Štvorec na deterministických, alternujúcich a booleovských automatoch

Prepis

1 S tvorec n deterministicky ch, lternuju cich ooleovsky ch utomtoch mrec 2017

2 Alternuju ce utomty M = (Q, Σ, δ, s, F), kde δ mpuje Q Σ

3 Alternuju ce utomty M = (Q, Σ, δ, s, F), kde δ mpuje Q Σ do jedine ho stvu v DFA δ q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 q 1

4 Alternuju ce utomty M = (Q, Σ, δ, s, F), kde δ mpuje Q Σ do δ jedine ho stvu v DFA q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 q 1 zjednoteni stvov v NFA δ q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 q 1

5 Alternuju ce utomty M = (Q, Σ, δ, s, F), kde δ mpuje Q Σ do δ jedine ho stvu v DFA q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 q 1 zjednoteni stvov v NFA ooleovskej funkcie v AFA/BFA δ q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 q 1 δ q 1 q 2 q 1 q 2 q 2 q 1 q 1

6 De inıći AFA/BFA (od Fellh, Ju rgensen, Yu) BFA A = (Q, Σ, δ, g s, F): Q = {q 1, q n } B n ooleovske funkcie n premenny ch q 1,, q n g s B n poc itoc n funkci, pri AFA len jeden stv δ Q Σ B n prechodov funkci Rozs ıŕime n B n Σ Nech g B n, Σ, w Σ : 1 (g, ) g; 2 k g g(q 1, q 2,, q n ) tk (g, ) g( (q 1, ), (q 2, ),, (q n, )); 3 (g, w) ( (g, ), w)

7 BFA/AFA pre L DFA pre L R Ak L je kceptovny n stvovy m BFA(AFA), potom L R je kceptovny 2 n stvovy m DFA, (ktory m 2 n 1 stvov koncovy ch) Ak jzyk L R je kceptovny 2 n stvovy m DFA (s pr ve 2 n 1 koncovy mi stvmi), potom L je kceptovny n stvovy m BFA (AFA)

8 Zn me vy sledky I L 2 = LL = {uv u L, v L} [Yu, Zhung, Slom, 1994] Ak L je kceptovny n stvovy m DFA s k koncovy mi stvmi, tk minim lny DFA pre L 2 m njvic n2 n k2 n 1 stvov [Rmpersd, 2006] Existuje DFA pre L s n stvmi, kde k = 1 tky, z e min DFA pre L 2 m n2 n 2 n 1 stvov: q 0 q 1 q 2 q n 2 q n 1

9 Zn me vy sledky II [C evorov, Jir skov, Krjn kov, 2014] DFA pre s tvorec Rmpersdovho utomtu s k n 2 koncovy mi stvmi rozs ıŕeny o tretie pıśmeno m n2 n k2 n 1 stvov Vznikli 2 otvorene prole my: (P1) koľko stvov potreuje s tvorec in rneho utomtu s k n 2 koncovy mi stvmi (P2) ke veľke su utomty pre s tvorce jzykov, ktore su kceptovne utomtmi s jediny m nekoncovy m stvom

10 S tvorec n deterministicky ch utomtoch Vet 1 Pre kždé n 3 existuje inárny deterministický utomt M n,k s n stvmi z ktorých je k n 2 koncových tký, že minimálny DFA pre jzyk L 2 (M n,k ) má n2 n k2 n 1 stvov q 0 q 1 q 2 q n k 1 q n k q n 1

11 S tvorec n deterministicky ch utomtoch: k = n 1 Nech DFA M = (Q, Σ, δ, q 0, F) je n stvovy utomt pre jzyk L s k koncovy mi stvmi Ak k = n 1, tk DFA pre L 2 mo z e mť njvic n2 n (n 1)2 n 1 = (2n + 2)2 n 2 stvov nikdy vs k z toľko Ak q 0 F, tk DFA pre L 2 m njvic (n + 2)2 n 2 stvov; - pre kz de n sme ns li in rny jzyk L, ktore ho s tvorec je tky zloz ity q 0 q 1 q 2 q 3 q n 1

12 S tvorec n deterministicky ch utomtoch: k = n 1 Nech DFA M = (Q, Σ, δ, q 0, F) je n stvovy utomt pre jzyk L s k koncovy mi stvmi Ak k = n 1, tk DFA pre L 2 mo z e mť njvic (2n + 2)2 n 2 stvov nikdy vs k z toľko Ak q 0 F, tk DFA pre L 2 m njvic (n + 3)2 n 2 stvov; - ns li sme tern rny jzyk tky, z e DFA pre jeho s tvorec m toľko stvov - ns li sme vs k in rny jzyk, ktore ho DFA pre s tvorec m (n + 3)2 n 2 1 stvov q,,,,, c 0 q 1 q 2 q 3 q n 2 q c c c c n 1, c, c

13 Vyuz itie?

14 Vyuz itie? lternuju ce utomty

15 Alternuju ce utomty Ak w = 1 2 n w R = n 2 1 L R = {w R w L} [Fellh, Ju rgensen, Yu, 1990] Ak L je kceptovny n stvovy m AFA, tk L 2 je kceptovny 2 n + n + 1 stvovy m AFA otvoreny prole m: Doshuje s vs k z tk veľk zloz itosť?

16 S tvorec n lternuju cich utomtoch Ns odpoveď je A NO: Vet 2 Pre kždé n existuje inárny jzyk L kceptovný n stvovým AFA tký, že minimálny AFA pre L 2 má 2 n + n + 1 stvov Mys lienk do kzu: (L 2 ) R = (L R ) 2 Nech L R je jzyk kceptovny M 2 n,2 n 1 1) L je kceptovny AFA s n stvmi 2) minim lny AFA pre L 2 m 2 n + n + 1 stvov Zovs eoecnenie pre zreťzenie: Vet 3 Pre kždé m n existujú inárne jzyky K, L kceptovné m n stvovými AFA tké, že minimálny AFA pre KL má 2 m + n + 1 stvov

17 S tvorec n ooleovsky ch utomtoch Booleovske utomty: poc itoc n funkci je ľuovoľn ooleovsk funkci, npr g s = q 1 q 2 minim lny BFA pre s tvorec m njvic 2 n + n stvov minim lny BFA pre zreťzenie m njvic 2 m + n stvov Vet 4 Pre kždé n existuje inárny jzyk L kceptovný n stvovým BFA tký, že minimálny BFA pre L 2 má 2 n + n stvov Vet 5 Pre kždé m n existujú inárne jzyky K, L kceptovné m n stvovými BFA tké, že minimálny BFA pre KL má 2 m + n stvov

18 D kujem z pozornosť