Univerzita Karlova v Prahe Matematicko - fyzikálna fakulta Bakalárska práca Veronika Betíková tatistické prístupy modelovania stratovosti pri zlyhaní

Prepis

1 Univerzita Karlova v Prahe Matematicko - fyzikálna fakulta Bakalárska práca Veronika Betíková tatistické prístupy modelovania stratovosti pri zlyhaní Katedra pravdepodobnosti a matematickej ²tatistiky Vedúci bakalárskej práce: Mgr. Karel Vaní ek tudijný program: Matematika tudijný obor: Finan ná matematika Praha 2011

2 Na úvod by som chcela po akova Mgr. Karlovi Vaní kovi za vedenie práce, as a ochotu vºdy pomôc, cenné rady, zaujímavé podnety a vecné pripomienky. alej by som chcela po akova mojej rodine a priate om za podporu po as môjho ²túdia. Prehlasujem, ºe som túto bakalársku prácu vypracovala samostatne a výhradne s pouºitím citovaných prame ov, literatúry a al²ích odborných zdrojov. Beriem na vedomie, ºe sa na moju prácu vz ahujú práva a povinnosti vyplývajúce zo zákona. 121/2000 Sb., autorského zíkona v platnom znení, najmä skuto nos, ºe Univerzita Karlova v Prahe má právo na uzatvorenie licen nej zmluvy o pouºití tejto práce ako ²kolského diela pod a Ÿ60 odst. 1 autorského zákona. V Prahe d a 5. augusta 2011 Veronika Betíková 2

3 Názov práce: tatistické prístupy modelovania stratovosti pri zlyhaní Autor: Veronika Betíková Katedra: Katedra pravdepodobnosti a matematickej ²tatistiky Vedúci práce: Mgr. Karel Vaní ek vedúceho práce: karelvanicek@seznam.cz Abstrakt: Cie om tejto práce je predstavi stratovos pri zlyhaní ako jeden z parametrov kreditného rizika. Zaoberá sa priblíºením základných charakteristík a spôsobov výpo tu LGD. Práca je tieº zameraná na beºne pouºívané modely lineárnej regresie a zov²eobecnených lineárnych modelov, ktoré sú v praxi vyuºívané k odhadu parametra LGD. Jednotlivé matematické modely a ²tatistické metódy pre odhady parametrov týchto modelov sú v práci stru ne popísané a následne aplikované na simulované dáta. K ú ové slová: LGD, beta regresia, OLS, odhad Title: Statistical techniques for Loss Given Default Modeling Author: Veronika Betíková Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Karel Vaní ek Supervisor's address: karelvanicek@seznam.cz Abstract: The aim of this thesis is to introduce Loss given default as one of the parameters of credit risk. The thesis discusses the basic characters and methods of LGD calculation. It also points out the common use of linear regression models and generalized linear models which are used in practice to estimate LGD parameter. Individual mathematical models and statistical methods for estimations of the parameters of such models are concisely described and consequently applied on simulated data. Keywords: LGD, beta regression, OLS, estimation 3

4 Obsah 1 Denícia a základné vlastnosti LGD Riziko a rizikové parametre Stratovos pri zlyhaní Proces vymáhania a hodnoty LGD Parametre LGD v legislatíve ƒr Modelovanie odhadu LGD Lineárna regresia, odhad pomocou OLS Regresný model Logistická regresia Vierohodnostná funkcia a metóda maximálnej vierohodnosti Beta rozdelenie a beta regresia Aplikácia modelov na simulované dáta Spracovanie ²tatistických dát Základné charakteristiky dát, popisná ²tatistika Aplikácia modelov a odhady parametrov Odhady pomocou lineárnej regresie Odhady pomocou logistickej regresie a beta regresie Porovnanie Záver 30 4

5 Úvod Udalosti, ktoré sa v posledných rokoch odohrali v bankovom a nan nom sektore, nám ukázali, aké rozsiahle dôsledky môºe ma podce ovanie rizika. Utvrdili nás v tom, ºe pre stabilitu svetovej ekonomiky je potrebné nan né riziká pravidelne monitorova a regulova. K týmto pravidlám regulácie patria najmä odporu enia Bazilejského výboru pre bankový doh ad, ktoré sú alej zapracovávané do legislatívy jednotlivých ²tátov i Európskej únie. Regula ný rámec známy ako Basel II, stojí na troch pilieroch reprezentujúcich významne zosilnenie minimálnych kapitálových poºiadaviek a inovatívne dodatky k doh adu nad kapitálom. Práve koncepcia Basel II umoº uje bankám a nan ným in²titúciám aplikova pre odhady komponent rizika okrem ²tandardizovaného prístupu, i prístup zaloºený na internom ratingu, tzv. IRB prístup (Internal rating based approach). Tento prístup umoº uje nan ným in²titúciám pouºíva vlastné metódy pre odhad parametrov kreditného rizika a následné vyuºitie týchto odhadov pre výpo et minimálneho poºadovaného kapitálu na krytie úverových strát v prípade výnimo ných udalostí. Jedným z k ú ových parametrov v meraní kreditného rizika je i stratovos pri zlyhaní (LGD), ktorého odhadom sa chceme venova v tejto práci. Ú elom tejto práce je zoznámenie sa s parametrom stratovosti pri zlyhaní. V prvej kapitole si predstavíme tento parameter a jeho základné charakteristiky. Na rtneme ako prebieha proces vymáhania a v krátkosti uvedieme, ako je stratovos pri zlyhaní zabudovaná v legislatíve ƒeskej republiky. al²ia kapitola je venovaná základným ²tatistickým modelom pre odhad parametra LGD a vlastnostiam týchto modelov. V závere práce aplikujeme získané poznatky na simulované dáta. 5

