v angl. sa stretneme s názvom Structure functon 12
13 TMR systém Poznamenajme, ºe tabu kou veme reprezentova akýko vek systém. Deníca 12. Zave me relácu " "na mnoºne M n : pre X, Y M n : X Y 1, 2,... n : X Y Deníca 13. Systém nazývame poztívny práve vtedy, ke sú splnené nasledovné podmenky: 1. Φ( 1 n ) 1 2. Φ( n ) 3. X, Y M n : X Y Φ(X) Φ(Y ) Teto podmenky hovora o tom, ºe: 1. Systém funguje, poka v²etky jeho sú astky fungujú. 2. Systém nefunguje, poka v²etky jeho sú astky nefungujú. 3. Táto poºadavka hovorí o tom, ºe funk nos ºadnej zo sú astok v zapojení nespôsobí zastavene systému; nak povedané, ºe ke uº v postupnom procese zlyhávana daných sú astok systém prestane fungova, zlyhane dal²ej sú astky nespôsobí nasko ene systému, o je zárove aj prrodzenou podmenkou pre po ítane strednej doby do zlyhana. 4.2 Reprezentáca dagramom Sná najjednoduch²ím a najntutívnej²ím zobrazením nejakého systému, je zobrazene pomocou dagramu. Takéto zobrazene môºe vyzera napríklad takto: Reprezentáca dagramom 13
14 Systém je funk ný, poka exstuje "prechodná"cesta z ava doprava, kde sú astka je prechodná práve vtedy, ke funguje. Kaºdú sú astku nakreslíme do dagramu z pochopte ných prí n práve raz. Táto reprezentáca je ve m názorná, jej ve kým nedostatkom v²ak je, ºe exstujú systémy (dokonca poztívne) nezobrazte né takýmto dagramom. Ako príklad uvedeme systém so ²tyrm sú astkam, ktorý popí²eme tabu kou. Tento systém je poztívny a neredukovate ný na systém s men²ím po tom sú astok. Systém, ktorý ne je moºné zobraz dagramom Tento systém funguje práve vtedy, ke funguje prvá sú astka a zárove nejaká ná sú astka alebo ke fungujú druhá, treta aj ²tvrtá sú astka sú asne. 4.3 Reprezentáca pomocou chybového stromu V procese výroby a zdokona ovana prístrojov môºe by uºto né, ma preh ad o slabých a slných lánkoch nejakého zapojena, ma presne návod, o musí by splnené, aby daný systém zlyhal. Systém môºe by jednozna ne ur ený schémou, ktorá hovorí, kedy zapojene zlyhá, jednou z takýchto forem je aj chybový strom 7. Vyuºívajúc logcké operátory AND a OR veme elegantne popísa podmenky zlyhana systému. Majme systém ktorého funk nos je charakterzovaná tabu kou z ast 4.2 Potom jeho chybový strom bude vyzera : 7 v ang. fault tree 14
15 X v krúºku znamená, ºe -ta sú astka zlyhala. Chybový strom 4.4 Identkáca poztívnych systémov Vygenerujeme s v²etky moºné systémy a z nch budeme postupne vyhadzova te, ktoré nesp ajú podmenky poztívnost 13. Spomedz celkového po tu systémov 2 n sa nám najprv sta í obmedz na te, ktoré majú na za atku a na konc 1. Pravdlo monotónnost otestujeme tak, ºe pre kaºdý radok matce M n patrac I (formálny pops je uvedený v (23)), teda pre ktorý je vo vektore systému 1, skontrolujeme v nejakom radku vä ²om ako sledovaný radok ne je vo vektore systému. Ak takáto stuáca nenastane pre ºaden vektor z I, potom systém môºeme povaºova za poztívny. 4.5 Identkáca systémov neredukovate ných na systém nº²ej dmenze V mnoºne M n máme v²etky systémy, z ktorých veme dentkova te, ktoré sú poztívne. Môºu sa v²ak medz nm nachádza také systémy, v ktorých je jedna alebo vac sú astok zbyto ných v zmysle, ºe nemajú vplyv na správane sa systému. Sú astka je nadbyto ná, ak sa systém v prípade jej funk nost správa rovnako ako v prípade jej nefunk nost. Ak chceme skontrola, je -ta sú astka zbyto ná, tak vektor systému rozdelíme na dve ast, na as kedy daná sú astka funguje a na as kedy nefunguje. Dostaneme dva systémy o jeden rozmer nº²e. Ak de o systémy rovnaké, sú astku povaºujeme za nadbyto nú. 15
16 Systém rozmeru 3, regulovate ný na rozmer 2, prvá sú astka je nadbyto ná 4.6 Tredy ekvvalencí systémov Motvácou k skúmanu tred ekvvalencí je skuto nos, ºe astokrát majú systémy z h adska toho, o nás zaujíma, úplne totoºné vlastnost. Je preto prrodzené obmedz sa len na ur té mnoºny systémov Treda ekvvalence na základe rovnakého pravdepodobnostného správana Pod a (3) veme, ºe spo ahlvos celkového zapojena veme vyjadr ako "polynóm"spo ahlvostí jednej sú astky. Ak teda majú dva systémy takýto polynóm rovnaký, o sa týka pravdepodobnostného správana medz nm net rozdelu. Poznamenajme, ºe môºe ís o systémy rôzne. Dva systémy o ²tyroch sú astkach s rovnakým pravdepodobnostným správaním, no jeden z nch ne je zobrazte ný dagramom. 16
