1

Techcká mechaka II 210 322 BEK, 210 202 BDS pre bakalárov, zmý sem. doc.ig.fratšek Palčák, PhD., ÚAMM 02010 11. Cvčee: Aalytcká mechaka, prcíp vrtuále práce. Pomy, prístupy a metódy v mechake Prístup Newtoovske mechaky Predurčeý prístup Poloha Stav a súmae sústavy teles použeme príčý (kauzály) prístup Newtoovske vektorove mechaky, tak treba zostavovť dyamcké pohybové rovce s vektorovým velčam (dráhová hybosť, sla,..) a väzobé rovce z geometrckých, kematckých a dyamckých väzeb pre každý prvok sústavy. Ide o lokály, bezprostredý prístup, bez pláovaa, pr ktorom správae sústavy vychádza z daého okamžtého stavu. Sústava e doúteá správať sa lokále podľa okamžtého stavu a epotrebue s pamätať čo sa udalo. Teto predurčeý (determstcký) spôsob správaa vylučue slobodú vôľu a tým vylučue a vzk rozporu medz tým, čo e prkázaé a čo by prípade sústava chcela urobť ak. Ceľom e kvattatívy výsledok. V teór radea sústav to e prípad radea bez späte väzby, teda edá sa o ovládae (útee). Vzáomá poloha (kofguráca) bodov a teles sústavy e daá súborom kartezáskych súradíc polohy x, y, z. = 1, 2,..., N Stav (okraové podmeky v kofgurác) bodu a teles sústavy e daý súborom kartezáskych súradíc polohy a ch dervácí (rýchlostí) x, y, z, x, y, z. = 1, 2,..., N Prístup aalytcke mechaky Ceľavedomý prístup Účelový (teleologcký) prístup aalytcke mechaky vychádza zo všeobecého pohľadu a sústavu a okolté prostrede ako a celok a amesto vektorových pohybových rovíc pre každý prvok sústavy v aalytcke mechake využívame zovšeobeceé prcípy, ktoré využívaú skaláre velčy (ketcká eerga, práca,..). Celok sa správa účele, ceľavedome tak, aby spll daú globálu požadavku (účel, ceľ) v každom okamhu od východskového po koečý stav. Pr okamžtom rozhodovaí celok koá lokále ale myslí globále. Ceľom e kvattatívy a kvaltatívy výsledok. V teór radea sústav to e prípad radea so spätou väzbou, teda de o regulácu a vo vyspele forme správaa sa sústavy o samoregulácu (dobrovoľosť).

Dferecál dt Varáca δq sa čas t v určtom okamhu zmeí o ekoeče malý prírastok (dferecál) dt, velča q(t) sa tež zmeí o dferecál dq. v čase t = x prpočítame k fukc y = f(x), ktorá reprezetue fyzkálu velču f, hodotu εg(x), kde g(x) e ľubovoľá rozumá fukca a ε e koštata s hodotou blížacou sa k ule, potom výraz δq = εg(x) azývame zochróou varácou fukce y = f(x). Zmea δq(x) astáva v rovakom okamhu t = x ako zmea fukce y = f(x), to zameá, že sa realzue pr zastaveom čase. Začatočé a koečé hodoty fukce y = f(x) a varovae fukce y = δf(x) sú a daom tervale (x R, x 0 ) rovaké a prebehaú vo väzobe rove O (x,y). by sme zvoll δf = df a pokúsl sa vzkutý výraz tegrovať, to by zamealo, že v zastaveom čase x = t prdáme k fukc q(x) hodotu qx ( ), teda bod qx ( ) sa premest a varácu by sme už emohl volť ľubovole (apríklad ulovú v kocových bodoch tegračého tervalu), lebo by bola daá hodotou derváce teto fukce. Obr.1 Prebeh fukce y = f(x) a e varáce y = δf(x) Dfereca Δx Pre koečý prírastok (rozdel, dferecu) Δx=h premee x sa hodota fukce y = f(x) zmeí o prírastok (rozdel, dferecu) Δy = Δf(Δx). Derváca f'(x 1 ) Rovcou f '(x 1 ) = Δy 1 /Δx 1 = tgα e daá derváca fukce y = f(x) v bode x 1. Dferecál df(δx) Dferecál df(δx) fukce y = f(x) pre koečý prírastok (rozdel, dferecu) Δx = h v bode x 1 = a e df(δx) = f (a)δx. Dferecál df(dx) Dferecál df(dx) fukce y = f(x) pre ekoeče malý prírastok (dferecál) dx(a) v bode x 1 = a e df(dx) = f (a)dx. Deváca Df(Δx) Deváca Df(Δx) e odchýlka pr ahradeí rozdelu (dferece) Δy = Δf(Δx) dferecálom df(δx). Varáca δf(a) Varáca δf(a) fukce y = f(x) prebeha v zastaveom čase x = a. Aproxmáca Newtoova aproxmáca e ahradee eleáre fukce y = f(x) v bode x 1 = a pramkou (dotyčcou).