6 Kapitola 1 Denícia a základné vlastnosti LGD Aká bude na²a strata v prípade zlyhania protistrany? Aj to je jedna z otázok, ktorou sa zaoberajú banky i iné nan né in²titúcie. Je pochopite né, ºe po viacerých menej i viac predvídate ných situáciách, ktoré zatriasli nan ným sektorom, ale i v aka vývoju nových nan ných in²trumentov vzrastajú obavy z nesplatenia záväzkov a moºného úpadku dlºníkov. Ke ºe verite ova o akávaná strata je výsledkom komponent (kreditného) rizika, ku ktorými pod a Basel II patria pravdepodobnos zlyhania (PD), expozícia pri zlyhaní (EAD) a stratovos pri zlyhaní (LGD), je nutné venova odhadu týchto parametrov patri ný záujem. My sa v tejto práci zameriame na posledne menovaný a na úvod uvedieme len stru nú charakasneteristiku ostatných parametrov. 1.1 Riziko a rizikové parametre Existuje mnoho spôsobov ako denova riziko. Z psychologického h adiska je pod a [8] rizikom: Miera o akávaných nepriaznivých následkov pri neúspechu, ktorú ur uje pravdepodobnos neúspechu a stupe negatívnych následkov v danom prípade. Nás v²ak zaujíma najmä riziko vo nanciách a konkrétne kreditné resp. úverové riziko, denované ako riziko straty plynúce z neschopnosti alebo neochoty protistrany splati svoje záväzky. V krátkosti si predstavíme parametre tohto rizika, na odhady ktorých sú pod a Basel II kladené prísne poºiadavky. Pravdepodobnos zlyhania (PD: Probability of default) je pravedpodobnos, ºe na strane dlºníka dôjde v priebehu roka k zlyhaniu. Stratovos pri zlyhaní (LGD: Loss Given Default) je miera straty spôsobená zlyhaním dlºníka. Expozícia pri zlyhaní (EAD: Exposure at default) je o akávaná vý²ka poh adávok, ktorá je vystavená riziku v prípade zlyhania protistrany. Inak povedané, 6

7 vyjadruje vy erpané iastky úverov, ktoré zostanú nesplatené. Je to teda hodnota nesplatenej iastky v okamihu zlyhania dlºníka. Efektívna splatnos (M: Maturity) je dohodnutá doba na vyrovnanie záväzkov dlºníka, resp. efektívna doba splácania úveru. 1.2 Stratovos pri zlyhaní Odhad LGD ostáva v celku novým a otvoreným problémom v meraní kreditného rizika. Jej odhad nie je priamo iary. Závisí na mnohých faktoroch i na dostato nom objeme dát o defaultných poh adávkach. Je citlivá na zmeny ekonomických podmienok, ²peciká obchodu i senioritu poh adávok. Stratovos pri zlyhaní resp. stratu v prípade zlyhania 1 môºme vyjadri ako: ˆ pomer straty z expozície k hodnote asti záväzku, ktorá je nesplatená v ase defaultu Vyjadruje vlastne percentuálnu stratu z úverovej expozície, ktorú verite utrpí v prípade zlyhania protistrany. Je jedným z k ú ových parametrov potrebných pre odhad o akávanej a neo akávanej straty. Pouºívajú sa 3 typy LGD: 1. Market LGD je hodnota pozorovaná z trºných cien defaultných dlhopisov, i pôºi iek, ktoré sú obchodovate né. 2. Workout LGD je odhadovaná z pe aºných tokov plynúcich z procesu vymáhania. Zah a relevantné fakty, ktoré majú dopad na kone nú, opätovne nadobudnutú as expozície v procese vymáhania (workout process). Zbankrotované poh adávky nie sú vysporiadavané hotovos ou, ale cennými papiermi, bez sekundárneho trhu, o znamená, ºe ich cena je asto roky nejasná. Odhad tejto LGD závisí na diskontnej sadzbe, ktorá by mala odráºa riziko drºaných defaultných aktív, av²ak je aºké odhadnú ju pre jednotlivé situácie. ƒasto sa potom pouºíva sadzba na základe historických dát. 1 Zlyhaním pod a Basel II rozumieme situáciu, ke moºno predpoklada, ºe dlºník nesplatí svoj záväzok v plnej vý²ke a na as alebo sa so splátkou oneskorí o viac neº 90 dní. V ƒeskej republike sa zlyhaním dlºníka pod a Vyhlášky č. 123/2007 Sb., v znení vyhlášky č. 282/2008 Sb., 49 rozumie situácia, ke je splnená aspo jedna z podmienok: (a) moºno predpoklada, ºe dlºník pravdepodobne nesplatí svoj záväzok riadne a v as, bez toho, aby verite pristúpil k uspokojeniu svojej poh adávky zo zaistenia, (b) aspo jedna splátka istiny alebo príslu²enstva akéhoko vek záväzku dlºníka vo i verite ovi je po splatnosti viac neº 90 dní; k tejto podmienke povinná osoba nemusí prihliada, pokia iastka po splatnosti nie je významná tým, ºe prah významnosti stanoví povinná osoba s oh adom na to, akú iastku nevymáha pri odpise poh adávky. 7

8 3. Implied market LGD je odhadovaná pomocou trºných cien nedefaultných dlhopisov. Zaloºená na my²lienke, ºe cena rizikových in²trumentov odráºa trhové o akávanie straty a môºe by rozloºená na pravedpodobnos zlyhania a LGD. Nespolieha sa na historické dáta. 1.3 Proces vymáhania a hodnoty LGD V procese vymáhania i predaji dlºníkových aktív sa verite ovi obvykle podarí získa spä istú percentuálnu as z nesplatenej iastky v okamihu zlyhania. Túto as nazývame miera vymáhate nosti resp. miera návratnosti (RR: recovery rate). Predstavuje celkovú vy aºenos daného ú tu po n mesiacoch vymáhania. Celkovou vy aºenos ou pod a Basel II rozumieme percentuálny podiel získanej iastky na expozícií pri defaulte. Proces vymáhania zahr uje náklady, ktoré musia by odpo ítané z tejto iastky. Tento istý nan ný tok je diskontovaný vhodne zvolenou diskontnou sadzbou odráºajúcou riziko. Môºeme ho vyjadri vz ahom, RR(n) = 1 EAD n t=1 CF t (1 + r) t (1.1) kde CF t (cash ow v mesiaci t) je rozdielom podefaultnej splátky klienta v mesiaci t a nákladov na vymáhanie v danom mesiaci, r je diskontná sadzba. Hodnotu LGD po n mesiacoch po defaulte získame ako nesplatenú as EAD zo vz ahu LGD = 1 RR. Ke ºe RR a LGD vlastne vyjadrujú percentuálnu as z nesplatenej iastky v okamihu zlyhania dlºníka, predpokladáme, ºe RR i LGD nadobúdajú hodnoty v intervale 0, 1. Extrémne hodnoty LGD 0 a 1 pod a [2] a [11] znamenajú ºiadnu resp. totálnu stratu. Hodnoty medzi týmito extrémami reprezentujú iasto nú náhradu nesplateného dlhu. Z tejto iasto nej náhrady sú v²ak odpo ítané administratívne náklady. Výpo et RR pod a (1.1) v²ak môºe v niektorých prípadoch vies k záporným hodnotám, najmä kvôli vysokým nákladom a nízkej i nulovej návratnosti (vymáhate nosti). Naopak hodnoty presahujúce 1 nastávajú v prípadoch vysokých a úspe²ne inkasovaných poplatkov, ke ºe po defaulte sú klientovi ú tované al²ie úroky a penále i súdne trovy následného súdneho vymáhania. Z toho plynie, ºe ak klient splatí v²etko, presiahne hranicu pôvodnej dlºnej iastky. Proces vymáhania a vo ba vhodnej diskontnej sadzby r ostávajú v kompetencii kaºdej nan nej in²titúcie. V podstate neexistuje jednotný model ako efektívne voli túto sadzbu a jej vo ba plne odráºa stratégiu banky i nan nej in²titúcie. Pod a [6] sa v praxi mnohokrát ako diskontná sadzba volí efektívna úroková sadzba kaºdej poh adávky po splatnosti. Alebo alternatívne je vyuºívaná jednotná diskontná sadzba stanovená na základe vnútornej ceny zdrojov útvaru vymáhania poh adávok, ku ktorej sú pripo ítané priráºky odráºajúce: 1. náklady na tvorbu 8