17 4.6.2 Izomorfné systémy Dva systémy povaºujeme za zomorfné, ak jeden vznkne z druhého akous permutácou jeho sú astok. Túto zmenu môºeme ntutívne chápa aj ako pre íslovane sú astok, kde zapojene je to sté, len sú astky majú né ozna ena. Táto permutáca v podstate predstavuje výmenu st pcov v matc pravdvostných hodnôt M n. Je zrejmé, ºe ak permutujeme dve sú astky, ktoré sú pre fungovane systému rovnocenné, nový vektor systému sa nezmení a nezmení sa an polynóm denovaný v (3). Deníca 14. Dva systémy Φ 1, Φ 2 nazývame zomorfné a ozna ujeme Φ 1 Φ2 práve vtedy, ke exstuje bjektívne zobrazene δ : {1,..., n} {1,..., n} také, ºe Φ 1 (X) Φ 2 (δ(x)) pre v²etky stavy X M n. 5 Výpo et strednej doby do zlyhana 5.1 Výpo et spo ahlvost V prípade skúmana ºvotnost zapojení z pravdepodobnostného h adska je náhodným elementom to, ako dlho bude kaºdá zo sú astok fungova. Z toho prrodzene plyne, ºe mnoºnu elementárnych výsledkov budeme chápa ako Ω [, ) n a σ-algebru ako mnoºnu dostato ne bohatú teda S B n (Ω). Pre n sú astok máme teda n-rozmerný náhodný výber asov (predpokladáme, ºe ºvoty sú astok sú nezávslé a rovnako rozdelené) (T 1, T 2,... T n ). Pre (t 1, t 2,... t n ) Ω je ºvotnos -teho lánku je daná ako T (t 1, t 2,... t n ) t. Pre xovaný as t sa pozreme na kaºdú sú astku osobtne, ak t > t tak funguje, teda X (t)(t 1, t 2,... t n ) 1. Skúmajme dstrbu nú funkcu rozdelena funk nost systému. Teraz skúsme nájs spôsob, ako vyjadr dstrbu nú funkcu ºvotnost celého zapojena daného systému Φ. Ozna me s mnoºnu I {X M n : Φ (X) 1} (23) ktorá je mnoºnou v²etkých stavov, v ktorých zapojene funguje. Mnoºnu {(t 1, t 2,... t n ) Ω : Φ (X(t)(t 1, t 2,... t n )) 1} preto veme zapísa ako {(t 1, t 2,... t n ) Ω : X(t)(t 1, t 2,... t n ) I } Pravdepodobnos, ºe systém funguje do asu t, môºeme vyjadr ako R (t) P (Φ (X(t)) 1) P (X(t) I ) (24) ( ) n R (t) P (X (t) Y ) (25) Y I 1 Kvôl názornost skúmajme teraz spo ahlvos systému pre ur tý xný as t. Kaºdá sú astka má pre tento xný as ur tú spo ahlvos, teda sa na u pozeráme, ºe s pravdepodobnos ou R(t) funguje. Pod a (25) sa sta í pozera len na te radky matce M n, pre ktoré je vo vektore systému 1. 17
18 Je dôleºté uvedom s, ºe po ítame pravdepodobnos zo zjednotena mnoºín, ktoré sú dsjunktné. Preto namesto zjednotena po ítame sú et pravdepodobností. ( ) n R (t) P (X (t) Y ) ( n ) P (X (t) Y ) (26) Y I Y I 1 Pozrme sa na nejaké Y I, teda radok zodpovedajúc jednotke vo vektore systému. ( n ) ( P (X (t) Y ) P (X 1 (t) Y 1 ) (X 2 (t) Y 2 ) (X ) n (t) Y n ) 1 1 n P (X (t) Y ) (27) 1 kde posledná rovnos plyne z nezávslost sú astok, t.j. náhodných premenných X 1 (t),..., X n (t). Pr om veme, ºe P (X (t) Y ) { R(t), ak Y 1, 1 R(t), ak Y. (28) Môºeme pozorova, ºe táto pravdepodobnos závsí len od po tu jednotek núl daného vektora stavu Y, teda od j n 1 Y. Potom pod a (27) ( n ) n P (X (t) Y ) P (X (t) Y ) (R(t)) j (1 R(t)) n j 1 1 Ak ozna íme R(t) r dostávame ( n ) P (X (t) Y ) 1 r j (1 r) n j n j ( n j r j n j ( n j ) (1) n j ( r) ) r j+ ( 1) (29) Ke potom pod a (26) s ítame (29) zs ujeme, ºe pre systém o n sú astok máme spo ahlvos celého systému R (t) vyjadrenú pomocou spo ahlvostí sú astok R(t) R (t) c 1 R(t) + c 2 (R(t)) 2 + c 3 (R(t)) c n (R(t)) n (3) kde koecenty c 1, c 2... c n sú celé sla. 5.2 Výpo et strednej doby do zlyhana pre exponencálne rozdelene V prípade exponencálneho rozdlena je spo ahlvos (pod a (15) z ast 3.1) 18 R(t) e λt (31)
19 Strednú dobu do zlyhana celého systému spo ítame pod a (13), (3) a (31) ako E (X) 1 λ R (t)dt c 1 R(t) + c 2 (R(t)) 2 + c 3 (R(t)) c n (R(t)) n dt ( n 1 c e λt ) dt n ) (c e λt dt 1 n 1 ( c ) (32) 6 Príklady spo ahlvostných systémov 6.1 Sérové zapojene Majme systém, ktorý funguje práve vtedy, ke kaºdá z jeho sú astok funguje. Systém pre sérové zapojene má tvar Sérové zapojene pre n 3 Φ(X) n X (33) 1 Spo ahlvos tohto systému môºeme vyjadr ako R (t) n R (t) (34) 1 V prípade exponencálneho rozdelena (15) máme spo ahlvos Stredná doba do zlyhana bude pod a (13) potom R (t) e λnt (35) E [X] R (t) dt e nλt dt 1 nλ (36) 6.2 Paralelné zapojene Majme systém, ktorý funguje práve vtedy, ke aspo jedna z jeho sú astok funguje. 19
20 Systém pre paralelné zapojene má tvar Paralelné zapojene pre n 3 Spo ahlvos paralelného zapojena je daná vz ahom Φ(X) max (X ) (37) R (t) 1 n (1 R (t)) (38) 1 Pre exponencálne rozdelelne (15) je spo ahlvos Spo ahlvos vyjadrená ako "polynóm"(pod a 3) R (t) 1 R (t) 1 (1 e λt ) n (39) n ( ) n ( 1) 1 R(t) n ( ) n ( 1) 1 e λt (4) 1 Lema 15. Pre prrodzené ísla n platí n 1 ( 1) 1( ) n n 1 1 Dôkaz urobíme ndukcou. Pre n 1 je rovnos trválna. Ak platí rovnos pre n, potom aj pre n + 1. n+1 1 ( 1) 1( ) n+1 ( 1)n n n 1 ( 1)n n n 1 ( 1)n n n 1 ( 1) 1( ) n + n n ( 1)n n + 1 n 1 ( 1) 1( ) n 1 ( 1) 1 ( n + 1 n ) 2