Hstorcký vývo fyzky V prírode pozáme štyr slové terakce: 1. gravtačú, 2. elektromagetckú, 3. slú a 4. slabú. Gravtačá terakca pôsobí a všetky častce bez výmky, ale pre gravtačú terakcu kvatová teóra predpokladá exstecu zataľ hypotetckých termedálych častíc: gravtóov. Elektromagetcká terakca pôsobí le a častce s elektrckým áboom, slá terakca pôsobí a hadróy (hadros = slý) - hadróy delíme a mezóy zložeé z kvarkov a atkvarkov a baryóy zložeé z troch kvarkov. Slabá terakca pôsobí a leptóy a hadróy. V súčasost prebeha tegračý proces - saha o edotý ops fyzkálych avov. Spozaím spoloče podstaty elektrckých a magetckých avov (Oersted, Faraday, Maxwell) a vkla v mulom storočí teóra elektromagetckého poľa. Po vzku kvatove teóre sa obavla príslušá kvatová aalóga - kvatová elektrodyamka a kvatová teóra elektromagetckého poľa. V relatíve edáve dobe sa podarlo "spoť" elektromagetckú a slabú terakcu do teóre elektroslabe terakce (Weberg, Salam). Teraz prebehaú tezíve pokusy prpoť k teór elektroslabe terakce ešte terakcu slú (veľké zedotee) a s gravtačou slovou terakcou utvorť teóru všetkého.

Hstorcký vývo aalytcke dyamky Isaac Newto (1643-1727) Prvou uceleou teórou pohybu mechackých sústav bola Newtoova formuláca klascke mechaky v Matematckých prcípoch prírode flozofe (1687). Základým zákoom teóre bol druhý Newtoov záko, ozačovaý tež ako pohybový záko, pretože sa z eho dalo staovť po ake krvke sa bude pohybovať hmotý obekt, a ktorý pôsobí daá sla: "Zmea pohybu e úmerá pôsobace sle a dee sa pozdĺž osteľky pôsobace sly." Iým slovam, ak a kokréte teleso s kokrétou hodotou hmotost a hybost pôsobí kokréta sla, tak ho út, aby sa pohybovalo po kokréte dráhe. A keď sa rôze obekty sa podraďuú tomu stému zákou, leže zo zákoa sa edaú získať a obekty (s kokrétou hodotou hmotost a hybost, a ktoré pôsoba kokréte sly) a odlšost medz m. Pre každý kokréty prípad (sly, hybost, hmotost, pohybu) treba hľadať ový postup rešea mechacke úlohy. Leohard Euler (1707-1813) Ďalší krok vo výve mechaky urobl Euler, keď preformuloval druhý Newtoov záko. Eulerova formuláca pohybového zákoa sa líš od Newtoove v tom, že: 1. prbudla vzťažá sústava - zrýchlee a defueme buď cez F2 a m2, alebo cez F1 a m1, 2. dostávame všeobecý záko v podobe dferecále rovce, ktorá poskytue možosť uverzálym spôsobom rešť akékoľvek mechacké úlohy. Jea Baptste le Rod d Alembert (1717-1783) 1. d Alembertov prcíp meí dyamckú úlohu o pohybe účkom sly a statckú úlohu o rovováhe vacerých síl. Iým slovam zrovoprávňue poko a pohyb, čže opäť astoľue rovováhu, ktorá sa porušla pr prechode od statcke rovováhy k dyamckému pohybu; 2. zavedeím ove zotrvače sly zedotl a zrovoprávl všetky druhy síl: aktíve sly, sly od väzby sly zotrvačost; 3. vďaka tomu sa do edého opsu zedotl rôze druhy pohybu: a) pohyb voľe častce (F = O, R = O), b) častce bez väzby pohybuúce sa účkom sly F (R = 0), c) vazae častce (eulové R) pod účkom sly F. Joseph Lous de Lagrage (1736-1813) Vyvrcholeím vývoa klascke mechaky bol práce Josepha Lousa Lagragea, zavŕšeé vydaím eho Aalytcke mechaky (1788). Lagrage vyslovl prcíp vrtuáleho premestea: " hmotý bod vazaý obostraou hladkou väzbou e v rovováže polohe, elemetára práca aktívych síl sa pr ľubovoľom vrtuálo premesteí z teto polohy rová ule." Kombácou prcípu vrtuáleho posuuta a d Alembertovho prcípu (tzv. Lagrageovd Alembertov prcíp) potom J. L. Lagrage odvodl všeobecú rovcu mechaky. Keď apoko Lagrage zavedol tzv. zovšeobeceé súradce a zovšeobeceé sly, dostal zo spomíae rovce dve sústavy dferecálych rovíc: Lagrageove rovce prvého druhu a Lagrageove rovce druhého druhu. Z ch sa daú získať: 1. charakterstky pohybu akekoľvek sústavy teles: voľe v šršom zmysle (bez väzby bez účku akýchkoľvek síl), teles bez väzby pod účkom sly vazaých teles, a ktoré pôsoba sly, 2. pohybové rovce pre te avšeobeceší prípad a) pre akýkoľvek pohyb (voľý, vazaý),