9 a udrºovanie opravných poloºiek, resp. náklady na plnenie kapitálových a regulatórnych poºiadaviek; 2. výnosové marºe zoh ad ujúce o akávané výnosy alokácie pouºitých vnútorných zdrojov pre alternatívne aktivity. Vo nan nej praxi platí, ºe tesne po defaulte je ú innos procesu vymáhania na svojom maxime a potom prudko klesá v horizonte zhruba 3 rokov na minimum. Proces vymáhania delíme na 3 fázy: 1. Fáza pre-collection, ktorá nastáva v období 15 aº 0 dní pred splatnos ou splátky. Po as tejto fázy sa klientovi volá, prípadne posiela SMS správa s upozornením, ºe má v budúcnosti splati pravidelnú splátku. 2. Ranná fáza (early, soft), ktorej hlavným cie om je udrºanie vz ahu s klientom a h adanie moºností na úhradu v²etkých záväzkov klienta po splatnosti. Táto fáza je krátka, uplat uje sa medzi 1. a 30. aº 90 d om po splatnosti. Významných je v²ak prvých maximálne 20 dní, po as ktorých sa vykry²talizuje, i je banka schopná s klientom udrºa vz ah a je odhadnuté ako sa klient bude alej správa. 3. Neskorá fáza (late, hard) neberie oh ad na vz ah s klientom. Hlavným cie- om banky je získa spä o najvä ²iu as nesplatenej poh adávky. Za ína 30. aº 90. d om po splatnosti a trvá aº kým celá dlºná iastka je vymoºená resp. uplynie as, ktorý je in²titúcia ochotná venova vymáhacím procesom (zvy ajne 4 aº 5 rokov). V tejto fáze je uº správanie sa, neschopnos i neochota klienta spláca svoje záväzky jasná. Je preto dôleºité stanovi aktuálnu hodnotu poh adávky, k omu je nutné zaznamenáva v²etky zmeny na ú te klienta, náklady na vymáhanie a ma k dispozícií dáta k potrebným analýzam. 2 Po tomto období e²te nastáva proces súdneho vymáhania, v ktorom banka s odstupom 3 aº 5 rokov po defaulte klienta môºe spätne získa zvy²ok dlºnej iastky. 1.4 Parametre LGD v legislatíve ƒr V tejto podkapitole priblíºime niektoré poºiadavky kladené na odhad LGD zahrnuté v legislatíve ƒeskej republiky pod a vyhlá²ky. 123/2007 Sb., v znení vyhlá²ky. 282/2008 Sb. Budeme citova niektoré asti z vyhlá²ky a jej príloh pod a [3]. Pod a Ÿ2 (Vymedzenie pojmov ) rozumieme hodnotou LGD stratovos zo zlyhania; jedná sa o pomer straty z expozície pri zlyhaní protistrany k iastke dlºnej v okamihu zlyhania. Ÿ91 (Poºiadavky na pouºívanie prístupu IRB ) Povinná osoba, ktorá ºiada o udelenie súhlasu pouºíva v rámci prístupu IRB vlastné odhady hodnoty LGD 2 Viac je moºné nájs v [6] 9

10 alebo konverzných faktorov spôsobom, ktorý v²eobecne spl uje poºiadavky na pouºívanie prístupu IRB, a to aspo po dobu 3 rokov; lehota 3 rokov sa stanovuje k okamihu udelenia súhlasu s pouºívaním IRB prístupu. Konverzným faktorom sa pritom rozumie pomer medzi iastkou prís ubu, ktorá nie je doposia vy erpaná a bude vy erpaná a nesplatená v okamihu zlyhania, a iastkou prís ubu, ktorá doposia nie je vy erpaná; rozsah prís ubu bude stanovený povoleným limitom, pokia nepovolený limit nie je vy²²í. Ÿ96 Výpo et rizikovo váºenej expozície pre úverové riziko je zaloºené na relevantných parametroch, ktoré sa vz ahujú k expozíciám. Tieto parametre zahr ujú hodnotu PD, LGD, splatnos a hodnotu expozície. Vymedzenie pojmu týchto parametrov je moºné nájs v prílohe. 10 a. 13. V prílohe. 10 (Poºiadavky na pouºívanie prístupu IRB ) moºno nájs poºiadavky na pouºívanie IRB prístupu týkajúce sa ratingových systémov, kvantikácie rizika, validácie vlastných odhadov, výpo tu hodnôt rizikovo váºených akciových expozícií metódou vlastných modelov, riadiaceho a kontrolného systému. V prílohe. 12 (Spôsoby výpo tu hodnoty rizikovo váºenej expozície v rámci prístupu IRB) moºno nájs spôsoby výpo tu hodnoty rizikovo váºenej expozície pre úverové riziko, ktoré závisia na kategórií danej expozície ako napr. expozície vo i centrálnym bankám, podnikové, retailové i akciové expozície. V prílohe. 13 (Parametre v rámci prístupu IRB ) moºno nájs poºiadavky kladené na hodnoty PD, LGD, splatnosti a expozície. V prílohe. 14 (Spôsoby výpo tu vý²ky o akávaných úverových strát a zaobchádzanie s nimi pri expozíciách s prístupom IRB ), moºno nájs spôsoby výpo tu o akávaných úverových strát jednotlivých kategórií expozícií, kde hlavnú úlohu taktieº zohrávajú vstupné parametre PD, LGD a hodnota expozície. V nasledujúcej kapitole sa zameriame na popis jednotlivých modelov, ktoré môºu by v súlade s touto vyhlá²kou pouºité k odhadu vy²²ie uvedených parametrov. 10