21 Strednú dobu do zlyhana dostaneme ako (3) E [X] 1 λ n 1 R (t) dt 1 n ( ) n ( 1) 1 e λt dt 1 λ 1 n 1 ( 1) 1( ) n (41) Poznamenajme, ºe harmoncký rad môºeme aproxmova pomocou Eulerovej-Mascheronho kon²tanty γ (43) a to pod a [4] vz ahom 6.3 TMR n 1 1 ln n + γ + 1 2n n + 2 O(n 4 ) (42) γ lm n ( n k1 ) 1 k ln n (43) Majme paralelný systém zapojena troch nezávslých lánkov s rovnakou spo ahlvos ou. Pre korektné fungovane systému musa fungova aspo dva z troch lánkov, takýto systém nazývame TMR 8. Pouºtím Bernoullho schémy dostávame R TMR (t) 3 2 ( ) 3 R (t)(1 R(t)) 3 ( ) 3 R 2 (t)(1 R(t)) + 2 ( ) 3 R 3 (t)(1 R(t)) 3 3R 2 (t)(1 R(t)) + R 3 (t) teda R TMR (t) 3R 2 (t) 2R 3 (t) Gracké znázornene zapojena TMR systém Systém pre takéto rozdelene je Φ(X) { 1 ak 3 1 X 2 nak 8 z ang. trple modular redundancy 21
22 Uvedomme s, ºe R TMR > R ak R > 1 2, R ak R 1 2, < R ak R < 1 2. Teda TMR systém zvy²uje spo ahlvos len ak je spo ahlvos jednotlvých lánkov vä ²a neº.5. Ak sa jedná o exponencálne rozdelene (15), tak strednú dobu do zlyhana vypo ítame ako E[X] R TMR (t) dt 3e 2λt 2e 3λt dt 5 6λ (44) 6.4 K z N systém Uvaºujme zapojene s N sú astkam, ktoré funguje práve vtedy, ke funguje aspo K sú astok. Napríklad pre K 2 a N 3 dostávame TMR systém, pre K N sérové zapojene a ak K 1, tak dostávame paralelné zapojene. Spo ahlvos bude nadobúda tvar Systém pre takéto rozdelene je R KzN (t) n k ( ) n R (t)(1 R(t)) n Φ(X) { 1 ak n 1 X K nak Veta 16. [3] Nech Vn j je j-ta poradová ²tatstka náhodného výberu V 1, V 2,..., V n z rozdelena Exp(λ). Potom exstuje postupnos Z 1, Z 2,..., Z n nezávslých náhodných premenných s rozdelením Exp(λ) tak, ºe platí Vn j Z 1 n + Z 2 n 1 + Z 3 n Z j n j + 1 K z N sú astok funguje poka sa nepokazí N K + 1 sú astok. Teda nás zaujíma ºvotnos sú astky, ktorá zlyhá ako N K + 1 v poradí a jej ºvotnos stotoºníme s funk nos ou celého systému. Preto ahko nahladneme, ºe pod a 16 ºvotnos K z N systému vyjadríme ako Vn n k+1 Z 1 n + Z 2 n 1 + Z 3 n Z n k+1 k Pre strednú dobu do zlyhana K z N systému, poka de o exponencálne rozdelene, preto dostávame ( n ) E(X) E(Vn n k+1 Z n +1 ) E 1 n 1 λ k k 22
23 7 Preh ad zapojení s dvom, trom a ²tyrm sú astkam V tejto ast urobíme preh ad reprezentantov v²etkých poztívnych nezomorfných systémov neredukovate ných na systém nº²ej dmenze. Opsova budeme systémy, ktorých sú astky majú ºvotnos rozdelenú exponencálne s parametrom λ 1. Ozna ene M T T F budeme pouºíva pre strednú dobu do zlyhana. Systematcky sme pre kaºdý vektor systému ur l, je poztívny a neredukovate ný na systém nº²ej dmenze. Nezomorzmus sme overoval permutovaním tabu ky M n. Na dentkácu systémov a výpo et sme pouºl software Matlab. 7.1 Zapojena s dvom sú astkam Tu sa jedná o trválny prípad kedy exstujú len dva poztívne neredukovate né systémy. 1 2 R 2R R 2 R R 3 R (t)2e t e 2t R (t) e 3t MT T F 3 2 MT T F Zapojena s trom sú astkam ƒo sa týka tred ekvvalence, tak v prípade troch sú astok sme na²l len 5 systémov, v²etky majú rozl né pravdepodobnostné správane, rôznu dobu do zlyhana a v²etky sú zobrazte né dagramom R 3R 3R 2 + R 3 R 3R 2 2R 3 R 2R 2 R 3 R (t)3e t 3e 2t +e 3t R (t) 3e 2t 2e 3t R (t) 2e 2t e 3t MT T F 11 MT T F 5 MT T F R R + R 2 R 3 R R 3 R (t)e t +e 2t e 3t R (t) e 3t MT T F 7 6 MT T F
24 Reprezentáca pomocou pravdvostnej tabu ky vyzerá nasledovne TMR systém 7.3 Zapojena so ²tyrm sú astkam Pr ²tyroch sú astkach sme algortmcky dentkoval 2 rôznych nezomorfných systémov neredukovate ných na systém nº²ej dmenze. Dostal sme 17 rozl ných pravdepodobnostných správaní a 15 rôznych dôb do zlyhana. Len 14 systémov je zobrazte ných dagramom R R 4 R 2R 3 R 4 R 3R 3 2R 4 R (t)e 4t R (t) 2e 3t e 4t R (t) 3e 3t 2e 4t MT T F 1 4 MT T F 5 12 MT T F R R 2 + R 3 R 4 R 3R 2 3R 3 + R 4 R 4R 3 3R 4 R (t) e 2t + e 3t e 4t R (t) 3e 2t 3e 3t + e 4t R (t) 4e 3t 3e 4t MT T F 7 MT T F 3 MT T F