b) pod účkom sly akéhokoľvek pôvodu (gravtače, elektrcke, magetcke a.), c) pre kozervatíve ekozervatíve typy síl, d) vzhľadom a akýkoľvek typ súradíc, č už maú eaký geometrcký výzam, alebo charakterzuú ba stupe voľost v ašršom zmysle slova (zovšeobeceé súradce). Dá sa povedať, že tým sa zavŕšl vývo mechaky ako opsu mechackého pohybu hmotých, teda látkových obektov - č už e teto ops charakterzovaý ako zmea geometrckých súradíc v čase alebo ako časová zmea akýchkoľvek charakterstík príslušého počtu stupňov voľost. Carl Gustav Jacob(1804 1851) a Wllam Rowa Hamlto (1805 1865) Výv mechaky sa kocom 18. storoča ezastavl, ale pokračoval a v 19. storočí, meovte v prácach C. G. Jacobho a W. R. Hamltoa. Hamlto sformuloval všeobecý prcíp, a základe ktorého zedotl ops pohybu častíc šírea svetla. Teda z Hamltoovho prcípu vyplývaú tak Lagrageove rovce pre ops pohybu látkových obektov, ako a rovce vlove geometrcke optky (zedotee rôzych pohľadov a povahu svetla z hľadska opsov eho šírea). Z Hamltoovho prcípu mmáleho účku sa daú odvodť všetky predchádzaúce varačé prcípy, ech už bol v mulost odvodeé v oblast optky č mechaky, teda Heroov, Fermatov, Lebzov, Maupertusov Eulerov prcíp. Okrem toho sa v Hamltoovom formalzme úple abstrahue od kokréteho tvaru dráhy, po ktore sa obekt pohybue, lebo účok e ba fukcou začatočých a kocových súradíc. Prcípy v aalytcke mechake V aalytcke dyamke sú dspozíc edak dferecále prcípy platé pre ekoeče malé zmey velčí a tegrále prcípy pre koečé zmey velčí s kombácou evaračého prcípu a varačého prcípu a formulácu podmeok pre extrém velčy pr e ekoeče male, alebo koeče zmee v rámc možých stavov. a) Podľa tohto tredea medz dferecále evaračé prcípy patra apoužívaeše Newtoove zákoy a Lagrageove rovce prvého a druhého druhu a b) do skupy dferecálych varačých prcípov patrí aedoduchší prcíp vrtuálych prác a D`Alambertov prcíp, avšeobeceší Gaussov prcíp amešeho útea a Hetzov prcíp aprameše dráhy. c) Do skupy tegrálych evaračých prcípov patrí prcíp zachovaa eerge a d) medz tegrále varačé prcípy patrí Marpertusov, Eulerov a Jakobho prcíp amešeho účku a adôležteší Hamltoov prcíp. Hamltoov varačý prcíp Každý zo dferecálych, alebo tegrálych prcípov má svoe špecfcké poslae o pre algortmzácu umercke tegráce zmešae sústavy dferecálych pohybových a algebrckých väzobých rovíc DAE sa alepše osvedčl Hamltoov varačý prcíp: t2 a b I (L+ F.r λ )dt = 0 t 1 A k A k k=1 1 I e varáca fukcoálu I, pre ktorý hľadáme extrém L EK- EP e Lagragá ako rozdel ketcke E K a potecále F sú akčé sly, k 1,2,...,a r sú sprevodče pôsobísk akčých síl F λ sú Lagrageove súčtele, 1,2,...,b e artmetcký vektor väzobých rovíc Φ E P eerge systému