11 Kapitola 2 Modelovanie odhadu LGD Táto práca je zameraná na popis niektorých beºne vyuºívaných ²tatistických modelov pre odhad LGD odporú aných odbornou literatúrou, ich následnú aplikáciu na dáta a ich vzájomné porovnanie. K moºným prístupom modelovania LGD patria: ˆ lineárne a zov²eobecnené lineárne modely ˆ analýza preºitia (Survival Analysis) ˆ jednofaktorový model (Single factor Model) 1 ˆ ²trukturálne modely V tejto práci sa budeme detajlnej²ie venova modelom lineárnej regresie a zov²eobecneným lineárnym modelom ako logistická regresia i beta regresia. 2.1 Lineárna regresia, odhad pomocou OLS K základným modelom pre odhad LGD patrí model lineárnej regresie a odhad parametrov pomocou metódy najmen²ích ²tvorcov (OLS: Ordinary least squares). Najprv popí²eme v²eobecný model lineárnej regresie Regresný model Majme náhodný vektor Y = (Y 1,..., Y n ), pre ktorý platí Y = Xβ + ɛ, kde β = (β 1,..., β k ) je vektor neznámych parametrov a ɛ = (ɛ 1,..., ɛ n ) je náhodný vektor spl ujúci Eɛ = 0, varɛ = σ 2 I, σ 2 > 0 je tieº neznámy parameter. alej X = (x i,j ) je matica známych ísiel typu n k, kde k < n. Tento model nazývame regresný. Pretoºe Y závisí na β lineárne, hovoríme o lineárnej regresii. 1 Podrobný popis týchto modelov moºno nájs v [12]. 2 Podrobnej²í popis modelu moºno nájs v [1]. 11

12 Odhady parametrov β Ozna me b = (b 1,..., b k ) odhady parametrov β = (β 1,..., β k ). Ak je daný odhad b, potom vieme spo íta X ib = Ŷi, kde Ŷi je vyrovnaná hodnota. b vyberáme tak, aby vzdialenos Y i a Ŷi bola, o najmen²ia, i = 1,..., n. Parametre β odhadujeme metódou najmen²ích ²tvorcov, tj. z podmienky, ºe výraz (Y Xβ) (Y Xβ) ako funkcia β má by minimálny. Vezmime (Y Xβ) (Y Xβ) β = 2(X Y X Xβ) (2.1) Ke ºe h adáme minimum, poloºíme deriváciu rovnú 0 a pomocou (2.1) dostaneme odhady b = (X X) 1 X Y. Hodnotu celkovej vy aºenosti resp. (LGD) modelujeme lineárnou funkciou Y i = X iβ + ɛ i, kde X i je vektor charakteristík ú tu i a β je vektor parametrov, ktoré odhadneme pomocou vy²²ie uvedenej metódy najmen²ích ²tvorcov. 2.2 Logistická regresia K zov²eobecneným lineárnym modelom, ktoré sa vyuºívajú pre odhad LGD patrí i model logistickej regresie. Logistická regresia nie je obmedzovaná typom dát, moºno ju aplikova i na kategoriálne premenné a jej výhodou je i okamºitá interpretácia odhadnutých parametrov. Odhad LGD pomocou logistickej regresie je zaloºený na my²lienke rozdelenia obdrºaných a budúcich hodnôt LGD na nízke a vysoké. Ú ty i teda rozdelíme na 2 skupiny pod a celkovej vy aºenosti RR (RR = 1 LGD). V prvej skupine budú ú ty, ktorých RR < h; v druhej tie s hodnotou RR > h. Nech h (0, 1) je hranica, potom denujeme LGD hodnoty ako nízke, ke LGD < h resp. RR > h. Presné ur enie tejto hranice h záleºí na konkrétnych dátach. Pravdepodobnos toho, ºe sa daný ú et nachádza v prvej skupine odhadneme práve metódou logistickej regresie. Pomocou váºených priemerov oboch skupín potom jednotlivým ú tom priradíme ich príslu²nú pomernú as, a tak získame odhad celkovej vy aºenosti. Ozna me Y i = 1 ako prvú skupinu a Y i = 0 ako druhú. Potom π(x i ) = P (Y i = 1) vyjadruje pravdepodobnos, ºe sa ú et i nachádza v prvej skupine. Následne 1 π(x i ) = P (Y i = 0) je pravdepodobnos, ºe sa nachádza v druhej skupine. Túto pravdepodobnos ur íme z vektoru charakteristík X i ú tu i. Ke ºe ide o pravdepodobnos, ktorej hodnoty leºia v intervale 0, 1 pouºijeme logitovú transformáciu s vektorom parametrov β. Chceme teda nájs logistickú funkciu tvaru 12