25 7 8 9 R R 2 + 2R 3 2R 4 R R + R 3 R 4 R 5R 2 6R 3 + 2R 4 R (t) e 2t + 2e 3t 2e 4t R (t) e t + e 3t e 4t R (t) 5e 2t 6e 3t + 2e 4t MT T F 2 MT T F MT T F R R + 2R 2 3R 3 + R 4 R 6R 2 8R 3 + 3R 4 R R + 3R 2 5R 3 + 2R 4 R (t)e t +2e 2t 3e 3t +e 4t R (t)6e 2t 8e 3t +3e 4t R (t)e t +3e 2t 5e 3t +2e 4t MT T F 5 4 MT T F MT T F R 2R 2R 3 + R 4 R 2R 2 R 4 R 4R 6R 2 + 4R 3 R 4 R (t)2e t +2e 3t +e 4t R (t) 2e 2t e 4t R (t)4e t 6e 2t +4e 3t e 4t MT T F MT T F 3 4 MT T F R 3R 2 2R 3 R 2R 2 R 4 R 3R 2 2R 3 R (t) 3e 2t 2e 3t R (t) 2e 2t e 4t R (t) 3e 2t 2e 3t MT T F 5 6 MT T F 3 4 MT T F R 4R 2 4R 3 + R 4 R 4R 2 4R 3 + R 4 R (t) 4e 2t 4e 3t + e 4t R (t) 4e 2t 4e 3t + e 4t MT T F 11 MT T F
26 Dané systémy môºeme reprezentova aj pomocou tabu ky Systémy so ²tyrm sú astkam 8 Záver V tejto prác sme popísal základné pojmy v teór spo ahlvost, charakterzoval vlastnost systémov zapojení a na²l v²eobecný spôsob výpo tu strednej doby do zlyhana. Tento spôsob sme aplkoval na systémy s nízkym po tom sú astok. Na záver sa nám naskytá otázka ako pokra ova alebo rozvnú danú problematku. Toto môºeme v prvom rade v²ade tam, kde sme pouºl ²pecálne predpoklady, ktoré ne sú splnené v mnohých stuácách, sú asky nemusa by rovnako rozdelené alebo nezávslé. alej môºeme uvaºova vacstavové lánky, ktoré nebudú môc by charakterzované len vektorom núl a jednotek. Zaujímavá je aj otázka poztívnych a nezomorfných systémov alebo redukovate nost na nº²í rozmer, ako efektívne systematcky generova takéto systémy, ako vyjadr po et takýchto systémov pre daný po et sú astok alebo ako zvol optmálny systém za ur tých obmedzení. V prác sme ukázal ako teoretcky spo íta strednú dobu do zlyhana, v prax je v²ak pr vä ²ích rozmeroch tento algortmus nepouºte ný, jeho náro nos je prve ká. 26
27 Reference [1] Trved K. S. (22): Probablty and Statstcs wth Relablty, Queung and Computer Scence Applcatons, John Wley and Sons, New York [2] Wolstenholme L. C. (1999): Relablty Modellng - A Statstcal Approach, Chapman and Hall/CRC [3] Cherno H.; Gastwrth J. L.; Johns M. V., Jr. (1967): The Annals of Mathematcal Statstcs, Vol. 38, No. 1., pp [4] And l J. (2): Matematka náhody, Matfyzpress, Praha 27
APROXIMÁCIA BINOMICKÉHO ROZDELENIA NORMÁLNYM A PRÍKLAD JEJ APLIKÁCIE V AKTUÁRSTVE S VYUŽITÍM JAZYKA R Abstrakt Príspevok sa zameriava na prezentáciu l
APROXIMÁCIA BINOMICKÉHO ROZDELENIA NORMÁLNYM A PRÍKLAD JEJ APLIKÁCIE V AKTUÁRSTVE S VYUŽITÍM JAZYKA R Abstrakt Príspevok sa zamerava na prezentácu lmtných vet v analýze rzka v nežvotnom postení. Jednoducho
PodrobnejšieZadání čtvrté série
Pomocný text Vektory V na²om pomocnom texte Vás prevedieme postupne afínnou geometriou, skalárnym sú inom dvoch vektorov, vektorovým sú inom a zmienime sa krátko o orientovanom obsahu a jeho vyuºití. Tento
PodrobnejšieBRKOS
Pomocný text Výroková logika autor: Viki Logika je nástroj, ktorý nám umoº uje matematicky uvaºova o veciach okolo nás. Dovo uje nám formalizova tvrdenia, ktoré chceme dokáza a zárove formalizova samotný
PodrobnejšieZáklady automatického riadenia - Prednáška 2
Základy automatického riadenia Predná²ka 2 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
PodrobnejšieSnímka 1
Bayesovský klasfkátor prradí objekt trede, kde P(ω x) je maxmálne Rozhodovaca funkca Ako určť pravdepodobnost Pre kategorcké atrbúty P( x ) P( ) P( x ) k d x k k1 N N, k Navný klasfkátor Pravdepodobnosť
PodrobnejšieUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁ SKÁ PRÁCE Estera Vörösová Stochastické modely pro posloupnosti nervových impuls Katedr
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁ SKÁ PRÁCE Estera Vörösová Stochastické modely pro posloupnosti nervových impuls Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Vedoucí
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY BAKALÁRSKA PRÁCA Bratislava 2011 Roman Kukumberg
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY BAKALÁRSKA PRÁCA Bratislava 2011 Roman Kukumberg Proximal-gradient, metóda konvexného programovania BAKALÁRSKA PRÁCA Roman Kukumberg
PodrobnejšiePrincípy tvorby softvéru Modelovanie domény
Princípy tvorby softvéru Robert Luko ka lukotka@dcs.fmph.uniba.sk M-255 Princípy tvorby softvéru ƒo je to doménový model? Doménový model je konceptuálny model (reprezentuje koncepty (entity) a vz ahy medzi
PodrobnejšieČiastka 064/2004
Strana 1598 Zbierka zákonov č. 135/2004 Čiastka 64 135 VY HLÁŠ KA Mi nis ter stva ži vot né ho pros tre dia Slo ven skej re pub li ky z 27. februára 2004 o dekontaminácii zariadení s obsahom polychlórovaných
PodrobnejšieU N I V E R Z I T A K O M E N S K É H O Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra informatiky Vybrané kapitoly z teoretickej informatiky-ii Rie