Eulerove-Lagrageove rovce Z Hamltoovho tegráleho varačého prcípu vyplývaú pohybové dferecále Eulerove- Lagrageove rovce druhého rádu a b d L L r Φ ( ) ( ) F. λ 0, 1,2,...,c dt q q q q k=1 1 a b L L r k=1 1 d ( ) ( ) F. 0 dt q q q q kde q e artmetcký vektor celkového počtu c zovšeobeceých súradíc q, 1,2,...,c, F e počet a akčých síl a e artmetcký vektor počtu b väzobých eleárych algebrckých rovíc Φ. Druhy súradíc polohy - ak má zovšeobeceá súradca polohy rozmer dĺžky, zovšeobeceá sla má rozmer sly, - ak má zovšeobeceá súradca polohy rozmer uhla pootočea, zovšeobeceá sla má rozmer vazaého mometu, Druhy väzeb Holoóma väzba: - väzobá fukca obsahuúce le súradce polohy (alebo prmtívu fukcu rýchlost), - obmedzue le polohu telesa, - azývame u geometrcká väzba, Neholoóma väzba: - väzobá fukca obsahuúca súradce a rýchlost, - súčase obmedzue polohu a rýchlosť, - azývame u kematcká väzba (alebo dferecála-vystupue v e derváca podľa času), Ideála geometrcká väzba, Geometrcká väzba s pasívym odporm. Druhy síl čé sly môžu byť väzbové (epracové reakce) a pracové, pr deálych väzbách (euvažueme pasíve odpory) e e rozdel medz slam reakčým a väzbovým a tež e e rozdel medz pracovým a akčým slam. Pomy v aalytcke mechake q, 1,2,...,c e zovšeobeceá súradca polohy, dq e dferecál zovšeobecee súradce polohy r dr dq q e dferecál polohového vektora, q, q e vrtuále premestee zovšeobecee súradce polohy q, r r q e vrtuále premestee kocového bodu polohového vektora, q m r Q F. e zovšeobeceá sla, =1 q =1 W Q q e vrtuála práca zovšeobeceých síl v rovovážom stave,

W (F m a ) r e vrtuála práca akčých a zotrvačých síl pohybuúce sa sústavy, =1 =1 P (F m a ) r e vrtuály výko akčých a zotrvačých síl pohybuúce sa sústavy. Prcíp vrtuálych prác sa voľé teleso v rovovážom stave, (teda pr pôsobeí rovováže sústavy síl a slových dvoíc e v poko, alebo koá rovomerý pramočary pohyb) vrtuále premest, výsledá vrtuála práca δ W akčých slových účkov a vrtuálych premeseach, ktoré prebehaú v zastaveom čase (realzuú se okamžte, sú zochróe), bude ulová δ W 0. Vrtuále premestea δ q (posuuta a pootočea) sú le testovace premestea, ktoré sa môžu, ale emusa uskutočť, teda patra do možy geometrcky a kematcky prípustých zovšeobeceých premesteí pôsobísk zovšeobeceých síl, ktoré m umožňuú väzobé podmeky. Vrtuále premestea sú ekoeče malé, aby ebolo potrebé brať do úvahy zmeu vzáome polohy (geometrcke kofguráce). by sa vrtuále premestea uskutočl v reálom čase, bol by to dferecály a vykoaá elemetára práca by sa za daých podmeok mohla tegrovať. Potom by bolo potrebé vzať do úvahy závslosť zovšeobeceých síl a zovšeobeceých premesteach. Vrtuála práca akčých slových účkov (vo forme zovšeobeceých síl a vrtuálych premesteach-zochróych varácách zovšeobeceých súradíc polohy) pôsobacch a teleso alebo a sústavu teles v rovovážom stave bude ulová: δw Q δ q 0 =1 Táto rovca ahrádza rovováže rovce dyamcke sústavy, ktoré treba písať pre edotlvé telesá zo sústavy uvoľeé od väzeb a tým, že eobsahue eakčé väzobé sly (teda reakce), má meší počet velčí a výpočet zovšeobeceých súradíc polohy pre rovovážy stav sa zedoduší. Prcíp vrtuálych výkoov pohybuúce sa sústavy bez pasívych odporov P (F m a ) r 0 =1 mechacká sústava sa pohybue tak, aby sa algebrcký súčet vrtuálych výkoov síl pracových (akčých) síl a zotrvačých síl roval ule.