13 π(x i ) = exp(x iβ) 1 + exp(x i β) odhadujúcu pravdepodobnos, ºe sa ú et nachádza v prvej skupine. Odtia to potom pravdepodobnos, ºe sa ú et i nachádza v danej skupine môºeme vyjadri ako P (Y i = y i ) = π(x i ) y i (1 π(x i )) 1 y i (2.2) Parametre β odhadneme pomocou metódy maximálnej vierohodnosti Vierohodnostná funkcia a metóda maximálnej vierohodnosti Predpokladajme ako v [14], ºe náhodný výber (postupnos nezávislých, rovnako rozdelených náhodných veli ín X 1,..., X n ) má rozdelenie charakterizované hustotou f(x; β). Zdruºená hustota náhodného vektoru je daná predpisom f(x 1,..., x n ; β) = n f(x i ; β) (2.3) Zdruºenú hustotu f(x; β) ako funkciu parametru β nazývame vierohodnostná funkcia. Niekedy je výhodnej²ie pracova s logaritmickou vierohodnostnou funkciou l(β) = log f(x; β). Odhadom parametru β metódou maximálnej vierohodnosti je taká hodnota parametru ˆβ, ktorá maximalizuje vierohodnostnú funkciu na mnoºine parametrov. Pre ná² model teda pod a (2.3) a (2.2) dostaneme pre n ú tov vierohodnostnú funkciu tvaru L = i=1 n π(x i ) y i (1 π(x i )) 1 y i (2.4) i=1 Maximalizáciou logaritmu funkcie L potom dostaneme odhady parametrov β. Logaritmus funkcie L má tvar log L = n [y i log(π(x i )) + (1 y i ) log(1 π(x i ))] (2.5) i=1 Funkciu zderivujeme pod a vektoru parametrov β. Pomocou retiazkového pravidla získame parciálnu deriváciu log L β = log L π(x i ). π(x i) β = n X i (y i π(x i )) (2.6) Rovnicu (2.6) poloºíme rovnú nule a z nej získame odhady ˆβ. Rovnica sa rie²i numericky pomocou Newton-Raphsonovho itera ného algoritmu. Takto získaný 13 i=1

14 maximálne vierohodný odhad ˆβ ma asymptoticky normálne rozdelenie ˆβ AN(β, V ), kde V = (J(β)) 1 je varian ná matica a J(β) = E( 2 ) je Fischerova informa ná matica tvaru J(β) = n β β i=1 π(x i)(1 π(x i ))X i X i. 2.3 Beta rozdelenie a beta regresia Predo²lé ²túdie (napríklad [5] a [7]) i poznatky z praxe ukazujú, ºe hodnoty RR sa hromadia okolo 1 resp. 0 a nazna ujú tým rozdelenie s aºkými chvostami práve okolo týchto hodnôt. To nás vedie k predpokladu, ºe LGD sú nezávislé náhodné veli iny, ktoré sa riadia beta rozdelením. Toto rozdelenie je zaujímavou vo bou, pretoºe v aka jeho variabilite môºme namodelova rozdelenie i v tvare U cez interval 0, 1, ktoré je typické pre empirické hodnoty RR. Beta rozdelenie Popí²eme si teda základné vlastnosti beta rozdelenia. Pod a [1] má Beta rozdelenie B(a, b) hustotu f(x) = 1 B(a, b) xa 1 (1 x) b 1, 0 < x < 1 (2.7) kde B(a, b) je beta funkcia a a > 0, b > 0 sú parametre, pomocou ktorých je moºné na intervale 0, 1 dosiahnu rôznych tvarov hustoty tohto rozdelenia ako moºno vidie i na obrázkoch 2.1 a 2.2. f x a 0.5 b 0.5 a 0.5 b 2 a 0.5 b x Obr. 2.1: Tvar hustoty Beta rozdelenia s meniacim sa parametrom b. 14

15 2.0 f x a 1 b 2 a 2 b 2 a 4 b x Obr. 2.2: Tvar hustoty Beta rozdelenia s meniacim sa parametrom a. Pomocou gama funkcie môºme hustotu vyjadri nasledovne f(x) = Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) xa 1 (1 x) b 1, 0 < x < 1 (2.8) Stredná hodnota µ a rozptyl σ 2 sú dané vz ahmi µ = a a + b, σ2 = ab (a + b) 2 (a + b + 1) (2.9) Pre na²e ú ely v²ak bude vhodnej²ie pouºite regresie pre strednú hodnotu odozvy s tzv. precíznym parametrom. Budeme teda pracova s nasledujúcou parametrizáciou hustoty beta rozdelenia. Nech µ =, φ = a + b. Potom a = µφ a (a+b) a b = φ(1 µ), kde µ je stredná hodnota a σ 2 = µ(1 µ) (φ+1) s hustotou 3 je rozptyl beta rozdelenia f(x) = Γ(φ) Γ(µφ)Γ(φ(1 µ)) xµφ 1 (1 x) φ(1 µ) 1, 0 < x < 1, (2.10) kde 0 < µ < 1, φ > 0. Beta regresia Predpokladajme, ºe Y i,..., Y n sú nezávislé náhodné veli iny. Y i B(µ(X i ), φ), kde Y i je odpovedajúca hodnota LGD pre ú et i, µ(x i ) a φ sú parametre beta rozdelenia s hustotou (2.10), X i sú jednotlivé charakteristiky ú tu a µ je vhodná parametrická funkcia. alej zavedieme vektorový parameter β ako lineárnu kombináciu regresorov X iβ. Následne je nutné pouºi vhodnú transformáciu a vzh a- 3 µ interpretujeme ako strednú hodnotu odozvy, φ ako precízny parameter, v zmysle pre pevné µ, ím vä ²ie bude φ tým men²í bude rozptyl náhodnej veli iny X. 15

16 dom k predpokladu, ºe stredná hodnota beta rozdelenia sa nachádza v intervale (0, 1) sa vhodnou javí opä pouºitie logitovej transformácie 4. Dostaneme teda µ(x i ) = exp(x iβ) 1 + exp(x i β) (2.11) Charakteristiky rozdelenia µ(x i ) tzn. stredná hodnota i rozptyl závisia na parametroch X i daného ú tu i. Dostaneme teda parametrický model s parametrami φ a β. Tieto parametre následne odhadneme metódou maximálnej vierohodnosti. Vierohodnostná funkcia ná²ho modelu má teda pod a (2.3) a (2.10) tvar L = n Γ(φ) Γ(µ(X i )φ)γ(φ(1 µ(x i ))) yµ(x i)φ 1 i (1 y i ) φ(1 µ(x i)) 1 i=1 (2.12) kde n je po et ú tov, y i je hodnota LGD pre ú et i a µ(x i ) = exp(x i β) 1+exp(X i β). Maximalizáciou logaritmu funkcie L potom dostaneme odhady parametrov β a φ. Logaritmus vierohodnostnej funkcie má tvar log L = n [log Γ(φ) log Γ(µ(X i )φ) log Γ(φ(1 µ(x i ))) + i=1 + (µ(x i )φ 1) log y i + (φ(1 µ(x i )) 1) log(1 y i )] Funkciu zderivujeme pod a parametrov β a φ, poloºíme rovnú nule a získame tak sústavu rovníc. Opä pomocou retiazkového pravidla získame parciálne derivácie pod a jednotlivých parametrov log L β = log L µ(x i ). µ(x i) β = n y i φ[log( ) τ(µ(x i )φ)+ 1 y i i=1 + τ((1 µ(x i ))φ)]µ(x i )(1 µ(x i ))X i log L φ = n [τ(φ) τ(µ(x i )φ)µ(x i ) τ((1 µ(x i ))φ)(1 µ(x i )) + i=1 + µ(x i ) log(y i + (1 µ(x i ))(1 µ(x i ))] kde τ = (log Γ) je tzv. digama funkcia. Variáciou parametru φ môºme získa zov²eobecnený model beta regresie. Zavedením al²ieho vektora parametrov γ potom vzh adom k tomu, ºe φ > 0 môºme pouºi parametrickú funkciu φ(x i ) = exp(x iγ) 5. 4 al²ie moºné transformácie beta rozdelenia moºno nájs v [4] a [9]. 5 podrobnej²ie v [9] 16