U N I V E R Z I T A K O M E N S K É H O Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra informatiky Vybrané kapitoly z teoretickej informatiky-ii Rie²enie aºkých problémov (Pomocné texty k predná²ke 2AIN205)
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšieXXVI b 07 Navrh VZN granty spojene.pdf
Mestská as Bratislava - Ružinov Materiál na rokovanie Miestneho zastupite stva mestskej asti Bratislava Ružinov d a 19. 3. 2014 Návrh všeobecne záväzného nariadenia mestskej asti Bratislava Ružinov...zo
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY VALUE-AT-RISK A CONDITIONAL VALUE-AT-RISK AKO NÁSTROJE NA MERANIE RIZIKA P
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY VALUE-AT-RISK A CONDITIONAL VALUE-AT-RISK AKO NÁSTROJE NA MERANIE RIZIKA PORTFÓLIA DIPLOMOVÁ PRÁCA 2016 Bc. Michaela JA URKOVÁ
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE PRÍJMOV A VÝDAVKOV NA ZDRAVOTNÚ STAROSTLIVOS Diplomová práca B
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE PRÍJMOV A VÝDAVKOV NA ZDRAVOTNÚ STAROSTLIVOS Diplomová práca Bratislava, 2011 Bc. Jana a ová UNIVERZITA KOMENSKÉHO
Podrobnejšie9. Elastické vlastnosti kry²tálov Cie om tejto predná²ky je zhrnú základné poznatky z mechaniky kontinua. Úlohou je ur i, ako sa deformuje daný kus lá
9. Elastické vlastnosti kry²tálov Cie om tejto predná²ky je zhrnú základné poznatky z mechaniky kontinua. Úlohou je ur i, ako sa deformuje daný kus látky pri zadaných mechanických pôsobeniach. Budeme predpoklada,
PodrobnejšieBiharmonická rovnica - ciže co spôsobí pridanie jedného laplasiánu
iºe o spôsobí pridanie jedného laplasiánu tyc struna Obsah ƒo je to biharmonická rovnica 2 Malý výlet do teórie pruºnosti 3 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia 4... a kde ostala matematická fyzika? ƒo
PodrobnejšieUniverzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky Hodnotenie výkonnosti portfóli
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky Hodnotenie výkonnosti portfólia Diplomová práca imon HORÁƒEK BRATISLAVA 2010 Univerzita
PodrobnejšieZákladné stochastické procesy vo financiách
Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty
PodrobnejšieOBAL1-ZZ.vp
Rodné íslo/ íslo povolenia na pobyt VZOR TYP A RO NÉ ZÚ TOVANIE poistného na verejné zdravotné poistenie ( alej len poistné ) zamestnanca za rok 2006 pod a 19 zákona. 580/2004 Z. z. o zdravotnom poistení
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Pouºitie teórie extrémnych hodnôt vo finan níctve DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratisla
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Pouºitie teórie extrémnych hodnôt vo finan níctve DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 2008 Enik Kovácsová UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
PodrobnejšieLorentzova sila a jej (zov²eobecnená") potenciálna energia Marián Fecko KTF&DF, FMFI UK, Bratislava Na predná²ke sme sa dozvedeli, ºe Lorentzova sila
Lorentzova sila a jej (zov²eobecnená") potenciálna energia Marián Fecko KTF&DF, FMFI UK, Bratislava Na predná²ke sme sa dozvedeli, ºe Lorentzova sila (pôsobiaca na bodový náboj e v danom elektrickom a
PodrobnejšieKatedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Podobnos slov (Diplomová práca) Martin Vl ák Vedúci: RN
Katedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Podobnos slov (Diplomová práca) Martin Vl ák Vedúci: RNDr. Michal Forí²ek Phd. Bratislava, 2011 ii Martin
PodrobnejšieStrana 2790 Zbierka zákonov č. 359/2003 Čiastka VYHLÁŠKA Ministerstva financií Slovenskej republiky z 12. augusta 2003, ktorou sa mení vyhlášk
Strana 2790 Zbierka zákonov č. 359/2003 Čiastka 156 359 VYHLÁŠKA Ministerstva financií Slovenskej republiky z 12. augusta 2003, ktorou sa mení vyhláška Ministerstva financií Slovenskej republiky č. 170/2002
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY BEHAVIORÁLNE VPLYVY NA SIETE FINAN NÝCH SUBJEKTOV Diplomová práca 2013 Bc.
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY BEHAVIORÁLNE VPLYVY NA SIETE FINAN NÝCH SUBJEKTOV Diplomová práca 2013 Bc. Michal Mudro UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA
PodrobnejšieDP.pdf
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A TATISTIKY Krátkodobé efekty dôchodkových ²okov domácností DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 2011 Bc.
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieČiastka 205/2004
Strana 4282 Zbierka zákonov č. 481/2004 Čiastka 205 481 o zvý še ní sumy za o pat ro va cie ho prí spev ku Vlá da pod a 4 ods. 4 zá ko na č. 236/1998 Z. z. o za o pat ro va com prí spev ku v zne ní zá
PodrobnejšieVizualizace geometrických algoritmů
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁ SKÁ PRÁCE Marcel Kikta Vizualizace geometrických algoritm Kabinet software a výuky informatiky Vedoucí bakalá ské práce: Studijní program:
PodrobnejšieČiastka 161/2004
Strana 3746 Zbierka zákonov č. 379/2004 Čiastka 161 379 NA RIA DE NIE VLÁ DY Slo ven skej re pub li ky zo 16. júna 2004, kto rým sa mení a do pĺ ňa na ria de nie vlá dy Slo ven skej re pub li ky č. 199/2002
PodrobnejšieMicrosoft Word - DEOV.doc
DENNÍK evidencie odborného výcviku kolský rok.../... Názov koly: D E N N Í K evidencie odborného výcviku tudijný u ebný odbor (kód a názov): kolský rok: Ro ník Trieda: Skupina: Po et iakov v skupine: Na
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UƒENIE INVARIANTNÝCH SENZO-MOTORICKÝCH REPREZENTÁCIÍ POHYBOV UCHOPOVANIA P
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UƒENIE INVARIANTNÝCH SENZO-MOTORICKÝCH REPREZENTÁCIÍ POHYBOV UCHOPOVANIA POMOCOU NEURÓNOVÝCH SIETÍ Diplomová práca 2018 Bc. Jakub
PodrobnejšieFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Ekonomická a nan ná matematika Asymptotické metódy oce ovania ázijských ty
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Ekonomická a nan ná matematika Asymptotické metódy oce ovania ázijských typov nan ných derivátov DIPLOMOVÁ PRÁCA Diplomant: Lenka
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE fakulta matematiky, fyziky a informatiky Aproximácia cien dlhopisov v dvojfaktorových modeloch úrokových mier Diplo
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE fakulta matematiky, fyziky a informatiky Aproximácia cien dlhopisov v dvojfaktorových modeloch úrokových mier Diplomová práca 011 Bc. Jana Halga²ová UNIVERZITA KOMENSKÉHO
Podrobnejšiebakalarska prezentacia.key
Inteligentné vyhľadávanie v systéme na evidenciu skautských družinových hier Richard Dvorský Základné pojmy Generátor družinoviek Inteligentné vyhľadávanie Ako to funguje Základné pojmy Skautská družina
PodrobnejšieČiastka 7/2004 (017)
Strana 128 Zbierka zákonov č. 17/2004 Čiastka 7 17 ZÁKON zo 4. de cem bra 2003 o po plat koch za ulo že nie od pa dov Ná rod ná rada Slo ven skej re pub li ky sa uznies la na tom to zá ko ne: 1 Úvod né
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Optimálne navrhovanie experimentov DIPLOMOVÁ PRÁCA 2012 Bc. Samuel Zmeko
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Optimálne navrhovanie experimentov DIPLOMOVÁ PRÁCA 2012 Bc. Samuel Zmeko UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY,
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieSusedov rozli²ujúci index grafu Bakalárska práca pre ²tudijný program Matematika alebo Ekonomická a nan ná matematika v akademickom roku 2019/20 vedúc
Bakalárska práca pre ²tudijný program Matematika alebo Ekonomická a nan ná matematika v akademickom roku 2019/20 vedúci práce pokra ovanie v diplomovej práci vítané G graf, C mnoºina farieb, ϕ : E(G) C
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov
PodrobnejšieStrana 5526 Zbierka zákonov č. 590/2003 Čiastka NARIADENIE VLÁDY Slovenskej republiky zo 17. decembra 2003 o skúškach odbornej spôsobilosti pr
Strana 5526 Zbierka zákonov č. 590/2003 Čiastka 241 590 NARIADENIE VLÁDY Slovenskej republiky zo 17. decembra 2003 o skúškach odbornej spôsobilosti príslušníkov obecnej polície a o odbornej príprave príslušníkov
PodrobnejšieMatematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Karlovej v Prahe SPRÁVA O TUDENTSKOM FAKULTNOM GRANTE Marek Martaus Testování prototyp modul vnit ního detekt
Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Karlovej v Prahe SPRÁVA O TUDENTSKOM FAKULTNOM GRANTE Marek Martaus Testování prototyp modul vnit ního detektoru ATLAS v CERN Ústav jadrovej a asticovej fyziky
PodrobnejšieŽiadosť o prídavok na dieťa
A Údaje o žiadate ovi Žiados o prídavok na die a Údaje v žiadosti vyp ajte pali kovým písmom a zodpovedajúci údaj ozna te pod a tohto vzoru Priezvisko Meno Rodinný stav 1) Dátum narodenia Rodné íslo (Identifika
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Ch+ęmia 2008
CHÉMIA 2008 LIPTOVSKÝ JÁN, Hotel SOREA Máj 17. 19. september 2008 Chemie Pharma Schweiz BEZPE NÝ MANA MENT CHEMICKÝCH LÁTOK 18. september 2008 Bezpe nos nos v chemických podnikoch z poh adu poznatkov OZCH
PodrobnejšieNariadenie Komisie (EHS) č 2454_93 zoznam príloh.pdf
1993R2454 SK 31.01.2013 018.001 418 VYKONÁVACIE USTANOVENIA COLNÉHO KÓDEXU SPOLO ENSTVA PRÍLOHY 1993R2454 SK 31.01.2013 018.001 419 ZOZNAM PRÍLOH 1 Vzor záväznej informácie o nomenklatúrnom zatriedení
PodrobnejšieViacrozmerné úlohy RBC-typu
Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Viacrozmerné úlohy RBC-typu (Diplomová práca) Bc. Vladimír Balla tudijný odbor: Ekonomická a nan ná matematika Vedúci práce: Prof.
Podrobnejšiegeografia.pdf
Dopravné sektory: subregionalizácia dennej dochádzky na príklade vybraných funk ných mestských regiónov Vladimír Tóth Univerzita Komenského v Bratislave, Prírodovedecká fakulta, Katedra regionálnej geografie,
PodrobnejšieStrana 2914 Zbierka zákonov č. 308/2004 Čiastka NA RIA DE NIE VLÁ DY Slo ven skej re pub li ky z 28. apríla 2004, ktorým sa ustanovujú podrobn
Strana 2914 Zbierka zákonov č. 308/2004 Čiastka 128 308 NA RIA DE NIE VLÁ DY Slo ven skej re pub li ky z 28. apríla 2004, ktorým sa ustanovujú podrobnosti o technických požiadavkách a po stu poch posudzovania
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY ANALÝZA A NÁVRH NUMERICKÝCH ALGORITMOV NA RIE ENIE NELINEÁRNYCH ROVNÍC BLA
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY ANALÝZA A NÁVRH NUMERICKÝCH ALGORITMOV NA RIE ENIE NELINEÁRNYCH ROVNÍC BLACK - SCHOLESOVHO TYPU DIPLOMOVÁ PRÁCA 2012 Bc. Jana
PodrobnejšieMZ.pdf
Mestská as Bratislava Ružinov Materiál na rokovanie Miestneho zastupite stva M Bratislava-Ružinov d a 17.4.2018 Návrh na zrušenie uznesenia Miestneho zastupite stva mestskej asti Bratislava-Ružinov. 490/XXVIII/2017
PodrobnejšiePodmienky prijímacieho konaniapre šk. rok
STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA DOPRAVNÁ Konštantínova 2, PREŠOV MANUÁL PRE PÍSANIE RO NÍKOVÉHO PROJEKTU ur ený žiakom 1. ro níka nadstavbového štúdia študijného odboru 2493 L predaj a servis vozidiel Prešov šk.
PodrobnejšieMicrosoft Word - ŠTATÚT RADY ŠKOLY
TATÚT RADY KOLY pri Základnej kole, Zarevúca18, 034 01 Ru omberok V súlade so zákonom NR SR.596/2003 Z.z. o tátnej správe v kolstve a kolskej samospráve a v súlade s ustanovením 9 ods. 1 vyhlá ky Ministerstva
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY STRIEBORNÁ EKONOMIKA Diplomová práca Bratislava 2012 Bc. Zuzana Benkovská
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY STRIEBORNÁ EKONOMIKA Diplomová práca Bratislava 2012 Bc. Zuzana Benkovská UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY,
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieVzt'ah tenzorov T ij a σ ij v mechanike tekutín Marián Fecko KTF&DF, FMFI UK, Bratislava Ciel'om je pozriet' sa vzt'ah tenzorov T ij a σ ij. Oba súvis
zt'ah tenzorov T ij a σ ij v mechanike tekutín Marián Fecko KTF&DF, FMFI UK, Bratislava Ciel'om je pozriet' sa vzt'ah tenzorov T ij a σ ij. Oba súvisia s bilanciou hybnosti tekutiny. Táto bilancia sa dá
Podrobnejšie000____OBAL1-ZZ s Eurom.vp
Slovenská inova ná a energetická agentúra Kód žiadate a : (Vyplní agentúra) ŽIADOS o absolvovanie skúšky odbornej spôsobilosti na výkon innosti energetického audítora pod a 9 ods. 6 zákona. 476/2008 Z.
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšiePOZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním exp
POZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním experimentov náhodnej povahy. V mnohých situáciách opakovanie
PodrobnejšieČiastka 3/2013
VZOR FORMULÁRA FORMULÁR NA POSKYTNUTIE INVESTI NEJ POMOCI NA ROZVOJ REGIÓNOV PRE OBLAS CESTOVNÉHO RUCHU I. ÚDAJE O ŽIADATE OVI 1.A Identifika né údaje, ak je žiadate om právnická osoba 1.1 Obchodné meno:
PodrobnejšieExperimenty s ekonomickAmi princApmi
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Mgr. Simona Miklo²ovi ová Autoreferát dizerta nej práce Experimenty s ekonomickými princípmi Vplyv informácií a nákladov na h
PodrobnejšieStrana 1598 Zbierka zákonov č. 268/2003 Čiastka NA RIA DE NIE VLÁ DY Slo ven skej re pub li ky z 26. júna 2003 o úprave náhrady za stratu na z
Strana 1598 Zbierka zákonov č. 268/2003 Čiastka 133 268 NA RIA DE NIE VLÁ DY Slo ven skej re pub li ky z 26. júna 2003 o úprave náhrady za stratu na zárobku po skon če ní pracovnej neschopnosti alebo pri
PodrobnejšieStrana 266 Zbierka zákonov č. 32/2002 Čiastka ZÁKON z 18. decembra 2001, ktorým sa mení a dopĺňa zákon Národnej rady Slovenskej republiky č. 233
Strana 266 Zbierka zákonov č. 32/2002 Čiastka 16 32 ZÁKON z 18. decembra 2001, ktorým sa mení a dopĺňa zákon Národnej rady Slovenskej republiky č. 233/1995 Z. z. o súdnych exekútoroch a exekučnej činnosti
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
Podrobnejšie17. medzinárodná vedecká konferencia Riešenie krízových situácií v špecifickom prostredí, Fakulta špeciálneho inžinierstva ŽU, Žilina, máj 2
17. medznárodná vedecká konferenca Rešene krízových stuácí v špecfckom prostredí, Fakulta špecálneho nžnerstva ŽU, Žlna, 30. - 31. máj 2012 PRÍSTUPY KU KVANTIFIKÁCII DOSLEDKOV DISFUNKCIE KRITICKEJ INFRAŠTRUKTÚRY
PodrobnejšiePrincípy tvorby softvéru Agile, Lean, Lean Startup
Princípy tvorby softvéru lukotka@dcs.fmph.uniba.sk www.dcs.fmph.uniba.sk/~lukotka M-255 Agile software development ƒo hovorí Wikipédia? Agile software development describes an approach to software development
PodrobnejšieTechnický manuál PRIMASET SNL Okenná sie SNL (profil valcovaný s lemom) s rôznymi typmi zvrtlíkov poskytuje široké možnosti použitia okennej siete. Pr
Technický manuál PRIMASET SNL Okenná sie SNL (profil valcovaný s lemom) s rôznymi typmi zvrtlíkov poskytuje široké možnosti použitia okennej siete. Predstavujú ú innú ochranu interiéru proti hmyzu a sú
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
Podrobnejšietext k predná²ke a úlohy k cvi eniam z vybraných kapitol z matematiky mi²o demetrian 1 1 Funkcionálne rady, rovnomerná konvergencia 1.1 ƒíselné rady -
text k predná²ke a úohy k cvi eniam z vybraných kapito z matematiky mi²o demetrian Funkcionáne rady, rovnomerná konvergencia. ƒísené rady - opakovanie denícia konvergencie íseného radu: uvaºujeme ísený
Podrobnejšievopredposv_noty_iba
BOŽSKÁ SLUŽBA VOPRED POSVÄTENÝCH DAROV ff k kkkki A - men. ff k k k kz e k fk j k Te - ne, zmi - luj s. - ne, zmi - luj s. ff k kkkz ek s k fkj k kkkki 1. - be, - ne. A - men. f j j j j j j j k k k k Mo-j
PodrobnejšieUniverzita Karlova v Prahe Matematicko - fyzikálna fakulta Bakalárska práca Veronika Betíková tatistické prístupy modelovania stratovosti pri zlyhaní
Univerzita Karlova v Prahe Matematicko - fyzikálna fakulta Bakalárska práca Veronika Betíková tatistické prístupy modelovania stratovosti pri zlyhaní Katedra pravdepodobnosti a matematickej ²tatistiky
PodrobnejšieViacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu
Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model
PodrobnejšieStrana 4058 Zbierka zákonov č. 380/2002 Čiastka VYHLÁŠKA Ministerstva financií Slovenskej republiky z 25. júna 2002, ktorou sa ustanovuje spôs
Strana 4058 Zbierka zákonov č. 380/2002 Čiastka 155 380 VYHLÁŠKA Ministerstva financií Slovenskej republiky z 25. júna 2002, ktorou sa ustanovuje spôsob určenia hodnoty cenných papierov a nehnute ností,
Podrobnejšie448pr1.vp
Faktor a) Pevné aerosóly (prach) 1 ) a) Práce, pri ktorých je expozícia zamestnancov vyššia ako 0,3-násobok najvyššie prípustného expozi ného limitu pre daný druh pevného aerosólu, ale neprekra uje 2.
PodrobnejšieMicrosoft Word - kriteria_ubyt_ doc
Krtérá pre prdeľovane ubytovana študentom denného štúda na FIIT STU Čl. 1 Úvodné ustanovena (1) Krtérá pre prdeľovane ubytovana sa vypracovávajú za účelom zostavena poradovníka žadateľov o ubytovane v
PodrobnejšieKomplexný informa ný a monitorovací systém Monitorovanie biotopov a druhov európskeho významu Používate ská dokumentácia KIMS modul Mobilná aplikácia
Komplexný informa ný a monitorovací systém Monitorovanie biotopov a druhov európskeho významu Používate ská dokumentácia KIMS modul Mobilná aplikácia pre výkon výskytu Programový dokument: Životné prostredie
PodrobnejšieNaučme sa pripraviť a zrealizovať počítačom podporovaný experiment
Laboratórne cvčena podporované počítačom epelné deje v plynoch Meno:...Škola:...reda:.... Izotermcký dej v deálnom plyne Fyzkálny prncíp: Pr pomalom stláčaní vzduchu pod pestom njekčnej strekačky zostáva
PodrobnejšiePrincípy tvorby softvéru Perzistencia, databázy
Princípy tvorby softvéru lukotka@dcs.fmph.uniba.sk www.dcs.fmph.uniba.sk/~lukotka M-255 Persistencia Desktop aplikácia, ukladanie Save buttonom. Napí²eme k triedam serializa né a deserializa né metódy
PodrobnejšieČiastka 285/2004
Strana 6734 Zbierka zákonov č. 679/2004 Čiastka 285 679 ZÁKON z 26. ok tób ra 2004, kto rým sa mení a do pĺ ňa zá kon Slo ven skej ná rod nej rady č. 511/1992 Zb. o sprá ve daní a po plat kov a o zme nách
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieLight transport visualization and preturbations
Light transport visualization and preturbations Martin Pinter Vedúci práce: Prof. RNDr. Roman Ďurikovič, PhD. FMF UK 13. júna 2014 Martin Pinter (FMF UK) Light transport visualization and preturbations
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieDIDKATICKÉ POSTUPY UČITEĽA
DIDAKTICKÉ MYSLENIE A POSTUPY UČITEĽA OBOZNÁMENIE SA SO VŠEOBECNÝMI CIEĽMI VÝUČBY A PREDMETU UJASNENIE TÉMY V RÁMCI TEMATICKÉHO CELKU DIDAKTICKÁ ANALÝZA UČIVA KONKRETIZÁCIA CIEĽOV VO VZŤAHU MOŽNOSTIAM
PodrobnejšieCzêœæ+informatyczna+po+korekcie.pdf
Jozef PAVELKA Prešovská Univerzita v Prešove, Slovenská Republika Podpora výu by techniky národným projektom Dielne a IKT vo výu be Úvod Projekt KEGA Metodika implementácie interaktívnej tabule pri vzdelávaní
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieFilozofická fakulta Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici VERBÁLNA MANIPULÁCIA Eva ulenová 2015
Filozofická fakulta Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici VERBÁLNA MANIPULÁCIA 2015 VERBÁLNA MANIPULÁCIA Autor Recenzenti Jazykové korektúry Motív obálky Obálka Prvý list Vydavate Tla iarne Náklad
Podrobnejšie448pr1.vp
Faktor a) Pevné aerosóly (prach) 1 ) a) Práce, pri ktorých je expozícia zamestnancov vyššia ako 0,3-násobok najvyššie prípustného expozi ného limitu pre daný druh pevného aerosólu, ale neprekra uje 2.
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšieSlovenská technická univerzita Fakulta elektrotechniky a informatiky Mosquitto Telemetry Transport protokol pre IoT Tímové zadanie z predmetu Intelige
Slovenská technická univerzita Fakulta elektrotechniky a informatiky Mosquitto Telemetry Transport protokol pre IoT Tímové zadanie z predmetu Inteligentné Mechatronické Systémy Zimný semester 2017 Andrej
Podrobnejšie