17 Kapitola 3 Aplikácia modelov na simulované dáta V tejto asti aplikujeme modely, s ktorými sme sa zoznámili v predchádzajúcej kapitole na simulované ²tatistické dáta a vzájomne ich porovnáme. K simulovaniu dát sme pouºili program Wolfram Mathematica 8 a k spracovaniu dát, ²tatistický software R V úvode kapitoly sa zoznámime s dátami prostredníctvom popisnej ²tatistiky a vhodných grackých znázornení. 3.1 Spracovanie ²tatistických dát K testovaniu modelov sme v na²ej práci vyuºili simulované dáta, ktorých hodnoty pripomínajú realistickú situáciu. Hodnoty LGD sme simulovali z Beta rozdelenia za²umeného Normálnym rozdelením. Výber nezávislých prediktorov je v praxi ve mi individuálny. My sme pre na²e ú ely volili 11 demograckých prediktorov po núc vekom klienta aº po kategoriálne premenné týkajúce sa typu produktu, ktoré sú zhrnuté v tabu ke 3.2. age vek gender pohlavie marit.status stav (slobodný, ºenatý,...) education dosiahnuté vzdelanie region trvalé bydlisko ( kraje v ƒeskej republike) income príjem (v K ) tiempl doba v zamestnaní (v mesiacoch) ownership vlastníctvo nehnute nosti term poºadovaná doba splácania úveru (v rokoch) reins zaistenie type typ produktu lgd Hodnota lgd daného klienta (závisle premenná) Tabu ka 3.1: truktúra dát. 17

18 3.2 Základné charakteristiky dát, popisná ²tatistika Prediktory môºme pod a [14] rozdeli do nasledovných skupín: ˆ Kategoriálne: premenné, ktoré sú v dátach uloºené ako numerické, ale v skuto nosti ide o premenné kvalitatívne. Nominálne - predpokladajú sa disjunktné kategórie; medzi jednotlivými hodnotami nie je ºiadny vz ah i usporiadanie. V na²om prípade ide o premenné gender, marit.status, ownership, type, region. Ordinálne - sú vlastne nominálne, ktorým pribudlo usporiadanie. Nemoºno v²ak stanovi vzdialenos kategórií, udávajú len ich poradie. Z na²ich dát sem môºeme zaradi education, prípadne reins. ˆ Intervalové: premenné, ktoré moºno usporiada i ur i numerickú vzdialenos medzi pozorovaniami. K intervalovým môºeme teda zaradi age, income, tiempl, term. Lep²í preh ad o ²tatistických dátach získame prostredníctvom grafov, ktoré nám pomôºu odhali prípadné anomálie v dátach. I ná² dátový súbor si teda priblíºime pomocou základných grafov, ktoré ponúka ²tatistický program R. Obrázok 3.1 nazna uje, ºe hodnoty LGD sa riadia Beta rozdelením. Pocetnost LGD Obr. 3.1: Histogram LGD. 18

19 Preh ad kvalitatívnych premenných (obrázok 3.2). Pocetnost ZS SS odborne 1.st VS 2.st VS vyssie Education Pocetnost Pocetnost PHA JHC KVK LBK PAK JHM ZLK Region Typ hypoteka karta spotr.uver overdraft zenaty rozvedeny slobodny single rodic ovdoveny M.status Obr. 3.2: Kvalitatívne (kategoriálne) prediktory. 19

20 Základné charakteristiky kvantitatívnych premenných sú uvedené v tabu ke 3.2. age income tiempl term lgd min e-06 mean sd max Tabu ka 3.2: Charakteristiky premenných. Pre skúmanie vz ahu medzi kvalitatívnymi a kvantitatívnymi premennými nám poslúºi obrázok 3.3. lgd PHA STC JHC PLK KVK ULK LBK HKK PAK VYS JHM OLK ZLK MSK Region lgd ZS SS odb SS mat 1.st VS 2.st VS vyssie Education Obr. 3.3: Boxploty pre premenné region a education. 20

21 3.3 Aplikácia modelov a odhady parametrov Odhady pomocou lineárnej regresie K výberu prediktorov a vo be konkrétneho modelu vyuºijeme sekven né postupy popísané v [13]. Vyuºívajú sa zostupný výber, vzostupný výber a najmä ich kombinácia tzv. kroková (stepwise) regresia. Program R nám ponúka procedúru step, ktorá h adá model s najmen²ou hodnotou Akaikeho informa ného kritéria (AIC). Toto kritérium vyuºijeme i k porovnaniu na²ich modelov. Pod a [13] bolo Akaikeho informa né kritérium navrhnuté ako AIC = 2l( ˆβ) + 2q (3.1) kde l je logaritmická vierohodnostná funkcia a q je po et zloºiek maximálne vierohodného odhadu ˆβ, resp. po et parametrov modelu. Hodnota AIC je teda výsledkom sú tu lenov, z ktorých jeden je úmerný logaritmu reziduálnej sumy ²tvorcov a druhý je úmerný zloºitosti modelu. Z toho teda plynie, ºe najúspornej²ie modely majú najniº²iu hodnotu AIC. Odhady parametrov β pomocou lineárnej regresie sú uvedené v tabu ke 3.3. Do modelu sme nezaradili kategoriálne premenné. Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coecients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 8.389e e <2e-16 *** age e e term e e * income e e <2e-16 *** tiempl 3.514e e Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: on 1265 degrees of freedom Multiple R-squared: Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 1265 DF AIC: p-value: 2.2e-16 Tabu ka 3.3: Odhady parametrov pomocou lineárnej regresie. 21

22 V tabu ke 3.3 je vidie ºe celkový F-test, ktorý hovorí o tom i je vysvet ovaná premenná lineárnou kombináciou vysvet ujúcich premenných zamieta nulovú hypotézu. Testujeme H 0 : β 1 =... = β n = 0 proti H 1 : H 0. Ako signikantné sa ukazujú prediktory term a income. K rovnakému záveru dospejeme i vyuºitím procedúry step. Vo v²etkých troch prípadoch tj. zostupne, vzostupne i stepwise dospejeme k rovnakému záveru. V tabu ke 3.4 sú uvedené len hodnoty posledného kroku stepwise regresie. V nasledujúcej tabu ke 3.5 sú zhrnuté parametre modelu zvoleného krokovou regresiou. Step: AIC= lgd dlzkauveru + income Df Sum of Sq RSS AIC <none> age tiempl term income Coecients: (Intercept) dlzkauveru income 8.038e e e-06 Tabu ka 3.4: Stepwise, výber regresorov, závere ný krok. Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coecients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 8.038e e <2e-16 *** term e e * income e e <2e-16 *** Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: on 1267 degrees of freedom Multiple R-squared: Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 1267 DF AIC: p-value: 2.2e-16 Tabu ka 3.5: Odhady parametrov pomocou lineárnej regresie, model zvolený krokovou metódou. 22

23 V modeloch lineárnej regresie predpokladáme, ºe reziduá ɛ i = Y i Ŷi, kde Y i je nameraná hodnota a Ŷi je vyrovnaná (natovaná) hodnota majú normálne rozdelenie s nulovou strednou hodnotou a kon²tantným rozptylom. Teda ɛ i N(0, σ 2 ). Sú as ou výberu vhodného modelu by malo by posúdenie predpokladov a kvality modelu ako je uvedené i v [10]. Pozrieme sa teda na gracké zhodnotenie modelu, ktoré ponúka program R pomocou funkcie plot (obrázok 3.4). Graf v avom hornom rohu vyná²a hodnoty regresných reziduí proti vyrovnaným hodnotám. V grafe by nemala by patrná ºiadna funk ná závislos. Z Normal Q-Q grafu moºno zisti ako ve mi sa rozdelenie reziduí v na²om modeli podobá normálnemu rozdeleniu (v prípade úplnej zhody by mali v²etky body leºa na bodkovanej referen nej priamke). Graf v pravom hornom rohu ukazuje mieru odchýlky predpovedanej hodnoty od hodnoty skuto nej, resp. variabilitu reziduí. Jedným z predpokladov klasických lineárnych modelov je i homoskedasticita reziduí, t.j. ºe variabilita reziduí sa ºiadnym jednozna ným spôsobom nemení s o akávanou hodnotou vysvet ovanej premennej. V grafe by taktieº nemal by výrazný trend. Posledný graf ukazuje aký ve ký vplyv na výsledný model má pozorovanie v aka vysvet ujúcim premenným Fitted values Residuals Residuals vs Fitted Theoretical Quantiles Standardized residuals Normal Q Q Fitted values Standardized residuals Scale Location Leverage Standardized residuals Cook's distance Residuals vs Leverage Obr. 3.4: Diagram regresnej diagnostiky. 23

24 3.3.2 Odhady pomocou logistickej regresie a beta regresie Odhady parametrov plného modelu pomocou logistickej regresie sú uvedené v tabu ke 3.7. Opä sme na model aplikovali procedúru step, ktorá nám potvrdila, ºe najvä ²í vplyv majú regresory income a term. Výsledok je uvedený v tabu ke 3.6. Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coecients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) 1.288e e e-10 *** income e e < 2e-16 *** term e e Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual deviance: on 1267 degrees of freedom Null deviance: on 1269 degrees of freedom AIC: Tabu ka 3.6: Odhady parametrov pomocou logistickej regresie, model zvolený krokovou metódou. Odhady parametrov pomocou beta regresie sú uvedené v tabu ke 3.8. Pridávame taktieº gracké znázornenie splnenia predpokladov jednotlivých modelov (obrázky 3.5 a 3.6). 24

25 Deviance residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coecients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) 1.266e e ** age e e term e e income e e e-15 *** tiempl 1.663e e fedu[t.ss odb] e e fedu[t.ss mat] 2.649e e fedu[t.1.st VS] 2.645e e fedu[t.2.st VS] 3.409e e fedu[t.vyssie] e e fms[t.rozvedeny] e e fms[t.slobodny] 1.152e e fms[t.single rodic] 2.738e e fms[t.ovdoveny] 1.391e e fown[t.najom] e e fown[t.ine] 1.137e e fregion[t.stc] 1.833e e fregion[t.jhc] 3.387e e fregion[t.plk] 2.948e e fregion[t.kvk] e e fregion[t.ulk] 2.418e e fregion[t.lbk] 2.111e e fregion[t.hkk] 2.886e e fregion[t.pak] 1.741e e fregion[t.vys] e e fregion[t.jhm] 1.086e e fregion[t.olk] 4.478e e fregion[t.zlk] 1.645e e fregion[t.msk] 3.281e e freis[t.so zaistenim] 3.567e e ftyp[t.hypoteka] 1.311e e ftyp[t.karta] 1.194e e ftyp[t.overdraft] 6.110e e gender[t.m] 6.711e e Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual deviance: on 1236 degrees of freedom Null deviance: on 1269 degrees of freedom AIC: Tabu ka 3.7: Odhady parametrov pomocou logistickej regresie. 25

26 Standardized weigh. res.: Min 1Q Median 3Q Max Coecients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) 9.527e e e-05 *** age e e term e e income e e < 2e-16 *** tiempl e e fedu[t.ss odb] e e fedu[t.ss mat] 2.374e e fedu[t.1.st VS] 1.676e e fedu[t.2.st VS] 2.683e e fedu[t.vyssie] e e fms[t.rozvedeny] e e fms[t.slobodny] 8.379e e fms[t.single rodic] 2.111e e fms[t.ovdoveny] 1.031e e fown[t.najom] e e fown[t.ine] 9.786e e fregion[t.stc] 1.714e e fregion[t.jhc] 3.842e e * fregion[t.plk] e e fregion[t.kvk] e e fregion[t.ulk] 2.687e e fregion[t.lbk] 2.887e e fregion[t.hkk] 1.297e e fregion[t.pak] 1.120e e fregion[t.vys] e e fregion[t.jhm] 1.217e e fregion[t.olk] 3.417e e fregion[t.zlk] 8.917e e fregion[t.msk] 1.811e e freis[t.so zaistenim] 2.262e e ftyp[t.hypoteka] e e ftyp[t.karta] e e ftyp[t.overdraft] e e gender[t.m] 2.074e e Phi coecients (precision model with identity link): (phi) <2e-16 *** Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Log-likelihood: on 35 Df Pseudo R-squared: AIC: Tabu ka 3.8: Odhady parametrov pomocou beta regresie. 26

27 Predicted values Residuals Residuals vs Fitted Theoretical Quantiles Std. deviance resid. Normal Q Q Predicted values Std. deviance resid. Scale Location Leverage Std. Pearson resid. Cook's distance Residuals vs Leverage Obr. 3.5: Diagram regresnej diagnostiky pre model logistickej regresie. 27

28 Standardized weighted residuals Residuals vs indices of obs. Generalized leverage Generalized leverage vs predicted values Obs. number Predicted values Cook's distance plot Half normal plot of residuals Cook's distance Standardized weighted residuals 2 (absolute values) Obs. number Normal quantiles Obr. 3.6: Diagram regresnej diagnostiky pre model beta regresie. 28

29 V grafe na obrázku 3.6 sme pouºili i Cookovu vzdialenos, ktorá hovorí o vz ahu jednotlivých pozorovaní k danému modelu. V podstate táto vzdialenos vypovedá o tom, ako ve mi je výsledná podoba regresného modelu ovplyvnená jedným konkrétnym pozorovaním Porovnanie Cie om aplikovania predstavených modelov bolo vyskú²a si a porovna základné prístupy modelovania LGD. V²etky uvedené metódy sú naj astej²ie vyuºívané v praxi, av²ak stále sa pracuje na vývoji nových prístupov modelovania. Z ná²ho nasledovného porovnania plynie, ºe najlep²ie obstál model Beta regresie, tabu ka 3.9. AIC R 2 Lineárna regresia Logistická regresia NA Beta regresia Tabu ka 3.9: Porovnanie pouºitých modelov. 29

30 Kapitola 4 Záver V tejto bakalárskej práci sme sa zaoberali modelovaním stratovosti pri zlyhaní. V úvode sme v krátkosti pojednali o tom, o znamená riziko vo nanciách a zamerali sme sa na kreditné riziko a jeho parametre. alej sme denovali pojem stratovosti pri zlyhaní. Priblíºili sme jej základné charakteristiky, za lenenie v legislatíve ƒeskej republiky a v krátkosti popísali ako prebieha proces vymáhania. V al²ích kapitolách sme sa venovali najmä popisu matematických modelov pre odhad LGD a aplikácií týchto teoretických poznatkov na simulované ²tatistické dáta. Cie om práce bolo predov²etkým popísa a aplikova beºne v praxi vyuºívané modely pre odhady LGD. Zamerali sme sa preto najmä na odvodenie vz ahov pre logistickú regresiu a beta regresiu, ktoré i v praxi vykazujú najlep²ie výsledky. Venovali sme sa odhadom parametrov týchto modelov pomocou metódy najmen²ích ²tvorcov a maximálnej vierohodnosti. K aplikácii teoreticky odvodených odhadov sme vyuºili ²tatistický program R. Ako najvhodnej²í model sa ukázal model beta regresie. Výsledky v²ak môºu by tro²ku skreslené, vzh adom k tomu, ºe sme k odhadu parametrov pouºili len simulované dáta, v ktorých stále môºu by skryté ur ité anomálie, ktoré sa nám nepodarilo odhali. Av²ak pre ú ely tejto práce nám i simulované dáta posta ili k získaniu odhadov parametrov pre jednotlivé modely a ich porovnanie. Dáta, ktoré sa pouºívajú na modelovanie LGD sú známe tým, ºe v nich chýba systematické usporiadanie, o mnohokrát môºe vies k nepresnostiam modelu i nesplneniu jeho predpokladov. Odhady LGD nie sú priamo iare i z dôvodu jeho závislosti na mnohých faktoroch. I to sú dôvody pre o je v oblasti modelovanie LGD e²te stále priestor na vývoj nových modelov i zmenu prístupu k odhadom tohto parametra. 30

31 Literatúra [1] And l, J.: Základy matematické statistiky, MATFYZPRESS, [2] Bellotti T., Crook J.: Modelling and predicting Loss Given Default for credit cards, Univerzity of Edinburg, [3] ƒnb: Vyhlá²ka.123 o pravidlech obez etného podnikání bank, spo itelních a úv rních druºstev a obchodník s cennými papíry ve zn ní vyhlá²ky.282/2008 Sb.; [4] Ferarri S.L.P, Cribari-Neto F.: Beta regression for modeling rates and proportions, fulltext.pdf [5] Gupton G., Stein R.: LossCalc T M : Dynamic prediction of LGD, Moody's KMV Company, LCv2_DynamicPredictionOfLGD.pdf [6] Klumpar J., Kalous R.: Prodej úv rových pohledávek z retailového portfolia bank, prodej-uverovych-pohledavek-z-retailoveho-portfolia-bank.jhtml [7] Polívka J.: LGD Parameter Scoring using Beta Regression Model, okruhy/archiv/rmfr/rocnik-2008/prispevky/dokumenty/polivka.jan.pdf [8] Riziko, Wikipedia, B3gia) [9] Rychnovský M.: Matematické modely LGD, Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta, [10] milauer P.: Moderní regresní metody, Biologická fakulta JU, ƒeské Budejovice, [11] Witzany J., Rychnovský M., Charamza P.: Survival analysis in LGD modeling, IES Working paper, Faculty of Social Sciences, Charles Univerzity Prague, [12] Witzany, J.: Loss, Default, Loss Given Default Modeling, IES Working paper, Faculty of Social Sciences, Charles Univerzity Prague,

32 [13] Zvára K.: R a regrese, Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta, [14] Zvára K., t pán J.: Pravd podobnost a matematická statistika, Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta,